Využití pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Využití pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele Bakalářská práce

Vedoucí práce: Doc. Ing. Eva Vávrová Ph.D.

Lucie Pečinková

Brno 2012

Na tomto místě bych chtěla poděkovat doc. Ing. Evě Vávrové, Ph. D. za vedení bakalářské práce.

Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. V Brně dne 4. ledna 2013

__________________

Abstract This bachelor’s thesis is dealing with insured mathematics in a job of insurance broker. First part is dedicated to characteristics of the insurance. Later it deals with insurance mathematics in insurance for individuals in theory. But the main emphasis is put on usage of insurance mathematics for calculating lifelong pensions from pension additional insurance cover. Keywords Insured mathematics, lifetime pension, pension schemes.

Abstrakt V této bakalářské práci se věnuji problematice pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele. První část je věnována charakteristice pojištění. Potom se věnuji teoreticky pojistné matematice v pojištění osob. Hlavní důraz je ale kladen na využití pojistné matematiky při výpočtu doživotních penzí z penzijního připojištění. Klíčová slova Pojistná matematika, doživotní penze, penzijní připojištění.

Obsah

5

Obsah 1

Úvod a cíl práce

10

1.1

Úvod .........................................................................................................10

1.2

Cíl práce ................................................................................................... 11

2

Metodika

12

3

Charakteristika pojištění

13

4

5

3.1

Dělení pojištění dle formy vzniku pojištění ............................................ 13

3.2

Dělení pojištění dle pojistných odvětví ................................................... 14

3.3

Dělení pojištění dle délky jeho trvání ...................................................... 15

Kalkulace pojistného v životním pojištění

16

4.1

Úmrtnostní tabulky ................................................................................. 16

4.2

Komutační čísla ....................................................................................... 19

4.3

Výpočet pojistného v pojištění osob ........................................................ 19

4.4

Principy v pojištění osob......................................................................... 20

4.5

Pojištění na dožití ................................................................................... 20

4.6

Pojištění důchodů .................................................................................... 21

4.6.1

Doživotní důchod ............................................................................ 22

4.6.2

Dočasný důchod .............................................................................. 23

4.6.3

Důchod vyplácený področně ........................................................... 24

4.7

Pojištění pro případ smrti ...................................................................... 24

4.8

Smíšené pojištění .................................................................................... 25

Aplikace pojistné matematiky

27

5.1

Penzijní fondy ......................................................................................... 27

5.2

Druhy penzí vyplácených penzijními fondy ........................................... 28

5.2.1

Penzijní fond České pojišťovny ....................................................... 29

5.2.2

Penzijní fond České spořitelny ....................................................... 32

5.2.3

Penzijní fond Komerční banky ....................................................... 33

5.2.4

ČSOB penzijní fond Stability .......................................................... 35

6

Obsah

5.2.5

ING penzijní fond ............................................................................36

5.2.6

Generali penzijní fond .................................................................... 38

5.2.7

AEGON penzijní fond ...................................................................... 41

5.2.8

AXA penzijní fond............................................................................ 41

5.2.9

Penzijní fond Allianz ........................................................................42

5.3

Diskuze zjištěných výsledků ....................................................................43

6

Závěr

45

7

Literatura

47

A

Úmrtnostní tabulky pro muže v roce 2011

50

B

Úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2011

53

Obsah

7

8

Seznam obrázků

Seznam obrázků Obr. 1

Funkce přežití pro muže a ženy v roce 2011

17

Obr. 2 Graf doživotní renty a jednorázového vyrovnání klienta A u Penzijního fondu České pojišťovny 30 Obr. 3 Graf doživotní měsíční renty a jednorázového vyrovnání u Penzijního fondu České pojišťovny 31 Obr. 4 Graf doživotní měsíční renty v závislosti na objem u nespořených prostředků u Penzijního fondu České pojišťovny33 Obr. 5 Graf doživotní renty a jednorázového vyrovnání klienta B u Penzijního fondu České pojišťovny 34 Obr. 6 Graf doživotní renty a jednorázového vyrovnání klienta A u Generali penzijního fondu 39 Obr. 7 Graf jednorázového vyrovnání, doživotní renty vyplácené ročně a měsíčně klienta B u Generali penzijního fondu 40

Seznam tabulek

9

Seznam tabulek Tab. 1 Dělení pojištění dle předmětu pojištění

14

Tab. 2

Komutační čísla

19

Tab. 3

Vzorce pro důchod vyplácený področně

24

Tab. 4

Počet aktivních účastníků penzijního připojištění

28

Tab. 5 Technické úrokové míry a typy úmrtnostních tabulek jednotlivých fondů

29

Tab. 6

Výše doživotní penze u PF ČP pro klienta A

30

Tab. 7

Výše doživotní penze u PF ČP pro klienta B

31

Tab. 8 Výše měsíční doživotní penze u Penzijního fondu České spořitelny 32 Tab. 9

Výše měsíční doživotní penze u PF Komerční banky

34

Tab. 10

Výše doživotní penze u ČSOB PF Stabilita pro klienta A

35

Tab. 11

Výše doživotní penze u ČSOB PF Stabilita pro klienta B

36

Tab. 12

Výše doživotní roční penze u ING PF pro klienta A

37

Tab. 13

Výše doživotní roční penze u ING PF pro klienta B

37

Tab. 14

Výše doživotní měsíční penze u ING PF

38

Tab. 15

Výše doživotní penze u Generali PF pro klienta A

39

Tab. 16

Výše doživotní penze u Generali PF pro klienta B

40

Tab. 17

Výše doživotní penze u AEGON PF pro klienta B

41

Tab. 18

Výše doživotní penze u AXA PF

42

Tab. 19 Porovnání měsíční doživotní penze klienta A u jednotlivých fondů 43 Tab. 20 Porovnání měsíční doživotní penze klienta B u jednotlivých fondů 44

10

Úvod a cíl práce

1 Úvod a cíl práce 1.1

Úvod

Člověk je ovlivněn náhodnými událostmi, které mají vliv na naši činnost dnes a denně. Riziku jsou neustále vystaveni nejen jednotlivci ale i podniky. Riziko představuje možnost ztráty majetkové či poškození zdraví vlivem působení přírodních živlů či činností člověka. Vzniku nahodilých událostí je možno předcházet, ale to není možné ve všech případech. Jednou z možností, jak se bránit před negativními dopady nahodilých událostí, je tvorba rezerv sloužících k zaplacení vzniklých škod. Ne vždy je ale jedinec schopen vytvořit tak velkou rezervu, aby mohl hradit tak velký rozsah škod. Tehdy přichází na řadu pojišťovny. V dnešní době existuje spousta možností, jak pojištění sjednat. Kromě využití služeb přímo pojišťovny klienti často volí služby pojišťovacího zprostředkovatele. Práce pojišťovacího zprostředkovatele či finančního poradce je s pojistnou matematikou úzce spojená. I když nemusí provádět výpočty samotní zprostředkovatelé, je v jejich práci obsažena. Nepříznivý demografický vývoj ve spojení se stále zvyšujícím dobou odchodu do důchodu vede klienty k tomu, že se začínají připravovat sami na propad příjmů po odchodu do důchodu. Často k tomuto účelu využívají produkty pojistného trhu jako například penzijní připojištění, životní investiční a kapitálové pojištění. V současné době dochází ve spojitosti s důchodovou reformou ke zvýšenému zájmu o penzijní připojištění. Důchodový systém v ČR funguje na průběžném financování. Roku 1994 začali na trhu vznikat penzijní fondy, které nabízí penzijní připojištění se státním příspěvkem. Tento produkt se od roku 2013 stane III. pilířem důchodového systému a na počátku roku 2013 vznikne i nový produkt, který bude představovat II. pilíř v podobě nového důchodového spoření. Tyto dva pilíře doplní povinný I. pilíř, který zajišťuje výplatu současných starobních důchodů. Změny se budou týkat i populárního penzijního připojištění. Od 1. ledna 2013 vzniknou nové fondy, které se budou od těch starých lišit hlavně v tom, že již nebude garance nezáporného zhodnocení, možnost sjednání výsluhové penze a vybrání prostředků v rámci jednorázového vyrovnání. Současné penzijní fondy se stanou tzv. transformovanými fondy se zachovanými podmínkami s výjimkou státního příspěvku, který bude ve stejné výši jako u nových účastnických fondů. Sjednání smlouvy za starých podmínek bylo možné pouze do konce listopadu 2012 a přestupy mezi fondy byly možné pouze do února 2012, což mělo za následek zvýšený zájem o tento produkt nejen u klientů pojišťovacích zprostředkovatelů. Někteří zprostředkovatelé využívali při svém rozhodování o správné volbě fondu pro klienta hodnoty vypočtených penzí pro jednotlivé fondy. Penzijní fondy provádí výpočty na základě pojistně matematických postupu uvedených v penzijních plánech.

Úvod a cíl práce

11

1.2 Cíl práce Hlavním cílem bakalářské práce „Využití pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele“ je analyzovat pojistně matematické postupy na modelových příkladech v práci pojišťovacího zprostředkovatele. Dílčím cílem je výpočet doživotní penze jednotlivých fondů a jejich porovnání. Výsledkem by mělo být srovnání, u kterého penzijního fondu klient získá v současné době nejvyšší penzi. Bakalářská práce by měla pomoci k pochopení zákonitostí při výpočtech penzí a významu pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele.

12

Metodika

2 Metodika Celou bakalářskou práci je možné rozdělit na část teoretickou a část praktickou. Při vypracování bakalářské práce se budu nejprve zabývat teoretickým poznatkům potřebným k výpočtům v praktické části. Teoretická část práce se věnuje na úvod charakteristice pojištění, a potom samotné pojistné matematice v životním pojištění. Kapitola věnovaná pojistné matematice v životním pojištění (kapitola 4) začíná popisem úmrtnostních tabulek a výpočtu komutačních čísel potřebných při kalkulacích v životním pojištění. V této kapitole jsou zmíněny vzorce pro výpočet pojistného pro pojištění na dožití, pojištění penze a pojištění pro případ smrti. Tyto vzorce jsou používány ve stejné nebo lehce upravené podobě při výpočtu penze z penzijního připojištění. V ukázkových příkladech v teoretické části je počítáno s technickou úrokovou mírou 2 % a jsou používány úmrtnostní tabulky zveřejněné Českým statistickým úřadem pro rok 2011 v ČR . Kapitola 5 se věnuje samotným výpočtům doživotní penze u jednotlivých fondů. U výpočtů je vycházeno z informací poskytnutými jednotlivými penzijními fondy. Pomocí metod deskripce, analýzy a komparace jsou rozebrány zjištěná data . Pro porovnání jednotlivých penzí fondů jsem zvolila dva modelové klienty. Výpočet penze je v obou případech prováděn v 60 letech klienta a je předpokládáno, že jsou vždy splněny podmínky pro výplatu penze. Rozdíl mezi dvěma modelovými klienty je pohlaví, klient A je muž a klient B je žena. Některé penzijní fondy při výpočtech používají přepočtené úmrtnostní tabulky, které nezveřejňují. Přepočtení je provedeno na základě vynásobení tabulek ČSÚ selekčním koeficientem. V těchto případech jsou výpočty prováděny s úmrtnostními tabulkami vydanými ČSÚ, tedy jsem selekční koeficient položila roven 1. U každého fondu je před výpočtem penze uvedeno, jaké úmrtnostní tabulky jsou použity. Pro porovnání je zanedbáno, že některé fondy vyplácí penzi v minimální výši 500 Kč. Pokud je penze nižší než je stanovená minimální hranice, dochází k prodloužení doby mezi jednotlivými výplatami. Penzijní fond Allianz považuje údaje pro výpočet penze za interní záležitost a tyto údaje nezveřejňuje, proto pro něj nebyli jednotlivé penze počítány a je uvedený pouze vzorec pro výpočet. V závěru kapitoly věnované aplikaci pojistné matematiky jsou pomocí komparace rozebrány výše doživotních penzí u jednotlivých fondů vyplácených měsíčně. Porovnány budou výsledky zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Bude zmíněn i rozdíl mezi výplatou penze pro muže a ženy. Rozsah bakalářské práce mi nedovoluje se věnovat pojistným rezervám a nákladům pojišťovny.


