VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA FINANCÍ A ÚČETNICTVÍ
DIPLOMOVÁ PRÁCE
2014
Martin Uher
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA FINANCÍ A ÚČETNICTVÍ
Název diplomové práce:
Oceňování swing opcí na trzích elektrické energie a zemního plynu
Autor:
Martin Uher
Katedra:
Bankovnictví a pojišťovnictví
Obor:
Finanční inženýrství
Vedoucí práce:
doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.
Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Oceňování swing opcí na trzích elektrické energie a zemního plynu“ zpracoval samostatně. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v seznamu použité literatury. V Praze dne 2. ledna 2014
................................ Martin Uher
Poděkování: Rád bych na tomto místě poděkoval doc. Mgr. Jiřímu Málkovi, Ph.D. za vedení mé diplomové práce a za podnětné návrhy, které ji obohatily.
Abstrakt Název práce: Autor: Katedra: Vedoucí práce:
Oceňování swing opcí na trzích elektrické energie a zemního plynu Martin Uher Katedra bankovnictví a pojišťovnictví doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.
Swing opce byly součástí trhů se zemním plynem dlouhou dobu před tím, než byla doceněna vložená opční vlastnost kontraktů. Z důvodu charakteristických vlastností energetických komodit (neskladovatelnost, vysoká frekvence jevů, sezónnost) je oceňována flexibilita dodávky energetické komodity. To umožňují právě swing opce. Držitel opce má právo flexibilně reagovat na tržní situaci a měnit dodané množství směrem nahoru či dolů v předem určeném intervalu. Celková deviace od smluvené hodnoty v případě přítomnosti „take-orpay“ podmínky nesmí překročit předem stanovené hranice. Neexistuje všeobecně akceptovatelný způsob oceňování takto flexibilních kontraktů, jako jsou swing opce. V této práci po představení obecné definice swing opcí jsou ukázány používané koncepty pro ocenění, což jsou: Longstaff Schwartzova aproximace pomocí metody nejmenších čtverců (LSM přístup), oceňování pomocí metody sítí, využití stochastického dynamického programování a zmíněna je i stromová metoda. Provedena je analýza časových řad energetických komodit ve střední Evropě a předveden je vzorový příklad využití LSM přístupu pro ocenění swing opce s podkladovým aktivem base load elektřiny v ČR. Klíčová slova: swing opce, Longstaff Schwartz LSM metoda, elektřina, zemní plyn
Abstract Title: Author: Department: Supervisor:
Swing option valuation on electricity and natural gas markets Martin Uher Department of Banking and Insurance doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.
Swing options had been part of natural gas market before its embedded option feature was appreciated. The flexibility of delivery is valuable because of characteristic features of energy commodities as non-storability, high frequency of events and seasonality. Swing options enable this flexibility. Holder of the option is allowed to react to market situation in flexible way and change the amount of delivery up or down in some known intervals. Total deviation from negotiated amount can’t exceed some boundaries in case of “take-or-pay” condition. It is not unique general valuation form of such flexible contracts as swing options. General definition of Longstaff Schwartz Least Square approximation method (LSM) is provided at first. Then it is shown other standard valuation concept as finite difference method. It is also mentioned tree method and more complex dynamic stochastic programming method. Analysis of energy commodities time series of central Europe is done and it is shown example of LSM
approach use in valuing swing option with underlying asset of base load electricity in Czech Republic. Keywords: swing options, Longstaff Schwartz LSM method, electricity, natural g
Obsah Úvod ................................................................................................................................... - 1 1.
2.
3.
4.
Obchodování s elektrickou energií .............................................................................. - 3 1.1.
Obchodování se zemním plynem ........................................................................ - 3 -
1.2.
Obchodování s elektřinou .................................................................................... - 4 -
1.3.
Obchodování s elektřinou v ČR........................................................................... - 4 -
1.4.
Opce na obchodování s elektřinou a zemním plynem ......................................... - 5 -
1.5.
Řízení objemového rizika na trzích se zemním plynem ...................................... - 5 -
Swing opce: obecný úvod ............................................................................................ - 6 2.1.
Cenová vs. poptávková swing opce ..................................................................... - 6 -
2.2.
Pojem Swing opce .............................................................................................. - 7 -
2.3.
Matematická definice Swing opce ...................................................................... - 7 -
2.4.
Vlastnosti Swing opcí .......................................................................................... - 8 -
2.5.
Využití Swing opcí .............................................................................................. - 9 -
Analýza energetických časových řad ........................................................................ - 10 3.1.
Base load ČR ..................................................................................................... - 10 -
3.2.
Peak a Off-Peak ČR........................................................................................... - 16 -
3.3.
Trh s elektřinou na Slovensku a v Maďarsku .................................................... - 16 -
3.4.
Data trhu se zemním plynem v ČR .................................................................... - 18 -
3.5.
Závěr .................................................................................................................. - 19 -
Modely spotové ceny elektrické energie ................................................................... - 19 4.1.
Úvod ................................................................................................................. - 19 -
4.2. Jedno-faktorový proces navracející se ke střední hodnotě (One Factor MeanReverting Process) ..................................................................................................................... - 19 4.3. Dvou-faktorový proces navracející se ke střední hodnotě (Two Factor MeanReverting Process) ..................................................................................................................... - 22 4.4. 5.
6.
Deterministická složka modelů ......................................................................... - 24 -
Metody oceňování swing opcí ................................................................................... - 25 5.1.
Oceňování swing opcí pomocí simulace Monte Carlo ...................................... - 25 -
5.2.
Oceňování swing opcí pomocí metody sítí (finite diference) ............................ - 26 -
5.3.
Oceňování swing opcí pomocí metody stromů ................................................. - 27 -
Longstaff Scgwarztzova metoda aproximace pomocí nejmenších čtverců (LSM) ... - 27 6.1.
Oceňovací rámec ............................................................................................... - 28 -
6.2.
LSM algoritmus ................................................................................................. - 28 -
6.3.
Výsledky konvergenční analýzy ........................................................................ - 29 -
6.4
LSM algoritmus detailněji ................................................................................. - 30 -
6.5. 7.
8.
Aplikace LSM na případ Swing opcí ................................................................ - 31 -
Metoda sítí pro parciálně diferenciální rovnice ......................................................... - 34 7.1.
BS rovnice a rovnice tepla ................................................................................. - 34 -
7.2.
Numerická řešení pomocí metody sítí ............................................................... - 35 -
7.3.
Řešení rovnice tepla pomocí Crank-Nicolsonovi metody ................................. - 36 -
7.4.
Řešení dvojdimenzionální rovnice tepla............................................................ - 37 -
7.5.
Oceňování opcí pomocí metody sítí .................................................................. - 37 -
7.6.
Aplikace metody sítí na oceňování Swing opcí................................................. - 40 -
Dynamické programování a Swing opce ................................................................... - 41 8.1.
Sekvenční rozhodovací proces .......................................................................... - 42 -
8.2.
Řešení stochastických rozhodovacích problémů dynamickým programováním . - 43
8.3. swing opcí
Pflug, Broussev behaviorální model stochastického programování pro oceňování - 43 -
8.4.
Akceptovatelná cena pro poptávku závislou na spotové ceně ........................... - 43 -
8.5.
Akceptovatelná požadovaná cena a optimální zajištění .................................... - 44 -
9. Aplikace oceňování swing opcí pomocí LSM algoritmu na trhu s elektřinou v ČR .... - 46 Závěr ..................................................................................................................................... - 47 Literatura ........................................................................................................................... - 48 Apendix ........................................................................................................................... - 49 Optimální strategie zastavení ve spojitém čase ................................................. - 49 Přílohy k analýze časových řad .................................................................................. - 52 -
Úvod Trh s energetickými komoditami v posledních letech prochází v Evropské unii dynamickým rozvojem, jenž je dán postupnou decentralizací a liberalizací. Elektrická energie a zemní plyn jako komodity se vyznačují vlastnostmi, které činí ocenění kontraktů náročným úkolem. Základní vlastností odlišující elektrickou energii od ostatních komodit (a finančních instrumentů) je její neskladovatelnost, jež se projevuje výraznou volatilitou trhu a relativně nízkou korelací cen spotového a termínového trhu. Tento jev je v menší míře přítomný i na trzích se zemním plynem. Pozorovatelná je vysoká frekvence jevů ovlivňujících trajektorii spotové ceny. Nezanedbatelnou součástí je sezónnost. Spotřebitelská poptávka energetických komodit na delší období je těžko předvídatelná, čili dodávka fixního množství může být značně neekonomická. Na trzích se zemním plynem dlouhodobě používané „swing“ kontrakty jsou užitečným nástrojem k řízení tzv. objemového rizika, přičemž své uplatnění nachází i na trzích s elektrickou energií, jakožto i na jiných trzích. Držitel opce má právo flexibilně reagovat na tržní situaci a měnit dodané množství směrem nahoru či dolů v předem určeném intervalu. Tato možnost může být uplatněna v průběhu životnosti opce několikrát, maximální počet je dán podmínkami kontraktu. Celková deviace od předem smluvené hodnoty (strike price) v případě přítomnosti „take-or-pay“ podmínky nesmí překročit předem stanovené hranice. Pokud držitel opce například pozoruje na trhu nízkou spotovou cenu, může využít svého práva a za předem smluvenou cenu převzít pouze minimální množství dané kontraktem a zbývající množství koupit na spotovém trhu. Dalším příkladem využití může být situace, kdy určitý výrobní podnik čelí zvýšené poptávce po svém produktu. Zvýšení objemu výroby je spojeno s potřebou většího množství energie, než bylo zakoupeno dlouhodobým kontraktem, v situaci, kdy spotová cena je vyšší než cena (strike price) domluvená kontraktem. Podnik tedy rámci domluvených mezí zvýší odebírané množství energií za cenu smluvenou kontraktem a tím má možnost se vyhnout dodatečnému nákupu na spotovém trhu za vyšší cenu. V poslední době byla médii reflektována situace dlouhodobého kontraktu ruské státní společnosti Gazprom, která je nejvýznamnějším dodavatelem zemního plynu pro oblast Evropy, s evropskými společnostmi, zejména významné německé energetické koncerny RWE a e.on. Jedná se o dlouhodobé kontrakty (30 let) na dodávku zemního plynu, které obsahují vlastnost flexibility dodávky v určitých mezích a hlavně doložku „take-or-pay“, která zavazovala odběratele překročit určitou hranici celkově odebraného množství. Má práce se zabývá obecnými metodami ocenění prvků flexibility kontraktů i podmínky „take-or-pay“. Právě tato podmínka se stala hlavním předmětem sporu evropských odběratelů a Gazpromu. Výrazný rozmach spotového trhu se zemním plynem (např. lipská burza EEX) způsobil, že zemní plyn se v současné době obchoduje na základě střetu nabídky a poptávky a není již navázán na cenu ropy. Dlouhodobé kontrakty Gazpromu jsou ovšem navázány na staré ceníkové tzv. „olejové“ vzorce. Společnosti ve smluvním kontraktu s Gazpromem byly tedy zavázány odebírat zemní plyn za vyšší ceny než jejich konkurenti, kteří nakupovali za mnohem nižší cenu na spotovém trhu. Proto vstoupili tyto společnosti do vyjednávání s Gazpromem o zrušení „takeor-pay“ podmínky, případně o změně odvození spotové ceny. Společnost RWE nyní vede se společností Gazprom řadu arbitráží, které by měly tyto sporné otázky vyřešit. Cílem mé diplomové práce je popsat metody oceňování swing opcí a praktická aplikace upravené Lonsgstaff Schwarzovy simulační metody (LSM) na datech ze spotového trhu s elektrickou energií a zemním plynem, která jsou dostupná na webu OTE. Po úvodu práce, ve které jsem se zaměřil -1-
na vymezení cíle mé práce a uvedení do problematiky, následuje první kapitola, ve které se zmiňuji o specificích obchodování s elektrickou energií a zemním plynem jakožto tokovými komoditami, dále je zmíněné obchodování s opcemi na trzích s energiemi a je popsána možnost využití těchto opcí pro zmírňování objemových rizik. Druhá kapitola definuje pojem swing opce, vysvětluje rozdíl mezi poptávkovou a cenovou Swing opcí, představena je matematická definice, popsány jsou vlastnosti Swing opcí a ukázány příklady využití. Ve třetí kapitole je provedena analýza energetických časových řad ve střední Evropě s důrazem na český trh za pomocí ekonometrického softwaru Eviews, zdrojem dat jsou údaje z webových stránek OTE a aplikace Thomson Reuters. Ve čtvrté kapitole je předveden jedno-faktorový a dvou-faktorový model vývoje spotové ceny energetických komodit a popsány jsou deterministické vlastnosti modelů. Pátá kapitola se zabývá úvodním představením metod oceňování swing opcí, které jsou detailněji popsány v dalších kapitolách. Šestá kapitola je zasvěcena vysvětlení principu Longstaff Schwartzovy simulační metody oceňování amerických opcí a dále její použití v případě oceňování Swing opcí. V sedmé kapitole se zabývám oceňováním opcí pomocí metody sítí a následnou aplikací v oblasti Swing opcí. Osmá kapitola představuje poměrně moderní metody dynamického programování a řešení problému Swing opce pomocí metod z teorie her. V následující deváté kapitole popisuji praktickou aplikaci ocenění swing opce pomocí LSM metody na zjednodušeném příkladu s využitím dat z českého trhu s elektřinou. V závěrečné kapitole shrnuji výsledky mé práce.
-2-
1.
