Vysoká škola ekonomická v Praze. Fakulta informatiky a statistiky DISERTANÍ PRÁCE Petr Soukal - 1 -

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky

DISERTA NÍ PRÁCE

2003

Petr Soukal

-1-

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakulta informatiky a statistiky

Studijní program: Kvantitativní metody v ekonomice

DISERTA NÍ PRÁCE

EMPIRICKÉ OV

Doktorand: Školitel:

ENÍ BLACK-SCHOLESOVA MODELU OCE OVÁNÍ OPCÍ NA AKCIE GENERAL ELECTRIC A IBM

Petr Soukal Doc.Ing. Ji í Trešl, CSc.

Praha, 2003

-2-

PROHLÁŠENÍ

Prohlašuji, že diserta ní práci na uvedené téma jsem vypracoval samostatn . Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v p iloženém seznamu literatury.

Podpis

V Praze, dne 28. srpna 2003

-3-

OBSAH: Kapitola

strana

1. Cíl a úvod práce 2. Co je to opce

2.1. Zajímavosti z historie opcí od starov ku ke dnešku 2.2. Podstata opce 2.3. Terminologie 2.3.1. základní typy opcí podle podkladového instrumentu

2.4. Oce ování opcí

2.4.1. Oce ování kupních opcí v dob t sn p ed splatností 2.4.2. Cena kupní opce s nulovou uplat ovací cenou a nekone nou dobou do splatnosti 2.4.3. Zisk a ztráta opce v dob t sn p ed splatností 2.4.4. Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými uplat ovacími cenami 2.4.5. Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými dobami do splatnosti 2.4.6. Cena kupní opce a úrokové míry 2.4.7. Ceny kupních opcí a rizikovost akcií 2.4.8. Kupní opce jako pojišt ní 2.4.9. Modely oce ování opcí

3. Opce na akcie na finan ních trzích

6 7

7 8 8 9 10 10 11 12 12 13 14 16 16 17

18

3.1. Eurex 3.2. London International Financial Futures and Options Exchange (LIFFE) 3.3. Chicago Board Options Exchange (CBOE)

18 20 21

4.1. Základní myšlenka B-S modelu 4.2. P edpoklady Black-Scholesova modelu 4.3. Jádro Black-Scholesova modelu 4.4. D kaz pro Black-Scholes v vzorec 4.5. Stochastický po et 4.6. Binomický model 4.7. GARCH Options Pricing model 4.8. Simulace Monte Carlo

23 24 26 29 33 37 38 39

5.1. Nekonstantní volatilita 5.2. P í iny nekonstantní volatility a zp soby jejího modelování 5.3. Úprava Black-Scholesova modelu o nekonstantní volatilitu

45 46 47

4. Black-Scholes v model oce ování opcí

5. Volatilita v Black-Scholesov modelu

5.3.1. Periodické deterministické zm ny volatility 5.3.2. Náhodné zm ny volatility 5.3.2.1. Volatilita je funkcí ceny podkladového aktiva 5.3.2.2. Volatilita se náhodn m ní

6. Ostatní parametry Black-Scholesova modelu a problémy s jejich ur ením 6.1. Dividendy

6.1.1. Spojitý dividendový výnos 6.1.2. Diskrétní dividendový výnos

23

41

47 48 48 48

50

51

51 51

6.2. Nenormální charakter rozd lení výnos 6.3. Parita kupní-prodejní opce (call-put parity)

52 54

6.3.1. Evropská prodejní (put) opce

54

6.4. Americká opce 6.5. Oce ování opcí na zahrani ní m nu

55 56

6.6. Citlivost hodnot opcí

57

7.1. Vstupní informace 7.2. Odhad volatility 7.3. Modely použité k odhadu ceny opce 7.4. Srovnání model použitých k odhadu ceny opce

63 66 67 68

6.5.1. Evropská opce na cizí m nu 6.5.2. Evropská opce na drahý kov

56 56

7. Empirické ov ení B-S modelu na datech - popis experimentu

8. Záv r 9. Literatura

-4-

60

81 84

10. P ílohy 10.1. P 10.2. P 10.3. P 10.4. P 10.5. P 10.6. P

íloha I.: trochu ísel k General Electric íloha II.: trochu ísel k IBM íloha III.: výsledky experimentu pro GE, kupní opce íloha IV.: výsledky experimentu pro GE, prodejní opce íloha V.: výsledky experimentu pro IBM, kupní opce íloha VI.: výsledky experimentu pro IBM, prodejní opce

-5-

86

86 87 88 90 92 94

1. Cíl a úvod práce Prvním cílem práce je stru n p edstavit op ní obchody, základní len ní opcí, jejich historii a možnosti jejich oce ování. P edstavit hlavní veli iny ovliv ující cenu opce a vliv p sobení t chto veli in na správnost ur ení ceny opce. Nazna it fungování hlavních op ních burz, seznámit s jejich pravidly a specifickými charakteristikami jednotlivých burz v Evrop a USA. Druhým cílem je seznámit s jedním z model oce ování opcí tzv. Black-Scholesovým (B-S) modelem. Nazna it princip jeho funk nosti a interpretaci. Jelikož jako jeden z mnoha dalších teoretických aparát B-S model vychází z p edpoklad um le vytvo ených, které slouží k zjednodušení relativn komplikovaného prost edí finan ních trh , je nezbytné upozornit na vzniklé diference mezi teoretickými a praktickými výstupy a poukázat na jejich možnou p í inu. I p es nereálnost níže uvedených teoretických p edpoklad , z kterých vychází mimo jiné i další metody, se považuje B-S model za základní stavební kámen oce ování op ních kontrakt . Tato metoda je použitelná i pro mnohem více finan ních instrument , než jen pro opce. B-S metoda ohodnocení derivát byla zformulována pány Fisherem Blackem, Myronem Scholesem a Robertem Mertonem. Ani jeden z nich nebyl p vodním zam ením ekonom, což sv d í o stále užším spojování matematiky a ekonomie. Za jejich hodnotnou práci jim byla ud lena Nobelova cena pro rok 1997 (F. Black zem el roku 1995). První exaktní vzorce pro oce ování byly publikovány již v roce 1973, od té doby došlo k obrovskému rozkv tu op ních obchod jak na termínových burzách tak i tzv. OTC obchod po celém sv t . I p es nedostatky B-S modelu, které budou zmín ny, se stal tento teoretický aparát základním prost edkem stanovení ceny náklad na uzav ení op ního kontraktu. I p estože B-S model není jediný model užívaný ke stanovení ceny opce, dává velmi uspokojivé empirické výsledky a proto je tak rozší ený. T etím a hlavním cílem a zárove jádrem práce je empirické ov ení oce ování kupních a prodejních op ních kontrakt evropského typu na reálných datech spole ností General Electric a IBM pomocí model založených p evážn na B-S vzorci a možností simulace Monte Carlo. V rámci ov ení použijeme r zné metody odhadu volatility podkladového aktiva a ukážeme si jaký vliv mají rozdílné metody odhadu volatility (a tím samoz ejm i r zné hodnoty odhadu volatility) na „odchylku“ mezi teoretickou (tržní, skute nou) a empirickou (modelovou, vypo ítanou) cenou evropské opce. Významnost t chto odchylek statisticky otestujeme, vyhodnotíme a pro každé podkladové aktivum v záv ru doporu íme nejvhodn jší model. V rámci celé práce budeme výstupy analýz prezentovat formou tabulek a graf . Po provedení logického celku experiment shrneme hlavní záv ry v podob komentá e.

-6-

2. Co je to opce 2.1. Zajímavosti z historie opcí od starov ku ke dnešku Ohledn opcí panuje jeden velmi rozší ený p edsudek. Má se za to, že jde o moderní vynález, který se objevil teprve v sedmdesátých letech. V sedmdesátých letech se však objevily první teoretické modely umož ující solidní oce ování opcí sou asn s výkonnou a dostupnou výpo etní technikou, která je umožnila v praxi skute n používat. Op ní obchody se objevují již ve starém ecku. Ve st edov ku a po átkem novov ku se op ní kontrakty vyskytují v Benátské republice a ve Florencii. Nebývají však samostatn obchodovány, jsou typicky sou ástí jiných cenných papír jako tzv. embedded options. Konkrétn šlo o podmínky svolatelnosti dlouhodobých obligací. Totéž použití našly opce pozd ji, v 16. a 17. století ve Spojených nizozemských provinciích a ješt o n co pozd ji v Anglii. Obligace nizozemských m st, které sloužily mimo jiné i k financování osvobození zem od nadvlády špan lských Habsburk , byly emitovány s nekone nou platností, jako tzv. perpetuity. Obsahovaly však obvykle opci ve form podmínek svolatelnosti ve prosp ch emitenta. Tyto opce byly také pozd ji skute n použity. Proto se dnes nizozemských perpetuit již mnoho nevyskytuje a pokud ano, jde o málo likvidní cenné papíry. Anglie vydala v 17. století rovn ž sérii státních perpetuit. Z nich však byly svolatelné pouze n které emise. Tyto obligace se dosud obchodují na burzách a budou se pravd podobn obchodovat do té doby, dokud bude existovat Anglie. Krom nich se však stále obchodují n které svolatelné emise. Tato op ní práva nemají zatím velkou cenu. Britské vlád by se jejich svolání vyplatilo pouze v p ípad , kdyby úrokové sazby klesly na úrove obvyklou v minulých stoletích v é e prakticky nulové inflace: dv až t i procenta. Ale co není, m že být. Ve Spojených státech amerických se klasické opce na akcie objevily záhy po vzniku newyorské burzy v 90. letech 18. století. P es zna nou popularitu však opce nedokázal nikdo korektn oce ovat. To bylo p í inou ady zklamání mezi investory, kte í hodnotu opcí asto zanedbávali. Uplatn ní opce ze strany emitenta (anglické vlády) na snížení kupónu z 8.7 % na 3 % (tato hodnota platila od 50. let 18. století do 90. let 19. století, kdy byla opce na snížení kupónu naposledy; od této doby až dosud je vyplácen kupón ve výši 2.5 %) mohlo být pro tehdejšího investora skute n trpké. V Nizozemí po snížení kupón z 8.33 % na 4 % v roce 1654 dokonce propukly ob anské nepokoje. Investo i si neum li spo ítat, že existence opcí výrazn snižuje reálnou hodnotu dluhopis , které vlastnili. Do objevení Blackova-Scholesova modelu zbývala ješt více než t i staletí… P es teoretickou nemožnost správného oce ování opcí se však v historii objevovaly vskutku pozoruhodné cenné papíry. Jedním z nich je dluhopis Konfederovaných stát Ameriky z roku 1863. Dluhopis obsahuje adu opcí, které v tomto p ípad pracovaly ve prosp ch investora. Vlastník dluhopisu m l na výb r, jakým zp sobem bude provád na výplata úrok a jistiny: investor m l na výb r mezi britskými librami, francouzskými franky. Krom toho byl dluhopis kdykoli konvertibilní do dodávek jižanské bavlny. Sv d í o tom, jak zoufale se Konfederace snažila získat peníze na kapitálovém trhu. ást opcí spojených s tímto dluhopisem byla uplatn na ve form konverze na bavlnu. Po porážce amerického Jihu však byly konfedera ní dluhopisy bezcenné.

-7-

2.2. Podstata opce Jak název napovídá, opce (option) p edstavuje právo koupit nebo prodat po ur itou omezenou dobu (americká opce) nebo k ur itému datu (evropská opce) ur ité aktivum za ur itou cenu. Taková opce má ur itou cenu. Do roku 1973 se s r znými druhy opcí obchodovalo pouze na trhu OTC. Teprve v roce 1973 za ala Chicago Board Options Exchange (CBOE) obchodovat s opcemi na individuální akcie. Od té doby trh s opcemi zmohutn l, vznikly nové op ní burzy a mnoho r zných druh op ních kontrakt . Op ní trh je velice rozmanitý a používá svoji vlastní terminologii. Kolik bude stát odpovídající kupní nebo prodejní opce? To je otázka, na kterou musí mít budoucí investor do opcí odpov . Opce jsou rovn ž velmi d ležité pro zajiš ování (hedging). Použití opcí k ízení rizika je d ležitou oblastí pro porozum ní trhu s opcemi. Nap íklad portfolio manaže i uvítali nové op ní kontrakty na akciové indexy, nebo získali ú inný nástroj pro ízení rizika portfolia. Opce jsou ideální pro investory, kte í jsou chyt í, opatrní a velice nerozhodní.

2.3. Terminologie Existují dv hlaví kategorie opcí, kupní opce (call option) a prodejní opce (put option). Vlastnictví kupní opce dává vlastníkovi právo koupit ur ité aktivum za ur itou cenu s tím, že toto právo trvá po ur itou dobu. Vlastnictví prodejní opce dává vlastníkovi právo prodat ur ité aktivum za ur itou cenu s tím, že toto právo trvá po ur itou dobu. U každé opce existuje kupující a prodávající. Kupující vždy platí prodávajícímu cenu opce (prémie, premium). Každá opce je splatná pouze po ur itou dobu, po této dob (expiration date, maturity) nemá opce žádnou hodnotu. Prodávající opce se také nazývá vystavitel (writer) opce a akt prodeje se nazývá vystavení opce (writing an option). Jak již bylo uvedeno, kupující opce o ekává ur ité chování vystavitele opce. V p ípad kupní opce má vlastník právo nakoupit dané aktivum za ur itých okolností. Jestliže vlastník kupní opce využije práva, vykonal opci (exercise the option). Vlastník vykoná kupní opci tím, že koupí aktivum za podmínek op ního kontraktu. Každý op ní kontrakt obsahuje cenu, za kterou má vlastník opce právo dané aktivum nakoupit. Tato cena se nazývá uplat ovací cena (exercise price, strike price). S opcemi se obchoduje na trhu OTC (over the counter) i na burzách. Op ní burzy jsou organizovány podobn jako t eba burzy na futures. Na obou trzích existuje pro každý kontrakt kupující a prodávající. Mezi t mito dv ma trhy je ur itý rozdíl. Na rozdíl od trh OTC se na burzách obchoduje pouze s ur itými standardními opcemi, pokud jde o podléhající aktivum, datum splatnosti nebo uplat ovací cenu. Naopak opce na trzích OTC vycházejí z požadavk smluvních stran. D sledkem toho je skute nost, že nákup a prodej téže opce na burzách dává nulovou výslednou pozici. Naopak nákup a prodej téže opce na trzích OTC obecn neznamená nulovou výslednou pozici, ale zaujmutí dvou op ních pozic, a tudíž ur ité vystavení se riziku, když jeden partner nedostojí svým závazk m z op ní smlouvy. K nákupu burzovní opce obchodník pot ebuje mít ú et u maklé ské firmy, jejíž maklé je lenem burzy. Obchod se uskute ní stejn snadno, jako je nákup nebo prodej akcie. Kupující opce zaplatí za opci v okamžiku obchodu, takže se nemusí obávat o cashflow v d sledku takového prodeje. Pro prodávajícího je situace trochu komplikovan jší. Tím, že prodávající prodal opci, souhlasil dodat nap íklad danou akcii za danou cenu, jestliže se kupující rozhodne pro uplatn ní opce. Clearingové centrum provádí vypo ádání obchod a napomáhá hladkému pr b hu obchodování. Kupující a prodávající opcí nemají p ímé závazky v i ur ité osob nebo firm , ale závazky v i clearingovému centru. Jestliže je opce vykonána, clearingové centrum spáruje prodávající a kupující a ídí celý proces vypo ádání.

-8-

2.3.1. Základní typy opcí podle podkladového aktiva Akciové opce Na sv tových burzách je obchodováno velké množství akciových opcí. Jsou jak evropského tak amerického typu. Podkladovým aktivem je kurz akcie. M nové opce Opce na zahrani ní m nu bývají jak amerického tak evropského typu. Atraktivní jsou všechny hlavní sv tové m ny. Tzn. americký dolar (mimo USA), euro, britská libra, švýcarský frank, ale rovn ž kanadský a australský dolar. Uplat ovací cenou je dohodnutý m nový kurz. Indexové opce Nejpopulárn jší opce jsou na S&P 500 a S&P 100. Opce na S&P 100 je evropského typu, opce na S&P 500 je amerického typu. P i uplatn ní opce je vyrovnání provedeno v hotovosti, nikoliv doru ením. Dalšími indexovými opcemi jsou nap . NYSE Composite Index (všechny akcie na Americké akciové burze), DJIA index (obchoduje se teprve krátkou dobu, jeho popularita však roste). Rovn ž lze nalézt opce na specializované indexy jako Gold/Silver, Computer Technology, Semiconductor, Pharmaceutical, atd. Opce na futures Opce na futures v sou asné dob existují na v tšinu futures kontrakt . Kupní opce futures dává držiteli právo vstoupit do futures kontraktu v dlouhé pozici. Je uplatn na tehdy, je-li uplat ovací cena nižší než sou asná cena futures. Podobn prodejní opce dává právo vstoupit do futures kontraktu v krátké pozici a je tedy uplatn na, jestliže je futures cena nižší než uplat ovací cena. Pokud držitel opce chce okamžit po uplatn ní zrušit získanou pozici ve futures, obdrží rozdíl uplat ovací a futures ceny. as expirace opcí je v tšinou krátce p ed expirací futures. Nejpopulárn jšími podkladovými futures jsou Treasury bond futures. Dalšími jsou nap . futures na kovy (zlato, st íbro, m ), zahrani ní m ny, zem d lské produkty (pšenice, sojové boby, pomeran ový džus, káva, kakao a další), ropné produkty (surová ropa, topný olej, zemní plyn, atd.) a akciové indexy. Úrokové opce Úrokovými opcemi se nazývají opce na vládní dluhopisy (bondy). Taková opce dává právo koupit (prodat) dluhopis v dohodnutém ase za dohodnutou cenu. Ve svém d sledku to vede k zajišt ní úrokové míry. Úrokové opce jsou však mnohem likvidn jší, než opce na úrokové futures. Na CBOE se v sou asné dob za ínají obchodovat i opce na úrokovou míru. Jejich likvidita je však prozatím malá.

-9-

2.4. Oce ování opcí Sou asné oce ování opcí je výsledkem výzkumu moderních financí. Oce ovací modely vyvinuté pro opce se chovají velice dob e a jejich studium je pro obchodníky d ležité. Obchodníci na op ních burzách mají okamžitý p ístup k informacím z op ních oce ovacích model prost ednictvím po íta na parketu burz. Standardn se pracuje s p ti hlavními faktory, které ovliv ují cenu opce na akcii bez výplaty dividend (nejjednodušší p ípad): C, P cena opce S sou asná ceny podléhající akcie B uplat ovací cena opce τ as do splatnosti opce σ volatilita podléhající akcie (pom r standardní odchylky ceny akcie a st ední hodnoty akcie) r bezriziková úroková míra T doba splatnosti t aktuální doba. Dalšími faktory mohou být nap íklad likvidita trhu, absolutní výše ceny podléhající instrumentu a o ekávání tržních subjekt . Nejprve se zam íme na vliv prvních t í faktor . Poté budeme uvažovat komplikovan jší situace, které berou v úvahu prost edí s r znými úrokovými mírami a r znými úrovn mi rizik. Uvažovat budeme pouze americkou opci. Cenu kupní opce C jako funkci ceny akcie, uplat ovací ceny a asu do splatnosti vyjád íme jako C(S, B, τ). Ozna ení C(300CZK, 280CZK, ¼ roku) = 25CZK íká, že kupní opce na akcii má p i sou asné cen akcie 300CZK, uplat ovací cen opce 280CZK a dob splatnosti ¼ roku hodnotu 25CZK.

2.4.1. Oce ování kupních opcí v dob t sn p ed splatností Jestliže opce není v tomto okamžiku vykonána, potom vzáp tí vyprší a nebude mít žádnou hodnotu. Hodnota opce v dob splatnosti je d ležitou hodnotou, protože p i stanovení této hodnoty zmizí mnoho faktor , které komplikují stanovení ceny opce. V dob splatnosti, tj. τ = 0, mohou vzniknout pouze dv možnosti. Bu je S B nebo S > B. Jestliže cena akcie je nižší nebo rovna uplat ovací cen tj. platí S B, potom kupní opce nemá žádnou hodnotu. Protože opce je t sn p ed splatností, má vlastník kupní opce dv možnosti. M že opci vykonat nebo ji nechat vypršet. Pokud se rozhodne pro vykonání, musí zaplatit uplat ovací cenu B a obdrží akcii, jejíž hodnota na trhu je pouze S. Za t chto okolností se nevyplatí opci vykonat, vlastník ji nechá vypršet a nakoupí akcii p ímo na trhu. Opce nemá hodnotu tj. jestliže S B, potom C(S, B, τ) = 0CZK. P i druhé možnosti cena akcie p evyšuje uplat ovací cenu. Potom se cena opce rovná rozdílu sou asné ceny akcie a uplat ovací ceny, tj. jestliže S > B, potom C(S, B, τ) = S – B. Jestliže by cena opce byla nižší než S – B potom by existovala možnost arbitráže. Arbitrážník by mohl u init koupi kupní opce a následn prodat akcii. Jaká by nastala situace, že by cena kupní opce byla vyšší než S – B. Potom arbitrážník prodá kupní opci za tuto cenu. Vlastník má dv možnosti. Za prvé m že opci nechat vypršet, v tom p ípad arbitrážník realizuje zisk ve výši ceny prodané kupní opce. Za druhé vlastník opci vykoná. V tom p ípad koupí arbitrážník na trhu akcii za S a dodá ji za B vlastníkovi opce. Vlastník opce z ejm z d vodu minimalizace ztráty opci realizuje. V situaci, kdy kupní cena opce je vyšší než S – B je d ležité, že arbitrážník realizoval zisk bez ohledu na to, co ud lá vlastník opce. Protože na trzích prakticky neexistují arbitrážní možnosti a protože vlastník opce minimalizuje ztrátu, musí platit, že v dob t sn p ed splatností opce se cena kupní opce

- 10 -

rovná rozdílu ceny akcie a uplat ovací ceny. Pokud by tomu tak nebylo vždy, potom existují možnosti arbitráže. Pro každou situaci tedy platí C(S, B, 0) = Max(0, S – B)

(2.1.)

1. pravidlo pro hodnotu kupní opce V dob t sn p ed splatností musí mít kupní opce hodnotu (tzv. vnit ní hodnotu), která je rovna nule nebo rozdílu mezi cenou akcie a uplat ovací cenou, podle toho, která hodnota je vyšší. Podobn lze odvodit, že pro cenu prodejní opce P platí P(S, B, 0) = Max(0, B – S).

(2.2.)

V dob t sn p ed splatností musí mít prodejní opce hodnotu, která je rovna nule nebo rozdílu mezi uplat ovací cenou a cenou akcie, podle toho, která je vyšší.

2.4.2. Cena kupní opce s nulovou uplat ovací cenou a nekone nou dobou do splatnosti Kupní opce s nulovou uplat ovací cenou a nekone nou dobou do splatnosti se m že jevit jako bezvýznamná, protože takové opce se na op ním trhu nevyskytují. Tato opce však p edstavuje extrémní p ípad a jako taková se m že použít k stanovení omezení pro možnou cenu opce. Takovou opci je možné bez jakýchkoliv náklad kdykoliv zam nit za samotnou akcii. Opce musí tedy mít hodnotu (cenu) shodnou s cenou akcie, tj. platí C(S, 0, ∞) = S

(2.3.)

2. pravidlo pro kupní cenu opce kupní opce s nulovou uplat ovací cenou a nekone nou dobou do splatnosti se musí prodávat za cenu shodnou s cenou akcie. Ob pravidla ur ují spodní a horní limit pro cenu kupní opce jakožto funkci ceny akcie, uplat ovací ceny a doby do splatnosti. Jestliže kupní opce má nulovou uplat ovací cenu a nekone nou dobu do splatnosti, cena opce se rovná cen akcie, tj. je znázorn na p ímkou jdoucí z po átku pod úhlem 45°. Jedná se o horní limit pro cenu opce. Naopak jestliže opce je t sn p ed splatností, cena opce sleduje druhý limit, který vychází z po átku, až do uplat ovací ceny má nulovou hodnotu a potom se zvedá pod úhlem 45°. Jestliže cena akcie je vyšší než uplat ovací cena, s opcí se obchoduje za cenu rovnou rozdílu cen akcie a uplat ovací ceny. Všechny ostatní opce s ur itou dobou do splatnosti se musí nacházet v oblasti mezi t mito dv ma extrémy. Abychom porozum li oce ování opcí, musíme vzít v úvahu ješt další faktory.

Obr.2.1.: první a druhé pravidlo pro oce ování opce 2.

pravidlo

1. pravidlo

B Cena akcie, CZK

- 11 -

2.4.3. Zisk a ztráta opce v dob t sn p ed splatností V p edchozí ásti jsme ešili p ípad hodnoty opce t sn p ed splatností opce. Zde se budeme zabývat p ípadem, jaký je zisk nebo ztráta opce v dob t sn p ed splatností opce s tím, že opci jsme prodali nebo koupili n kdy v minulosti. P edpokládejme kupní opci s uplat ovací cenou B. Kupní opci jsme zakoupili v minulosti za cenu C. Z t chto údaj m žeme spo ítat zisk nebo ztrátu v dob t sn p ed splatností pro prodávajícího nebo kupujícího opce. Podívejme se nejd íve na kupujícího kupní opce (long call). Pro jakoukoliv cenu akcie nižší nebo rovnu B opce vyprší bez užitku a kupující kupní opce ztratí vše co za ni zaplatil. Jestliže cena akcie p evýší uplat ovací cenu, vlastník kupní opci vykoná. Tím za uplat ovací cenu obdrží akcie, jejíž cena je vyšší. I když vlastník opce tímto realizuje ur itý zisk ten nemusí pokrýt náklady spojené se zakoupením opce. Teprve tehdy, když skute ná cena akcie S p evýší sou et uplat ovací ceny B a ceny kupní opce C, tak má vlastník opce istý zisk. Platí tedy, že vlastník opce kupní opci vykoná vždy, jestliže cena akcie p evýší uplat ovací cenu. I v p ípad vykonání opce m že vlastník opce realizovat ztrátu. Pro prodávajícího kupní opce (short call) je situace p esn opa ná než u kupujícího. Nejlepší situace pro prodávajícího je v p ípad , že cena akcie v dob t sn p ed splatností iní mén než je uplat ovací cena. V tom p ípad prodávajícímu z stává celá op ní prémie C a kupní opce nebude vykonána. Jestliže je tržní cena akcie vyšší než uplat ovací cena, potom opce bude vykonána a prodávající musí dodat akcii, realizuje ztrátu ve výši rozdílu tržní a uplat ovací ceny. istou ztrátu bude realizovat ovšem až v okamžiku kdy se tržní cena p ehoupne p es sou et uplat ovací ceny a ceny opce. Zisk nebo ztráta prodávajícího opce má p esn zrcadlový pr b h zisku nebo ztráty kupujícího opce. To je z ejmé i z toho, že sou et zisk a ztrát kupujícího a prodávajícího téže opce musí být vždy nulový. Op ní trh je trhem s nulovým sou tem (zero sum game). To znamená, že jestliže kupující má zisk, potom prodávající má ztrátu a naopak. Jestliže na op ním trhu se teme všechny zisky a ztráty a vylou íme transak ní náklady, potom celkový sou et bude nulový.

2.4.4. Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými uplat ovacími cenami Jak již bylo uvedeno výše, existuje mnoho uplat ovacích cen a dob splatností opcí na tutéž akcii. Nep ekvapuje, že mezi t mito r znými druhy opcí existují ur ité závislosti, nemá-li mezi nimi existovat arbitrážní možnost. Pro ceny kupních opcí s r znými uplat ovacími cenami B1 a B2 platí vztah B1 < B2

C(S, B1, τ)

C(S, B2, τ)

(2.4.)

3. pravidlo pro hodnotu kupní opce Jestliže se dv opce liší pouze uplat ovacími cenami, potom kupní opce s nižší uplat ovací cenou musí mít cenu, která je rovna nebo v tší než cena kupní opce s vyšší uplat ovací cenou. Dv kupní opce s r znými uplat ovacími cenami umož ují vlastníkovi opce získat stejnou akcii ve stejném asovém období. Opce s nižší uplat ovací cenou však umož uje vlastníkovi získat akcii za nižší cenu. Tudíž opce s nižší uplat ovací cenou musí mít v tší hodnotu. Abychom se o tom p esv d ili, p edstavme si dv opce, které se liší pouze uplat ovací cenou a u kterých neplatí výše popsaný vztah. Opce s uplat ovací cenou B1 se prodává za C1 a opce s uplat ovací cenou B2 se prodává za C2 , platilo by tedy B1 < B2 a C1 < C2 . Opce s uplat ovací cenou B1 je vhodná pro nákup a opce s uplat ovací cenou B2 je vhodná na prodej. Bez ohledu na, jaká bude cena akcie v dob splatnosti, je opce s uplat ovací cenou B1 pro nákup vhodn jší. Jedná se o nereálnou cenovou situaci, která p edstavuje tržní nerovnováhu. Ú astníci trhu budou nakupovat opce s uplat ovací cenou B1 a prodávat opce - 12 -

s uplat ovací cenou B2. Cena opce s uplat ovací cenou B1 bude tudíž r st a cena opce s uplat ovací cenou B2 bude klesat. Výsledkem je rovnovážný stav, kdy ú astníci trhu si budou obou opcí stejn vážit. Tento nákup a prodej opcí vytvá í kombinovanou pozici tzv. spread. Jedná se o nereáln výhodné transakce, nebo a je cena akcie jakákoliv, vždy budeme realizovat zisk. Jedná se o p ípad arbitráže. Mají-li být ceny opcí rozumné, potom nemohou umož ovat arbitráž. K zabrán ní arbitráže musí být cena opce s uplat ovací cenou B1 p inejmenším stejná jako cena opce s uplat ovací cenou B2. jestliže by byly ceny takových opcí stejné, potom obchodník m že koupit opci s nižší uplat ovací cenou a prodat opci s vyšší uplat ovací cenou. Tato strategie negarantuje zisk, ale obchodník nem že ztratit. Mohou nastat situace, kdy se to vyplatí. Z tohoto d vodu se opce s nižší uplat ovací cenou prodávají tém vždy za vyšší cenu.

2.4.5. Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými dobami do splatnosti Pro ceny opcí s r znými dobami do splatnosti τ1 a τ2 platí vztah

τ1

>

τ2

C(S, B, τ1)

C(S, B, τ2)

(2.5.)

4. pravidlo pro hodnotu kupní opce Jestliže se dv opce liší pouze dobami do splatnosti, potom kupní opce s delší dobou do splatnosti musí mít cenu, která je rovna nebo v tší než cena kupní opce s nižší dobou do splatnosti. Opce s delší dobou do splatnosti dává investorovi v tší výhody, než opce s kratší dobou do splatnosti. Opce s delší dobou do splatnosti dává investorovi možnost ekat déle p ed vykonáním opce nebo p ed splatností opce. Dodate ný as do splatnosti zvyšuje cenu opce. Tento argument p esn platí pro americké opce. Americká opce umož uje vykonání opce kdykoliv p ed dobou splatnosti. Naopak evropská opce umož uje vykonání opce pouze v dob splatnosti. Americká opce tudíž poskytuje všechny výhody evropské opce a navíc umož uje možnost d ív jšího vykonání. Z tohoto d vodu za jinak stejných podmínek hodnota americké opce musí mít vždy hodnotu p inejmenším jako evropská opce. Kdyby se naopak opce s delší dobou do splatnosti prodávaly za mén než opce s kratší dobou do splatnosti, potom by existovaly arbitrážní možnosti. Abychom oz ejmili takovou arbitráž, p edpokládejme, že se obchoduje se dv ma opcemi na stejné akcie s uplat ovací cenou B. S opcí s τ1 m síci do splatnosti se obchoduje za C1 a s opcí s 2τ1 m síci do splatnosti se obchoduje za C2, platí že C1>C2. za t chto okolností arbitrážník koupí opci s 2τ1 m síci do splatnosti za C2 a prodá opci s τ1 m síci do splatnosti za C1. transakce vynesou okamžitý istý zisk C1-C2. M že se zdát, že investor podstupuje ur ité riziko spo ívající v tom, že opce, která byla prodána, m že být vykonána. Pozice investora je ale jistá, nebo v p ípad vykonání prodané opce s τ1 m síci do splatnosti, m že arbitrážník jednoduše vykonat 2τ1 m sí ní opci, kterou koupil a získanou akcii použije k dodání na základ vykonané τ1 m sí ní opce. To umožní zachovat si zisk C1-C2 bez ohledu na to, co se stane s cenou akcií. Protože tento zisk je jistý a bylo ho dosaženo investováním, jedná se o arbitrážní zisk. P edpokladem ovšem je, že 2τ1 m sí ní opce je americká, takže je možné ji uplatnit podle pot eby p ed datem splatnosti. Opce s delší dobou do splatnosti nem že mít nižší hodnotu než opce s kratší dobou do splatnosti. Jinak existuje možnost arbitráže. Obecn je tedy opce s delší dobou do splatnosti hodnotn jší než opce s kratší dobou do splatnosti. Jak jsme si již ukázali, jakákoliv kupní opce musí mít kdykoliv p ed splatností hodnotu alespo S – B. Jestliže cena podléhajícího aktiva je v tší než uplat ovací cena S > B, potom o kupní opci íkáme, že je v pen zích (in the money). Jestliže naopak cena podléhajícího aktiva je nižší než uplat ovací - 13 -

cena S 1,05

Put B/S > 1,05 1,01 B/S < 1,05 0,99 B/S < 1,01 0,95 B/S < 0,99 B/S < 0,95

2.4.6. Cena kupní opce a úrokové míry Úrokové míry stanovují t sn jší omezení na cenu kupní opce. Pro jasn jší pochopení použijeme názornou ukázku na p íklad . P edpokládejme, že se akcie nyní prodává za 1000CZK a že její cena se b hem roku m že zm nit o 10% nahoru i dol . Za rok hodnota akcie m že být 900 až 1100CZK. P edpokládejme, že bezriziková úroková míra je 8% a že na tuto akcii existuje kupní opce s uplat ovací cenou 1000CZK a dobou splatnosti ode dneška za rok. Potom m žeme zkonstruovat dv portfolia A a B: Portfolio A 1 akcie se sou asnou hodnotou 1000CZK Portfolio B 1 diskontovaný dluhopis s dobou splatnosti 1 rok se sou asnou hodnotou 926 CZK, což odpovídá úrokové mí e 8% 1 kupní opce na 1 akcii s uplat ovací cenou 1000CZK a dobou splatnosti 1 rok. Které portfolio je hodnotn jší a co to znamená pro cenu opce C? V tab.2.2. hodnotíme ob portfolia pro dva mezní p ípady, tj. snížení a zvýšení ceny akcie o 10%. V portfoliu A bude za rok cena akcie 1100CZK nebo 900CZK. V portfoliu B bude mít dluhopis za všech okolností cenu 100CZK. Cena akcie má podstatný vliv na cenu kupní opce. Jestliže se cena akcie sníží o 10%, potom opce bez užitku vyprší. Jestliže se cena akcie zvýší o 10%, potom bude mít opce p esn hodnotu 100CZK, tj. rozdíl mezi cenou akcie a uplat ovací cenou S – B. Tab.2.2.: hodnota portfolií A a B dnes a za rok ( r = 8%) Doba Cena akcie hodnota portfolia A Dnes

-

1000CZK

snížení

900CZK

zvýšení

1100CZK

za rok

1

Dluhopis Opce Dluhopis Opce Celkem Dluhopis Opce Celkem

hodnota portfolia B 926CZK C CZK 1000CZK 0CZK 1000CZK 1000CZK 100CZK 1100CZK

To zcela platí pro americké opce. Pro evropské opce to platit nemusí, nebo jejich cena m že být nižší než vnit ní hodnota.

- 14 -

Tedy jestliže se cena akcie sníží, portfolio B bude mít hodnotu 1000CZK a jestliže se cena akcie zvýší, portfolio B bude mít hodnotu 1100CZK. Je z ejmé, že portfolio B je výnosn jší. Jestliže se cena akcie sníží, portfolio B bude mít o 100CZK vyšší hodnotu než portfolio A. Jestliže se cena akcie zvýší, ob portfolia budou mít stejnou hodnotu. Investor tím, že bude držet portfolio B, nem že nikdy ztratit a existuje ur itá pravd podobnost, že na tom bude lépe. Hodnota portfolia B musí být tedy p inejmenším rovna hodnot portfolia A. Jak to ovlivní cenu akcie? Protože portfolio B je p inejmenším stejn tak výnosné jako portfolio A, jeho cena musí být také p inejmenším rovna cen portfolia A. Protože cena portfolia A je 1000CZK, hodnota portfolia B musí být alespo 1000CZK. Hodnota dluhopisu v portfoliu B je 926CZK, proto hodnota opce musí být alespo 74CZK. To znamená, že hodnota kupní opce musí být p inejmenším rovna cen akcie minus sou asná hodnota uplat ovací ceny: C

S – PV (B)

(2.6.)

5. pravidlo pro hodnotu kupní opce Cena kupní opce musí být v tší nebo rovna cen akcie minus sou asná hodnota uplat ovací ceny. Pokud by tento vztah neplatil, potom by investo i dávali p ednost portfoliu B oproti portfoliu A a existovala by také možnost arbitráže. Arbitrážní transakce by zahrnovala nákup portfolia B a krátký prodej portfolia A. Dosud jsme byli schopni cenu kupní opce omezit podmínkou, že cena opce t sn p ed splatností je nulová nebo S – B. Podle vztahu C S – PV (B) platí, že cena kupní opce musí být v tší nebo rovna cen akcie minus sou asná hodnota uplat ovací ceny. Toto omezení podstatn zužuje hranice pro cenu kupní opce. Dále musí platit za jinak stejných podmínek, že ím vyšší je úroková míra, tím vyšší musí být cena opce. V p edchozím názorném p íkladu inila bezriziková úroková sazba 8%, pokud bude za jinak stejných podmínek vyšší, nap . 12%, potom hodnoty portfolií uvádí tab.2.3.. Tab.2.3..: hodnota portfolií A a B dnes a za rok ( r = 12%) Doba cena akcie hodnota portfolia A Dnes

-

1000CZK

snížení

900CZK

Zvýšení

1100CZK

Dluhopis Opce Dluhopis Opce Celkem Dluhopis Opce Celkem

za rok

Pro cenu kupní opce platí tedy C S – PV (B) Pro ceny kupních opcí platí tedy: r1

>

r2

C(S, B, τ, r1)

C(S, B, τ, r2)

C

Hodnota portfolia B 893CZK C CZK 1000CZK 0CZK 1000CZK 1000CZK 100CZK 1100CZK

107CZK. (2.7.)

6. pravidlo pro hodnotu kupní opce Za jinak stejných podmínek musí být cena kupních opcí p i vyšší bezrizikové úrokové mí e vyšší.