13

3 Charakteristika pojištění V současné době pojišťovny nabízí nesčetné množství pojištění. Teoreticky lze říci, že každé riziko je možné pojistit. Na druhou stranu pouze existence rizika nestačí ke vzniku pojištění, ale důležitou roli zde hraje i cena pojištění a riziko musí splňovat určité kriteria. Současná nabídka pojišťoven je opravdu pestrá, a proto je třeba pojištění třídit podle rozdílných parametrů. Názor na klasifikaci pojištění ale není sjednocen. V základní klasifikaci je možné pojištění rozdělovat dle: • formy vzniku pojištění, • pojistného odvětví, • délky trvání pojištění. Jednotlivým dělení se budu věnovat podrobněji.

3.1 Dělení pojištění dle formy vzniku pojištění Pojištění může vznikat v několika formách. Základní dělení je na smluvní a zákonné. Smluvní pojištění se potom dále dělí na dobrovolné a smluvní. Zákonné pojištění vzniká přímo ze zákona, který přesně vymezuje, kdy pojištění vzniká a všechny jeho náležitosti včetně pojišťovny, pojistného a pojistných podmínek. Není uzavírána pojistná smlouva. Pojištění je právními předpisy stanoveno jako zákonné v případech obecném zájmu, kdy je zvýšené riziko škod a je třeba zajistit financování náhrady. Od tohoto typu pojištění se postupně ustupuje. V ČR na principu zákonného pojištění funguje pouze zákonné pojištění odpovědnosti organizace za škodu při pracovním úrazu nebo nemoci z povolání. Smluvní formy pojištění vznikají na základě pojistné smlouvy (u krátkodobých pojištěních může pojištění existovat i bez pojistné smlouvy). Smluvní dobrovolné pojištění uzavírá pojistník na základě vlastní vůle. Jedná se o nejstarší formu pojištění a na pojistném trhu zaujímá největší podíl. Stejně jako u zákonné formy pojištění mají v případě povinné smluvní formy zákonodárci zájem o vznik pojištění, které má chránit hlavně osoby, jimž vznikne škoda vlivem třetí osoby. Jak již název napovídá, pojištění vzniká na základě smlouvy a právní předpisy určují podmínky jeho vzniku. Pojištění se zaměřuje na odpovědnost za škodu, která je spojena s jistou činností. Pravděpodobně nejznámějším příkladem je pojištění odpovědnosti z provozu vozidla. Další příklady jsou spojeny s určitými profesemi jako lékaři, auditoři, daňoví poradci, makléři apod. Oproti zákonnému pojištění je tato forma flexibilnější. Je možno volit mezi více pojišťovnami na základě ceny i rozsahu nabízeného krytí. (Čejková, Nečas, 2006, str. 25-27)

14


3.2 Dělení pojištění dle pojistných odvětví Na dělení podle odvětví je možno nahlížet z několika pohledů. Jedním hlediskem, podle kterého lze pojištění dělit do odvětví je předmět pojištění. Rozlišujeme pojištění majetku, pojištění odpovědnosti za škodu a pojištění osob. Odvětví je možno dále dělit na skupiny pojištění a to se dále člení na jednotlivá pojištění. (Čejková, Nečas, 2006, str. 27-28) Tab. 1

Dělení pojištění dle předmětu pojištění

Pojištění majetku Pojištění pro cesty a pobyt Pojištění motorových vozidel, havarijní pojištění Pojištění domácností Pojištění ztrát způsobených přerušením provozu (šomážní pojištění) Pojištění technických rizik Pojištění finančních rizik Pojištění pro případ poškození věci vodou z vodovodního zařízení Pojištění pro případ škod způsobených krádeží nebo loupežným přepadením Pojištění staveb Živelná pojištění Pojištění All risk Pojištění přepravy Pojištění úvěru Pojištění letadel Jiná pojištění

Pojištění odpovědnosti za škodu Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou při výkonu povolání Pojištění odpovědnosti za škodu v občanském životě Pojištění odpovědnosti organizace za škodu způsobenou pracovním úrazem nebo nemocí z povolání Pojištění odpovědnosti za škodu managementu Pojištění odpovědnosti za výrobek Pojištění odpovědnosti za škodu civilního leteckého dopravce Pojištění odpovědnosti za škodu při výkonu lovecké činnosti Jiná pojištění

Pojištění osob Pojištění pro případ smrti Kapitálové životní pojištění Důchodové pojištění Pojištění pro děti a mládež Investiční životní pojištění Pojištění léčebných výloh Kombinované a skupinové pojištění Pojištění vážných chorob Pojištění v případě nemoci Úvěrové pojištění Úrazové pojištění Pojištění pro případ hospitalizace Jiná pojištění


15

Další možným členěním je na základě způsobu tvorby rezerv na rizikové a rezervotvorné. • Rizikové neboli neživotní pojištění se vyznačuje tím, že není předem jisté, zda pojistné událost nastane či nikoliv a tedy zda pojišťovna bude muset vyplácet pojistné plnění. Výše rezervy je stanovena na základě rozsahu pojistného rizika, rozsahu způsobených škod a pravděpodobnosti vzniku pojistné události. • Rezervotvorné neboli životní pojištění je pojištění, které vždy vytváří technické rezervy. Jedná se o typ, kdy vždy dojde k pojistnému plnění. Typickým příkladem je životní pojištění, kdy pojišťovna vyplácí plnění buď při úmrtí pojištěného nebo na konci pojištění. Zákon č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě rozděluje pojištění na škodové a obnosové. • Při škodovém pojištění je vyplacena částka odpovídající výši škody vzniklé v důsledku pojistné události. • Obnosové pojištění se liší od škodového pojištění právě ve vyplácení pojistného plnění. Při vzniku pojistné události je při splnění smluvních podmínek vyplacena finanční částka nezávislá na rozsahu škody.

3.3 Dělení pojištění dle délky jeho trvání Dalším dělením dle Čejkové a Nečase (2006) je rozdělení na krátkodobé a dlouhodobé podle délky trvání pojištění. Krátkodobé pojištění bývá často nazýváno jako področní a je to typ sjednaný na dobu kratší než jeden rok. Dlouhodobé pojištění trvá déle než jeden rok. Do této skupiny se řadí i pojištění na dobu neurčitou a obvykle se sem řadí i pojištění trvající jeden rok.

16


4 Kalkulace pojistného v životním pojištění 4.1 Úmrtnostní tabulky Při výpočtech v životním pojištění jsou využívány úmrtnostní tabulky, které popisují úmrtnost . Jejich konstrukcí se zabývá demografie a jejich sestavení je založeno na několika předpokladech. Vychází se z toho, že nedochází k migracím, nemění se věková struktura obyvatel a její velikost. Statistický úřad ČR každý rok zveřejňuje počet zemřelých a narozených osob. Z nich jsou pak odvozený úmrtnostní tabulky. Pojišťovny obvykle využívají zveřejněná data, popřípadě je upravuje dle svých vlastních zkušeností a vypozorovaných zákonitostí s přihlédnutím na vlastní pojistný kmen. Úmrtnostní tabulky dle Cipry (1995) rozlišujeme: • úplné: údaje jsou uváděny pro každý věk, tzn. pro věk 0,1,…ω, • zkrácené: údaje jsou uváděny pro delší věkový interval (0,1-4,5-9,…), • běžné: data jsou čerpány z úmrtnostních zkušeností populace během kratšího časového období, • generační: v tabulce jsou zaznamenávány skutečné vývoj konkrétní generace. V praxi pojišťovny jsou nejčastěji využívány běžné úplné úmrtností tabulky. Úmrtností tabulky jsou sestavovány jednak bez rozlišování pohlaví, ale i zvlášť pro muže a ženy. Do tabulky jsou ve sloupcích většinou zaznamenávány konkrétní veličiny, jako je například věk osoby, počet žijících a zemřelých osob v daném věku, roční míra dožití, roční míra úmrtnosti, počet roků prožitých osobami v daném věku, počet zůstávajících roků života a střední délka života. Některé veličiny v úmrtnostních tabulkách rozeberu postupně podrobněji: • První sloupec zachycuje věk osoby x a x ∈ {0,1...,ϖ }, ω je maximální věk v úmrtnostní tabulce, obvykle bývá pevně stanoven hodnotou 103 nebo 105, i když se osoby dožívají i vyššího věku. Někdy bývají tabulky upraveny tak, že hodnoty x začínají v 18 letech. Tento případ nastává v případě vyššího vstupního věku pojištěného. • Počet osob žijících ve věku x vyjadřuje lx . Začíná se hodnotou l0 neboli kořenem úmrtnostní tabulky, který reprezentuje úvodní počet osob modeω lového souboru. Posloupnost {l x }0 se nazývá funkce přežití. Příklad funkce pro muže a ženy pro úmrtnostní tabulky zveřejněné ČSÚ pro rok 2011 jsou zachyceny na Obr. 1.


17

lx počet osob žijících ve věku x

Funkce přežití pro ČR v roce 2011 120000 100000 Funkce přežití pro ženy

80000 60000

Funkce přežití pro muže

40000 20000 0 0

10

Obr. 1

20

30

40

50 60 věk x

70

80

90 100

Funkce přežití pro muže a ženy v roce 2011

• Zároveň bývá v tabulce i uváděn počet osob, které zemřou ve věku x. Počet zemřelých je značen dx a jeho hodnota je rovna rozdílu počtu osob žijících ve věku x+1 a x.

d x = l x+1 − l x

(1)

• Pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku x+1, neboli roční míru dožití, najdeme v tabulce ve sloupci označeném jako px. Její hodnota je rovna podílu osob žijících ve věku x+1 a ve věku x.

px =

l x +1 lx

(2)

Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že se 30letý muž dožije 31 let. Řešení:

p 30 =

l 31 98380 = = 0,999072 ⇒ 99,9072 % l 30 98471

Pravděpodobnost, že se muž dožije dalšího roku je 99,907 %. • Označení qx vyjadřuje pravděpodobnost, že se x-letá osoba nedožije věku x+1 a její odvození vypadá následovně:

18


px + qx =1 qx =1− px =1−

lx+1 lx −lx+1 dx = = lx lx lx

(3)

Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že se 30letý muž nedožije 31 let. Řešení: q30 = 1 − 0,999072 = 0,000928 ⇒ 0,0928%

d 30 91 = = 0,000928 ⇒ 0,0928% l30 98471 Pravděpodobnost, že se muž nedožije dalšího roku je menší než 0,1 %. q30 =

Někdy se používají i další pravděpodobnosti, příkladem jsou následující dva vztahy: • Pravděpodobnost toho, že se osoba ve věku x dožije dalších n let, tedy že se dožije věku x+n.

n

p x = px p x+1... p x+n−1 =

l x+n lx

(4)

• Pravděpodobnost toho, že se osoba ve věku x nedožije věku x+n.

n

q x = 1 − p x+n =

l x − l x+n lx

(5)

Příklad: Pro 30 ti letého muže spočítejte následující pravděpodobnosti: a) pravděpodobnost, že se muž dožije 35 let. b) pravděpodobnost, že se muž nedožije 35 let. Řešení: n=10 x=30

l35 98004 = = 0,995258 ⇒ 99,5258% l30 98471 b) 5 q30 = 1− 5 p30 = 1 − 0,995258 = 0,004742 ⇒ 0,4742% a) 5 p30 =

5

q30 =

l30 − l35 98471 − 98004 91 = = = 0,004742 ⇒ 0,4742% l30 98471 98471

Pravděpodobnost, že se muž dožije přežije následujících pět let je 99,52 % a 0,4742 %, že během nich zemře.