Obchodování s elektrickou energií
Energetické trhy jsou poměrně mladé, oproti finančním trhům jsou zde klasické přístupy řízení rizik a obchodování se složitými finančními nástroji méně vyzrálé. [26] srovnává trh s energetickými komoditami s peněžním trhem a nachází několik rozdílů. Argumentuje, že na energetickém trhu se objevuje větší četnost událostí, které hýbou trhem, přičemž zde pozoruje více fundamentálních faktorů ovlivňujících cenu. Vliv ekonomického cyklu je pozorovatelný, oproti peněžnímu trhu má však nižší váhu, naopak sezónnost je zejména na trzích s elektřinou a zemním plynem klíčová, na peněžním trhu téměř zanedbatelná. Zásadní vliv má v energetice i skladovatelnost a podoba samotné dodávky. Zatímco na peněžním trhu je dodávka aktiva v podobě kusu papíru či spíše elektronického ekvivalentu, dodávka na trhu s energetickými komoditami je často velmi těžko skladovatelná, složitěji přepravitelná a citlivá na počasí. Oproti peněžnímu trhu je pozorovatelná mnohem nižší korelace krátkodobých a dlouhodobých cen. Likvidita na trzích s energiemi je samozřejmě mnohem nižší než na peněžních trzích. Velmi zajímavé jsou protikladné trendy v oblasti regulace obou trhů. Zatímco v bankovním a pojistném trhu jsou zaváděny nové regulatorní rámce Basel II. a Solvency II. energetika prochází za poslední léta liberalizací, deregulací a decentralizací, což z ní dělá čím dál tím více zajímavý sektor. Na druhou stranu v energetice (ČR i EU) jsou v posledních letech pozorovatelné bezprecedentní zásahy státu, které v důsledku pouze pokřivují tržní realitu (trh povolenek fungující jinak, než bylo zamýšleno; Energiewende; solární boom ;…). Oba dva trhy spojuje viditelná vlastnost chování ceny: návrat ke střední hodnotě (mean reversion). Tato vlastnost je na energetickém trhu mnohem silnější. Události jako silný mráz či vítr (zejména v německých větrných elektrárnách, který dokáže ovlivnit ceny elektřiny v celé střední Evropě), sucho, válka, objevení nové technologie podzemních vrtů způsobují neočekávané poptávkově nabídkové nerovnosti, které ale opět velmi rychle mizí, a cena se navrací ke své dlouhodobé rovnovážné hodnotě. Limity skladovatelnosti způsobují dennodenní vysoce volatilní chování spotové ceny, přičemž forwardové ceny vykazují mnohem nižší volatilitu. Se zvyšující se dobou do splatnosti kontraktu se volatilita snižuje, jelikož v dlouhém období obchodníci předpokládají vyrovnanou poptávku s nabídkou. Trh s energií vykazuje oproti finančnímu trhu mnohem vyšší míru odlišností mezi jednotlivými lokálními trhy. Přepravní omezení v podobě kapacitních limitů v přepravním potrubí a v podobě ztrát z přepravy ztěžují nebo dokonce zamezují přepravě elektřiny mezi určitými regiony. Tato omezení způsobují, že oceňování kontraktů se může v rámci několika různých regionů významně lišit a je závislé na domácích faktorech, jež určují charakter a dynamiku nabídky a poptávky. Zatímco například na trhu s uhlím funguje cenová arbitráž mezi USA a Evropou velmi plynule (o čemž se měli možnost přesvědčit v OKD), cena zemního plynu v USA je stále výrazně nižší, než je tomu v Evropě, a to zejména z důvodu vyšších nákladů na transport zemního plynu prostřednictvím LNG. Dalším příkladem může být situace ve střední Evropě, kde nedostatečná rozvinutost přepravní soustavy mezi vysoce energeticky výkonným severním Německem a spotřebně náročným jižním Německem, ovlivňuje okolní trhy, jako je Česká republika. 1.1. Obchodování se zemním plynem Zemní plyn je netypický druh komodity. Jedná se o bezbarvou komoditu, bez zápachu, jež se velmi složitě měří a dopravuje, a velmi snadno se vytratí. Na druhou stranu vykazuje užitečné vlastnosti a je využíván k vytápění domů a bytů či k vaření. Zemní plyn je aktivně obchodován na dvou trzích: fyzický (spotový) a finanční (forwardový)1. Tyto trhy mají určité vlastnosti odlišné, vzájemně se ovšem vhodně doplňují. Frank Hayden charakterizuje v [13] fyzický trh jako „oslava nebo hladomor“. V některých situacích je držba plynu tak důležitá, že kupující je ochoten nakoupit za
1
existuje i forwardový trh s fyzickou dodávkou
-3-
jakoukoliv cenu, což tuto cenu v krátkém okamžiku vymrští nahoru, naopak v jiné situaci je nutné se plynu zbavit a prodávající je ochoten prodávat za velmi nízké ceny. Je nutno ovšem podotknout, že tato vlastnost je mnohem méně výrazná, než je tomu na trzích s elektřinou. Spotřebitel plynu nemusí vždy nutně protopit další jednotku tepla či uvařit další jídlo, kdežto dodatečný megawatt často do elektrické soustavy musí být dodán tak, aby nedošlo k blackoutu. Nabídková a poptávková křivka na finančním trhu se zemním plynem je elastičtější, než je tomu tak na fyzickém trhu. Finanční a fyzický trh k sobě vzájemně konvergují s přibližujícím se časem expirace, v mezidobí se ovšem můžou velmi významně lišit, což vytváří rizika, ale také možnosti pro spekulanty. S rozvojem liberalizace trhu se v posledních letech finanční trh stává čím dál více transparentnější, kdy se obchoduje se standardizovanými kontrakty, které významně snižují kreditní riziko. 1.2. Obchodování s elektřinou Elektřina je využívána jako zdroj energie široké škály moderních spotřebičů, výpočetní techniky či průmyslové infrastruktury. Elektřina je bohužel velmi náročně skladovatelná. Navíc náklady přepravy na větší vzdálenosti jsou poměrně vysoké. Poptávka a nabídka na trzích s elektřinou musí být konstantně vyrovnávána, což způsobuje vysokou rozkolísanost cen. V posledních letech se z USA a západní Evropy šíří proces deregulace trhů s elektrickou energií. Na deregulovaných trzích můžou držitelé licence vyrábět elektrickou energii a mají právo být připojeni do přenosové soustavy. Všem účastníkům trhu s elektřinou je garantován rovný přístup do přenosové soustavy. Na deregulovaných trzích je využíváno ekonomických stimulů k ovlivnění chování účastníků trhu, kdežto na regulovaných trzích je spíše používán legislativní přístup. Charakteristickým atributem deregulovaných trhů je přítomnost denních aukcí energií také nazývaných jako nediskriminační aukce. Výrobci elektřiny na takových aukcích zadávají cenu, za kterou jsou ochotni dodat elektřinu, a jsou aktivování podle ceny od výrobce s nejnižší poptávanou cenou k nejvyšší. Tyto aukce se považují za nediskriminační, jelikož všichni vítězní dražitelé obdrží stejnou částku, jež je nezávislá na poptávané ceně. Poslední aktivovaný výrobce udává clearingovou cenu elektřiny v určené transmisní zóně. Tato cena se nazývá marginální cenou a výrobce je často označen jako marginální výrobce. Denní aukce jsou otevřeny pouze poskytovatelům elektrické energie, jež jsou schopni dodat elektřinu do přenosové soustavy. Existuje i forwardový trh, kde je možno obchodovat jak s fyzickou dodávkou, tak i s finančními kontrakty, které jsou vypořádávány v hotovosti. 1.3. Obchodování s elektřinou v ČR Krátkodobé trhy s elektřinou a zemním plynem jsou organizovány společností OTE, a.s., což je akciová společnost založena státem působící na trhu na základě licence vydané Energetickým regulačním úřadem. Fungování bude popsáno v souladu s [18]. Na těchto krátkodobých trzích se realizují obchody s dodávkou elektřiny a plynu v rozmezí několika hodin až dnů. Společnost OTE vystupuje jako tvůrce trhu, působí v roli protistrany finančního vypořádání. Zaručena je anonymita obchodování. OTE organizuje trhy, jež se dělí podle charakteru dodávek na blokový, denní (spotový) a vnitrodenní trh. Na blokovém trhu se rozlišují kontrakty base (dodávka s konstantním výkonem po celou dobu trvání dodávky kontraktu), peak (dodávka o konstantním výkonu realizovaná od pondělí do pátku vždy v období 8:00-20:00) a off peak (dodávka v čase 0-8:00 a 20:00-24:00 v pracovních dnech). Jednotlivá požadovaná množství na prodej či koupi je možné podávat nejdříve 30 dní před obchodním dnem, ukončení je vždy v 13:00 den před dnem dodávky. Minimální obchodovatelnou úrovní je 1MW v hodinách časového období bloku. Spotový trh je organizován den před dnem dodávky. Obchoduje se v Eurech a je koncipován formou aukce na základě obdržených nabídek a poptávek elektřiny na 24 obchodních hodin následujícího dne. Vnitrodenní trh je organizován pro jednotlivé hodiny uvnitř obchodního dne.
-4-
1.4. Opce na obchodování s elektřinou a zemním plynem Opce byly používány na trzích s elektřinou a zemním plynem společnostmi i koncovými uživateli nákupem kontraktů energie, aniž by byla doceněna vložená opčnost těchto kontraktů. To se změnilo v pozdních devadesátých letech, kdy vzniklo několik prací snažících se o správné porozumění a ohodnocení těchto kontraktů. První standardizované opční kontrakty na elektrickou energii byly uvedeny na NYMEX v březnu roku 1996. V Evropě následoval nejrozvinutější trh s elektřinou Nord Pool (založen již 1991), kde se poprvé se standardizovanými opcemi obchodovalo v roce 1999. Účastníky trhu s elektrickými opcemi jsou tak jako s klasickými opcemi spekulanti, arbitražéři a subjekty hledající zajištění. Spekulanti se snaží dosáhnout zisku v závislosti na pohybu ceny (či volatility) energií. Mezi spekulanty na trzích s energiemi se řadí různé banky, hedgové fondy, zajišťovny atd. Arbitražéři se snaží nacházet neefektivity na trzích. Z důvodu nižší likvidity na těchto trzích je účinnost této strategie zásadním omezením a počet subjektů, jež se dají na těchto trzích označit za arbitražéry, je poměrně nízký. Subjekty používající opční kontrakty k zajištění se snaží o snížení rizik plynoucích z pohybu cen na trzích. Jedná se o výrobce energií, jež ztrácejí v případě snižujících se cen, a spotřebitele energií, kteří naopak profitují z poklesu cen. Výrobci elektrické energie používající jako vstup zemní plyn, používají opce na obě komodity k řízení měnících se „spark spreadů“.2 1.5. Řízení objemového rizika na trzích se zemním plynem Tato kapitola je založena na prezentaci [28] Jona Stampa - vedoucího oddělení Portfolio Managementu společnosti npower Commercial, jež je součástí RWE Group. Autor zavádí pojem „Gas Swing“, který může zapříčinit objemové riziko. Společnosti dodávající komoditu zemní plyn retailovým spotřebitelům se snaží předpovědět tzv. sezónně běžnou poptávku (seasonally normal demand). Tato sezóně běžná poptávka se mění každý měsíc, tak jak se mění počet zákazníků poptávajících energie v závislosti na počasí. Dlouhodobá pozice společnosti je poté určena zajištěním (hedgingem) sezónně běžné poptávky. S blížícím se termínem dodání komodity se stává předpověď počasí na tento určitý termín čím dál tím více spolehlivější. Se spolehlivější předpovědí počasí je i předpověď úrovně poptávky přesnější. K vyrovnání rozdílu mezi pozicemi v dlouhodobých kontraktech založených na sezóně běžné poptávce a zpřesňujících se odhadech poptávky na základě více spolehlivé krátkodobé předpovědi počasí se užívá krátkodobého obchodování (short term trading). Pojem „Swing“ označuje rozdíl v drženém objemu komodity mezi dlouhodobými a krátkodobými kontrakty. Tento rozdíl ovlivňuje náklady a příjmy společnosti. Jestliže je skutečná poptávka větší než dlouhodobě zajištěná pozice, společnost je nucena na krátkodobých trzích sehnat dodatečné množství energií. Toto zvýšené poptávané množství komodity za jinak nezměněných podmínek tlačí cenu nahoru. V opačném případě, kdy je reálná poptávka nižší, společnost musí prodávat komoditu, vyšší nabízené množství tlačí cenu dolů. Pro řešení tohoto problému je pro společnosti působící na trzích s energiemi nutné simulovat spotové ceny plynu a odhadované odchylky od sezónně běžné poptávky. Je nutné je ovšem simulovat dohromady a nikoliv zvlášť, jelikož jsou navzájem korelované. Autor konstatuje, že v podmínkách britského trhu činí hodnota korelace teploty a poptávky přibližně -0.8. Tato hodnota se ovšem nesmí brát jako směrodatná pro všechna období, jelikož zvýšené množství využití klimatizace v letních měsících může zvýšit poptávku při zvyšujících se teplotách, čili úplně obrátit korelační znaménko z negativního na pozitivní. Korelace poptávky a ceny je podle autora přibližně 0.48. Autor navrhuje k modelaci spotové ceny využít Geometrický Brownův pohyb s Poissonovým procesem se skoky. Teploty navrhuje simulovat pomocí Autoregresního procesu klouzavých průměrů (ARMA), jelikož denní teploty jsou korelovány 2
„spark spread“ je označení rozdílu mezi cenou zemního plynu a elektrické energie (čili mezi vstupem a výstupem)
-5-
s teplotami předešlého dne. Podle autora se ukazuje, že náklady zajištění sice můžou být větší než riziko vyplývající ze Swing nákladů, ale pravděpodobnost, že by společnost byla vystavena obrovské ztrátě ze Swing rizika, je významně snížena. Ke zvládání objemového rizika je navrženo více přístupů. Prvním z nich jsou kontrakty ke skladování plynu (Gas Storage Contracts), což jsou kontrakty na fyzické uskladnění plynu. V případě nízkých cen může být plyn vstříknut do tohoto zařízení a zpět vybrán může být v situaci vysokých cen. Tento způsob zajištění chrání proti krátkodobým fluktuacím v ceně, je ovšem bezmocný proti kolapsu v ceně. Dalším možným způsobem je uskladnění plynu pomocí zkapalnění zemního plynu (LNG). Využívány bývají i swapy na počasí (Weather Swaps), což jsou finanční instrumenty, které jsou vyplaceny v případě, kdy jsou teploty nesezónně vysoké či nízké. Jejich správné použití závisí na tom, zda očekávané korelace mezi teplotou, cenou a poptávkou jsou totožné s reálnými korelacemi. Tato diplomová práce se zabývá oceňováním Swing opcí, jež mohou být také velmi užitečným nástrojem ke zvládání výše popsaného rizika. Velmi zjednodušeně jsou tyto opce vyplaceny v případě, že zákaznická poptávka je odlišná od sezónně běžné poptávky. Na rozdíl od swapů na počasí se zaměřují výhradně na poptávku, poskytují tedy zajištění i v případě, že korelace mezi teplotou a poptávkou se vychylují od očekávaných hodnot.
2.
