VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucie Hrubá

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

2012

Lucie Hrubá

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY

Název bakalářské práce:

Optimalizace složení jídelníčku s využitím cílového programování

Autor:

Lucie Hrubá

Katedra:

Katedra ekonometrie

Obor:

Matematické metody v ekonomii

Vedoucí práce:

Ing. Veronika Skočdopolová

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma „Optimalizace složení jídelníčku s využitím cílového programování“ zpracovala samostatně. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v seznamu použité literatury. V Praze dne 30. května 2012

................................ Lucie Hrubá

Poděkování: Ráda bych na tomto místě poděkovala Ing. Veronice Skočdopolové za vedení mé bakalářské práce a za podnětné návrhy, které ji obohatily.

Abstrakt Název práce: Autor: Katedra: Vedoucí práce:

Optimalizace složení jídelníčku s využitím cílového programování Lucie Hrubá Katedra ekonometrie Ing. Veronika Skočdopolová.

Nutriční problém je typickou úlohou lineárního programování, jejímž cílem je navrhnout denní dávky živin ve stravě. Neboli cílem je sestavit vyvážený jídelníček pro konkrétního jedince. Cílové programování se používá v případě, kdy není nutné, aby omezující podmínky byly splněny přesně. Podmínky jsou sestaveny tak, že výsledná hodnota se má co nejvíce přibližovat hodnotě zadané neboli hodnotě cílové. V této práci bude cílové programování využito při modifikaci modelu nutričního problému. U nutričního problému lze cílové programování využít tak, že jednotlivá omezení na obsah živin ve stravě nebudou omezena striktně ve formě nerovnic, ale tak aby se výsledná hodnota co nejvíce přibližovala buď shora, nebo zdola cílové hodnotě. Nejprve bude vytvořen model lineárního programování s minimalizováním nákladů a následně model s využitím cílového programování a poté bude provedeno porovnání. Klíčová slova: lineární programování, cílové programování, nutriční problém

Abstract Title: Author: Department: Supervisor:

The Optimalization of diet composition with the use of goal programming Lucie Hrubá Department of Econometrics Ing. Veronika Skočdopolová.

The nutritive problem is characteristic task for linear programming whose role is to propose daily dose of nutrients in nourishment. The goal is to set up balanced menu for the individual person. Goal programming is used in case when is not necessary to have exact restricted conditions. The conditions are set up so final value is getting closer to assigned value that is target value. In this work will be goal programming utilized for model modification of the nutritive problem. For the nutritive problem is possible to use goal programming so particular limitation of nutrients level in nourishment will not be restricted rigorously in a form of inequalities, but so that final value is getting closer either from the top or from the bellow target value. Firstly will be created the model for linear programming with minimum costs following the model with goal programming and after that comparison will be done. Keywords: linear programming, goal programming, nutritive problem.

OBSAH ÚVOD ..................................................................................................................................................... 1 1 TEORIE LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ ................................................................................ 2 1.1 DISCIPLÍNY OPERAČNÍHO VÝZKUMU ............................................................................................ 3 1.2 FÁZE ŘEŠENÍ REÁLNÉHO PROBLÉMU ............................................................................................ 4 1.3 TYPICKÉ ÚLOHY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ ........................................................................... 6 1.4 OBECNÉ VYJÁDŘENÍ MATEMATICKÉHO MODELU ......................................................................... 8 2 ÚLOHY VÍCEKRITERIÁLNÍHO PROGRAMOVÁNÍ ............................................................... 9 2.1 CÍLOVÉ PROGRAMOVÁNÍ ............................................................................................................ 10 3 ZÁSADY ZDRAVÉ STRAVY ........................................................................................................ 13 3.1 POTRAVINOVÁ PYRAMIDA .......................................................................................................... 14 3.2 DOPORUČENÉ DENNÍ DÁVKY ...................................................................................................... 15 3.3 ZÁKLADNÍ ŽIVINY ...................................................................................................................... 16 3.4 DALŠÍ ŽIVINY.............................................................................................................................. 17 4 OPTIMALIZACE DENNÍHO JÍDELNÍČKU .............................................................................. 19 4.1 MODEL LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ ....................................................................................... 21 4.2 MODEL CÍLOVÉHO PROGRAMOVÁNÍ ........................................................................................... 23 ZÁVĚR ................................................................................................................................................. 33 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ ................................................................................................... 34 LITERATURA ..................................................................................................................................... 34 INTERNETOVÉ ZDROJE ...................................................................................................................... 34

Úvod Dvacáté první století s sebou přineslo neustálý spěch a shon, který všichni každodenně prožíváme. V této „rychlé“ době, kde na nás ze všech stran působí negativní vlivy, jako stresové situace, smog a jiné, zapomínáme na naše tělo. Místo toho, abychom dodržováním zásad zdravé stravy bojovali proti nežádoucím dopadům na naše tělo, si tělo akorát „huntujeme“ nezdravými pokrmy. Samozřejmě je pohodlnější zajít si do rychlého občerstvení tzv. fast foodu a cestou do školy, nebo do práce sníst v rychlosti pizzu, hamburger, nebo párek v rohlíku. Ale zaslouží si naše tělo takové zacházení? Důsledkem nezdravého životního stylu je rozmach tzv. civilizačních chorob neboli chorob moderní doby. Tyto choroby mohou být samozřejmě také způsobeny neovlivnitelnými faktory, ale častěji jsou spojovány s faktory ovlivnitelnými. Připisují se na vrub modernímu životnímu stylu, jako je například nedostatek pohybu, stres, kouření a konzumace potravin vysoce kalorických s vysokým obsahem tuku, soli a nedostatkem vitamínů a minerálů, nezbytných pro naše zdraví. Mezi tyto choroby se řadí také obezita, která je také nazývána epidemií 3. tisíciletí. Podle nedávného výzkumu Všeobecné zdravotní pojišťovny (dále jen VZP) je v České republice 55% lidí s nadváhou a obezitou. To znamená, že jich je více než lidí s váhou normální, což je zajisté alarmující zjištění.[19] Myslím si, že v dnešní době je užitečné zabývat se tím, jak by se lidé měli stravovat a aby začali přemýšlet nad tím, zda si svojí stravou jen nepřidávají k brzkému infarktu. Proto se ve své bakalářské práci budu zabývat složením zdravého a pestrého jídelníčku, tak jak by měl vypadat, aby našemu tělu prospíval. Cílem této práce je za pomocí znalostí z lineárního programování najít optimální složení potravin, které by měly být jak chutné, tak i nutričně vyvážené. První část práce bude věnována stručnému vysvětlení pojmů lineárního programování a směšovací úlohy, kam patří i nutriční problém a také pojmu cílové programování, které je v této úloze využito. V druhé části bude nutriční problém aplikován v praxi a bude vyřešen model pro výpočet optimálního složení stravy. Tato část bude obsahovat dva základní modely, jeden bude vytvořen na základě klasického nutričního problému a u druhého využiji k sestavení modelu cílové programování.

1

1 Teorie lineárního programování Protože lineární programování je jedna z disciplín operačního výzkumu, nazýván též operační analýza, je zapotřebí se před samotnou teorií lineárního programování zmínit právě o této vědní disciplíně. Operační výzkum lze charakterizovat jako soubor relativně samostatných vědních disciplín, které jsou zaměřeny na řešení různých rozhodovacích problémů, kdy se pokoušejí nalézt nejlepší, neboli tzv. optimální řešení daného problému, při respektování řady omezení, která mají vliv na rovnováhu systému. Každá z těchto disciplín využívá při analýze rozhodovacích problémů jiné metody a modely a odlišnost lze také pozorovat v přístupu k řešení daného problému. Právě tato rozmanitost prakticky znemožňuje operační výzkum přesně definovat.[1] Operační výzkum patří mezi vědní disciplíny poměrně mladé. Jeho vznik, jako vědní disciplíny samostatné, sice není možné přesně datovat, protože zastřešuje větší množství vědních disciplín, jak už jsem zmínila. Ale je známo, že počátky spadají už do 30. a 40. let tohoto století. K širšímu rozmachu většiny vědních disciplín patřících k operačnímu výzkumu, došlo až v období druhé světové války. To, že k tomuto rozvoji docházelo právě v této době, tedy hlavně během 40. a 50. let, bylo způsobeno potřebou analyzovat strategické a taktické vojenské problémy a operace. Další důležitý faktor, který stál při rozvoji operačního výzkumu významnou roli, je rozvoj výpočetní techniky. [4] Základním prostředkem operačního výzkumu pro nalezení optimálního řešení je matematické modelování. Při řešení daného problému je využíván model, který představuje zjednodušení reality (viz obrázek 1)

realita

model

Obrázek 1: Model jako zjednodušení reality[8]

2

Při vytváření modelu se nepokoušíme nalézt věrnou kopii skutečnosti. Podařilo by se nám sice vytvořit kvalitní model, ale jeho analýza by byla neuskutečnitelná. Proto se snažíme popsat jen ty části reálného systému, které jsou důležité z hlediska cílů analýzy.[1] Operační výzkum byl a stále je vědní disciplína s širokým okruhem využití v praxi, proto je řazen mezi aplikované disciplíny. Aplikace je možná všude, kde se jedná o analýzu a koordinaci prováděných operací v rámci jednoho systému. Operační výzkum hraje nezanedbatelnou roli v řadě odvětví. Využívá se například v logistických firmách, ve farmaceutických firmách, nebo například v dopravě při plánování jízdních a leteckých řádů.