19

4.2 Komutační čísla Při výpočtech se často opakují některé výrazy, proto se zavádějí komutační čísla. Hodnota komutačního čísla se odvíjí od úmrtnostní tabulky a výši technické úrokové míry. První komutační číslo Dx vyjadřuje diskontovaný počet osob ve věku x. Pro zjednodušení se předpokládá, že všechny osoby se narodili 1.1. a zemřou 31.12., proto je druhé komutační číslo Cx diskotováno pomocí hodnoty vx+1. Tab. 2

Komutační čísla

Komutační čísla pro živé Dx = l x v x ω−x

Komutační čísla pro mrtvé C x = d x v x +1 ω−x

N x = ∑ D x +i

M x = ∑ C x +i I

ω−x

ω−x

i =0

i =0

S x = ∑ N x+i

R x = ∑ M x +i

i =0

i =0

Pro výpočet diskontní faktoru v platí:

v=

1 , kde 1+ i

(6)

i je (technická) úroková míra.

4.3 Výpočet pojistného v pojištění osob Při výpočtu pojistného je důležité pevně určit typ pojištění, pohlaví pojištěného, věk pojištěného, způsob placení pojistného, vybrat úmrtnostní tabulky a zjistit úrokovou míru. V rámci pojištění osob je možné uzavřít pojištění pro případ smrti, pojištění dožití, smíšené pojištění nebo důchodové pojištění. Jak je z názvu patrné, v případě pojištění pro případ smrti dostávají oprávněné osoby v případě smrti pojištěného pojistnou částku. U pojištění dožití je pojistnou událostí dožití pojištěného věku určeného v pojistné smlouvě. Smíšené pojištění je potom kombinací obou zmíněných pojištění. Důchodové pojištění je zvláštním typem pojištění, kdy je pojištěnému vyplácena pravidelná částka. Pojistné (brutto pojistné) je tvořeno dvěma složkami, a to netto (čistým) pojistným a náklady pojišťovny. Pojistné rozlišujeme jednorázové a běžné. Při jednorázovém pojistném je celé pojistné uhrazeno najednou a při běžném pojistném se obvykle částka platí jedenkrát ročně popřípadě področně (měsíčně, čtvrtletně apod.)

20


4.4 Principy v pojištění osob Princip solidarity v pojištění znamená, že pojištění projevují solidaritu vůči poškozenému. Při výpočtech pojistného vycházíme ale ze dvou dalších principů, a to principu fiktivního souboru a z principu ekvivalence. Při výpočtu pojistného se vychází z principu ekvivalence, což je předpoklad, že současné hodnoty příjmů a výdajů pojišťovny jsou si rovny. Z tohoto principu vycházejí rovnice ekvivalence, kdy se pokládají příjmy rovny výdajům pojišťovny diskontované ke stejnému datu. V principu fiktivního souboru je skryt předpoklad, že pojištění vždy uzavřou všechny osoby ve věku x, tedy pojištění uzavře lx osob dle používaných úmrtnostních tabulek.

4.5 Pojištění na dožití Uzavře-li klient ve věku x pojištění na dožití věku x+n, tak je pojistnou událostí věk x+n, kdy je vyplacena pojistná částka PČ. Pojištění budu označovat n E x . Odvození výpočtu pojistného: Při odvozeních budu nadále používat PČ= 1p.j. a vždy budou z rovnice ekvivalence Výsledkem je tedy jednorázové netto pojistné pro pojistnou částku 1 Kč. Vynásobíme-li pravou stranou pojistnou částkou dostaneme netto pojistné, které budu značit π ( ) , kde je v závorce zdůrazněn typ pojištění. Rovnice ekvivalence: l x ⋅ n E x = 1 ⋅ l x + n ⋅ v n Rovnice ekvivalence vychází z toho, že příjmy a výdaje pojišťovny si musí být rovny. Na levé straně je příjem pojišťovny z pojistky vynásobené počtem osob, které uzavřou pojištění. Z předpokladu fiktivního souboru vyplývá, že pojištění uzavře lx osob. Na pravé straně jsou výdaje pojišťovny, což představuje diskontované pojistné plnění. Pojišťovna vyplatí pojistnou částku klientům, kteří se dožijí věku x+n, proto PČ vynásobíme hodnotou lx+n diskontovanou k počátku pojištění. Z rovnice ekvivalence je možné odvodit vzorec s použitím pravděpodobností nebo komutačních čísel. Pravděpodobnostní vzorec: l x ⋅n E x = 1 ⋅ l x + n ⋅ v n

l x ⋅n E x l x+n ⋅ v = lx lx l x+n n ⋅v lx

n

Ex =

n

Ex =n px ⋅ v n

n

/÷ l x


21

Pokud bychom chtěli zjistit jednorázové netto pojistné Π ( n E x ) , používáme následující vzorec:

Π( n E x )= n p x ⋅ v n ⋅ PČ Vzorec s použitím komutačních čísel: l x ⋅n E x = 1 ⋅ l x +n ⋅ v n

(7)

/⋅ v x

l x ⋅ v x ⋅n E x = l x+n ⋅ v n ⋅ v x l x ⋅ v x ⋅n E x = l x+n ⋅ v x+n Dx ⋅n E x = Dx+n Dx+n Dx Vzorec pro jednorázové netto pojistné Π ( n E x ) vypadá následovně: n

Ex =

Π(n Ex ) =

Dx+n ⋅ PČ Dx

(8)

Stejným způsob je možné odvodit i ostatní vzorce v pojištění osob, proto se odvozením u ostatních pojištění nebudu zabývat tak podrobně. Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že se 30 letý muž nedožije 31 let. Řešení: q30 = 1 − 0,999072 = 0,000928 ⇒ 0,0928%

d 30 91 = = 0,000928 ⇒ 0,0928% l30 98471 Pravděpodobnost, že se muž nedožije dalšího roku je menší než 0,1 %. q30 =

4.6 Pojištění důchodů Pojištění důchodu představuje ve své podstatě sérii za sebou jdoucích pojištění na dožití. Pojištěnému, popřípadě oprávněným osobám, jsou při splněné podmínek definovaných pojistnou smlouvou vypláceny pravidelné částky-důchod. Pokud není sjednána garance, je důchod vyplácen jen během života pojištěného. Podle toho, kdy je částka vyplácena, rozlišujeme důchod předlhůtní a polhůtní. Předlhůtní důchod je vyplácen vždy na začátku smluveného období, polhůtní je vyplácen na konci období. V textu budu značit polhůtní důchod äx a předlhůtní ax. Dále rozlišujeme důchod bezprostřední a odložený. V případě bezprostředního důchodu výplata proběhne během prvního úrokovacího období po sepsání

22


smlouvy, u odloženého důchodu je první výplata odložená o k úrokovacích období. Jak již bylo zmíněno, výplata dávek obvykle končí úmrtím pojištěného. V tom případě mluvíme o doživotním důchodu. Další možností je dočasný důchod, kdy k výplatě dochází pouze po určitou dobu n. Často pojišťovny nabízí i důchod s garancí výplaty. Po dobu garance bude důchod vyplácen i v případě úmrtní pojištěné osoby. 4.6.1

Doživotní důchod

Doživotní důchod je vyplácen pravidelně po dobu života klienta. Nyní se budu zabývat různými typy doživotního důchodu. Prvně budou rozebrány důchody předlhůtní a potom polhůtní. Budou zmíněny i vzorce pro odložený důchod a důchod s garancí výplaty. Doživotní důchod předlhůtní äx Pravděpodobnostní vzorec: ω−x

Π(a&&x ) = PČ ∑ t p x ⋅ v t

(9)

t =0

Vzorec pomocí komutačních čísel: Π(a&&x ) =

Nx ⋅ PČ Dx

(10)

Uzavře-li x-letá osoba pojištění důchodu, s tím že první výplatu neobdrží okamžitě, ale až za k let po uzavření pojistné smlouvy, mluvíme o doživotním důchodu odloženém o „k“ roků a značíme jej k a&&x . Pravděpodobnostní vzorec: ω−x

Π( k a&&x ) = PČ ∑ t p x ⋅ v t

(11)

t =k

Vzorec pomocí komutačních čísel:

Π( k a&&x ) =

N x+k ⋅ PČ Dx

(12)

Často je využívána i možnost garance vyplacení důchodu po dobu n let. Důchod je vyplacen i v případě úmrtní pojištěného.


23

Pravděpodobnostní vzorec:  v n − 1 ω−x  Π = PČ ⋅  + ∑ t p x ⋅ v t   v − 1 t =n 

(13)

Vzorec pomocí komutačních čísel:  v n − 1 N x+n Π =  + Dx  v −1

  ⋅ P Č 

(14)

Existují i další typy doživotního důchodu jako například důchod s klesající popřípadě rostoucí pojistnou částkou. Tyto typy jsou ale v praxi méně využívány, proto se jimi nebudu zabývat hlouběji. Doživotní důchod polhůtní ax Nyní se budu věnovat případu, kdy je důchod vyplácen vždy na konci roku, u kterého uvedu pouze základní vzorec pro výpočet důchodu. Pravděpodobnostní vzorec: ω−x

Π(a x ) = PČ ⋅ ∑ t p x ⋅ v t

(15)

t =1


Π(ax ) = 4.6.2

N x+1 ⋅ PČ Dx

(16)

Dočasný důchod

Dočasný důchod spočívá v omezení maximální délky doby výplaty, tedy částka je vyplácena maximálně po dobu m. Dočasný důchod předlhůtní äxm Pravděpodobnostní vzorec: m−1

Π(a&&xm ) = PČ ⋅ ∑ t p x ⋅ v t

(17)

t =0


Π(a&&xm ) =

N x − N x+m ⋅ PČ Dx

(18)

24


Dočasný důchod polhůtní axm Pravděpodobnostní vzorec: m

Π(a xm ) = PČ ⋅ ∑ t px ⋅ v t

(19)

t =1


Π(a xm ) = 4.6.3

N x+1 − N x+m+1 ⋅ PČ Dx

(20)

Důchod vyplácený področně

V předchozích příkladech byl důchod vyplácen jednou ročně, často je však důchod vyplácen častěji než jednou za rok. Při výplatě m-krát za rok za předpokladu rovnoměrného rozložení úmrtí dostaneme následující vzorce pro roční součet důchodu: Tab. 3

Vzorce pro důchod vyplácený področně

Důchod Předlhůtní Polhůtní

Doživotní m −1 a&&x(m ) =& a&&x − 2m m −1 a x(m ) =& a x + 2m

Dočasný m −1 I a&&x(mn ) =& a&&x − ⋅ (1− n E x ) 2m m −1 a x(mn ) =& a x + ⋅ (1− n E x ) 2m

Výsledek je potřeba vydělit počtem výplat v jednom roce neboli hodnotou m, abychom dostali částku, kterou bude klient pravidelně dostávat.

4.7 Pojištění pro případ smrti U pojištění pro případ smrti je pojistnou událostní smrt pojištěné osoby. V případě úmrtí pojištěného je na konci roku, kdy úmrtí nastalo, vyplacena pojistná částka dědicům nebo určeným osobám. Pravděpodobnostní vzorec: ω−x

Ax = PČ ⋅ ∑ t p x ⋅ q x+t ⋅ v t +1 t =0

(21)


25


Ax = PČ ⋅

Mx Dx

(22)

Někdy je pro klienta výhodnější omezit dobu pojištění na n let. Například živitel rodiny může tento typ pojištění využít, aby zajistil svou rodinu po dobu předpokládaného studia dětí. Pravděpodobnostní vzorec: n−1

A1x n = PČ ⋅ ∑ t p x ⋅ q x+t ⋅ v t +1

(23)

t =0


A1x n = PČ ⋅

M x − M x+n Dx

(24)

V praxi je velmi časté pojištění pro případ smrti s klesající pojistnou částkou například ve spojení s úvěrem, kdy pojistná částka klesá podle výše dlužné částky. Pojištění je možné také odložit o k let, popřípadě uzavřít smlouvu s rostoucí pojistnou částkou.