Swing opce: obecný úvod
Komplexní vlastnosti spotřeby a omezená možnost skladování energie je příčinou pro připuštění pružnosti dodávky v úvahu beroucí její načasování a množství energie již použité. V regulovaném prostředí, kdy o ceně rozhodoval regulátor na základě předpokladu návratnosti nákladů, nebylo ocenění takových kontraktů považováno za prioritní, v důsledku deregulace je potřeba nástroje ohodnocení zahrnující finanční rizika. Swing opce uděluje vlastníkovi opakované uplatnění práva přijmout větší či menší množství dodávky energie v závislosti na denních dlouhodobějších omezeních. Díky těmto vlastnostem jsou považovány za exotické opce. Jsou odpovědí na potřebu zajištění na trzích s pravidelnými cenovými a poptávkovými skoky, které jsou většinově následovány navrácením k přirozeným hodnotám. Představme si rizikově neutrální ekonomickou jednotku, jež je krátká v elektřině na měsíc únor (base load kontrakt – čili 28 dní, 24 hodin). Tato jednotka se může obávat nadměrného snížení teplot v období trvání kontraktu a souvisejících cenových skoků. K zajištění pozice může sloužit 28 evropských call opcí. Pravděpodobnost teplotních skoků ve všech dnech je ovšem nízká, proto možnost změny dodávky by bylo výhodnější vlastnit pouze např. pro 13 dní v měsíci. Ekonomická jednotka by mohla využít 13 identických amerických opcí, které by pokrývali časové období 28 dní, ale stejně by platila prémii navíc, jelikož americké opce by měly stejný optimální čas uplatnění, přičemž držitel by nebyl schopen uplatnit všechny opce (např. z důvodu dodávkových omezení). Aplikací swing opce je ohodnocení skladovacích zařízení a právo opakovaně vypnout poskytovanou službu. Variace swing opcí nacházejí uplatnění i mimo energetický průmysl. Příkladem může být tzv. „flexi opce“ užívaná v řízení rizika úrokových měr. 2.1. Cenová vs. poptávková swing opce [26] rozděluje Swing opce na dva typy: cenovou a poptávkovou. V případě cenové swing opce její držitel vyplní opcí kdykoliv, kdy je to finančně nejlepší řešení bez ohledu na to, jaká je jeho aktuální potřeba užití elektrické energie. Držitel takové opce musí být schopen elektřinu nikoliv jen přijímat, ale musí být také schopen okamžitě ji na trhu prodat. Na rozdíl od cenových swing opcí poptávkové swing opce jsou uplatňovány držitelem kontraktu vzhledem k tomu, jaké množství elektrické energie ve skutečnosti potřebuje odebrat. Uživatel nemá fyzickou možnost prodat elektřinu zpátky na trhu, uživatel je schopen pouze přijmout dodávku. Jedná se tedy klasicky o koncového uživatele, který nemá přístup na organizovaný krátkodobý trh s energiemi. Ve zbytku této práce bude pojmem Swing opce myšlen první případ cenové Swing opce.
-6-
2.2. Pojem Swing opce Swing kontrakt je často spojen s klasickým forwardovým base-load kontraktem s přesně daným časovým vymezením a danou cenou za určené množství dodávky komodity v určeném časovém horizontu. Swing opce umožňuje dodatečnou pružnost ohledně velikosti dodávky. Je mnoho druhů, ale všechny sdílí určité společné vlastnosti. Jestliže je čas, kdy je kontrakt podepsán, účinnosti nabývá v období , . Toto období se většinou shoduje s délkou trvání base-load kontraktu. Vlastník opce drží až práv plnění. Práva mohou být uplatněna pouze v diskrétní množině dní , . V každém dni je možnost uplatnění nanejvýš jednou. Navíc může být přítomna refrakční doba , která omezuje následující období, v němž má držitel právo na uplatnění opce. Rozlišují se dvě hlavní kategorie dle doby trvání efektu souvisejícího s plněním práv: a) lokální efekt: plněním opce se množství dodávky mění pouze v určeném datu a v příštím období se navrací k počáteční hodnotě, b) globální efekt: dodávka zůstává na nové hodnotě až do nového uplatnění opce. Oceňování obou typů je v zásadě podobné. Ve zbytku práce bude uvažován první typ. Přírůstková hodnota může být pozitivní nebo negativní. V případě pozitivní držitel přijímá zvýšené množství, negativní znamená snížené množství dodávky nebo dodání energie opačným směrem. V případě plnění v čase , , fyzická omezení limitují dodávku pouze v intervalech: [
]
kde hranice jsou definovány kontraktem a jsou takové, že
. Celková
hodnota dodávky v období je často omezena. Překročení povolených hodnot celkové dodávky je spojeno s pokutami sjednanými v rámci kontraktu. Jejich výše může být předem definována smlouvou nebo může mít podobu náhodné veličiny pozorovatelné v období . Označme funkci pokuty , kde jsou celkové náklady pokut v čase pro celkovou dodávku v období . Jestliže je například specifikváno množství celkové dodávky v intervalu s pokutou za jednotku jestliže je pod a fixní pokutou v případě nad , poté funkce je definována { Cena za jednotku dodaného zboží (strike) může být fixní domluvená před začátkem trvání kontraktu nebo budoucí spotová cena pozorovatelná na konci období, popřípadě variabilní cena. 2.3. Matematická definice Swing opce Základními vstupními parametry jsou:
čas smluvení a ohodnocení kontraktu: interval trvání kontraktu: možná data plnění: počet práv: refrakční doba: omezení množství v : [ ],
funkce pokuty závisející na celkové dodávce v -7-
:
strike Pro
nebo časová struktura
,
, definujeme proměnné o rozhodnutí, zda uplatnit opci následovně: { {
a korespondující odebrané množství { { Omezujícími podmínkami standardní swing opce je soubor následujících podmínek:
(
)
∑(
)
2.4. Vlastnosti Swing opcí Swing opce vykazují určité rysy, které jsou nezávislé na stochastickém procesu podkladové komodity. Pokud definujeme jednoduchý swing kontrakt definovaný výše s právy zaručujícími možnost koupě dodatečné jednotky za cenu bez doplňujících omezení celkového množství koupeného v období , platí: 1. Pro , hodnota opce je rovna bermudské opci 2. Horní hranice opce s právy je identických bermudských opcí 3. Spodní hranicí je maximální hodnota identických evropských opcí. Tato spodní hodnota koresponduje s ideálním souborem dnů uplatnění, jež jsou ovšem předem určena. Swing umožňuje vyvolání kontraktu po celou dobu trvání, čili povoluje nejistotu ohledně data plnění opce. 4. V případě , čili počet práv na plnění je roven počtu dní dodávky energie, hodnota opce je rovna hodnotě evropských opcí. 5. Jestliže nejsou dány pokuty za nedodržení celkové dodávky v předem určeném intervalu v období trvání kontraktu, poté je množství vždy uplatněno na spodní či vrchní hranici intervalu (“bang-bang”).
-8-
V případě nenulové funkce pokuty není jednoznačná souvislost mezi hodnotou swing opce a hodnotami bermudské či evropské. Přesto lze tvrdit následující: 1. Za předpokladu, že stochastický proces, jenž popisuje chování podkladového aktiva, vykazuje konstantní výnosy z rozsahu a funkce pokuty je definována jako velikost pokuty násobená rozsahem překročení povoleného limitu, hodnota swing opce je homogenní funkcí řádu jedna v ceně a pokutě
kde je hodnotou swing opce, je spotovou cenou v čase , čili hodnota jednotky dodané energie ve fixním časovém horizontu po a je funkce pokuty. Je tedy možné použít stejnou optimální strategii uplatnění v obou měřítcích. 2. Hodnota opce je homogenní řádu jedna v množství:
Tyto dvě podmínky zásadním způsobem snižují náročnost výpočtů. 2.5. Využití Swing opcí Swing opce byly přítomné na trzích se zemním plynem mnohem dříve, než byla úplně doceněna rizika spojená s těmito kontrakty. První modely snažící se tato rizika ohodnotit se objevily až v druhé polovině 90. let. Ve skutečnosti dříve byly vlastnosti swing opcí obsaženy v kontraktech mezi obchodníky s plynem, aniž by ovšem byla vložená opční vlastnost oceněna a tím pádem i zpoplatněna. S rozvojem oceňovacích technik a zvyšujícím se porozuměním těchto kontraktů se snížil počet nákupů, jelikož již nebyly levné či dokonce zadarmo. Následující tři příklady využití uvádí [8], možnosti využití jsou ovšem mnohem rozmanitější. a) Na trzích s plynem jsou využívány Swing opce k zajištění tzv. objemového rizika. Průmyslový spotřebitel, pro nějž je zemní plyn významným vstupem výroby, pomocí tohoto kontraktu může zajistit budoucí vstupní náklady. Spotřebitel neví přesně svou budoucí spotřebu, která závisí na mnoha faktorech, které nejsou známé, považuje ovšem za výrazně pravděpodobné alespoň určité hranice, v nichž se jeho spotřeba bude pohybovat a může si tedy dodávku plynu zajistit v tomto předem daném intervalu. Obdobně příklad může být i u spotřeby elektrické energie. b) Dalším příkladem využití může být ropná společnost zásobující průmyslovou protistranu. Tato společnost se např. zavázala k dodání určitého množství ropy, z různých důvodů (přetížení potrubí, inženýrské problémy,…) ovšem nemůže zajistit naprostou jistotu dodávky, proto zakoupí swing opci od svého zákazníka, jež mu umožní v určitých termínech nedodat přesně určené množství. c) V posledních letech se uplatňují swing opce i na trzích s elektřinou. Např. provozovatel přenosové soustavy (v ČR statní podnik ČEPS) je ze zákona povinen poskytnout spotřebiteli elektřinu a musí zajišťovat neustálou rovnováhu mezi poptávkou a nabídkou v přenosové soustavě. Je tedy nucen přizpůsobovat svou produkci vzhledem k neustále se měnící (ale v cyklech se opakující) poptávce spotřebitelů. Jedná se tedy ve své podstatě o krátkou pozici v poptávkové Swing opci, přičemž v rámci řízení rizik by mohl provozovatel přenosové soustavy snižovat svou pozici nákupem Swing opce na fosilní paliva, jež používá jako zdroj, a tím přesunout rizika na další účastníky trhu.
-9-
3.
Analýza energetických časových řad
V této diplomové práci jsou použita data ze serveru Operátora trhu s elektřinou (OTE a.s.) a Thomson Reuters. Analyzovány jsou spotové ceny trhu s elektrickou energií v České republice, na Slovensku a v Maďarsku a spotové ceny trhu se zemním plynem v České republice. Data byla analyzována pomocí softwaru Thomson Reuters a Eviews 7, výstupy jsou k dispozici v příloze. 3.1. Base load ČR Vývoj spotové ceny elektrické energie base load v eurech za MWh (tato měna za jednotku energie je používána vždy v této práci) mezi lednem 2008 a srpnem 2013 je, jak je vidět z obrázku (1), poměrně rozkolísaný. Se střední hodnotou 46.4€ nejvyšší hodnotou ve sledovaném období byla cena 120.07€ a nejnižší -42.72€. Vrcholu dosáhla elektřina 8. října 2008, poté je vidět propad, který může být dán do souvislosti s všeobecným propadem obchodovatelných aktiv v průběhu americké hypoteční krize a pádu Lehman Brothers. Nejnižší hodnota byla pozorována 25. prosince 2012. Příčinu vidím ve státním svátku a obecně ve zpomalené hospodářské aktivitě v průběhu Božího hodu vánočního, svou roli mohlo sehrát také počasí, kdy průměrná teplota v tomto dni 5.3°C je spíše vysokou teplotou v rámci tohoto období a asi i silný vítr v Německu způsobující přebytek energie dodané větrnými elektrárnami do přenosové soustavy.
Obrázek (1)
V časové řadě byla testována pomocí rozšířeného Dickey-Fullerova (ADF) t-testu přítomnost jednotkového kořenu (unit root). Ta byla zamítnuta na hladině významnosti 1%, čili byla ověřena stacionárnost časové řady. Časová řada je volatilní, směrodatná odchylka činí 15.58, v porovnání s jinými časovými řadami cen elektrické energie (např. [21]) je relativně stabilní. Denní změny cen jsou zobrazeny obrázkem (2). Nejvyšší pozorovaná změna mezi jednotlivými dny pozorování směrem nahoru je o 59.05, směrem dolů o 51.69, což jsou vysoké, ale charakteristické hodnoty pro vývoj cen elektřiny. Průměrná změna 0,008062 je opět spíše nižší v porovnání s jinými trhy.
- 10 -
Obrázek (2)
Relativně častý je výskyt extrémních hodnot v souboru dat, což je vidět v histogramu, jenž je zobrazen na obrázku (3). Hodnota špičatosti (kurtosis) 5.44 se výrazně liší od hodnoty 3, což je špičatost normálního rozdělení. Extrémně vysoké a nízké hodnoty se tedy vyskytují s větší pravděpodobnosti, než je tomu tak u souboru se stejným rozptylem s normálním rozdělením. Šikmost (skewness) 0.77 vyjadřuje, že extrémně vysoké hodnoty se vyskytují s větší pravděpodobností než extrémně nízké.
Obrázek (3)
Hodnoty špičatosti pro změny cen (5.64) a zlogaritmované změny cen (25.54), jak je vidět z obrázků (4) a (5), také nabývají výrazně odlišných hodnot od hodnoty tři. V souladu s teorií a pozorováním jiných trhů s elektřinou lze tvrdit, že je přítomná neobvykle vysoká rozkolísanost cen a že extrémní hodnoty jsou důsledkem skoků v cenách.
Obrázek (4)
- 11 -
Obrázek (5)
Další diskutovanou vlastností cen elektřiny bývá její sezónnost. Podívejme se tedy opět na data. Obrázek (6) zobrazuje průběh cen v kalendářním roce 2012. Na první pohled se zdá, že ceny v měsících s teplejším podnebím jsou o něco nižší než ceny v měsících s chladnějším podnebím. Tato úvaha bude testována později. Také jsou viditelné pravidelné oscilace v rámci jednotlivých týdnů. Obrázek (7) ukazuje vývoj v měsících červen, červenec a srpen roku 2013. Tento graf jasně naznačuje, že cena elektřiny osciluje v pravidelných týdenních intervalech, kde nejnižší bod se opakuje pravidelně vždy v sobotu.
Obrázek (6)
- 12 -
Obrázek (7)
V obrázku (8) jsou porovnány průběhy spotové ceny v jednotlivých letech v průběhu jednoho kalendářního roku. Na první pohled se zdá, že ceny v měsících s chladnějším počasím jsou bohatší na výskyt extrémních hodnot a překvapivých skoků, v letních měsících vypadá vývoj cen stabilněji (zejména na přelomu července a srpna).
Obrázek (8)
K porovnání chování cen v zimních a letních měsících jsem rozdělil data na tzv. chladné měsíce s počátkem 1. října a koncem 31. března a zbylé teplé měsíce. Obrázky (9) a (10) jsou - 13 -
histogramy dat chladných respektive teplých měsíců.
Obrázek (9)
Obrázek (10)
Střední hodnota cen je o málo vyšší v zimních měsících (47.13 vs. 45.76). Špičatost v zimních měsících v hodnotě 6.27 je vyšší než špičatost v letních měsících s hodnotou 4.95. Směrodatné odchylky v obou měsících jsou podobné s trochu vyšší hodnotou v období letních měsíců (16.13 vs. 14.95). Stabilita střední hodnoty je tedy o něco vyšší v zimních měsících. Ve změnách cen a ve změnách zlogaritmovaných cen již vykazují chladné měsíce vyšších hodnot směrodatné odchylky než měsíce letní. Špičatost změn cen je pro obě sezóny srovnatelná, v zimních měsících je ovšem špičatost relativních změn ceny téměř čtyřikrát vyšší než je tomu tak v letních měsících. Nejvyšší relativní změna ceny nahoru i dolů (3.7, -3.97) je ovšem pozorovatelná v zimních měsících. Dá se tedy říci, že v zimních měsících je pozorovatelná nižší pravděpodobnost skoku a celkově o něco stabilnější chování cen, v případě výskytu skoku je ovšem jeho dynamika mnohem vyšší a dosahuje vyšších hodnot. Obrázky (11) a (12) ukazují zlogaritmované změny cen v chladných respektive teplých měsících, obrázky (13) a (14) jsou příslušné histogramy.