1.1 Disciplíny operačního výzkumu V praxi existují řady problémů a každý z nich vyžaduje odlišný přístup k řešení. V důsledku existence těchto odlišností vznikly pod záštitou operačního výzkumu samostatné disciplíny, kde každá z nich se věnuje určité oblasti úloh s podobnou problematikou. Mezi disciplíny operačního výzkumu lze zařadit například:[4],[8] 1) Matematické programování. Vědní disciplína, která se zabývá optimalizačními úlohami. V nich se snaží nalézt extrém kritéria na množině variant určených soustavou omezujících podmínek. Omezující podmínky mohou být zadané ve tvaru lineárních nebo nelineárních rovnic či nerovnic. Podle toho pak u matematického programování rozlišujeme dva typy úloh - lineární, nelineární. O lineární programování se jedná v případě, kdy kriteriální funkce a všechny rovnice i nerovnice v modelu jsou lineární. V případě, kdy alespoň jedna funkce je nelineární, mluvíme o úloze nelineárního programování. 2) Vícekriteriální rozhodování. Vícekriteriální rozhodování je zaměřeno na analýzu rozhodovacích úloh, kde jsou varianty pro rozhodování posuzovány podle více hodnotících kritérií zároveň. V těchto úlohách se většinou jedná o řešení konfliktu mezi navzájem protikladnými kritérii. 3) Teorie grafů. Odvětví operačního výzkumu nazývané teorie grafů, je v praxi velmi často používané. Grafy zde představují objekty, které jsou tvořeny uzly a hranami. Hrany, které představují spojnice mezi uzly, mohou být orientované, nebo neorientované. Teorie grafů se využívá při řešení optimalizačních úloh, mezi typické úlohy se řadí například nalezení nejkratší cesty, nebo maximálního toku. Hojně je tato disciplína používána v oblasti řízení projektů. Mezi cíle této analýzy se řadí časový, nebo nákladový rozbor realizace projektu. 4) Teorie zásob. Nebo také modely řízení zásob, je odvětví zabývající se strategickým řízením zásobovacího procesu a optimalizací objemu skladových zásob s důrazem na 3

minimalizaci nákladů. Podle toho, zda poptávka po zásobách je náhodná veličina, nebo je pevně daná, lze v teorii zásob rozlišit dva typy. U stochastického modelu je poptávka náhodná veličina, u deterministického modelu je pevně daná. 5) Teorie hromadné obsluhy. Tato teorie zkoumá systémy, ve kterých se vyskytují dva typy jednotek, a to požadavky a obslužné linky. Požadavky do systému přicházejí a vyžadují obsluhu a právě obslužné linky tuto obsluhu provádějí. Cílem je zabezpečit efektivní fungování celého systému. Se systémy hromadné obsluhy se velmi často setkáváme i v každodenním životě. Lze mezi ně zařadit například obchody, banky, nebo také křižovatky 6) Teorie her. Vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací s více než jedním účastníkem, nazývaných také pojmem hráči. Tento konflikt chápe jako hru a snaží se nalézt optimální strategii v takovýchto rozhodovacích situacích. 7) Markovské rozhodovací procesy. Tyto procesy zkoumají chování dynamických procesů, které jsou typické tím, že ve sledovaných časových úsecích se mohou nacházet vždy v některém z konečného počtu stavů. Jako základní cíl Markovské analýzy se považuje předpověď budoucího chování takového systému.

1.2 Fáze řešení reálného problému Postup při řešení reálného rozhodovacího problému se skládá z několika základních, na sebe navazujících fází.[4],[1] o Na počátku celého procesu je nutné správně rozpoznat problém v rámci reálného systému a jasně a přesně ho definovat a určit prostředky, kterými může být vyřešen. Včasné rozpoznání problému je velice důležité, může jednak ušetřit finanční prostředky, ale také zabránit vzniku nevratných důsledků. o Reálný systém bývá většinou příliš složitý a při studiu konkrétního problému se ukazuje, že vlastně ani není nutné brát v potaz všechny prvky systému. Proto jako druhý krok procesu se vytváří slovní popis problému. Tento zjednodušený popis reálného systému se nazývá ekonomický model. Ekonomický model musí obsahovat cíl analýzy, neboli vymezení toho, čeho chceme ve výsledku dosáhnout. Mezi takové cíle řadíme třeba maximalizaci zisku, nebo minimalizaci nákladů a jiné. Také je v ekonomickém modelu zapotřebí popsat všechny procesy, které v systému probíhají. Tyto procesy se dají chápat jako činnosti probíhající v konkrétním systému. Takovou činností může být například výroba nějakého druhu zboží, které bude probíhat s určitou intenzitou. Probíhající procesy budou ovlivněny činiteli, kteří budou omezovat jejich intenzitu. Jako činitele si lze představit omezení na straně zdrojů, jako například omezené množství surovin. 4

o V další fázi dochází k převedení ekonomického modelu do světa matematiky, neboli na model matematický. Matematický model obsahuje stejné prvky jako model ekonomický, ovšem vyjádření je v matematickém modelu odlišné. Cíl analýzy v matematickém modelu představuje lineární nebo nelineární funkci. Procesy jsou v matematickém modelu vyjádřeny pomocí proměnných a intenzita procesů odpovídá hodnotám těchto proměnných. Formou lineárních nebo nelineárních rovnic bývají vyjádřeny činitelé, ale mohou být vyjádřeny i odlišným způsobem, podle povahy analyzovaného problému. o Pokud máme naformulovaný matematický model, můžeme přejít k samotnému řešení modelu. Získat řešení problému není v dnešní době nijak složité, protože i jednoduchý problém je většinou řešen pomocí výpočetní techniky a vhodného programového systému. o Dalším velice důležitým krokem je interpretace a verifikace výsledků. Interpretací je zde myšleno slovní vyjádření numerických výsledků pro zadavatele problému. Při řešení v programovém systému bývá výstupem počítačová sestava, které rozumí jen analytik. A je právě úkolem analytika, aby vše zadavateli vysvětlil. Verifikací modelu se pak rozumí ověření, zda získané výsledky jsou reálné a zda byl model sestaven správně. o Po úspěšné verifikaci přijde na řadu implementace. Tu má v rukou zadavatel problému. Analytik už předal získané výsledky a teď je na zadavateli, aby je uvedl do praxe. Tento poslední krok završí celý rozhodovací proces.

5

1.3 Typické úlohy lineárního programování Níže budou uvedeny typické úlohy lineárního programování, s kterými je možné se v praxi poměrně často setkat.[8]

Úlohy výrobního plánování V těchto typech úloh jde zpravidla o to, určit sortiment výroby, při respektování omezujících podmínek. Omezující podmínky mohou být jak na straně vstupů (omezená kapacita surovin, energie, atd.), tak na straně výstupů (maximální objem produkce, atd.). Strukturní proměnné1 často představují objem produkce jednotlivých výrobků, mohou být ale definovány i jinak. Cílem výrobních úloh může být maximalizace zisku, nebo minimalizace nákladů.

Směšovací problém Směšovací problém v sobě sdružuje tři typy úloh, které mají podobné vlastnosti. Jsou to úlohy: plánování reklamy, úlohy finančního plánování a nutriční problém. Cílem je vytvořit směs, která bude složena z nabídky komponent a bude mít požadované vlastnosti. Strukturní proměnné v tomto typu úloh zastupují jednotlivé komponenty obsažené ve směsi a hodnoty těchto proměnných odpovídají objemu použitých komponent.