- 15 -

2.4.7. Ceny kupních opcí a rizikovost akcií Možná p ekvapí, že ím je akcie rizikov jší, tím v tší je cena kupní opce na tuto akcii. Ilustrujme tuto zásadu op t na p íkladu. P edpokládejme, že cena akcie o sou asné hodnot 1000CZK se m že za rok snížit nebo zvýšit o 10%. Jak jsme vid li v p edchozím p íkladu, cena kupní opce na takovou akcii s uplat ovací cenou 1000CZK a bezrizikovou úrokovou mírou 8% iní alespo 74CZK. P edstavme si nyní jinou akcii se sou asnou hodnotou 1000CZK, jejíž hodnota se m že za rok snížit nebo zvýšit o 20%. V portfoliu A zam níme p vodní akcii s možnou odchylkou ± 10% touto akcií s odchylkou ± 20%. Jaká je tedy sou asná cena opce na takovou akcii za jinak stejných podmínek? Tab.2.4.: hodnota portfolií A a B dnes a za rok ( r = 8%) Doba Cena akcie hodnota portfolia A Dnes

-

1000CZK

snížení

800CZK

Zvýšení

1200CZK

za rok

Dluhopis Opce Dluhopis Opce Celkem Dluhopis Opce Celkem

Hodnota portfolia B 926CZK C CZK 1000CZK 0CZK 1000CZK 1000CZK 200CZK 1200CZK

Je z ejmé, že cena takové opce musí být op t p inejmenším 74CZK. Jestliže cena akcie klesne, cena opce bude nulová. Jestliže cena akcie vzroste, cena opce bude 200CZK, což je rozdíl mezi cenou akcie a uplat ovací cenou. Investor bude preferovat opci na akcii s možnou odchylkou 20%, protože tato opce na akcie se nem že chovat h e než opce na akcii s odchylkou 10%. Proto opce na akcii s odchylkou 20% bude mít p inejmenším stejn tak velkou hodnotu jako opce na akcii s odchylkou 10%. Pravd podobn , ale bude mít v tší hodnotu. O ekávaný výnos u obou akcií je stejný a jediným rozdílem v obou p ípadech je míra rizikovosti akcie. Akcie s možnou odchylkou 20% je rizikov jší. Z toho vyplývá:

σ1

>

σ2

C(S, B, τ, r,σ1) C(S, B, τ, r,σ2)

(2.8.)

7. pravidlo pro hodnotu kupní opce za jinak stejných podmínek musí mít opce na rizikov jší aktivum cenu p inejmenším stejn velkou jako opce na mén rizikové aktivum.

2.4.8. Kupní opce jako pojišt ní Z tab.2.3. vyplývá, že kupní opce, jejíž hodnota je dnes p inejmenším 107CZK, bude mít za rok hodnotu 100CZK nebo nulu. Na první pohled se zdá být nerozumné investovat 107CZK do n eho, co vynese za rok nulu nebo 100CZK. Avšak opce nabízí více než jednoduchou možnost investování, protože obsahuje „pojišt ní“. Charakter pojišt ní opcí je patrný z porovnání výnos (payoff) portfolia A a portfolia B. Jestliže se cena akcie sníží o 10%, potom portfolio A bude mít hodnotu 900CZK a portfolio B hodnotu 1000CZK. Jestliže se cena akcie zvýší o 10%, potom ob portfolia budou mít hodnotu 1100CZK. Vlastnictví opce zajiš uje, že nejhorší výsledek investování m že být 1000CZK. Je to podstatn jist jší než držení samotné akcie. Za t chto okolností má platba 107CZK za opci s maximálním výnosem 100CZK své opodstatn ní, protože áste ným užitkem z držení opce je pojišt ní, které zajiš uje, že celkový výnos z portfolia bude alespo 1000CZK. To také potvrzuje, pro hodnota opce na rizikov jší akcii je vyšší. ím rizikov jší je akcie, tím hodnotn jší je - 16 -

pojišt ní proti nežádoucímu výsledku. Již jsme konstatovali, že cena opce musí být p inejmenším rovna cen akcie minus sou asná hodnota uplat ovací ceny. Tato formulace však zanedbává hodnotu pojišt ní, které je s opcí spojeno. Vezmeme-li to v úvahu, potom m žeme íci, že hodnota opce musí být rovna cen akcie minus sou asná hodnota uplat ovací ceny plus hodnota pojišt ní náležejícího k opci. Ozna íme-li hodnotu pojišt ní I, potom pro hodnotu opce platí: C

S – PV (B) + I.

(2.9.)

8. pravidlo pro hodnotu kupní opce hodnota opce musí být rovna cen akcie minus sou asná hodnota uplat ovací ceny plus hodnota pojišt ní náležejícího k opci. Dosud jsme však neuvedli žádný zp sob, jak hodnotu pojišt ní I stanovit. Budeme-li um t ocenit opci, potom budeme schopni ze vztahu C S – PV (B) + I ur it hodnotu pojišt ní. K tomuto ú elu je zapot ebí se seznámit s modely oce ování opcí.

2.4.9. Modely oce ování opcí Pro p edstavu si ukažme kolik existuje model na oce ování op ních kontrakt a uve me pro jaký typ opce a podkladové aktivum se používá. Black-Scholes Binomický/Cox-Rubinstein Binomický/Cox-Rubinstein Garman-Kolhagen (m nový) Binomial/Cox-Rubinstein (m nový) GARCH Options Pricing Model

Evropská i na hotovostní instrumenty Americká i na hotovostní instrumenty Americká na futures Evropská na cash FX Americká na cash FX Evropská

K oce ování opcí se dosud nejvíce používá Black-Scholes v model a Binomický model. Black-Scholes v model a další „teoretické“ možnosti se pokusíme nastínit v následujících kapitolách. Nejd íve trochu p iblížíme fungování op ních burz.

- 17 -

3. Opce na akcie na finan ních trzích Opce na akcie byly v moderní podob poprvé obchodovány v roce 1973 a od té doby došlo k jejich prudkému rozmachu. Dnes sice nejsou dominantním typem opcí obchodovaných na derivátových burzách, m eno objemem otev ených pozic, protože došlo k výraznému rozvoji obchodování s úrokovými a m novými opcemi, kde jsou objemy kontrakt ádov vyšší. Avšak akciové opce mají stále nezastupitelnou úlohu na sv tových trzích, a to také historickou, protože oce ovací modely, které jsou dnes ve svých modifikovaných podobách používány pro ocen ní opcí na nejr zn jší podkladová aktiva, byly v ad p ípad p vodn odvozeny jako oce ovací modely pro opce na akcie. Nejvýznamn jší roli mezi burzami obchodujícími opce na akcie hrají evropské a americké derivátové burzy. V Evrop je to zejména Eurex a LIFFE (London International Financial Futures and Options Exchange), v USA potom CBOE (Chicago Board Options Exchange) a AMEX (American Stock Exchange).

3.1. Eurex Eurex byl založen v prosinci 1996 z iniciativy Deutche Borse AG a Swiss Exchange. Vznikl spojením dvou derivátových burz, DTB (Deutche Terminborse) a SOFFEX (Swiss Options and Financial Futures Exchange). Obchodování bylo spušt no 28.9. 1998 a je pln elektronické. Od roku 1999 má Eurex podepsánu alian ní dohodu s CBOT (Chicago Board of Trade). V roce 2000 bylo obchodováno 454 milionu kontrakt , z ehož bylo tém 90 milion op ních kontrakt na akcie. Krom opcí na akcie nabízí Eurex také opce a futures na akciové indexy, mimo jiné DAX, SMI nebo DJ Euro-STOXX 50, dále úrokové futures a opce na úrokové futures a opce na úv rové instrumenty (Euro SCHATZ, Euro BUND atd.). Opce na akcie pokrývají 37 n meckých, 25 švýcarských, 6 finských, 8 nizozemských a 3 italské akcie a dále opce s nízkou vypo ádací cenou (LEPOs)2. Tab.3.1.: Obchodování s opcemi na akcie na Eurex v roce 2000 (zdroj: www.eurexchange.com) obchodované Podkladový instrument Objem obchod Zm na 2000/1999 Zm na 2000/1999 (mil. EUR) kontrakty3 Celkem 558 660 +38,79% 89 237 816 +37,70% Akcie obsažené v DAX 375 063 +40,35% 48 748 287 +34,95% Akcie obsažené v SMI 156 443 +16,43% 35 648 521 +24,77% Akcie Neuer Markt 4 208 +1 085,13% 616 084 +968,11% Severské akcie 21 402 +3 150,98% 3 920 102 +7 206,53%

Velikost op ního kontraktu je obvykle 100 podkladových akcií. Výjimku tvo í opce na švýcarské akcie, u kterých je velikost kontraktu pouze 10 akcií, a n které další jednotlivé opce s velikostí kontraktu jinou než 100 akcií, nap íklad Allianz nebo Munchener Ruckversicherung. Nejmenší krok ceny opce je obvykle 0,01EUR, u opcí na švýcarské akcie je krok odstup ován podle ceny opce od 0,10CHF až po 1,00CHF. Krok vypo ádací ceny je 2

LEPOs (Low Exercise Price Options) byly poprvé p edstaveny ve Švýcarsku a Finsku. Cílem bylo vyhnout se n kterým poplatk m za obchody s akciemi, vytvo it ekvivalent pro krátké obchody a umožnit existenci voln obchodovatelných finan ních instrument zastupujících akcie, které nejsou voln p enositelné, což investor m p ináší nové možnosti zajišt ní rizika. LEPO má velmi nízkou uplat ovací cenu (nap . 1EUR), takže se jeho cena chová velmi podobn jako cena podkladové akcie. Držitel pouze nemá hlasovací práva spojená s podkladovou akcií a právo na výplatu dividend. 3 Kupní i prodejní opce. Velikost kontraktu je 100akcií, s výjimkou opcí na švýcarské akcie, kde je velikost kontraktu 10 akcií a n kterých dalších vyjímek.

- 18 -

op t odstup ován do n kolika pásem. Situaci pro opce na akcie ze zemí EU znázor uje tab.3.2., pro opce na švýcarské akcie jsou pásma a kroky stanoveny odlišn . Tab.3.2.: Obchodování s opcemi na akcie na Eurex v b eznu 2001,podle sektor (zdroj: www.eurexchange.com) Podkladový instrument Objem obchod obchodované Zm na 2000/1999 Zm na 2000/1999 (mil. EUR) kontrakty Celkem 72 073 +33,78% 11874110 +48,54% Akcie obsažené v DAX 51 949 +44,33% 6 893 103 +61,11% Deutche Telecom 5 496 +23,85% 1 467 536 +189,10% Daimler Chrysler 7 600 -6,36% 860 702 -0,41% Deutche Bank 8 617 +141,03% 792 834 +80,98% Bayer 5 028 +501,72% 590 472 +228,79% Siemens 6 135 -11,81% 443 969 -10,82% Akcie obsažené v SMI 16 108 -1,87% 3 662 927 +2,08% Credit Suisse Group 3 801 +15,85% 1 252 002 +14,86% UBS 1 904 -53,22% 746 033 -22,03% Roché 4 490 -10,08% 323 149 +18,83% Novartis 4 647 +15,98% 173 997 -3,63% Nestlé 3 042 -28,62% 85 906 -43,65% Akcie DJ Euro_STOXX 50 427 +1 124,98% 86 929 +1 843,42% Philips 84 +434,61% 22 680 +2 612,92% Royal Dutch 74 +6 430,98% 11 307 +6 011,89% ING 58 +312,82% 7 884 +233,50% Akcie Neuer Markt 64 -77,62% 39 845 +71,76% T-Online 21 --13 562 --Intershop 14 +140,17% 9 733 +10 714,44% Severské akcie 3 520 +216,64% 1 190 866 +1092,02% Nokia 3 050 +282,60% 1 003 772 +2 274,16%

Posledním obchodním dnem je t etí pátek v m síci, nebo nejbližší p edchozí obchodní den, pokud tento pátek není obchodním dnem. Obchodovány jsou vždy opce se splatností v nejbližších t ech m sících a dále ve dvou až t ech následujících m sících b eznového cyklu. Na n které akcie jsou také obchodovány opce s dobou splatnosti 12-24 m síc , a to vždy s m sícem splatnosti erven nebo prosinec. Nizozemské akcie nejsou obchodovány v b eznovém, ale lednovém cyklu. Opce jsou amerického typu, mohou být uplatn ny v libovolný obchodní den p ed dnem splatnosti, u opcí na n mecké akcie s výjimkou dn , kdy je oznamována dividenda podkladové akcie. P i uplatn ní opce dojde k fyzickému dodání podkladové akcie v objemu odpovídajícímu kontraktu. Doba dodání se liší, pohybuje se od T+2 do T+4 od okamžiku uplatn ní opce. U všech opcí existuje povinný market-making. Tab.3.3.: Krok uplat ovací ceny opce na akcie ze zemí EU Pásmo uplat ovací ceny (EUR) Krok (EUR) 0-5 0,20 5,5-10 0,50 11-20 1,00 22-50 2,00 55-200 5,00 >200 20,00

- 19 -

3.2. London International Financial Futures and Options Exchange (LIFFE) LIFFE byla založena v roce 1982. p vodn byla založena na metod ve ejného k iku, avšak dnes již je provozována elektronicky na platform LIFFE Connect. Na LIFFE jsou obchodovány deriváty na krátkodobou úrokovou míru, dlouhodobé dluhové instrumenty, akcie a nefinan ní instrumenty. Jasn p evažují opce a futures na úrokovou míru, které tvo í více než polovinu trhu, m eno po tem obchodovaných kontrakt . Tab.3.4.: Obchody s deriváty na LIFFE, pr m rné denní objemy obchod za období 17.4.–23.4. 2001 (zdroj: www.liffe.com) Instrument a podkladové aktivum Nej ast jší velikost kontraktu Obchodované kontrakty denn Celkem LIFFE 954 293 Futures na krátkodobou úrokovou míru EUR 1 000 000, GBP 500 000, 625 753 CHF 1 000 000 3M Euribor EUR 1 000 000 441 314 Opce na futures na krátkodobou 1 futures kontrakt 138 670 úrokovou míru 3M Euribor 1 futures kontrakt = EUR 1 000 000 95 647 Futures na dluhové instrumenty GBP 100 000, EUR 100 000 27 458 Futures na akciový index GBP 10 za jeden bod indexu 32 997 Index FTSE 100 GBP 10 za jeden bod indexu 31 555 Opce na akciový index GBP 10 za jeden bod indexu 47 363 Index FTSE 100 (evropská opce) GBP 10 za jeden bod indexu 44 340 Opce na akcie 1000 akcií 45 418 Vodafone 1000 akcií 20 407 BP 1000 akcií 2 219 Reuters Group 1000 akcií 1 393 Futures na akcie 1000 akcií u futures na britské 9 453 akcie, 100 akcií u ostatních Furures na komodity 10 tun kakao, 5 tun káva, 50 tun 11 668 cukr Opce na komodity 1 futures kontrakt 781

Opce na akcie a akciový index tvo í zhruba 10% obchod na LIFFE. U opcí na akciový index jasn dominují evropské opce na index FTSE 100, ostatní opce mají jen malý význam. Objem obchod s opcemi na akcie je sice solidní, tvo í zhruba 5% celkového trhu. Celkov jsou obchodovány opce na zhruba 100 akciových titul , bohužel dostate n likvidní je pouze trh s opcemi na n kolik akcií, krom Vodafone, BP a Reuters Group jsou to nap . Abbey National, British Airways, GlaxoSmithKline, Sainsbury, Marconi nebo Shell Transport&Trading u ostatních se nedá hovo it o dostate né likvidit . Opce se obchodují v lednovém, únorovém i b eznovém cyklu, v závislosti na podkladovém aktivu. Jsou obchodovány vždy opce splatné v nejbližších t ech m sících daného cyklu. Posledním obchodním dnem pro opce s dobou splatnosti v daném m síci je t etí st eda. Vypo ádání je provád no v ase T+4 od uplatn ní opce nebo od posledního obchodního dne. Opce jsou amerického typu, mohou být uplatn ny kterýkoliv den do doby splatnosti. Nejmenší krok ceny opce je 0,5 pence, kotování je provád no v celých pencích. Opce s novými vypo ádacími cenami se za ínají obchodovat v okamžiku, kdy cena podkladového aktiva p ekro í druhou nejvyšší, nebo klesne pod druhou nejnižší obchodovanou uplat ovací cenou . Nejmenší krok uplat ovací ceny je stanoven v závislosti na výši vypo ádací ceny. Vypo ádání obchod probíhá prost ednictvím London Clearing House.

- 20 -

Tab.3.5.: Krok uplat ovací ceny opce Pásmo uplat ovací ceny (pence) Krok (pence) 20-50 5 50-140 10 140-300 20 300-420 30 420-500 40 500-1500 50 > 1500 100

3.3. Chicago Board Options Exchange (CBOE) Chicago Board Options Exchange byla založena v roce 1973 burzou Chicago Board of Trade (CBOT). Obchodování bylo spušt no 26.4.1973 obchody s opcemi na 16 podkladových akcií a CBOE se stala první burzou, na které byly obchodovány opce na akcie. V roce 1983 bylo spušt no obchodování opcí na akciové indexy, prvním byl Standard&Poor’s 100. V roce 1989 následovaly opce na úrokovou míru a v roce 1990 LEAPS 4 . V devadesátých letech potom pokra ovalo rozši ování trhu a do praxe byly uvád ny další inovace. Dnes je CBOE jednou ze ty op ních burz v USA, p i emž je zdaleka nejv tší. Je na ní obchodováno 51% všech op ních kontrakt na akcie a 91% všech op ních kontrakt na akciové indexy v USA. Denn je obchodováno pr m rn více než milion op ních kontrakt na akcie. Nejobchodovan jšími opcemi byly v roce 2001 opce technologických firem AOL/Time Warner, Microsoft nebo Cisco Systems. Z netechnologických firem jsou to nap íklad General Electric, Citigroup nebo General Motors. Pokud bychom porovnávali denní po ty obchodovaných kontrakt u nejlikvidn jších titul s objemy obchod nejlikvidn jších titul na LIFFE, trh na CBOE je mnohem likvidn jší. Na CBOE se obchodují zejména opce na jednotlivé akcie a na akciové indexy, ale také opce na úrokovou míru, a potom celá ada strukturovaných produkt za kterými stojí v tšinou velké investi ní banky, nap . Goldman Sachs nebo Salomon Smith Barney. Opce na úrokovou míru zahrnují úrokovou míru z 13týdenních Treasury Bills, z 5 a 10-letých Treasury Notes a z 30-letých Treasury Bonds. Jedná se o opce evropského typu. Opce na akciový index pokrývají nejr zn jší akciové indexy, nejobchodovan jšími jsou opce na NASDAQ 100, Dow Jones Industrial Average, S&P 500, S&P 100, S&P SmallCap 600 nebo Russell 2000. Dále jsou obchodovány opce na celou adu sektorových index , a již z rodiny index DJ nebo S&P a nebo indexy vytvá ené samotnou CBOE. N které sektorové indexy, nap . ropný nebo zlatý, se chovají asto podobn jako tržní cena dané komodity, a proto opce na tyto sektorové indexy mohou vykazovat podobné trendy jako opce na danou komoditu. Opce na akciové indexy jsou evropského typu a jsou obvykle v b eznovém cyklu. Opce na jednotlivé akciové tituly pokrývají celkem necelých 1500 akciových titul , z nichž více než 200 m žeme považovat za velmi likvidní 5 . Velikost kontraktu je 100 podkladových akcií. Dnem splatnosti je sobota následující po t etím pátku v m síci. Posledním obchodním dnem je poslední den p ede dnem splatnosti opce, tedy obvykle t etí pátek v m síci. Opce jsou obchodovány v lednovém, únorovém nebo b eznovém cyklu, obchodovány jsou vždy opce se splatností ve dvou nejbližších m sících a dalších dvou následujících m sících v daném cyklu. P i zapo etí obchodování jsou pro obchodování uvoln ny opce s vypo ádacími cenami tak, aby existovaly opce v pen zích i mimo peníze. Opce s novými uplat ovacími cenami jsou 4

Long-term Equity AnticiPation Securities – oby ejn tak bývají ozna ovány všechny od akcií odvozené instrumenty, které mají dlouhou dobu splatnosti. V p ípad opcí se jedná o opce se splatností 2-3 roky, pokud uplyne pat i ná ást jejich doby splatnosti, p em ní se v normální opce. 5 Více než 1000 obchodovaných kontrakt denn .

- 21 -

potom uvol ovány k obchodování v p ípad , že cena daného podkladového aktiva p ekro í nejvyšší nebo klesne pod nejnižší obchodovanou uplat ovací cenu. Krok uplat ovací ceny je stanoven podle výše ceny podkladové akcie. Tab.3.6. Krok uplat ovací ceny opce obchodovaných na CBOE (zdroj: www.cboe.com) Pásmo uplat ovací ceny (USD) Krok (USD) 5-25 2½ 25-200 5 > 200 10

Ceny opcí jsou kotovány ve zlomcích, nejmenším krokem ceny opce je 1/16USD v p ípad , že cena opce je nižší než 3USD, jinak je krok 1/8USD6. Opce jsou amerického typu, mohou být uplatn ny kdykoliv b hem doby života opce. K vypo ádání dojde v ase T+3 od okamžiku uplatn ní opce. Dodána bude podkladová akcie ve stanoveném objemu. Krom klasických opcí jsou obchodovány také LEAPS s dobou splatnosti až 39 m síc . M sícem splatnosti však m že být výhradn leden. V p íslušnou dobu jsou potom LEAPS p em n ny v b žné opce. Rozší eny jsou také FLEX opce, umož ující vypisovateli stanovit prakticky libovolnou vypo ádací cenu a libovolný datum splatnosti až do t í let od doby vypsání opce. Opce mohou být jak evropského, tak i amerického typu. Podmínkou je ovšem dostate ný objem emise, nejmenší obchodovatelné množství u opce s novými parametry, která dosud nebyla vypsána, je 250 kontrakt , a každá další transakce, s výjimkou uzavíracích transakcí, musí znít alespo na 100 kontrakt . Veškeré op ní obchody uzav ené na CBOE vypo ádává The Options Clearing Corporation (OCC), které tyto opce také vydává a garantuje7. OCC klade velmi p ísné podmínky na obchodníky s opcemi, aby zajistil vysokou bezpe nost celého systému. O tom sv d í i skute nost, že OCC je jediným clearingovým domem, který získal rating AAA od agentury Standard&Poor’s.

6

V souvislosti s decimalizací kotace na amerických akciových trzích bezpochyby dojde k p echodu na desítkovou íselnou soustavu i na CBOE. 7 OCC vydává všechny opce obchodované na burzách v USA a zárove všechny burzovní op ní obchody v USA. OCC je vlastn no rovným dílem burzami CBOE, American Stock Exchange, Pacific Exchange a Philadelpfia Stock Exchange.

- 22 -

4. Black-Scholes v model oce ování opcí Dosud jsme identifikovali p t prom nných, které ovliv ují cenu kupní opce. I když víme, které základní faktory ovliv ují kupní cenu opce a jakým sm rem základní faktory na cenu opce p sobí, p esto pro cenu opce zbývá velký prostor. Navíc dosud uvedené p íklady byly zjednodušeny. Nap íklad u ceny akcie jsme p edpokládali, že se za rok zm ní o ± 10%. Cena akcie se m ní ve skute nosti postupn a m že nabývat mnoha hodnot. Dosud nejpoužívan jší model vyvinuli v 70 letech pánové Black, Scholes a Merton. Jejich p vodní model ešil evropské opce na akcie nevynášející dividendy. Model je ovšem možné r zným zp sobem p izp sobit na mnoho dalších p ípad . Odvození modelu je dosti složité. Model byl odvozen na p edpokladu tzv. stochastického procesu. Stochastický proces p edstavuje matematický popis zm ny hodnoty ur ité prom nné v ase. Auto i konkrétn použili Wiener v proces. Hlavním znakem Wienerova procesu je to, že prom nná se spojit s asem m ní a že zm ny, které se mohou kdykoliv uskute nit, jsou rozd leny normáln . Black-Scholes v model matematicky vyjad uje cenu kupní opce. Zatím jsme cenu nebyli schopni explicitn ur it. Jestliže známe p t výše uvedených prom nných, potom m žeme stanovit také teoretickou cenu opce. Pro takto stanovenou cenu se také používá název adekvátní (fair) hodnota opce. Shr me ješt jednou všechny faktory. Tab.4.1.: Faktory a sm r faktoru ovliv ující cenu opce Faktor Kupní (call) opce S – cena akcie + B – uplat ovací cena t – doba do splatnosti + r – bezriziková úroková míra + + σ − volatilita ceny akcie

Prodejní (put) opce + + +

4.1. Základní myšlenka B-S modelu B-S model je postaven na velice jednoduchém a o to obdivuhodn jším nápadu. P edpokládá se dokonalý (efektivní) trh, který žádnému ú astníkovi nedovoluje, aby dosahoval neomezeného zisku. Tento trh neumož uje arbitráž, tj. situaci, kdy je možné s nulovou po áte ní investicí dosáhnout pomocí n jaké strategie kladného zisku v budoucnosti. Nutnou podmínkou pro neexistenci arbitráže je, že finan ní instrumenty, které mají shodné jisté budoucí výnosy, musejí mít i stejnou cenu v sou asnosti. Auto i dále p edpokládají, že je exogenn dán stochastický proces, jenž popisuje pohyb ceny podkladové akcie, jehož parametry, tj. st ední hodnotu a rozptyl, znají všechny subjekty trhu. Dále existuje bezrizikový dluhopis (obligace), který má v nejjednodušší verzi modelu konstantní výnos. Pomocí t chto dvou instrument lze zkonstruovat portfolio, které dokonale kopíruje cenu opce, a musí tedy mít stejnou cenu jako opce. K tomu, aby toto portfolio existovalo, je však nutné obchodování ve spojitém ase. Je totiž t eba neustále upravovat podíly akcie a dluhopisu v tomto portfoliu. Musíme dále p edpokládat, že tyto úpravy jsou bezplatné, tj. neexistují žádné transak ní náklady spojené s nákupem a prodejem akcie a dluhopisu. Za t chto podmínek je pak možné vyjád it cenu opce pomocí známé ceny podkladové akcie a bezrizikového dluhopisu. K rigoróznímu odvození B-S ceny opce je t eba pom rn složitých matematických nástroj , tzv. stochastického diferenciálního po tu. Jeho výklad je uveden k ásti stochastický proces.

- 23 -

4.2. P edpoklady Black-Scholesova modelu8 Na tomto míst ješt jednou zopakujeme pojmy se kterými budeme dále pracovat. Evropskou kupní (call) opcí rozumíme kontrakt, který dává svému majiteli právo nikoliv povinnost koupit podkladové aktivum9 v dané datum za p edem ur enou uplat ovací cenu. Evropská prodejní (put) opce oprav uje svého majitele k prodeji podkladového aktiva za uplat ovací cenu. Americké prodejní a kupní opce je obdobná jako evropská, avšak s tím rozdílem, že právo lze uplatnit i p ed daným datem. Hodnotu (cenu) evropské kupní opce ozna íme C(S,τ), kde cena opce C je funkcí pouze sou asné ceny podkladového aktiva S a doby do vypršení opce (expirace)10 τ. Ozna me dále bezrizikovou míru r a uplat ovací cenu opce B. Dále p edpokládáme, že uplat ovací cena B je b hem života opce konstantní. Základní p edpoklady modelu jsou: (1) Dokonalý trh – neexistují žádné transak ní náklady ani diferen ní dan . Obchodování se uskute uje ve spojitém ase, výp j ní a záp j ní úroková míra jsou si rovny, neexistuje žádné omezení na krátké prodeje a všechny cenné papíry jsou neomezen d litelné. Všechny akcie jsou dokonale d litelné. Kapitálový trh je dokonale konkuren ní, jednotliví investo i nemohou ovlivnit cenu akcie S ani bezrizikovou úrokovou míru r. Veškerá informace o p edchozí výkonnosti akcie je obsažena v její cen , což znamená, že cena akcie je Markov v proces. (2) Dynamika ceny akcie – cena podkladové akcie S se ídí geometrickým Brownovým pohybem, který popisujeme stochastickou diferenciální rovnicí:

nebo-li

dS(t) = αS(t)dt + σS(t)dW(t)

S(0) = S0 > 0

dS (t ) = αdt + σdW (t ) S (t )

S(0) = S0 > 0

(4.1.)

kde α, σ ∈ R 0+ . Parametr α lze chápat jako st ední hodnotu výnosu akcie, σ2 jako jeho rozptyl, dW je infinitezimální p ír stek standardního Wienerova procesu. Cena akcie podle tohoto modelu nem že nikdy dosáhnout záporných hodnot. (3) Dynamika ceny dluhopisu – cenu bezrizikového dluhopisu ozna íme jako R(τ), kde τ je doba do splatnosti dluhopisu. Uvažujeme dluhopis, který má stejnou dobu splatnosti jako je doba vypršení opce. P edpokládejme, že bezriziková úroková míra r je konstantní11, a navíc cenu dluhopisu v dob splatnosti τ = 0 normalizujeme na R(0) = 1. Cenu dluhopisu popisuje tedy následující diferenciální rovnice: 8 P vodní odvození tohoto modelu obsahuje (Black-Scholes, 1973); tento text vychází z pon kud p esn jší a obecn jší verze (Merton, 1973). 9 V našem p ípad bude podkladové aktivum akcie s cenou S. 10 Doba do vypršení opce τ je tedy doba mezi sou asným asovým okamžikem t a okamžikem T, kdy bude evropská opce uplatn na nebo vyprší a bude bezcenná: τ = T - t. V okamžiku vypršení t = T a τ = 0 vyplácí evropská kupní opce ástku S(T) – B, pokud S(T) > B, nebo ástku nulovou, pokud S(T) B. V dob vypršení má kupní opce cenu: C(S,0) = max[S(T) – B, 0]. 11 Tento p edpoklad není samoz ejm p íliš reálný, ale opce jsou v tšinou krátkodobé instrumenty s vypršením zhruba do t í m síc a b hem takto krátkého období se bezriziková úroková míra skute n p íliš nem ní. Navíc B-S model lze pom rn snadno zobecnit a cenu dluhopisu vyjád it jako geometrický Brown v pohyb tak, jak to popisuje Merton.

- 24 -

dR (τ ) dR (τ ) =− = −rdt dτ dt

R(0) = 1

(4.2.)

kde r ∈ R 0+ 12. (4) Preference agent a o ekávání. Arbitrážní p ístup, který B-S model využívá, neklade tém žádné požadavky na preference subjekt (není nutné požadovat ani averzi k riziku). Prakticky jediným požadavkem je, aby preference byly nenasycené, tj. subjekty preferovaly „více p ed mén “. Všichni investo i se musejí shodnout na parametru σ a rozd lení p ír stku dW. Nemusejí se nutn shodovat na hodnot α13. (5) Podkladová akcie opce nevyplácí žádné dividendy14. (6) Posledním p edpokladem o kterém se v teorii málo hovo í je zanedbání kreditního rizika. Upisovatel op ního kontraktu se m že stát ob tí platební neschopnosti a opce jím vydané pozbývají cenu. Což se stalo v p ípad Konfederace kap 2.1.. Nemusíme však chodit tak daleko. Kupónová privatizace byla plná „jistot desetinásobku“, které m li vlastn povahu opce.

ešením rovnice je samoz ejm R(τ) = exp[-rτ]. Merton (1973, s. 164) poznamenává, že tento p edpoklad není p íliš restriktivní. Investo i se nemusejí shodovat na o ekávaném výnosu, ale pouze na rozptylu σ2, který analytici po ítají v tšinou stejným zp sobem ze shodných minulých dat. Na to lze namítnout, že k výpo tu odhadu rozptylu musíme znát i st ední hodnotu α. Lze však ukázat, že i pom rn velké rozdíly v odhadu α dávají odhady σ2, které se liší velmi málo. 14 V Mertonov modelu existují, avšak jejich procentuální výše je konstantní) 12 13

- 25 -

4.3. Jádro Black-Scholesova modelu Jak jsme již výše nazna ili, p edpokládáme, že cena kupní opce C(S, τ) je dostate n hladkou funkcí ceny podkladové akcie S a doby do vypršení τ. Na funkci C(.) aplikujeme Itoovo lemma: dC = ( C/ S)dS + ( C/ τ)dτ + ½ ( 2C/ S2)(dS)2 = CSdS + Cτdτ + ½ CSS(dS)2 kde dolní indexy op t ozna ují parciální derivace. Po dosazení za dS dostaneme:

σSC S 1 dC = αSC S − C t + σ 2 S 2 C SS dt + CdW 2 C dC = βCdt + γCdW

(4.3.)

kde jsme ozna ili:

β≡

1 1 αSC S − C t + σ 2 S 2 C SS 2 C

a

γ =

σSC S C

(4.4.)

užili jsme také rovnost dτ = -dt, která vyplyne po zderivování vztahu τ = T – t podle t. Nyní vytvo íme bezrizikové portfolio z opce, akcie a obligace tak, aby celková investovaná ástka byla nulová 15. Ozna me W1 po et dolar investovaných do akcie, W2 po et dolar investovaných do opce a W3 po et dolar investovaných do dluhopis . Protože nebudeme pot ebovat žádné peníze jako po áte ní investici, platí W1 + W2 + W3 = 0, tj.: W3 = - (W1 + W2)

(4.5.)

Celkový výnos z portfolia, který ozna íme Y, se rovná váženému pr m ru výnos složek. Po dosazení z 4.3., 4.4. a 4.5. máme: dY = W1

jeho

dS dC dR + W2 + W3 = [W1(α – r) + W2(β – r)]dt +[W1σ + W2γ]dW. S C R

P edpokládejme, že lze eliminovat šum dW, ímž bychom dosáhli bezrizikového výnosu. Abychom vylou ili arbitráž, musí mít portfolio Y (protože vyžadovalo nulovou investici) nulový výnos. Dostaneme tedy následující nutné podmínky: (α – r)W1* + (β – r)W2* = 0 σW1* + γW2* = 0

(4.6.) (4.7.)

kde W1* a W2* jsou konkrétní množství akcií a opcí v bezrizikovém portfoliu. Tato soustava má netriviální ešení pouze tehdy, když:

β −r γ = α −r σ

nebo

β −r α −r = γ σ

(4.8.)

15

To znamená, že nap íklad prodáváme akcii na krátko a ástku, kterou za ní dostaneme, budeme investovat do opce a dluhopisu.

- 26 -

Tato rovnost íká, že cena rizika, podíl rizikové prémie a množství rizika jsou pro ob aktiva (akcii i opci) stejné16. Pokud vztah 4.8. p epíšeme jako β – r = γ(α – r)/σ, což po dosazení ze 4.3. a 4.4. implikuje následující rovnici (tzv. Black-Scholesova rovnice): ½ σ2S2CSS + rSCS – Ct – rC = 017, ½ σ2S2( 2C/ S2) + rS( C/ S) – ( C/ t) – rC = 0

(4.9.)

Toto je lineární parciální diferenciální rovnice 2. ádu parabolického typu s okrajovými podmínkami: C(0, t) = 0 C(S, 0) = max [0, S – B]18.

(4.10.)

Rovnost C(0, t) = 0 vyjad uje, že pokud je bezcenná akcie, nem že mít cenu ani opce, C(S, 0) = max [0, S – B] íká, že v dob vypršení „vyplácí” opce kladnou ást rozdílu ceny akcie a uplat ovací ceny. Parciální diferenciální rovnice jsou obecn analyticky velice obtížn ešitelné; v tšinou je musíme ešit pomocí p ibližných numerických metod. Rovnice 4.9. je našt stí výjimkou. Tuto rovnici lze pomocí substituce p evést na rovnici vedení tepla: Fkk(k,l) = Ft(k,l), kterou lze ešit pomocí standardních metod19. ešením této rovnice je slavný BlackScholes v vzorec: C(S, r, τ, B) = S N(d1) – Be-rτ N(d2)

d1 =

N (d ) =

ln(S / B) + (r + σ 2 / 2)τ

d2 =

σ τ 2

1

d

e (− x

2

/ 2) dx 2π −∞ ln(S / B ) + (r − σ 2 / 2)τ

σ τ 2

(4.11.) (4.12.)20

kde N(d) je kvantil normovaného normálního rozd lení. N(d1) ozna ujeme n kdy jako koeficient zajišt ní (hedge ratio). ím vyšší je sou asná cena podkladového aktiva v i cen uplat ovací, tím je d1 v tší a tím více se N(d1) limitn p ibližuje 1. Pokud je sou asná cena akcie nižší než uplat ovací stává se práv opak, d1 se zmenšuje a N(d1) se limitn p ibližuje 0. Koeficient zajišt ní se p ibližuje k 1, pokud je „tém “ jisté, že opce bude v dob splatnosti uplatn na a naopak k 0, pokud je „tém “ jisté, že nebude uplatn na. Pokud se zm ní cena akcie, m ní se i koeficient zajišt ní. N(d2) je pravd podobnost toho, že opce bude uplatn na. 16

Tento záv r je velice podobný modelu CAPM, který shrnuje následující rovnice: ri = r + β(rM – r) # kde ri je výnos i-tého aktiva, r bezriziková úroková sazba, rM výnos tržního portfolia, β = σiM/σM2 podíl kovariance i-tého aktiva a trhu σiM a rozptylu σM2. Vztah (#) lze snadno upravit na: (ri – r)/σi = ρiM(rM – r)/σM ## kde ρiM je korelace i-tého aktiva a trhu. B-S model považuje za i-té aktivum opci a za trh akcii. B hem krátkého asového intervalu je navíc ρiM = 1. Za t chto podmínek je vztah (##) stejný jako rovnice 4.8.. 17 Rovnice se ozna uje jako Black-Scholesova rovnice. 18 navíc bychom m li ješt p idat podmínku, že C(.) je omezená. 19 Tyto metody zahrnují ešení pomocí separace prom nných nebo Fourierovy transformace. 20 Striktn vzato, tento vzorec platí pouze pro evropské kupní opce, lze však ukázat, že pokud podkladová akcie nevyplácí dividendy, je cena americké kupní opce stejná jako cena evropské kupní opce se stejnými parametry. Navíc existuje put/call parita – parita prodej/koup – pro evropské opce, která íká: P(S,τ) = C(S, τ) – S + Be-rτ Kde P(.) je cena evropské prodejní opce. Dosazením tohoto vztahu do 4.11. a užitím symetrie normálního rozd lení dostaneme vzorec pro cenu prodejní opce: P(S,τ) = B[1 – erτ] N(d1) – SN(d2).

- 27 -

Alternativn je možné používat místo bezrizikové úrokové míry diskont obligace, která je splatná v okamžiku splatnosti opce tj. v okamžiku T. Potom tedy dojde k mírné úprav B-S vzorce na: C(S, τ, B) = S N(d) – O(T)BN(d - σ√τ)

d=

ln(S /(O (T ) B))

σ τ 2

1 + σ τ, 2

kde O(T) je práv diskont bezrizikové obligace, která má splatnost v okamžiku T, kdy je splatná opce.

- 28 -

4.4. D kaz pro Black-Scholes v vzorec Pro úplnost si ukážeme odvození B-S vzorce, tak jak jej uvádí J. E. Zhang, Dept. Of Finance, Hong Kong University of Science and Technology, který se odkazuje na Journal of Political Economics, 81, str. 637-659. Zave me následující transformace S = S’e-rτ,

C = C’e-rτ,

C’ = C‘(S‘, τ, B),

τ = T - t,

r = 0,

do rovnic ½ σ2S2( 2C/ S2) + rS( C/ S) – ( C/ t) – rC = 0 C(S, 0) = max [0, S – B]

(4.13.) (4.14.)

ímž získáme ½ σ2S’2( 2C‘/ S‘2) + ( C‘/ t) = 021 C’(S‘, 0) = max [0, S’ – B]. Což jsou odvozené rovnice pro evropskou kupní opci, za podmínky nulové úrokové sazby, tj. r = 0. Uvedli jsme, že C’ a S‘ jsou o ekávané hodnoty ceny podkladového aktiva a opce, které mají neutrální rizikové preference v ase t. Dosazením další transformací: S’ = Be x + ½ σ 2τ,

C‘(S‘, r‘, τ, B) = BV(x, τ)

do rovnice vedení tepla získáme rovnici vedení tepla s konstantním koeficientem, ( V/ τ) = ½ σ2( 2V/ x2) V(x, 0) = max [0, ex – 1].

(4.15.) (4.16.)

Je známo, že Greenova funkce vedení tepla spl ující podmínky ( G/ τ) = ½ σ2( 2G/ x2) G(x, 0) = δ(x – x0), je definována jako

G ( x, τ ; x 0 ) =

1

( x − x0 ) 2 2σ 2π

, 2σ πτ takže ešení pro ( V/ τ) = ½ σ2( 2V/ x2) a V(x, 0) = max [0, ex – 1] je dáno Greenovou formulí

21

2

e

−

Tato rovnice se ozna uje jako rovnice vedení tepla.