- 14 -
Obrázek (11)
Obrázek (12)
Obrázek (13)
- 15 -
Obrázek (14)
3.2. Peak a Off-Peak ČR Podobnou analýzu jako v předchozí kapitole jsem provedl i s řadami Peak (8:00-20:00) a OffPeak (0:00-8:00 a 20:00-24:00). Grafy, histogramy a výsledky testů obdobné stejným procedurám z minulé kapitoly jsou k nalezení v příloze. Očekávaně střední hodnota dodávky Peak i změny cen je vyšší než Off-Peak i než Base. To platí i pro nejvyšší změnu ceny směrem nahoru i dolů, kde ovšem Off-Peak také vykzuje vyšší hodnoty než Base. Směrodatná odchylka cen i změn cen je nejvyšší u dodávky Peak a nejnižší u Off-Peak. Špičatost vykazuje Off-Peak významně nejvyšší. Dá se tedy říci, že časová řada Off-Peak se na českém trhu jeví jako nejstabilnější. Provedena byla také korelační analýza, časové řady jsou mezi sebou vzájemně korelované. Stupeň korelace mezi řadami Base a Peak je 0.97, mezi Base a Off 0.93 a mezi Peak a Off 0.83. 3.3. Trh s elektřinou na Slovensku a v Maďarsku OTE uveřejňuje podobná data cen elektřiny, jako jsou data z České republiky, také ze Slovenska a Maďarska. Také zde se obchodují produkty Base, Peak a Off-Peak. Data ze Slovenska mají počátek 1. září 2009 a jsou zobrazena obrázkem (15). Maďarské hodnoty začínají 12. září 2012 a jsou ztvárněny obrázkem (16).
Obrázek (15)
- 16 -
Obrázek (16)
Slovenský trh je vysoce korelován ve sledovaném období s českým trhem, všechny tři kategorie jsou korelovány hodnotou vyšší než 0.95. Maďarský trh je více korelován s trhem slovenským, rozdíl není nijak výrazný, v dodávce Base je korelace se Slovenskem 0.8 a s Českou republikou 0.776. Obecně nejvyššího stupně korelace mezi zeměmi vždy dosahuje dodávka Off-Peak. V jednotlivých zemích poté korelace mezi jednotlivými dodávkami činí podobné hodnoty jako v případě České republiky. Střední hodnota ceny na Slovensku je velmi podobná střední hodnotě cen v ČR za sledované období (43.7 vs. 43.34), ceny v Maďarsku za sledované období jsou o něco vyšší než v ČR (41.17 vs. 37.7). Nejvyšší hodnoty směrem nahoru jsou u Slovenska i Maďarska vyšší než v případě ČR, směrem dolů jsou Slovensko a ČR téměř stejné a u Maďarska je nejnižší hodnota ve sledovaném období výrazně nižší než v případě ČR. Směrodatná odchylka na Slovensku je částečně vyšší než v ČR, v Maďarsku je srovnatelná. Hodnoty špičatosti a šikmosti jsou v případě Maďarska výrazně nižší, než je tomu tak v případě ČR. V případě Slovenska jsou tyto hodnoty podobné českým. Je nutné říci, že Maďarská data jsou za relativně krátké časové období. Nepřekvapivě pomocí ADF ttestu byla zjištěna přítomnost jednotkového kořene, data jsou tedy nestacionární. Co se týče rozdílu dat podle typu Base, Peak a Off-peak, data na Slovensku vykazují podobné tendence jako data v ČR. V případě sezónnosti také slovenská data potvrzují již zjištěné skutečnosti pozorované na českém trhu. Veškeré výstupy ze softwaru jsou opět k nalezení v příloze.
- 17 -
3.4. Data trhu se zemním plynem v ČR Shromažďování dat spotových cen trhu se zemním plynem má kratší historii než je tomu tak na trzích s elektřinou v ČR. Datový soubor má počátek 1. dubna 2010 a zobrazen je na obrázku (17).
Obrázek (17)
Za sledované období jsem sledoval korelaci dat cen zemního plynu a elektřiny v ČR. Koeficient korelace vychází -0.035, čili tyto dvě časové řady jsou vzájemně nezávislé. Střední hodnota 24.8 potvrzuje obecně nižší cenu zemního plynu. Směrodatná odchylka činí pouze 3.29 s nejvyšší hodnotou v pozorovaném období 44 ve dne 7. února 2012. Cena zemního plyn se obecně pohybuje v užším rozmezí. Hodnoty špičatosti jsou velmi podobné v cenách, ve změnách cen ovšem dosahují výrazně vysoké hodnoty 62.13. Šikmost změn cen, jakožto i relativních změn cen jsou záporné, pravděpodobněji se tedy vyskytují změny směrem dolů. Obecně se ovšem dá říci, že charakteristiky tohoto trhu jsou podobné trhu s elektřinou. Obrázek (18) zobrazuje sezónnost v různých letech na podkladu kalendářního roku podobně jako u elektřiny, obrázek (19) je grafem diferencovaných cen ve zkoumaném období
. Obrázek (18)
- 18 -
Obrázek (19)
3.5. Závěr Obecně se na základě analýzy, jež byla provedena v této kapitole, dá konstatovat, že cenový systém ve výše sledovaných případech vykazuje prvky určité předvídatelnosti. Potvrzena byla sezónnost dat, návrat ke střední hodnotě a očekávané vztahy mezi jednotlivými typy dodávky. Dále je ověřeno, že poptávka po elektřině následuje určitý pravidelný interval hospodářské aktivity v průběhu týdne, kde je patrná snížená poptávka o víkendech (důležitými odběrateli energií jsou velké průmyslové podniky, či kancelářské komplexy).
4.
Modely spotové ceny elektrické energie
4.1. Úvod Elektřina je ve své podstatě „neobchodovatelné“ (nontradeable) zboží, spotový trh je vlastně krátkodobý trh s forwardy či futures, jež jsou obchodovatelnými deriváty. Výroba a spotřeba elektrické energie musí být v každém okamžiku vyrovnána. Nerovnováhy v poptávce a nabídce způsobují výrazné skoky podkladového aktiva. Zajištění derivátových kontraktů pomocí podkladového aktiva vyžaduje schopnost skladování podkladové komodity, což je v případě elektřiny velmi nákladné a neefektivní či téměř nemožné. Trh je tím pádem nekompletní a nezávislý na stochastickém procesu užitém pro modelování podkladového aktiva. Rizikově neutrální pravděpodobnostní míra Q není jedinečná, ale může být získána z derivátových trhů, jako jsou forwardy a futures. Trhy s energií vykazují návrat ke střední hodnotě, existuje zde dlouhodobá rovnovážná úroveň (fair price), která je mnohem méně volatelní než spotová cena. Volatilita s rostoucím časovým horizontem klesá. Z důvodu neskladovatelnosti elektřiny jsou pozorovatelná cyklická kolísání v různých časových obdobích. Občasné skoky a výkyvy trvají jen velmi omezenou dobu. Je zřejmé, že klasický jednoduchý Geometrický Brownův pohyb není pro modelování elektřiny úplně vhodným. 4.2. Jedno-faktorový proces navracející se ke střední hodnotě (One Factor Mean-Reverting Process) Tento proces je ve finanční literatuře hojně užívaným, většinou je založen na OrnsteinUhlenbeck (OU) procesu. Vhodným modelem vykazujícím vlastnosti trhů s komoditami je OU proces pro logaritmus ceny navržený v [21]. Uvažovaný proces spotové ceny ve tvaru: - 19 -
obsahuje sezónnost obsaženou v deterministické složce procesu , jež se v čase vyvíjí
a stochastickou složku v OU
a popisuje navracení se ke střední hodnotě, jež je rovna nule, a konstantní rychlost návratu ke střední hodnotě . popisuje standardní Wienerův proces, popisuje deterministický časově závislý parametr volatility. Nevýhodou tohoto modelu se v praxi ukázala neschopnost pokrýt neočekávané extrémní výkyvy s rychlým zpětným návratem (spike). Exponenciální proces je použit k zabránění výskytu negativních cen ,které jsou ovšem na trzích s elektřinou možné. Použitím Itoovy formule na upravený získáváme (
) (
(3.1) )
kde (
(
)
)
.
Užitím substituce
a opět Itoo Lemma získáme
(3.2)
kde (
)
Za použití identity
přeskupením členů v (3.1) a integrováním od t0 do t získáme ∫
∫ - 20 -
(3.3)
Užitím (
)
(
)
druhý integrál v (3.2) může být zjednodušen (
∫
)
Jelikož [∫
]
∫
potom (
∫
)
Poté pro proces ceny {∫
}
Rovnice (3.3) může být v souladu s [10] přepsána
kde
a
Očekávaná hodnota a její rozptyl je dáno ( |
∫
) ( |
)
(
√ |
)
kde (
|
)
∫
√
čili - 21 -
[ ( |
)]
(3.4)
( |
)
(
)
Vanilla call opce v čase s cenou plnění (strike) očekávanou hodnotou výplaty v čase vyplnění |
[ {
[
[
∫
[
]
v čase je dána diskontovanou |
[
(
)|
]
]} ]
√ ∫
√
[
] ]
kde ∫
√
je normální kumulativní distribuční funkce se střední hodnotou
a rozptylem
a
4.3. Dvou-faktorový proces navracející se ke střední hodnotě (Two Factor Mean-Reverting Process) Základním nedostatkem jedno-faktorových modelů je, že změny spotové a forwardové ceny jsou pro všechny splatnosti perfektně korelovány, což zjevně odporuje reálné datové základně. Proto se často při modelování procesu vývoje cen elektrické energie (jakožto i cen jiných aktiv: akcie, úrokové míry, měny,…) přidává druhý faktor, případně i více. Důsledkem rozšíření jedno-faktorového modelu o jeden další je skutečnost, že změny spotové a forwardové ceny již nejsou perfektně korelovány. Na základě přístupu [21] rozšíříme jedno-faktorový model přidáním stavové proměnné , jež sleduje aritmetický Brownův pohyb a určuje dynamiku dlouhodobého procesu, dostáváme:
Rizikově upravený proces pro stavové proměnné má tvar:
- 22 -
kde
jsou tržní ceny rizika pro každou stavovou proměnnou, které jsou uvažované jako
a a konstantní.
Podobný přístup navrhuje i [26] ve svém Pilipovic Model, který popisuje spotovou cenu navracející se ke střední hodnotě a rovnovážnou cenovou úroveň, jež má log-normální rozdělení:
kde značí dlouhodobou rovnovážnou cenu v čase , je míra rychlosti návratu ke střední hodnotě, označuje drift dlouhodobé rovnovážné ceny, je volatilita dlouhodobého procesu rovnovážné ceny a členy a jsou náhodné stochastické proměnné definující náhodný proces spotové respektive dlouhodobé rovnovážné ceny. Očekávaná hodnota spotové ceny v čase je (
)
kde
Pokud je návrat ke střední hodnotě mnohem větší než míra návratnosti dlouhodobé rovnovážné hodnoty , je možné aproximovat hodnotu , čímž získáváme očekávanou hodnotu spotové ceny v čase :
Reálie energetického trhu splňují předpoklad, že míra návratu ke střední hodnotě je mnohem vyšší než drift dlouhodobé rovnovážné a volatilita spotové i dlouhodobé rovnovážné ceny, čili , poté hodnota druhého momentu je ve tvaru [
] (
)
(
)
Velice aktuální je práce [5], kde je prezentován proces navracející se ke střední hodnotě s dvojitými exponenciálními skoky (mean-reverting double exponential jump-diffusion process), který má ambice zachytit hroty (spikes) ve vývoji ceny, asymetrické rozdělení výnosů, špičatost vyšší než tři a volatility smile. Spotová cena se skládá ze dvou částí: deterministická funkce obsahující sezónnost a proces navracející se ke střední hodnotě obsahující skoky
- 23 -
Velikost skoku
∑
má asymetrické dvojitě exponenciální rozdělení s hustotou
jsou pravděpodobnosti skoku nahoru respektive dolů. Dále platí, že
kde .
Předpokládáme, že veškeré zdroje náhodnosti Itoovi formule pro proces se skoky f á jako
,
a
jsou vzájemně nezávislé. Užitím
kde časově závislá úroveň návratu ke střední hodnotě je dána ( Nová funkce hustoty procesu se skoky
) je
Jelikož je elektřina neskladovatelnou komoditou, neplatí zde obecný předpoklad úplného trhu a není splněna podmínka nemožnosti arbitráže. Trh s elektřinou je nekompletní a jemu ekvivalentní martingalová míra není jedinečná. [5] ukazuje, že existuje množina ekvivalentních rizikově neutrálních měr , které sice nejsou určeny jedinečně, ale platí zde podmínka nemožnosti arbitráže. 4.4. Deterministická složka modelů Jak bylo uvedeno výše, součástí modelů je deterministická složka obsahující v sobě sezónnost časových řad. Účelem této deterministické časové funkce je zachytit veškeré relevantní součásti modelu, které jsou považovány za předvídatelné. Je více způsobů, jak se s tímto úkolem vypořádat. Nejjednodušším přístupem je použití konstantní funkce pro všechna období . To by ovšem znamenalo, že ačkoliv jsou pozorovatelné rozdíly v cenách a vlastnostech časových řad mezi sezónami a je zjevně pozorovatelné opakující se týdenní chování časové řady, tyto jevy jsou náhodné a ve své podstatě nepředvídatelné. Čili užití tohoto modelu v případě energetických časových řad se jeví jako nevhodné. Další možností je zahrnutí trendu, např. lineárně časový trend. V případě elektřiny ovšem není zřejmý žádný takový jev, v případě zemního plynu lze pozorovat mírně klesající trend, časová řada však dle mého názoru disponuje málo pozorováními k určení takového trendu. Velmi často užívané je zahrnutí určitého periodického chování a to pomocí sinusoidální funkce, tak jako navrhuje [26]. [26] dokonce navrhuje v určitých případech zahrnutí dvou sinusoidálních funkcí. To je vhodné zejména pro modelování trhů v USA, které jsou charakteristické opakujícími se dvěma vrcholy. První je pozorovatelný v zimě při zvýšeném používání elektřiny k vytápění, druhý je klasicky v létě při vysokých teplotách a zvýšeném užívání klimatizačních systémů. V prostoru střední Evropy nejsou rozdíly mezi jednotlivými sezónami až tak výrazné, rozhodně se neopakují pravidelné vrcholy, proto je dle mého názoru použití sinusoidální funkce v tomto kontextu nevhodné. Jako vhodné se mi jeví použití po částech spojité funkce pomocí dummy proměnných. [21] navrhují funkci rozlišující pomocí dummy proměnných pracovní dny a víkendy. Navíc se snaží zachytit vývoj časové řady v jednotlivých měsících. Funkce nabývá tvaru
- 24 -
∑ kde { á
{
a pro jsou konstantní parametry. Beta parametry zachycují změny proměnných v závislosti na tom, zda je víkend či nikoliv, a v závislosti na kalendářním měsíci oproti úrovni, jež je zachycena v lednu v pracovních dnech.
5.