Plánování reklamy Plánování reklamy neboli media selection problem, představuje úlohu velmi hojně využívanou, a to především v oblasti marketingu. Úkolem v tomto případě může být alokace rozpočtu na reklamu v jednotlivých typech médii. Mezi cíle může patřit například maximalizace celkového dopadu z reklamy. Procesem v úlohách toho typu je umístění reklamy do určitého typu média, proměnné pak budou zastupovat počet opakování reklamy v tom konkrétním médiu.

Úlohy finančního plánování Úloha finančního plánování, kterou také lze nazvat optimalizace portfolia, patří mezi standardní optimalizační úlohy. Tato úloha má své praktické využití při finančním plánování a při výběru vhodných investic. Cílem této úlohy je zvolit optimální objem investic do jednotlivých investičních nabídek, tak aby byl zisk maximální, eventuálně minimální riziko. Proměnné v tomto modelu budou zastupovat objemy jednotlivých investic.

1

Vyjadřují intenzity jednotlivých procesů probíhajících v systému

6

Nutriční problém Nutriční problém může být také brán jako speciální druh směšovací úlohy. V těchto úlohách je také cílem vytvořit směs optimálního složení. Směsí se v těchto úlohách myslí jídelníček pro konkrétního jedince, který musí splňovat doporučené denní nutriční hodnoty. Strukturní proměnné v této úloze zastupují jednotlivé komponenty v jídelníčku. Cílem může být minimalizace nákladů, tedy aby jídelníček byl co nejlevnější, nebo cílem může být také redukce hmotnosti.

Úlohy o dělení materiálu V této úloze se jedná o dělení větších celků na části menší při respektování předem zadaných požadavků. Při řezání každého většího celku na menší může být použito několik způsobů řezání. Jednotlivé způsoby dělení se nazývají řezné plány, které pak budou jednotlivě odpovídat strukturním proměnným. Hodnoty strukturních proměnných budou udávat, kolikrát se ten který způsob dělení použije. Ve většině úloh tohoto typu je cílem: minimalizace odpadu, maximalizace zisku z prodaných jednotlivých nařezaných dílů, nebo minimalizace počtů dílů využitých při dělení.

Distribuční úlohy lineárního programování Tyto úlohy se sice řadí mezi úlohy lineárního programování, odlišují se ale svým speciálním charakterem. To se projevuje při formulaci matematického modelu i při jeho následném řešení. Mezi tyto úlohy se řadí například dopravní problém, okružní dopravní problém, kontejnerový dopravní problém a další. Více viz [8]

7

1.4 Obecné vyjádření matematického modelu Obecně se matematické modely jednotlivých programování dají zapsat následujícím způsobem:[8]

typických

úloh

lineárního

Maximalizovat (minimalizovat) , za podmínek Ax≤ b, x≥0, kde =(

,

…, ) je n-složkový řádkový vektor cenových koeficientů,

x=

T

b=

T

0=

je n-složkový sloupcový vektor strukturních proměnných modelu,

T

je m-složkový sloupcový vektor hodnot pravé strany,

je n-složkový sloupcový nulový vektor a

A je matice strukturních koeficientů o rozměru n x m.

8

2 Úlohy vícekriteriálního programování U úloh vícekriteriálního programování je cílem optimalizovat několik účelových (kriteriálních) funkcí na množině přípustných řešení a nalézt kompromisní řešení, které by mělo představovat kompromis mezi definovanými účelovými funkcemi. Kompromisní řešení musí splňovat podmínku nedominovanosti. Nedominované řešení je takové, pokud neexistuje jiné přípustné řešení, které by bylo lepší (nebo by nebylo horší) podle všech účelových funkcí. Kdyby tato podmínka nebyla splněna, mohli bychom vybrat jako kompromisní řešení právě to, které je lepší a není horší podle všech účelových funkcí. Za předpokladu lineárních omezujících podmínek i účelových funkcí můžeme mluvit o úlohách vícekriteriálního lineárního programování. Obecný matematický model této úlohy lze zapsat ve tvaru:[5] Maximalizovat

, . .

za podmínek x ε X {x ε kde

/ Ax ≤ b, x ≥0}

(i = 1, 2., k) je vektor cenových koeficientů i-té účelové funkce.

Kompromisní řešení úlohy vícekriteriálního lineárního programování je možné vypočítat pomocí několika základních principů: o

Kompromisní řešení podle principu minimaxu

o

Princip agregace účelových funkcí

o

Minimalizace vzdálenosti od ideálních hodnot

Já se v této práci budu zabývat jen cílovým programováním, které je založeno na minimalizaci vzdálenosti od ideálních hodnot.

9

2.1 Cílové programování V úlohách cílového programování se objevují tyto základní části: [5] a) Pevné cíle představují to samé jako omezující podmínky v běžné úloze lineárního programování. Tyto cíle musí být při řešení všechny respektovány a splněny. [5]

b) Volné cíle jsou cíle, které nemusí být přesně splněny, ale snažíme se najít hodnotu, jejíž odchylka od cílové hodnoty byla minimální. K vyjádření kladných (di+) a záporných (di-) odchylek od i-té cílové hodnoty se používají odchylkové proměnné. Obecný zápis lze vypadá následovně:[5]

kde hodnota.

je levá strana omezující podmínky a

je příslušná cílová

c) Účelová funkce je v modelu cílového programování obecně vyjádřena minimalizací odchylek od zadaných cílových hodnot. Do účelové funkce je možné zařadit:[5] 

Minimalizace záporné odchylky vede k řešení, které se zdola co nejvíce přibližuje zadané cílové hodnotě, může ale být i vyšší než tato hodnota. Například při cílování úrovně zisku, chceme, aby se hodnota zisku co nejvíce blížila námi požadované výši, ale může být i vyšší.



Minimalizace kladné odchylky vede k řešení, které se shora co nejvíce blíží cílové hodnotě, může být ale i nižší. To lze aplikovat při požadavku na získání řešení, které se nejvíce přibližuje nákladovým požadavkům.



Minimalizace součtu kladné a záporné odchylky vede k řešení, které se zhora i zdola co nejvíce přibližuje cílové hodnotě. Například při požadavku, aby nějaký zdroj byl co nejpřesněji využit, aby nevznikly zbytečně velké přebytky a nebylo potřeba doplňovat zásoby zdroje).

10

Pokud model obsahuje více cílů, může být jejich důležitost vyjádřena buď jejich uspořádáním od nejdůležitějšího po nejméně důležitý (lexografické cílové programování), nebo pomocí vah. Váhy jsou bezrozměrná čísla, která vyjadřují důležitost jednotlivých cílů. V případě využití vah, můžeme minimalizovat vážený součet odchylek nebo váženou maximální odchylku. [5] Při minimalizaci váženého součtu lze úlohu popsat ve tvaru: Minimalizovat

za podmínek

kde jsou strukturní proměnné modelu, jsou strukturní koeficienty popisující vztah mezi itou proměnnou v j-tém omezení, které vyjadřuje pevný cíl, je pravá strana i-tého omezení (pevný cíl), jsou strukturní koeficienty pro i-tý volný cíl a j-tou proměnnou, jsou cílové hodnoty pro i-tý volný cíl, jsou váhy, které pomáhají stanovit důležitost záporných a kladných odchylek od volného cíle , jsou kladné a záporné odchylky od stanovených cílových hodnot, k je počet volných cílů, n je počet proměnných, m je počet pevných cílů.

11

Při minimalizaci vážené maximální odchylky můžeme úlohu napsat ve tvaru: Minimalizovat D, za podmínek

kde D…znamená maximální hodnotu vážené odchylky, kterou minimalizujeme.