- 29 -

∞

V ( x, τ ) =

∞

−∞ ∞

∞

max(e − 1,0)G ( x, τ ; x 0 )dx0 = (e − 1)G ( x, τ ; x0 )dx0 = (e − 1) x0

x0

0

= e

1

x0

2σ 2πτ

0

e

−

( x − x0 ) 2 2σ 2π

dx 0 −

∞

0

1 2σ 2πτ

0

e

−

1

x0

2σ πτ 2

( x − x0 ) 2 2σ 2π

e

−

( x − x0 ) 2 2σ 2π

(4.17.)

dx 0

první výraz v 4.17. je ∞

e

1

x0

2σ πτ

0

=e

e

2

−

−

( x − x0 ) 2 2σ 2π

dx 0 =

∞

1 2σ πτ 2

0

x 2 − ( x +σ 2τ ) 2 ∞ 2σ 2π

1 2σ 2πτ

0

−

e

(( x +σ 2τ ) − x0 ) 2 2σ 2π

e

x0 −

( x − x0 ) 2 2σ 2π

∞

dx 0 =

1 2σ πτ

0

dx 0 = −e

x +1 / 2σ 2τ

e

2

−∞

1

x +σ 2τ

2π

e

−

y12 2

−

x02 − 2 x 0 ( x +σ 2τ ) + x 2 2σ 2π

dx 0

dy1

σ τ

=e

x +1 / 2σ 2τ

x +σ τ 2

N

,

σ τ

kde y1 =

( x + σ 2τ ) − x 0

σ τ

.

druhý výraz v 4.17. je ∞

0

1 2σ 2πτ

e

−

( x − x0 ) 2 2σ 2π

dx 0 = −

−∞

1 2π

x

e

−

y2 2

dy = N

x

σ τ

,

kde y =

x − x0

σ τ

.

σ τ

Kombinací prvního a druhého výrazu dostaneme ešení rovnic 4.15. a 4.16.: V ( x, τ ) = e x +1 / 2σ τ N 2

x + σ 2τ

σ τ

-N

x

σ τ

,

takže ešení rovnic 4.13. a 4.14. je C‘(S‘, τ, B) = S’N

ln(S / B ) + (σ 2 / 2)τ

σ 2τ

- BN

ln(S / B) − (σ 2 / 2)τ

σ 2τ

,

a ešení rovnic 4.9. a 4.10. je C(S, r, τ, B) = S N

ln(S / B) + (r + σ 2 / 2)τ

σ 2τ

– Be-rτ N

ln(S / B) + (r − σ 2 / 2)τ

σ 2τ

ímž jsme dokázali B-S vzorec pro výpo et ceny evropské kupní opce. Obdobn je k d kazu možné použít nap . ješt Laplaceovu transformaci a inverzní Laplaceovu transformaci. Jedním z kouzel B-S modelu je pom rn snadná ešitelnost. Jak jsme již výše zmínili, je to velice ídký p ípad, kdy m žeme ešení parciální diferenciální rovnice zapsat v uzav ené form , tj. pomocí elementárních funkcí, bez použití numerických metod. Toho jsme dosáhli díky tomu, že jsme požadovali, aby se hodnoty akcie ídily geometrickým Brownovým pohybem, tedy velice jednoduchým procesem. Pokud bychom p edpokládali realisti t jší - 30 -

dx0

procesy, Black-Scholesova rovnice by se už tak snadno explicitn vy ešit nedala. Jak uvádí Merton, síla a krása B-S modelu pramení z toho, že nemusíme znát o ekávaný výnos akcie ani opce, abychom mohli spo ítat hodnotu opce. Tato p ednost je d sledkem arbitrážního odvození B-S modelu bez explicitního zahrnutí preferencí agent . Subjekty se totiž zabývají pouze zm nou relativních cen jednotlivých aktiv, nikoliv jejich o ekávanými výnosy. Hlavním rysem B-S modelu je fakt, že lze opci dokonale replikovat pomocí zbylých dvou aktiv – akcie a dluhopisu. To však stojí a padá s p edpokladem neexistence transak ních náklad . Pokud by totiž existovaly, nebylo by možné bezplatn kontinuáln p izp sobovat váhy jednotlivých aktiv v základním portfoliu Y. P i existenci transak ních náklad model vyžaduje pom rn zna né úpravy. B hem 25 let existence B-S modelu byl samoz ejm tento model r znými autory zna n rozší en. N kolik úprav, které dovolují uvolnit n které restriktivní p edpoklady, jsme již výše zmínili. Dále ukážeme ješt n která další zobecn ní na konkrétních p íkladech. Existuje n kolik zp sob , jak p vodní B-S model rozší it. Jednak se lze zam it na p edpoklad dokonalého, efektivního trhu – v tomto sm ru se vydal t eba Leland (1985), který upravil argument využívající dokonalé zajišt ní (dynamický hedging). V p ítomnosti transak ních náklad nelze opci dokonale replikovat pomocí akcie a dluhopisu. Abychom minimalizovali tyto náklady, upravujeme portfolio pouze v diskrétních asových intervalech, a proto není samoz ejm úpln bezrizikové. Další možností je zobecnit stochastický proces popisující cenu akcie i zavést ješt další stochastický proces, který zachycuje cenu obligace22 . P i popisu ceny akcie lze jednak zvolit jiné (složit jší) parametry a(z, t) a b(z, t) Itoova procesu, jednak zavést ješt tzv. skokový proces, jenž popisuje nespojité (diskrétní) zm ny v cen akcie. Ty samoz ejm mohou být reakcí trhu na neo ekávanou mimo ádn dobrou i špatnou zprávu o dané firm . Naopak velice mírných p edpoklad na preference využili J. Cox a S. Ross (1976) k alternativnímu ekonomickému odvození B-S vzorce. Z elementární teorie financí je známo, že cenu aktiva lze vyjád it jako o ekávanou (st ední) hodnotu diskontovaných budoucích výnos . Toto tvrzení platí obecn , a proto je ho možné aplikovat i na evropské opce. Víme totiž, že evropská kupní opce vyplácí v dob svého vypršení hodnotu max [S(T) – B, 0]. Cena této opce v ase t by tedy m la být rovna C(S, τ) = E[e−µτ max [S(T) – B, 0]], kde µ je výnos b žný pro aktiva se stejnou rizikovostí, jako má opce, resp. o ekávaný výnos opce. Jak jsme se již v p edpokladu (4) zmínili, arbitrážní oce ování nebere v úvahu rizikové preference. B-S model byl odvozen bez jakýchkoliv p edpoklad na užitkové funkce investor ; p edpokládalo se pouze, že subjekty nejsou nasyceny. Nikde jsme nepot ebovali konkávnost užitkové funkce a tedy ani averzi k riziku. Jak píše Cox a Ross (1976, str. 153): „Hodnota opce nezávisí p ímo na struktu e preferencí investor . Preference investor vystupují do oce ovacího problému pouze tak, že ur ují rovnovážné hodnoty parametr , které budou také oce ovat shodn opci bez ohledu na ostatní vlastnosti t chto preferencí. V Black-Scholesov p ípad rovnice nezávisí na o ekávaném výnosu akcie µ a jediné relevantní parametry oce ovacího problému jsou r a σ.“ Aby neexistovala arbitráž, musí cena opce nutn spl ovat B-S vzorec. Cena opce se musí rovnat B-S cen v jakémkoliv modelu se spojitým obchodováním a Itoovým procesem modelujícím cenu akcie. B-S cena opce se tedy musí rovnat rovnovážné cen opce i v p ípad , že všichni investo i jsou rizikov neutrální a mají lineární užitkové funkce. Tyto preference jsou samoz ejm konzistentní s hodnotami r a σ. V p ípad rizikov neutrálních preferencí mají všechny cenné papíry bezrizikový výnos, jinak by nutn existovala možnost arbitráže. Pro akcii S lze tedy psát:

22

Bezriziková úroková sazba se pak samoz ejm pohybuje náhodn . Toto zobecn ní provedl Merton (1975)

- 31 -

E{S(T)/S(t)|I(t)} = er(T - t)

(4.18.)

kde E{.|I(t)} je st ední hodnota podmín ná informací v ase t. Pro evropskou kupní opci tedy m žeme nahradit o ekávaný výnos bezrizikovou úrokovou mírou r a psát: C(S, t) = e- r(T - t)E{max [S(T) – B, 0]|I(t)} = e- r(T - t)

max [S(T) – B, 0]dF[S(T)|I(t)]

(4.19.)

kde jsme využili definice st ední hodnoty a dF[S(T)|I(t)] je distribu ní funkce budoucí ceny akcie S(T), pokud známe informace asu t23. Z rovnice 4.19. tedy plyne, že pokud známe distribu ní funkci ceny akcie, m žeme ur it cenu opce. Problém správného ocen ní opcí se tedy vlastn redukuje na zadání stochastického procesu, kterým se ídí cena podkladové akcie, a vypo tení st ední hodnoty.

23

Je t eba dát pozor na to, že pomocí vzorce 4.19. odvodíme správnou cenu opce, ale v žádném p ípad z n j neplyne, že opce má ve skute nosti bezrizikový výnos.

- 32 -

4.5. Stochastický po et V p edchozích ástech jsme operovali s pojmem jako stochastický po et, Itoovo lemma a podobn . V této ásti jednoduše nazna íme o co se jedná. Stochastický po et se ve finan ní teorii používá k popisu nejistoty. V našem p ípad subjekty nemohou s jistotou ur it budoucí cenu akcie, znají však pravd podobnostní rozd lení budoucích hodnot této ceny. P vodní B-S model konkrétn p edpokládá, že ceny akcií mají exponenciální trend, tj. výnosy akcií jsou v pr m ru konstantní. Protože však existuje nejistota, nesledují hladkou exponenciální k ivku, ale ur itým náhodným zp sobem kolem ní oscilují – je v nich p ítomna náhodná (nesystematická) složka. K modelování této náhodné složky je vhodný ur itý stochastický 0} je stochastický proces, tzv. Wiener v proces. Standardní Wiener v proces {W(t), t proces spl ující následující t i vlastnosti: (1) Trajektorie Wienerova procesu je spojitá. W(t0) = 0, W(t1) ~ N(0, t1) (2) P ír stky Wienerova procesu jsou normáln rozd lené s nulovou st ední hodnotou a rozptylem, který roste p ímo úm rn s délkou asové zm ny, tj.: W(t1) – W(t0) ~ N(0, t1 – t0) pro t0

t1

(3) P ír stky Wienerova procesu jsou nezávislé, tj.:

E[W(t1) – W(t0)][W(t3) – W(t2)] = 0 pro t0

t1

t2

t3

kde E[.] ozna uje st ední hodnotu. (4) Kovarian ní funkce pro Wiener v pohyb, v p ípad že t0

t1 má podobu:

E[W(t1)W(t0)] = E[(W(t1) – W(t0))W(t0) + W(t0)2] = E[W(t1) – W(t0)E[W(t0)] + E[W(t0)2] = t0. Dále pro jednoduchost p edpokládáme, že Wiener v proces za íná v nule, tj. W(0) = 0. Z p edchozí definice nemusí být zcela jasné, jak vlastn Wiener v proces vypadá. Tento proces je spojitý, má ovšem velmi divokou trajektorii. Lze ukázat, že tato trajektorie není nikde hladká, tj. nemá v žádném bod derivaci. Intuitivn lze k Wienerovu procesu dosp t z procesu náhodné procházky {v(t), t = 0, 1, 2, …} v diskrétním ase, který vypadá následovn : v(t +1) = v(t) + εt+1

v(0) = 0

(4.20.)

kde εt je bílý šum, tj. posloupnost nezávislých náhodných veli in ídících se normovaným normálním rozd lením N(0, 1). Tento proces za íná v nule. Pokra ujeme tak, že vybereme náhodn ε1 a dostaneme se do bodu v(1). P idáme op t šum ε2 a dostaneme se do v(2)24. Uvažujme následující zobecn ní rovnice 4.20.: v(t + t) = v(t) + εt+ 24

t

t

v(0) = 0.

(4.21.)

Proces náhodné procházky tedy vlastn za íná v každém bod znova, nezávisle na tom, jak se do n j dostal.

- 33 -

Pokud nyní necháme t 0, lze ukázat za použití centrální limitní v ty, že proces v(t) bude mít asymptoticky normální rozd lení s parametry zmín nými v bod (2) definice Wienerova procesu a navíc jeho trajektorie budou spojité. Vhodn zvolený proces náhodné procházky tedy konverguje k Wienerovu procesu25. Obr.4.1.: trajektorie procesu náhodné procházky 100 50 0 -50 -100 -150

Wiener v proces nelze považovat za dostate n dobrý popis cen akcií. Proto se v aplikacích používají r zné modifikace standardního Wienerova procesu. Pom rn dobrým modelem, který si vybrali i F. Black a M. Scholes je tzv. geometrický Brown v pohyb, zavedený p vodn P. Samuelsonem. Ozna me S(t) cenu akcie v ase t. Pak výnos akcie v ase t je definován jako dlnS(t) = dS(t)/S(t), kde dS(t) = S(t + dt) – S(t) a dt je velice malá (infinitezimální) asová zm na 26 . Geometrický Brown v pohyb popisuje následující stochastická diferenciální rovnice: dS(t)/S(t) = αdt + σdW(t)

S(0) = S0

(4.22.)

kde α, σ ∈ R 0+ a dW(t) je velice malý p ír stek Wienerova procesu. αS(t) nazveme koeficientem posunutí, σS(t) koeficientem difúze a α je pr m rná míra r stu. Rovnici 4.22. nelze psát v klasickém tvaru S’(t)/S(t) = α + σW’(t), protože derivace Wienerova procesu podle asu dW(t)/dt neexistuje (tém jist ). Rovnici 4.22. lze interpretovat následovn . P edpokládejme nejprve, že σ = 0. Pak se 4.22. zjednoduší na: dS(t)/dt = αS(t)

S(0) = S0

(4.23.)

což je oby ejná diferenciální rovnice, kterou lze snadno ešit: S(t) = S0eαt Tato rovnice popisuje trend cen akcií. Pokud σ 0, pak 4.23. obsahuje ješt nenulový výraz σW(t), který zachycuje náhodnou složku v cenách akcií. Tato náhodná složka vyjad uje fakt, že ceny akcií nesledují hladkou exponenciálu, nýbrž okolo ní náhodn fluktuují. Typickou trajektorii geometrického Brownova pohybu ukazuje obr.4.3..

25

Všechny definice a tvrzení, která zde uvádíme, jsou zna n zjednodušená. Nap . v definici Wienerova procesu mluvíme o spojitosti všude, i když se jedná o spojitost tém všude s pravd podobností 1. Lze tedy pro t 0 psát dv(t) = εt(dt)1/2 a dv(t)/(dt)1/2 ~ N(0, 1). 26 P edpokládáme, že akcie nevyplácí dividendy.

- 34 -

Obr.4.2.: trajektorie geometrického Brownova pohybu 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Nyní by se mohlo zdát, že obecný p ípad σ ∈ R 0+ má obdobné ešení jako oby ejná diferenciální rovnice 4.23., tj. S(t) = S0e[αt + σW(t)]. Tato domn nka ovšem není správná. (Itoo v) stochastický po et se totiž ídí trochu jinými pravidly než klasický diferenciální po et. Pilí em stochastického diferenciálního po tu je Itoovo lemma, které je obdobou klasického totálního diferenciálu. Pro dostate n hladkou funkci g(x,y) platí následující vztah (Taylor v rozvoj): g(x, y) = g(x0, y0) + gx(x0, y0)(x - x0) + gy(x0, y0)(y – y0) +1/2![gxx(x0, y0)(x - x0)2 + 2gxy(x0, y0)(x – x0)(y – y0) + gyy(x0, y0)(y – y0)2] + R(x,y) kde dolní indexy zna í parciální derivace funkce g podle daných prom nných, tj. nap . gxy = g2/ x y a R(x, y) zna í zbytek, který se blíží rychle k nule27. Pro x x0 a y y0 dostaneme: dg(x, y) = gx(x, y)dx + gy(x, y)dy + 1/2![gxx(x, y)dx2 + 2gxy(x, y)dxdy + gyy(x, y)dy2] + R(x, y). Pokud v tomto vztahu zanedbáme leny 2. ádu, dostaneme rovnost pro klasický totální diferenciál: dg(x, y) = gx(x, y)dx + gy(x, y)dy. Až doposud jsme p edpokládali, že x a y jsou deterministické prom nné. My však budeme pot ebovat po ítat i s funkcemi náhodných veli in. Jejich totální diferenciál však je, jak jsme nazna ili, pon kud odlišný. Vyslovíme tvrzení, které tento vztah popisuje – Itoovo lemma. Definujme nejprve tzv. Itoo v proces jako stochastický proces {z(t), t 0}, který lze popsat následující stochastickou diferenciální rovnicí: dz(t) = a(z, t)dt + b(z, t)dW(t)

(4.24.)

kde a(.) a b(.) jsou deterministické funkce spl ující ur ité technické podmínky28.

27 28

Platí lim x

0

R(x, y)/x2 = lim y

Konkrétn musí platit

t 2 0b (x,

0

R(x, y)/y2 = 0

s)ds <

a

t 0

a(x,s) ds <

- 35 -

pro všechna t

∈ R 0+ .

Itoovo lemma: m jme Itoo v proces {z(t), t 0} a dvakrát spojit diferencovatelnou funkci f(z, t). Pak pro diferenciál funkce f platí následující vztah:

df(z, t) = fz(z, t)dz + ft(z, t)dt + ½ fzz(z, t)(dz)2 = [fz(z, t)a(z, t) + ft(z, t) + ½ fzz(z, t)b2(z, t)]dt + fz(z, t)b(z, t)dW(t).

(4.25.)

Jak je vid t, stochastický totální diferenciál obsahuje o jeden výraz více než klasický – je to výraz ½ fzzb2dt. Ten se zde objevuje proto, že z definice je rozptyl Wienerova procesu p ímo úm rný asové zm n dt a navíc lze zjednodušen psát (dW(t))2 = dt. Intuitivn lze Itoovo lemma chápat jako zobecn ní Jensenovy nerovnosti 29 viz obr.4.3.. Ta íká, že konvexní funkce st ední hodnoty náhodné prom nné je menší než st ední hodnota konvexní funkce náhodné prom nné. Pro konvexní funkci f(θ) náhodné prom nné θ lze psát30: f(E(θ))

Ef(θ).

(4.26.)

Itoovo lemma p edpokládá, že místo náhodné prom nné θ po ítáme s Itoovým procesem z(t). Pro nerovnost 4.26. pak z 4.25. dostaneme: df(Ez) = fzEdz = fza(z)dt

Edf(z) = E[fzdz + 1/2fzz(dz)2] = [fza(z) +1/2fzzb2(z)dt

(4.27.)

protože EdW = 0 a EdW2 = dt. Nerovnost 4.27. platí samoz ejm pouze za p edpokladu, že f je konvexní, a tedy fzz > 0. Tímto vý tem jsme velice rychle shrnuli základní výsledky stochastického po tu. Obr.4.3.:Jensenova nerovnost f(θ)

Ef(θ)

f(Eθ)

θ1

Eθ

θ2

θ

Poznámka: rozdíly klasický vs. stochastický diferenciální po et funkce

stochastický dif. po et

klasický dif. po et

sou et

d(f + g) = df + dg

(f + g)’ = f’ + g’

sou in

d(fg) = (df)g + f(dg) + σ2(∂f/∂x)(∂g/∂x)dt

(fg)‘ = f’g + fg‘

podíl

d(f/g) = [(df)g – f(dg)]/g2 – (σ2/g3)(∂g/∂x)[(∂f/∂x)g – f(∂g/∂x)]dt

(f/g)‘ = (f’g – fg‘)/g2

29 30

Uvažujeme pro jednoduchost p ípad, kdy θ nabývá pouze dvou hodnot: θ1 a θ2. P edpokládáme, že st ední hodnoty E(θ) a Ef(θ) existují.

- 36 -

4.6. Binomický model Pro úplnost si ješt velmi stru n p edstavme binomický model pro evropské kupní opce na akcii. Východiskem nám bude sv t, ve kterém mohou v budoucnosti ( as 1) nastat pouze dva stavy. Dále budeme mít akcii, jejíž pohyb bude náhodný, bezrizikovou diskontovanou obligaci s výnosem rf a kupní opci na uvedenou akcii s uplat ovací cenou B. Vývoj ceny akcie S, opce C a obligace je znázorn n na obrázku 4.4.. Obr.4.4.:Vývoj ceny akcie, opce a obligace.

q S

uS

C

1-q

Cu = max(0, uS – B)

q

q 1

1-q

dS

Cd = max(0, dS – B)

(1+rf)

1-q (1+rf)

Cena akcie tedy m že v budoucnosti bu vzr st na uS nebo klesnout na dS, kde u – 1 a 1 – d jsou míry vzestupu a poklesu. P edpokládáme, že platí d < 1 + rf < u, jinak by akcii bu nikdo nekupoval (1 + rf > u) nebo by existoval arbitrážní zisk (d > 1 + rf). P edpokládá se, že je známa cena akcie v sou asnosti S, rovn ž tak míra vzestupu a poklesu u, d, bezriziková úroková míra rf a pravd podobnost q. Uplat ovací cena B je zadána. Cílem je nalézt hodnotu opce C v sou asnosti. Akcii zapíšeme jako vektor (uS, dS), obligaci jako (1 + rf, 1 + rf) a opci jako (Cu, Cd). Je z ejmé, že obligace a akcie jsou coby vektory nezávislé, a tedy lze vytvo it naši opci pomocí t chto dvou cenných papír . Máme : uS∆ + N(1 + rf) = Cu dS∆ + N(1 + rf) = Cd

(4.28.)

Jedná se o soustavu dvou lineárních rovnic o neznámých ∆ a N. Prom nou ∆ interpretujeme jako po et koupených akcií, prom nou N jako množství hotovosti investované bezrizikov . Sestavili jsme vlastn portfolio, jenž v ase 1 nabývá v obou možných stavech stejných hodnot jako opce. Lze íci, že portfolio opci replikuje i syntetizuje. Aby neexistoval arbitrážní zisk, musí být jeho hodnota rovna hodnot opce i na po átku v ase nula. ešením rovnic (4.28.) je

∆ = (Cu – Cd)/(uS – dS) N = (CduS – CudS)/((uS –dS)(1 + rf)). Hodnota opce v ase nula je

(1 + r f ) − d

C = ∆S + N =

u−d

Cu +

(− (1 + r f )) + u

1+ rf

u−d

Cd

.

Nyní si zave me substituci r = 1 + rf p = (r –d)/(u – d). - 37 -

jelikož platí p 0, p 1 a 1 – p = (u – r)/(u – d), lze p a 1 – p chápat jako pravd podobnosti a hodnotu opce m žeme zapsat v podob diskontované st ední hodnoty C = [pCu +(1 – p)Cd]/r.

(4.29.)

Pravd podobnosti p a 1 – p se nazývají rizikov neutrální i martingalové pravd podobnosti. neutrální pravd podobnosti nejsou reálné pravd podobnosti. Reálnými Rizikov pravd podobnostmi jsou pravd podobnosti q a 1 – q, ale vzorec (4.29.) pro hodnotu opce na nich nezávisí. A by pravd podobnosti vzestupu a poklesu byly jakékoliv, hodnota opce bude stále stejná. Lze si p edstavit ist hypotetický p ípad dvou akcií se stejnou cenou, z nichž jedna má pravd podobnost vzestupu 0,01 a druhá 0,99. Hodnota opce (s uplat ovací cenou rovnou sou asné) na ob akcie bude stejná, p estože je jasné, že první opce sotva skon í v pen zích, zatímco u druhé je to velmi pravd podobné. (Pokud by trh sdílel tyto p edstavy, asi by cena první akcie v sou asnosti poklesla a druhé vzrostla, aby se dostal do souladu o ekávaný výnos a riziko.) Jestliže cena opce nezávisí na pravd podobnostech, m žeme si tyto pravd podobnosti zvolit libovoln . Nech tedy q = p = (r – d)/(u – d) 1 – q = 1 – p = (u – r)/(u – d).

(4.30.)

Snadno se lze p esv d it, že cena akcie v sou asnosti S je p i t chto pravd podobnostech rovna diskontované o ekávané cen . (Akcie má o ekávaný výnos rovný rf): r −d u−r uS + dS u − d u −d S= . r

Je t eba si uv domit, co jsme ud lali. K našemu p vodnímu sv tu, kde jsou investo i averzní k riziku a požadují, aby o ekávaný výnos rizikových aktiv byl zv tšen o rizikovou prémii, jsme vytvo ili rizikov neutrální sv t, kde investory riziko nezajímá, kde všechna aktiva mají stejný výnos, který je roven výnosu bezrizikovému. (Není jiná možnost, kdyby n které aktivum m lo o ekávaný výnos vyšší, okamžit by poptávky po n m zvýšila cenu tak, až by o ekávaný výnos klesl na rf.) Cena opce je však v obou sv tech stejná. Rizikov neutrální sv t je výhodn jší v tom, že ohodnocování je jednodušší. Sta í u každého aktiva i cenného papíru nalézt odpovídající rizikov netrální pravd podobnosti, vypo ítat o ekávanou hodnotu v budoucnosti a tu pak diskontovat do sou asnosti. Obdobn m žeme model rozší it na dv nebo více asových období.

4.7. GARCH option pricing model (GOPM) GOPM m žeme použít k ocen ní opce tehdy, když podkladové aktivum, resp. asová ada výnos podkladového aktiva je modelována GARCH procesem. Tento p ístup k oce ování derivát vychází z toho, že rizikov neutrální ocen ní jakéhokoliv derivátu na podkladové aktivum s okamžitou volatilitou σ se získá (1) za p edpokladu, že o ekávaná míra r stu podkladového aktiva je r – d + λσ, kde r je bezriziková úroková míra, d je p ípadný dividendový výnos a λ je definována jako jednotková riziková prémie, (2) k diskontování výnosu derivátu používáme pr m rnou bezrizikovou míru mezi okamžikem ocen ní a dobou - 38 -

splatnosti. K odvození modifikované B-S (GOPM) formule použijeme stochastickou rovnici s cenou podkladového aktiva S: dS(t)/S(t) = (r – d + λσ)dt + σdW(t),

dW(t) ∼ N(0, dt)

(4.31.)

V diskrétním ase, získáme po aplikaci Itoova lemma rovnici: lnSt/St - 1 = r – d + λσ2t + σtWt,

Wt ∼ N(0, 1),

(4.32.)

kde σ je volatilita za t-té asové období. K odvození modifikované B-S formule (GOPM) jsou t eba ješt další dva p edpoklady: (3) volatilita je konstantní (nebo je alespo známa její pr m rná hodnota) a (4) podkladovou prom nnou je obchodovaný derivát. Potom výraz s jednotkovou rizikovou prémií λ zmizí z rovnic. Otázkou je, je-li stále možné provést rizikov neutrální ocen ní derivátu v p ípad , že volatilita podkladového aktiva není konstantní a je modelována procesem, který je závislý na p edešlých hodnotách volatilit. Konkrétn když σ bude modelována procesem GARCH (1,1): σ t2 = ϖ + α (σ t −1Wt −1 )2 + βσ t2−1 ,

(4.33.)

kde σ2 je kladný a stacionární za podmínek ω > 0, α ≥ 0, β ≥ 0 a α + β < 1. Rovnice (4.32.) a (4.33.) se nazývají podmín ný pr m r a podmín ný rozptyl a jsou podmín ny standardizovaným reziduem Wt a tzv. novou informací z trhu danou výrazem σtWt. Máme-li odhadnutý model definovaný podle rovnic (4.32.) a (4.33.), pak je možné použít bezrizikovou úrokovou míru k diskontování výnosu z derivátu, který je popsán rovnicí: lnSt/St - 1 = r – d + 1/2σ2t + σtWt, Wt ∼ N(0, 1), σ t2 = ϖ + ασ t2−1 (Wt −1 − λ ) 2 + βσ t2−1 .

(4.34.) (4.35.)

Pokud bychom α a β položili rovné nule dostaneme B-S model, z toho jasn vyplývá, že BS model je zvláštním p ípadem GARCH modelu oce ování opcí.

4.8. Simulace Monte Carlo V této kapitole si ukážeme možnost použití simulace Monte Carlo k oce ování opcí 31 . P edpokládejme, že volatilita akcie je σ , S je sou asná cena akcie a r je bezriziková úroková míra. V okamžiku splatnosti opce má akcie hodnotu rovnající se C(T) = S*e(R), kde R p edstavuje spojit složenou výnosovou míru akcie za celou dobu životnosti opce. Pokud aplikujeme p ístup neutrální v i riziku dosadíme místo R rτ. Je-li spojit složená míra výnosnosti akcie v následujícím infinitezimáln malém období rovna bezrizikové úrokové mí e, pak složená výnosnost akcie v n→∞ obdobích mezi t a T má normální rozd lení se st ední hodnotou µτ – 0,5σ2τ a volatilitou σ, zd vodn ní bude vysv tleno dále. Platí, že náhodná prom nná jejíž logaritmus má normální rozd lení má tzv. logaritmicko-normální rozd lení z ehož vyplývá, že výnosnost akcie má logaritmickonormální rozd lení. Situaci, kdy n→∞ nazýváme obchodování ve spojitém ase.

31

Stejný p ístup je možné použít k oce ování jakéhokoliv aktiva.

- 39 -

Vzhledem k tomu, že n které trhy jsou otev eny 24 hodin denn je obchodování ve spojitém ase celkem užite ná abstrakce v p ípad , že obchodování na trhu je velmi etné. Pro je tomu tak? P edpokládejme, že obchodujeme ve spojitém ase. Podíváme-li se na delší asový interval než infinitezimáln krátký musíme vysv tlit p sobení volatility na o ekávanou míru výnosnosti. Rozd lme interval mezi t a T v binomickém modelu32 do n období. V p ípad r stu se cena akcie vynásobí (u - 1) a v p ípad poklesu se cena akcie vynásobí (1 + d), jiná možnost není. Pr m rná hrubá míra výnosnosti na období v intervalu mezi t a T, který má n období se m že vyjád it jako: rv =

n

r1 r2 ...rn ,

kde ri má alternativní rozd lení, protože m že nabýt pouze hodnot u nebo d. ri je hrubá míra výnosnosti za období i. Díky pronásobení, je pr m rná míra výnosnosti rv na období geometrickým pr m rem výnosových m r v každém z i období. Platí, že geometrický pr m r z výnosových m r je menší než pr m r aritmetický až na situaci, kdy by byly všechny výnosové míry stejné, pak by byly oba pr m ry totožné. Je tomu tak protože, geometrický pr m r je konkávní funkcí výnosových m r. U konkávní funkce vždycky platí, že st ední hodnota funkce náhodné prom nné je nižší než hodnota funkce st ední hodnoty náhodné prom nné (tzv. Jensenova nerovnost). Pro konkávní funkci f(θ) náhodné prom nné θ lze psát33: f(E(θ)) Ef(θ). V p ípad , že ri je náhodná prom nná, pak st ední hodnota geometrického pr m ru výnosu na období v celém intervalu mezi t a T je menší než st ední hodnota aritmetického pr m ru ri. Pokud po et období konverguje k nekone nu tj. n→∞, musíme snížit o ekávanou výnosovou míru v jednom období o polovinu rozptylu výnosové míry. Potom tedy spojit složená výnosová míra akcie R na celém intervalu mezi t a T má normální rozd lení se st ední hodnotou µ(Τ − t) – 0,5σ2(Τ − t) a rozptylem σ2. Ve sv t neutrálním v i riziku je spojit složená výnosová míra rv stejná v každém z období po celou délku intervalu, takže m žeme µ nahradit r. Výnosová míra za celý interval mezi t a T má potom normální rozd lení se st ední hodnotou r(Τ − t) – 0,5σ2(Τ − t) a rozptylem σ2.

32

Velmi zjednodušený výklad binomického modelu znamená, že v následujícím období m že cena akcie nabýt pouze dvou hodnot, v p ípad r stu nabude hodnoty Su s pravd podobností q a v p ípad poklesu hodnoty Sd s pravd podobností 1 - q, v práv jednom období má cena akcie alternativní rozd lení a v n obdobích má potom binomické rozd lení. 33 P edpokládáme, že st ední hodnoty E(θ) a Ef(θ) existují.

- 40 -

5. Volatilita v Black-Scholesov modelu Nejkriti t jším a nej ast ji diskutovaným parametrem B-S modelu je bezesporu volatilita výnos podkladové akcie, vyjad ovaná pomocí rozptylu σ2 resp. sm rodatné odchylky σ. Black-Scholes v model p edpokládá logaritmicko-normální rozd lení cen akcie. Spojit složená výnosová míra je tak normáln rozd lená s konstantním rozptylem σ2. Rozptyl výnosu za ur ité asové období je tak p ímo úm rný délce období. Ur ení volatility akcie je zcela klí ové pro správné ocen ní opce. V zásad je možné volatilitu odhadovat A) na základ minulého (historického) vývoje výnosu podkladového aktiva, B) za základ ceny opcí na trhu (tzv. implikovaná volatilita). V obou p ípadech se jedná o tzv. konstantní volatilitu, nebo ji p edstavuje jedna jediná hodnota, charakteristická pro podkladové aktivum. A) Nejjednodušším zp sobem ur ení volatility je výpo et sm rodatné odchylky resp. rozptylu na základ týdenních nebo denních dat. Zde je však nutno vy ešit klí ový rozpor mezi dostate nou datovou základnou a aktuálností dat. Volatilita akcie není v ase konstantní a m ní se nap íklad v souvislosti s vývojem ekonomických indikátor . Použití p íliš starých dat tak vnese do vypo tené volatility hodnoty, které neodpovídají sou asné situaci. Navíc je t eba vzít také v úvahu, že historická data používáme k predikci volatility do budoucnosti, kdy se skute ná volatilita m že nadále m nit. (1a) Pro výpo et volatility obvykle užijeme nestranného odhadu rozptylu (ozna uje se jako nevážen historická metoda)

σ

2

1 n 1 s = Ri − n − 1 i =1 n

n

2

j =1

2

, R j = log

Rj

S j +1 Sj

kde Rj je spojit složená výnosová míra v j-tém období. (1b) Obdobou pro nevážen historickou metodu je metoda vážen historická (weighted historic). P edpokládejme existenci vah, g1, g2, .., gi, …, gn, kde sou et vah je roven jedné. Platí tedy gi= 1. Potom odhadovaný rozptyl, na který aplikujeme tyto váhy bude

1 n 1 ng i Ri − s = n − 1 i =1 n 2

2

n j =1

Rj

,

nap íklad pokud máme pouze t i pozorování mohou váhy gi být (1/6), (2/6) a (3/6)34. (2a) V literatu e lze najít i jiné zp soby ur ení volatility akcie. Nap íklad Michael Parkinson navrhoval použít denních maxim a minim. Volatilitu pak ur il jako

σ

2 HL

SH j 0,361 n = ln n i =1 S Lj

2

,

34

J.P. Morgan používá tzv. exponenciální váhy, které mají podobu a + a(1 – a) + a(1 – a)2 + a(1 – a)3 + … = 1. Nejd íve se volí libovoln 0< a ≤1. Následn se musí váhy vynásobit koeficientem, tak aby platilo, že jejich sou et je roven 1.

- 41 -

kde SHj a SLj jsou denní maximální resp. minimální ceny v j-tý den. Tato metoda pot ebuje menší datovou základnu než p edchozí metoda nestranného rozptylu, je však daleko citliv jší na možné chyby, vyplývající zejména z chybného ur ení maximálních a minimálních cen35. (2b) Alternativn je možné použít

σ

2 HL

1 = n

n i =1

0,5 ln

SH j S Lj

2

− 0,39 ln

Sc j S c j −1

2

,

kde S c j je uzavírací cena podkladového aktiva v j-tý den a SHj a SLj jsou denní maximální resp. minimální ceny v j-tý den. (3) Další možností je shromáždit jednotlivá pozorování cen podkladových aktiv: S1, S2, …, ST a pak provést transformaci:

S t = ln

St = ln S t − ln S t −1 ≡ ∆ ln S t , S t −1

t = 2, 3, …, T .

O veli in S t p edpokládá B-S model, že je normáln rozd lená se st ední hodnotou µ a rozptylem σ2, který se snažíme zjistit. Pokud máme dostatek pozorování (více než 50), je možné tento p edpoklad otestovat nap íklad Kolmogorovovým-Smirnovovým testem. Z posloupnosti transformovaných pozorování S t se pak snažíme vypo ítat odhad rozptylu výnosu σ 2 ( S t ) podle známého vztahu:

σ 2 (St ) =

[

]

1 T 1 T 2 (S t − µ ) 2 = St − µ 2 . T − 2 t =2 T − 2 t =2

(4) Dalším zp sobem jak získat hodnotu parametru σ použitelnou pro BlackScholes v model je použití tzv. implikované volatility. Tato metoda má výhodu v tom, že pro ur ení volatility nepoužívá historická, ale aktuální tržní data36. P edpokládejme, že na trhu existuje správn ocen ná opce na stejnou akcii, pro níž známe p esný oce ovací model (nap . op t Black-Scholes v, pokud se jedná o standardní evropskou opci). Vhodné je také použití opce se stejnou nebo alespo podobnou dobou splatnosti, ímž se také vyhneme problém m se v ase se m nící volatilitou. Pak lze ze znalosti ceny opce a všech ostatních parametr modelu ur it parametr σ ešením BlackScholesova vzorce pro parametr σ. ešení nelze analyticky vyjád it, ale za použití numerických aproxima ních metod je velmi jednoduché. Pro ur ení volatility, která je p isuzována (implikována) akcii na základ správn ocen né opce, m žeme tuto volatilitu použít i jako parametr Black-Scholesova modelu pro opci, kterou chceme ocenit. Tento zp sob ur ení volatility podkladové akcie má také své problémy. Pokud totiž vezmeme n kolik opcí na stejnou podkladovou akcii a vypo teme jejich 35

Typickým p íkladem vnesení chybných hodnot do datové základny je nap íklad použití hodnot z extrémn vychýlené bid-ask kotace, p i které nebyl uzav en obchod. 36 Nelze však vylou it, že použité aktuální tržní ceny opcí mohou být založeny op t na historických datech.