4.8 Smíšené pojištění Asi nejpopulárnějším typem pojištění je pojištění smíšené. Jedná se o kombinaci pojištění dožití věku x+n a dočasné pojištění pro případ smrti trvající n let. Pokud si klient přeje nastavit stejnou pojistnou částku pro případ úmrtí i pro případ dožití (označení Ax n ) vypadají vzorce následovně: Pravděpodobnostní vzorec: n−1   Ax n =  n p x ⋅ v n + ∑ t p x ⋅ q x+t ⋅ v t +1  ⋅ PČ t =0  

(25)

26



 M − M x+n + Dx+n   ⋅ PČ Ax n =  x Dx  

(26)

V případě volby rozdílných pojistných částek pro úmrtí a pro dožití je potřeba vzorce upravit: Pravděpodobnostní vzorec: n−1

Ax n = PČDOŽITÍ ⋅n p x ⋅ v + PČSMRT ∑ t p x ⋅ q x+t ⋅ v t +1 n

(27)

t =0


Ax n =

⋅ PČÚMRTÍ ⋅ (M x − M x+n ) + ⋅PČDOŽITÍ ⋅ Dx+n Dx

(28)


27

5 Aplikace pojistné matematiky V této kapitole se budu věnovat aplikaci pojistné matematiky ve výpočtech penze z penzijního připojištění. Vzhledem ke změnám, které v současné době probíhají v ČR v rámci důchodové reformy, se zvyšuje prodej penzijních připojištění a s tím roste i objem uzavřených smluv penzijního připojištění pojišťovacími zprostředkovateli. V rámci prodeje byl jedním z parametrů pro odlišení výhodnosti penzijního fondu používána i výše vyplacené doživotní renty. Prodejci často argumentovali výši penze bez znalosti toho, jak se výpočet provádí a na jakých parametrech závisí. Často docházeli k mylným závěrům, protože v případě smluv uzavřených na delší dobu, není možné počítat s penzí vypočítanou při uzavření smlouvy. Výše konkrétní penze je totiž ovlivněna úmrtnostními tabulkami a technickou úrokovou mírou používanou v okamžiku výpočtu penze. Prvně se budu věnovat penzijním fondům všeobecně, pak způsobům vyplacení prostředků a výpočtům výše penzí u jednotlivých fondů. Na závěr rozeberu zjištěné výsledky.

5.1

Penzijní fondy

Penzijní připojištění je dobrovolné spoření podporované státem upravené zákonem č.42/1994 Sb., v platném znění. Na individuální účet účastníka jsou připisovány vlastní příspěvky, příspěvky zaměstnavatele, státní podpora a podíly na výnosech. Vlivem důchodové reformy bylo během prvních 3. čtvrtletí roku 2012 uzavřeno více než 511 000 nových smluv. Změnu počtu smluv na konci roku 2011 a v prvním čtvrtletí 2012 zachycuje tabulka Počet aktivních účastníků penzijního připojištění. Do konce listopadu bylo možné uzavřít penzijní připojištění, které garantuje nezáporné zhodnocení s možností sjednání výsluhové penze, proto je předpokládán v závěru roku 2012 ještě větší objem uzavření nových smluv. Důchodovou reformu upravují tyto zákony: • Zákon č. 426/2011 Sb., o důchodovém spoření, • Zákon č. 427/2011 Sb. o doplňkovém penzijním spoření, • Zákon č. 428/2011 Sb., kterým se mění některé zákony v souvislosti s přijetím zákona o důchodovém spoření a zákona o doplňkovém penzijním spoření.

28


Tab. 4

Počet aktivních účastníků penzijního připojištění

Počet aktivních účastníků 4. čtvrtletí 2011 1.čtvrtletí 2012 114 521 102 421 AEGON PF 212 156 305 574 Allianz PF 472 169 462 479 AXA PF 721 634 715 606 ČSOB PF STABIL 62 087 64 068 GENERALI PF 408 312 402 151 ING PG 1 162 495 1 162 498 PF České pojišťovny 938 209 957 331 PF České spořitelny 507 626 515 150 PF Komerční banky 4 599 209 4 687 278 Celkem Zdroj: Asociace penzijních fondů Penzijní fond

Rozdíl v % -10,56% 44,03% -2,05% -0,83% 3,19% -1,51% 0% 2,04% 1,48% 1,91%

5.2 Druhy penzí vyplácených penzijními fondy V této kapitole rozeberu nabídku penzí poskytovaných penzijními fondy a formy výplaty dávek. Druhy penzí v systému penzijního připojištění: • Starobní penze je sjednávána vždy a náleží výhradně účastníkovi. Nárok na ni získá účastník nejdříve ve věku 60 let, pokud platil příspěvky alespoň 60 kalendářních měsíců. • Sjednání invalidní penze je dobrovolné a výplata penze náleží pouze účastníkovi. Jejím přiznání zaniká nárok na vyplacení starobní penze. Nárok na penzi vzniká pouze v případě sjednání ve smlouvě, běží-li smlouva alespoň 36 měsíců a minimálně stejně dlouhou dobu jsou placené i příspěvky. Nárok na penzi vzniká ve chvíli, kdy je účastníkovi přiznán plný invalidní důchod z důchodového pojištění. • Výsluhová penze je dalším typem penze, kterou je možné v rámci smlouvy o penzijním připojištění sjednat. Podmínkou výplaty penze je trvání smlouvy alespoň 180 měsíců a možné je vybrat až 50% prostředků evidovaných na individuálním účtu účastníka. • Pozůstalostní penze náleží ve smlouvě uvedeným oprávněným osobám, pokud smlouva trvá alespoň tři roky.

Formy výplaty dávek: • Doživotní penze je vyplácena pravidelně po celou dobu života účastníka. • Jednorázové vyrovnání je způsob, kdy jsou prostředky vyplaceny jednorázově.


29

• Odbytné náleží účastníkovi, který platil příspěvky alespoň po dobu 36 měsíců. V případě vyplacení odbytného musí být smlouva ukončena výpovědí nebo dohodou. Vyplaceny jsou příspěvky účastníka a příslušné podíly na výnosech.

Pro výpočty penzí budou použity technické úrokové míry uvedené v následující tabulce. Tab. 5

Technické úrokové míry a typy úmrtnostních tabulek jednotlivých fondů

Penzijní fond AEGON PF Allianz PF AXA PF ČSOB PF STABIL GENERALI PF ING PF PF České pojišťovny PF České spořitelny PF Komerční banky 5.2.1

Úmrtnostní tabulky přepočtené nezveřejňuje Přepočtené ČSÚ Přepočtené ČSÚ Přepočtené Přepočtené přepočtené

Technická úroková míra 2% nezveřejňuje 1,4% 2% 2% 0,5% 2% 1,5% 0,75%

Penzijní fond České pojišťovny

Největším penzijním fondem u nás je PF České pojišťovny. Jediným akcionářem je České pojišťovna a fond i pojišťovna je součástí Generali PPF Holdingu. V jeho správě je téměř 1,2 miliónů smluv představujících prostředky v objemu 55 miliard korun. Nyní se budu věnovat výpočtu celoživotní penze. Dle přílohy k penzijnímu plánu č. 6 lze výše doživotní roční penze P získat z následujícího vzorce, kde K jsou všechny prostředky evidované ve prospěch klienta a ax je počáteční hodnota jednotkového doživotního důchodu vypočítaného dle vzorce (10): P=

K ax

(29)

Výpočet měsíční penze provedu na základě vzorce: 1 P (m ) =   ⋅ P  m

(30)

Při výpočtu byly použity upravené úmrtnostní tabulky zveřejněné na stránkách Penzijního fondu České Pojišťovny a technická úroková míra 2%.

30


Vypočtené penze zaokrouhlené na celé koruny pro klienta A zachycuje pro různé výše naspořených prostředků následující tabulka: Tab. 6

Výše doživotní penze u PF ČP pro klienta A

Výše naspořených prostředků 100 000 Kč 200 000 Kč 300 000 Kč 400 000 Kč 500 000 Kč 600 000 Kč 700 000 Kč 800 000 Kč 900 000 Kč 1 000 000 Kč

Roční doživotní penze 5 599 Kč 11 198 Kč 16 797 Kč 22 396 Kč 27 995 Kč 33 594 Kč 39 193 Kč 44 792 Kč 50 391 Kč 55 990 Kč

Měsíční doživotní penze 467 Kč 933 Kč 1 400 Kč 1 866 Kč 2 333 Kč 2 799 Kč 3 266 Kč 3 733 Kč 4 199 Kč 4 666 Kč

Výše naspořené částky představuje jednorázové vyrovnání, pro které se klient může také rozhodnout. Budeme-li uvažovat případ, kdy by bylo jednorázové vyrovnání 1 000 000 Kč a pomineme-li inflaci a možností zhodnocení prostředků, bude stejný objem prostředků jako při jednorázovém vyrovnání vyplacen klientovy A až v 78 letech. Součet vyplacených prostředků v podobě penze v jednotlivých letech zachycuje Obr. 2, kde je pro porovnání i jednorázové vyrovnání. Z grafu je možné vyčíst, kdy součet výplat převýší jednorázové vyrovnání, tedy až po 18 letech výplaty penze. Porovnání jednorázového vyrovnání a doživotní penze

Objem vyplacených prostředků

2 500 000 Kč 2 000 000 Kč Jednorázové vyrovnání

1 500 000 Kč

Součet výplat doživotní renty

1 000 000 Kč 500 000 Kč 0 Kč 61

66

71

76

81

86

91

96

Věk účastníka

Obr. 2

Graf doživotní renty a jednorázového vyrovnání klienta A u Penzijního fondu České pojišťovny


31

Nyní se budu pomocí stejných vzorců věnovat vypočtu penzí pro klienta B. Tab. 7

Výše doživotní penze u PF ČP pro klienta B


Roční doživotní penze 4 942 Kč 9 885 Kč 14 827 Kč 19 770 Kč 24 712 Kč 29 654 Kč 34 597 Kč 39 539 Kč 44 482 Kč 49 424 Kč

Měsíční doživotní penze 412 Kč 824 Kč 1 236 Kč 1 647 Kč 2 059 Kč 2 471 Kč 2 883 Kč 3 295 Kč 3 707 Kč 4 119 Kč

Jak je z tabulky patrné, za stejných podmínek dochází u žen k vyplácení nižších částek než u mužů. To je způsobeno všeobecně známým faktem, že ženy se dožívají vyššího věku. Porovnáme-li výplatu muže a ženy při naspořené částce 1 000 000 Kč v 60 letech dostanou za dvacet let vyplaceno dohromady 1 119 799 Kč (muž) a 988 481 Kč (žena), rozdíl je tedy po 20 letech vyplácení penze 131 319 Kč. Na Obr. 3 je vidět porovnání vyplacené penze a jednorázového vyrovnání při naspořené částce 1 000 000 Kč v 60 letec. Po 21 letech bude vyplaceno přibližně 1 037 905 Kč, pokud bude žena žít déle než 80 let, bude ji vyplacena částka vyšší, než by získala jednorázovým vyrovnáním. Porovnání jednorázového vyrovnání a doživotní penze

Výše vyplacených prostředků

2500000 2000000 1500000

Jednorázové vyrovnání

1000000

Součet výplat doživotní penze

500000 0 61

71

81

91

Věk účastníka

Obr. 3

Graf doživotní měsíční renty a jednorázového vyrovnání u Penzijního fondu České pojišťovny