Metody oceňování swing opcí
5.1. Oceňování swing opcí pomocí simulace Monte Carlo Mezi nejčastější postupy patří simulační metody založené na Monte Carlo přístupu, aplikace metod tzv. „stromů“ a řešení pomocí parciálních diferenciálních rovnic. Výhodou oceňování pomocí metody Monte Carlo je poměrně vysoká pružnost v použití různých modelů vývoje podkladových aktiv. Výpočetní komplikovanost roste lineárně se zvyšujícím se počtem faktorů, je tedy poměrně jednoduché aplikovat multi-faktorové modely. Očekávané hodnoty, jež jsou získány pomocí Monte Carlo, jsou náhodné proměnné, není tedy s jistotou zřejmé, že získané hodnoty jsou blízké hodnotám, které jsou žádané. Obvykle se dá ovšem zjistit, s jakou pravděpodobností se nacházejí v určitých intervalech spolehlivosti, jejíž průměr je obvykle proporcionální reciproční druhé odmocnině výpočetní složitosti. Největší obtíží použití Monte Carlo pro ocenění Swing opcí je, že samotná metoda není schopna poskytnout podmíněná rozdělení, která jsou nutná pro výpočet hodnot pokračování v rovnici dynamického programování. Tento problém je řešen pomocí metody Monte Carlo nejmenších čtverců (LSM), který navrhli Longstaff a Schwartz a jež je asi nejčastěji využívaným postupem v podobných případech. Úvodním krokem algoritmu je simulace množiny pozorování náhodné veličiny podkladového aktiva. Pomocí výstupu ze simulace je možné vypočítat hodnotu opce pro každé pozorování v posledním časovém bodě. Čas je zde vnímán diskrétně. Poté postupujeme jednotlivými časovými body zpět (backward) a v každém časovém okamžiku porovnáváme hodnotu výplaty z okamžitého uplatnění opce s hodnotou pokračování života opce, kterou musíme vypočítat pomocí diskontovaného podmíněného očekávání ohledně funkční hodnoty v příštím časovém okamžiku. Úskalím zde ovšem je fakt, že podmíněné rozdělení v příštím časovém okamžiku v současném časovém bodě není známé. K překonání této nesnáze je použita vhodná aproximace funkčních hodnot pokračování života opce pomocí bázových funkcí za využití regresní metody nejmenších čtverců. Aproximace je dosaženo pomocí vhodných bázových funkcí a vytvoření ortonormálního systému. Vytvořením ortonormálního systému náhodných proměnných je riziko (náhodná proměnná) rozloženo na součty nekorelovaných zdrojů rizika, z každého zdroje je získána informace tak, abychom se vyhnuli nadbytečnosti, a tím je získáno jednoduché zastoupení rizika. Jedná se o generalizaci geometrického konceptu ortogonální projekce v Euklidovských prostorech. Jestliže máme vektor v prostoru , a chceme nalézt nejbližší vektor na plošině , poté provedeme ortogonální projekci. Detailněji bude algoritmus popsán v šesté kapitole.
- 25 -
V literatuře se použitím simulací v oceňování Swing opcí zabývají také [7], kteří se soustředí na vytvoření modelu spotové ceny, jež by zahrnoval i zatížení. Použili zde Monte Carlo k výpočtu naivní spodní a horní hranice. [10] aplikuje Longstaff-Schwartzovu metodu na případ Swing opcí, přičemž tento přístup je dále rozšířen [24], který zahrnuje do své práce mnohem sofistikovanější cenový proces pomocí metody Kvazi Monte Carlo (QMC). Aplikace LSM je i přítomna v [3], kteří se pomocí parametrizace kontrolních rozhraní snaží nalézt optimální strategii a přichází ke zjištění, že optimální nákupy jsou vždy na hranicích povoleného intervalu (bang-bang type). [12] aplikuje LSM na přerušitelné dodávkové kontrakty. K získání těsnější horní hranice je použita dualita [23]. Jejich práce je dále rozvinuta [1]. 5.2. Oceňování swing opcí pomocí metody sítí (finite diference) Hodnota Swing opce může být zapsána jako funkce času, podkladového aktiva proměnné
a stavové
V každém časovém bodě , kdy má subjekt právo na plnění opce, se subjekt rozhoduje, jak velké množství okamžitého peněžního toku vymění za budoucí flexibilitu v dodávce. Jestliže označuje uplatněné množství (kladné, či záporné zvýšení dodávky) a je odpovídající funkce peněžních toků, poté můžeme zapsat rovnici dynamického programování
kde [ (
|
)]
Jakmile zjistíme pravděpodobnostní měřítko, které používáme, očekávání můžou být aproximována pomocí stromů anebo můžou být řešením parciálních diferenciálních rovnic vyplívajících z Feynman-Kacova znázornění a opce může být ohodnocena zpětným směrem (backward) z konečných hodnot. Uvažujme uspořádání, v němž forwardová křivka je generována jako očekávané řešení stochastické diferenciální rovnice
| Poté spočteme očekávání ohledně opční hodnoty [ (
|
)]
jako řešení parabolické difuzní parciálně diferenciální rovnice pro :
s konečnou podmínkou
- 26 -
mezi
a
Je téměř neomezené množství možností řešení parciálních diferenciálních rovnic. Typicky se snažíme diskretizovat čas a zapsat vztah uspokojující aproximované řešení v přilehlém čase a vyřešit tento vztah zpětně v čase. To znamená vyřešit další diferenciální rovnici, tentokrát na neomezeném prostoru. Zavedeme umělé hraniční podmínky, diskretizujeme čas a použijeme metodu konečných prvků nebo metodu sítí. Musí být zajištěno, aby výpočet byl konzistentní s originální parciálně diferenciální rovnicí a také aby bylo stabilní. V literatuře [30] užívá metodu sítí založenou na modelu, jež zahrnuje sezónnost, návrat ke střední hodnotě a je zlogaritmován v ceně. Také vyšetřuje greeks. [9] popisuje systém proměnných nerovností, které mu umožňují ocenění spojitých Swing opcí za přítomnosti refrakčního času. [16] ohodnocuje Swing opce s modelem spotové ceny obsahujícího skoky za použití metody sítí. [32] používá metodu konečných prvků. 5.3. Oceňování swing opcí pomocí metody stromů Základní myšlenkou použití binomické metody je vytvoření diskrétní verze množiny možných stavů světa. Ceny aktiv mohou kolísat pouze omezeně. V určitém časovém bodě je definováno, že cena aktiva je v příštím okamžiku násobena hodnotou nebo , přičemž platí . Hodnota aktiva v příštím časovém okamžiku je tedy s určitou pravděpodobností a s komplementární pravděpodobností . S počáteční hodnotou v čase je generován strom hodnot, který je v každém časovém okamžiku dále rozšiřován neustálým větvením v každém bodě na dvě části. Každá větev má svou pravděpodobnost a tak je konečným výsledkem soustava podmíněných rozdělení pro různá množství s hodnotami na větvích stromu. Hodnoty , a pravděpodobnosti jsou kalibrovány tak, aby souhlasily s momenty rizikově upraveného procesu podkladového aktiva a aby očekávané hodnoty na stromě odpovídaly forwardovým cenám. Při aplikaci stromové metody na případ Swing opcí, je nutné sestavit samostatný strom pro každé množství ještě zbývajících práv na uplatnění (změnu dodávky podkladového aktiva) a poté je třeba rozhodnout v každém časovém okamžiku, zda práva využít, a to pomocí rovnic dynamického programování, kde očekávané hodnoty jsou spočteny na stromech. Implementace stromové metody je jednoduchá, vzorec pro spočtení očekávání je diskretizací oceňování pomocí parciálních diferenciálních rovnic. Zařazení skoků do procesu podkladového aktiva zvyšuje výpočetní složitost. Jedna z prvotních implementací stromové metody je popsána [29], který aplikuje binomický model na take-or-pay kontrakty na trzích se zemním plynem. [19] vytvořili binomický strom pro dvou-faktorový model s navracející se střední hodnotou (mean-reverting) a přidávají důkaz konvergence. [14] zavádějí trinomický strom. Metoda stromů a metody parciálních diferenciálních rovnic můžou být využity poměrně přímočaře k řešení jedno a dvou-faktorových modelů, ale se zvyšujícím se počtem faktorů počet časových bodů rozhodování roste exponenciálně a výpočetní náročnost se tím pádem velmi rychle zvyšuje. Parciálně diferenciální rovnice poskytuje, pokud jsou aplikovatelné, spolehlivé odhady řeckých písmen (greeks).
6. Longstaff Scgwarztzova metoda aproximace pomocí nejmenších čtverců (LSM) Oceňování amerických opcí je vyzívající úlohou zejména z důvodu nepraktičnosti metody sítí a binomických metod v případech více-faktorových modelů. V situaci, kdy je opce řízena více než jedním faktorem, se využívá simulací, které se jeví jako jednoduché, transparentní a flexibilní. Držitel americké opce porovnává v každém rozhodném období výplatu dvou variant: uplatnění opce anebo očekávanou hodnotu budoucích peněžních toků z opce, pokud se rozhodne neuplatnit právo na plnění. Optimální strategie načasování (teorie optimální strategie zastavení je vysvětlena v apendixu) uplatnění opce je tedy závislá na podmíněném očekávání ohledně výplaty za předpokladu neuplatnění - 27 -
opce v předchozím období. Autoři navrhují přístup nejmenších čtverců Monte Carlo (LSM). Podstatou je, že podmíněné očekávání ohledně výplaty může být aproximováno průřezovou informací ze simulace použitím nejmenších čtverců. Je provedena regresní analýza ex post uskutečněných výplat v případě neuplatnění opce v závislosti na funkci hodnot stavové veličiny. Výhodou tohoto přístupu je, že vyžaduje pouze využití nejmenších čtverců. 6.1. Oceňovací rámec Předpokládejme podkladový úplný pravděpodobnostní prostor a konečný časový horizont , kde stavový prostor je množinou všech možných uskutečnění stochastického procesu v čase až s typickým prvkem představujícím průběh jedné cesty, je σ-algebra a je pravděpodobnost na Definujeme rozšířenou filtraci generovanou příslušným cenovým procesem a předpokládáme Za předpokladu nemožnosti arbitráže existuje ekvivalentní martingalová míra . Snahou je ohodnotit americkou opci s náhodnými peněžními toky, které se mohou vyskytnout v časovém intervalu . Pozornost je věnována pouze derivátům, jež jsou prvky prostoru integrovaného druhým stupněm čili konečného rozptylu funkcí Hodnota americké opce může být reprezentována Snellovou obálkou (Snell envelope): hodnota opce je rovna maximální hodnotě diskontovaných peněžních toků z opce, kde maximum je bráno ve všech časech zastavení (stopping time) s přihlednutím k filtraci. označuje průběh peněžních toků generovaných opcí podmíněné neuplatněním opce do času t a za předpokladu, že držitel opce dodržuje optimální strategii zastavení (života opce) pro všechna Účelem LSM algoritmu je maximalizace hodnoty americké opce pomocí vhodné aproximace optimální strategie zastavení. V případě americké opce, jež může být uplatněna pouze v diskrétních časech a za využití optimální strategie zastavení investor v posledním rozhodném období o uplatnění opce opci uplatní, jestliže je „v penězích“. Nicméně v období před posledním rozhodným datem o uplatnění, držitel zvažuje, zda opci uplatnit ihned, či ponechat opci „živou“. Hodnota opce je nepodmíněně maximalizována, jestliže investor bezodkladně uplatní opci v situaci, kdy zjistí, že současná hodnota při uplatnění je větší nebo rovna hodnotě neuplatnění opce. V čase je známa hodnota peněžních toků z uplatnění: , hodnota z pokračování opce je naproti tomu neznámou. Teorie o nemožnosti arbitráže nicméně napovídá, že hodnota pokračování je dána očekáváním ohledně diskontovaných peněžních toků s přihlédnutím k rizikově neutrální cenové míře Q. Hodnota pokračování může být zapsána [ ∑
( ∫
)
|
]
(6.1)
kde je rizikově neutrální diskontní míra, jež může být stochastická, a očekávání jsou brána podmíněně vzhledem k informační množině v čase . Optimalizace je dána porovnáváním hodnot výplaty z okamžitého uplatnění s podmíněnými očekáváními a okamžitým uplatněním v případě, že hodnota z okamžitého uplatnění je vyšší než očekávání ohledně budoucích výplat. 6.2. LSM algoritmus Průběh porovnávání možností držitele opce je v čase zpětný (backward), peněžní tok v čase se může lišit od V čase neznámá funkční forma v rovnici (6.1) může být reprezentována lineární kombinací konečné množiny - měřitelných bázových funkcí ∑ - 28 -
Příkladem vhodné bázové funkce je ortogonální systém Legendrových polynomů:
na intervalu
vzhledem k vlastnímu součinu ∫
kde
jsou ortogonální prvky normovaného lineárního prostoru .