12

3 Zásady zdravé stravy „Lidé žádají v modlitbách od bohů zdraví, ale že sami v sobě mají nad ním moc, nevědí. “2 Démokritos

Již tento antický myslitel svým citátem potvrdil platnost zásady „každý svého štěstí strůjcem“. Ne jinak to platí i v otázce lidského zdraví. Zdraví každého z nás se odvíjí ne jen od genetických predispozic, ale také od toho, jak o své zdraví a své tělo každý pečuje. Dodržování zásad zdravé stravy patří zajisté mezi významné činitele, které naše zdraví značnou měrou ovlivňují. Dnešní způsob života, kdy prim hraje stravování ve fast-foodech, moc našemu zdraví neprospívá. Důkazem jsou také výsledky průzkumu Všeobecné zdravotní pojišťovny, podle nichž je v České republice 55% lidí s nadváhou a obezitou. To znamená, že lidí s nadváhou, či obezitou je více, než lidí s váhou optimální (viz obrázek 2). Obezita se nejvíce objevuje u lidí starších. [19]

Obrázek 2: Graf vývoje nadváhy a obezity v České republice [23]

Nejvyšší procento obézních je u lidí mezi 60 a 80 rokem (viz obrázek 3).„K udržení ideální váhy pomáhá především zdravý životní styl. Průzkum prokázal, že lidé, kteří sportují a dávají přednost ovoci a zelenině na úkor tučných jídel, si častěji drží ideální váhu 2

Citát pochází z [12]

13

i ve vyšším věku,“ říká profesor Štěpán Svačina, přednosta III. interní kliniky 1. LF UK a VFN v Praze, a dodává: „Výsledky také ukázaly, že nadváha a obezita je ve velké míře spojena se zvýšeným rizikem cukrovky, hypertenze a rovněž s nižší spokojeností s kvalitou života.“[19] Lidé si tedy sami, dobrovolně způsobují zdravotní problémy. Přitom stačí jen málo, a to zamyslet se nad tím, co jíme, a pravidelně vykonávat pohybovou aktivitu.

Obrázek 3: Graf podílu nadváhy a obezity podle věku [23]

3.1 Potravinová pyramida Potravinová pyramida (viz obrázek 4) představuje jednoduchou pomůcku, kterou lze použít při skladbě vhodného jídelníčku, který tělu dodá všechny potřebné živiny. Základ představuje rozdělení potravin do čtyř skupin, podle toho jak často by se ty které poživatiny měli objevovat v jídelníčku.[16],[17],[23] V prvním stupni pyramidy, nebo také v základně pyramidy, najdeme tzv. základní potraviny. Tyto potraviny by měly tvořit přibližně 40% denního jídelníčku. Základem stravy by měly být produkty z obilnin, tedy pečivo, těstoviny, rýže, ovesné vločky a další. Druhý stupeň pyramidy je tvořen ovocem a zeleninou. Ovoce je bohaté na sacharidy, představuje významný zdroj vitamínu C, některé ovoce obsahuje také vitamíny skupiny B a karotenoidy. V denním jídelníčku by se měly objevit 2–4 porce čerstvého ovoce. Zelenina je pro tělo také velmi prospěšná, je dobrým zdrojem vlákniny a denně by se v jídelníčku měla objevit 3–5 porcí čerstvé zeleniny. Celkově by se v denním příjmu mělo objevovat více zeleniny, také platí poučka, že ovoce by se mělo konzumovat spíše dopoledne a zelenina večer. Příčinou je cukr, který je v ovoci obsažen. Důvodem je, že cukr dodá tělu energii, kterou již pak není schopno spálit. 14

Ve třetím stupni pyramidy najdeme mléčné výrobky, maso, ryby, vejce a luštěniny. Potraviny se nacházejí až na třetím stupni z důvodu, že i přesto že jsou významným zdrojem bílkovin, obsahují velmi často vysoké množství cholesterolu a nasycených mastných kyselin. Tyto potraviny by se měly na jídelníčku objevit v rámci 1–2 porci, tedy denní spotřeba by se měla pohybovat okolo 20%.

Obrázek 4: Potravinová pyramida [23]

Na čtvrtém stupni najdeme výrobky, které by se v jídelníčku měly objevovat jen zřídka, spíše jen pro zpestření stravy. Jedná se o tuky, oleje, výrobky obsahující rafinované cukry, jako například sladké nápoje, či sladkosti.

3.2 Doporučené denní dávky Doporučená denní dávka (DDD) je pojem, který vyjadřuje potřebu individuálního příjmu živin, tak aby strava byla vyvážená a obsahovala všechny důležité vitamíny, minerály a jiné prospěšné látky. Podle odborníků na výživu, by strava měla být složena následujícím způsobem:[2],[7] 

50–55% celkové energie ze sacharidů (včetně cukrů)



30–35% celkové energie z tuků (včetně nasycených mastných kyselin)



10–15% celkové energie z bílkovin

Pokud bychom výše zmíněná procenta převedli na skutečné hodnoty pro aktivní ženu s denním příjmem okolo 2000 kilokalorií (kcal). V dnešní době se také vedle hodnoty kcal používají k vyjádření hodnoty energie kilojouly (kJ), které zde budu uvádět i já. Přepočet je takový, že 1 kcal je přibližně 4,18 kJ. Takže strava ženy by měla být založena 15

na příjmu kolem hodnoty 8400 kJ. Dále by měla konzumovat 250-275g sacharidů. 65-75g tuků a 50-75g bílkovin. Když přemýšlíme o doporučených denních dávkách, je zajisté také důležité zmínit příjem energie. Pokud si člověk chce jen udržet váhu, plátí obecně pravidlo, že energetický příjem by se měl rovnat energetickému výdeji. V případě snahy o snížení hmotnosti, by měl energetický výdej být o malinko vyšší než příjem energie. V tomto případě si tělo potřebnou energii bere z dlouhodobých zásob, které představují tuky, a tak dochází ke snižování hmotnosti. V opačném případě, tedy když energetický příjem převyšuje výdej, dochází k ukládání nevyužité energie ve formě tuků a tloustnutí. Denní potřeba energie je individuální, je závislá na pohlaví, věku, aktuálním zdravotním stavu, důležitým faktorem je také fyzická aktivita. Proto stanovit optimální příjem energie není vůbec jednoduché. Pro průměrnou ženu (tedy vážící kolem 60 kilogramů a která alespoň třikrát týdně aktivně sportuje) se jako ideální denní příjem udává kolem 2000 kcal.

3.3 Základní živiny Mezi základní živiny, nebo jinak také makronutrienty, lze zařadit sacharidy (cukry), proteiny (bílkoviny) a lipidy (tuky). Ve většině potravin najdeme kombinaci alespoň dvou, nebo více z těchto živin, ale některé potraviny obsahují převážné množství jednoho z makronutrientů. Jako příklad lze uvést pečivo, které obsahuje převážně sacharidy. Sacharidy jsou základní zdroj energie při činnosti nejenom svalů, ale celého lidského těla. Představují také primární zdroj energie při fyzické aktivitě. V tomto případě by 60% konzumované energie mělo pocházet ze sacharidů. Lze je rozdělit na sacharidy jednoduché a složené.[22],[23] 



Jednoduché sacharidy = energie, kterou získáme z toho zdroje, je nazývána jako tzv. „prázdné kalorie“. To znamená, že nám poskytují velké množství energie, ale na vitamíny a jiné důležité látky jsou chudé. Mezi tyto jednoduché sacharidy lze zařadit třtinový cukr, med, a další, ale nalezneme ho všude tam, kde je cukr přidáván kvůli zlepšení chuti, tedy v sušenkách, koláčích a dalších sladkostech. Složené sacharidy = tyto sacharidy jsou bohaté na obsah vlákniny a vstřebávají se delší dobu, důsledkem toho je, že nás více zasytí než sacharidy jednoduché. Můžeme sem zařadit například rýži, těstoviny, zeleninu, chleba a další.

Základní stavební složkou organismu jsou bílkoviny. Ty jsou nezbytné při tvorbě svalové hmoty, červených krvinek, vlasů, tkáně a hormonů. V případě jejich nedostatku

16

dochází k poruchám tělesného vývoje a snížení imunity, v opačném případě, tedy při jejich nadbytku jsou zatěžována játra a ledviny. Bílkoviny většinou nemají velkou energetickou hodnotu, ale mají největší sytící obsah ze všech živin a na jejich strávení vydáme největší množství energie. Potraviny, které představují kvalitní zdroje bílkovin, ale také často mají vysoký obsah tuku, soli a cholesterolu. Proto je potřeba se zaměřit na obsah těchto látek.[6], [22] Bílkoviny se dělí na rostlinné a živočišné. 



Rostlinné = jsou méně bohaté na esenciální aminokyseliny (ty jsou nezbytné pro tělo, protože nás organismus není schopný je sám vytvořit, proto je potřeba je v dostatečném množství přijímat z potravy). Do této skupiny se řadí například brambory, luštěniny a další. Živočišné = mají vysokou biologickou hodnotu, ta je dána složením potraviny a jejím zužitkováním v organismu (tedy kolik je v potravině biologicky významných látek). Tyto bílkoviny jsou obsažené například v mase, rybách, vejcích a mléčných výrobcích.