- 42 -

implikované volatility, budou se vypo tené hodnoty zcela jist lišit. Existují t i základní možnosti jak vy ešit problém lišících se implikovaných volatilit. A) první možností je spo ítat pr m r jednotlivých vypo ítaných volatilit. V tomto p ípad m žeme vylou it opce, které jsou hodn mimo peníze (deep-out-of-the-money) a ty které jsou hodn v pen zích (deep-in-the-money). N kte í auto i navrhují vzít za odhad pr m r vypo tených implikovaných volatilit, jiné studie zd raz ují fakt, že mnohem likvidn jší jsou opce na pen zích a navrhují použít vážený pr m r:

σ=

k i =1

ω iσ i ,

je odhad implikované volatility, σi jsou implikované volatility a ∂C i σ i ∂σ C ω i = k i i je váha daná cenovou elasticitou dané opce vzhledem k σ37. ∂C i σ i i =1 ∂σ i C i

kde σ

B) Druhou možností je nalézt implikovanou volatilitu, která minimalizuje absolutní odchylku skute né ceny opce od ceny opce vypo ítané pomocí B-S vzorce. C) Empiricky však bylo prokázáno, že stejn dosta ující je odhad volatility implikovanou volatilitou kupní opce, která je nejblíže na pen zích. Pomocí prvních dvou p ístup získáme volatilitu, kterou m žeme použít k p edpov di budoucí volatility. Mají smysl pro ty, kte í v í, že B-S vzorec neposkytuje vychýlené odhady a skute nost, že r zné opce mají r znou implikovanou volatilitu je zp sobena zkreslením v datech. Empirické studie navíc ukazují, že opce se stejnou dobou splatnosti na stejné podkladové aktivum, avšak s r znou uplat ovací cenou, nebo opce se stejnou uplat ovací cenou, avšak s r znými dobami splatnosti, mají v ur itých obdobích a na ur itých trzích systematicky r znou implikovanou volatilitu. Tento jev se nazývá volatility smile a B-S vzorec jej nedokáže postihnout. (5) P edpovídání volatility pomocí GARCH. Zkratka GARCH znamená generalized autoregressive conditional heteroskedsticity, což lze voln p eložit jako obecný model zm n podmín ného rozptylu (volatility). asové ady jsou charakterizovány zm nami podmín ného rozptylu, jestliže obsahují okamžiky vysoké volatility, které se st ídají s obdobími malých výkyv . GARCH je pouze jedním z široké rodiny ARCH model . První ARCH model byl vytvo en Robem Englem v roce 1982 a zobecn n Timem Bollerslevem v roce 1986. Pro p edpovídání volatility lze použít r zné modely z této rodiny. V praxi se nej ast ji používá model GARCH (1,1), který jsme také zvolili jako jednu z alternativ pro p edpovídání volatility v této práci. P edpovídání volatility pomocí modelu GARCH (1,1) vyjad uje následující rovnice: σ t2+1 = ϖ + αε t2 + βσ t2

Kde σt+1 vyjad uje volatilitu v ase t + 1 (tj. p edpov ), σt je volatilita v ase t (tj. dnešní volatilita), εt p edstavuje novou informaci v ase t (tj. dnešní novou informaci). Prom nné α, β, ω jsou parametry, které se musí odhadnout. Výše uvedená rovnice nám tedy dává informaci, že podle modelu GARCH (1,1) zít ejší volatilita závisí na 37

Nejv tší cenovou elasticitu vzhledem k σ vykazují práv opce na pen zích.

- 43 -

dnešní hodnot volatility a na dnešní nové informaci z finan ních trh (což se obvykle substituuje dnešní procentní zm nou kursu). Parametry a, b, ω odhadneme tak, že za n budeme volit r zné hodnoty a budeme hledat takové jejich hodnoty, p i kterých volatilita ur ená modelem nejvíce odpovídá skute né historické volatilit . K tomu využijeme následující pravd podobnostní funkci: Lt =

1 2πσ t2

exp −

1 ε t2 2 σ t2

ím bude její hodnota vyšší, tím více jsou zvolené parametry vhodné, tj. volatilita ur ená modelem v nejv tší mí e odpovídá volatilit skute né. V p ípad (1) – (3) se jedná o odhad rozptylu za období, mezi kterými byla zaznamenávána jednotlivá pozorování. To znamená, že pokud máme denní pozorování ceny dané akcie, bude σ 2 ( S t ) odhad denního rozptylu výnosu této akcie. Posledním krokem bude p evedení tohoto rozptylu výnosu na ro ní bázi. Z definice Wienerova procesu plyne, že jeho rozptyl na intervalu [s, t] je dán jako σ2(t – s). Pokud tedy máme denní pozorování, musíme odhad σ 2 ( S t ) vynásobit po tem obchodních dn v roce (265) resp. n kdy se uvádí mén p esné pronásobení po tem kalendá ních dn v roce (365). Pro po et obchodních dn hovo í fakt, že mimo obchodní dny nedochází ve skute nosti ke zm n ceny podkladového aktiva. Teprve potom dostaneme odhad rozptylu, který je možné dosadit do B-S vzorce. Dá se o ekávat, že odhad rozptylu pomocí jednotlivých metod resp. jejich variant nevyjde konstantní. P í in m že být n kolik. Jednak nemusíme mít dostate ný po et pozorování a výše popsané rozdíly jsou zp sobeny nereprezentativností našich výb r . Dále je možné, že pohyb ceny akcie není spojitý, tj. nastávají skoky. Za t etí je samoz ejmé, že geometrický Brown v pohyb je pouze velmi jednoduchou aproximací reálných cen akcií. Volatilitu mužeme v principu rozd lovat (I) na konstantní, (II) na nekonstantní, která m že mít a) deterministický, nebo b) stochastický charakter.

- 44 -

5.1. Nekonstantní volatilita Až dosud jsme p i analýze cen opcí p edpokládali, že podkladová akcie sleduje Brown v proces dS(t)/S(t) = αdt + σdW(t) S(0) = S0, kde koeficienty α a σ byly konstantní. Na základ tohoto p edpokladu jsme odvodili B-S vzorec, ve kterém vystupuje σ jako konstanta, charakteristická pro dané podkladové aktivum. Pokud tedy vypo ítáme implikovanou volatilitu opcí na identickou podkladovou akcii, avšak s r znou dobou splatnosti a uplat ovací cenou, m li bychom obdržet stejné hodnoty 38 . Empirické studie však ukazují, že tato domn nka není pravdivá. Ceny opcí vykazují systematické odchylky od B-S modelu, které nelze vysv tlit transak ními náklady i nedostate nou volatilitou na trhu. Implikovaná volatilita σimp, vypo ítaná na základ reálných dat, klesá s rostoucí vypo ádací cenou. K ivka, vyjad ující závislost implikované volatility, mívá záporný sklon, asto se znateln kladnou druhou derivací. Tento jev se nazývá volatility smile39 viz obr.5.1.. obr.5.1.: volatility smile – graf implikované volatility opcí 0,75 0,7 volatilita (%)

0,65 0,6

0,55 0,5

0,45 0,4 80

90

100

110 120 strike (USD

130

140

150

Zárove implikovaná volatilita klesá s rostoucí dobou do splatnosti opce. Pokud tedy implikovanou volatilitu σimp vyjád íme jako funkci dvou prom nných, uplat ovací ceny a doby do splatnosti dané opce, σimp = σimp(B, τ), získáme graf, obvykle nazývaný jako volatility surface. Parametry, tedy sklon a zak ivenost funkce implikované volatility, se v ase mohou m nit, avšak jev dlouhodob p etrvává a lze ho vysledovat u nejr zn jších podkladových aktiv, nejen akcií ale i akciových index i m n. P itom patrn jší a také stabiln jší je smile k ivky vyjad ující závislost implikované volatility na uplat ovací cen , graf implikované volatility v závislosti na dob do splatnosti opce bývá prom nliv jší. Modely s konstantní volatilitou jsou tedy pro korektní ocen ní opcí nedostate né. Pokusme se je tedy upravit tak, aby lépe odrážely realitu. Je patrné, že tento úkol nebude jednoduchý, a to zejména proto, že se zavedením nekonstantní volatility vzroste po et parametr , které bude t eba ur it, aby model oce oval obchodované opce správn . Poukážeme na problémy se zavedením nekonstantní volatility a navrhneme zp sob jak tento problém ešit. Jak jsme již uvedli nekonstantní volatilita m že mít bu a) deterministický nebo b) stochastický charakter. 38

Hodnoty vypo tené na základ reálných dat samoz ejm nebudou vždy zcela identické. Dáno je to zejména transak ními náklady spojenými s nákupem a prodejem opcí. Tržní cena opce nemusí být p esn shodná s teoretickou cenou, ale bude se pohybovat v ur itých pásmech kolem teoretické ceny. Dalšími faktory jsou nedostate ná likvidita na trhu, i nemožnost neomezeného št pení finan ních instrument a tím vytvá ení bezrizikových portfolií v souladu s B-S modelem. Celkov lze však íci, že tyto odchylky od teoretické hodnoty m ly být náhodného charakteru a trh by tak nem l systematicky nadhodnocovat nebo podhodnocovat ur ité opce oproti jiným. 39 Nebo též volatility skew.

- 45 -

5.2. P í iny nekonstantní volatility a zp soby jejího modelování Jak jsme se již zmínili je parametr σ, vyjad ující volatilitu podkladové akcie, nejobtížn ji ur itelným parametrem B-S modelu. Stanovení historické volatility sice není problematické, pokud stanovíme asový interval, ve kterém budeme volatilitu sledovat. Do modelu by však m la být dosazena volatilita, kterou bude cena akcie sledovat v budoucnosti až do doby splatnosti opce. Ta se však m že od sou asné, resp. historické volatility výrazn lišit. Vezm me nap íklad v úvahu situaci, kdy firma stojí p ed událostí, která zcela jist nastane ve známém termínu v budoucnosti, avšak není znám výsledek události. Takovým p íkladem m že být ekání na oznámení finan ních výsledk nebo výsledk výzkumu, který firma provádí. V sou asnosti se cena akcie ustálila na úrovni, vyjad ující konsensus mezi investory, nejsou oznamovány žádné nové informace a volatilita ceny akcie je velmi nízká. Všichni ú astníci trhu však v dí, že s okamžikem oznámení výsledk dojde k výrazným kurzovým pohyb m, a již dol nebo nahoru. Ceny opcí, které slouží jako zajiš ovací instrument proti kurzovým pohyb m, jsou tedy mnohem vyšší, než by odpovídalo sou asné volatilit ceny podkladové akcie, a odrážejí o ekávanou budoucí volatilitu. Prom nlivost volatility v ase však ješt nezd vod uje rozdílné implikované volatility opcí se stejnou dobou do splatnosti, avšak s r znou vypo ádací cenou. V tomto p ípad musí být volatilita náhodného procesu popisujícího cenu podkladové akcie ovlivn na ješt jinými faktory. Tyto faktory nemohou souviset s n jakou vlastností, charakteristickou pouze pro akcie, protože volatility smile je pozorován i u jiných podkladových instrument . Nejlogi t jším vysv tlením je pravd podobn závislost volatility náhodného procesu na okamžité výši ceny podkladového instrumentu. P í iny závislosti volatility náhodného procesu na okamžité výši ceny instrumentu mohou mít nejr zn jší charakter. Vliv m že mít nap íklad zp sob kotace ceny akcie ve zlomcích, který m že být pro nízké ceny akcie p íliš hrubý – cena se tak musí pohybovat po velkých skocích, což m že zp sobovat vyšší volatilitu. Jiným faktorem m že být ist subjektivní pocit investor – kurzové pohyby p i nízkých cenách akcie se mohou jevit malé, avšak pom rn k výši ceny jsou velmi vysoké a zp sobují tak vysokou volatilitu. Pokud tedy p ijmeme skute nost, že parametr σ v náhodném procesu popisujícím chování ceny akcie je závislý na ase a okamžité výši ceny akcie: dS = αSdt + σ(S, t)SdW(t) musíme místo jednoho parametru σ ur it jeho funkci σ(S, t), což je nepom rn složit jší. Místo ur ování této funkce by tedy v n kterých p ípadech bylo vhodn jší využít empirických cen obchodovaných akcií a model parametrizovat pomocí nich. Jiným rozší ením je opušt ní p edpokladu deterministické volatility a zakomponování stochastické volatility do náhodného procesu. Potom náhodný proces dS = αSdt + σSdW1 obsahuje náhodnou veli inu σ, danou výrazem dσ = p(S, σ, t)dt + q(S, σ, t)dW2, p i emž ob veli iny dW1 a dW2 mají korelaci ρ.

- 46 -

5.3. Úprava Black-Scholesova modelu o nekonstantní volatilitu Úprava B-S modelu o nekonstantní volatilitu m že být zna n obtížná a v naprosté v tšin p ípad je potom upravený B-S model ešitelný pouze numericky.

5.3.1. Periodické deterministické zm ny volatility Pom rn jednoduchá situace nastává v p ípad , že volatilita podkladové akcie bude jen funkcí asu tedy σ = σ(τ), kde prom nná τ ∈ t, T . t bude zna it po átek asového intervalu. Cena podkladové akcie sleduje proces: dS = αSdτ + σ(τ)SdW. Oce ujeme-li evropskou opci, pro ocen ní je rozhodující cena podkladové akcie v dob splatnosti opce, v ase T. Volatilita ceny podkladové akcie za celé období do doby splatnosti opce však nijak nezávisela na hodnotách ceny akcie v pr b hu tohoto období, tedy na trajektorii, kterou cena akcie sledovala. Protože rozptyl je aditivní pro sou et stejn rozd lených a nezávislých náhodných veli in40, m žeme místo σ2(T – t) psát T

(σ (τ )) 2 dτ .

t

Parametr σ v B-S modelu tak m žeme nahradit výrazem T

1 (σ (τ )) 2 dτ T −t t a psát C(S, r, τ, B) = S N(d1) – Be-rτ N(d2)

ln(S / B) + rτ + d1 =

T

T

1 (σ (τ )) 2 dτ 2t

ln(S / B) + rτ − d2 =

(σ (τ )) 2 dτ

t

T

T

1 (σ (τ )) 2 dτ 2t

.

(σ (τ )) 2 dτ

t

Situace v p ípad σ = σ(S, τ) již zdaleka tak snadná není. Nelze totiž použít tvrzení o aditivit rozptylu za ur itý asový interval a ur it tak volatilitu akcie za celé asové období jako integrál rozptylu v pr b hu tohoto období. Stejn tak to platí pro p ípad závislosti σ pouze na cen akcie. Do B-S modelu, upraveného pro p ípad σ = σ(τ) resp. σ = σ(S, τ), te m žeme zahrnout n jakou vlastní funkci σ, nebo model p izp sobit implikovaným volatilitám, vypo ítaným z tržních cen.

40

To platí i pro náš p ípad, vyšli jsme totiž z Itoova procesu, ve kterém cena akcie vykonává náhodnou procházku.

- 47 -

5.3.2. Náhodné zm ny volatility Situace se za ne komplikovat ješt mnohem více pokud se volatilita m ní náhodn . V zásad m žeme uvažovat dv alternativy. V prvním p ípad volatilita závisí (je funkcí) pouze na cen podkladového aktiva. Volatilita se v pr b hu asu m ní náhodn , práv protože se náhodn m ní cena podkladového aktiva. V druhém p ípad závisí volatilita na jiných prom nných. 5.3.2.1. Volatilita je funkcí ceny podkladového aktiva

Z empirických studií vyplývá, že u malých firem existuje negativní vazba mezi cenou akcie a volatilitou. B-S model by m l být tedy upraven tak, aby zachytil negativní vztah mezi volatilitou a cenou podkladového aktiva. Toho dosáhneme tak, že volatilitu u iníme známou funkcí ceny podkladového aktiva. Pokud je volatilita funkcí ceny podkladového aktiva, potom je s cenou perfektn zkorelovaná. Potom známe-li cenu podkladového aktiva známe i volatilitu. A pokud známe v každém okamžiku volatilitu m žeme ocenit i opci podle B-S vzorce. 5.3.2.2. Volatilita se náhodn m ní

Co se stane pokud se volatilita náhodn m ní, ale není perfektn zkorelovaná s cenou podkladového aktiva? V tomto p ípad B-S vzorec p estává fungovat. Existuje samoz ejm mnoho d vod pro se m že volatilita náhodn m nit. P edstavme si firmu, která práv oznámila svoje výsledky. Dá se o ekávat, že volatilita ceny akcie poklesne bez ohledu na to, zdali byly výsledky dobré nebo špatné, poklesne protože investor má nyní mén nejistoty o budoucím cash flow. V p ípad , že dojde k významným zm nám volatility, nedochází ke správnému ocen ní hodnoty opce a ta je vystavena zm nám volatility (není proti ní chrán ná). P edstavme si, že chceme opci zajistit jak proti náhodným zm nám v cen podkladového aktiva tak proti zm nám volatility. V tom p ípad pot ebujeme nalézt n jaké aktivum, jehož cena je zkorelovaná s volatilitou. Pokud hodnota opce závisí na volatilit , aktivum, které nám pom že se proti výkyv m volatility zajistit bude op t opce. P edpokládejme, že existují dv opce se stejnou dobou do splatnosti, ale s r znými uplat ovacími cenami B a B‘. Nyní hledáme cestu jak se zajistit proti riziku ve zm n ceny akcie a volatility, které je spojeno s držbou opce s uplat ovací cenou B. Ozna me C(S, B, τ, σ) cenu kupní opce, ímž zd razníme závislost ceny kupní opce na náhodn se m nící volatilit . Opci m žeme v tomto p ípad proti zm nám volatility a ceny podkladového aktiva zajistit vytvo ením portfolia, které má nulovou deltu (N(d1) = 0) a Vegu (V = 0) 41 . Pokud cena podkladového aktiva nezávisí na volatilit ceny akcie, použijeme druhou opci jako zajišt ní proti výkyv m volatility ceny akcie. Abychom vylou ili zm ny v cen podkladového aktiva a zm ny volatility musíme být p ipraveni prodat podkladové aktivum a vypsat opci s uplat ovací cenou B‘. Nyní vypo ítáme deltu N(d1) a ozna íme si ji jako CS(S, B, τ, σ) a vegu, kterou ozna íme jako Cσ(S, B, τ, σ). Aby došlo k zajišt ní kupní opce, kterou držíme musíme ur it optimální po et akcií h a optimální po et opcí hc s uplat ovací cenou B‘. Naše portfolio se tedy skládá z jedné kupní opce s uplat ovací cenou B, h akcií a hc kupních opcí s uplat ovací cenou B‘. Takže musí platit: CS(S, B, τ, σ) - h - hcCS (S, B’, τ, σ) = 0, Cσ(S, B, τ, σ) - hcCσ(S, B’, τ, σ) = 0. 41

Detail viz kapitola Greeks.

- 48 -

(5.1.) (5.2.)

Máme dv rovnice o dvou neznámých, h a hc. Pokud akcie nemá riziko z volatility, musí pro druhou rovnici platit: hc = Cσ(S, B, τ, σ)/ Cσ(S, B’, τ, σ).

(5.3.)

Výraz na pravé stran rovnice 5.3. je pom r vega opce s uplat ovací cenou B v i vega opce s uplat ovací cenou B‘. Pokud víme jak se vypo ítá vega, víme jak se vypo ítá tento pom r. ímž získáme hc po et opcí s uplat ovací cenou B‘, které musíme upsat. hc nyní dosadíme do 5.1.: CS(S, B, τ, σ) - h – [Cσ(S, B, τ, σ)/ Cσ(S, B’, τ, σ)]CS (S, B’, τ, σ) = 0.

(5.4.)

Vy ešením 5.4. pro h, získáme: h = CS(S, B, τ, σ) - [Cσ(S, B, τ, σ)/ Cσ(S, B’, τ, σ)]CS (S, B’, τ, σ) = 0. Ukažme si to na p íkladu. Uvažujme následující podmínky S … 100USD B … 100USD τ … 1 rok σ … 0,1980 B’ … 90USD r … 9,95% Vega opce s uplat ovací cenou 100USD je (S*√τ*((exp(-(d1)2/2))/(2π)0,5) = (100*√1*((exp((0,601525)2/2))/(2π)0,5) = 33,29. Druhá opce s uplat ovací cenou 90USD má dle B-S vzorce hodnotu 19,91USD. Vega druhé opce je 20,98 a delta je 0,8715. ešením rovnice 5.1. a 5.2. získáme hc = 33,29/20,98 = 1,5867 a h = 0,7263 – 1,5867*0,8715 = -0,6565. Jinak e eno, m li bychom upsat 1,5867 opce s uplat ovací cenou 90USD a vlastnit 0,6565 akcie. Tím bude jedna opce s uplat ovací cenou 100USD zajišt na jak proti riziku volatility tak proti riziku spojenému se zm nou ceny akcie.

- 49 -

6. Ostatní parametry Black-Scholesova modelu a problémy s jejich ur ením P estože je B-S model uznáván jako velmi jednoduše použitelný, mohou se i p i ur ování ostatních parametr modelu vyskytnout ur ité problémy. N kdy je obtížné ur it datovou základnu, u mén likvidních trh nemusí být vždy k dispozici data založená na dostate ných objemech obchod . Pro oce ování opce na akcii je t eba zvolit správnou hodnotu podkladové akcie S, aby byl model konzistentní. Je t eba znát aktuální hodnotu akcie v dob , kdy je ocen ní opce provád no, což m že být obtížné, protože derivátové a akciové trhy nemají stejné obchodní hodiny. Zkreslujícím faktorem m že být také nedostate ná likvidita na akciovém trhu 42 . Uplat ovací cena B je nejjednodušším parametrem B-S modelu, nebo je p esn ur ena v obchodovaném kontraktu. Problémy mohou nastat pouze p i št pení akcií i dividendách ve form vydávaných akcií, kdy je t eba cenu upravit. Doba do splatnosti τ = T – t je rovn ž jednozna n ur ena v kontraktu. V B-S vzorci se však tento parametr objevuje jak p i diskontování uplat ovací ceny na sou asnou hodnotu (Be-rτ), tak i p i projekci rozptylu výnos podkladové akcie (σ2τ). Pro diskontování uplat ovací ceny lze použít po et kalendá ních dn , protože úroky se na ítají i b hem neobchodních dn . Ovšem u ur ení rozptylu výnos podkladové akcie je situace komplikovan jší. B hem neobchodních dn se totiž nem ní cena akcie, nedochází k nár stu volatility, a proto by nem ly být do τ zapo ítávány. B-S vzorec by m l pak tvar: C(S, r, τ, B) = S N(d1) – Be-rτ2N(d2) resp. P(S, τ) = Be-rτ2N(-d2) – SN(-d1) ln(S / B) + rτ 2 + σ 2τ 1 / 2 ln(S / B) + rτ 2 − σ 2τ 1 / 2 d1 = d2 = = d1 − σ τ 1 ,

σ 2τ 1

σ 2τ 1

kde

τ1 = (# obchodních dn do splatnosti)/(# obchodních dn v roce) τ2 = (# kalendá ních dn do splatnosti)/(# kalendá ních dn v roce).

ada autor však konstatuje, že empirické výzkumy neukázaly významné rozdíly mezi použitím kalendá ních a obchodních dn . Úroková míra r vstupuje do B-S modelu jako bezriziková a konstantní po celou dobu života opce. Co se týká rizika nesplacení, je možné vzít v rozvinutých zemích za bezrizikové krátkodobé cenné papíry 43 . Dále ovšem vyvstává problém, který státní cenný papír pro ocen ní opce vybrat. Obvykle se považuje za vhodné zvolit úrokovou míru státního cenného papíru s dobou splatnosti, která se nejvíce blíží dob splatnosti opce. Ovšem ani to nám nezajistí zcela exaktní ocen ní, protože úroková míra není v pr b hu trvání kontraktu konstantní. Museli bychom tak ješt modelovat stochastický proces chování úrokové míry. P ínos pro vylepšení modelu bývá zanedbatelný, významn jší roli mohou hrát nap íklad rozdíly ve zdan ní kapitálových a d chodových zisk .

42 Problém nedostate né likvidity na trhu hraje významnou roli p i analýze oce ovacích model , p i kterých jsou využívána historická data. 43 V USA Treasury bills

- 50 -

6.1. Dividendy Až dosud jsme p edpokládali, že akcie nevyplácí dividendu až do okamžiku splatnosti opce. Ve skute nosti však obchodujeme opce, jejichž podkladové aktivum dividendy vyplácí. Výplaty dividendy snižují hodnotu opce. Sou asná hodnota dividendy se ode ítá od sou asné hodnoty podkladového aktiva, po celou dobu, kdy vlastník opce vlastn nemá právo na její výplatu, výplatu realizuje vlastník podkladového aktiva. Za p edpokladu, že istá cena akcie (opravená práv o výplatu dividend) je lognormáln rozd lena m žeme použít B-S vzorec. Rozlišujeme a) spojitý dividendový výnos a b) dividendy vyplácené v diskrétních asových okamžicích.

6.1.1. Spojitý dividendový výnos Za p edpokladu existence dividend resp. spojitého dividendového výnosu, se výnos akcie odvozuje od kapitálového zhodnocování a výplaty dividendy. Úprava o dividendy p edstavuje v podstat triviální operaci. Jedná se o tzv. Merton v model, který se od B-S modelu liší pouze tím, že zahrnuje spojitý dividendový výnos: C(S, r, τ, B) = Se-qτ N(d1) – Be-rτ N(d2) P(S, τ) = Be-rτN(-d2) – Se-qτN(-d1)

d1 =

ln( S / B) + (r − q + σ 2 / 2)τ

σ 2τ

d2 =

resp.

(6.1.a) (6.1.b)

ln(S / B ) + (r − q − σ 2 / 2)τ

σ 2τ

,

kde q je spojitý dividendový výnos. Pokud je q konstantní, tak žádným zp sobem neovliv uje volatilitu.

6.1.2. Diskrétní dividendový výnos Uvažujme opci na akcii splatnou v okamžiku T, akcie vyplácející dividendu D v okamžiku t’ p ed dnem splatnosti opce, T a t’ jsou chápany jako podíly na 365. V tomto p ípad je odpovídající cenou akcie její sou asná hodnota snížená o sou asnou hodnotu dividendy De-r(t’-t). Za p edpokladu lognormálního rozd lení rozdílu sou asné hodnoty akcie a sou asné hodnoty dividendy, je možné aplikovat modifikovaný B-S vzorec: C(S, r, τ, D, B) = (S - De-r(t’-t))N(d1) – Be-rτ N(d2) resp. P(S, r, τ, D, B) = Be-rτN(-d2) – (S - De-r(t’-t))N(-d1)

d1 =

ln((S − De − r (t '− t ) ) / B) + (r + σ 2 / 2)τ

σ 2τ

d2 =

(6.2.a) (6.2.b)

ln((S − De − r (t '− t ) ) / B) + (r − σ 2 / 2)τ

σ 2τ

.

Ze vzorce vyplývá, že cena akcie sama o sob není pro výpo et hodnoty opce d ležitá. Pro správné ocen ní opce má význam teprve rozdíl sou asné hodnoty akcie a sou asné hodnoty dividendy. Tímto faktem je možné od vodnit i skute nost, že opce na r zné akcie, které mají stejnou dobu do splatnosti, uplat ovací cenu a stejnou volatilitu mohou mít r zné ocen ní.

- 51 -

6.2. Nenormální charakter rozd lení výnos Podívejme se nyní, zdali v praxi mívá logaritmus výnos M jme náhodnou prom nnou X, jejíž st ední hodnota je:

povahu normálního rozd lení.

µ’1(X) = µ = E(X) a rozptyl

µ2(X) = D(X) = E[(X – µ’1(X)2]>0, jak již víme D(X)1/2 je standardní odchylka ve financích ozna ovaná jako volatilita σ. Budeme-li analyzovat denní logaritmy výnos r zných akciových index v období 1.1.199731.12.1999 zjistíme následující skute nosti. Šikmost definovaná jako t etí normovaný moment:

µ3(U) = µ3(X)/µ2(X)3/2 je u symetrických rozd lení rovna nule. Z kladné (záporné) hodnoty usuzujeme na kladn (záporn ) zešikmené rozd lení a zárove na v tší koncentraci malých (velkých) hodnot ve srovnání s koncentrací velkých (malých) hodnot. V tab.6.1. je vypo ítaná výb rová šikmost pro denní logaritmy výnos akciových index za období 1.1. 1997 – 31.12.1999. tab.6.1.: šikmost hlavních index Index SP500 Nasdaq-composite Nikkei-225 AEX DAX SSMI BEL-20 CAC-40

Šikmost -0,4423 -0,5474 0,1187 -0,3132 -0,4329 -0,3595 -0,4141 -0,2123

Špi atost definovaná jako tvrtý normovaný moment:

µ4(U) = µ4(X)/µ2(X)2 je u normálního rozd lení rovna 3. Z její vyšší íselné hodnoty se usuzuje zpravidla na špi at jší rozd lení etností a tím zárove na vyšší stupe koncentrace prost edních hodnot ve srovnání s ostatními hodnotami dané numerické prom nné. tab.6.2.: špi atost hlavních index Index SP500 Nasdaq-composite Nikkei-225 AEX DAX SSMI BEL-20 CAC-40 PX 50

- 52 -

Špi atost 6,96 5,81 4,76 5,10 4,67 5,40 5,40 4,64 5,41

V tab.6.2. je vypo ítaná výb rová špi atost pro denní logaritmy výnos akciových index za období 1.1. 1997 – 31.12.1999. Je vid t, že ve skute nosti jsou výnosy prakticky všech ve ejn obchodovaných aktiv leptokurtické, jejich statistická rozd lení mají vyšší špi ku a siln jší ocasy, než jaké má normální rozd lení. Jde o podstatný rozdíl. U n kterých opcích na akciové indexy m že p edpoklad normálního rozd lení vést až k desetinásobnému podhodnocení ceny opce.

- 53 -

6.3. Parita kupní-prodejní opce (call-put parity) Víme, že rozdíl mezi cenami kupní a prodejní opce je C(S, 0) – P(S, 0) = max[S – B, 0] – max[B – S, 0] = max[S – B, 0] – min [S – B, 0], ešení B-S rovnice s t mito podmínkami je S – Be-rτ, takže parita kupní a prodejní opce se stejnou uplat ovací cenou je: C(S, 0) – P(S, 0) = S – Be-rτ.

(6.3.)

6.3.1. Evropská prodejní (put) opce Hodnota evropské prodejní opce P(S, τ), která spl uje kone nou podmínku: ½ σ2S2( 2P/ S2) + rS( P/ S) + P/ t – rP = 0 P(S, 0) = max [0, B - S]

parciální diferenciální rovnici a (6.4.) (6.5.)

Má následující podobu: P(S, τ) = Be-rτN(-d2) – SN(-d1). Cena evropské prodejní opce se dá snadno odvodit z ceny evropské kupní opce za použití putcall parity: P(S, τ) = C(S, τ) – S + Be-rτ = Be-rτN(-d2) – SN(-d1), kde platí N(d) = N(-d) = 1 resp. ln(S /(O (T ) B )) 1 d= + σ τ, P(S, τ, B) = S(N(d) - 1) + O(T)B(1 - N(d - σ√τ)) 2 σ 2τ kde O(T) je práv diskont bezrizikové obligace, která má splatnost v okamžiku T, kdy je splatná opce.

- 54 -

6.4. Americká opce Jak již víme, americká prodejní nebo kupní opce je obdobná jako evropská, avšak s tím rozdílem, že právo lze uplatnit i p ed daným datem splatnosti opce. Pokud akcie vyplácí dividendu a doba do splatnosti obsahuje okamžik výplaty dividendy, pak má-li n kdy dojít k uplatn ní americké kupní opce stane se tak pravd podobn t sn p ed výplatou dividendy. Protože pokud je sou asná hodnota akcie nap . 100USD a o ekávaná dividenda 2USD, ihned po výplat dividendy se dá o ekávat pokles ceny akcie až na 98 USD. B-S vzorec m žeme použít i na ocen ní americké kupní opce, na ocen ní americké prodejní opce, ale použít nelze. Vyplácí-li akcie dividendu D v okamžiku t‘ v dob p ed splatností opce, víme, že opce bude uplatn na bu v okamžiku t‘, T nebo nebude uplatn na v bec. P edpokládáme-li uplatn ní opce v okamžiku T použijeme B-S vzorec pro výpo et evropské kupní opce zahrnující dividendu. P edpokládáme-li uplatn ní opce v okamžiku t’, použijeme B-S vzorec pro výpo et evropské kupní opce bez zahrnutí dividendy k okamžiku splatnosti t’. BlackScholes v vzorec pro výpo et americké kupní opce na akcii vyplácející dividendu p ed okamžikem splatnosti má tedy p ibližn podobu: Max[C(S, r, τ, D, B); C(S, r, (t’-t), B)]. Ukažme si ocen ní americké kupní opce na p íkladu s blíže uvedenými podmínkami S … 100USD B … 100USD τ … 1 rok σ … 0,1980 D … 2USD, t sn p ed vypršením splatnosti opce r … 9,95%, podle 4.11. vypo ítáme hodnotu evropské opce nevyplácející dividendu jejíž cena je 13,18USD, podle 6.2.a vypo ítáme hodnotu evropské opce vyplácející dividendu jejíž cena je 11,8866USD. Maximum z obou hodnot je 13,18USD, což p edstavuje cenu americké kupní opce.

- 55 -

6.5. Oce ování opcí na zahrani ní m nu 6.5.1. Evropská opce na cizí m nu Hovo íme-li o opcích na cizí m nu, bereme za podkladové aktivum sou asnou hodnotu cizí m ny, která bude dodána upisovatelem opce v dob splatnosti44. Podkladové aktivum je tedy m(t)PFX(T), kde m(t) p edstavuje cenu jednotky cizí m ny v dolarech v okamžiku t, tj. v sou asnosti a PFX(T) je sou asná cena pokladni ní poukázky v zahrani ní m n , která má splatnost v okamžiku T, tj. v dob kdy je splatná opce. Odhadem volatility je sm rodatná odchylka logaritmu zm n v okamžitém sm nném kurzu (spot exchange rate). B-S vzorec pro výpo et ceny evropské kupní opce na cizí m nu je: C(m, r, τ, B) = m(t)PFX(T)N(d1) – Be-rτ N(d2),

PFX(T) = e-qτ

(6.6.)

a evropské prodejní opce na cizí m nu: P(m, r, τ, B) = Be-rτN(-d2) – m(t)PFX(T)N(-d1)

d1 =

ln(m(t ) P FX (T ) / B ) + (r + σ 2 / 2)τ

σ 2τ

d2 =

(6.7.)

ln(m(t ) P FX (T ) / B) + (r − σ 2 / 2)τ

σ 2τ

.

(6.8.)

Op t si to ukažme na p íkladu. P edpokládejme, že chceme ocenit evropskou kupní opci na cizí m nu s dobou do splatnosti 6 m síc (τ = 0,5 roku). Zahrani ní bezriziková úroková sazba rc je 10% p.a. a domácí bezriziková úroková míra r je 5% p.a.. Volatilita σ sm nného kurzu je 20%. Uplat ovací sm nný kurz B je 0,6USD za jednotku cizí m ny a sou asný sm nný kurz m(t) je 0,5USD za jednotku cizí m ny, PFX(T) = exp(-rcτ) = 0,951229. Dosadíme-li hodnoty všech prom nných do 6.6. zjistíme, že cena evropské kupní opce na zahrani ní m nu iní 0,0024USD.

6.5.2. Evropská opce na drahý kov Postup, který jsme použili k ocen ní opce na cizí m nu, m žeme použít rovn ž k ocen ní opce na jakékoliv jiné i nefinan ní aktivum, ze kterého plyne ur itý zisk. Tímto zp sobem m žeme ocenit nap íklad i opce na drahé kovy. Prvním krokem v ocen ní je nalézt cenu n jakého vhodného portfolia, které se skládá z obdobného množství drahého kovu jaké bude mít opce v okamžiku splatnosti. Cenou podkladového aktiva je potom cena tohoto portfolia. P íkladem takové ceny m že být forwardový kontrakt na drahý kov se stejnou splatností jako naše opce. Uvažujme opci, která má splatnost v ase T. Dále p edpokládejme, že úroková sazba je konstantní a nech F(T) je cena forwardového kontraktu na jednu jednotku st íbra s dodáním v ase T. V tomto p ípad , je „obligace“ vyplácející jednotku st íbra ekvivalentní s diskontovanou obligací, která vyplácí F(T) USD v ase T. Sou asná cena podkladového aktiva pro B-S vzorec je tedy F(T)e-rτ, což je obdoba S. B-S vzorec pro výpo et ceny evropské kupní opce na drahý kov je: C(F(T), r, τ, B) = F(T)e-rτN(d1) – Be-rτ N(d2) 44

(6.9.)

Samoz ejm pokud platí, že hodnota cizí m ny je v okamžiku splatnosti jiná než jaká byla její uplat ovací cena.

- 56 -

a evropské prodejní opce na drahý kov: P(F(T), r, τ, B) = Be-rτN(-d2) – F(T)e-rτN(-d1) d1 =

ln( F (T )e − rτ / B) + (r + σ 2 / 2)τ

σ 2τ

d2 =

(6.10.)

ln( F (T )e − rτ / B) + (r − σ 2 / 2)τ

σ 2τ

.

(6.11.)

6.6. Citlivost hodnot opcí Greeks ( ecké symboly) Jak jsme již uvedli Black-Scholes v model pomáhá p i oce ování opce tak, že vytvá í perfektní zajišt ní sou asným držením opa ných pozic na trhu. Nyní si ukážeme, jak se zm ní hodnoty evropských kupních a prodejních opcí p i malých zm nách p ti základních parametr . Tyto zm ny hodnot jsou udávány derivacemi B-S vzorce. Citlivost na zm nu ceny podkladového aktiva se nazývá delta, citlivost na zm nu asu do expirace theta, citlivost na zm nu ceny podkladové akcie, citlivost na volatilitu vega a citlivost na bezrizikovou úrokovou míru rho. K výpo tu B-S vzorce pot ebujeme cenu akcie, bezrizikovou úrokovou sazbu, uplat ovací cenu, dobu do splatnosti a volatilitu (standardní odchylku) podkladové akcie. V základním modelu není možné aby se úroková sazba a volatilita akcie neo ekávan m nily, ve skute nosti se však m ní. P edpokládejme, že máme kupní opci na akcii, kterou jsme ohodnotili pomocí B-S vzorce a chceme v d t jak neo ekávané zm ny ceny akcie, úrokové sazby a volatility ovlivní hodnotu opce ocen nou dle B-S modelu. Pot ebujeme znát jaká je citlivost hodnoty opce na t chto veli inách. (1) Delta N(d1) m í pom r zm ny ceny opce v závislosti na zm n ceny akcie. Pokud je delta kupní opce 0,6 znamená to, že když vzroste cena akcie o 1USD, cena opce vzroste o 60% z 1USD, tj. o 60 cent . Cena kupní opce je nelineární funkcí ceny podkladového aktiva. Zm na v cen podkladového aktiva v jeho r zných úrovních má proto odlišný dopad na cenu kupní opce. P i zajiš ování si vybíráme optimální pom r zajišt ní. Takže zm na v cen opce, která byla zp sobena zm nou ceny opce musí být spojena se zm nou po tu držených kus podkladového aktiva. Perfektní zajišt ní máme pouze v p ípad : C(S(t) + ∆S, B, τ ) - C(S(t), B, τ ) - h∆S = 0 (2) Theta (Θ) m í pom r zm ny hodnoty opce v závislosti na b hu asu. Hodnota opce se v ase m ní i když cena akcie z stává stejná. Jak se blíží okamžik splatnosti opce, tak se o ekávaná zm na v hodnot podkladové akcie zmenšuje. Doba do splatnosti se nem že neo ekávan m nit. Theta je v tšinou záporná, protože jak as b ží, opce se znehodnocuje. Jak se blíží okamžik splatnosti, tak theta roste a p ibližuje se nule. Pokud se doba splatnosti τ sníží o jeden den, hodnota opce se zm ní p ibližn o τ/365. (3) Gamma (Γ) p edstavuje pom r zm ny delty v závislosti na zm n ceny podkladové akcie. Gamma pomáhá pochopit jak se chová delta v závislosti na zm n ceny akcie. Pokud je gamma nízká, delta se m ní se zm nou ceny akcie pomalu. Když je gamma vysoká, delta je velmi citlivá na zm nu ceny akcie.