32


5.2.2

Penzijní fond České spořitelny

Penzijní fond České spořitelny zahájil svou činnost v ČR roku 1995. Již dvanáct let je členem středoevropské skupiny Erste Bank. Fond si stabilně drží druhé místo v počtu klientů. Penzijní fond nezveřejňuje úmrtnostní tabulky, proto byly pro výpočet použity tabulky publikované Českým statistickým úřadem pro rok 2011, z kterých fond vychází. Technická úroková míra, kterou fond pro výpočet penzí používá je 1,5 %. Dle přílohy k Penzijnímu plánu č.4 je výše doživotní penze (starobní, výsluhové, invalidní) vypočítána podle vzorce:

P (12) =

S 1 ⋅ (12) ,kde (31) (12) (12) (12) 12 a&&x+u + D1 Ax+u ⋅ a&&k1 + D2 a&&k2 − a&&x(12+u):k2 + D3 a&&y(12+ s) − a&&x(12+u), y + s

(

)

(

)

(

)

P (12 ) je výše penze vyplácené měsíčně, x + u je přesný věk klienta, S je stav účtu účastníka v době výpočtu penze, D1 určuje, zda-li je sjednána pozůstalostní penze na dobu k1, D2 určuje, zda-li je sjednána garance minimální doby výplaty penze na dobu k2, D3 určuje, zda-li je sjednána doživotní pozůstalostní penze a y+s je věk oprávněné osoby. Platí Di = 0 , není-li prvek sjednán a Di = 1 , je-li sjednán. Protože budu po-

čítat doživotní starobní penzi, položím D1, 2,3 = 0 , abych mohla vypočítat měsíční penzi. Výsledky v podobě měsíční doživotní penze v obou modelových příkladech zachycuje následující tabulka: Tab. 8

Výše měsíční doživotní penze u Penzijního fondu České spořitelny


Měsíční doživotní penze pro klienta A 504 Kč 1 008 Kč 1 513 Kč 2 017 Kč 2 521 Kč 3 025 Kč 3 530 Kč 4 034 Kč 4 538 Kč 5 042 Kč

Měsíční doživotní penze pro klienta B 425 Kč 851 Kč 1 276 Kč 1 702 Kč 2 127 Kč 2 553 Kč 2 978 Kč 3 403 Kč 3 829 Kč 4 254 Kč


33

Pro lepší porovnání vztahu vyplácené renty na objemu naspořených prostředků je závislost zachycena v Obr. 4 zvlášť pro penzi vypočítanou pro muže ve věku 60 let a pro ženu stejného věku. Výše doživotní penze v závislosti na výši naspořených prostředků 6 000 Kč

Výše měsíční renty

5 000 Kč 4 000 Kč Muži

3 000 Kč

Ženy

2 000 Kč 1 000 Kč 0 Kč 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Objem naspořených prostředků v tisicích Kč

Obr. 4

Graf doživotní měsíční renty v závislosti na objemu nespořených prostředků u Penzijního fondu České pojišťovny

5.2.3

Penzijní fond Komerční banky

Penzijní fond Komerční banky vstoupil na trh roku 1996 a disponuje druhým největším základním kapitálem. V počtu klientů je fond na třetím místě a spravuje 11% smluv představujících předběžně 13,6% objemu prostředků všech účastníků penzijního připojištění. Od roku 2006 je fond součástí finanční skupiny Sociéte Générale. Pro výpočet penzí byla použita technická úroková míra 0,75% a fondem přepočtené úmrtnostní tabulky zveřejněné na internetových stránkách fondu. Výpočet doživotní penze byl proveden na základě výpočetních formulí pro stanovení dávek penzijního připojištění uvedených v příloze Penzijního plánu č. 4. Výpočet penze se řídí vzorcem: P=

CVP ,kde 12 ⋅ a&&x(12)

(32)

P je výše penze vyplácené měsíčně, CVP je celková výše prostředků, z nichž je stanovena penze, a&&x(12 ) je počáteční hodnota jednotkového měsíčně předlhůtně vypláceného důchodu.

34


Platí a&&x(12) =

N x 11 , což znamená, že fond zohledňuje področní vyplácení − Dx 24

důchodu. Tab. 9

Výše měsíční doživotní penze u PF Komerční banky


Měsíční doživotní penze pro klienta A 484 Kč 968 Kč 1 452 Kč 1 937 Kč 2 421 Kč 2 905 Kč 3 389 Kč 3 873 Kč 4 357 Kč 4 842 Kč

Měsíční doživotní penze pro klienta B 399 Kč 799 Kč 1 198 Kč 1 598 Kč 1 997 Kč 2 397 Kč 2 796 Kč 3 196 Kč 3 595 Kč 3 995 Kč

Porovnání součtu výplat pro může a ženy při naspořené částce 1 000 000 Kč zachycuje Obr. 5, z kterého je patrné, že mužům je vyplacena vyšší částka.

Porovnání jednorázového vyrovnání a doživotní penze Objem vyplacených prostředků

2 500 000 Kč Jednorázové vyrovnání

2 000 000 Kč 1 500 000 Kč

Součet výplat doživotní renty (muži) Součet výplat doživotní renty (ženy)

1 000 000 Kč 500 000 Kč 0 Kč 61 66 71 76 81 86 91 96 Věk účastníka

Obr. 5

Graf doživotní penze a jednorázového vyrovnání klienta B u Penzijního fondu Komerční banky


5.2.4

35

ČSOB penzijní fond Stability

ČSOB penzijní fond Stabilita, a.s. je členem skupiny ČSOB a na české trhu penzijního připojištění působí od roku 1994. ČSOB penzijní fond Stabilita jako jeden z mála fondů používá při výpočtech penze aktuální úmrtnostní tabulky ČSÚ, i když v penzijním programu má možnost využití přepočtených tabulek uvedenu. Při výpočtu penze byla použita technická úroková míra 2%. Fond nabízí při doživotní penzí i mimořádnou první splátku ve výši až 1/3 naspořených prostředků. Výpočet roční penze P je založen na vzorci:

P=

(1 − MZk ) ⋅VZk ⋅ Dx N x + b ⋅ Lk ⋅ M x

, kde

(33)

P je výše roční penze, MZ k je podíl první splátky na celkovém objemu naspořených prostředků, VZ k je stav účtu účastníka v době výpočtu penze, b je koeficient, který určuje, zda je či není sjednána pozůstalostní penze ( b = 0 není-li penze sjednána, b = 1 je-li sjednána), L x je doba v letech, na kterou je sjednána pozůstalostní penze L x ∈ 2;20 .

Protože nás zajímá doživotní penze, položíme MZ k = 0 a b = 0 , protože uvažujeme případ, kdy není sjednána pozůstalostní penze. Fond nabízí možnost výplaty penze ročně, měsíčně, čtvrtletně nebo pololetně. V tom případě je výplata penze vypočítána dle vzorce (30). Fond vyplácí při področní penzi pouze příslušnou poměrnou část. Jednotlivé výše výplat penzí pro modelové klienty A a B zachycují pro různé četnosti výplaty Tab. 10 a Tab. 11. Tab. 10

Výše doživotní penze u ČSOB PF Stabilita pro klienta A


Roční penze

Pololetní penze

Čtvrtletní penze

Měsíční penze

6 364 Kč 12 729 Kč 19 093 Kč 25 458 Kč 31 822 Kč 38 187 Kč 44 551 Kč 50 916 Kč 57 280 Kč 63 645 Kč



530 Kč 1 061 Kč 1 591 Kč 2 121 Kč 2 652 Kč 3 182 Kč 3 713 Kč 4 243 Kč 4 773 Kč 5 304 Kč

36 Tab. 11

Aplikace pojistné matematiky Výše doživotní penze u ČSOB PF Stabilita pro klienta B

Výše naspořených prostředků 100 000 Kč 200 000 Kč 300 000 Kč 400 000 Kč 500 000 Kč 600 000 Kč 700 000 Kč 800 000 Kč 900 000 Kč 1 000 000 Kč 5.2.5

Roční penze

Pololetní penze

Čtvrtletní penze

Měsíční penze




450 Kč 901 Kč 1 351 Kč 1 801 Kč 2 252 Kč 2 702 Kč 3 152 Kč 3 603 Kč 4 053 Kč 4 503 Kč

ING penzijní fond

ING penzijní fond vznikl v roce 1995 tehdy ještě pod názvem Průmyslový penzijní fond a je členem finanční skupiny ING, jejíž původ bychom našli v Holandsku a v současnosti poskytuje služby ve více než 40 zemích světa. Fond nabízí několik variant výplaty penzí (doživotní penze pro účastníka, doživotní penze s garantovanou dobou výplaty, doživotní penze pro účastníka a oprávněnou osobu, doživotní penze pro účastníka a oprávněnou osobu s garantovanou dobou výplaty, variabilní doživotní penze pro účastníka a oprávněnou osobu, variabilní doživotní penze pro účastníka a oprávněnou osobu s garantovanou dobou výplaty, doživotní penze s garantovanou dobou výplaty pro oprávněné osoby). Kvůli srovnání s ostatními fondy, budu počítat doživotní penzi pro účastníka. Pro požadovanou penzi je roční penze vyplácená v m dávkách za rok polhůtně rovna: P=

K SUM − PP , kde a

(34)

P je výše penze vyplácené měsíčně, K SUM je hodnota jednorázového vyrovnání, PP je výše první zvýšené splátky penze, a je počáteční hodnota zvolené penze. Kde počáteční hodnota jednotkové doživotního důchodu je vypočítána jako: a = ax(m) =

N x+1 m − 1 + Dx 2m

(35)


37

Fond používá při výpočtech tabulky ČSÚ a technickou úrokovou míru 0,5%. Nejprve vypočítám roční penze pro jednotlivé frekvence výplat, které budu muset vydělit počtem výplat během jednoho roku. Výsledky jsou zaneseny v Tab. 12 a Tab. 13. Tab. 12

Výše doživotní roční penze u ING PF pro klienta A

Výše naspořených prostředků

Roční penze

100 000 Kč 200 000 Kč 300 000 Kč 400 000 Kč 500 000 Kč 600 000 Kč 700 000 Kč 800 000 Kč 900 000 Kč 1 000 000 Kč


Tab. 13

Roční penze vyplácená pololetně 5 671 Kč 11 342 Kč 17 014 Kč 22 685 Kč 28 356 Kč 34 027 Kč 39 698 Kč 45 370 Kč 51 041 Kč 56 712 Kč

Roční penze vyplácená čtvrtletně 5 631 Kč 11 263 Kč 16 894 Kč 22 525 Kč 28 156 Kč 33 788 Kč 39 419 Kč 45 050 Kč 50 682 Kč 56 313 Kč

Roční penze vyplácená měsíčně 5 605 Kč 11 210 Kč 16 815 Kč 22 420 Kč 28 025 Kč 33 630 Kč 39 235 Kč 44 840 Kč 50 445 Kč 56 050 Kč

Roční penze vyplácená čtvrtletně 4 660 Kč 9 320 Kč 13 980 Kč 18 641 Kč 23 301 Kč 27 961 Kč 32 621 Kč 37 281 Kč 41 941 Kč 46 602 Kč

Roční penze vyplácená měsíčně 4 642 Kč 9 284 Kč 13 926 Kč 18 569 Kč 23 211 Kč 27 853 Kč 32 495 Kč 37 137 Kč 41 779 Kč 46 421 Kč

Výše doživotní roční penze u ING PF pro klienta B

Výše naspořených prostředků

Roční penze

100 000 Kč 200 000 Kč 300 000 Kč 400 000 Kč 500 000 Kč 600 000 Kč 700 000 Kč 800 000 Kč 900 000 Kč 1 000 000 Kč