Tuk patří k často diskutovaným živinám, obzvláště v knížkách o dietách se tento námět objevuje poměrně často. Tuk je ale v rozumném množství nezbytnou součástí naší potravy. To z několika důvodů:[22],[23]    



Obklopuje životní orgány a chrání je Představuje zdroj energie pro svaly Je potřebný pro termoregulaci Některé tuky zásobují tělo esenciálními mastnými kyselinami, které si tělo není schopno vytvořit samo, a jsou nezbytné pro normální fungování metabolismu Tuk je rozpouštědlo pro různé látky, jako jsou například některé vitamíny (A, D, E a K)

3.4 Další živiny Jako další důležitou složku stravy bych uvedla vlákninu. Některé druhy vlákniny dokážou pohlcovat vodu, bobtnat v trávicím traktu, a tak způsobovat pocit nasycení, čehož se velmi hojně využívá při redukčních dietách. Mezi hlavní zdroje vlákniny patří ovoce, zelenina, celozrnné obiloviny a výrobky z nich, luštěniny, brambory a ořechy. Doporučená denní dávka vlákniny je kolem 20–30 gramů pro zdravého dospělého člověka. Naše populace, ale za touto hodnotou zaostává. Průměrně sníme kolem 10 gramů vlákniny denně a výjimkou nejsou ani hodnoty nižší.[2]

17

Další důležitou látku v našem těle představuje vápník, který je důležitou součástí našich kostí a zubů a zodpovídá za jejich pevnost a tvrdost. Jeho nedostatek pak má negativní dopad na stav našich kostí, projevuje se zejména zvýšenou lomivostí a u dětí poruchami růstu. Kromě vlivu na naši kostru se vápník uplatňuje také při srážení krve a regulaci srdečního rytmu. Nejbohatším zdrojem vápníku jsou mléčné výrobky, ale také například hrášek, nebo fazole. Doporučená denní dávka pro dospělou ženu se pohybuje kolem 1000 miligramů vápníku. [2],[7] Lidské tělo pro své fungování potřebuje také určité množství vitamínů. Vitamínů existuje veliké množství, já ve své práci uvedu pouze dva vitamíny – vitamín A a také vitamín C. To ovšem neznamená, že jsou to jediné vitamíny, které naše tělo potřebuje.. Vitamín A je prospěšný hlavně pro náš zrak, představuje nezbytnou součást pro tvorbu zrakového pigmentu, který zajišťuje dobré vidění barev a také to, že jsme schopni vidět v šeru. Proto jeho nedostatek způsobuje barvoslepost, nebo šeroslepost. Vitamín A také působí jako prevence proti rakovině, podporuje léčbu při rozedmě plic, různých dýchacích a kožních potížích, působí proti unaveným očím. Doporučená denní dávka pro dospělého člověka se pohybuje kolem 800 retinolu (RE). Je potřeba tuto hodnotu přibližně dodržovat, i když se říká, že jde o doporučenou dávku, kterou lze bez rizika překračovat dvoj až troj násobně. Ale u vitamínu A je možné i předávkování, obzvlášť pozor si pak musejí dávat těhotné ženy. Předávkování se projevuje apatií, nevolností a zvracením, suchou kůží, padáním vlasů, krvácením, poruchou vidění a bolestí kloubů. Mezi hlavní zdroje vitamínu A lze zařadit mléčné výrobky, ryby, ale i zeleninu (mrkev, petržel a jiné) a ovoce (meruňky, švestky, ananas a další).[9],[10],[21] Další velice prospěšným vitamínem je vitamín C. Naše tělo není schopné si tento vitamín samo vyrobit, proto je potřeba, aby byl pravidelně doplňován. Tento vitamín rozpustný ve vodě je velice důležitý, protože se podílí na správné funkci buněk v našem organismu. Vitamín C je úspěšný antioxidant a chrání náš organismus proti různým chorobám, například proti onemocněním srdce, nebo rakovinou, ale i proti běžnějším chorobám jako je například chřipka. Lidově řečeno „céčko“ najdeme skoro v každém druhu zeleniny a ovoce. Bohužel tento vitamín patří mezi choulostivé vitamíny, Při nevhodné technologické úpravě může docházet k jeho ztrátě. Proto je potřeba brambory i zeleninu tepelně upravovat co nejkratší dobu, také omývat jen krátce pod tekoucí vodou a nenechat zbytečně máčet. Doporučená denní dávka vitamínu se udává okolo 80 mg. Denně by ale v těle mělo být více než 10 mg, protože pokud je ho méně, můžeme pociťovat únavu a při větším nedostatku se může objevit také chudokrevnost. Nedostatek tohoto vitamínu také způsobuje, že tělo se hůře vyrovnává s běžnými nemocemi, jako je chřipka, či nachlazení. Při jeho nedostatku se pak léčba může pěkně protáhnout. Příjem vitamínu C je velice důležitý pro kuřáky, kteří potřebují dvojnásobnou dávku.[2],[15],[20],[21]

18

4 Optimalizace denního jídelníčku Cílem úlohy je sestavit jídelníček tak, aby vyhovoval všem omezujícím podmínkám. Ty jsou v tomto případě reprezentovány omezeními na hodnoty jednotlivých živin a vitamínů v té které potravině. Hodnoty jednotlivých živin jsou vztaženy na 100 gramů dané potraviny. Strukturní proměnné zastupují jednotlivé potraviny a výsledná hodnota tedy značí kolik gramů je té které potraviny ve stravě obsaženo. Požadavky na množství jednotlivých živin a vitamínů v jídelníčku tak, aby obsahoval všechno potřebné pro naše tělo, nejsou stejné pro každou osobu. Toto množství je závislé jednak na skladbě těla toho kterého jedince, tedy určitě jiné výživové potřeby bude mít dospělý chlap, který měří 190 centimetrů a jiné drobná žena měřící jen 160 centimetrů a vážící skoro o polovinu méně než zmíněný chlap. Značný rozdíl se projevuje převážně v potřebě na přijatou energii, ta je závislá nejen od skladby těla, ale také na způsobu života, případě na druhu vykonávaného povolání. Například člověk, který celý den manuálně pracuje, a má tedy veliký výdej energie a tudíž jí bude potřebovat tělu i více dodat, než třeba člověk, který cely den sedí v kanceláři a pohybu má minimálně. Proto je potřeba typově zvolit člověka, pro kterého výsledný jídelníček bude. Výsledné složení potravin, podle, by mělo odpovídat potřebám na obsah jednotlivých živin a vitamínu pro dospělou ženu, která měří přibližně 165–170 centimetrů a váží okolo 60 kilogramů, tedy ženě spíše drobnější a menšího vzrůstu. Podle toho jsou pak zvoleny pravé strany jednotlivých omezení, neboli hodnoty kolik které živiny a vitamínu se má v jídelníčku vyskytovat. V tabulce 1 uvádím množství živin a vitamínů, které jsem ve své práci zmínila. Do modelu bude tedy zahrnuto 30 potravin, kam jsem zařadila alespoň nějaké zástupce základních potravin, jako je třeba maso, nebo mléčné výrobky, které by se měli vyskytovat v jídelníčku každého, a to z důvodu, že obsahují nezbytečné látky pro náš organismus. Třeba mléčné výrobky jako tvrdé sýry, mléko jsou bohaté na vápník, který v tak velkém množství není v žádné jiné potravině, proto by se měli vyskytovat v jídelníčku každého z nás. Při výběru potravin jsem se řídila převážně svými preferencemi.