- 57 -

(4) Vega (V) m í vztah mezi volatilitou akcie a hodnotou opce. Pokud je vega vysoká, hodnota opce je velmi citlivá i na malé zm ny volatility. Pokud je nízká, tak volatilita nemá významný dopad na hodnotu opce. Platí, ím je v tší volatilita, tím je vyšší pravd podobnost, že cena akcie bude mimo její sou asnou cenu, tzn. že jak nízká, tak vysoká budoucí cena akcie se stávají pravd podobn jšími. (5) Rho (Ρ) m í citlivost hodnoty opce na úrokovou sazbu. Je to pom r zm ny hodnoty opce v závislosti na úrokové sazb . Pokud je rho 14,1516, znamená to, že s každým procentním bodem nár stu úrokové sazby tj. s r stem 0.01, hodnota opce vzroste o 0,141516 tj. o 14,15%. Platí, že rho je vždycky kladné u evropské kupní opce a vždycky záporné u evropské prodejní opce. Tab.6.3.: greeks a jejich výpo etní vzorce Greek

Výpo etní vzorec

ln( S / B ) + ( r + σ 2 / 2)τ

d1 z B-S modelu

d1 =

d2 z B-S modelu

d 2 = d1 − σ τ

N’(d1)

N '(d1 ) = e − ( d1 )

N(d1) N’(d2) N(d2) teoretická hodnota kupní (call) opce call delta (+) teoretická hodnota prodejní (put) opce put delta (-) call, put gamma (+) call, put vega (+) call theta (-) put theta (-) (+) call rho (+) put rho (-)

N ( d1 ) =

σ 2τ

1 2π

2

d1

1 2π

/ 2π

e (− x

2

/ 2)

dx

−∞

N '(d 2 ) = e − ( d 2 ) N (d 2 ) =

/2

2

/2

d2

/ 2π

e (− x

2

/ 2)

dx

−∞

C(S, r, τ, B) = S N(d1) – Be-rτ N(d2)

N ( d1 ) =

1 2π

d1

e (− x

2

/ 2)

dx

−∞ -rτ

P(S, r, τ, B) = Be (1 −N(d2)) - S(1 - N(d1)) N(d1) – 1 Γ = N’(d1)/Sσ τ V = S τ (N’(d1)) Θ = - (S0N’(d1)σ/2 τ) – rBe-rτ N(d2) Θ = - (S0N’(d1)σ/2 τ) + rBe-rτ (1 − N(d2)) Ρ = Bτe-rτN(d2) Ρ = - Bτe-rτ(1 - N(d2))

Shrnutí Evropská kupní opce a) kupní opce je tím citliv jší na zm nu ceny akcie, ím je cena akcie v tší, b) opce tém nereaguje na ubíhající as, je-li hluboko mimo peníze, c) nejcitliv jší na as jsou opce na pen zích, d) citlivost opcí na pen zích na as se dramaticky zvyšuje s blížícím se asem expirace, e) nejcitliv jší na volatilitu jsou opce na pen zích, opce hluboko mimo peníze a hluboko v pen zích jsou na ni tém necitlivé, f) citlivost na volatilitu se s ubíhajícím asem blíží k nule,

- 58 -

g) nejcitliv jší na úrokovou míru jsou opce hluboko v pen zích, opce hluboko mimo peníze jsou na ni tém necitlivé, citlivost se snižuje s ubíhajícím se asem tém lineárn . Evropská prodejní opce a) prodejní opce je tím citliv jší na zm nu ceny akcie, ím je cena akcie nižší, b) citlivost opcí v pen zích na zm nu ceny akcie s ubíhajícím asem roste, u opcí v pen zích klesá a u opcí na pen zích je pom rn stabilní (velmi mírn klesá), c) citlivost na ubíhající as je nejv tší u opcí na pen zích (theta záporné) a u opcí hluboko v pen zích (theta kladné), d) citlivost opcí na pen zích s ubíhajícím asem dramaticky roste (theta je záporné a rychle klesá), e) na volatilitu jsou nejcitliv jší opce na pen zích, opce hluboko mimo a hluboko v pen zích jsou na ni tém necitlivé, f) citlivost na volatilitu s ubíhajícím asem klesá k nule, g) nejcitliv jší na úrokovou míru jsou opce hluboko v pen zích, opce hluboko mimo peníze jsou na ni tém necitlivé, h) citlivost na úrokovou míru se s ubíhajícím asem u všech prodejních opcí blíží tém lineárn k nule.

- 59 -

7. Empirické ov ení B-S modelu na datech45 - popis experimentu V této kapitole si ukážeme srovnání jednotlivých model oce ování opcí, které jsou založeny na B-S modelu. Jak již víme, musíme být velice opatrní p i výb ru podkladových akcií i index , protože ne všechna aktiva spl ují p edpoklady základního modelu a uspokojivé výsledky je možné o ekávat jen za ur itých podmínek uvedených v p edchozích kapitolách. V experimentech použijeme akcie GE a IBM. Cílem je ur it pro každou z akcií nejlepší model oce ování evropské opce na tuto akcii. Stru n zopakujme, že k výpo tu teoretické B-S ceny opce je t eba zajistit p t prom nných: (1) sou asnou cenu podkladového aktiva S, (2) uplat ovací cenu B, (3) dobu do vypršení τ, (4) bezrizikovou úrokovou sazbu r a (5) volatilitu výnosu podkladového aktiva σ. První dv veli iny jsou dané a není nutné je dále n jak komentovat.V našem testu budeme uvažovat evropské opce obchodované na nejv tší americké op ní burze Chicago Board Options Exchange. Dobu do splatnosti opce po ítáme jako podíl po tu dní do doby splatnosti a po tu dn v ú etním roce (360) tj. τ = n/360, kde n je po et dn do doby splatnosti. Co se týká bezrizikové úrokové míry, použijeme výnos amerických pokladni ních poukázek (treasury bills), jejichž doba splatnosti je zhruba stejná jako doba splatnosti uvažované evropské opce. P edpokládali jsme konstantní bezrizikovou úrokovou míru (jako F. Black a M. Scholes ve svém p vodním lánku). Tu jsme p epo ítali z diskontní sazby pomocí spojitého úro ení, jelikož u 4, 13, 26 a 52 týdenních treasury bills je publikována diskontní sazba46. Všechny uvedené analýzy jsou po ítány k datu 18.2.2003. Tab.7.1.: použitá bezriziková úroková míra Obligace

diskontní sazba 1,1550% 1,1600% 1,1800% 1,2130% -

4 týdenní US T- bills 13 týdenní US T- bills 26 týdenní US T- bills 52 týdenní US T- bills 2 leté US Treasury notes

r 1,1617% 1,1668% 1,1870% 1,2200% 1,6250%

splatnost obligace 20.3.03 22.5.03 21.8.03 18.2.04 31.5.05

Budeme analyzovat ceny podkladového aktiva za posledních 100 obchodních dní (25.9.2002 – 18.2.2003), což je dostate ný po et pozorování. Po transformaci dat pomocí: S t = ln

St = ln S t − ln S t −1 ≡ ∆ ln S t , S t −1

t = 2, 3, …, T ,

(7.0.)

kde S1, S2, …, ST jsou ceny podkladového aktiva, provedeme Kolmogorov v-Smirnov v test normality, abychom potvrdili i vyvrátili p edpoklad Wienerova procesu. Nejv tším problémem p i našem ov ení je odhad rozptylu výnosu podkladového aktiva σ2 (resp. σ volatilita). Popisem metod odhadu volatility výnosu akcie jsme se zabývali v kap.5.. V experimentu jsme proto odhad rozptylu resp. volatility uskute nili celkem podle: 45 46

Všechny uvedené analýza jsou k datu 18.2.2003 Veškerá data v této ásti jsou p evzata z www.wallstreetcity.com a www.cboe.com.

- 60 -

(1) metody denních minim a maxim (v kap. 5 metoda (2a)) (2) metody vycházející ze 100 pozorování cen podkladových aktiv za období 25.9.2002 – 18.2.2003 (v kap.5 metoda (3)) (3) metody vycházející z 50 pozorování cen podkladových aktiv za období 25.9.2002 – 4.12.2002 tj. 1.polovina souboru (v kap.5 metoda (3)) (4) metody vycházející z 50 pozorování cen podkladových aktiv za období 5.12.2002 – 18.2.2003 tj. 2.polovina souboru (v kap.5 metoda (3)) (5) metody implikované volatility (v kap. 5 metoda (4)) (6) extrapolace pomocí GARCH(1,1) (v kap. 5 metoda (5)). Výše uvedené metody (2), (3), (4) by p i platnosti lognormálního rozd lení teoreticky m ly dávat stejné odhady rozptyl výnos tohoto podkladového aktiva. U metody (5) jsme použili pr m r implikovaných odhad rozptyl . Z put-call parity mezi kupní a prodejní opcí se stejnou dobou do splatnosti a uplat ovací cenou vyplývá, že by kupní i prodejní opce m ly mít stejnou implikovanou volatilitu a proto budeme p edpokládat pouze jednu implikovanou volatilitu47 jak pro kupní tak i prodejní opci. K výpo tu ceny evropské opce použijeme celkem 12 variant (model ) B-S vzorce pro výpo et ceny opce, které se liší a) odhadem volatility a b) zahrnutím i nezahrnutím dividend, vyjímku tvo í MC 11, kde jsme cenu opce odhadovali pomocí simulace Monte Carlo . Tab.7.2.: modely použité v experimentu Model BS 1 BS 2 BS 3 BS 4 BS 5 BS 6 BS 7 BS 8 BS 9 BS 10 MC 11 BS 12

Rozptyl Metoda (1) Metoda (2) Metoda (3) Metoda (4) Metoda (5) Metoda (1) Metoda (2) Metoda (3) Metoda (4) Metoda (5) Metoda (5) Metoda (6)

Dividenda Není zahrnuta Není zahrnuta Není zahrnuta Není zahrnuta Není zahrnuta Je zahrnuta Je zahrnuta Je zahrnuta Je zahrnuta Je zahrnuta Není zahrnuta Není zahrnuta

Nazna me také jakým zp sobem budeme porovnávat „stejnost“ i „r znost“ empirických (skute ných) a teoretických cen opcí na burze. Ozna me Cteor resp. Pteor teoretickou cenu podle variant B-S vzorce a Cempir resp. Pempir skute nou cenu evropské opce na burze. [1]

47

Srovnávání jednotlivých model zahájíme dvouvýb rovým KolmogorovýmSmirnovovým testem. Nech F(z) je distribu ní funkce pro rozd lení ceny evropské opce, kde z ozna uje a) skute nou tržní, teoretickou cenu evropské opce, b) empirické ceny opcí vypo ítané každým z 12 model tj. BS 1, BS 2, BS 3, BS 4, BS 5, BS 6, BS 7, BS 8, BS 9, BS 10, MC 11, BS 12. Test nám íká, zdali dva výb ry (v našem p ípad jsou v prvním výb ru skute né „tržní“ ceny opce, v druhém výb ru budou postupn „empirické“ ceny opcí vypo ítané každým z 12 model ) resp. jejich distribu ní funkce pocházejí ze stejné populace. Nulová hypotéza p edpokládá, že distribu ní funkce jsou ze stejné populace, tzn.:

V praxi však dochází k odchylkám, které je zapot ebí vzít v úvahu, viz Borovi ka.

- 61 -

H0: F(teoretická cena) = F(empirická cena) H1: F(teoretická cena) F(empirická cena) V p ípad zamítnutí nulové hypotézy, m žeme model považovat za zcela nevyhovující k odhadu tržní, teoretické ceny evropské opce, nebo nebude spl ovat základní požadavek na n j kladený. [2]

Druhou sérií možností je použít pro srovnání jednotlivých experiment (a) st ední chybu odhadu (MB); (b) st ední tvercovou chybu odhadu (MSE); (c) st ední absolutní chybu odhadu (MAE), které jsou po ítány dle následujících vzorc : (a)

MB =

1 n

n i =1

(C

empir

− C teor ) , resp. 2

(b) (c) [3]

1 n (C empir − Cteor ) , resp. n i =1 1 n MAE = C empir − C teor , resp. n i =1 MSE =

MB =

1 n

n i =1

(P

empir

− Pteor ) 2

1 n (Pempir − Pteor ) n i =1 1 n MAE = Pempir − Pteor . n i =1 MSE =

T etí sérií možností je následující test, založený na t-testech z klasické regrese. (Sla álek J.: Black-Scholes v model oce ování opcí.Praha, Finance a úv r, .2, 2000). „Tržní “ teoretickou cenu m žeme chápat jako ideální hodnotu, kolem které se „modelové“ empirické ceny pohybují. Budeme uvažovat následující regresní rovnici: Cteor = Cempir + ε Pteor = Pempir + ε,

(7.1.) (7.2.)

kde ε je normáln rozd lený bílý šum, E(ε) = 0, D(ε) = δ2 = konstantní a COV(εiεj) = 0 pro i j. Pokud tedy známe (a my známe) dostate né množství teoretických a empirických cen, m žeme spo ítat regresi: Cteor = β0 + β1Cempir + ε Pteor = β0 + β1Pempir + ε.

(7.3.) (7.4.)

A testovat pomocí t-testu, zda se koeficient β1 statisticky významn neliší od 1. [4]

tvrtou možností pro srovnání jednotlivých experiment determinace resp. korela ního koeficientu: s Cempir Cteor s Pempir Pteor r= , resp. r= . sC2 empir sC2teor s P2empir s P2teor

- 62 -

je použití koeficientu

7.1. Vstupní informace GE je diversifikovaná pr myslová a finan ní spole nost jejíž produkty zahrnují domácí elektrické spot ebi e, žárovky, letecké motory a plasty. GE rovn ž poskytuje televizní vysílání, kabelovou televizi, služby p ipojení na internet a finan ní služby. Ve finan ním roce 2002 vzrostly p íjmy o 5% na 131,7 miliard USD. istý p íjem p ed zapo tením ú etních oprav vzrostl o 7% na 15,13 miliard USD. Výsledky odrážejí zvýšené p íjmy ze sektoru drobného a komer ního bankovnictví a nižší úrokové sazby. obr.7.1.: vývoj ceny akcií General Electric 18.2.1993 - 18.2.2003

obr.7.2.: graf vývoje výnosu akcií General Electric, 18.2.2000 – 18.2.2003 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15

obr.7.3.: graf normality na výnosy akcií General Electric, posledních 100 obchodních dní p ed 18.2.2003 80

,999

70

,99

60

Frequency

Probability

,95 ,80 ,50 ,20 ,05

50 40 30 20

,01

10

,001

0

-0,05 N: 100

0,00

GE

0,05

Kolmogorov-Smirnov Normality Test D+: 0,070 D-: 0,043 D : 0,070 Approximate P-Value > 0.15

- 63 -

-0,05

0,00

GE

0,05

Kolmogorov v-Smirnov v test nezamítá na 5% hladin významnosti hypotézu normality (vypo ítaná p ibližná p-value je 0,15), podobn ani Anderson v-Darling v test hypotézu normality na 5% hladin významnosti nezamítá (vypo ítaná p ibližná p-value iní 0,508). Výb rová šikmost pro logaritmus denních výnos akcií GE iní 0,0792 a výb rová špi atost 3,2. M žeme tedy p edpokládat, že výnosy akcie jsou normáln rozd leny a je spln n jeden z p edpoklad B-S vzorce. Skute né ceny opcí na akcie GE obchodované na Chicago Board of Trade z 18.2.2003 jsou pro kupní evropské opce shrnuty v tab.7.3. a prodejní evropské opce v tab.7.4.. Neuvedená hodnota znamená, že nebyla dostate ná poptávka i nabídka k vypsání opce s konkrétní dobou do splatnosti a uplat ovací cenou. tab.7.3.: skute ná cena kupní evropské opce na akcie GE z 19.2.2003, S = 23,01 T uplat ovací cena (B) τ 22.2.2003 22.3.2003 21.6.2003 20.9.2003 17.1.2004 22.1.2005

0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

15

17,5

20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,00 8,00 8,05 8,20 8,35 8,75

5,50 5,50 5,85 6,10 -

3,03 3,15 3,75 4,25 4,60 5,45

0,63 1,23 2,23 2,73 -

0,05 0,28 1,08 1,60 2,10 3,15

0,05 0,08 0,48 0,85 -

0,05 0,05 0,18 0,43 0,80 1,68

0,05 0,05 0,08 0,23 -

0,05 0,05 0,10 0,13 0,28 0,90

0,05 -

0,05 0,13 0,50

35

37,5

40

tab.7.4.: skute ná cena prodejní evropské opce na akcie GE z 19.2.2003, S = 23,01 T uplat ovací cena (B) τ 22.2.2003 22.3.2003 21.6.2003 20.9.2003 17.1.2004 22.1.2005

aaaa aaaa

0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

deep in the money in the money

15

17,5

20

22,5

25

27,5

30

32,5

0,05 0,05 0,20 0,43 0,70 1,43

0,05 0,08 0,45 0,80 -

0,05 0,23 0,95 1,45 1,98 3,15

0,13 0,85 1,80 2,40 -

2,00 2,45 3,15 3,75 4,45 5,75

4,50 4,70 5,10 5,60 -

7,00 7,20 7,30 7,65 8,20 9,20

9,50 9,75 9,70 9,90 -

aaaa aaaa

12,00 12,20 14,70 17,20 12,20 12,30 12,60 17,35 13,30 17,70

deep out of the money out of the money

IBM poskytuje zákazník m ešení v podob moderních progresivních informa ních systém . Tato ešení obsahují technologie, systémy, produkty šité na míru, služby, software a financování. Ve finan ním roce 2002 (skon il 31.12.2002) poklesly p íjmy spole nosti o 2% na 81,19 miliardy USD. istý p íjem spole nosti poklesl o 35% na 5,33 miliardy USD. Výsledky odrážejí nižší p íjmy ze segment podnikové systémy (Enterprice systems), tiskové systémy (Printing Systém) a samoz ejm nižší p íjmy v celém segmentu technologie a nižší hrubé marže.

- 64 -

obr.7.4.: vývoj ceny akcií IBM 18.2.1993 – 18.2.2003

obr.7.5.: graf vývoje výnosu akcií IBM, 18.2.2000 – 18.2.2003 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2

obr.7.6.: graf normality na výnosy akcií IBM, posledních 100 obchodních dní p ed 18.2.2003 80

,999

70

,99

60

,95 ,80

Frequency

Pr ob abi lity

,50 ,20 ,05

50 40 30 20

,01

10

,001

0

-0,03 N: 100

0,00

0,03

IBM

Kolmogorov-Smirnov Normality Test D+: 0,093 D-: 0,049 D : 0,093 Approximate P-Value: 0,126

-0,05

0,00

0,05

IBM

Kolmogorov v-Smirnov v test nezamítá na 5% hladin významnosti hypotézu normality (vypo ítaná p ibližná p-value iní 0,126), podobn ani Anderson v-Darling v test hypotézu normality na 5% hladin významnosti nezamítá (vypo ítaná p ibližná p-value iní 0,306). Výb rová šikmost pro logaritmus denních výnos akcií IBM iní 0,59 a výb rová špi atost 2,2. Skute né ceny opcí na akcie IBM obchodované stejn jako evropské opce na akcie na GE na Chicago Board of Trade z 18.2.2003 jsou pro kupní evropské evropské opce shrnuty v tab.7.5.

- 65 -

a prodejní evropské opce v tab.7.6.. Neuvedená hodnota op t znamená, že nebyla dostate ná poptávka i nabídka k vypsání opce s konkrétní dobou do splatnosti a uplat ovací cenou. tab.7.5.: skute ná cena kupní evropské opce na akcie IBM z 19.2.2003, S = 79,04 τ

T

uplat ovací cena (B) 40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105 110 115 120 125

8,95

4,15

0,60

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

-

-

24,15 19,25 14,55

10,15

6,20

3,10

1,15

0,33

0,08

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

39,10 34,15 29,35 24,55 19,85 15,40

11,20

7,55

4,55

2,43

1,10

0,43

0,18

0,08

0,05

-

-

-

13,25

10,00

7,10

4,90

3,15

1,90

1,13

0,63

0,35

0,20

0,10

-

10,55

8,30

6,35

-

3,50

-

1,80

-

0,95

-

15,50 13,30 11,30

-

8,10

-

5,60

-

3,90

-

22.2.2003

0,0082

-

22.3.2003

0,0849

-

19.4.2003

0,1616

19.7.2003

0,4110

17.1.2004

0,9096

40,00 35,55 31,20

-

23,15

-

16,15

13,15

22.1.2005

1,9260

41,45

-

26,60

-

20,55

-

33,95 28,95 23,95 18,95 14,00 -

-

-

34,60 29,95 25,40 21,05 17,00

-

33,75

tab.7.6.: skute ná cena prodejní evropské opce na akcie IBM z 19.2.2003, S = 79,04 T

τ

55

60

65

70

75

80

85

90

95

22.2.2003

0,0082

-

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

0,13

1,58

6,05

11,05

16,05

21,05

26,05

31,05

36,05

-

-

22.3.2003

0,0849

-

-

-

0,13

0,23

0,53

1,08

2,13

4,05

7,10

11,30

16,05

21,05

26,05

31,05

36,05

41,05

46,05

19.4.2003

0,1616

0,08

0,15

0,25

0,43

0,75

1,30

2,13

3,45

5,45

8,30

12,00

16,35

21,15

26,05

31,05

-

-

-

19.7.2003

0,4110

-

0,55

0,85

1,38

2,00

2,90

4,15

5,80

7,95

10,65

13,95

17,70

21,90

26,45

31,20

36,10

41,05

-

17.1.2004

0,9096

1,03

1,53

2,18

-

4,05

-

6,95

8,90

11,20

13,90

16,95

-

24,05

-

32,25

-

41,45

-

22.1.2005

1,9260

2,43

-

4,40

-

7,05

-

10,70

-

15,35

18,05

20,95

-

27,55

-

35,05

-

43,25

-

aaaa aaaa

uplat ovací cena (B) 40 45 50

deep in the money in the money

aaaa aaaa

100 105 110 115 120 125

deep out of the money out of the money

7.2. Odhad volatility Nejproblemati t jším okamžikem p i aplikaci B-S vzorce je odhad rozptyl výnosu akcie. Postupn jsme odhadli rozptyl pomocí (1) metody denních minim a maxim, (2) metody vycházející z 100 pozorování cen podkladových aktiv za období 25.9.2002 – 18.2.2003 , (3) metody vycházející z 50 pozorování cen podkladových aktiv za období 25.9.2002 – 4.12.2002, (4) metody vycházející z 50 pozorování cen podkladových aktiv za období 5.12.2002 – 18.2.2003, (5) metody implikované volatility, (6) extrapolací pomocí GARCH(1,1). Metody (1) – (4) jsou triviálním dosazením do výpo tových vzorc tak, jak jsou uvedeny v kap. 5. U metody (5) jsme použili pr m r implikovaných odhad rozptyl . Z put-call parity mezi kupní a prodejní opcí se stejnou dobou do splatnosti a uplat ovací cenou vyplývá, že by kupní i prodejní opce m ly mít stejnou implikovanou volatilitu a proto budeme p edpokládat pouze jednu implikovanou volatilitu, jak pro kupní, tak i prodejní opci. Metodou (6) jsme nejd íve odhadli parametry modelu GARCH(1,1) tzv. in-the-sample a parametry modelu zafixujeme a následn použijeme k extrapolaci rozptyl ke dn m splatnosti opce v budoucnosti. Parametry modelu GARCH (1,1) jsou v tab.7.7.. Tab.7.7.: parametry GARCH(1,1) pro odhad volatility GE Parametr Odhad t-test 0,0001327 2,957618 ω 0,1069697 3,643035 α 0,6823373 7,217240 β

- 66 -

Odhad 0,000027 0,120936 0,842994

IBM t-test 4,068107 6,489705 44,12196

Odhady shrnuje tab.7.8.. Pokud se detailn ji podíváme na odhady rozptyl je vid t, že metoda využívající k odhadu denních minim a maxim (1) poskytuje p ibližn stejné výsledky, jako metoda vycházející z implikované volatility (5). Množina odhad , které vycházejí z historických denních cen akcií poskytuje odhady rozptyl dvakrát až t ikrát vyšší. Metoda (3) poskytuje p ibližn obdobné výsledky jako metoda (6). Výsledky tedy nejsou p íliš homogenní, což m že být zp sobeno n kolika okolnostmi. Jednak pohyb ceny akcie nemusí být spojitý, tj. nastávají tzv. skoky. Za druhé geometrický Brown v pohyb je pouze velmi jednoduchou aproximací reálných cen akcií. Tab.7.8.: odhady rozptyl výnos GE, IBM Metoda (1) Metoda (2) Metoda (3) Metoda (4) Metoda (5) Metoda (6) GARCH(1,1)

odhad ro ního rozptylu GE Odhad ro ního rozptylu IBM 0,11624 0,089145 0,25382 0,278701 0,39835 0,430611 0,29176 0,282355 0,13123 0,091099

τ

τ

3 31 122 213 332 703

0,32179 0,38029 0,39373 0,39572 0,39668 0,39758

3 31 59 150 332 703

0,31403 0,36230 0,39217 0,43743 0,46235 0,47366

7.3. Modely použité k odhadu ceny evropské opce Celkem používáme 12 model k výpo tu ceny evropské opce. Modely BS 1, BS 2, BS 3, BS 4, BS 5, BS 6, BS 7, BS 8, BS 9, BS 10, BS 12 jsou variantami Black-Scholesova vzorce jehož detailní popis je v kap.4., liší se a) metodou použitou k odhadu rozptylu, b) zahrnutím p edpokladu o existenci dividendy (resp. dividendového výnosu). Detailní specifikace model je uvedena v tab.7.2.. Model MC 11 je aplikace p ístupu simulace Monte Carlo k výpo tu ceny opce a pat í tedy do zcela jiného typu model . Nástin p ístupu je uveden v kap.4.8.. V našem p ípad bude prvním krokem p i simulaci Monte Carlo výpo et parametr normálního rozd lení pro výnosovou míru akcie v závislosti na dob do splatnosti τ. Celkem máme šest možných dob do splatnosti opce pro ob podkladová aktiva (GE, IBM), viz tab.7.9. a tab.7.10.. Jako odhad rozptylu σ2 jsme použili druhou mocninu odhadu implikované volatility σ, viz Chaudhury M, Wei J.Z.: A Comparative Study of GARCH(1,1) and Black-Scholes Prices. Montreal, McGill University, 1996. Jako odhad pr m rné hrubé míry výnosnosti na jediné období i v intervalu mezi t a T použijeme geometrický pr m r denních výnosností za posledních 100 dní p ed 18.2.2003. V p ípad General Electric ri(GE) = -0,0013, v p ípad IBM ri(IBM) = 0,00297. Tab.7.9.: parametry výnosové míry akcií GE použité v simulaci 3 31 122 213 332 703 τ (dny) E(rv) -0,00055 -0,00568 -0,02234 -0,03901 -0,06080 -0,12875

σ2

0,13124

0,13124

0,13124

0,13124

0,13124

0,13124

Tab.7.10.: parametry výnosové míry akcií IBM použité v simulaci 3 31 59 150 332 703 τ (dny) E(rv) -0,00035 -0,00363 -0,00690 -0,01755 -0,03885 -0,08227

σ2

0,09110

0,09110

0,09110

- 67 -

0,09110

0,09110

0,09110

Druhým krokem simulace Monte Carlo bude použití parametr normálního rozd lení výnosové míry akcie k nagenerování 100 000 opakování výnosové míry akcie (samoz ejm pro každou dobu do splatnosti τ s jinými parametry). T etím krokem simulace bude vypo ítání ceny kupní evropské opce podle C(S, B) = Max[0, S*exp(rvτ) – B]* exp(-rvτ)

(7.5.)

resp. prodejní evropské opce P(S, B) = Max[0, B – S*exp(rvτ)]* exp(-rvτ).

(7.6.)

pro každé ze 100 000 opakování výnosové míry akcie. V podstat cenu evropské opce po ítáme jako maximum z nuly a rozdílu mezi náhodnou cenou akcie v okamžiku splatnosti a uplat ovací cenou, ímž získáme minimální cenu opce v dob její splatnosti a následn provedeme diskontování její ceny zp t k okamžiku t v n mž se práv nacházíme. tvrtým krokem je zpr m rování 100 000 vypo ítaných nasimulovaných cen opcí, tento pr m r m žeme považovat za odhad ceny evropské opce, který by m l být blízko skute né cen opce a sou asn by se nem l p íliš lišit od ceny získané z B-S vzorce.

7.4. Srovnání model použitých k odhadu ceny evropské opce Provedli jsme výpo ty cen opcí prost ednictvím 12 model zvláš pro kupní a prodejní evropské opce. Výsledky jsou uvedené v p íloze 10.3. (GE kupní opce), p íloze 10.4. (GE prodejní opce), p íloze 10.5. (IBM kupní opce) a p íloze 10.6. (IBM prodejní opce). Výsledky srovnávání experiment uvedené v této kapitole jsme rozd lili do t í okruh tak jak bylo nazna eno v kap. 7.1.. Prvním okruhem je otestování výb rových rozd lení cen opcí Kolmogorovým-Smirnovovým testem. Druhým okruhem je srovnání jednotlivých experiment pomocí (a) st ední chyby odhadu (MB), (b) st ední tvercové chyby odhadu (MSE) a (c) st ední absolutní chyby odhady (MAE). Do našich úvah zahrneme vliv typu opce (call, put), statusu opce (na pen zích, mimo peníze atd.) a doby do splatnosti opce. T etím okruhem je test, založený na t-testech z klasické regrese. „Tržní “ cenu m žeme chápat jako ideální hodnotu, kolem které se „empirické“ modelové ceny pohybují. Chyby v odhadech jsou zp sobeny p edevším t mito d vody a) neuvažování transak ních náklad , b) ignorováním výplaty dividend (u n kterých model ), c) rozdílem mezi ask a bid cenou opce a d) nep esností v odhadu volatility ceny podkladového aktiva. (I) Kolmogorov-Smirnov v test

Výsledky oboustranného Kolmogorov-Smirnovova testu jsou uvedeny v tab.7.11.. Test funguje tak, že srovnává maximální vzdálenost (sloupec DN) mezi distribu ními funkcemi dvou výb r . ím je vzdálenost kratší, tím je vyšší pravd podobnost chyby prvního druhu (sloupec p-value). Modely, které mají ve sloupci p-value hodnotu nižší než 0,05 bereme pro naše ú ely jako nevyhovující, nebo distribu ní funkce ceny evropské opce je s nejvyšší pravd podobností z jiné populace, než je distribu ní funkce skute né tržní ceny. U kupní i prodejní evropské opce na akcie GE se ukazuje jako nevhodný na 5% hladin významnosti pouze jediný model MC 11. U kupní evropské opce na akcie IBM jsou na 5% hladin významnosti nevhodné modely BS 3, BS 8, MC 11 a BS 12 (modely s relativn vysokým odhadem rozptylu). U prodejní evropské opce na akcie IBM jsou na 5% hladin významnosti nevhodné modely BS 1, BS 6 a MC 11. U obou podkladových aktiv (akcie GE, IBM) u obou

- 68 -

typ opcí (kupní, prodejní) je nevhodný model MC 11. Z univerzálního pohledu jsou pravd podobn vhodné pro ob podkladové akcie a oba typy opcí modely BS 2, BS 4, BS 5, BS 7, BS 9 a BS 10. Tab.7.11.: Dvouvýb rový Kolmogorov v-Smirnov v test, srovnání skute né ceny opce s teoretickou cenou ur enou modelem. Typ model Call BS 1

Put

BS 2 BS 3 BS 4 BS 5 BS 6 BS 7 BS 8 BS 9 BS 10 MC 11 BS 12 BS 1 BS 2 BS 3 BS 4 BS 5 BS 6 BS 7 BS 8 BS 9 BS 10 MC 11 BS 12

DN 0,2400 0,2000 0,2600 0,2200 0,2000 0,2400 0,1800 0,2400 0,2000 0,2200 0,5200 0,2600 0,1200 0,1000 0,1200 0,1000 0,1200 0,1200 0,1000 0,1200 0,1000 0,1200 0,3000 0,1200

GE KS 1,2000 1,0000 1,3000 1,1000 1,0000 1,2000 0,9000 1,2000 1,0000 1,1000 2,6000 1,3000 0,6000 0,5000 0,6000 0,5000 0,6000 0,6000 0,5000 0,6000 0,5000 0,6000 1,5000 0,6000

p-value 0,1122 0,2710 0,0680 0,1779 0,2710 0,1122 0,3973 0,1122 0,2710 0,1779 0,0000 0,0680 0,8642 0,9639 0,8642 0,9639 0,8642 0,8642 0,9639 0,8642 0,9639 0,8642 0,0222 0,8643

DN 0,1927 0,1686 0,2168 0,1686 0,1566 0,1927 0,1686 0,2168 0,1686 0,1686 0,4457 0,2168 0,2168 0,0963 0,1566 0,0963 0,1807 0,2168 0,0963 0,1566 0,0963 0,1807 0,3734 0,1445

IBM KS 1,2418 1,0866 1,3971 1,0866 1,0090 1,2418 1,0866 1,3971 1,0866 1,0866 2,8718 1,3971 1,3971 0,6209 1,0090 0,6209 1,1642 1,3971 0,6209 1,0090 0,6209 1,1643 2,4061 0,9313

p-value 0,0915 0,1886 0,0403 0,1886 0,2613 0,9152 0,1886 0,0403 0,1886 0,1886 0,0000 0,0403 0,0403 0,8354 0,2614 0,8354 0,1330 0,0403 0,8354 0,2613 0,8354 0,1330 0,0000 0,3538

(II) Srovnání chyby odhadu

Srovnání pomocí MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie shrnuje tab.7.12.. Podívejme se nejd íve na evropské opce na akcie GE, potom na evropské opce na akcie IBM. U evropské opce na akcie GE, stejn tak i evropské opce na akcie IBM st ední chyba odhadu (MB) signalizuje systematické podhodnocování u model BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 a MC 11 (odhad rozptylu má menší hodnoty). Tab.7.12.: MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie Model

BS 1 BS 2 BS 3 BS 4 BS 5 BS 6 BS 7 BS 8 BS 9 BS 10 MC 11 BS 12

MB -0,11824 0,493844 1,033217 0,643964 -0,04553 -0,09734 0,491981 1,015544 0,637409 -0,02774 -0,48227 1,021445

GE MSE 0,100765 0,671911 2,280074 1,020062 0,092845 0,087653 0,64751 2,190206 0,982144 0,082513 1,248317 2,255561

MAE 0,220206 0,534974 1,06509 0,680928 0,209255 0,210897 0,556797 1,053031 0,693086 0,20473 0,672684 1,054453

- 69 -

MB -0,78502 2,448538 4,354311 2,498392 -0,52104 -0,79142 2,420633 4,316777 2,470512 -0,53081 -2,15886 4,47576

IBM MSE 1,321731 12,16875 35,37221 12,62564 1,016039 1,457939 12,05277 34,93838 12,50368 1,128859 17,28745 39,53363

MAE 0,79153 2,474642 4,371327 2,524142 0,652805 0,856958 2,470392 4,341837 2,518825 0,742018 2,378698 4,496276

Naopak systematické nadhodnocování je u model BS 2, BS 3, BS 4, BS 7, BS 8, BS 9 a BS 12. Výsledky z pohledu MB, MSE a MAE jsou konzistentní u obou podkladových akcií. Nejvyšší hodnoty MB, MSE a MAE odhadu ceny evropské opce, což platí pro ob podkladové akcie (podle po adí) jsou u model BS 3, BS 8, BS 12. Tento výsledek je v souladu se záv ry K-S testu, u všech t í model odhadu ceny evropské opce se zamítala nulová hypotéza alespo u jedné podkladové akcie. Nejmenší MB, MSE a MAE odhadu ceny opce jsou u model BS 10 a BS 5, což op t koresponduje se záv ry K-S testu. Nyní p istoupíme k analýze MB, MSE a MAE na nižší úrovni detailu, do našich úvah zahrneme typ opce (kupní, prodejní). Výstupy jsou uvedeny v tab.7.13.. U kupní opce na akcie GE dochází k systematickému podhodnocování ceny opce u model BS 6, BS 10 a MC 11 (odhad rozptylu dosazený do t chto model má nižší hodnoty, což je v souladu se 7. pravidlem pro kupní opci). Logicky k nadhodnocování dochází u zbývajících model . U prodejní opce na akcie GE dochází k podhodnocování ceny evropské opce u model BS 1, BS 5, BS 6 a MC 11 (odhad rozptylu dosazený do t chto model má nižší hodnoty). Odhad ceny kupní evropské opce na akcie IBM je podhodnocen u model BS 1, BS 5 a BS 6, u prodejní opce na akcie IBM dochází k podhodnocení ceny u model BS 1, BS 5. Jednotlivá kritéria úsp šnosti odhadu poskytují op t konzistentní záv ry a to dokonce i pro ob podkladové akcie a) t i nejvyšší hodnoty kriterií MB, MSE a MAE jsou u model BS 3, BS 12 a BS 8 (v r zném po adí), b) ty i nejnižší hodnoty kriterií MB, MSE a MAE jsou u model BS 10, BS 1, BS 6 a BS 5. V modelech BS 5 a BS 10 K-S test nezamítal nulovou hypotézu, ovšem v modelech BS 1 a BS 6 byla nulová hypotéza zamítnuta na 5% hladin významnosti. Tab.7.13.: MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie a podle typu opce typ call

put

model

BS 1 BS 2 BS 3 BS 4 BS 5 BS 6 BS 7 BS 8 BS 9 BS 10 MC 11 BS 12 BS 1 BS 2 BS 3 BS 4 BS 5 BS 6 BS 7 BS 8 BS 9 BS 10 MC 11 BS 12

MB 0,076053 0,688132 1,227506 0,838252 0,14876 -0,1298 0,459521 0,983084 0,604949 -0,0602 -0,74913 1,215733 -0,31252 0,299556 0,838929 0,449676 -0,23982 -0,06488 0,52444 1,048004 0,669869 0,004717 -0,21541 0,827157

GE MSE 0,048894 1,081161 3,080671 1,539418 0,096989 0,102582 0,682878 2,232656 1,02029 0,100834 1,659264 3,052155 0,152635 0,262661 1,479477 0,500707 0,088702 0,072725 0,612142 2,147757 0,943999 0,064193 0,83737 1,458967

MAE 0,12789 0,705396 1,240919 0,854726 0,178694 0,20036 0,528142 1,007726 0,65885 0,203003 0,749851 1,230131 0,312523 0,364553 0,889262 0,50713 0,239816 0,221435 0,585451 1,098336 0,727322 0,206457 0,595517 0,878776

- 70 -

MB -0,59383 2,669588 4,575362 2,719442 -0,29999 -0,8453 2,396747 4,293012 2,446145 -0,55482 -3,08297 4,696695 -0,97621 2,227488 4,133261 2,277342 -0,74209 -0,73753 2,444518 4,340542 2,49488 -0,50681 -1,23474 4,254824

IBM MSE 0,785225 14,1202 38,80797 14,61649 0,549177 1,38832 12,54784 35,78387 13,00466 0,973722 27,80138 43,22313 1,858237 10,21729 31,93645 10,63478 1,4829 1,527558 11,55771 34,0929 12,00269 1,283996 6,773524 35,84413

MAE 0,606853 2,679534 4,581932 2,729257 0,505272 0,858072 2,471687 4,322892 2,518434 0,706867 3,09446 4,704352 0,976207 2,269749 4,160723 2,319027 0,800338 0,855843 2,469096 4,360783 2,519217 0,777169 1,662935 4,288199

Podívejme se nyní na p esnost odhad jednotlivých metod z pohledu doby do splatnosti opce (τ). Výstupy jsou publikovány v tab.7.14.. S delší dobou do splatnosti (s tím jak vzr stá nejistota investora) roste i chyba odhadu ceny opce bez ohledu na to, jaké používáme k vyjád ení chyby kritérium. V absolutních hodnotách dosahují nejlepší úsp šnosti odhady ceny opce s dobou do splatnosti τ = 3, postupn se chyba odhadu zv tšuje a nejv tších absolutních hodnot dosahuje chyba odhadu s dobou do splatnosti τ = 703 (tato skute nost asi nikoho nep ekvapí). Z pohledu úsp šnosti model m ené kritérii MB, MSE a MAE (bez ohledu na podkladovou akcii) pro τ = 31 (GE, IBM), τ = 59 (IBM), τ = 112 (GE), τ = 150 (IBM), τ = 213 (GE), τ = 332 (GE, IBM), τ = 703 (GE, IBM) se nejmenších chyb odhadu ceny opce dopoušt jí modely BS 10, BS 5, BS 1, BS 6. Naopak nejv tší chyby odhadu se objevují u model BS 8, BS 3, BS 12. Jiná situace nastává u τ = 3, v p ípad evropské opce na akcie GE se nejmenší chyby odhadu dopoušt jí modely BS 8, BS 3 a BS 12, v p ípad evropské opce na akcie IBM modely BS 2, BS 12, BS 5. Opce s dobou do splatnosti kratší než 1 m síc mají pravd podobn jiné mechanismy stanovování ceny (a i ú el jejich koup je jiný), než opce s dobou do splatnosti delší než jeden m síc. Tab.7.14.: MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie a podle doby do splatnosti