Tento předpoklad je formálně ospravedlněn, jestliže podmíněná očekávání jsou součástí prostoru integrovaného druhým stupněm vzhledem k určité míře. Jelikož je Hilbertovým prostorem, je zde konečné množství ortonormálních bází a podmíněná pravděpodobnost může být reprezentována jako lineární funkce součástí báze. aproximujeme užitím počátečních bázových funkcí označením což je odhadováno regresí diskontovaných hodnot . Užívají se pouze pozorování „v penězích“, čímž je potřeba mnohem méně bázových funkcí k získání přesné aproximace podmíněné funkce očekávání. S počtem pozorování N („v penězích“) jdoucím k nekonečnu hodnota regrese ̂ konverguje ve střední hodnotě a pravděpodobnosti k 3 Hodnoty ̂ jsou porovnány s hodnotami při okamžitém uplatnění v čase – . Po rozhodnutí o optimální strategii zastavení je možné aproximovat pozorování o peněžních tocích Hodnota americké opce VLSM je v konečné fázi vypočítána v čase 0 posouváním dopředu v každém pozorování do prvního zastavení, diskontováním příslušných peněžních toků CLSM(ωi) z času, kdy došlo k uplatnění, zpět do času 0 a spočtením průměru všech pozorování ∑ 6.3. Výsledky konvergenční analýzy [20] ve své práci dokazují, že za předpokladu konečného výběru z , téměř jistě platí konvergenční pravidlo ∑
3
Slabý předpoklad existence momentů povoluje využít Theorem 3.5 z White (1984)
- 29 -
a vektoru
Vyústěním LSM algoritmu je pravidlo zastavení pro opce amerického typu. Hodnota americké opce je nicméně založena na takovém pravidle zastavení, jež maximalizuje hodnotu opce; všechna další pravidla (čili i to získané pomocí LSM) musí vést k nižší nebo stejné hodnotě než je ta, která byla získána pomocí optimálního pravidla zastavení. Dále dokazují, že za předpokladu, že hodnota americké opce závisí na jedno-stavové proměnné na následující markovský proces, a za předpokladu, že opce může být uplatněna v a a podmíněná funkce očekávání je dokonale spojitá a ∫ ∫ pak pro všechna
existuje takové [|
že
∑
|
]
Arbitrárně určená hodnota je stupněm přesnosti za předpokladu dostatečně vysokého ponechání
a
6.4 LSM algoritmus detailněji Pro podrobnější popis algoritmu chvíli z důvodu zjednodušení uvažujme nulové úrokové sazby. Na úvod je třeba nasimulovat průběh podkladové spotové ceny. Matice se skládá z částic , jež představují spotovou cenu i-tého průběhu v čase . Matice je řádu kde je počet nasimulovaných průběhů a je počet časových kroků, v nichž je možné plnění opce. V dalším kroku je nutné vybrat vhodnou bázovou funkci. [20] navrhují např. množinu vážených Laguerrovych polynomů: ( (
Dle této specifikace může
)
)
(
)(
(
)
)
být prezentováno jako ∑
s konstantními koeficienty . Použity ovšem můžou být i např. Hermitovy, Legendrovy, Čebiševovy, Gegenbauerovy a Jacobiho polynomy. Dle autorů numerické testy ukazují, že přesné výsledky dodávají Fourierovy nebo trigonometrické řady a dokonce i mocniny stavových - 30 -
proměnných. Dalším krokem algoritmu je zjištění vektoru peněžních toků v posledním rozhodném čase . Jelikož se jedná o poslední časový bod, ve kterém subjekt rozhoduje, z logiky věci vyplývá, že hodnota pokračování je nulová a tedy (
)
kde ( ) označuje funkci výplaty. Stačí se tedy soustředit pouze na funkci výplaty jednoduché vanilla call opce (
)
(
)
kde se může mezi jednotlivými časovými body, ve kterých subjekt rozhoduje o uplatnění, měnit. V následujícím kroku jsou brány v potaz spotové ceny v období . Vybíráme pouze takové ̂ hodnoty, pro něž platí Získáme vektor s počtem pozorování nacházejících se v čase funkci
„v penězích“. Pomocí metody nejmenších čtverců je provedena regrese minimalizací výrazu ‖ kde
‖
regresních koeficientů pro časový bod
je vektorem
na bázové
a matice
je
dána ̂ (
̂
̂
̂
)
Řešení minimalizace je dáno
Vektor hodnot pokračování
získáme jako ∑
Předčasné vyplnění opce provedeme v případě, že (̂
)
(6.2)
Jestliže je rovnice (6.2) pravdivá, prvky matice jsou dány ( ̂ ) v opačném případě rovny nule. Všechny prvky v matici následující v pozorováních, kde je již splněna platnost rovnice (6.2), musí být také vynulovány. Takto se postupuje zpět v čase až do prvního časového bodu. Na konci se již pouze spočítá aritmetický průměr peněžních toků realizovaných v jednotlivých pozorováních. 6.5. Aplikace LSM na případ Swing opcí Oproti klasické adaptaci LSM algoritmu je třeba se v případě oceňování swing opcí vypořádat s dodatečnou dimenzí: počet nevyužitých možností vyplnění. V souladu s [10] bude ukázán příklad - 31 -
swing opce s pěti časovými body, ve kterých má subjekt právo rozhodnout o plnění a třemi možnostmi zvýšení dodaného objemu (upswing). Poté bude algoritmus zobecněn rozšířením o možnost snížení objemu (downswing) a zavedením funkce penalizující za deviaci z předem domluveného intervalu celkové spotřeby. Uvažujme swing opci s možnostmi plnění v časech t1, t2, t3, t4 a t5 s konstantní cenou plnění K (strike) a třemi možnostmi zvýšení (upswing). Nasimulováním N vzorků získáme matici S spotových cen o rozměru Oproti klasické bermudské opci je v případě předčasného okamžitého uplatnění opce užitek držitele roven nikoliv jen výplatě, ale navíc je také zvýšen o hodnotu zbylé Swing opce, která je ovšem o jednu možnost uplatnění chudší. Jestliže je opce uplatněna v čase tk, pro správné přeskupení vektorů peněžních toků v pozdějších obdobích tk+1,…,t5, v matici peněžních toků vyžaduje matici peněžních toků pro Swing opci, která disponuje počtem zbylých práv o jedno nižším. Zobecněná matice peněžních toků je tedy trojdimenzionální. První dimenzí je počet pozorování, druhou dimenzí je počet časových bodů rozhodování o uplatnění a poslední je počet zbylých nevyplněných práv na zvýšení objemu (upswing). [10] navrhuje označení matice peněžních toků pro zbylých práv zvýšení objemu Ce, čili v tomto příkladu se jedná o tři matice rozměru C1, C2 a C3. Po počátečním kroku vypadají matice následovně: [
]
[
]
[
]
kde % znamená, že peněžní tok je zde nedefinován a
je rovnice výplaty Swing opce. Pro C3 platí, že v čase t3 dojde k uplatnění, jestliže je výplata v tomto časovém bodě pozitivní, jelikož se jedná o v pořadí třetí časový okamžik od konečného. V matici C3 můžeme zkombinovat poslední tři časové body hned v úvodním kroku. Podobně pro C2 uplatnění nastává v t4. Matice C1 v t5 je shodná s maticí peněžních toků v Longstaff Schwartzově algoritmu pro Bermudské opce. Pokud máme v příkladu nasimulovaná pozorování, poté v počátečním kroku mohou vypadat následovně [
]
[
]
[
]
Nyní je nutné pokračovat zpět v čase. Pro časový bod t4 spočítáme hodnoty pokračování (čili nevyplnění opčního práva) pro jedno zbytkové právo na zvýšení objemu pomocí nejmenších čtverců - 32 -
z vektoru peněžního toku ̂ na bázové funkci. V ̂ jsou zvažovány pouze průběhy, kde výplata v t4 je pozitivní. Vektor hodnot pokračování v čase čtyři s jednou zbývající možností zvýšení objemu označíme Zjištěné hodnoty pokračování lze porovnat s hodnotami okamžitého plnění a matice poté může vypadat [
]
Všimněme si, že hodnota třetího průběhu byla vyplněna v čase t4 a tím pádem již nemůže být vyplněna v časovém bodě t5. Hodnoty matic C2 a C3 zůstávají nezměněné. V dalším kroku se přesouváme do časového bodu t3. Označíme součet vektorů a jako , vynecháním průběhů, ̂ v nichž je rovno nule, získáme , což použijeme v lineární regresi k získání vektoru hodnot pokračování v čase t3 se dvěma zbylými právy na zvýšení objemu Nyní se porovnání stavu nevyplnění práva na zvýšení objemu se stavem vyplnění práva řídí podmínkou (6.3)
je spočteno klasicky dle LSM algoritmu. Za splnění podmínky (6.3) je uskutečněno okamžité plnění, výplata je dána do rovnosti s a peněžní toky a nahrazují 1 3 a Následně je provedeno rozhodnutí o okamžitém uplatnění v C , C se stále nemění. Matice poté mohou vypadat [
]
[
]
V C2 se okamžité uplatnění objevuje v průběhu prvním a druhém, v C1 se neobjevuje. Dalším krokem je posunutí se (nebo spíše návrat) do časového bodu t2. Vypočítány jsou vektory hodnot pokračování pomocí regrese ̂ na bázové funkci, tak jak již bylo popsáno. Podmínky pro rozhodování o okamžitém uplatnění mají podobu pro C3
pro C2
a pro C1
Je nutné procházet proceduru v pořadí C3, C2 a C1, jelikož přeskupování peněžních toků v t2 probíhá vzhledem k matici peněžních toků v předcházejícím kroku iterace. V čase t1 získáme konečné matice peněžních toků C1, C2 a C3, z nichž hledaná hodnota Swing opce je získána aritmetickým průměrem řádkových součtů. Za povšimnutí stojí, že ačkoliv nás na začátku zajímala pouze Swing - 33 -
opce se třemi právy na plnění, v průběhu algoritmu jsme získali i hodnoty pro opce se dvěma a jedním právem. Obecný případ swing opce je obtížnější, protože oproti zjednodušenému příkladu výše je zde zahrnuta možnost snížení (v podstatě prodej, čili prvek put opce) dodaného objemu (downswing) a také funkce penalty, jež se odvíjí od celkového počtu uplatnění. V porovnání s předchozím algoritmem se zde nevyskytuje počet zbylých práv na plnění, ale naopak se zde uvažuje počet již uplatněných práv, značíme u pro možnosti zvýšení objemu a d pro možnost snížení. Celkový počet možných plnění označíme umax a dmax. J značí počet časových bodů, v nichž je možné rozhodnout o plnění. Jedná se nyní o čtyř-dimenzní problém skládající se z matic peněžních toků u, d C , které jsou rozměru Úvodním krokem je opět zjistit hodnotu peněžních toků v posledním časovém okamžiku. S funkcí penalty v posledním časovém bodě tJ v určitém průběhu získáváme pro : [ ( pro
)
(
]
: [
pro
)
(
)
]
[ (
)
]
:
kde je výplata z opce zvýšení (upswing) či snížení (downswing). V průběhu algoritmu opět v každém kroku musíme spočítat hodnoty pokračování pomocí metody nejmenších čtverců a rozhodnout o okamžitém plnění. Pokud dojde k rozhodnutí o okamžitém plnění, je nutné postupovat vpřed z V časovém kroku pro možnost zvýšení (upswing) podmínka okamžitého plnění pro zní: (
)
Pro možnost snížení (downswing) platí podmínka okamžitého plnění pro ve tvaru: (
)
Hodnota Swing opce je poté spočítána jako aritmetický průměr řádkového součtu matice po konečném kroku iterace. V každém řádku může být maximálně nenulových peněžních toků.
7.
Metoda sítí pro parciálně diferenciální rovnice
Zatímco někteří autoři [33] navrhují použití PDE jako jeden z nejužitečnějších nástrojů pro oceňování derivátů, jiní naopak upozorňují na zranitelnost vůči numerickým obtížím a upřednostňují použití jiných metod kdykoliv, kdy je to možné [22]. 7.1. BS rovnice a rovnice tepla Klasická Black-Scholesova rovnice splňuje PDE
- 34 -
kde volatilitou aktiva
je teoretická cena opce závisející na spotové ceně podkladového aktiva v čase s a bezrizikovou úrokovou mírou . Jedná se o lineární parabolickou rovnici
druhého řádu. Rovnice je parabolická, jelikož splňuje podmínku, že diskriminant Prototypem parabolické rovnice je rovnice tepla (diffusion equation) ve tvaru
kde je čas a je teplota bodu, kde být v méně-domenzionálním tvaru
4
je sladěno v řadě. Změnou proměnných rovnice může
Může být ukázáno, že Black-Scholesova rovnice je snadno transformovatelná na rovnici tepla. Pro smysluplné řešení musí být přítomny vhodné podmínky. Předpokládejme teplotu v bodě na tyči o velikosti v čase . Koncové body mají konstantní teplotu a počáteční teplota tyče je dána pro celou délku. Poté počáteční podmínka
a hraniční podmínky
Oblast je zde ohraničena vzhledem k prostoru a neohraničena v čase. Ve finančních aplikacích je počáteční podmínka obvykle nahrazena konečnou podmínkou. V případě oceňování opcí se jedná o známou výplatu v době expirace, časový prostor je tedy ohraničen, kdežto prostor, který je brán vzhledem k chování spotové ceny podkladového aktiva, může být teoreticky neohraničen5. 7.2. Numerická řešení pomocí metody sítí Metoda sítí k řešení PDE je založena na myšlence aproximace každé parciální derivace pomocí rozdílového kvocientu. Taylorova věta praví, že funkce může být ve tvaru (7.1) Zanedbáním podmínek řádu
a vyšších dostáváme
Tomu se říká přímá aproximace. Podobným uvažováním lze nadefinovat (7.2) z čehož získáváme zpětnou aproximaci
4 5
příkladem hyperbolické rovnice je vlnová rovnice , jelikož diskriminant ve skutečnosti je z výpočetních důvodů ohraničen v rozumné míře
- 35 -
.
kde v obou případech výraz označuje chybu. Jako nejlepší se ovšem jeví centrální (symetrická) aproximace, kterou vytvoříme odečtením rovnice (8.2) od rovnice (8.1), ve tvaru
Jako vhodnější je tato aproximace považována z toho důvodu, že chyba je zde ve tvaru Pro řešení Black-Scholesovy rovnice je nutné zavést také aproximaci derivace druhého řádu, což sečtením (8.1) a (8.2)
a zpřeházením
V [6] a [4] je ukázáno, že i numericky rozumné schéma s chybou blížící se nule a se snižující se délkou kroků v diskretizaci procesu nemusí konvergovat. Matematicky se jedná o ne jednoduchou mezihru konceptů konzistence, stability a konvergence. Řešení metodou sítí s kroky diskretizace blížícími se k nule ( ) mohou konvergovat k funkci, která není řešením PDE. 7.3. Řešení rovnice tepla pomocí Crank-Nicolsonovi metody Označme jednotlivé body v souřadnicové síti (grid)
kde a jsou délky diskretizačního kroku a je hodnota PDE v určitém bodě. Počáteční podmínkou je s hraničními podmínkami a pro . K řešení je možno použít explicitní a implicitní metody, přičemž explicitní za použití přímé aproximace je stabilní jestliže a implicitní za použití zpětné aproximace je nepodmíněně stabilní.
je v intervalu
Tyto metody využívají tří bodů na jedné časové vrstvě a jednoho bodu na sousední vrstvě. CrankNicolsonova metoda zvažuje tři body na obou časových vrstvách. Uvažujeme bod (
)
, který je mimo souřadnicový bod a aproximujme derivaci v tomto bodě za pomocí šesti sousedních souřadnicových bodů. Užitím Taylorova rozvoje (
)
[
a centrální aproximace časového bodu (
] získáváme
)
Poté užitím předchozích aproximací Crank-Nicolsonovo schéma nabývá tvaru
Vlastností tohoto schématu jsou nižší výpočetní požadavky ke splnění dostatečné míry přesnosti numerického řešení a to z důvodu, že chybou je obojí a . - 36 -
.