Roční penze vyplácená pololetně 4 687 Kč 9 375 Kč 14 062 Kč 18 750 Kč 23 437 Kč 28 125 Kč 32 812 Kč 37 500 Kč 42 187 Kč 46 875 Kč

Jak je z tabulky patrné, se zvyšující frekvencí výplaty klesá objem vyplacených prostředků. To je způsobeno tím, že penze je vyplácena polhůtně, tedy na konci období. Porovnáme-li počet živých na začátku a konci roku, dochází vždy k poklesu počtu osob, to pro pojišťovnu znamená, že při polhůtním vyplácení

38


musí vyplatit menší počet penzí než u předlhůtního vyplacení a to přesně o počet osob, které zemřou během výplatního období. Pro porovnaní s ostatními fondy ještě uvedu měsíční penzi. Tab. 14

Výše doživotní měsíční penze u ING PF


5.2.6

Klient A 467 Kč 934 Kč 1 401 Kč 1 868 Kč 2 335 Kč 2 802 Kč 3 270 Kč 3 737 Kč 4 204 Kč 4 671 Kč

Klient B 387 Kč 774 Kč 1 161 Kč 1 547 Kč 1 934 Kč 2 321 Kč 2 708 Kč 3 095 Kč 3 482 Kč 3 868 Kč

Generali penzijní fond

Fond byl založen 25. září 1995. Je součástí skupiny Generali group založené v Itálii již v roce 1831 a působící ve více než 60 zemích světa . Dle přílohy k penzijnímu plánu č. 3 lze výši splátky doživotní penze S získat z následujícího vzorce, kde Kk je součet prostředků evidovaných ve prospěch účastníka, äx je počáteční hodnota jednotkového doživotního důchodu vypočítaného dle vzorce (10), z je počet výplat penzí v kalendářním roce z ∈ {1,2,4,12}: S=

Kk z −1  z ⋅  a&&x −  2z  

(36)

Při výpočtu byly použity upravené úmrtnostní tabulky zveřejněné na stránkách Penzijního fondu Generali a technická úroková míra 2%. Výpočet výše roční, pololetní, čtvrtletní a měsíční penze zaokrouhlené na celé koruny pro klienta A zachycuje pro jednotlivé součty naspořených prostředků následující tabulka:

Aplikace pojistné matematiky Tab. 15

39

Výše doživotní penze u Generali PF pro klienta A


Roční penze

Pololetní penze

Čtvrtletní penze

Měsíční penze




552 Kč 1 105 Kč 1 657 Kč 2 209 Kč 2 762 Kč 3 314 Kč 3 866 Kč 4 419 Kč 4 971 Kč 5 523 Kč

Jak je z tabulky patrné, penzijní fond zohledňuje področní výplatu penze, přihlíží totiž k úmrtím, které proběhnou během roku. Proto je při naspořené částce 100 000 Kč součet výplat měsíčních penzí 6 612 Kč, což je o 221 Kč víc než u penze vyplácené ročně. Porovnání vyplacených prostředků roční penze a jednorázového vyrovnání je na Obr. 6. V grafu je vidět, že součet vyplacených prostředků v podobě penze převýší jednorázové vyrovnání za 16 let.

Porovnání jednorázového vyrovnání a doživotní penze Objem vyplacených prostředků

3 000 000 Kč 2 500 000 Kč Jednorázové vyrovnání

2 000 000 Kč 1 500 000 Kč

Součet výplat doživotní renty

1 000 000 Kč 500 000 Kč 0 Kč 61

66

71

76

81

86

91

96

Věk účastníka Obr. 6

Graf doživotní renty a jednorázového vyrovnání klienta A u Generali penzijního fondu

Stejný postup zvolím i pro výpočet penzí pro rozdílné frekvence výplat klienta B.

40 Tab. 16

Aplikace pojistné matematiky Výše doživotní penze u Generali PF pro klienta B


Roční penze

Pololetní penze

Čtvrtletní penze

Měsíční penze




464 Kč 927 Kč 1 391 Kč 1 855 Kč 2 318 Kč 2 782 Kč 3 246 Kč 3 709 Kč 4 173 Kč 4 637 Kč

Na Obr. 7. je porovnání jednorázového vyrovnání, roční a měsíční výplaty penze při naspořené částce v 60 letech 1 000 000 Kč.

Porovnání jednorázového vyrovnání a doživotní penze

Výše vyplacených prostředků

1200000 1000000

Roční výplata penze

800000

Měsíční výplata penze

600000 400000

Jednorázové vyrovnání

200000 0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Doba výplaty doživotní penze

Obr. 7

Graf jednorázového vyrovnání, doživotní renty vyplácené ročně a měsíčně klienta B u Generali penzijního fondu

Z grafu je vidět, že u měsíční výplaty renty dojde k vyrovnání s jednorázovou výplatou dříve, než v případě roční výplaty penze.


5.2.7

41

AEGON penzijní fond

Společnost AEGON vznikla v roce 1983 splynutím dvou společností v Nizozemí a dnes působí ve 20 zemích. V České republice působí společnost nejen v oblasti penzijního připojištění, ale i v oblasti investic a pojištění. AEGON pojišťovna u nás zahájila činnost v dubnu 2005 a o dva roky později vzniká i penzijní fond. Dle Penzijního plánu č.2 vyplácí doživotní penzi, doživotní penzi se zaručenou dobu výplaty s let ( s=10), doživotní penze s prodlouženou dobou výplaty o n let (n=3), dočasně vyplácená penze (pozůstalostní penze vyplácená podobu n let). Pro výpočet roční penze P z naspořené částky K fond používá vzorec: P=

K a&&x

(37)

Področní penze se vypočítá jako podíl roční penze a počtu výplat penze během jednoho roku (vzorec (30)). Vypočtené penze jsou v Tab.17. Tab. 17

Výše doživotní penze u AEGON PF pro klienta B

Výše naspořených prostředků 100 000 Kč 200 000 Kč 300 000 Kč 400 000 Kč 500 000 Kč 600 000 Kč 700 000 Kč 800 000 Kč 900 000 Kč 1 000 000 Kč 5.2.8

Klient A Roční Měsíční penze penze 6 364 Kč 530 Kč 12 729 Kč 1 061 Kč 19 093 Kč 1 591 Kč 25 458 Kč 2 121 Kč 31 822 Kč 2 652 Kč 38 187 Kč 3 182 Kč 44 551 Kč 3 713 Kč 50 916 Kč 4 243 Kč 57 280 Kč 4 773 Kč 63 645 Kč 5 304 Kč

Klient B Roční Měsíční penze penze 5 404 Kč 450 Kč 10 808 Kč 901 Kč 16 212 Kč 1 351 Kč 21 616 Kč 1 801 Kč 27 020 Kč 2 252 Kč 32 424 Kč 2 702 Kč 37 828 Kč 3 152 Kč 43 232 Kč 3 603 Kč 48 636 Kč 4 053 Kč 54 041 Kč 4 503 Kč

AXA penzijní fond

AXA penzijní fond působí v ČR od roku 1994, do března 2007 na českém trhu působila ještě pod názvem Winterthur penzijní fond. Výše roční předlhůtní penze β se vypočítá dle vztahu: β=

VZ a&&

(38)

Výpočet příslušného důchodu ä pro doživotní penzi pro účastníka ve věku x se řídí vztahem pro počáteční hodnotu jednotkové předlhůtně doživotně vyplácené

42


penze är,n, s očekávanou dobou výplaty r let a pozůstalostní penzí vyplacenou n let:

1 − vr r a&&r,n = + v ⋅ nu 1− v

(39)

Protože neuvažujeme pozůstalostní penzi, musíme zjistit pouze očekávanou dobu výplaty. Ta se zjistí lineární interpolací z hodnot středí doby dožití pro věk x a x+1. Protože fond nezveřejňuje používané úmrtnostní tabulky, vypočteme hodnotu r pro klienta A a klienta B z úmrtnostních tabulek publikovaných Českým statistickým úřadem. Pro klienta A je rA =18,6 let a pro klienta B rB = 22,6 let. S využitím technické úrokové míry 1,4 % byly vypočteny následující penze: Tab. 18

Výše doživotní penze u AXA PF


Klient A Roční Měsíční penze penze 6 065 Kč 505 Kč 12 129 Kč 1 011 Kč 18 194 Kč 1 516 Kč 24 258 Kč 2 022 Kč 30 323 Kč 2 527 Kč 36 388 Kč 3 032 Kč 42 452 Kč 3 538 Kč 48 517 Kč 4 043 Kč 54 581 Kč 4 548 Kč 60 646 Kč 5 054 Kč

Klient B Roční Měsíční penze penze 5 121 Kč 427 Kč 10 243 Kč 854 Kč 15 364 Kč 1 280 Kč 20 486 Kč 1 707 Kč 25 607 Kč 2 134 Kč 30 729 Kč 2 561 Kč 35 850 Kč 2 988 Kč 40 972 Kč 3 414 Kč 46 093 Kč 3 841 Kč 51 214 Kč 4 268 Kč

Výše področní výplaty se vypočítá jako podíl roční penze a m stejně dlouhých výplatních období. 5.2.9

Penzijní fond Allianz

Penzijní fond Allianz byl založen v roce 1997, současný název získal po splynutí Allinz-penzijního fondu a Živnobanka-penzijního fondu. Za první čtvrtletí roku 2012 získal fond více než 100 000 nových klientů, což je v porovnání s ostatními fondy nejvíce. Velký nárůst klientů je přepokládám i během zbytku roku v rámci poslední možnosti sjednat si penzijní připojištění za stávajících podmínek. Svou přízeň si vysloužil hlavně díky zhodnocení 3% p.a., které si dlouhodobě udržuje. Fond nabízí několik druhů penzí (doživotní penze, doživotní penze s pozůstalostní penzí, doživotní penze se zaručenou dobou výplaty s let, doživotní penze se sjednanou částkou pro případ smrti, doživotní penze s lineárně ros-


43

toucí výplatou). Výpočet doživotní penze P z naspořených prostředků ve výši K je prováděn na základě následujícího vzorce: P =

K N D

(40) x x

Protože fond nezveřejňuje technickou úrokovou míru, nemohl být proveden výpočet penzí.

5.3 Zhodnocení zjištěných výsledků Aby bylo možné lépe porovnat penze u jednotlivých fondů shrnu měsíční doživotní penzi pro klienta A a klienta B. Tab. 19

Porovnání měsíční doživotní penze klienta A u jednotlivých fondů

Penzijní fond AEGON PF AXA PF ČSOB PF STABIL GENERALI PF ING PF PF České pojišťovny PF České spořitelny PF Komerční banky

Výše prostředků z nichž je vypočítána penze 100 000 Kč 300 000 Kč 500 000 Kč 1 000 000 Kč 530 Kč 1 591 Kč 2 652 Kč 5 304 Kč 505 Kč 1 516 Kč 2 527 Kč 5 054 Kč 530 Kč 1 591 Kč 2 652 Kč 5 304 Kč 552 Kč 1 657 Kč 2 762 Kč 5 523 Kč 467 Kč 1 401 Kč 2 335 Kč 4 671 Kč 467 Kč 1 400 Kč 2 333 Kč 4 666 Kč 504 Kč 1 513 Kč 2 521 Kč 5 042 Kč 484 Kč 1 452 Kč 2 421 Kč 4 842 Kč

Jak je patrné z tabulky, je rozdíl mezi vyplacenými penzemi značný, i když je penze počítána ze stejného základu, kterým je objem naspořených prostředků. Propast mezi nejnižším a nejvyšším důchodem může být v řádu tisíců ročně. Důsledkem toho mohou být někteří klienti znevýhodněni. Nejlépe vyšla penze pro klienty (muže) u Generali PF a naopak nejhůře PF České pojišťovny. Na tomto případu je vidět, že i v případě stejné technické úrokové míry 2%, může být přiznaná penze rozdílná. Oba fondy používají přepočtené úmrtnostní tabulky, které zveřejňují na internetových stránkách. Rozdílné měsíční penze způsobené rozdílnými úmrtnostními tabulky v ročním porovnáním u naspořené částky 1 000 000 Kč činí 10 284 Kč. Klienti dostanou vyplaceno u Generali PF v průměru o 18,3 % víc než klienti Penzijního fondu České pojišťovny. Parametry, které ovlivňují velikost penze, jsou věk a pohlaví pojištěného (popřípadě oprávněné osoby). Ze strany pojišťovny jsou vypočtené penze ovlivněny hlavně použitými úmrtnostními tabulkami, technickou úrokovou mírou, vyplácením penze (předlhůtní, polhůtní) a způsobem výpočtu področní penze.