τ

model 3

31

59

MB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0,02772 -0,01365 0,000589 -0,00988 -0,02613 -0,02772 -0,01365 0,000589 -0,00988 -0,02613 -0,03831 -0,00692 -0,11157 0,002806 0,124299 0,034577 -0,09917 -0,11157 0,002806 0,124299 0,034577 -0,09917 -0,20246 0,109053

GE MSE

MAE

0,001239 0,001983 0,00484 0,002568 0,001186 0,001239 0,001983 0,00484 0,002568 0,001186 0,002772 0,003119 0,022429 0,032447 0,097099 0,044905 0,020244 0,022429 0,032447 0,097099 0,044905 0,020244 0,086946 0,086619

0,030287 0,036276 0,046518 0,0392 0,028698 0,030287 0,036276 0,046518 0,0392 0,028698 0,040299 0,041389 0,116458 0,139855 0,231597 0,162434 0,109991 0,116458 0,139855 0,231597 0,162434 0,109991 0,202463 0,219561

- 71 -

MB

-0,04326 0,021788 0,073946 0,023042 -0,04258 -0,043 0,021667 0,073667 0,023333 -0,04267 -0,07556 0,033912 -0,31344 0,367748 0,916045 0,380946 -0,30647 -0,22917 0,442167 0,982833 0,454833 -0,22217 -0,61787 0,669783 -0,56185 2,474655 4,120439 2,516743 0,102307 -0,60317 2,4065 4,045167 2,449167 0,052167 -1,17162 3,722636

IBM MSE 0,006979 0,021233 0,062353 0,021967 0,006798 0,006985 0,021135 0,062168 0,021978 0,006885 0,029913 0,028901 0,191648 0,421495 1,671692 0,442417 0,182755 0,347469 0,580699 1,841209 0,600393 0,339099 1,141003 1,018215 0,549183 8,791576 22,21117 9,062282 0,179322 0,777019 8,854719 22,09251 9,124389 0,338569 3,076091 18,4414

MAE

0,078121 0,100724 0,14795 0,101915 0,077442 0,078333 0,100333 0,147667 0,102 0,078 0,107332 0,112134 0,313442 0,433125 0,936197 0,444558 0,306469 0,447833 0,578833 1,034833 0,5875 0,4435 0,617874 0,705084 0,562851 2,474785 4,120439 2,516743 0,34493 0,6885 2,465167 4,057833 2,505167 0,5105 1,171618 3,722636

Tab.7.14.-pokra ování: MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie a podle doby do splatnosti

τ 122

150

213

332

703

model

MB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0,14362 0,386827 0,889924 0,524247 -0,08372 -0,09616 0,407423 0,89048 0,538963 -0,0397 -0,56736 0,874629

-0,15792 0,681479 1,42536 0,888383 -0,05889 -0,13079 0,67498 1,395738 0,875013 -0,03639 -0,84449 1,41276 -0,18686 0,858537 1,793585 1,118281 -0,06471 -0,12871 0,871101 1,774363 1,121395 -0,01271 -0,82061 1,783499 -0,10001 1,669702 3,114869 2,080579 0,120246 -0,09595 1,620462 3,030413 2,020815 0,116669 -0,65191 3,107915

GE MSE

MAE

0,038087 0,22255 0,951402 0,370466 0,025265 0,171851 0,365591 1,076807 0,511324 0,161341 0,55835 0,921707

0,159401 0,397898 0,889924 0,524247 0,131922 0,335514 0,5099 0,921671 0,621344 0,32185 0,56736 0,874629

0,067098 0,575808 2,239303 0,926031 0,048002 0,140888 0,643875 2,237705 0,980404 0,12554 1,095339 2,201822 0,145172 0,954687 3,561296 1,502825 0,120052 0,079815 0,915846 3,441152 1,450799 0,064661 1,476293 3,52383 0,493778 3,384576 10,46799 4,966774 0,504863 0,138541 2,903413 9,653526 4,409969 0,153738 6,282258 10,42374

0,21634 0,681479 1,42536 0,888383 0,19247 0,296621 0,715164 1,395738 0,896598 0,293323 0,84843 1,41276 0,32549 0,858537 1,793585 1,118281 0,32549 0,205404 0,871101 1,774363 1,121395 0,217141 0,975744 1,783499 0,687015 1,669702 3,114869 2,080579 0,687015 0,344934 1,620462 3,030413 2,020815 0,321483 2,074639 3,107915

IBM MSE

MAE

-0,89877 3,510729 6,026325 3,576064 -0,27255 -0,89516 3,476094 5,977031 3,541406 -0,27797 -2,25887 6,130821

1,175576 15,01901 41,27603 15,53797 0,355525 1,383221 15,03632 40,98969 15,54875 0,508709 9,283508 42,6444

0,89893 3,510729 6,026325 3,576064 0,501707 0,917031 3,476094 5,977031 3,541406 0,605469 2,298016 6,130821

-1,37442 3,566016 6,656897 3,647254 -1,31356 -1,42938 3,487292 6,566042 3,568542 -1,36854 -4,38173 7,240386 -2,05049 6,130192 10,84474 6,257151 -1,94217 -2,10825 6,03925 10,73425 6,16575 -1,99975 -6,24869 12,01153

2,405355 16,4511 52,1573 17,13311 2,224507 2,607511 16,23969 51,38472 16,91216 2,426753 29,08803 61,12717 5,081306 43,37738 129,0411 45,08228 4,64156 5,061516 42,30744 126,7496 43,98778 4,616661 87,35611 157,3127

1,374419 3,566016 6,656897 3,647254 1,31676 1,429375 3,488958 6,566042 3,568542 1,368542 4,57788 7,240386 2,050487 6,130192 10,84474 6,257151 1,942174 2,10825 6,03925 10,73425 6,16575 1,99975 7,727672 12,01153

MB

Další pohled se zabývá vlivem vztahu sou asné ceny akcie S a uplat ovací (uplat ovací) ceny B, tj. zdali je opce deep-in-the-money, in-the-money, out-of-the-money a deep-out-of-the- 72 -

money na úsp šnost odhadu ceny evropské opce. Opce at-the-money se v rámci naší analýzy neobjevují. Výstupy jsou p ehledn shrnuty v tab.7.15.. Po detailním prozkoumání tabulky zjistíme, že bez ohledu na podkladovou akcii dostáváme pro celou škálu vztah sou asné ceny akcie a uplat ovací ceny (opce deep-in-the-money, in-the-money, out-of-the-money a deep-out-of-the-money) velmi homogenní záv ry. Kritéria odhadu MB, MSE a MAE ukazují nejmenší chyby odhadu u model BS 10, BS 6, BS 5, BS 1 (modely s nižším odhadem volatility) a naopak nejmén p íznivé výsledky jsou u model BS 8, BS 3 a BS 12 (modely s vyšším odhadem volatility). Jedná se o ty samé množiny model , které jsme si ur ili p i analýze úsp šnosti odhad model v závislosti na dob do splatnosti (τ). Tab.7.15.: MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie a podle statusu opce

out of the money

in the money

deep out of the money

deep in the money

status model opce

MB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0,19545 0,415914 0,960001 0,567036 -0,12346 -0,10494 0,482195 1,00956 0,628345 -0,03627 -0,34942 0,949791 -0,03784 0,573524 1,117611 0,724647 0,034154 -0,07866 0,508469 1,035834 0,65462 -0,00999 -0,50863 1,107402 -0,05128 0,569061 1,054227 0,707658 0,029667 -0,26544 0,349118 0,828962 0,486239 -0,18513 -1,1153 1,024486 -0,22184 0,398503 0,883669 0,5371 -0,14089 -0,05679 0,557764 1,037609 0,694885 0,023517 -1,07398 0,853928

GE MSE

MAE

0,123128 0,475397 1,930734 0,776955 0,087238 0,133239 0,662225 2,215163 0,995935 0,122579 1,78211 1,909564 0,089821 0,925911 2,797502 1,344251 0,112016 0,045195 0,689938 2,332485 1,049548 0,049281 0,639278 2,772345 0,00459 0,458169 1,544961 0,703427 0,003635 0,129326 0,159483 0,8994 0,307223 0,074087 1,793325 1,501292 0,065616 0,224562 1,082162 0,404261 0,026069 0,010005 0,478394 1,557806 0,723331 0,012358 1,568641 1,045777

0,252424 0,47517 1,007077 0,620465 0,207732 0,278982 0,59453 1,068841 0,722456 0,270555 0,763358 0,998182 0,202536 0,603682 1,139824 0,751574 0,231443 0,149953 0,537039 1,058047 0,681547 0,148855 0,508626 1,130767 0,051281 0,569061 1,054227 0,707658 0,03996 0,265437 0,349118 0,828962 0,486239 0,196123 1,1153 1,024486 0,221839 0,398503 0,883669 0,5371 0,140891 0,074238 0,557764 1,037609 0,694885 0,098901 1,073978 0,853928

- 73 -

MB

-0,77625 2,293962 4,144509 2,342175 -0,54024 -0,77091 2,277792 4,119221 2,326623 -0,53792 -1,89714 4,265851 -0,70622 2,377839 4,228386 2,426052 -0,45636 -0,7239 2,339221 4,17987 2,387013 -0,47766 -1,95783 4,349701 -1,54594 3,667966 6,282478 3,738875 -1,039 -1,30583 3,8825 6,484167 3,9525 -0,8025 -3,89945 6,405572 -1,14781 4,120144 6,734657 4,191053 -0,58683 -1,40667 3,836667 6,441667 3,906667 -0,85 -6,35687 6,857524

IBM MSE 1,20799 10,5419 32,17049 10,96178 0,894904 1,520306 11,00995 32,55688 11,43176 1,181712 20,10945 36,10054 1,250689 12,51429 35,22648 12,96333 1,016188 1,228793 11,86769 34,04864 12,3042 0,972866 10,99238 39,33661 3,365514 17,76581 52,38518 18,46038 2,519825 2,604404 19,59225 55,24307 20,31297 2,053221 19,13271 58,03629 1,649331 23,01503 61,31828 23,80994 1,064886 2,4518 20,2714 56,61468 21,01057 1,528133 60,01329 67,61746

MAE

0,790222 2,328135 4,167201 2,375931 0,616506 0,912208 2,363506 4,159221 2,409481 0,81974 2,371078 4,293149 0,706291 2,399942 4,242377 2,447809 0,636933 0,723896 2,360779 4,193896 2,408312 0,624156 1,95783 4,366634 1,545945 3,667966 6,282478 3,738875 1,17176 1,305833 3,8825 6,484167 3,9525 1,0325 3,899453 6,405572 1,147808 4,120144 6,734657 4,191053 0,803379 1,406667 3,836667 6,441667 3,906667 0,966667 6,356869 6,857524

Analýza, jejíž výsledky jsou uvedené v tab.7.16. pro opce na akcie GE a v tab.7.17. pro opce na akcie IBM, sleduje úsp šnost odhadu ceny evropské opce pomocí 12 model v závislosti na typu opce (kupní, prodejní) a zárove na vztahu sou asné ceny akcie S a uplat ovací (uplat ovací) ceny B, tj. zdali je opce deep-in-the-money, in-the-money, out-of-the-money a deep-out-of-the-money. Opce at-the-money nejsou v rámci naší analýzy k dispozici. Úsp šnost sledujeme op t pomocí kritérií MB, MSE a MAE. Tab.7.16.: MB, MSE, MAE pro modely ocen ní opce na akcie GE podle statusu opce a podle typu opce GE

typ

out of the money

in the money

deep out of the money

deep in the money

status model opce

MB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,051215 0,558312 1,009794 0,68369 0,110926 -0,34978 0,178227 0,637981 0,306546 -0,28649 -1,13423 1,001256 0,106278 0,773246 1,366722 0,938099 0,184818 0,005603 0,624264 1,187689 0,779925 0,077142 -0,49493 1,355621 -0,05128 0,569061 1,054227 0,707658 0,029667 -0,26544 0,349118 0,828962 0,486239 -0,18513 -1,1153 1,024486

Call MSE 0,038785 0,732048 2,101706 1,0452 0,06881 0,24163 0,337842 1,201442 0,509287 0,197985 3,426913 2,083344 0,060193 1,35042 3,807547 1,914467 0,124464 0,024856 0,936683 2,960404 1,387901 0,052587 0,698643 3,775636 0,00459 0,458169 1,544961 0,703427 0,003635 0,129326 0,159483 0,8994 0,307223 0,074087 1,793325 1,501292

MAE

0,112595 0,559912 1,011073 0,685246 0,131368 0,365307 0,340321 0,674351 0,425065 0,330762 1,136471 1,002759 0,146262 0,801165 1,388395 0,964724 0,222432 0,10371 0,652184 1,209362 0,806551 0,135781 0,494927 1,378815 0,051281 0,569061 1,054227 0,707658 0,03996 0,265437 0,349118 0,828962 0,486239 0,196123 1,1153 1,024486

MB

put MSE

MAE

-0,327 0,339969 0,933445 0,504821 -0,24846 0,025649 0,644311 1,207735 0,799971 0,097188 0,069147 0,922344 -0,30805 0,199046 0,650528 0,324424 -0,24834 -0,23666 0,291353 0,751107 0,419672 -0,17337 -0,53431 0,64199

0,168111 0,338516 1,839549 0,633891 0,097066 0,075431 0,83523 2,755814 1,255481 0,082362 0,904882 1,816881 0,145371 0,129958 0,90367 0,275097 0,088677 0,08333 0,227291 1,155136 0,415137 0,043084 0,527968 0,891176

0,327 0,429974 1,004946 0,585915 0,24846 0,232942 0,730107 1,279236 0,881065 0,238445 0,564364 0,995741 0,308051 0,2334 0,673752 0,351917 0,248339 0,236659 0,321144 0,774331 0,447165 0,173367 0,534312 0,665678

-0,22184 0,398503 0,883669 0,5371 -0,14089 -0,05679 0,557764 1,037609 0,694885 0,023517 -1,07398 0,853928

0,065616 0,224562 1,082162 0,404261 0,026069 0,010005 0,478394 1,557806 0,723331 0,012358 1,568641 1,045777

0,221839 0,398503 0,883669 0,5371 0,140891 0,074238 0,557764 1,037609 0,694885 0,098901 1,073978 0,853928

- 74 -

MB

-0,19545 0,415914 0,960001 0,567036 -0,12346 -0,10494 0,482195 1,00956 0,628345 -0,03627 -0,34942 0,949791 -0,03784 0,573524 1,117611 0,724647 0,034154 -0,07866 0,508469 1,035834 0,65462 -0,00999 -0,50863 1,107402 -0,05128 0,569061 1,054227 0,707658 0,029667 -0,26544 0,349118 0,828962 0,486239 -0,18513 -1,1153 1,024486 -0,22184 0,398503 0,883669 0,5371 -0,14089 -0,05679 0,557764 1,037609 0,694885 0,023517 -1,07398 0,853928

bez ohledu na typ MSE MAE 0,123128 0,475397 1,930734 0,776955 0,087238 0,133239 0,662225 2,215163 0,995935 0,122579 1,78211 1,909564 0,089821 0,925911 2,797502 1,344251 0,112016 0,045195 0,689938 2,332485 1,049548 0,049281 0,639278 2,772345 0,00459 0,458169 1,544961 0,703427 0,003635 0,129326 0,159483 0,8994 0,307223 0,074087 1,793325 1,501292 0,065616 0,224562 1,082162 0,404261 0,026069 0,010005 0,478394 1,557806 0,723331 0,012358 1,568641 1,045777

0,252424 0,47517 1,007077 0,620465 0,207732 0,278982 0,59453 1,068841 0,722456 0,270555 0,763358 0,998182 0,202536 0,603682 1,139824 0,751574 0,231443 0,149953 0,537039 1,058047 0,681547 0,148855 0,508626 1,130767 0,051281 0,569061 1,054227 0,707658 0,03996 0,265437 0,349118 0,828962 0,486239 0,196123 1,1153 1,024486 0,221839 0,398503 0,883669 0,5371 0,140891 0,074238 0,557764 1,037609 0,694885 0,098901 1,073978 0,853928

Tab.7.17.: MB, MSE, MAE pro modely ocen ní opce na akcie IBM podle statusu opce a podle typu opce IBM

typ

out of the money

in the money

deep out of the money

deep in the money

status model opce

MB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Call MSE

MAE

-0,81424 1,700763 3,236778 1,740348 -0,56268 -1,25027 1,298108 2,842703 1,338649 -0,99216 -3,71447 3,323147 -0,30685 3,348168 5,489657 3,404363 -0,01398 -0,3865 3,197 5,31225 3,2515 -0,106 -2,00776 5,643103

1,18813 6,040378 19,57354 6,29612 0,750976 2,256357 4,734759 16,85577 4,951159 1,560711 37,59766 21,84184 0,282922 20,25981 53,22328 20,93381 0,285157 0,425865 18,6164 50,16774 19,25327 0,347595 13,90804 59,34166

0,84332 1,702117 3,236778 1,741613 0,612513 1,278919 1,444595 2,895135 1,479189 1,020811 3,740237 3,323147 0,306977 3,367554 5,503291 3,423558 0,361358 0,3865 3,217 5,32575 3,2715 0,3775 2,007756 5,658992

-1,14781 4,120144 6,734657 4,191053 -0,58683 -1,40667 3,836667 6,441667 3,906667 -0,85 -6,35687 6,857524

1,649331 23,01503 61,31828 23,80994 1,064886 2,4518 20,2714 56,61468 21,01057 1,528133 60,01329 67,61746

1,147808 4,120144 6,734657 4,191053 0,803379 1,406667 3,836667 6,441667 3,906667 0,966667 6,356869 6,857524

MB

-0,74111 2,842671 4,98416 2,898865 -0,51947 -0,3275 3,184 5,3 3,2405 -0,11775 -0,21611 5,137853 -1,13798 1,328834 2,864849 1,368419 -0,93461 -1,08865 1,411892 2,955676 1,452432 -0,87946 -1,90386 2,951429 -1,54594 3,667966 6,282478 3,738875 -1,039 -1,30583 3,8825 6,484167 3,9525 -0,8025 -3,89945 6,405572

put MSE 1,226361 14,70581 43,82266 15,27752 1,028038 0,83946 16,8145 47,08041 17,42631 0,831138 3,932867 49,28983 2,296923 4,140753 15,77048 4,346589 1,806493 2,096823 4,571791 16,62259 4,791699 1,648834 7,840311 17,70952 3,365514 17,76581 52,38518 18,46038 2,519825 2,604404 19,59225 55,24307 20,31297 2,053221 19,13271 58,03629

MAE

0,741106 2,907202 5,027843 2,962676 0,620199 0,573 3,2135 5,3285 3,27 0,63375 1,104606 5,190401 1,137981 1,353874 2,879228 1,392946 0,934852 1,088649 1,435135 2,97027 1,475135 0,890811 1,903856 2,969489 1,545945 3,667966 6,282478 3,738875 1,17176 1,305833 3,8825 6,484167 3,9525 1,0325 3,899453 6,405572

MB

-0,77625 2,293962 4,144509 2,342175 -0,54024 -0,77091 2,277792 4,119221 2,326623 -0,53792 -1,89714 4,265851 -0,70622 2,377839 4,228386 2,426052 -0,45636 -0,7239 2,339221 4,17987 2,387013 -0,47766 -1,95783 4,349701 -1,54594 3,667966 6,282478 3,738875 -1,039 -1,30583 3,8825 6,484167 3,9525 -0,8025 -3,89945 6,405572 -1,14781 4,120144 6,734657 4,191053 -0,58683 -1,40667 3,836667 6,441667 3,906667 -0,85 -6,35687 6,857524

bez ohledu na typ MSE MAE 1,20799 10,5419 32,17049 10,96178 0,894904 1,520306 11,00995 32,55688 11,43176 1,181712 20,10945 36,10054 1,250689 12,51429 35,22648 12,96333 1,016188 1,228793 11,86769 34,04864 12,3042 0,972866 10,99238 39,33661 3,365514 17,76581 52,38518 18,46038 2,519825 2,604404 19,59225 55,24307 20,31297 2,053221 19,13271 58,03629 1,649331 23,01503 61,31828 23,80994 1,064886 2,4518 20,2714 56,61468 21,01057 1,528133 60,01329 67,61746

0,790222 2,328135 4,167201 2,375931 0,616506 0,912208 2,363506 4,159221 2,409481 0,81974 2,371078 4,293149 0,706291 2,399942 4,242377 2,447809 0,636933 0,723896 2,360779 4,193896 2,408312 0,624156 1,95783 4,366634 1,545945 3,667966 6,282478 3,738875 1,17176 1,305833 3,8825 6,484167 3,9525 1,0325 3,899453 6,405572 1,147808 4,120144 6,734657 4,191053 0,803379 1,406667 3,836667 6,441667 3,906667 0,966667 6,356869 6,857524

Odhad ceny kupní evropské opce na akcie GE má podle kritérií MB, MSE a MAE nejmenší chybu odhadu vždy v modelech BS 1, BS 5, BS 10 pro opce deep-in-the-money, in-themoney, out-of-the-money a deep-out-of-the-money. Vztah sou asné ceny akcie S a uplat ovací ceny B tedy systematicky neovliv uje úsp šnost odhadu ceny kupní opce n jakým specifickým modelem. Naopak neukazuje se, že by n jaký model poskytoval lepší odhady práv z pohledu opce deep-in-the-money, in-the-money, out-of-the-money a deep-outof-the-money. Modely s nejv tší chybou odhadu, podle všech t í kritérií jsou BS 8, BS 3, BS 12. Odhad ceny prodejní opce na akcie GE má podle kritérií MB, MSE a MAE nejmenší chybu odhadu op t v modelech BS 1, BS 5, BS 10 pro opce deep-in-the-money, in-the-money, out- 75 -

of-the-money a deep-out-of-the-money. Modely s nejv tší chybou odhadu jsou rovn ž BS 8, BS 3, BS 12. Z pohledu úsp šnosti odhadu ceny evropské opce na akcie GE jsme dosp li u obou typ opcí ke konzistentním záv r m. Obdobné záv ry platí pro kupní i prodejní opci na akcie IBM. Poslední analýza, jejíž výsledky jsou uvedené v tab.7.18. pro evropské opce na akcie GE a v tab.7.19. pro evropské opce na akcie IBM, sleduje úsp šnost odhadu ceny opce pomocí 12 model v závislosti na typu opce (kupní, prodejní) a zárove na dob do splatnosti τ, (τ = 3 (GE, IBM), τ = 31 (GE, IBM), τ = 59 (IBM), τ = 112 (GE), τ = 150 (IBM), τ = 213 (GE), τ = 332 (GE, IBM), τ = 703 (GE, IBM). Úsp šnost sledujeme op t pomocí kritérií MB, MSE a MAE. Dostáváme obdobné záv ry jako u p edchozí analýzy. Tab.7.18.: MB, MSE, MAE pro modely ocen ní opce na akcie GE podle doby do splatnosti a podle typu opce GE

typ

τ

model 3

31

122

MB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0,02847 -0,0144 -0,00016 -0,01063 -0,02688 -0,02847 -0,0144 -0,00016 -0,01063 -0,02688 -0,04036 -0,00767 -0,02824 0,086138 0,207632 0,117909 -0,01584 -0,02824 0,086138 0,207632 0,117909 -0,01584 -0,13531 0,192385 -0,03024 0,500204 1,003302 0,637624 0,029656 -0,36199 0,141589 0,624646 0,273129 -0,30553 -0,56672 0,988006

call MSE 0,001461 0,002297 0,005165 0,002891 0,001423 0,001461 0,002297 0,005165 0,002891 0,001423 0,002915 0,003446 0,001658 0,030545 0,115156 0,048218 0,001538 0,001658 0,030545 0,115156 0,048218 0,001538 0,05818 0,102168 0,005652 0,308193 1,150441 0,487 0,006012 0,226864 0,150166 0,603443 0,225569 0,185892 0,566933 1,117289

MAE

0,033605 0,040643 0,047537 0,042811 0,032016 0,033605 0,040643 0,047537 0,042811 0,032016 0,044338 0,04433 0,038013 0,119574 0,229575 0,14906 0,037477 0,038013 0,119574 0,229575 0,14906 0,037477 0,135307 0,215279 0,061809 0,500204 1,003302 0,637624 0,066747 0,361993 0,346543 0,687028 0,437892 0,311257 0,566722 0,988006

MB

-0,02697 -0,0129 0,00134 -0,00913 -0,02538 -0,02697 -0,0129 0,00134 -0,00913 -0,02538 -0,03626 -0,00617 -0,1949 -0,08053 0,040967 -0,04876 -0,18251 -0,1949 -0,08053 0,040967 -0,04876 -0,18251 -0,26962 0,02572 -0,25699 0,273449 0,776547 0,41087 -0,1971 0,169675 0,673257 1,156314 0,804797 0,226135 -0,568 0,761252

- 76 -

put MSE 0,001018 0,001668 0,004514 0,002244 0,000948 0,001018 0,001668 0,004514 0,002244 0,000948 0,002628 0,002793 0,0432 0,034348 0,079042 0,041592 0,038951 0,0432 0,034348 0,079042 0,041592 0,038951 0,115711 0,071071 0,070521 0,136908 0,752363 0,253931 0,044518 0,116837 0,581015 1,55017 0,797079 0,13679 0,549766 0,726126

MAE

0,026969 0,031909 0,045499 0,03559 0,02538 0,026969 0,031909 0,045499 0,03559 0,02538 0,036259 0,038447 0,194904 0,160136 0,23362 0,175807 0,182505 0,194904 0,160136 0,23362 0,175807 0,182505 0,269618 0,223844 0,256993 0,295592 0,776547 0,41087 0,197098 0,309036 0,673257 1,156314 0,804797 0,332443 0,567998 0,761252

MB

-0,02772 -0,01365 0,000589 -0,00988 -0,02613 -0,02772 -0,01365 0,000589 -0,00988 -0,02613 -0,03831 -0,00692 -0,11157 0,002806 0,124299 0,034577 -0,09917 -0,11157 0,002806 0,124299 0,034577 -0,09917 -0,20246 0,109053 -0,14362 0,386827 0,889924 0,524247 -0,08372 -0,09616 0,407423 0,89048 0,538963 -0,0397 -0,56736 0,874629

bez ohledu na typ MSE MAE 0,001239 0,001983 0,00484 0,002568 0,001186 0,001239 0,001983 0,00484 0,002568 0,001186 0,002772 0,003119 0,022429 0,032447 0,097099 0,044905 0,020244 0,022429 0,032447 0,097099 0,044905 0,020244 0,086946 0,086619 0,038087 0,22255 0,951402 0,370466 0,025265 0,171851 0,365591 1,076807 0,511324 0,161341 0,55835 0,921707

0,030287 0,036276 0,046518 0,0392 0,028698 0,030287 0,036276 0,046518 0,0392 0,028698 0,040299 0,041389 0,116458 0,139855 0,231597 0,162434 0,109991 0,116458 0,139855 0,231597 0,162434 0,109991 0,202463 0,219561 0,159401 0,397898 0,889924 0,524247 0,131922 0,335514 0,5099 0,921671 0,621344 0,32185 0,56736 0,874629

Tab.7.18.-pokra ování: MB, MSE, MAE pro modely ocen ní opce na akcie GE podle doby do splatnosti a podle typu opce GE

τ

typ model

213

332

703

MB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,031981 0,871377 1,615257 1,078281 0,131005 -0,32009 0,48568 1,206439 0,685713 -0,22569 -0,94813 1,602657 0,13863 1,184027 2,119076 1,443771 0,260779 -0,1824 0,817415 1,720678 1,06771 -0,0664 -1,17724 2,10899 0,587009 2,356717 3,801884 2,767594 0,807262 0,218292 1,934699 3,34465 2,335053 0,430906 -2,48466 3,79493

call MSE 0,009355 0,837732 2,785933 1,267065 0,027796 0,201983 0,398526 1,720415 0,659456 0,150484 1,289789 2,743625 0,024515 1,52346 4,747394 2,243049 0,079858 0,110131 0,84383 3,278655 1,353597 0,082878 2,098474 4,703267 0,355197 5,707883 14,80143 7,861602 0,672713 0,096213 3,964333 11,62216 5,728547 0,247889 8,832606 14,74751

MAE

0,084866 0,871377 1,615257 1,078281 0,136149 0,327013 0,566049 1,206439 0,728883 0,289983 0,948135 1,602657 0,13863 1,184027 2,119076 1,443771 0,260779 0,236371 0,817415 1,720678 1,06771 0,227698 1,17724 2,10899 0,587009 2,356717 3,801884 2,767594 0,807262 0,279686 1,934699 3,34465 2,335053 0,445398 2,484659 3,79493

MB

-0,34781 0,491581 1,235462 0,698485 -0,24879 0,058514 0,86428 1,585038 1,064312 0,152909 -0,74084 1,222862 -0,51235 0,533046 1,468095 0,792791 -0,3902 -0,07503 0,924786 1,828048 1,17508 0,040972 -0,46397 1,458009 -0,78702 0,982686 2,427854 1,393564 -0,56677 -0,41018 1,306225 2,716176 1,706578 -0,19757 1,180833 2,4209

put MSE 0,12484 0,313883 1,692673 0,584997 0,068209 0,079792 0,889224 2,754994 1,301351 0,100595 0,900889 1,66002 0,26583 0,385914 2,375199 0,762601 0,160246 0,049498 0,987862 3,603649 1,548002 0,046444 0,854112 2,344392 0,632359 1,06127 6,134539 2,071945 0,337013 0,18087 1,842493 7,684894 3,091391 0,059586 3,73191 6,099961

MAE

0,347815 0,491581 1,235462 0,698485 0,24879 0,266228 0,86428 1,585038 1,064312 0,296663 0,748726 1,222862 0,51235 0,533046 1,468095 0,792791 0,390201 0,174437 0,924786 1,828048 1,17508 0,206584 0,774247 1,458009 0,787022 0,982686 2,427854 1,393564 0,566769 0,410183 1,306225 2,716176 1,706578 0,197568 1,664618 2,4209

MB

-0,15792 0,681479 1,42536 0,888383 -0,05889 -0,13079 0,67498 1,395738 0,875013 -0,03639 -0,84449 1,41276 -0,18686 0,858537 1,793585 1,118281 -0,06471 -0,12871 0,871101 1,774363 1,121395 -0,01271 -0,82061 1,783499 -0,10001 1,669702 3,114869 2,080579 0,120246 -0,09595 1,620462 3,030413 2,020815 0,116669 -0,65191 3,107915

bez ohledu na typ MSE MAE 0,067098 0,575808 2,239303 0,926031 0,048002 0,140888 0,643875 2,237705 0,980404 0,12554 1,095339 2,201822 0,145172 0,954687 3,561296 1,502825 0,120052 0,079815 0,915846 3,441152 1,450799 0,064661 1,476293 3,52383 0,493778 3,384576 10,46799 4,966774 0,504863 0,138541 2,903413 9,653526 4,409969 0,153738 6,282258 10,42374

0,21634 0,681479 1,42536 0,888383 0,19247 0,296621 0,715164 1,395738 0,896598 0,293323 0,84843 1,41276 0,32549 0,858537 1,793585 1,118281 0,32549 0,205404 0,871101 1,774363 1,121395 0,217141 0,975744 1,783499 0,687015 1,669702 3,114869 2,080579 0,687015 0,344934 1,620462 3,030413 2,020815 0,321483 2,074639 3,107915

Odhad ceny kupní opce na akcie GE má podle kritérií MB, MSE a MAE nejmenší chybu odhadu vždy v modelech BS 1, BS 5, BS 10 pro τ = 3, τ = 31, τ = 112, τ = 213, τ = 332, τ = 703, tzn. doba do splatnosti kupní opce na akcie GE systematicky neovliv uje úsp šnost odhadu ceny kupní opce n jakým specifickým modelem a naopak neukazuje se, že by n jaký model poskytoval lepší odhady pro n kterou dobu do splatnosti τ. Vyjímku tvo í doba do splatnosti τ = 3 resp. doba kratší než 1 m síc. Naopak modely s nejv tší chybou odhadu jsou BS 8, BS 3, BS 12. Odhad ceny prodejní opce na akcie GE má podle kritérií MB, MSE a MAE nejmenší chybu odhadu op t v modelech BS 1, BS 5, BS 10 pro τ = 3, τ = 31, τ = 112, τ = 213, τ = 332, τ = 703. Naopak modely s nejv tší chybou odhadu jsou rovn ž BS 8, BS 3, BS 12. Z pohledu úsp šnosti odhadu ceny opce na akcie GE jsme dosp li u obou typ opcí ke konzistentním záv r m a velmi podobné záv ry platí pro kupní i prodejní opci na akcie IBM.

- 77 -

Tab.7.19.: MB, MSE, MAE pro modely ocen ní opce na akcie IBM podle doby do splatnosti a podle typu opce IBM

typ

τ

model 3

31

59

150

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

MB -0,00277 0,062274 0,114432 0,063527 -0,00209 -0,002 0,062 0,114667 0,063333 -0,002 -0,03893 0,074398 -0,26156 0,419625 0,967922 0,432823 -0,25459 -0,47667 0,194667 0,735333 0,206667 -0,47067 -0,61089 0,721661 -0,50733 2,604787 4,25057 2,646874 0,232438 -0,848 2,236 3,875333 2,279333 -0,11667 -1,22699 3,852131 -0,74445 3,74907 6,264665 3,814404 -0,03421 -1,04188 3,415 5,915625 3,479375 -0,33938 -2,56708 6,369161

call MSE 0,005986 0,021948 0,064766 0,02272 0,005821 0,005967 0,021993 0,0648 0,02286 0,005967 0,02864 0,029985 0,168815 0,44838 1,74409 0,470351 0,160378 0,47893 0,35907 1,338743 0,371997 0,467943 1,156292 1,069718 0,500739 9,496678 23,37895 9,779232 0,219904 1,098287 8,114333 20,82635 8,371193 0,35568 3,23465 19,49226 0,932702 16,74131 44,23018 17,29215 0,257684 1,697534 14,68059 40,35287 15,17726 0,600278 10,80164 45,64986

MAE 0,072498 0,101716 0,150787 0,102932 0,071819 0,072667 0,102 0,150667 0,103333 0,072667 0,10248 0,113409 0,261565 0,435219 0,967922 0,447727 0,254592 0,476667 0,449333 0,839333 0,454667 0,470667 0,610891 0,725021 0,509335 2,604787 4,25057 2,646874 0,371585 0,848 2,353333 3,900667 2,391333 0,547333 1,226989 3,852131 0,744764 3,74907 6,264665 3,814404 0,462665 1,041875 3,415 5,915625 3,479375 0,658125 2,567076 6,369161

MB -0,08374 -0,0187 0,03346 -0,01744 -0,08307 -0,084 -0,01867 0,032667 -0,01667 -0,08333 -0,11218 -0,00657 -0,36532 0,315871 0,864168 0,329069 -0,35835 0,018333 0,689667 1,230333 0,703 0,026333 -0,62486 0,617906 -0,61637 2,344524 3,990308 2,386612 -0,02782 -0,35833 2,577 4,215 2,619 0,221 -1,11625 3,593141 -1,0531 3,272389 5,787985 3,337724 -0,51089 -0,74844 3,537188 6,038438 3,603438 -0,21656 -1,95066 5,892481

- 78 -

put MSE 0,007972 0,020518 0,059939 0,021215 0,007775 0,008003 0,020277 0,059537 0,021097 0,007803 0,031186 0,027817 0,214481 0,39461 1,599294 0,414484 0,205132 0,216008 0,802328 2,343675 0,828788 0,210255 1,125714 0,966713 0,597628 8,086474 21,04339 8,345331 0,13874 0,455752 9,595105 23,35866 9,877585 0,321458 2,917532 17,39055 1,41845 13,29672 38,32187 13,78379 0,453366 1,068908 15,39205 41,62652 15,92025 0,417139 7,765376 39,63893

MAE 0,083744 0,099731 0,145112 0,100897 0,083065 0,084 0,098667 0,144667 0,100667 0,083333 0,112183 0,110859 0,365319 0,43103 0,904471 0,441388 0,358347 0,419 0,708333 1,230333 0,720333 0,416333 0,624858 0,685147 0,616367 2,344784 3,990308 2,386612 0,318274 0,529 2,577 4,215 2,619 0,473667 1,116248 3,593141 1,053096 3,272389 5,787985 3,337724 0,540748 0,792188 3,537188 6,038438 3,603438 0,552813 2,028957 5,892481

MB -0,04326 0,021788 0,073946 0,023042 -0,04258 -0,043 0,021667 0,073667 0,023333 -0,04267 -0,07556 0,033912 -0,31344 0,367748 0,916045 0,380946 -0,30647 -0,22917 0,442167 0,982833 0,454833 -0,22217 -0,61787 0,669783 -0,56185 2,474655 4,120439 2,516743 0,102307 -0,60317 2,4065 4,045167 2,449167 0,052167 -1,17162 3,722636 -0,89877 3,510729 6,026325 3,576064 -0,27255 -0,89516 3,476094 5,977031 3,541406 -0,27797 -2,25887 6,130821

bez ohledu na typ MSE MAE 0,006979 0,078121 0,021233 0,100724 0,062353 0,14795 0,021967 0,101915 0,006798 0,077442 0,006985 0,078333 0,021135 0,100333 0,062168 0,147667 0,021978 0,102 0,006885 0,078 0,029913 0,107332 0,028901 0,112134 0,191648 0,313442 0,421495 0,433125 1,671692 0,936197 0,442417 0,444558 0,182755 0,306469 0,347469 0,447833 0,580699 0,578833 1,841209 1,034833 0,600393 0,5875 0,339099 0,4435 1,141003 0,617874 1,018215 0,705084 0,549183 0,562851 8,791576 2,474785 22,21117 4,120439 9,062282 2,516743 0,179322 0,34493 0,777019 0,6885 8,854719 2,465167 22,09251 4,057833 9,124389 2,505167 0,338569 0,5105 3,076091 1,171618 18,4414 3,722636 1,175576 0,89893 15,01901 3,510729 41,27603 6,026325 15,53797 3,576064 0,355525 0,501707 1,383221 0,917031 15,03632 3,476094 40,98969 5,977031 15,54875 3,541406 0,508709 0,605469 9,283508 2,298016 42,6444 6,130821

Tab.7.19.-pokra ování: MB, MSE, MAE pro modely ocen ní opce na akcie IBM podle doby do splatnosti a podle typu opce IBM

τ

typ model

332

703

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

MB -1,06346 3,876973 6,967854 3,958211 -1,0026 -1,41833 3,499167 6,5775 3,579167 -1,35833 -5,73876 7,551343 -1,304 6,876674 11,59123 7,003634 -1,19569 -1,657 6,491 11,186 6,617 -1,548 -11,7796 12,75802

call MSE 1,577455 18,7695 56,44619 19,50332 1,435164 2,618767 16,43423 51,70113 17,09898 2,442217 41,10678 65,78788 2,118788 52,93765 145,8207 54,83698 1,844524 3,28971 48,19395 137,0553 49,98725 2,9464 157,5114 175,8788

MAE 1,063462 3,876973 6,967854 3,958211 1,009004 1,418333 3,5025 6,5775 3,579167 1,358333 5,738763 7,551343 1,304004 6,876674 11,59123 7,003634 1,195691 1,657 6,491 11,186 6,617 1,548 11,77964 12,75802