7.4. Řešení dvojdimenzionální rovnice tepla V řešení problémů ve financích i energetice se setkáváme s PDE, které zahrnují dva zdroje nejistoty místo jen jednoho. Většinou se jedná a měnící se volatilitu. Metoda sítí dokáže obsáhnout dvě nebo tři dimenze. Dvojdimenzionální rovnice tepla je definována jako
kde neznámá funkce s kroky diskretizace , a vzhledem k času získáme
je teplotou bodu je
na ploše v čase . Souřadnicové značení . Použitím přímé aproximace pro derivaci
což vede k explicitnímu schématu (
)
(
)
(
)
kde
Tato metoda je sice přímočará ohledně implementace, nevýhodou je nestabilita, které je odstraněna za podmínky
. Dalším přístupem k řešení může být časově náročná implicitní
metoda anebo Alternating Direction Implicit (AID) metoda. 7.5. Oceňování opcí pomocí metody sítí Hodnota opce v čase s podkladovým aktivem s cenou diferenciální rovnici
splňuje parciálně
s vhodnými hraničními podmínkami, které charakterizují typ opce. Nechme být časem maturity opce a vhodně vysokou hodnotou ceny, která je nedosažitelná. Hodnota ceny aktiva je sice neomezená, ale přesto musíme zvolit dostatečně vysokou hranici z výpočetních důvodů. zde v podstatě hraje roli . Souřadný systém bodů se tedy skládá z
Hodnoty opce v souřadnicovém systému jsou označeny pro evropskou put opci s hodnotou plnění K je ve tvaru
. Hraniční podmínka
V tomto případě tedy, pokud je hodnota aktiva velmi vysoká, hodnota opce je nulová, jelikož s vysokou pravděpodobností zůstane mimo peníze (out-of-the-money) čili - 37 -
pokud je naopak hodnota aktiva bezcenná ( rovna a diskontováním hodnota opce v čase je rovna
), poté hodnota výplaty v době expirace je
Přepsáním do souřadnicové soustavy:
Případ americké opce je složitější k řešení. Příčinou je přítomnost možnosti předčasného plnění. Pro ocenění exotických opcí je vyžadováno široké množství hraničních podmínek. Explicitní metoda pro ocenění evropské put opce za pomocí centrální aproximace derivace vzhledem k hodnotě podkladového aktiva a zpětné aproximace derivace vzhledem k času je řešením soustavy rovnice
a rovnic hraničních podmínek. Rovnice jsou řešeny v čase zpětně. Pokud dáme , jedinou neznámou zůstává hodnota jako funkce tří známých hodnot. Tak postupujeme v čase zpět stejným způsobem v každé vrstvě. Tento způsob řešení je velmi přímo převoditelný do výpočetního softwaru, jako je např. MATLAB, nevýhodou ovšem je numerická nestabilita. Dalším možným způsobem řešení je využití implicitní metody. Jako nejzajímavější se jeví Crank-Nicolsonova metoda, jež zvyšuje přesnost kombinací explicitní a implicitní metody. Black-Scholesova rovnice je přepsána do podoby: (
) (
)
Tato rovnice může být přepsána do tvaru
kde
- 38 -
(
)
Přepisem do maticové podoby získáváme rovnici f s příslušnými hraničními podmínkami, kde
f
(7.3)
[
]
[
] f
[f
f
f
]
Hlavní obtíží při ocenění americké opce je skutečnost neohraničenosti z důvodu možnosti předčasného uplatnění opce. Za přítomnosti podmínky o nemožnosti arbitráže hodnota opce v každém bodě prostoru nemůže být nižší než hodnota výplaty v případě, že opce je bezodkladně uplatněna. Pro americkou vanilla put opci to znamená splnění podmínky
Po spočtení hodnoty
je nutné zkontrolovat, zda se nevyplatí předčasné uplatnění opce [
]
V případě, že chceme aplikovat Crank-Nicolsonovu metodu pro ocenění americké put opce, řešíme podobný systém jako (7.3), který je řešen zpětně a má tvar f s pravou stranou
f
[
]
Pro každé časové vlákno máme iterativní schéma { {
[ [
]} ]}
- 39 -
{
[
]}
kde je hodnota okamžitého uplatnění a má významný vliv na konvergenci iteračních metod.
je parametr overrelaxation, jež
7.6. Aplikace metody sítí na oceňování Swing opcí Parciálně diferenciální rovnice řídící cenu opce v závislosti na podkladovém aktivu, jehož cenová dynamika je dána rovnicí (3.1) má tvar ( Volatilita
a funkce sezónnosti
)
(7.4)
jsou brány jako časově nezávislé konstanty, což vede k
a zjednodušuje (7.4) ve tvar
(7.5) Určeme časové body rozhodování o plnění opce jako ekvidistantní diskretizované body s a prostorové diskretizované souřadnicové body různých průběhů ceny energetického aktiva (elektřina) jako , . Rovnice (7.5) je tedy ohraničena na intervalu Tzv. , jež se klasicky uplatňuje při diskretizaci Black-Scholesovy parciálně diferenciální rovnice, aplikací na (7.5) dává:
.
[ ] (7.6) [ ] kde označuje aproximaci opční hodnoty v uzlu . Schéma je plně implicitní, jestliže a plně explicitní v případě . Dále se budeme zabývat situací , čili Crank-Nicolsonovým schématem. S a zpřeházením členů v (7.6) získáme systém lineárních rovnic (
)
s tridiagonální maticí
se členy
- 40 -
V čase je rovnice (7.4) redukována na Podmínkou v hraničním je
, není tedy třeba modifikace ve schématu.
což vede k modifikaci a stabilní a podmíněně konverguje, jestliže
. Crank_nicolsonovo schéma je podmíněně
a
.
Následujeme zde přístup [30] dynamického programování. Předpokládá se, že držitel opce maximalizuje opční hodnotu prostřednictvím optimální strategie vyplnění opce. Hodnotu Swing opce podkladového aktiva v časovém bodě možného plnění opce s již uplatněnými opcemi zvýšení dodaného množství (upswing) a uplatněnými opcemi snížení objemu (downswing) značíme
[ (
)
]. V každém časovém okamžiku může držitel uplatnit pouze jedno právo,
čili platí podmínka ( . Jestliže nejsou vyplněna všechna práva plnění zvýšení ) objemu ani snížení objemu, čili platí-li a , kde , znamená stejně jako v případě LSM algoritmu maximální povolený počet upswings a downswings,hodnota opce je rovna { kde poté
a
}
je hodnota upswing respektive downswing. Jestliže je vyplněn maximální počet upswings,
{
}
pokud je již vyplněn maximální počet downswings,pak {
}
V posledním časovém okamžiku rozhodování je uvažována i penalta ve tvaru a opční hodnota je pak dána podle situace jednou z rovnic
Algoritmus spočívá ve výpočtu hodnoty v posledním časovém okamžiku a zpětným chodem v čase, kde aplikujeme rovnice dynamického programování a řešení lineárního problému metody sítí v každém časovém kroku.
8.
Dynamické programování a Swing opce
Dynamické programování se v posledních letech jeví jako velice užitečný nástroj pro oceňování více-dimenzionálních amerických opcí pomocí Monte Carlo metody. Monte Carlo jako přístup je schopno se vypořádat s vícedimenzionálními modely, není ovšem samo o sobě schopno - 41 -
vyřešit otázku předčasného plnění, což je základní vlastností opcí amerického typu. Zde může pomoci právě dynamické programování. 8.1. Sekvenční rozhodovací proces Zvažme v souladu s [6] dynamický systém v diskrétním čase modelovaný stavovou rovnicí
kde je vektorem stavových proměnných na začátku časového intervalu a je vektorem ovládatelných proměnných, které jsou aplikovány v průběhu časového intervalu . Systém je uvažován bez přítomnosti nejistoty. Počáteční stav je dán a uvažujeme konečný časový horizont z do . Se znalostí současné hodnoty stavové proměnné po vybrání ovladatelné proměnné je v závislosti na časově proměnné dynamice popsané funkcemi známá budoucí hodnota stavové proměnné. Našim cílem je najít takovou optimální posloupnost kontrolních proměnných , kterým odpovídá optimální trajektorie tak, aby byla minimalizována účelová funkce ∑ Tato účelová funkce se skládá z nákladů trajektorie a nákladů vztahujících se ke konečnému stavu. Funkce je separovatelná ve smyslu, že posledních rozhodovacích období závisí pouze na současném stavu a r kontrolních ovladatelných proměnných . Také platí, že stavová proměnná je získána z aplikací kontrolní a závisí tedy pouze na těchto dvou proměnných a ne na předchozí historii . Tomu se říká vlastnost markovského stavu. Důsledkem je princip optimality: optimální posloupnost kontrolních proměnných je taková, kdy počáteční proměnná a první kontrolní a další kontrolní jsou optimální posloupností pro problém velikosti s počátečním stavem získaným aplikací první kontrolní proměnné . Poté můžeme rekurzivní funkční vztah zapsat jako
kde označuje celkové náklady vzniklé aplikací optimální posloupnosti ze stavu v čase . Pro získání počáteční hodnoty nákladů je nutné postupovat v čase zpět. Funkční rovnice má hraniční podmínku
V čase se posuneme o krok zpět do následující optimalizační problém:
a pro všechny možné stavy
Za předpokladu, že zjistíme funkční hodnotu řešením rovnice
Takto postupujeme až do počátečního stavu
řešíme
, můžeme se posunout o krok zpět do
. - 42 -
8.2. Řešení stochastických rozhodovacích problémů dynamickým programováním Ve stochastických úlohách současný stav a kontrolní proměnná neurčí příští stav, ale pouze jeho podmíněné pravděpodobnostní rozdělení. Uvažujme časově nezávislé pravděpodobnosti přechodu | kde je náhodná proměnná označující další stav v případě diskrétního stavu. Ve spojitém případě uvažujeme dynamickou rovnici
kde je náhodný šok, který nastane až po volbě kontrolní proměnné případě budoucí náklady jsou podmíněným očekáváním v rekurzivní rovnici
kde označení
. Ve stochastickém
vypichuje, že očekávání jsou brána vzhledem k tomu, co víme v současném
stavu.
8.3. Pflug, Broussev behaviorální model stochastického programování pro oceňování swing opcí [25] zakládají svůj model na pojmu již akceptovatelné ceny pro prodávajícího opce a behaviorálním modelu držitele opce. Prodávající opce při určení požadované ceny čelí faktu, že tato cena musí být určena dříve, než začne samotné plnění opce. Musí tedy učinit rozhodnutí tady a teď (here-and-now), kdežto držitel opce může upravovat svou strategii za pomocí dat, jež se později objeví (watch-and-see). Tato situace se nazývá stochastická asymetrická hra. Prodejce opce se snaží určit takovou cenu opce, aby byla splněna podmínka Nashova ekvilibria, že žádná ze stran účastnící se hry nemá důvod měnit své chování. Neexistuje ovšem žádná spravedlivá jedna cena, jelikož na trhu s elektrickou energií není z důvodu neskladovatelnosti plně platná podmínka o nemožnosti arbitráže. Zajišťování pomocí futures může snížit riziko a přetvarovat distribuční funkci zisků a ztrát, nikdy ovšem nesníží riziko na nulovou hodnotu. Proto autoři zavádí pojem akceptovatelné ceny a to takové, že strategie zajištění dokáže pro přetvarovanou distribuci zisků a ztrát zajistit, že pravděpodobnost ztráty je pod určitou předem danou hodnotou (např. 10-15%). 8.4. Akceptovatelná cena pro poptávku závislou na spotové ceně Předpokládejme, že prodávající opce ví průběh poptávky držitele opce závisející na spotové ceně. Ví tedy, jakou strategii zvolí držitel opce v závislosti na budoucích cenách, nezná ovšem samotné budoucí spotové ceny. V diskrétním scénářovém modelu zvažujeme konečný počet možných scénářů s pravděpodobnostmi . Zvažujeme konečný pravděpodobnostní prostor , spotové ceny jsou dány maticí o rozměrech , průběh poptávky po dodávce elektřiny je popsán maticí o stejných rozměrech. Ke snížení vlastního rizika může prodávající opce kupovat energetická futures, která zajišťují stabilní dodávku v určitých časových intervalech. Není ovšem možné dokonale kopírovat reálný průběh poptávky po dodávce a je proto nutné přidat do úvahy reziduální riziko z pohledu prodávajícího opce. Předpokládáme, že existuje nástrojů zajištění (různé futures kontrakty), které jsou charakterizovány cenou a průběhem dodávky , kde je množství dodané v časové periodě . Kontrakt může - 43 -
být různého typu, na pražské energetické burze PXE se např. jedná o kontrakt base load, jež pokrývá poptávku ve všech dnech po celý den, peak load, který zaručuje dodávku ve všedních dnech od osmé hodiny ranní do osmé hodiny večerní a off peak s dobou dodávky půlnoc až osmá ranní a poté osmá hodina večerní až půlnoc. Předpokládáme, že model spotové ceny je kalibrován vzhledem ke známým cenám futures tak, že platí neutrální očekávání ∑
∑
(8.1)
Rozhodování subjektu, jež je krátký v opci se skládá z určení počtu jednotek futures kontraktu za cenu a požadovaná cena opce . Nespárované přebytky a nedostatky v časové periodě jsou rozdílem ∑ a mohou být nakoupeny na spotovém trhu. Hodnota tohoto přebytku či nedostatku v čase je dána výrazem [∑
]
Pokud bychom chtěli zahrnout transakční náklady, označíme příjem plynoucí z prodeje přebytečné jednotky na spotovém trhu a náklady na dodatečnou jednotku elektrické energie na spotovém trhu. Poté platí [∑
[∑
]
]
Pro zjednodušení abstrahujme dále od transakčních nákladů. Označíme jako proměnnou zisků a ztrát plynoucích z opce. Ta se skládá z příjmů plynoucích z kontraktu typu swing opce zvýšenou či sníženou o aktivitu na spotovém trhu a sníženou o náklady zajištění. V závislosti na vektoru produktů zajištění a požadované ceně nabývá funkce zisků a ztrát podoby ∑
∑
[∑
]
∑
s pravděpodobností . Z důvodu rovnice (8.1) platí, že očekávaný zisk nezávisí na rozhodování o výběru hedgových instrumentů ∑
∑
[
]
8.5. Akceptovatelná požadovaná cena a optimální zajištění Příjmová proměnná se nazývá akceptovatelná (acceptable), jestliže pravděpodobnost propadu pod nulovou hodnotu je menší než :
kde je většinou dáno rozhodnutím managementu společnosti prodávající opci. Ze všech možných akceptovatelných proměnných je vybrána ta z nejnižší akceptovatelnou jednotkovou cenou
- 44 -
za dodávku a nazývá se nejnižší akceptovatelná cena kontraktu (least acceptable contract price). Nalezena je pomocí následujícího optimalizačního problému:
vzhledem k
Tato úloha je nekonvexní, může být ovšem modifikována nahrazením podmínku , kde průměrný value-at-risk
za
∫ . Podmínka . Optimalizační úloha je nyní ve tvaru:
s
znamená, že
, čili
vzhledem k
To je lineárním programem vzhledem proměnným jelikož podmínka ekvivalentní tvrzení: existuje takové a ne-negativní vektor , že
je
Označíme následující jako: ∑
̅
spotová hodnota m-tého zajišťovacího nástroje v s-tém scénáři
∑
spotová hodnota poptávky v s-tém scénáři
∑
celková poptávka v s-tém scénáři.