19

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Potravina (100 g) Kuřecí maso Krůtí maso Hovězí maso Vepřové maso Losos Makrela uzená Sýr Eidam 40% Mléko polotučné (ml) Sýr Cottage Chléb celozrnný Toustový chléb Rohlík světlý Kuřecí šunka Těstoviny Activia jogurt (jahoda) Activia jogurt (bílá) Okurka Paprika Brambory Špenát (mražený) Pomeranče Mandarinky Rajčata Citron Banány Ananas Květák Kedluben Meloun vodní Tuňák

energie (kJ) 430 550 691 760 845 975 1311 190 473 940 1183 1197 531 1712 388 289 67 121 302 137 197 197 103 197 398 196 121 79 118 1666

bílkoviny (g) 23 22 12,5 13,3 19,9 21,4 26,1 3,2 11,5 7,3 7,8 8,4 13,6 11,64 3,6 4,7 0,7 1,2 1,76 3,2 0,9 0,9 1,1 0,7 0,3 0,4 2,4 1,2 0,5 21,5

tuky sacharidy vit A vit C vláknina vápník cena za (g) (g) (RE) (mg) (g) (mg) 100 g 1 0 44 1,1 0 12 14 5 0 42 0,8 0 15 18 13 0 26 1 0 8 17 14 0 18 1 0 24 15 13,6 0 6 1,1 0 25 27 16,3 0,1 54 0 0 15 12 23,4 0,1 208 0 0 600 31 5 3,3 14 1,1 0 250 3 5 3,3 10 0 0 280 10 1,2 46,2 3 0 6 19 8 3,2 54,8 0 0 3 0 6 1 60,1 0 0 3 100 4 1,8 13,7 4 0 1,2 10 20 8,76 69,96 0 0 0 25 9 2,6 14 20 0 0,2 120 8 3,4 5 31 0 0 145 11 0,2 2,6 14 10 1 10 5 0,5 5,2 264 191 0,8 16 9 0,12 17,24 3 23,2 0,7 8 2 0,6 4,1 354 5 0,2 81 3 0,3 11,7 10 51,3 2,4 42 4 0,3 10,6 4 34,6 1,8 37 5 0,3 4,6 53 25 0,5 21 9 0,5 10,5 0 49 0,4 26 5 0,3 10,1 4 14 3 6 6 0,2 23 7,8 20,6 3,7 7 9 0,3 4,4 1 69 4 408 9 0,1 3,4 17 48 0,5 260 2 0,1 6,5 124 22,5 1,1 11 11 37 0 4 0,5 0 13 52

Tabulka 1: Nutriční hodnoty potravin[11],[13],[18]

Index i v tabulce 1 je index označující i-tou potravinu, i = 1, 2, …, n, kde n = 30.

20

4.1 Model lineárního programování Nejprve zde uvedu klasický model nutričního problému bez využití cílového programování. Cílem modelu je vybrat vhodné složení jídelníčku, při respektování celkem osmi omezujících podmínek na jednotlivé živiny plus podmínek nezápornosti. o Účelová funkce bude minimalizovat celkovou cenu nakoupených potraviny

→ MIN

z=

o Omezení, aby hodnota přijaté energie byla větší než 8400 kilojoulů.

o Omezení, aby objem bílkovin ve stravě byl alespoň 60 gramů.

o Omezení, aby hodnota přijatý tuků ve stravě nepřevýšila celkem 70 gramů.

o Omezení, aby hodnota sacharidů byla maximálně 260 gramů.

o Omezení, aby byl v potravě obsažen vitamín A maximálně v hodnotě 800 RE.

21

o Omezení, aby vitamín C byl obsažen maximálně v hodnotě 60 miligramů.

o Omezení, aby bylo v potravě obsaženo minimální množství 28 gramů vlákniny.

o Omezení, aby hodnota vápníku v denním příjmu byla alespoň 1000 miligramů.

o Podmínky nezápornosti, Omezující podmínky jsou zapsány ve tvaru sumací z důvodu velkého počtu strukturních proměnných. Interpretaci předvedu například na omezující podmínce na hodnotu vápníku. Strukturních proměnných, které zastupují jednotlivé potraviny, model obsahuje celkem 30, do sumy zahrnujeme všechny proměnné, neboli potraviny, proto suma je od jedné do třiceti. Konkrétně tedy omezující podmínka na hodnotu vápníku ve stravě znamená, že každou potravinu, tedy první až třicátou, vynásobíme jí příslušným množstvím vápníku, které obsahuje, a poté tyto násobky u každé potraviny sečteme a tato hodnota musí být menší nebo 1000 miligramů. Obdobná interpretace je také u ostatních omezujících podmínek. Model jsem zadala do systému MPL, který vypočetl následující řešení. Hodnota každé strukturní proměnné ( ) udává, kolik se té které potraviny vyskytne v jídelníčku (viz tabulka 2). Jídelníček se bude skládat z 210 gramů uzené makrely, 270 mililitrů mléka, 143 gramů celozrnného chleba, 230 gramů toustového chleba, 407 gramů banánů a celková cena bude 78 Kč. Strava bude obsahovat celkem 8425 kJ, 83 gramů bílkovin, 58 gramů tuků, 258 gramů sacharidů, 171 RE vitamínu A, 59 miligramů vitamínu C, 28 gramů vlákniny a 1000 miligramů vápníku (viz tabulka 2). Řešení je optimální, všechny omezující podmínky byly splněny. Dostali jsme tak k výslednému optimálnímu složení jídelníčku.

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Potravina (100 g) Kuřecí maso Krůtí maso Hovězí maso Vepřové maso Losos Makrela uzená Sýr Eidam 40% Mléko polotučné (ml) Sýr Cottage Chléb celozrnný Toustový chléb Rohlík světlý Kuřecí šunka Těstoviny Activia jogurt (jahoda)

Xi 0 0 0 0 0 2,1 0 2,7 0 1,43 2,3 0 0 0 0

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Potravina (100 g) Activia jogurt (bílá) Okurka Paprika Brambory Špenát (mražený) Pomeranče Mandarinky Rajčata Citron Banány Ananas Květák Kedluben Meloun vodní Tuňák

Xi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4,07 0 0 0 0 0

Tabulka 2: Strukturní proměnné lineárního modelu

4.2 Model cílového programování Při sestavení druhého modelu využiji cílové programování, a to z několika důvodů. Každá živina a vitamín mají svá doporučená denní množství, ale není potřeba, aby byla použita striktní omezení ve formě ≥, nebo ≤. Pro větší reálnost je lepší použít cílové programování, kde nebudou tato striktní omezení, ale budou zde omezení, aby se to které množství živiny pohybovalo kolem zadané hodnoty. Je jasné, že denně nemáme v potravě přesně 28 gramů vlákniny, ale chceme, aby se to kolem této hodnoty pohybovalo. K tomu je potřeba, aby v modelu byly použity odchylkové proměnné, které budou vyjadřovat kladné nebo záporné odchylky od daných hodnot u jednotlivých doporučených denních množství na živiny. V modelu cílového programování se používají pevné a volné cíle, já v tomto případě použiji jen cíle volné.[3] Účelová funkce bude vyjádřena jako minimalizace odchylek od zadaných cílů. I v mém modelu se vyskytuje více cílů, proto je potřeba pro jednotlivé cíle stanovit jejich důležitost. Jejich důležitost stanovím podle bezrozměrných koeficientů neboli vah. Po stanovení vah pro jednotlivé cíle bude pak účelová funkce představovat minimalizaci váženého součtu odchylek.[3]

23

4.2.1 Stanovení vah pro jednotlivé cíle Metod ke stanovení vah kriterií existuje více, odlišují se způsobem jejich výpočtu, tedy algoritmem. Odlišnost lze také najít v typu informací, které jsou pro stanovení vah u té které metody potřeba. Při porovnávání kritérií mezi sebou platí, že čím je kritérium pro hodnotitele významnější, tím je jeho váha větší. Aby se následně daly váhy souboru kriterií porovnávat, normují se váhy zpravidla tak, aby jejich součet byl roven jedné. [14] Mezi metody pro určení vah kritérií patří například metoda pořadí, alokační, bodovací, nebo párové srovnání (tzv. Fuller). Já zde využiji metodu párového srovnání. Metoda párového srovnání bývá také nazývána Fullerovou metodou. Je to z důvodu, že pro její větší přehlednost sestavujeme tzv. Fullerův trojúhelník. Tento trojúhelník má vždy j – 1 dvojřádků, kde j je počet kritérií modelu. V prvním řádku jsou všechny kombinace pro porovnání s prvním kritériem, v druhém řádku pak kombinace pro porovnání s druhým kritériem. Vždy mezi sebou porovnáme dvě kritéria a z každé takové dvojice je vybráno jedno, které hodnotiteli přijde důležitější. Vybrané kritérium je v následujícím trojúhelníku zvýrazněné fialovou barvou (viz tabulka 3).

f1 f2

f1 f3

f1 f4

f1 f5

f1 f6

f1 f7

f1 f8

f2 f3 f3 f4 f4 f5 f5 f6 f6 f7 f7 f8 f8 f9

f2 f4 f3 f5 f4 f6 f5 f7 f6 f8 f7 f9

f2 f5 f3 f6 f4 f7 f5 f8 f6 f9

f2 f6 f3 f7 f4 f8 f5 f9

f2 f7 f3 f8 f4 f9

f2 f8 f3 f9

f2 f9

Tabulka 3: Fullerův trojúhelník

24

f1 f9

Kritéria:         

f1…energie f2…bílkoviny f3…tuky f4…sacharidy f5…vitamín A f6…vitamín C f7…vláknina f8…vápník f9…cena

Stanovení vah Nejprve sečteme, kolikrát bylo každé kriterium označeno a následně váhy spočítáme podle vzorce

kde znamená kolikrát bylo dané kritérium vybráno Wj je výsledná váha Po sestavení Fullerova trojúhelníku a po zhodnocení vždy dvou kritérií mezi sebou, došlo k situaci, že poslední kritérium, tedy cena, nebylo ani jednou vybráno jako důležitější. Tedy bylo v jejím případu nula, ovšem v tom případě by dané kritérium bylo pro model zbytečné. Proto pokud chceme nadále s daným kritériem pracovat musí být všechny hodnoty zvýšeny o jedničku (viz tabulka 4).