MB -1,68538 3,255059 6,34594 3,336297 -1,62452 -1,44042 3,475417 6,554583 3,557917 -1,37875 -3,02471 6,929429 -2,79697 5,383709 10,09826 5,510668 -2,68866 -2,5595 5,5875 10,2825 5,7145 -2,4515 -0,71773 11,26505

put MSE 3,233255 14,1327 47,86842 14,76291 3,013851 2,596256 16,04516 51,06832 16,72534 2,41129 17,06928 56,46645 8,043823 33,81711 112,2615 35,32758 7,438596 6,833323 36,42093 116,4438 37,9883 6,286923 17,20086 138,7467

MAE 1,685376 3,255059 6,34594 3,336297 1,624516 1,440417 3,475417 6,554583 3,557917 1,37875 3,416997 6,929429 2,796969 5,383709 10,09826 5,510668 2,688657 2,5595 5,5875 10,2825 5,7145 2,4515 3,675699 11,26505

MB -1,37442 3,566016 6,656897 3,647254 -1,31356 -1,42938 3,487292 6,566042 3,568542 -1,36854 -4,38173 7,240386 -2,05049 6,130192 10,84474 6,257151 -1,94217 -2,10825 6,03925 10,73425 6,16575 -1,99975 -6,24869 12,01153

bez ohledu na typ MSE MAE 2,405355 1,374419 16,4511 3,566016 52,1573 6,656897 17,13311 3,647254 2,224507 1,31676 2,607511 1,429375 16,23969 3,488958 51,38472 6,566042 16,91216 3,568542 2,426753 1,368542 29,08803 4,57788 61,12717 7,240386 5,081306 2,050487 43,37738 6,130192 129,0411 10,84474 45,08228 6,257151 4,64156 1,942174 5,061516 2,10825 42,30744 6,03925 126,7496 10,73425 43,98778 6,16575 4,616661 1,99975 87,35611 7,727672 157,3127 12,01153

J. Borovi ka ve svojí práci ukazuje, že MAE mezi teoretickými a empirickými hodnotami opce na akcie IBM je v pr m ru 1,1440USD za p edpokladu dosazení implikované volatility do B-S vzorce. Tab.7.20.: Pr m rná velikost MAE opce na akcie IBM. (zdroj: J.Borovi ka: Binomické stromy s nekonstantní volatilitou) Kupní opce Prodejní opce celkem Doba do splatnosti 19 47 110 201 19 47 110 201 Po et opcí 8 7 16 8 9 10 9 5 72 Pr m rná velikost 0,9464 0,4265 1,2473 2,8801 0,9675 0,6497 0,7343 1,3994 1,1440 absolutní odchylky

Pro srovnání jsme provedli obdobný, ovšem pouze orienta ní výpo et absolutní odchylky v modelu BS 5, který používá implikovanou volatilitu, shrnutí je v tab.7.21.. Dosáhli jsme lepšího výsledku z pohledu pr m rné velikosti absolutní odchylky, ten je zp soben jednak nižší hodnotou odhadu rozptylu σ2 = 0,091099 (zatímco Borovi ka používá odhad σ2 = 0,4475) a m že být ovlivn n i mírn odlišnými dobami do splatnosti τ. Tab. 7.21.: Pr m rná velikost absolutní odchylky opce na akcie IBM Kupní opce Doba do splatnosti 3 31 59 150 Po et opcí 4285 2613 1609 709 Pr m rná velikost 0,071 0,35 0,37 0,46 absolutní odchylky

- 79 -

3 2905

Prodejní opce 31 59 2729 4860

150 542

20252

0,083

0,35

0,54

0,245

0,31

celkem

(III) t-test

Sla álek v lánku Black-Scholes v model oce ování opcí, Finance a úv r, . 2, 2000 uvádí, že m žeme teoretickou skute nou tržní cenu považovat za n jakou ideální hodnotu kolem které se skute né pozorované hodnoty pohybují. Pokud podle jeho návrhu máme dostate né množství teoretických a empirických cen, m žeme spo ítat regresi a pomocí t-testu otestovat, zda se β0 = 0 a β1 = 1, pokud oba t-testy nezamítají nulovou hypotézu, ozna uje autor model jako nezkreslený. K tomuto testu máme n kolik p ipomínek a) vhodn jší by bylo použít regresy bez β0 , b) autor se v bec nezabývá tím, zda-li rezidua spl ují podmínky bílého šumu, protože s nejv tší pravd podobností podmínky nespl ují. P es zmín né výhrady jsou výsledky tohoto testu uvedeny v tab.7.22. Podmínky t-testu jsou spln ny pouze u odhadu ceny kupní opce na akcie GE modelem BS 1. Žádný další model nespl uje podmínky t-testu u odhadu ceny prodejní opce na akcie GE a kupní a prodejní opce na akcie IBM. Tab.7.22.: test β0 , β1 (H0: β0 =0, β1 = 1, H1: β0 β1Pempir + ε Typ Model Call 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Put 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b0 -0,0483 -0,4408 -0,6004 -0,5009 -0,1081 0,0251 -0,3951 -0,5834 -0,4633 -0,0372 0,7255 -0,5864 0,2374 -0,2559 -0,5449 -0,3481 0,1672 0,1316 -0,3298 -0,5966 -0,4153 0,0656 0,7632 -0,5295

b1 0,9887 0,9193 0,8260 0,8951 0,9839 1,0466 0,9773 0,8810 0,9525 1,0421 1,0156 0,8253 1,0139 0,9927 0,9551 0,9835 1,0133 0,9882 0,9688 0,9232 0,9601 0,9877 0,9004 0,9546

GE s(b1) 0,0104 0,0363 0,0523 0,0414 0,0137 0,0143 0,0353 0,0522 0,0406 0,0156 0,0559 0,0522 0,0062 0,0113 0,0225 0,0146 0,0045 0,0069 0,0149 0,0249 0,0178 0,0066 0,0169 0,0224

0, β1

1) z regrese Cteor = β0 + β1Cempir + ε resp. Pteor = β0 +

t-test b1 = ? R2 -1,0834 =1 99,469 -2,2252 <>1 93,049 -3,3266 <>1 83,859 -2,5346 <>1 90,687 -1,1767 =1 99,082 3,2637 <>1 99,115 -0,6427 =1 94,098 -2,2794 <>1 85,581 -1,1697 =1 91,971 2,6937 <>1 98,934 0,2788 =1 86,162 -3,3467 <>1 83,887 2,2398 <>1 99,820 -0,6416 =1 99,370 -1,9966 <>1 97,409 -1,1265 =1 98,948 2,9318 <>1 99,904 -1,7106 <>1 99,766 -2,1006 <>1 98,883 -3,0846 <>1 96,699 -2,2423 <>1 98,378 -1,8515 <>1 99,783 -5,8930 <>1 98,339 -2,0243 <>1 97,417

b0 0,4555 -2,5372 -3,3716 -2,5667 0,0744 0,5630 -2,4458 -3,2932 -2,4757 0,1824 3,1799 -3,0686 1,0957 -1,1746 -1,8826 -1,1978 0,8123 1,0144 -1,2378 -1,9463 -1,2609 0,7358 2,2867 -1,6922

b1 1,0128 0,9906 0,9245 0,9892 1,0204 1,0268 1,0036 0,9362 1,0021 1,0344 0,9883 0,8987 0,9902 0,9318 0,8702 0,9303 0,9944 0,9778 0,9229 0,8635 0,9214 0,9820 0,9121 0,8532

IBM s(b1) 0,0059 0,0245 0,0370 0,0248 0,0059 0,0071 0,0244 0,0371 0,0248 0,0067 0,0412 0,0389 0,0078 0,0164 0,0252 0,0167 0,0080 0,0077 0,0164 0,0249 0,0166 0,0081 0,0147 0,0266

t-test b1 = ? R2 2,1670 <>1 99,72 -0,3853 =1 95,29 -2,0417 <>1 88,54 -0,4362 =1 95,14 3,4545 <>1 99,73 3,7677 <>1 99,61 0,1465 =1 95,42 -1,7191 <>1 88,71 0,0862 =1 95,27 5,1383 <>1 99,66 -0,2834 =1 87,68 -2,6050 <>1 86,83 -1,2480 =1 99,50 -4,1526 <>1 97,54 -5,1619 <>1 93,66 -4,1777 <>1 97,46 -0,7022 =1 99,47 -2,8707 <>1 99,49 -4,7113 <>1 97,52 -5,4817 <>1 93,69 -4,7261 <>1 97,43 -2,2262 <>1 99,45 -5,9697 <>1 97,93 -5,5110 <>1 92,68

(IV) korela ní koeficient

Jako tvrtý nástroj k ov ení kvality model na oce ování op ních kontrakt použijeme korela ní koeficient mezi tržní cenou opce a „modelovou“ vypo ítanou cenou opce. S výhradou, že data nepocházejí z dvojrozm rného normálního rozd lení, se podíváme na sílu závislosti mezi modelem a skute ností. Výsledky jsou shrnuty v tab.7.22. v osmém a trnáctém sloupci. Nejt sn jší vztah pro kupní a prodejní opci na akcie GE je u model BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 (což jsou modely s nižší hodnotou odhadu volatility). Obdobn je tomu tak pro kupní a prodejní opci na akcie IBM. Záv ry jsou totožné s výsledky analýzy podle kritérií MB, MSE a MAE.

- 80 -

8. Záv r V prvních t ech kapitolách této práce jsme si p edstavili op ní obchody. Vymezili jsme hlavní veli iny ovliv ující cenu kupních a prodejních opcí. T mito veli inami jsou uplat ovací cena opce B, volatilita podkladové akcie σ, bezriziková úroková míra r, doba do splatnosti τ. Nazna ili jsme rozdíl mezi americkou a evropskou opcí. P edstavili jsme 8 pravidel klí ových pro ur ování ceny kupní opce. Popsali jsme fungování a specifika dvou evropských op ních burz Eurexu a London International Financial Futures and Options Exchange a nejv tší sv tové op ní burzy Chicago Board Options Exchange. Ve tvrté kapitole jsme ukázali myšlenku a jádro Black-Scholesova modelu oce ování opcí a jeho p edpoklady. T mi nejvýznamn jšími p edpoklady jsou: 1) dokonalý trh ve kterém neexistují žádné transak ní náklady ani diferen ní dan , obchoduje se ve spojitém ase a kapitálový trh je dokonale konkuren ní, 2) cena podkladové akcie S se ídí geometrickým Brownovým pohybem, který popisujeme stochastickou diferenciální rovnicí: dS(t) = αS(t)dt + σS(t)dW(t), kde S(0) = S0 > 0, cena akcie tedy nem že nabýt záporných hodnot, 3) bezriziková úroková míra r je konstantní, 4) podkladová akcie i dluhopis jsou správn ocen ny, 5) podkladová akcie opce nevyplácí žádné dividendy. Za pomoci rovnice vedení tepla jsme ukázali odvození slavného Black-Scholesova vzorce. Zárove jsme si ukázali slabá místa B-S vzorce, kterými je práv odhad volatility výnosu podkladové akcie a s tím související rozd lení výnosu podkladové akcie. Pro úplnost jsme p edstavili dva alternativní zp soby oce ování opcí a) binomický model, b) GARCH Options Pricing model. V páté kapitole jsme se zabývali volatilitou v Black-Scholesov modelu a nazna ili jsme možnosti jejího odhadu, t mi jsou a) nevážen historická metoda, b) vážen historická metoda, c) metoda denních maxim a minim, d) metoda využívající logaritmus mezidenního tempa r stu ceny akcie e) metoda implikované volatility a f) použití modelu ARCH resp. GARCH(1,1) k p edpov di volatility v budoucnosti resp. v dob splatnosti opce τ. V šesté kapitole jsme ešili možná porušení p edpoklad Black-Scholesova vzorce. Ukázali jsme odvození modifikovaného B-S vzorce pro kupní a prodejní cenu evropské opce, kde jsme a) zohled ovali rozdílný po et obchodních a kalendá ních dní, b) vzali v úvahu spojitý a diskrétní dividendový výnos, c) vzorec aplikovali na americkou opci, d) jako podkladové aktivum použili cizí m nu a e) jako podkladové aktivum použili drahý kov. Tím jsme splnili první dva cíle této práce, prvním cílem bylo p edstavit op ní obchody a fungování op ních burz a druhým seznámit s B-S vzorcem, jeho p edpoklady, omezeními a statistickým základem. T etím a hlavním cílem a zárove jádrem práce bylo empirické ov ení oce ování kupních a prodejních op ních kontrakt na reálných datech spole ností General Electric a IBM pomocí model založených p evážn na B-S vzorci a rovn ž možností simulace Monte Carlo. Jednotlivé modely jsme se snažili porovnat se skute nou tržní cenou a vyhodnotit je z pohledu úsp šnosti odhadu ceny evropské opce. Zkonstruovali jsme 12 model , pomocí kterých jsme odhadovali cenu kupních a prodejních opcí na akcie GE a IBM. Modely BS 1, BS 2, BS 3, BS 4, BS 5, BS 6, BS 7, BS 8, BS 9, BS 10 a BS 12 jsou založeny na B-S vzorci a lišily se a) zahrnutím výplaty dividend a b) metodou odhadu volatility. Model MC 11 vycházel ze simulace Monte Carlo a byl realizací 100 000 opakování náhodných pokus . Modely BS 1, BS 2, BS 3, BS 4, BS 5, BS 12 a MC 11 výplatu dividend neuvažovaly, zbytek model ji v úvahu bral. BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 a MC 11 byly modely s relativn nízkou hodnotou odhadu rozptylu. BS 3, BS 8 a BS 12 byly naopak modely s relativn vysokou hodnotou odhadu rozptylu. BS 4, BS 7, BS 2 a BS 9 m ly do B-S vzorce dosazeny „st edn “ velké hodnoty odhadu rozptylu. Srovnávání jednotlivých model jsme zahájili dvouvýb rovým KolmogorovýmSmirnovovým testem. Srovnávali jsme distribu ní funkce rozd lení tržní, teoretické ceny - 81 -

opce a rozd lení empirické, modelové ceny opcí vypo ítané každým z 12 model . Test by nám m l íci, zdali distribu ní funkce pocházely ze stejné populace. Nulová hypotéza p edpokládá, že distribu ní funkce jsou ze stejné populace. U kupní i prodejní opce na akcie GE K-S test zamítal na 5% hladin významnosti nulovou hypotézu pouze u modelu MC 11. U kupní opce na akcie IBM byly na 5% hladin významnosti nevhodné modely BS 3, BS 8 a BS 12 (modely s relativn vysokým odhadem rozptylu). U prodejní opce na akcie IBM byly na 5% hladin významnosti nevhodné modely BS 1, BS 6 a MC 11. Z pohledu K-S testu byly pro ob podkladové akcie a oba typy opcí vyhovující modely BS 2, BS 4, BS 5, BS 7, BS 9 a BS 10 (tj. modely kde do B-S vzorce byly dosazeny st edn vysoké a nízké hodnoty odhadu rozptylu). Následovalo srovnání pomocí kritérií MB, MSE, MAE pro jednotlivé modely podle podkladové akcie. U opce na akcie GE, stejn tak i opce na akcie IBM st ední chyba odhadu (MB) signalizovala systematické podhodnocování u model s nižší dosazenou hodnotou odhadu rozptylu do B-S vzorce, tj. BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 a MC 11. Nejv tší MB, MSE a MAE odhadu ceny opce, což platilo pro ob podkladové akcie (podle po adí), byla u model BS 3, BS 8, BS 12. Tento výsledek byl v souladu se záv ry K-S testu, u všech t í model odhadu ceny opce se zamítala nulová hypotéza alespo u jedné podkladové akcie. Nejmenší MB, MSE a MAE odhadu ceny opce byly u model BS 10 a BS 5, což op t korespondovalo se záv ry K-S testu. Pokud zahrneme do našich úvah rovn ž typ opce (kupní, prodejní) dosp jeme k velmi podobným záv r m. Jednotlivá kritéria úsp šnosti odhadu poskytovala op t konzistentní záv ry i pro ob podkladové akcie a) t i nejvyšší hodnoty kritérií MB, MSE a MAE byla u model BS 3, BS 12 a BS 8 (v r zném po adí), b) ty i nejnižší hodnoty kriterií MB, MSE a MAE byly u model BS 10, BS 1, BS 6 a BS 5. Dalším pohledem analýzy byl vliv doby do splatnosti τ na p esnost odhadu ceny opce. V absolutních hodnotách dosahovaly nejlepší úsp šnosti odhady ceny opce s dobou do splatnosti τ = 3, postupn se chyba odhadu zv tšovala a nejv tších absolutních hodnot dosahovala chyba odhadu s dobou do splatnosti τ = 703 (tato skute nost asi nikoho nep ekvapí). MAE model odhadu ceny opce na akcie GE se u doby do splatnosti τ = 3 pohyboval v intervalu (USD) <0,03;0,046>, u τ = 31 mezi <0,11;0,23>, u τ = 122 mezi <0,13;0,92>, u τ = 213 mezi <0,21;1,42>, u τ = 332 mezi <0,2;1,79> a u τ = 703 mezi <1,34;3,1>. MAE model odhadu ceny opce na akcie IBM se u doby do splatnosti τ = 3 pohyboval mezi <0,08;0,14>, u τ = 31 mezi <0,3;1,03>, u τ = 59 mezi <0,5;4,12>, u τ = 150 mezi <0,11;0,23>, u τ = 332 mezi <1,3;7,24> a u τ = 703 mezi <1,9;12>. Z pohledu úsp šnosti model m ené kritérii MB, MSE a MAE (bez ohledu na podkladovou akcii) pro τ = 31 (GE, IBM), τ = 59 (IBM), τ = 112 (GE), τ = 150 (IBM), τ = 213 (GE), τ = 332 (GE, IBM), τ = 703 (GE, IBM) se nejmenších chyb odhadu ceny opce dopoušt ly modely BS 10, BS 5, BS 1, BS 6. Naopak nejv tší chyby odhadu se objevovaly u model BS 8, BS 3, BS 12. Jiná situace nastala u τ = 3, v p ípad opce na akcie GE se nejmenší chyby odhadu dopoušt ly modely BS 8, BS 3 a BS 12, v p ípad opce na akcie IBM modely BS 2, BS 12, BS 5. Opce s dobou do splatnosti kratší než 1 m síc mají obecn jiné psychologické mechanismy stanovování ceny (a i ú el jejich koup je jiný, jde p edevším o spekulace), než opce s dobou do splatnosti delší než jeden m síc (zajišt ní investice). P i stanovování ceny opce s dobou do splatnosti τ = 3 investo i berou v úvahu nejmén zastaralé informace o vývoji výnos podkladové akcie, tomu v našem p ípad odpovídal i odhad rozptylu metodou 3 (posledních 50 pozorování výnosu akcie p ed 18.2.2003), který byl použitý v modelu BS 3, BS 8 a metodou 6 (GARCH(1,1)), jejíž odhad byl použitý v modelu BS 12 . Další pohled se zabýval vlivem vztahu sou asné ceny akcie S a uplat ovací (uplat ovací) ceny B, tj. opce deep-in-the-money, in-the-money, out-of-the-money a deep-out-of-the-money

- 82 -

na úsp šnost odhadu ceny evropské opce. Opce at-the-money se v rámci naší analýzy neobjevovaly. MAE pro opce na akcie GE deep-in-the-money se pohyboval mezi <0,25;1,06>, pro opce na akcie GE in-the-money mezi <0,03;1,11>, pro opce na akcie GE deep-out-of-the-money mezi <0,2;1,13> a pro opce na akcie GE out-of-the-money mezi <0,22;1,07>, pro opce na akcie IBM deep-in-the-money mezi <0,61;4,29>, pro opce na akcie IBM in-the-money mezi <1,17;6,48>, pro opce na akcie IBM deep-out-of-the-money mezi <0,62;4,36> a pro opce na akcie IBM deep-out-of-the-money mezi <0,8;6,85>. Po detailním prozkoumání tabulky jsme zjistili, že bez ohledu na podkladovou akcii dostaneme pro celou škálu vztah sou asné ceny akcie a uplat ovací ceny (opce deep-in-the-money, in-the-money, out-of-the-money a deep-out-of-the-money) v podstat homogenní záv ry. Kritéria odhadu MB, MSE a MAE ukazovala nejmenší chyby odhadu u model BS 10, BS 6, BS 5, BS 1 (modely s nižším odhadem volatility) a naopak nejmén p íznivé výsledky byly u model BS 8, BS 3 a BS 12 (modely s vyšším odhadem volatility). Jedná se o ty samé množiny model , které jsme identifikovali p i analýze úsp šnosti odhadu model v závislosti na dob do splatnosti (τ). Další t etí variantou vyhodnocení úsp šnosti model bylo spo ítání regrese mezi tržní cenou opce a modelovými cenami opce a otestování pomocí t-testu, zda se parametry β0 = 0 a β1 = 1. Tento test použil Sla álek a k tomuto testu máme n kolik p ipomínek a) vhodn jší by bylo použít regresy bez β0 , b) autor se v bec nezabýval tím, zdali rezidua spl ují podmínky bílého šumu, protože podle našeho výzkumu podmínky nespl ují. Podmínky t-testu byly spln ny pouze u odhadu ceny kupní opce na akcie GE modelem BS 1. Žádný další model nesplnil podmínky t-testu u odhadu ceny prodejní opce na akcie GE a kupní a prodejní opce na akcie IBM. Jako poslední tvrtý nástroj k ov ení kvality model na oce ování op ních kontrakt jsme použili korela ní koeficient mezi tržní cenou opce a „modelovou“ vypo ítanou cenou opce. Op t nutno zd raznit, že s výhradou, nebo data nepocházejí z dvojrozm rného normálního rozd lení, což je nutný p edpoklad použití korela ního koeficientu. Nejt sn jší vztah pro kupní a prodejní opci na akcie GE byl u model BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 (což jsou modely s nižší hodnotou odhadu volatility). Obdobn tomu bylo pro kupní a prodejní opci na akcie IBM. Ve v tšin p ípad docházelo k jevu, kdy hodnota evropské opce vypo ítaná modelem je v oblasti vyšších uplat ovacích cen u opcí s delší dobou do splatnosti znateln vyšší než teoretická tržní cena. 10 z 12 model nadhodnocovalo cenu prodejní opce na akcie GE (u prodejní opce na akcie IBM 7 z 12), které byly deep-in-the-money a 10 z 12 model nadhodnocovalo kupní opce na akcie GE (u kupní opce na akcie IBM 7 z 12), které byly deep-out-of-the-money. U kratší doby do splatnosti modely v tšinou podhodnocovaly cenu opce. 12 z 12 model podhodnotilo cenu kupní na akcie GE s dobou do splatnosti τ = 3, 10 z 12 model podhodnotilo cenu prodejní opce na akcie GE. Naopak u doby do splatnosti τ = 703 nadhodnotilo cenu prodejní opce na akcie GE 8 z 12 model a kupní opce na akcie GE 11 z 12 model . U opce na akcie IBM lze konstatovat stejný záv r. P i ov ování jednotlivých model je t eba dát pozor na vhodný výb r podkladové akcie. Navíc pom rn asto dochází k tzv. št pení akcií (stock splits), kdy daná firma z r zných d vod (zvýšení likvidity, optimalizace daní) rozhodne, že vym ní všem akcioná m jednu akcii za v tší po et stejných akcií. Na efektivním trhu by nem l být problém novou cenu po této transakci snadno upravit, protože tak by se m la zm nit pouze nep ímo úm rn s novým po tem akcií; v praxi to ovšem tak snadné není. Navíc je otázka, do jaké míry geometrický Brown v pohyb uspokojiv aproximuje pohyb podkladového aktiva. Pro realistický popis cen akcií by bylo t eba zvolit n jaký složit jší stochastický proces. Pro srovnání uvádíme hlavní záv ry dvou autor , kte í ešili podobný problém. - 83 -

Obdobnou analýzu provád l Whaley (1982), který analyzoval opce vypsané na 91 akcií vyplácejících dividendy po dobu 160 týdn v období 17.1.1975 – 3.2.1978. Každý týden spo ítal implikovanou volatilitu, která minimalizovala st ední tvercovou chybu klasického B-S modelu (obdoba našeho modelu BS 5 a BS 10). Vypo ítanou implikovanou volatilitu použil k ocen ní opce B-S vzorcem v následujícím týdnu a sledoval odchylky mezi modelovou a tržní cenou opce. Celkem analyzoval 15582 cen opcí a zjistil pr m rnou chybu 3,16 centu p i pr m rné cen opce 4,1388USD, což p edstavovalo pr m rnou chybu 2,15% se sm rodatnou odchylkou 25,24%. Model p ece oval opce na akcie s vysokou volatilitou (s vysokým rizikem) a naopak podhodnocoval opce na akcie s malou volatilitou (s malým rizikem). Rovn ž zjistil, že B-S vzorec podhodnocuje opce na akcie vyplácející „vysokou“ dividendu a p ece ují opce s dlouhou dobou do splatnosti. Analýzu B-S vzorce, resp. implikované volatility v n m d lal i Rubinstein (1985). Používal databáze, která mu umožnila porovnávat dv opce na stejnou akcii, které se ovšem lišily v n jakém parametru, nap íklad jedna opce m la vyšší uplat ovací cenu než druhá. Podle B-S vzorce by m ly mít ob akcie stejnou implikovanou volatilitu. Pokud by opce s vyšší uplat ovací cenou m la vyšší implikovanou volatilitu mohlo by to signalizovat vychýlení B-S vzorce. Rubinstein zjistil, že existuje statisticky významný rozdíl v implikovaných volatilitách, shledal, že implikovaná volatilita opcí mimo peníze vzr stá, jak se doba do splatnosti opce zkracuje. Jsme si v domi toho, že metody a postupy použité k vyhodnocování úsp šnosti odhadu ceny evropské opce nejsou zcela korektní a rovn ž vzorek dvou podkladových akcií použitých v experimentu není dostate ný. Pro kupní a prodejní opce na akcie GE a IBM poskytují však metody vcelku homogenní záv ry. Selhávají modely, které do B-S vzorce dosazují vyšší hodnoty odhadu volatility, tzn. že investo i p i konstituování ceny opce o ekávali volatilitu na nižší úrovni. Jednozna né doporu ení zní používat k oce ování kupních i prodejních opcí model BS 5 nebo model BS 10. V obou p ípadech se jedná o modely vycházející z implikované volatility a model BS 10 zahrnuje do vzorce navíc úvahu o dividendách. B-S model není samoz ejm úpln bezchybný. Chyby v odhadech jsou zp sobeny hlavn t mito d vody a) neuvažování transak ních náklad , b) ignorováním výplaty dividend c) rozdílem mezi ask a bid cenou opce a d) nep esností v odhadu volatility ceny podkladového aktiva. Black-Scholes v vzorec nicmén p edstavuje jednu z nejznám jších aplikací stochastického po tu v teorii financí. Tato práce se snažila nastínit základní principy tohoto matematického nástroje a citlivost na vstupní parametry modelu. M žeme jen doufat, že finan ní deriváty budou co nejd íve zavedeny i na našem trhu, kde pak bude možné podrobn ji ov it i Black-Scholes v model.

- 84 -

9. Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]

And l, J.: Matematická statistika. Praha, SNTL, 1985 Arlt J.: Moderní metody modelování ekonomických asových ad. Praha, Grada Publishing, 1999 Arlt J.,Radkovský Š: Význam modelování a p edpovídání volatility asových ad pro tvorbu m nové politiky centrální banky. Praha, VP .13, 1999 Arltová M., Matuš M., Kozák J.: Statgraphics Plus for Windows. Praha, VŠE, 2000 Bakytová H., Hátle J., Novák I., Ugron M.: Statistická indukce pro ekonomy. Praha, SNTL, 1986 B hounek J.: Analýza vývoje burzovního indexu PX50, technická a fundamentální analýza akcií na BCPP. Praha, VŠE-diplomová práce, 1999 Black F., Scholes M.S.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Polical Economy, Vol.81, 1973, str.637-654 Blatná D.: Neparametrické metody. Praha, VŠE, 1996 Borovi ka J.: Binomické stromy s nekonstantní volatilitou pro oce ování opcí na akcie a jejich ov ení na sv tových trzích. Praha, VŠE-diplomová práce, 2001 Brada J.: Teorie portfolia. Praha,VŠE,1996 Cipra T.: Analýza asových ad s aplikacemi v ekonomii. Praha, SNTL, 1986 Cipra T.: Finan ní matematika v praxi. Praha. HZ, 1994 Cipra T.: Pojistná matematika: Teorie a praxe. Praha, Ekopress, 1999 Cipra T.: Pojistná matematika v praxi. Praha, HZ, 1994 Cipra T.: Praktický pr vodce finan ní a pojistnou matematikou. Praha, HZ, 1995 Cox J.C., Ross S.A.: The Relation between Forward Prices and Future Prices. Journal of Financial Economics, 9 , 1981, str. 321-346 ermák V.: Diskrétní a spojitá rozd lení vzorce, grafy, tabulky. Praha, VŠE, 1993 ihák P.: P edpovídání volatility prost ednictvím GARCH (aplikace na eský kapitálový trh). Praha, VŠE, 2000 Dlouhý M.: Metody hodnocení efektivity nemocnic. Praha, VŠE – doktorská práce, 1999 Draper N., Smith H.: Applied Regression Analysis. New York, Wiley Interscience, 1981 Fiorentini G., Leon A.., Rubio G.: Short-Term Options with Stochastic Volatility: Estimation and Empirical Performance. Bilbao, Universidad del Pais Vasco, 1998 Generace. Praha, GE Capital, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 Goldfeld S.M., Quandt R.E.: Nonlinear Methods in Econometrics. London, North Holland Publishing Company, 1972 Haug E.G.: Option Pricing Formulas The Complete Guide. New York, McGraw-Hill Trade, 1997 Hebák P., Hustopecký J.: Vícerozm rné statistické metody s aplikacemi. Praha, SNTL, 1987 Hebák P., Kahounová J.: Po et pravd podobnosti v p íkladech. Praha, SNTL, 1988 Heston S.L.: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 1993, Volume 6, number 2, pp. 327-343 Hindls R., Ka oková J., Novák I.: Statistické metody. Praha, VŠE, 1995 Chaudhury M, Wei J.Z.: A Comparative Study of GARCH(1,1) and Black-Scholes Prices. Montreal, McGill University, 1996 Jarošová E.: Navrhování experiment . Praha, VŠE, 1998 Jílek J.: Termínované a op ní obchody. Praha, Grada, 1995 Kohout P.: Nobelova cena za ekonomii 1997 - oce ování opcí. 2.seminá eské spole nosti ekonomické, 1998 Kozák J., Hindls R., Arlt J.: Úvod do analýzy ekonomických asových ad. Praha, VŠE, 1994 Kubín R.: Matematický p ístup k oce ování opcí-Lévyho procesy, Itoova formule,

- 85 -

[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48]

Girsanova v ta, Hyperbolické rozd lení a Esscherova transformace. Praha, VŠE – diplomová práce, 2001 Lamourex Ch. G., Lastrapes W. D.: Forecasting Stock-Return Variance:Toward an Understanding of Stochastic Implied Volatilities.The Review of Financial Studies, Volume 6, number 2, pp 293 –326, 1993 Lébl M.: Akciové analýzy. Praha, 2000 Likeš, Cyhelský, Hindls R.: Úvod do statistiky a pravd podobnosti. Praha, VŠE, 1994 Málek, J.: Opce a futures. Praha, VŠE, 1998. Málek, J.: Opce a futures. Praha, VŠE, 2003. Marek L.: Statistika v SPSS asové ady. Praha, VŠE, 1995 Pražák P.: Oce ování op ních kontrakt . Praha, ZU – Sborník vystoupení doktorand , 2002 Seger J.:Statistické metody pro ekonomy pr myslu. Praha, SNTL, 1988 Sla álek J.: Black-Scholes v model oce ování opcí. Praha, Finance a úv r, .2, 2000 Shreve S.: Stochastic Calculus and Finance. Carnegie Mellon University, 1997 Sborník FIS. Praha, VŠE, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 Stein E.M., Stein J.C.: Stock Price distibutions with Stochastic Volatility: An Analytic Approach. The Review of Financial Studies, 1991, Volume 4, number 4, pp. 727-752 Šiman M.: GARCH modely a v ci související - diplomová práce. Praha, MFF UK, 2002 Voit J.: The Statistical Mechanics of Financial Market. Berlin, Springer-Verlag, 2001

www zdroje

Chicago Board of Exchange. http://www.cboe.com International Journal of Theoretical and Applied Finance. http://www.wspc.com.sg/journals/ijtaf/ Journal of Banking and Finance. http://www.elsevier.nl/inca/publications/store/ Journal of Empirical. http://www.elsevier.nl/homepage/sae/econbase/empfin/menu.htm Kolmogorov-Smirnov Goodness-of-Fit test. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section4/eda43.htm London International Financial Futures and Options Exchange. http://www.liffe.com New York Stock Exchange. http://www.nyse.com QuantitativeFinance. http://www.iop.org/Journals/qf/ Statistics, Mathematics Information Newsletter. http://www.daa.com.au Statsoft Glossary. http://www.statsoft.com/textbook/

- 86 -

10. p ílohy 10.1. P íloha I.: trochu ísel k General Electric General Electric Company 3135 Easton Turnpike Fairfield, CT 06431 Phone: (203 ) 373-2211 Fax: (203 ) 373-3131 Employees: 310,000 (12/31/2001) Market Cap (Mil) $ : 223,699.83 Complete Financials: Sep 2002 P edstavenstvo: Jeffrey Immelt, Chmn./CEO, Dennis Dammerman, Vice Chmn., Robert Wright, Vice Chmn., Gary Rogers, Vice Chmn., Keith Sherin, CFO/Sr. VP-Fin. Price and Volume Sector: CONGLO Industry: CONGLM Currency: USD Bid: N/A Ask: N/A Yield: 3.25 Today's volume (000's): 8,496 Average Daily Volume (Mil) §: 21.52 Beta: 1.051 Div Per Share: 0.76 Ex-Div Date: 26 FEB 2003 Div Pay Date: 25 APR 2003 Last Trade: Feb 20, 2003 12:16 PM ET Gross Margin% (ttm): 60.44 Operating Margin% (ttm): 16.29 Profit Margin% (ttm): 11.491 P/E (prev. Close): 15.46 Market Cap (Mil): 232,357.250 Earnings/Share: 1.51 Key Ratios & Statistics Price & Volume Valuation Ratios Recent Price $ 22.48 Price/Earnings (TTM) 52 Week High $ 41.84 Price/Sales (TTM) 52 Week Low $ 21.30 Price/Book (MRQ) Avg Daily Vol (Mil) 22.61 Price/Cash Flow (TTM) Beta 1.V Per Share Data Share Related Items Earnings (TTM) $ Mkt. Cap. (Mil) $ 223,699.83 Sales (TTM) $ Shares Out (Mil) 9,951.06 Book Value (MRQ) $ Float (Mil) 9,851.60 Cash Flow (TTM) $ Dividend Information Cash (MRQ) $ Yield % III.38 Mgmt Effectiveness Annual Dividend 0.76 Return on Equity (TTM) Payout Ratio (TTM) % 47.37 Return on Assets (TTM) Financial Strength Return on Investment (TTM) Quick Ratio (MRQ) NM Profitability Current Ratio (MRQ) NM Gross Margin (TTM) % LT Debt/Equity (MRQ) II.15 Operating Margin (TTM) % Total Debt/Equity (MRQ) IV.25 Profit Margin (TTM) % Mil = Millions MRQ = Most Recent Quarter TTM = Trailing Twelve Months Asterisks (*) Indicates numbers are derived from Earnings Announcements Pricing and volume data as of 02/14/2003

- 87 -

14.88* 1.71* III.59 X.23 1.51* 13.14* VI.26 II.20 1.XII 26.21* II.89 8.35* 60.44 16.29 11.49*

10.2. P íloha II.: trochu ísel k IBM Int'l Business Machines Corp. One New Orchard Road Armonk, NY 10504 Phone: (914 ) 499-1900 Fax: (914 ) 765-6021 Employees: 319,876 (12/31/2001) Market Cap (Mil) $ : 130,897.47 Complete Financials: Dec 2002 p edstavenstvo: Samuel J. Palmisano, Chmn./Pres./CEO, Lawrence R. Ricciardi, Sr. VP/Counsel, Daniel E. O'Donnell, VP/Secy.. Price and Volume Sector: TECHNO Industry: CMPTRS Currency: USD Bid: N/A Ask: N/A Yield: 0.75 Today's volume (000's): 3,203 Average Daily Volume (Mil) $: 7.84 Beta: 1.473 Div Per Share: 0.60 Ex-Div Date: 06 FEB 2003 Div Pay Date: 10 MAR 2003 Last Trade: Feb 20, 2003 12:18 PM ET Gross Margin% (ttm): 37.302 Operating Margin% (ttm): 8.371 Profit Margin% (ttm): 6.57 P/E (prev. Close): 25.90 Market Cap (Mil): 134,379.062 Earnings/Share: 3.07 Key Ratios & Statistics Price & Volume Valuation Ratios Recent Price $ 77.45 Price/Earnings (TTM) 52 Week High $ 108.85 Price/Sales (TTM) 52 Week Low $ 54.01 Price/Book (MRQ) Avg Daily Vol (Mil) VIII.24 Price/Cash Flow (TTM) Beta I.47 Per Share Data Share Related Items Earnings (TTM) $ Mkt. Cap. (Mil) $ 130,897.47 Sales (TTM) $ Shares Out (Mil) 1,690.09 Book Value (MRQ) $ Float (Mil) 1,673.20 Cash Flow (TTM) $ Dividend Information Cash (MRQ) $ Yield % 0.78 Mgmt Effectiveness Annual Dividend 0.60 Return on Equity (TTM) Payout Ratio (TTM) % 14.IV Return on Assets (TTM) Financial Strength Return on Investment (TTM) Quick Ratio (MRQ) I.21 Profitability Current Ratio (MRQ) I.21 Gross Margin (TTM) % LT Debt/Equity (MRQ) 0.88 Operating Margin (TTM) % Total Debt/Equity (MRQ) I.14 Profit Margin (TTM) % Mil = Millions MRQ = Most Recent Quarter TTM = Trailing Twelve Months Asterisks (*) Indicates numbers are derived from Earnings Announcements Pricing and volume data as of 02/14/2003

10.3. P íloha III.: výsledky experimentu pro GE, kupní evropská opce

- 88 -

25.20 I.65 V.88 25.13 3.VII 46.90 13.17 3.VIII III.46 23.62 6.XII IX.75 37.30 VIII.37 VI.57

Tab.10.1.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 1, S = 23,01, σ2 = 0,116245 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 8,01 8,02 8,09 8,21 8,42 9,22

5,51 5,53 5,72 6,00 6,38 7,49

3,01 3,10 3,66 4,14 4,67 6,03

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,61 1,19 2,10 2,70 3,32 4,82

0,00 0,27 1,08 1,67 2,30 3,83

0,00 0,04 0,51 1,00 1,56 3,04

0,00 0,00 0,22 0,57 1,05 2,41

0,00 0,00 0,09 0,32 0,69 1,91

0,00 0,00 0,04 0,18 0,45 1,51

0,00 0,00 0,01 0,10 0,30 1,19

0,00 0,00 0,00 0,05 0,19 0,95

35 0,00 0,00 0,28 0,78 1,47 3,43

37,5 0,00 0,00 0,17 0,56 1,16 3,02

40 0,00 0,00 0,10 0,40 0,92 2,66

Tab.10.2.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 2, S = 23,01 , σ2 = 0,253825 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 8,01 5,51 3,01 8,03 5,56 3,31 8,23 6,11 4,32 8,57 6,67 5,08 9,03 7,31 5,87 10,37 8,97 7,77