44


Důchod vyplácený polhůtně je vyšší, než vyplácený předlhůtně, což je způsobeno navíc vyplacenou první penzí v případě předlhůtní penze hned po sjednání penze. Tab. 20

Porovnání měsíční doživotní penze klienta B u jednotlivých fondů

Penzijní fond AEGON PF AXA PF ČSOB PF STABIL GENERALI PF ING PF PF České pojišťovny PF České spořitelny PF Komerční banky

Výše prostředků z nichž je vypočítána penze 100 000 Kč 300 000 Kč 500 000 Kč 1 000 000 Kč 450 Kč 1 351 Kč 2 252 Kč 4 503 Kč 427 Kč 1 280 Kč 2 134 Kč 4 258 Kč 450 Kč 1 351 Kč 2 252 Kč 4 503 Kč 464 Kč 1 391 Kč 2 318 Kč 4 637 Kč 387 Kč 1 161 Kč 1 934 Kč 3 868 Kč 412 Kč 1 236 Kč 2 059 Kč 4 119 Kč 425 Kč 1 276 Kč 2 127 Kč 4 254 Kč 399 Kč 1 198 Kč 1 997 Kč 3 995 Kč

Stejně jako u mužů nejlépe dopadl Generali penzijní fond. Nejnižší penze vyšla u ING penzijního fondu. V porovnání těchto penzí je penze u Generali penzijního fondu o necelých 20 % vyšší. I v případě vypočtených penzí pro ženy jsou rozdíly poměrně vysoké obzvláště uvažujeme-li součet naspořených prostředků za delší časové období. V porovnání s výplatou penze u mužů dostávají ženy vyplaceno o 13,3 % (Penzijní fond České pojišťovny) až 20,8 % (ING penzijní fond) méně. Tento rozdíl by se měl do konce roku vyrovnat, protože do té doby by mělo být zavedeno používání úmrtnostních tabulek bez přihlížení k pohlaví.

Závěr

45

6 Závěr Cílem bakalářské práce bylo analyzovat pojistně matematické postupy na modelových příkladech v práci pojišťovacího zprostředkovatele. V praxi jsem se setkala s porovnávání fondů na základě vypočtené doživotní penze z penzijního připojištění. Proto jsem se rozhodla výpočet těchto penzí použít jako ústřední téma pro aplikaci pojistné matematiky. Na velký problém jsem při vypracování práce narazila při zjišťování potřebných dat pro výpočet penze. Občané se mohou seznámit s tím, jak se penze počítá, ale už nemůžou výpočty provést a porovnat výsledky před uzavřením smlouvy. Přístup jednotlivých fondů v této věci je diametrálně odlišný. Některé fondy informace jako používané úmrtnostní tabulky a technickou úrokovou míru zveřejňují přímo na svých stránkách, u některých fondů je nutné o informace zažádat (některé fondy data poskytují pouze svým stávajícím klientům) a Allianz PF tyto informace nepodává vůbec, klient si může zjistit pouze výpočetní formule pro penzi v příloze penzijního plánu. Výpočet doživotní penze byl u penzijních fondů založen na úmrtnostních tabulkách, kde se zvlášť uváděla část pro muže a ženy. V bakalářské práci byly použity taktéž úmrtnostní tabulky vypočtené pro muže a ženy zvlášť. To by se mělo ale změnit na základě rozhodnutí Soudního evropského dvoru nejpozději do 21. 12. 2012 , což je lhůta, do kdy musí pojišťovny pro výpočty začít používat unisex sazby. Podle předpokladů by měli muži dostávat vyplacené důchody přibližně o 5% nižší, než tomu bylo doposud. Jak by mělo být z této práce patrné, pojišťovací zprostředkovatelé by neměli stavět volbu vhodného penzijního fondu pro klienta na výši aktuální doživotní penze. Důvodem je, že se technická úroková míra a úmrtnostní tabulky mění přibližně jednou ročně dle aktuální situace fondu. Předpokládá se, že úmrtnost účastníků penzijního připojištění je nižší než průměrná úmrtnost celé populace. Odhaduje se, že v případě použití úmrtnostních tabulek publikovaných Českým statistickým úřadem, vyplatí fond o 30 % více. Proto fondy postupně začínají využívat přepočtené úmrtnostní tabulky o sociální selekční faktor. V současné době nevyužívají možnost přepočtu tabulek pouze ING penzijní fond a ČSOB penzijní fond STABILITA. Ostatní fondy již upravují úmrtnostní tabulky o koeficienty, které si sami volí. Pokud by chtěl pojišťovací zprostředkovatel výpočet penze zohlednit při svých doporučeních, měl by se spíš opřít o způsoby výpočtu penze zmíněné v penzijních plánech, které se nemění. Například u področní výplaty penze je pro klienta výhodnější, když fond vypočítá področní penzi z hodnoty roční penze vydělením počtem výplat během roku než když fond vypočítává področní penzi jiným způsobem. Vhodným využitím pojistné matematiky u výpočtu penzí je situace, kdy chce klient ukončit spoření do penzijního připojištění a je potřeba zvážit, která varianta výplaty a typu penze je pro něho nejvýhodnější a nejvíce vyhovuje jeho požadavkům.

46

Závěr

Dílčím cílem bylo porovnání doživotní penze vyplácené jednotlivými fondy. V porovnání provedených výpočtů dopadla nejlépe penze vyplácená Generali penzijním fondem.

Literatura

47

7 Literatura CIPRA, TOMÁŠ, 1999. Pojistná matematika: Teorie a praxe. Vyd. 1. Praha: Ekopress, ISBN 80-86119-17-3. CIPRA, TOMÁŠ, 2000. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Vyd. 1. Praha: Professional Publishing. ISBN: 80-9019118-0-0. ČÁMSKÝ, FRANTIŠEK,

2005. Pojistná matematika I. Vyd. 1. Brno: MU. ISBN: 80-

210-3651-6. ČÁMSKÝ, FRANTIŠEK,

2004. Pojistná matematika II. Vyd. 1. Brno: MU. ISBN:

8021035242 ČÁMSKÝ, FRANTIŠEK,

2004. Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění. Vyd. 1. Brno: MU. ISBN: 8021033851.

ČEJKOVÁ, VIKTÓRIA, NEČAS, SVATOPLUK, 2006. Pojišťovnictví. 2. přeprac. vydání. Brno: MU. ISBN 8021039906. ČERVINEK, PETR,

2008. Pojistná matematika I. Vyd. 1. Brno: MU. ISBN: 9788021045323

Zákon č. 42/1994 Sb. ze dne 16. únoru 1994, o penzijním připojištění se státním příspěvkem a změnách některých zákonů souvisejících s jeho zavedením, ve znění pozdějších předpisů. Zákon č. 426/2011 Sb., o důchodovém spoření Zákon č. 427/2011 Sb. o doplňkovém penzijním spoření Zákon č. 428/2011 Sb., kterým se mění některé zákony v souvislosti s přijetím zákona o důchodovém spoření a zákona o doplňkovém penzijním spoření AEGON Česká republika [online]. c2010 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW: . Český statistický úřad, Podrobné úmrtnostní tabulky za ČR v roce 2011 [online]. 2012 [cit. 2012-12-12]. Dostupné z WWW: < http://www.czso.cz/csu/2012edicniplan.nsf/p/4002-12>. Allianz [online]. c2000 [cit. 2012-10-12]. Dostupné z WWW: . Asociace penzijních fondů ČR [online]. c2009 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:. AXA Česká republika [online]. c2009 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:. ČSOB Penzijní fondy : Stabilita [online]. c2010 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:.

48

Literatura

Generali Penzijní fond [online]. 2008 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:. ING [online]. c2001 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:. Penzijní fond České pojišťovny [online]. c2011 [cit. 2012-10-02].. Dostupné z WWW:. Penzijní fond České spořitelny [online]. c2004 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:. Penzijní fond Komerční banky [online]. c2010 [cit. 2012-10-02]. Dostupné z WWW:. Penzijní plán č. 2 AEGON Penzijního fondu, a.s., účinný dnem 1. 2. 2010 , Penzijní plán Allianz penzijního fondu, a.s., účinný dnem 1. 10. 2010 Penzijní plán č. IX AXA penzijního fondu, a.s., účinný dnem 1. 8. 2009 Penzijní plán č. 4 Penzijního fondu Komerční banky, a.s., účinný dnem 1. 4. 2004 Penzijní plán č. 4 ING Penzijního fondu, a.s., účinný dnem 1. 10. 2004 Penzijní plán č. 6 Penzijního fondu České pojišťovny, a.s. Penzijní plán č.4 Penzijního fondu České spořitelny, a.s., účinný dnem 1. 1. 2010 Penzijní plán č.3 Generali penzijního fondu, a.s., účinný dnem 1. 9. 2004 Penzijní plán ČSOB Penzijního fondu STABILITA, a.s., účinný dnem 1. 3. 2007

Přílohy

49

Přílohy

50


A Úmrtnostní tabulky pro muže v roce 2011 věk age 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Dx 174 15 13 11 11 6 2 4 5 6 5 3 6 4 7 7 13 29 46 49 59 60 49 60 59 45 62 67 50 67 81 84 87 84

Px 58500 61514 62386 61618 58196 54359 51677 49476 48244 47502 47047 46398 46115 46444 46649 48166 52418 58772 62886 65122 67302 67430 68803 70269 71188 72757 73981 74435 75392 76508 79462 85972 91395 93409

Muži Males qx lx 0,003119 100000 0,000244 99688 0,000208 99664 0,000179 99643 0,000150 99625 0,000109 99610 0,000080 99599 0,000073 99591 0,000098 99584 0,000107 99574 0,000107 99564 0,000095 99553 0,000097 99544 0,000105 99534 0,000117 99523 0,000163 99512 0,000311 99496 0,000475 99465 0,000662 99417 0,000816 99352 0,000839 99271 0,000831 99187 0,000848 99105 0,000777 99021 0,000748 98944 0,000802 98870 0,000761 98791 0,000766 98715 0,000841 98640 0,000870 98557 0,000928 98471 0,000991 98380 0,000940 98282 0,000918 98190

dx 312 24 21 18 15 11 8 7 10 11 11 9 10 10 12 16 31 47 66 81 83 82 84 77 74 79 75 76 83 86 91 97 92 90

Lx Tx ex 99735 7469443 74,69 99676 7369708 73,93 99653 7270032 72,95 99634 7170379 71,96 99618 7070744 70,97 99605 6971127 69,98 99595 6871522 68,99 99588 6771926 68,00 99579 6672338 67,00 99569 6572759 66,01 99558 6473190 65,02 99548 6373632 64,02 99539 6274083 63,03 99529 6174545 62,03 99518 6075016 61,04 99504 5975498 60,05 99480 5875995 59,06 99441 5776514 58,08 99385 5677073 57,10 99311 5577689 56,14 99229 5478378 55,19 99146 5379149 54,23 99063 5280003 53,28 98982 5180940 52,32 98907 5081958 51,36 98830 4983051 50,40 98753 4884220 49,44 98678 4785467 48,48 98598 4686790 47,51 98514 4588192 46,55 98425 4489678 45,59 98331 4391252 44,64 98236 4292921 43,68 98145 4194685 42,72