Kritéria

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

bj Plus 1

4 5

5 6

2 3

7 8

1 2

2 3

1 2

4 5

0 1

26 35

Váhy

0,14

0,17

0,09

0,23

0,06

0,09

0,06

0,14

0,03

1

Tabulka 4: Váhy kritérií

25

Celkem

4.2.2 Matematický model úlohy s cíli Tento model obsahuje osm omezujících podmínek na obsah jednotlivých živin a jednu podmínku na výši ceny, celkem tedy devět omezujících podmínek. Původní podmínky byly modifikovány, aby se jednalo o model cílového programování, takže každá omezující podmínka má svůj cíl. Změna je také u účelové funkce, pomocí níž teď minimalizujeme vážený součet odchylek. Z původní účelové funkce se v tomto modelu stala omezující podmínka, která bude zajišťovat, aby se cena potravin pohybovala kolem zadané hodnoty.

o Účelová funkce – minimalizace váženého součtu odchylek Minimalizovat Z=

o Omezení, aby se hodnota přijaté energie pohybovala okolo hodnoty 8400 kilojoulů.

o Omezení, aby objem bílkovin ve stravě byl vyšší než 60 gramů.

o Omezení, aby hodnota přijatý tuků ve stravě nepřevýšila celkem 70 gramů.

o Omezení, aby se hodnota sacharidů pohybovala kolem hodnoty 260 gramů.

26

o Omezení, aby byl v potravě obsažen vitamín A maximálně v hodnotě 800 RE.

o Omezení, aby vitamín C byl obsažen maximálně v hodnotě 60 miligramů.

o Omezení, aby bylo v potravě obsaženo minimální množství 28 gramů vlákniny.

o Omezení, aby hodnota vápníku v denním příjmu byla alespoň 1000 gramů.

o Omezení, aby se cena potravin pohybovala kolem hodnoty 150 Kč.

o Podmínky nezápornosti,

pro i=1,..,30,

Výše zmíněný model je již konkrétní model cílového programování. Tento model je založen na tom, že každá omezující podmínka má svou cílovou hodnotu, ke které se pak dané omezení vztahuje. U cílového programování mohou být podmínky definovány buď jako pevné, nebo jako volné cíle. Model cílového programování obsahuje na rozdíl od modelu lineárního programování ještě odchylkové proměnné. Ty se využívají právě u volných cílů, které jsou v tomto modelu zastoupeny. Odchylkové proměnné zajišťují, že dané omezené nemusí být přesně splněno, ale aby se výsledná hodnota buď pohybovala kolem cílové hodnoty, nebo se ze shora anebo ze zdola co nejvíce přibližovala dané cílové hodnotě.

27

První zmíněný model, model lineárního programování, měl definovanou účelovou jako minimalizaci nákladů, které je potřeba vynaložit na zakoupení potravin obsažených v jídelníčku. V modelu cílového programování pomocí účelové funkce minimalizujeme vážený součet odchylek. Aby byly využity i údaje o cenách jednotlivých potravin, obsahuje tento model omezující podmínku, která zajišťuje, aby se náklady potřebné na stravu pohybovaly kolem hodnoty 150 Kč. Tuto hodnotu jsem zvolila já, při volbě jsem vyšla ze subjektivního pocitu, kolik by asi tak mohla cena být. V tabulce 5 je řešení, které jsem získala výpočtem modelu v softwaru MPL. V jídelníčku se budou objevovat jen 7 potravin, jak je z uvedené tabulky vidět. Strava bude vypadat tak, že se bude skládat z 290 ml mléka, 175 gramů těstovin, 180 gramů špenátu, 606 gramů banánu, 240 gramů ananasu, 41 gramů vodního melounu a 98 gramů tuňáka.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


X 0 0 0 0 0 0 0 2,9 0 0 0 0 0 1,75 0

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


X 0 0 0 0 1,8 0 0 0 0 6,06 2,4 0 0 0,41 0,98

Tabulka 5: Strukturní proměnné modelu s cíli

Všechny odchylkové proměnné, jen kromě dvou, vyšli nulové. To lze interpretovat tak, že omezení bylo přesně splněno. Pouze omezení na množství vitamínu A a na cenu, nebylo splněno jako rovnost. Omezující podmínka na množství vitamínu A ve stravě byla formulovaná za pomocí kladné odchylkové proměnné tak, aby se celková hodnota obsaženého vitamínu A ze zdola co nejvíce přibližovala hodnotě 800RE. Kladná odchylková proměnná v omezení na hodnotu vitamínu A ve stravě je 20, takže celý jídelníček obsahuje jen 780 RE.

28

Obdobně lze definovat odchylkové proměnné v případě omezující podmínky na cenu. Tato podmínka na rozdíl od omezení na vitamín A obsahuje odchylkovou proměnnou kladnou i zápornou. To znamená, že je zadán požadavek, aby se cena stravy pohybovala kolem zadané hodnoty, v mém případě kolem hodnoty 150 Kč. Výsledný jídelníček stojí jen 145 Kč, takže odchylková proměnná je rovna 5. Pouze dvě omezující podmínky tedy nebyly splněny jako rovnost, všechny ostatní požadavky na množství té dané živiny byly splněny přesně. Strava tedy bude obsahovat celkem 8400 kJ, 60 gramů bílkovin, 70 gramů tuků, 260 gramů sacharidů, 60 miligramů vitamínu C, 780 RE, 28 gramů vlákniny, 1000 miligramů vápníku a celkem budou všechny potraviny stát 145 Kč. Po vyřešení lineárního modelu i modelu cílového programování, které jsem oba vyřešila pomocí softwaru MPL, se nabízí výsledky z těchto dvou modelů porovnat. Patrné rozdíly jsou k vidění při porovnávání, které potraviny byly do každého z řešení vybrány. Pouze dvě potraviny jsou shodně vybrané jak při řešení lineárního modelu, tak při řešení modelu cílového, a to jsou banány a polotučné mléko. U banánů může být příčinou to, že jsou poměrně hojné na množství obsažené energie, ale na druhou stranu neobsahují velké množství tuků a dalším pozitivem bude zajisté, že jsou také bohaté na vitamín C. U mléka zase hraje rozhodující roli množství obsaženého vápníku, na ten je mléko opravdu bohaté. Žádné jiné stejné dvě potraviny se již nevyskytly u řešení pomocí obou modelů, takže každé řešení přináší jiné výsledky. První řešení, tedy řešení modelu lineárního programování, obsahovalo oproti modelu cílového programování více pečiva. Podle tohoto řešení by měl jídelníček obsahovat 143 gramů celozrnného chleba a 230 gramů toustového chleba. Naproti tomu jídelníček složený podle výsledku modelu cílového programování neobsahuje pečivo vůbec žádné. Na druhou stranu obsahuje více ovoce, které se zase vůbec nevyskytuje u prvního jídelníčku. Druhý jídelníček, sestavený podle modelu cílového programování, obsahuje 600 gramů banánů, 240 gramů ananasu a 41 gramů vodního melounu. Je tedy zajímavé sledovat, že řešení obou modelů přinese úplně jiné řešení a tím tedy i výsledné složení jídelníčku.