S tímto značením hodnota zisku či ztráty ̅
∑
[
]
Struktura úlohy převedené do konvexního tvaru pro zjištěné požadované ceny je:
vzhledem k ∑
- 45 -
̅
∑
[
]
9. Aplikace oceňování swing opcí pomocí LSM algoritmu na trhu s elektřinou v ČR Poslední kapitola je věnována praktické ukázce ocenění swing kontraktu na základě dat z trhu s elektřinou v České republice. Jako podkladové aktivum byl vybrán kontrakt na dodávku base load. Swing opce splňuje následující parametry: kontrakt o době trvání jednoho týdne s počátkem v pondělí 9.9. 2013 a koncem v neděli 15.9. 2013 se třemi možnostmi vybrání si možnosti plnění opce, vyplnit opci má držitel právo každý den doby trvání kontraktu (sedm možností), objem je možné pouze zvýšit (upswing) a cena vyplnění je ve všední dny rovna 39 €/MWh a o víkendu 32€/MWh. Pro jednoduchost úrokové míry jsou rovny nule. Pro nasimulování průběhů vývoje podkladového aktiva byl vybrán jako nejvhodnější model spotové ceny dvou-faktorový Pilipovic model ve tvaru
Simulace proběhla na základě historických dat známých k 15.8.2013. Nasimulováno by 10 000 průběhů. Následně byla sestavena výplatní matice vanilla call opce. Oceňování pomocí LSM algoritmu začíná vždy v posledním období a jde posléze v čase směrem zpět k počátku (backward). V posledním kroku je pouze zvažována výplata vanilla opce, jelikož hodnota nevyplnění opce je logicky nulová. V předposledním kroku (náš případ krok č. 6, čili sobota 14.9.2013) je již nutno porovnávat výplatu vanilla opce s možností opci nevyplnit a čekat na lepší příležitost. Hodnota této možnosti je samozřejmě v časovém okamžiku rozhodování neznámá, a proto je aproximována pomocí LSM algoritmu, který je detailně popsán v 6. kapitole. Ve svém výpočtu jsem použil bázové funkce dle Laguerrových polynomů. Metodou nejmenších čtverců jsem zjistil hodnoty pokračování, které jsem potřeboval k rozhodování v jednotlivých časových bodech o uplatnění či neuplatnění opce. Jelikož užitek držitele opce je roven nikoliv jen výplatě, ale navíc je také zvýšen o hodnotu zbylé Swing opce, bylo třeba počítat postupně nejen matici peněžních toků pro opci se zbývajícími třemi právy, ale také se dvěma a jedním právem plnění. Obrázek 21 je ukázkou z matice peněžních toků. Jedná se o 11 náhodných průběhů v sedmi pozorovaných dnech. Všimněme si, že až na dva případy je opce poprvé vyplněna již v pondělí, ale např. ve druhém pozorování je opce naplněna až v posledních pozorovaných dnech. Hodnoty uvedené v tabulce jsou hodnoty plnění opce.
- 46 -
7,946027 0 4,810083 1,548293 5,642124 6,542732 6,283032 1,802508 6,736726 2,299647 0
7,044759 0 4,575729 0 4,693082 6,767155 5,873024 1,21428 5,82174 2,467209 0
7,351546 0 0 0 0 0 0 1,808303 0,165782 5,24429 4,780477 0 0 0 0 1,777984 0,513814 0 0 0 5,407815 0 0 0 0 6,806603 0 0 0 0 5,687359 0 0 0 0 0,197033 0 0 0 0 6,855313 0 0 0 0 2,45203 0 0 0 0 1,420582 0,833358 0 0 5,807678
Obrázek 20
Po vyplnění tabulky byl spočten aritmetický průměr z řádkových součtů matice peněžních toků, který je zároveň hledanou hodnotou swing opce. V mém případě se ukázala být výslednou hodnotou částka 14.54 €/MWh.
Závěr Jak již bylo naznačeno v předchozích kapitolách, neexistuje všeobecně akceptovatelný způsob oceňování takto flexibilních kontraktů, jako jsou swing opce. Tento druh kontraktů byl součástí obchodování na trzích se zemním plynem dlouhou dobu před tím, než byla doceněna vložená opční možnost kontraktů. V posledních dvaceti letech byl učiněn pokrok v náročném úkolu ohodnocení swing opcí. V této práci byl největší prostor věnován metodě oceňování pomocí rozšířeného LSM algoritmu. Tato metoda se mi zdá jako nejzajímavější a to z důvodu možnosti využití vícefaktorových modelů vývoje podkladového aktiva, které jsou pro ocenění energetických komodit, kde je z důvodu neskladovatelnosti podkladových aktiv neplatný argument o nemožnosti arbitráže. Výhodou LSM algoritmu je také poměrně jednodušší náročnost použití. Tato metoda byla použita v praktické ukázce za použití dat z trhu v České republice. Využívanou metodou je také oceňování pomocí metody sítí a pomocí stromové metody. Největší potencionál do budoucna vidím v rozvoji užití dynamického programování a aplikace behaviorálních modelů účastníků trhu a teorie her, které popisuji v kapitole 8. Zde vidím i prostor pro další vědecký výzkum.
- 47 -
Literatura [1] ALEKSANDROV, Nikolay. Pricing American Options - Monte Carlo approach. Oxford, 2006. Christ Church College University of Oxford. [2] BARBIERI, Angelo a Mark B. GARMAN. Understanding the Valuation of Swing Contracts. Understanding the Valuation of Swing Contracts [online]. 1996, s. 6 [cit. 2013-04-14]. Dostupné z: http://www.fea.com/resources/a_understanding_valuation_swing.pdf [3] BARRERA-ESTEVE, Christophe, Florent BERGERET, Charles DOSSAL, Emmanuel GOBET, Asma MEZIOU, Rémi MUNOS a Damien REBOUL-SALZE. Numerical methods for the pricing of Swing options: a stochastic control approach. Methodology And Computing In Applied Probability, Vol. 8, No. 4. (December 2006), pp. 517-540 [4] Praha, 2012.
BATÍKOVÁ, Barbora. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic: ppt. presentation.
[5] BODEA, Anamaria. Valuation of Swing Options in Electricity Commodity Markets. Heidelberg, 2008. Inaugural - Dissertation. Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg. [6] BRANDIMARTE, Paolo a Paolo BRANDIMARTE. Numerical methods in finance and economics: a MATLAB-based introduction. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley Interscience, c2006, xxiv, 669 p. ISBN 04-717-4503-0. [7] BURGER Markus, KLAR Bernhard, MÜLLER, Alfred a Gero SCHINLMAYR. A spot market model for pricing derivatives in electricity markets. Quantitative Finance. 2004, č. 4, s. 109-122. [8] CARMONA, René a Michael LUDKOVSKI. Swing Options. 2008, s. 6 [cit. 2013-04-14]. Dostupné z: http://www.pstat.ucsb.edu/faculty/ludkovski/eqfSwing.pdf [9] DAHLGREN, M. A continuous time model to price commodity based swing options. Review of Derivatives Research. 2005, roč. 8, č. 1, s. 27-47. [10] DÖRR, Uwe. Valuation of Swing Options and Examination of Exercise Strategies by Monte Carlo Techniques. Oxford, 2003. University of Oxford. [11] EDWARDS, Davis W. ENERGY TRADING & INVESTING: Trading, Risk Management, and Structuring Deals in the Energy Markets. New York: McGraw-Hill, 2010. ISBN 978-0-07-162907-2. [12] FIGUEROA, Marcelo G. Pricing Multiple Interruptible-Swing Contracts. Birkbeck Working Papers in Economics & Finance. 2006. [13] FUSARO, Peter. The professional risk manager's guide to the ENERGY MARKET. 1 edition. New York: McGraw-Hill, 2007. ISBN 0071546510. [14] JAILLET, Patrick, Ehud I. RONN a Stathis TOMPAIDIS. Valuation of Commodity - Based Swing Options. Management Science. 2003, December, s. 32. [15] KAMAT, Rajnish a Shmuel S. OREN. Exotic options for interruptible electricity supply contracts. Operations research. 2002, č. 5. ISSN 1526-5463. [16] KJAER, Mats. Pricing of swing options in a mean reverting model with jumps. Göteborg, 2007. Göteborg University. [17] KLIMEŠOVÁ, Andrea a Tomáš VÁCLAVÍK. Pricing of Gas Swing Options using Monte Carlo Methods [online]. Prague, 2011 [cit. 2013-04-14]. Dostupné z: http://ies.fsv.cuni.cz. Working Paper. Institute of Economic Studies, Faculty of Social Sciences, Charles University in Prague.
- 48 -
[18] KOVAČOVSKÁ, Lenka. INSTITUT ENERGETICKÉ EKONOMIE. Trh s elektřinou I.: 2. přednáška v rámci předmětu "Analýza trhů energetických komodit". Praha, 2013. [19] options. 2001.
LARI-LAVASSANI, Ali, Mohamadreza SIMCHI a Antony WARE. A discrete valuation of swing
[20] LONGSTAFF, Francis A. a Eduardo S. SCHWARTZ. Valuing American options by simulation: a simple least-squares approach. Review of Financial Studies. 2001, č. 14, s. 113-147. [21] LUCIA, Julio J. a Eduardo S. SCHWARTZ. Electricity Prices and Power Derivatives: Evidence from the Nordic Power Exchange. Review of Derivatives Research. 2002, č. 50. [22]
LUENBERGER, D. G. Investment science. New York: Oxford University Press, 1998.
[23] MEINSHAUSEN, N. a B. M. HAMBLY. Monte Carlo Methods for the Valuation of MultipleExercise Options. Math. Finance. 2004, č. 14, s. 557-583. [24] MEYER, J. Valuation of Energy Derivatives with Monte Carlo Methods. Oxford, 2004. Masters Thesis. University of Oxford. [25] pricing. 2007.
PFLUG, Georg Ch. a Nikola BROUSSEV. Electrisity swing options: Behavioral models and
[26] PILIPOVIC, Dragana. ENERGY RISK: Valuing and Managing Energy Derivatives. second edition. New York: McGraw-Hill, 2007. ISBN 10.1036/0071485945. [27] ROSS, Sheldon M. a Zegang ZHU. On the Structure of a Swing Contracts Optimal Value and Optimal Strategy. Journal of Applied Probability. 1998, č. 1. [28] STAMP, Jon. NPOWER COMMERCIAL. Managing Volume Risk in a Retail Energy Bussiness: ppt. presentation. London, 2008. [29] THOMPSON, A. Valuation of path-dependent contingent claims with multiple exercise decisions over time: The case of take-or-pay. Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1995, č. 30, s. 271293. [30] WEGNER, T. Swing Options and Seasonality of Power Prices. Oxford, 2002. Master Thesis. University of Oxford. [31]
WHITE, H. Asymptotic Theory for Econometricians. New York: Academic Press, 1984.
[32] WILHELM, M. a C. WINTER. Finite element valuation of swing options: Working paper. 2007. Dostupné z: http://www.sam.math.ethz.ch/reports/2006/07 [33] Wiley, 1999.
WILMOTT, P. Derivatives: The Theory and Practice of Financial Engineering. West Sussex:
Apendix Optimální strategie zastavení ve spojitém čase Definujme pravděpodobnostní prostor s filtrací Označíme jako množinu všech časů zastavení vzhledem k filtraci a představíme následující podmnožinu z | | - 49 -
Uvažujeme zprava-spojitý adaptovaný proces
splňující
a
(AA)
Zavedeme problém optimálního zastavení: Problém
: pro
hledáme hodnotu (AB)
a optimální čas zastavení pro které supremum z rovnice (AB) je dosaženo, jestliže takový čas zastavení existuje. Pro každý čas zastavení zavádíme náhodnou proměnou | kde
{
}
Proces je nazván regulárním, jestliže pro každé každou neklesající posloupnost časů zastavení s (
je integrovatelné a pro máme
)
Stejný proces je nazýván třídy D, jestliže skupina
je jednotně integrovatelná.
Hlavním nástrojem pro řešení problému (P) optimálního zastavení je koncept Snellovy obálky (Snell | envelope) procesu Y. Jestliže pro definujeme s vlastnostmi:
je supermartingal pro každé připouští zprava spojitou úpravu poté zprava spojitá modifikace se nazývá Snellova obálka optimálním časem zastavení pouze a jen když
proces
zastavený supermartingal Pokud platí předchozí a jestliže
Čas zastavení
je
je martingal , poté platí |
f
Jestliže je zprava spojitý supermartingal třídy D, existuje poté martingal a neklesající předvídatelný zprava spojitý proces s který jedinečný až k nerozlišitelnosti a jednotně integrovaný tak, že
Jestliže je navíc regulárním procesem, proces má spojitý průběh s pravděpodobností jedna. Tomuto se říká Doob-Meyerova dekompozice a pomocí této dekompozice Snellovy obálky je uveden vztah mezi problémem optimálního zastavení a variačními nerovnostmi. Uvažujeme-li regulární - 50 -
̂ proces a regulární, zprava spojitý supermartingal třídy D ̂ s Doob̂ ̂ ̂ ̂ Meyerovou dekompozicí , poté je Snellovou obálkou Y jen a pouze jestliže jsou splněny podmínky:
̂ ̂
. ̂ ̂ ̂ kde ̂ pro každé f{ |̂ }. Nyní vezměme v potaz americkou put opci. Její hodnota v čase je dána pomocí |
[
pro spotovou cenu
]
(AC)
s Jako označíme množinu všech možných časů zastavení a výplatu z uplatnění opce v čase označíme by mělo být modelováno jako čas zastavení, jelikož v čase je jedinou dostupnou informací . Pro optimální zastavení platí
a optimální čas zastavení pro problém (AC) je
(AD) f{ | ( ) } kde značí závislost procesu na jeho počátečních podmínkách. Hodnota americké opce závisí tedy na rovnici (AC) a (AD). Pro existuje kritická cena pod kterou by americká put opce měla být vyplněna jestliže anebo jestliže a poté Oblast je rozdělená optimální hranicí zastavení {
} na dvě podoblasti: oblast zastavení
{
|
}a
oblast pokračování { | } Dá se tedy říci, že problém hledání hodnoty pro se redukuje na nalezení příhodného bodu , jež tyto dvě oblasti rozděluje. Toto se nazývá free boundary-value problem. Ten je definován jako jedinečné řešení pro , u něhož platí, že je nerostoucí a konvexní funkcí, a pro Poté řešení problému je za následujících podmínek: pro
(AE) , pro
pro
(AF)
(AG)
, pro
(AH)
(AI)
(
)
(AJ)
- 51 -
(AK)
(AL)
(A)
Přílohy k analýze časových řad
Obrázek 21 Peak ČR
Obrázek 22 Peak histogram ČR
- 52 -
Obrázek 23 Diference Peak ČR
Obrázek 24 logdif Peak ČR
Obrázek 25 histogram logdif Peak ČR
- 53 -
Obrázek 26 Off ČR
- 54 -
Obrázek 27 Histogram Off ČR
Obrázek 28 dif Off ČR
Obrázek 29 histogram dif Off ČR
- 55 -
Obrázek 30 Off logdif ČR
Obrázek 31 SK elektřina sezonnost
- 56 -
Obrázek 32 SK elektřina letní měsíce
Obrázek 33 histogram SK base 250
Series: SPOT_MARKET_PEAK_LOAD_IN Sample 1 1445 Observations 1445
200
150
100
Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis
50.40546 51.14083 152.4275 -0.214167 14.21574 0.405455 7.432061
Jarque-Bera Probability
1222.273 0.000000
50
0 0
20
40
60
80
100
120
140
Obrázek 34 histogram SK Peak
Obrázek 35 histogram SK Off
- 57 -
Obrázek 36 peak SK
Obrázek 37 Off SK
Obrázek 38 dif SK base
- 58 -
Obrázek 39 histogram base SK dif
Obrázek 40 base SK logdif
Obrázek 41 histogram HU base
Obrázek 42 dif HU base
- 59 -
Obrázek 43 histogram HU dif Base
Obrázek 44 logdif HU Base
- 60 -