22,5 0,72 1,61 2,94 3,80 4,69 6,74

25 0,02 0,63 1,93 2,81 3,72 5,86

27,5 0,00 0,20 1,23 2,06 2,95 5,11

30 0,00 0,05 0,77 1,50 2,34 4,46

32,5 0,00 0,01 0,47 1,08 1,85 3,91

Tab.10.3.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 3, S = 23,01 , σ2 = 0,398357 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 8,01 5,51 3,01 8,04 5,64 3,53 8,46 6,51 4,89 8,99 7,28 5,84 9,65 8,12 6,83 11,38 10,17 9,12

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,82 1,95 3,60 4,66 5,74 8,20

0,05 0,95 2,60 3,70 4,83 7,40

0,00 0,41 1,86 2,94 4,07 6,70

0,00 0,16 1,32 2,32 3,43 6,08

0,00 0,06 0,93 1,84 2,90 5,53

0,00 0,02 0,65 1,46 2,45 5,04

0,00 0,01 0,45 1,16 2,08 4,61

0,00 0,00 0,32 0,92 1,77 4,22

Tab.10.4.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 4, S = 23,01, σ2 = 0,291765 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 8,01 5,51 3,01 8,03 5,58 3,37 8,29 6,21 4,48 8,68 6,84 5,29 9,20 7,54 6,15 10,65 9,31 8,16

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,75 1,71 3,13 4,05 4,99 7,17

0,02 0,72 2,12 3,07 4,04 6,31

0,00 0,26 1,41 2,31 3,27 5,57

0,00 0,08 0,92 1,73 2,65 4,93

0,00 0,02 0,59 1,29 2,14 4,37

0,00 0,01 0,37 0,96 1,74 3,89

0,00 0,00 0,24 0,71 1,41 3,47

0,00 0,00 0,15 0,53 1,15 3,10

Tab.10.5.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 5, S = 23,01, σ2 = 0,131237 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 8,01 8,02 8,10 8,24 8,48 9,36

5,51 5,53 5,76 6,08 6,49 7,68

3,01 3,12 3,74 4,26 4,82 6,26

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,62 1,25 2,21 2,84 3,50 5,07

0,00 0,32 1,19 1,82 2,49 4,10

0,00 0,05 0,59 1,13 1,74 3,31

0,00 0,01 0,28 0,68 1,20 2,67

0,00 0,00 0,12 0,40 0,82 2,16

0,00 0,00 0,05 0,23 0,56 1,74

0,00 0,00 0,02 0,13 0,38 1,41

0,00 0,00 0,01 0,08 0,26 1,14

Tab.10.6.: vypo ítaná cena kupní opce, , model BS 6, S = 23,01, σ2 = 0,116245881, D = 0,76 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r 0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20 8,01 5,51 3,01 8,02 5,53 3,10 7,34 5,02 3,07 7,48 5,34 3,58 7,72 5,74 4,12 8,57 6,89 5,50

22,5 0,61 1,19 1,67 2,26 2,87 4,35

25 0,00 0,27 0,82 1,36 1,95 3,43

- 89 -

27,5 0,00 0,04 0,36 0,79 1,30 2,70

30 0,00 0,00 0,15 0,44 0,86 2,12

32,5 0,00 0,00 0,06 0,24 0,56 1,66

35 0,00 0,00 0,02 0,13 0,36 1,31

37,5 0,00 0,00 0,01 0,07 0,23 1,03

40 0,00 0,00 0,00 0,03 0,15 0,81

Tab.10.7.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 7, S = 23,01, σ2 = 0,253825, D = 0,76 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,01

5,51

3,01

0,72

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8,03

5,56

3,31

1,61

0,63

0,20

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

7,52

5,46

3,78

2,51

1,60

1,00

0,61

0,36

0,21

0,13

0,07

7,89

6,05

4,55

3,36

2,45

1,77

1,27

0,91

0,64

0,46

0,33

8,37

6,72

5,34

4,22

3,33

2,62

2,05

1,61

1,27

1,00

0,79

9,75

8,40

7,24

6,26

5,42

4,70

4,09

3,57

3,13

2,74

2,41

Tab.10.8.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 8, S = 23,01, σ = 0,398357, D = 0,76 2

τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,01

5,51

3,01

0,82

0,05

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8,04

5,64

3,53

1,95

0,95

0,41

0,16

0,06

0,02

0,01

0,00

7,77

5,89

4,35

3,15

2,25

1,58

1,10

0,77

0,53

0,37

0,25

8,33

6,68

5,31

4,20

3,31

2,60

2,04

1,61

1,26

1,00

0,79

9,01

7,54

6,30

5,26

4,40

3,69

3,09

2,60

2,19

1,86

1,57

10,76

9,59

8,57

7,69

6,92

6,25

5,66

5,14

4,68

4,27

3,90

Tab.10.9.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 9, S = 23,01, σ = 0,291765, D = 0,76 2

τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,01

5,51

3,01

0,75

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8,03

5,58

3,37

1,71

0,72

0,26

0,08

0,02

0,01

0,00

0,00

7,58

5,58

3,94

2,69

1,79

1,16

0,74

0,47

0,29

0,18

0,11

8,01

6,23

4,76

3,60

2,69

2,00

1,48

1,09

0,81

0,59

0,44

8,55

6,95

5,62

4,52

3,64

2,92

2,35

1,89

1,52

1,23

0,99

10,03

8,74

7,62

6,67

5,85

5,15

4,54

4,02

3,56

3,17

2,82

Tab.10.10.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 10, S = 23,01, σ = 0,131237, D = 0,76 2

τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,01

5,51

3,01

0,62

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

8,02

5,53

3,12

1,25

0,32

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

7,35

5,07

3,16

1,78

0,92

0,44

0,19

0,08

0,03

0,01

0,01

7,52

5,42

3,70

2,41

1,50

0,91

0,53

0,31

0,17

0,10

0,05

7,79

5,86

4,28

3,05

2,13

1,47

1,00

0,67

0,45

0,30

0,20

8,71

7,09

5,73

4,61

3,70

2,96

2,37

1,90

1,52

1,23

0,99

Tab.10.11.: vypo ítaná cena kupní opce, model MC 11, S = 23,01 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,01

5,51

3,01

0,51

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7,99

5,49

3,00

0,50

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7,84

5,35

2,86

0,61

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

7,53

5,04

2,60

0,72

0,07

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

6,81

4,36

2,18

0,77

0,19

0,03

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

3,89

2,30

1,26

0,63

0,30

0,14

0,06

0,03

0,01

0,00

0,00

Tab.10.12.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 12, S = 23,01 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

8,01 8,03 8,45 8,98 9,64 11,37

0,77 1,91 3,58 4,65 5,73 8,20

0,03 0,91 2,58 3,69 4,82 7,39

0,00 0,39 1,84 2,92 4,05 6,69

0,00 0,15 1,30 2,31 3,42 6,07

0,00 0,05 0,91 1,83 2,89 5,52

0,00 0,02 0,64 1,45 2,44 5,03

0,00 0,01 0,44 1,15 2,07 4,60

0,00 0,00 0,31 0,91 1,76 4,22

5,51 5,63 6,50 7,27 8,12 10,16

3,01 3,50 4,87 5,83 6,82 9,11

- 90 -

10.4. P íloha IV.: výsledky experimentu pro GE, prodejní evropská opce Tab.10.13.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 1, S = 23,01, σ2 = 0,116245 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,14 0,09 0,37 0,24 0,68 0,75 1,44

20 0,00 0,07 0,57 0,99 1,44 2,40

22,5 0,10 0,66 1,50 2,03 2,56 3,62

25 1,99 2,24 2,98 3,49 4,01 5,05

27,5 4,49 4,50 4,89 5,30 5,75 6,68

30 32,5 6,99 9,49 6,96 9,46 7,10 9,45 7,36 9,59 7,71 9,82 8,47 10,39

35 11,99 11,96 11,89 11,93 12,06 12,42

37,5 14,49 14,45 14,36 14,33 14,37 14,53

40 16,99 16,95 16,84 16,76 16,74 16,70

Tab.10.14.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 2, S = 23,01, σ2 = 0,253825 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 0,00 0,00 0,16 0,46 0,85 1,90

0,00 0,04 0,53 1,04 1,61 2,93

0,00 0,28 1,24 1,93 2,64 4,15

22,5

25

0,21 1,08 2,34 3,14 3,93 5,54

2,00 2,60 3,82 4,63 5,44 7,08

27,5

30

4,49 6,99 4,67 7,02 5,61 7,64 6,36 8,28 7,14 9,00 8,75 10,53

32,5

35

37,5

40

9,49 9,47 9,83 10,35 10,98 12,40

11,99 11,96 12,14 12,53 13,07 14,34

14,49 14,45 14,51 14,79 15,24 16,35

16,99 16,95 16,93 17,12 17,47 18,42

35 11,99 11,98 12,50 13,21 14,06 15,95

37,5 14,49 14,46 14,80 15,39 16,16 17,94

40 16,99 16,95 17,15 17,63 18,32 19,98

Tab.10.15.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 3, S = 23,01, σ2 = 0,398357 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 0,00 0,00 0,01 0,11 0,39 0,93 0,88 1,65 1,47 2,42 2,90 4,12

20 0,00 0,50 1,80 2,69 3,60 5,49

22,5 0,30 1,41 3,00 4,00 4,98 7,00

25 27,5 2,03 4,49 2,91 4,87 4,49 6,24 5,52 7,24 6,54 8,25 8,62 10,34

30 6,99 7,12 8,19 9,11 10,09 12,14

32,5 9,49 9,52 10,29 11,11 12,03 14,02

Tab.10.16.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 4, S = 23,01, σ2 = 0,291765 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20 0,00 0,00 0,22 0,57 1,02 2,18

0,00 0,05 0,64 1,20 1,84 3,27

0,00 0,34 1,40 2,15 2,92 4,53

22,5

25

0,23 1,18 2,53 3,38 4,23 5,96

2,01 2,69 4,01 4,88 5,75 7,53

27,5

30

4,49 6,99 4,72 7,04 5,79 7,79 6,61 8,51 7,46 9,30 9,21 10,99

32,5

35

37,5

40

9,49 9,48 9,95 10,55 11,27 12,86

11,99 11,96 12,23 12,71 13,34 14,80

14,49 14,45 14,58 14,95 15,49 16,80

16,99 16,95 16,98 17,25 17,70 18,85

35 11,99 11,96 11,91 11,98 12,17 12,65

37,5 14,49 14,45 14,37 14,36 14,46 14,74

40 16,99 16,95 16,84 16,79 16,81 16,90

Tab.10.17.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 5, S = 23,01 , σ2 = 0,131237 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03 0,18 0,13 0,45 0,31 0,79 0,88 1,63

20 0,00 0,10 0,65 1,11 1,59 2,63

22,5 0,11 0,71 1,61 2,18 2,74 3,87

25 1,99 2,28 3,08 3,64 4,20 5,32

27,5 4,49 4,51 4,98 5,43 5,93 6,95

30 32,5 6,99 9,49 6,97 9,46 7,15 9,49 7,46 9,67 7,86 9,96 8,74 10,64

Tab.10.18.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 6, S = 23,01, σ2 = 0,116245, D = 0,76 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,00

0,00

0,00

0,10

1,99

4,49

6,99

9,49

11,99

14,49

16,99

0,00

0,00

0,07

0,66

2,24

4,50

6,96

9,46

11,96

14,45

16,95

0,03

0,20

0,74

1,83

3,47

5,51

7,78

10,18

12,63

15,11

17,60

0,13

0,47

1,19

2,36

3,94

5,84

7,98

10,26

12,63

15,06

17,51

0,30

0,80

1,65

2,87

4,43

6,25

8,27

10,45

12,72

15,06

17,45

0,84

1,59

2,62

3,90

5,40

7,09

8,93

10,90

12,96

15,11

17,31

- 91 -

Tab.10.19.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 7, S = 23,01, σ2 = 0,253825, D = 0,76 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,00

0,00

0,00

0,21

2,00

4,49

6,99

9,49

11,99

14,49

16,99

0,00

0,04

0,28

1,08

2,60

4,67

7,02

9,47

11,96

14,45

16,95

0,21

0,64

1,45

2,67

4,26

6,14

8,24

10,48

12,83

15,23

17,67

0,53

1,18

2,16

3,45

5,02

6,83

8,81

10,93

13,15

15,45

17,80

0,95

1,77

2,87

4,22

5,80

7,56

9,47

11,50

13,63

15,83

18,10

2,02

3,09

4,36

5,80

7,38

9,09

10,90

12,81

14,78

16,82

18,91

Tab.10.20.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 8, S = 23,01, σ = 0,398357, D = 0,76 2

τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,00

0,00

0,00

0,30

2,03

4,49

6,99

9,49

11,99

14,49

16,99

0,01

0,11

0,50

1,41

2,91

4,87

7,12

9,52

11,98

14,46

16,95

0,46

1,07

2,03

3,31

4,90

6,72

8,74

10,89

13,14

15,47

17,84

0,98

1,81

2,93

4,29

5,89

7,66

9,58

11,63

13,77

15,98

18,26

1,59

2,59

3,83

5,26

6,87

8,63

10,51

12,49

14,56

16,69

18,88

3,03

4,28

5,69

7,23

8,89

10,64

12,47

14,37

16,33

18,35

20,41

Tab.10.21.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 9, S = 23,01, σ = 0,291765, D = 0,76 2

τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,00

0,00

0,00

0,23

2,01

4,49

6,99

9,49

11,99

14,49

16,99

0,00

0,05

0,34

1,18

2,69

4,72

7,04

9,48

11,96

14,45

16,95

0,27

0,76

1,61

2,85

4,44

6,30

8,37

10,59

12,90

15,28

17,70

0,65

1,36

2,37

3,69

5,27

7,06

9,02

11,12

13,31

15,58

17,91

1,13

2,00

3,14

4,52

6,11

7,86

9,76

11,78

13,88

16,06

18,30

2,31

3,43

4,74

6,21

7,82

9,54

11,35

13,25

15,22

17,25

19,33

Tab.10.22.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 10, S = 23,01, σ = 0,131237, D = 0,76 2

τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

35

37,5

40

0,00

0,00

0,00

0,11

1,99

4,49

6,99

9,49

11,99

14,49

16,99

0,00

0,00

0,10

0,71

2,28

4,51

6,97

9,46

11,96

14,45

16,95

0,04

0,25

0,83

1,94

3,57

5,58

7,83

10,20

12,65

15,12

17,60

0,16

0,55

1,31

2,50

4,08

5,96

8,07

10,33

12,68

15,09

17,53

0,37

0,92

1,81

3,05

4,60

6,41

8,42

10,56

12,81

15,14

17,51

0,98

1,78

2,85

4,15

5,66

7,35

9,18

11,13

13,18

15,31

17,49

35

37,5

Tab.10.23.: vypo ítaná cena prodejní opce, model MC 11, S = 23,01 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

bazická cena (B) 15 17,5 20

22,5

25

27,5

30

32,5

0,00

0,00

0,00

0,00

1,99

4,49

6,99

9,49

11,99 14,49

16,99

40

0,00

0,00

0,00

0,00

2,00

4,50

6,99

9,49

11,99 14,49

16,98

0,00

0,00

0,00

0,24

2,13

4,61

7,10

9,59

12,08 14,57

17,06

0,00

0,00

0,04

0,64

2,48

4,89

7,37

9,85

12,34 14,82

17,30

0,00

0,02

0,31

1,37

3,27

5,58

8,03

10,50

12,97 14,46

17,91

0,45

1,30

2,67

4,46

6,56

8,82

11,17 13,56

15,96 18,38

20,80

Tab.10.24.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 12, S = 23,01 τ 0,0082 0,0849 0,3342 0,5836 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

Bazická cena (B) 15 17,5 20 0,00 0,01 0,38 0,87 1,47 2,90

0,00 0,10 0,92 1,64 2,41 4,11

0,00 0,47 1,78 2,68 3,59 5,49

22,5

25

0,25 1,38 2,98 3,98 4,97 6,99

2,02 2,88 4,48 5,51 6,53 8,61

27,5

30

10.5. P íloha V.: výsledky experimentu pro IBM, kupní evropská opce

- 92 -

32,5

4,49 6,99 9,49 4,85 7,11 9,51 6,22 8,17 10,28 7,22 9,09 11,09 8,24 10,08 12,02 10,33 12,13 14,01

35

37,5

40

11,99 11,97 12,49 13,20 14,05 15,95

14,49 14,46 14,79 15,38 16,15 17,94

16,99 16,95 17,14 17,62 18,31 19,97

Tab.10.25.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 1, S = 79,04 , σ2 = 0,089145 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0116 0,0119 0,0122 0,0163

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

40

45

50

55

60

65

9,05

4,07

0,47

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,08 34,08 29,09 24,09 19,10 14,13

9,34

5,22

2,34

0,82

0,22

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,12 34,12 29,13 24,15 19,18 14,34

9,88

6,14

3,41

1,68

0,74

0,29

0,10

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

39,24 34,26 29,31 24,44 19,75 15,39 11,55

8,32

5,77

3,85

2,48

1,55

0,94

0,56

0,32

0,18

0,10

0,06

39,52 34,67 29,96 25,47 21,30 17,52 14,19 11,32

8,91

6,94

5,34

4,07

3,08

2,31

1,72

1,28

0,95

0,70

40,67 36,24 32,06 28,16 24,59 21,35 18,45 15,88 13,62 11,64

9,93

8,45

7,18

6,10

5,17

4,38

3,71

3,14

Tab.10.26.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 2, S = 79,04 , σ2 = 0,278702 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,05

4,30

1,09

0,11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,08 34,08 29,09 24,12 19,25 14,63 10,49

7,06

4,45

2,62

1,46

0,76

0,38

0,18

0,08

0,04

0,02

0,01

39,27 34,44 29,77 25,37 21,31 17,64 14,42 11,65

9,31

7,36

5,78

4,50

3,48

2,68

2,05

1,56

1,19

0,90

39,72 35,19 30,92 26,97 23,36 20,11 17,22 14,68 12,46 10,54

8,90

7,49

6,30

5,29

4,43

3,71

3,11

2,60

40,55 36,39 32,52 28,96 25,71 22,78 20,14 17,78 15,68 13,82 12,17 10,72

9,43

8,31

7,32

6,44

5,68

5,01

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

43,69 40,30 37,17 34,30 31,66 29,24 27,03 25,00 23,14 21,44 19,88 18,45 17,13 15,93 14,82 13,80 12,86 12,00

Tab.10.27.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 3, S = 79,04, σ2 = 0,430612 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,08

4,52

1,45

0,26

0,03

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,08 34,09 29,12 24,23 19,53 15,18 11,35

8,15

5,62

3,74

2,40

1,49

0,90

0,53

0,31

0,17

0,10

0,05

39,49 34,88 30,51 26,45 22,74 19,40 16,44 13,86 11,62

9,70

8,07

6,69

5,53

4,57

3,77

3,10

2,55

2,10

40,39 36,21 32,33 28,76 25,51 22,57 19,93 17,57 15,48 13,62 11,98 10,54

9,27

8,15

7,17

6,30

5,55

4,89

41,78 38,04 34,59 31,42 28,53 25,90 23,51 21,35 19,39 17,62 16,02 14,57 13,26 12,08 11,01 10,05

9,18

8,39

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

46,16 43,24 40,55 38,07 35,78 33,67 31,72 29,92 28,25 26,70 25,26 23,92 22,67 21,51 20,42 19,41 18,46 17,57

Tab.10.28.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 4, S = 79,04, σ2 = 0,282355 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,05

4,31

1,10

0,11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,08 34,08 29,09 24,13 19,26 14,64 10,51

7,09

4,48

2,65

1,48

0,78

0,39

0,19

0,09

0,04

0,02

0,01

39,27 34,45 29,79 25,40 21,34 17,69 14,48 11,71

9,37

7,43

5,84

4,56

3,53

2,73

2,09

1,60

1,22

0,93

39,73 35,21 30,96 27,01 23,41 20,17 17,29 14,75 12,54 10,63

8,98

7,57

6,38

5,36

4,50

3,78

3,17

2,66

40,58 36,43 32,57 29,02 25,79 22,86 20,23 17,88 15,78 13,92 12,27 10,82

9,54

8,41

7,41

6,54

5,77

5,09

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

43,75 40,37 37,26 34,40 31,77 29,36 27,16 25,13 23,28 21,58 20,02 18,60 17,28 16,08 14,97 13,95 13,01 12,14

Tab.10.29.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 5, S = 79,04, σ2 = 0,091099 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

40

45

50

55

60

65

9,05

4,07

0,47

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,08 34,08 29,09 24,09 19,10 14,13

9,35

5,24

2,37

0,84

0,24

0,05

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,20 34,22 29,25 24,33 19,55 15,08 11,10

7,79

5,20

3,31

2,02

1,18

0,67

0,36

0,19

0,10

0,05

0,02

39,32 34,38 29,50 24,77 20,29 16,20 12,60

9,56

7,07

5,12

3,63

2,52

1,73

1,16

0,78

0,51

0,33

0,22

39,52 34,68 29,98 25,50 21,35 17,58 14,27 11,41

9,01

7,03

5,43

4,16

3,16

2,38

1,78

1,33

0,99

0,73

40,69 36,28 32,11 28,23 24,68 21,46 18,57 16,01 13,75 11,78 10,07

8,59

7,32

6,23

5,30

4,50

3,82

3,24

Tab.10.30.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 6, S = 79,04 , σ = 0,089145003, D = 0,6 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0116 0,0119 0,0122 0,0163

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

40

45

50

55

60

65

9,05

4,07

0,47

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,48 33,48 28,49 23,49 18,50 13,54

8,79

4,78

2,07

0,70

0,18

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,52 33,52 28,53 23,55 18,59 13,77

9,36

5,73

3,12

1,51

0,65

0,25

0,09

0,03

0,01

0,00

0,00

0,00

38,64 33,66 28,72 23,85 19,18 14,87 11,08

7,93

5,46

3,62

2,31

1,44

0,86

0,51

0,29

0,16

0,09

0,05

38,92 34,08 29,38 24,91 20,77 17,04 13,75 10,94

8,58

6,66

5,11

3,88

2,92

2,19

1,63

1,20

0,89

0,65

40,09 35,68 31,52 27,65 24,10 20,89 18,03 15,49 13,26 11,32

9,64

8,20

6,96

5,90

4,99

4,23

3,57

3,02

- 93 -

Tab.10.31.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 7, S = 79,04 , σ2 = 0,278702, D = 0,6 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,05

4,30

1,09

0,11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,48 33,49 28,49 23,53 18,67 14,08 10,01

6,67

4,15

2,42

1,33

0,69

0,34

0,16

0,07

0,03

0,01

0,01

38,67 33,85 29,20 24,82 20,79 17,17 14,00 11,27

8,98

7,08

5,54

4,30

3,32

2,55

1,95

1,48

1,12

0,85

39,13 34,62 30,38 26,45 22,87 19,66 16,80 14,30 12,12 10,24

8,63

7,25

6,09

5,10

4,27

3,57

2,99

2,50

39,98 35,84 31,99 28,45 25,24 22,33 19,72 17,39 15,32 13,49 11,87 10,44

9,18

8,08

7,11

6,26

5,51

4,85

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

43,15 39,78 36,67 33,82 31,20 28,80 26,61 24,60 22,76 21,07 19,53 18,12 16,82 15,63 14,54 13,53 12,61 11,75

Tab.10.32.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 8, S = 79,04 , σ2 = 0,430612, D = 0,6 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,08

4,52

1,45

0,26

0,03

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,48 33,49 28,53 23,65 18,97 14,66 10,89

7,77

5,32

3,51

2,24

1,38

0,83

0,48

0,28

0,16

0,09

0,05

38,91 34,30 29,96 25,92 22,24 18,95 16,03 13,48 11,28

9,40

7,80

6,46

5,33

4,40

3,62

2,97

2,44

2,00

39,82 35,66 31,80 28,26 25,03 22,12 19,52 17,19 15,13 13,30 11,68 10,26

9,02

7,92

6,96

6,12

5,38

4,73

41,23 37,50 34,07 30,93 28,06 25,46 23,09 20,95 19,02 17,27 15,69 14,26 12,98 11,81 10,76

9,81

8,96

8,18

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

45,63 42,73 40,05 37,59 35,32 33,23 31,29 29,50 27,85 26,31 24,88 23,56 22,32 21,17 20,10 19,09 18,16 17,28

Tab.10.33.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 9, S = 79,04 , σ2 = 0,282355, D = 0,6 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,05

4,31

1,10

0,11

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,48 33,49 28,49 23,53 18,68 14,10 10,03

6,70

4,18

2,45

1,35

0,70

0,35

0,16

0,07

0,03

0,01

0,01

38,68 33,86 29,22 24,85 20,83 17,22 14,05 11,33

9,04

7,15

5,60

4,36

3,37

2,59

1,99

1,51

1,15

0,87

39,15 34,65 30,41 26,50 22,93 19,72 16,87 14,38 12,20 10,32

8,71

7,33

6,16

5,17

4,34

3,64

3,04

2,55

40,01 35,88 32,04 28,52 25,31 22,41 19,81 17,49 15,42 13,59 11,97 10,54

9,28

8,18

7,20

6,35

5,60

4,94

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

43,21 39,85 36,76 33,92 31,31 28,92 26,73 24,73 22,90 21,22 19,68 18,26 16,97 15,78 14,69 13,68 12,75 11,90

Tab.10.34.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 10, S = 79,04 , σ2 = 0,091099, D = 0,6 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

40

45

50

55

60

65

9,05

4,07

0,47

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,48 33,48 28,49 23,49 18,50 13,54

8,80

4,80

2,10

0,72

0,19

0,04

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,60 33,62 28,65 23,74 18,98 14,55 10,63

7,40

4,90

3,09

1,86

1,08

0,60

0,33

0,17

0,09

0,04

0,02

38,72 33,78 28,91 24,19 19,75 15,70 12,16

9,17

6,75

4,86

3,43

2,37

1,62

1,08

0,72

0,47

0,31

0,20

38,93 34,09 29,40 24,95 20,82 17,10 13,83 11,03

8,68

6,75

5,20

3,97

3,00

2,26

1,69

1,25

0,93

0,68

40,12 35,72 31,57 27,72 24,19 21,00 18,15 15,62 13,40 11,46

9,79

8,34

7,09

6,03

5,12

4,34

3,68

3,12

Tab.10.35.: vypo ítaná cena kupní opce, model MC 11, S = 79,04 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

39,04 34,04 29,04 24,04 19,04 14,04

40

45

50

55

60

9,04

4,04

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,99 33,99 29,00 24,00 19,01 14,01

9,02

4,02

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,90 33,90 28,91 23,92 18,93 13,94

8,95

3,96

0,12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

38,31 33,33 28,36 23,38 18,41 13,43

8,46

3,64

0,59

0,02

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

36,15 31,20 26,26 21,31 16,37 11,47

6,91

3,31

1,20

0,32

0,07

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

27,72 22,90 18,19 13,74

4,07

2,39

1,33

0,70

0,36

0,18

0,09

0,04

0,02

0,01

0,00

0,00

9,78

65

6,52

Tab.10.36.: vypo ítaná cena kupní opce, model BS 12, S = 79,04 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105 110 115 120 125

9,06

4,35

1,18

0,14

0,01

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

39,08 34,09 29,10 24,17 19,39 14,93 10,97

7,68

5,13

3,26

1,99

1,16

0,66

0,36

0,19

0,10

0,05

0,02

39,42 34,75 30,31 26,17 22,38 18,98 15,97 13,34 11,08

9,15

7,53

6,17

5,04

4,10

3,34

2,71

2,19

1,78

40,42 36,26 32,39 28,83 25,60 22,67 20,04 17,69 15,60 13,75 12,11 10,66

9,39

8,27

7,28

6,42

5,66

4,99

42,05 38,38 35,00 31,89 29,06 26,48 24,13 22,00 20,07 18,31 16,72 15,28 13,98 12,79 11,72 10,74

9,85

9,05

39,04 34,04 29,04 24,05 19,05 14,05

46,82 44,00 41,40 39,01 36,80 34,76 32,87 31,12 29,49 27,98 26,57 25,26 24,03 22,88 21,81 20,80 19,86 18,97

- 94 -

10.6. P íloha VI.: výsledky experimentu pro IBM, prodejní evropská opce Tab.10.37.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 1, S = 79,04 , σ2 = 0,089145 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0116 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

1,42

5,95

10,95

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,23

1,10

3,22

6,70

11,10

15,91

20,87

25,86

30,85

35,85

40,84

45,84

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,18

0,70

1,96

4,22

7,48

11,53

16,07

20,88

25,80

30,76

35,75

40,74

45,73

0,00

0,00

0,03

0,13

0,42

1,04

2,16

3,92

6,34

9,40

13,01

17,05

21,42

26,01

30,75

35,58

40,48

45,41

0,04

0,14

0,37

0,82

1,59

2,76

4,37

6,45

8,99

11,96

15,31

18,98

22,93

27,11

31,47

35,97

40,58

45,28

0,39

0,81

1,48

2,43

3,70

5,31

7,25

9,53

12,11

14,98

18,12

21,49

25,06

28,82

32,74

36,80

40,97

45,25

Tab.10.38.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 2, S = 79,04 , σ = 0,278702 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,25

2,04

6,06

10,96

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,03

0,15

0,53

1,38

2,94

5,33

8,50

12,33

16,63

21,24

26,04

30,93

35,88

40,86

45,84

0,07

0,22

0,54

1,12

2,03

3,35

5,11

7,32

9,95

12,99

16,39

20,09

24,05

28,23

32,58

37,08

41,68

46,38

0,40

0,84

1,54

2,55

3,91

5,62

7,70

10,12

12,87

15,92

19,24

22,80

26,57

30,52

34,63

38,88

43,24

47,70

1,07

1,85

2,92

4,31

6,01

8,02

10,32

12,91

15,76

18,84

22,14

25,63

29,29

33,11

37,06

41,14

45,32

49,59

3,41

4,87

6,59

8,56

10,77

13,20

15,83

18,65

21,64

24,78

28,06

31,48

35,01

38,65

42,39

46,22

50,12

54,11

Tab.10.39.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 3, S = 79,04 , σ = 0,430612 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,47

2,40

6,21

10,98

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,01

0,03

0,14

0,43

1,08

2,24

4,03

6,51

9,62

13,27

17,36

21,76

26,39

31,16

36,02

40,94

45,89

0,30

0,66

1,27

2,19

3,46

5,11

7,13

9,53

12,27

15,33

18,68

22,28

26,11

30,12

34,30

38,61

43,04

47,57

1,07

1,86

2,94

4,34

6,05

8,08

10,41

13,02

15,89

19,00

22,32

25,84

29,54

33,38

37,37

41,47

45,68

49,98

2,30

3,50

4,99

6,77

8,83

11,14

13,70

16,48

19,47

22,64

25,98

29,48

33,12

36,88

40,76

44,74

48,81

52,97

5,89

7,81

9,97

12,33

14,89

17,63

20,53

23,57

26,74

30,04

33,44

36,95

40,55

44,23

47,99

51,82

55,72

59,68

Tab.10.40.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 4, S = 79,04 , σ = 0,282355 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,26

2,05

6,07

10,96

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,03

0,16

0,54

1,40

2,97

5,36

8,53

12,35

16,65

21,25

26,04

30,94

35,88

40,86

45,84

0,08

0,23

0,56

1,14

2,07

3,40

5,16

7,37

10,02

13,05

16,45

20,15

24,10

28,28

32,62

37,11

41,71

46,40

0,41

0,86

1,57

2,59

3,96

5,69

7,77

10,20

12,95

16,00

19,32

22,88

26,65

30,60

34,70

38,94

43,30

47,75

1,09

1,89

2,98

4,37

6,08

8,10

10,42

13,01

15,86

18,94

22,24

25,73

29,39

33,21

37,16

41,23

45,40

49,67

3,48

4,95

6,68

8,66

10,88

13,32

15,96

18,78

21,78

24,92

28,21

31,63

35,16

38,80

42,54

46,37

50,27

54,25

Tab.10.41.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 5, S = 79,04 , σ = 0,091099 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

1,43

5,95

10,95

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,24

1,13

3,25

6,72

11,11

15,92

20,87

25,86

30,85

35,85

40,84

45,84

0,00

0,00

0,01

0,07

0,28

0,78

1,79

3,45

5,85

8,94

12,63

16,77

21,24

25,91

30,72

35,61

40,54

45,50

0,01

0,03

0,12

0,35

0,84

1,71

3,08

5,00

7,48

10,49

13,96

17,83

22,00

26,40

30,98

35,68

40,47

45,31

0,04

0,15

0,39

0,86

1,64

2,83

4,45

6,54

9,09

12,06

15,40

19,07

23,01

27,18

31,53

36,02

40,62

45,31

0,42

0,85

1,53

2,50

3,79

5,41

7,37

9,66

12,25

15,12

18,26

21,63

25,20

28,95

32,87

36,92

41,08

45,35

Tab.10.42.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 6, S = 79,04 , σ = 0,089145003, D = 0,6 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0116 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

1,42

5,95

10,95

15,95

20,95

25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,28

1,26

3,55

7,17

11,65

16,50

21,47

26,46

31,45

36,45

41,44

46,44

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,21

0,79

2,15

4,53

7,91

12,04

16,63

21,46

26,39

31,36

36,35

41,34

46,33

0,00

0,01

0,03

0,15

0,45

1,12

2,30

4,13

6,63

9,76

13,44

17,53

21,94

26,56

31,32

36,16

41,07

46,00

0,04

0,15

0,39

0,87

1,67

2,88

4,54

6,67

9,26

12,28

15,67

19,39

23,38

27,59

31,97

36,49

41,12

45,83

0,41

0,84

1,52

2,50

3,80

5,44

7,42

9,73

12,35

15,25

18,42

21,82

25,43

29,21

33,15

37,23

41,43

45,72

- 95 -

100 105 110 115 120 125

Tab.10.43.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 7, S = 79,04 , σ2 = 0,278702, D = 0,6 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

R

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,25

2,04

6,06

10,96

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,04

0,17

0,58

1,50

3,15

5,63

8,90

12,80

17,15

21,80

26,61

31,52

36,48

41,45

46,44

0,08

0,24

0,57

1,17

2,12

3,48

5,28

7,54

10,23

13,31

16,75

20,49

24,49

28,70

33,08

37,59

42,22

46,92

0,42

0,87

1,59

2,63

4,02

5,77

7,88

10,34

13,13

16,21

19,56

23,16

26,95

30,93

35,07

39,34

43,72

48,19

1,10

1,90

3,00

4,41

6,13

8,17

10,51

13,12

16,00

19,11

22,43

25,95

29,64

33,48

37,45

41,55

45,74

50,03

3,47

4,94

6,68

8,67

10,90

13,35

16,00

18,84

21,84

25,00

28,31

31,74

35,29

38,94

42,70

46,54

50,46

54,45

Tab.10.44.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 8, S = 79,04 , σ = 0,430612, D = 0,6 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,03

0,47

2,40

6,21

10,98

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,01

0,04

0,15

0,47

1,16

2,38

4,25

6,80

9,99

13,71

17,85

22,29

26,94

31,73

36,60

41,53

46,48

0,31

0,69

1,32

2,27

3,57

5,25

7,31

9,75

12,53

15,63

19,01

22,65

26,51

30,55

34,75

39,08

43,53

48,08

1,10

1,91

3,01

4,44

6,18

8,24

10,59

13,23

16,13

19,27

22,62

26,17

29,89

33,76

37,76

41,88

46,11

50,43

2,35

3,57

5,08

6,88

8,96

11,30

13,88

16,68

19,69

22,89

26,25

29,77

33,43

37,21

41,11

45,10

49,19

53,36

5,95

7,89

10,06

12,44

15,02

17,77

20,68

23,74

26,93

30,24

33,66

37,18

40,79

44,49

48,26

52,10

56,01

59,97

Tab.10.45.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 9, S = 79,04 , σ = 0,282355, D = 0,6 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,26

2,05

6,07

10,96

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,04

0,18

0,59

1,52

3,18

5,66

8,92

12,82

17,17

21,81

26,62

31,53

36,48

41,46

46,44

0,08

0,24

0,59

1,20

2,16

3,53

5,34

7,60

10,29

13,37

16,81

20,55

24,54

28,74

33,12

37,63

42,24

46,95

0,43

0,90

1,63

2,68

4,07

5,83

7,95

10,42

13,21

16,29

19,65

23,24

27,03

31,01

35,14

39,40

43,78

48,25

1,13

1,94

3,05

4,47

6,21

8,26

10,60

13,22

16,10

19,21

22,54

26,05

29,74

33,58

37,55

41,64

45,83

50,12

3,53

5,02

6,77

8,77

11,01

13,47

16,13

18,97

21,98

25,15

28,45

31,89

35,44

39,09

42,85

46,69

50,61

54,60

Tab.10.46.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 10, S = 79,04 , σ = 0,091099, D = 0,6 2

bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

1,43

5,95

10,95

15,95

20,95

100 105 110 115 120 125 25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,04

0,29

1,29

3,58

7,19

11,66

16,51

21,47

26,46

31,45

36,45

41,44

46,44

0,00

0,00

0,02

0,08

0,31

0,85

1,92

3,66

6,14

9,32

13,07

17,27

21,77

26,48

31,30

36,20

41,14

46,09

0,01

0,03

0,13

0,37

0,89

1,81

3,23

5,21

7,76

10,83

14,37

18,28

22,48

26,92

31,52

36,24

41,04

45,89

0,05

0,16

0,41

0,90

1,72

2,95

4,62

6,76

9,36

12,38

15,77

19,48

23,46

27,66

32,03

36,54

41,16

45,87

0,43

0,88

1,58

2,57

3,89

5,55

7,54

9,86

12,49

15,40

18,56

21,96

25,56

29,34

33,28

37,35

41,53

45,82

Tab.10.47.: vypo ítaná cena prodejní opce, model MC 11, S = 79,04 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,96

5,96

10,96

15,96

20,96

100 105 110 115 120 125 25,96

30,96

35,96

40,96

45,96

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,99

5,97

10,96

15,96

20,95

25,95

30,94

35,94

40,93

45,93

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1,15

6,02

11,01

16,00

20,99

25,98

30,97

35,96

40,95

45,95

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,16

2,09

6,50

11,45

16,42

21,40

26,37

31,35

36,33

41,30

46,28

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,05

0,43

1,78

4,61

8,68

13,37

18,26

23,19

28,14

33,08

38,03

42,97

47,92

0,00

0,03

0,16

0,56

1,45

3,03

5,42

8,59

12,38

16,60

21,10

25,77

30,52

35,32

40,15

44,98

49,82

54,66

Tab.10.48.: vypo ítaná cena prodejní opce, model BS 12, S = 79,04 bazická cena (B)

τ 0,0082 0,0849 0,1616 0,4110 0,9096 1,9260

r

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0,0116 0,0116 0,0117 0,0119 0,0122 0,0163

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,01

0,30

2,13

6,10

10,96

15,95

20,95

25,95

30,95

35,95

40,95

45,95

0,00

0,00

0,02

0,08

0,30

0,83

1,87

3,57

6,01

9,14

12,86

17,03

21,52

26,22

31,04

35,95

40,89

45,86

0,23

0,54

1,08

1,92

3,11

4,69

6,66

9,01

11,73

14,78

18,14

21,76

25,61

29,66

33,87

38,22

42,69

47,25

1,10

1,91

3,00

4,41

6,14

8,18

10,52

13,13

16,01

19,12

22,45

25,97

29,66

33,50

37,48

41,58

45,79

50,09

2,56

3,84

5,40

7,25

9,36

11,72

14,32

17,13

20,14

23,34

26,69

30,19

33,83

37,59

41,46

45,43

49,49

53,63

6,54

8,57

10,82

13,28

15,92

18,72

21,68

24,77

27,99

31,32

34,76

38,29

41,91

45,61

49,38

53,22

57,12

61,08

- 96 -

100 105 110 115 120 125

- 97 -