29

4.2.3 Modifikace modelu cílového programování Výchozí model cílového programování jsem upravila tak, že jsem k ostatním podmínkám přidala ještě podmínky celočíselnosti. Výsledek je uveden v tabulce 6. Jídelníček bude nyní sestaven jen z 8 potravin. Bude obsahovat 300 mililitrů mléka, 200 gramů těstovin, 100 gramů mandarinek, 400 gramů banánů, 100 gramů ananasu, 600 gramů vodního melounu a 100 gramů tuňáka. Strava bude teď obsahovat 8400 kJ, 63 gramů bílkovin, 68 gramů tuků, 260 gramů sacharidů, 780 RE, 60 miligramů vitamínu C, 30 gramů vlákniny, 1005 gram§ vápníku a celkem bude strava stát 183 Kč. Model jsem chtěla ještě modifikovat přidáním podmínky, aby proměnné byli binární, ale tato úloha neměla přípustné řešení. Protože i většina odchylkových proměnných byla nulových, nemělo smysl přidávat podmínku na omezení hodnoty některé z nich.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


X 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


X 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 6 1

Tabulka 6: Strukturní proměnné modelu s podmínkami celočíselnosti

Protože při žádném řešení strava neobsahuje ani jedno z druhů mas, přidám do modelu podmínku, která bude zajišťovat, aby jídelníček obsahoval alespoň 100 gramů nějakého druhu masa. Podmínku formuluji jako volný cíl, kdy součet hodnot proměnných bude minimálně 1.

30

Podmínka pak bude vypadat následovně:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


X 0,45 0,22 0 0 0,35 0 0 0 0 0 1,51 0 0 2 2,11

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4,2 5,2 0 0 0,5 1,5

Tabulka 7: Strukturní proměnné modelu s omezující podmínkou na množství masa

V tomto případě bude jídelníček složen ze 45 gramů kuřecího masa, 22 gramů krůtího masa, 35 gramů lososa, 150 gramů toustového chleba, 210 gramů activie jahodové, 420 gramů banánů, 520 gramů ananasu, 50 gramů melounu a ze 150 gramů tuňáka (viz tabulka 7). Strava bude celkem obsahovat 8445 kJ, 77 gramů bílkovin, 70 gramů tuků, 255 gramů sacharidů, 250 RE, 60 miligramů vitamínu C, 37 gramů vlákniny, 1000 miligramů vápníku a celková cena bude 200 Kč. V při řešení modelu s přidáním podmínky na omezení množství masa a také při řešení modelu cílového programování, obsahoval výsledný jídelníček hodně banánu. Třeba každý nemá rád banány natolik, aby jich jedl půl kilogramu denně. Proto ještě modifikuji model tak, že přidám omezující podmínku na množství banánu. Podmínka přidám do modelu, který již obsahuje omezující podmínku na množství masa. Omezení bude formulované jako volný cíl, který bude vyjadřovat, aby celkové množství banánů nepřesáhlo 200 gramů.

31

V tomto případě bude podmínka vypadat následovně:

Jídelníček bude nyní složen ze 75 gramů kuřecího masa, 28 gramů vepřového masa, 421 mililitrů mléka, 56 gramů světlého rohlíku, 80 gramů brambor, 110 gramů banánů, 350 gramů ananasu, 300 gramů vodního melounu a 280 gramů tuňáka (viz tabulka 8).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


X 0,75 0 0 0,28 0 0 0 4,21 0 0 0 0,56 0 2 0

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


X 0 0 0 0,8 0 0 0 0 0 1,1 3,5 0 0 3 2,8

Tabulka 8: Strukturní proměnné modelu s omezující podmínkou na množství banánu

32

Závěr V této práci jsem se zabývala zdravým stravováním a za pomocí lineárního modelování jsem se snažila přijít na to, z čeho by se měl zdravý jídelniček skládat. Výsledné složení potravin, které se měli v jídelníčku vyskytovat, je poměrně pestré, přesto je ale vždy soustředěno kolem úzkého počtu potravin. První část práce je zaměřena na teorii spojenou s tímto tématem. Tedy stručné popsání lineárního programování a také programování cílového, který jsem využila při sestavování modelu. V druhé části lze najít a seznámit se zásadami zdravého stravování a také s popisem důležitých živin a vitamínů, které naše tělo potřebuje. Třetí a poslední část je zamřena prakticky, je zde popsán sestavený matematický model a následně také výsledky, které jsem získala výpočtem v softwaru MPL. Matematické modely jsem ve své práci sestavila dva. První z nich byl sestaven na základě matematického modelu, který se nejčastěji v těchto typech úloh používá, s názvem nutriční problém. Druhý model představuje model cílového programování, který se v tomto případě nabízí jako vhodný. Ke každému modelu jsou v přehledné tabulce uvedeny získané výsledky a stručně okomentované. Když bych měla shrnout rozdíl mezi výsledky získanými pomocí prvního a druhého modelu, vlastně se od sebe nějak výrazně neliší. Tomu také napovídá to, že při výpočtu modelu cílového programování vyšly pouze dvě odchylkové proměnné nenulové. Tedy všechny ostatní omezení byly přesně splněny.

33

Seznam použitých zdrojů Literatura [1] Fábry, J.: Matematické modelování. Praha: Oeconomica, 2009. ISBN 978-80245-1266-2 [2] Chrpová, D.: S výživou zdravě po celý život. Praha: Grada Publishing, 2010. ISBN 978-80-247-1512-3. [3] Jones, D.; Tamiz, M.: Practical Goal Programming. International Series in Operations Research & Management Science. Springer, 2010. [4] Jablonský, J. Operační výzkum: Kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. Praha: Professional Pulishing, 2007. ISBN 978-80-86946-44-3. [5] Jablonský, J.:Programy pro matematické modelování. Praha: Oeconomica, 2007. ISBN 978-80-245-1178-8. [6] Kalač, P.: Funkční potraviny. České Budějovice: Nakladatelství Dona, 2003. ISBN 80-73322-029-6. [7] Kunová, V.: Zdravý výživa a hubnutí. Praha: Grada Publishing, 2005. ISBN 80247-1050-1. [8] Lagová, M.; Jablonský, J.: Lineární modely. Praha: Oeconomica, 2009. ISNB 978-80-245-1511-3. [9] Schreiber, V.: Vitaminy. H a H Jinočany, 1993. ISBN 80-85787-172 [10] Ungerová – Gobelová, U.: Vitaminy. Ikar, 1999. ISBN 80-7202-508-2.

Internetové zdroje [11] Centrum pro databázi složení potravin [online]. 2010. Dostupné z http://www.czfcdb.cz/ [12] Citaty.net [online]. 2007-2011. Citáty slavných osobností. Dostupné z WWW: http://citaty.net/citaty-o-zdravi/?page=3 [13] Databáze potravin. Stobklub [online]. 2010. Dostupné z: http://www.stobklub.cz/databaze-potravin/ [14] Hodnocení kvality přemístění v MHD: Metody stanovení vah kriterií [online]. 2010. Dostupné z: http://kds.vsb.cz/mhd/kvalita-vahy.htm 34

[15] Laktea: Ovoce do http://www.ovocedoskol.eu/node/24

škol

[online].

2011.

Dostupné

z:

[16] Potravinová pyramida. Fitweb [online]. Dostupné z: http://www.fitweb.cz/clanky/hubnuti/457863-potravinova-pyramida [17] Potravinová pyramida: Základ zdravé výživy. [online]. Dostupné z: http://www.mineralfit.cz/clanek/potravinova-pyramida-zaklad-zdrave-vyzivy [18] Potraviny domů: Prodej a rozvoz potravin domů [online]. 2011. Dostupné z: http://www.potravinydomu.cz/ [19] V České republice je 55% lidí s nadváhou a obeztiou. [online]. Dostupné z: http://www.vzp.cz/klienti/aktuality/pruzkum-obezity-2011 [20] Vitamín A: Informace, dostupnost, předávkování, nedostatek [online]. 2011. Dostupné z: http://vitamin-a.cz/ [21] Vitamín v potravinách [online]. Dostupné z: http://www.mojevitaminy.cz/vitaminy-v-potravinach/ [22] Základní živiny [online]. Dostupné z: http://www.obezita.cz/hubnuti/vyzivovepoznatky/zakladni-ziviny/ [23] Základní živiny: Pohyb a výživa [online]. Dostupné z: http://www.pohybvyziva.cz/archives/62

35

36

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucie Hrubá

Recommend Documents