34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

88 109 124 134 125 125 125 148 180 161 174 194 250 278 252 325 314 372 442 539 607 619 758 803 930 1024 1088 1144 1207 1430 1471 1432 1329 1450 1400 1329 1305 1347 1296 1231

95384 97232 98655 96375 89024 81933 77917 75022 71869 69988 70365 71981 75095 75122 69893 65268 63819 62768 64359 68863 72167 73222 73396 73377 73849 73772 72699 70478 69982 71362 70075 60782 54346 53763 48778 43604 41191 36996 32675 30057

0,000974 0,001098 0,001237 0,001360 0,001414 0,001489 0,001740 0,002007 0,002234 0,002383 0,002541 0,002827 0,003107 0,003601 0,004031 0,004490 0,005141 0,006010 0,006820 0,007548 0,008271 0,008960 0,009869 0,011098 0,012474 0,013662 0,014795 0,016130 0,017528 0,019345 0,021072 0,022911 0,024569 0,026522 0,027894 0,029905 0,032429 0,035249 0,037506 0,040798

51

98100 98004 97896 97775 97642 97504 97359 97190 96995 96778 96547 96302 96030 95731 95387 95002 94576 94089 93524 92886 92185 91422 90603 89709 88713 87607 86410 85132 83758 82290 80698 78998 77188 75292 73295 71250 69119 66878 64521 62101

96 108 121 133 138 145 169 195 217 231 245 272 298 345 385 427 486 566 638 701 762 819 894 996 1107 1197 1278 1373 1468 1592 1700 1810 1896 1997 2044 2131 2241 2357 2420 2534

98052 97950 97836 97709 97573 97432 97274 97092 96886 96663 96425 96166 95880 95559 95194 94789 94332 93807 93205 92535 91804 91013 90156 89211 88160 87008 85771 84445 83024 81494 79848 78093 76240 74293 72272 70185 67999 65699 63311 60834

4096541 3998489 3900539 3802703 3704994 3607421 3509989 3412715 3315623 3218737 3122074 3025649 2929484 2833603 2738044 2642850 2548061 2453729 2359922 2266718 2174182 2082379 1991366 1901210 1811998 1723838 1636830 1551059 1466614 1383590 1302096 1222247 1144154 1067915 993622 921349 851164 783166 717466 654156

41,76 40,80 39,84 38,89 37,94 37,00 36,05 35,11 34,18 33,26 32,34 31,42 30,51 29,60 28,70 27,82 26,94 26,08 25,23 24,40 23,59 22,78 21,98 21,19 20,43 19,68 18,94 18,22 17,51 16,81 16,14 15,47 14,82 14,18 13,56 12,93 12,31 11,71 11,12 10,53

52


74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

1194 1347 1368 1496 1523 1693 1696 1727 1643 1529 1526 1494 1346 1195 1087 917 728 594 295 150 121 110 133 110 59 27 17 15 5 2 4 1

27710 0,043760 26284 0,048429 25301 0,053291 24216 0,059087 23477 0,064875 22212 0,072086 20479 0,079714 18395 0,087811 16110 0,096681 13877 0,107070 11939 0,118332 10139 0,130875 8494 0,144746 7003 0,160059 5619 0,176928 4195 0,195466 3051 0,215786 1961 0,237992 1084 0,262178 531 0,288424 429 0,316784 311 0,347285 318 0,379915 217 0,414615 174 0,451271 67 0,489704 64 0,529661 16 0,570812 19 0,612745 2 0,654969 17 0,696920 3 1,000000

59567 56960 54202 51313 48281 45149 41895 38555 35169 31769 28368 25011 21738 18591 15615 12853 10340 8109 6179 4559 3244 2216 1447 897 525 288 147 69 30 11 4 1

2607 2759 2888 3032 3132 3255 3340 3386 3400 3402 3357 3273 3146 2976 2763 2512 2231 1930 1620 1315 1028 770 550 372 237 141 78 39 18 8 3 1

58264 55581 52758 49797 46715 43522 40225 36862 33469 30068 26689 23374 20164 17103 14234 11597 9225 7144 5369 3902 2730 1832 1172 711 407 218 108 49 21 8 3 1

593322 535058 479477 426719 376922 330207 286685 246460 209598 176128 146060 119371 95996 75832 58729 44495 32898 23673 16529 11160 7258 4528 2696 1524 813 407 189 81 32 11 3 1

9,96 9,39 8,85 8,32 7,81 7,31 6,84 6,39 5,96 5,54 5,15 4,77 4,42 4,08 3,76 3,46 3,18 2,92 2,67 2,45 2,24 2,04 1,86 1,70 1,55 1,41 1,29 1,17 1,06 0,95 0,80 0,50

B Úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2011

53

B Úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2011 věk age 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Dx 124 12 5 8 2 8 3 4 3 0 2 4 7 5 11 10 12 16 14 14 12 12 24 29 17 15 17 19 17 17 27 25 39 33 42 48

Px 55470 58701 59684 58922 55363 51429 48902 46727 45671 44952 44179 43688 43770 44028 44248 45575 49688 55949 59817 61729 64225 64914 66139 66923 67074 68520 69584 69911 71156 72366 74571 80662 86353 88464 90309 92402

Ženy Females qx lx 0,002345 100000 0,000204 99766 0,000084 99745 0,000136 99737 0,000088 99723 0,000097 99714 0,000091 99705 0,000079 99696 0,000038 99688 0,000036 99684 0,000055 99680 0,000075 99675 0,000133 99667 0,000172 99654 0,000199 99637 0,000233 99617 0,000261 99594 0,000253 99568 0,000247 99543 0,000206 99518 0,000197 99498 0,000267 99478 0,000318 99452 0,000337 99420 0,000314 99386 0,000259 99355 0,000228 99330 0,000235 99307 0,000261 99284 0,000267 99258 0,000314 99231 0,000356 99200 0,000392 99165 0,000419 99126 0,000458 99084 0,000502 99039

dx 234 20 8 14 9 10 9 8 4 4 5 8 13 17 20 23 26 25 25 20 20 27 32 34 31 26 23 23 26 26 31 35 39 42 45 50

Lx 99805 99755 99741 99730 99719 99710 99700 99692 99686 99682 99678 99671 99661 99646 99627 99606 99581 99555 99530 99508 99488 99465 99436 99403 99371 99342 99318 99295 99271 99244 99216 99182 99145 99105 99062 99014

Tx 8074067 7974262 7874507 7774766 7675036 7575317 7475607 7375907 7276215 7176529 7076847 6977170 6877498 6777838 6678192 6578565 6478959 6379378 6279823 6180292 6080784 5981296 5881832 5782396 5682993 5583622 5484279 5384961 5285666 5186395 5087151 4987935 4888752 4789607 4690502 4591440

ex 80,74 79,93 78,95 77,95 76,96 75,97 74,98 73,98 72,99 71,99 71,00 70,00 69,00 68,01 67,03 66,04 65,05 64,07 63,09 62,10 61,11 60,13 59,14 58,16 57,18 56,20 55,21 54,23 53,24 52,25 51,27 50,28 49,30 48,32 47,34 46,36

54


36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

50 60 54 57 68 63 73 71 110 83 122 132 113 132 127 172 178 222 242 287 314 361 436 461 485 546 576 649 731 754 725 780 794 855 901 874 882 922 981 1132 1233 1337 1499 1795

93707 90773 83626 77397 73830 70838 67836 66300 66896 68706 71630 72135 67636 63421 62132 61172 63839 69150 73097 74979 75834 76330 77512 78817 78412 76613 76763 79306 79602 70776 64518 64464 59450 54178 51937 48132 44072 41380 39496 38563 38075 37524 37537 37032

0,000568 0,000605 0,000688 0,000761 0,000852 0,000907 0,001099 0,001183 0,001336 0,001511 0,001608 0,001691 0,001825 0,001988 0,002234 0,002596 0,002848 0,003167 0,003380 0,003731 0,004230 0,004833 0,005315 0,005891 0,006394 0,006857 0,007472 0,008341 0,009246 0,010244 0,011122 0,012234 0,013662 0,015261 0,016829 0,018358 0,019757 0,022046 0,025073 0,028289 0,031497 0,035690 0,040594 0,046779

98989 98933 98873 98805 98730 98646 98557 98448 98332 98200 98052 97894 97729 97550 97356 97139 96887 96611 96305 95979 95621 95217 94757 94253 93698 93098 92460 91769 91004 90162 89239 88246 87167 85976 84664 83239 81711 80096 78331 76367 74206 71869 69304 66491

56 60 68 75 84 89 108 116 131 148 158 166 178 194 217 252 276 306 326 358 404 460 504 555 599 638 691 765 841 924 993 1080 1191 1312 1425 1528 1614 1766 1964 2160 2337 2565 2813 3110

98961 98903 98839 98768 98688 98601 98502 98390 98266 98126 97973 97811 97640 97453 97248 97013 96749 96458 96142 95800 95419 94987 94505 93975 93398 92779 92115 91386 90583 89701 88742 87706 86571 85320 83951 82475 80904 79213 77349 75286 73038 70586 67897 64935

4492426 4393465 4294562 4195722 4096955 3998267 3899665 3801163 3702773 3604507 3506381 3408408 3310596 3212957 3115504 3018256 2921243 2824494 2728037 2631895 2536095 2440676 2345689 2251184 2157209 2063811 1971032 1878917 1787531 1696948 1607247 1518505 1430798 1344227 1258907 1174956 1092481 1011578 932365 855016 779730 706692 636106 568208

45,38 44,41 43,43 42,46 41,50 40,53 39,57 38,61 37,66 36,71 35,76 34,82 33,88 32,94 32,00 31,07 30,15 29,24 28,33 27,42 26,52 25,63 24,75 23,88 23,02 22,17 21,32 20,47 19,64 18,82 18,01 17,21 16,41 15,63 14,87 14,12 13,37 12,63 11,90 11,20 10,51 9,83 9,18 8,55


80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

1974 35788 2147 33339 2253 30420 2374 27775 2402 25127 2424 22600 2483 20189 2461 17701 2340 14958 2153 12016 1803 8960 1429 5976 727 3338 517 1793 406 1486 397 1224 434 1184 327 872 219 615 132 354 87 231 60 95 28 66 11 20 13 28 10 20

0,053862 0,061754 0,070191 0,079582 0,090250 0,102550 0,116635 0,132579 0,150582 0,170847 0,193584 0,218991 0,247256 0,278536 0,312946 0,350538 0,391282 0,435039 0,481541 0,530362 0,580909 0,632409 0,683919 0,734353 0,782539 1,000000

55

63380 59966 56263 52314 48151 43805 39313 34728 30124 25587 21216 17109 13362 10058 7257 4986 3238 1971 1114 577 271 114 42 13 4 1

3414 61673 3703 58115 3949 54289 4163 50232 4346 45978 4492 41559 4585 37020 4604 32426 4536 27855 4372 23402 4107 19162 3747 15236 3304 11710 2802 8657 2271 6121 1748 4112 1267 2605 857 1542 536 845 306 424 158 192 72 78 29 27 10 8 3 2 1 0

503273 441600 383485 329196 278964 232986 191427 154406 121981 94125 70724 51561 36326 24616 15958 9837 5725 3120 1578 733 308 116 38 11 3 0

7,94 7,36 6,82 6,29 5,79 5,32 4,87 4,45 4,05 3,68 3,33 3,01 2,72 2,45 2,20 1,97 1,77 1,58 1,42 1,27 1,14 1,02 0,92 0,82 0,72 0,50

Využití pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele

Recommend Documents