Výpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů Petra Punčochářová Ústav technické matematiky, Fakulta strojní, Vysoké učení technické v Praze Vedoucí práce: Prof. RNDr. K. Kozel DrSc.
Úvod
V 80. letech: - vývoj profilů letadel, které pracují v transsonickém a supersonickém režimu rázová vlna interferuje s mezní vrstvou, stává se nestacionární a dochází ke kmitání částí letadla
vývoj transsonického stupně turbíny (ÚTAV ČR ve spolupráci se Škoda Plzeň) proto vzniká potřeba vyšetřit chování proudového pole při přechodu do nadzvukové oblasti, tj. zejména polohu a intenzitu rázové vlny, úplav a turbulentní efekty Cíl diplomové práce: vytvořit vlastní software, který bude metodou konečných objemů řešit systém Eulerových rovnic na dané oblasti v transsonickém a supersonickém režimu zvolit oblast a definovat její okrajové podmínky danou oblast zasíťovat zvolit numerické schéma pro systém Eulerových rovnic získané výsledky srovnat s experimentem (R. Dvořák, Sympozium -
transsonicum,1975) -
vyladit software na definovanou úlohu
Fyzikální předpoklady Pro výpočet byl reálný plyn nahrazen plynem ideálním, pro nějž platí následující předpoklady: - plyn je ideální, nevazký a tepelně nevodivý vnitřní energie plynu je pouze funkcí teploty plyn je stlačitelný Použité vztahy:
p=ρ rT
- stavová rovnice ideálního plynu
p c =κ =κ rT ρ
- kvadrát rychlosti zvuku
w 2w 2 1 2 M=
- Machovo číslo
2
c
Bernoulliho rovnice stavu na vstupu: −κ p∞ κ −1 = 1 M 2 κ −1 ∞ p0 2
−1 ρ∞ κ −1 = 1 M 2 κ−1 ∞ ρ0 2
Matematický model nelineární hyperbolický systém Eulerových rovnic v integrálním tvaru:
∂ WdV ∫ F ,G n dS=0 ∫ ∂t V ∂V kde
W F,G
ρ ρw 1 W= ρw 2 e
F=
ρw 1 ρw 2 p
ρw 2 ρw 1 w 2 G= ρw 2 p
1
ρw 1 w 2 w 1 ep
1
w 2 e p
- vektor konzervativních proměnných - toky konzervativních proměnných
uzavírající rovnice:
[
1 p= κ−1 e− ρ w 2 w 2 1 2 2
]
bezrozměrové proměnné: p
- tlak
ρ
- hustota
(w1, w2) - vektor rychlosti e
- energie systému
Numerické řešení metodou konečných objemů Oblast a její okrajové podmínky, výpočetní síť
pevná stěna na ABCD a A´B´C´D´ (w1,w2)n=0 1
ρ0 p0 α∞
A´
B´
C´
5% H
A. Kanál
D´
p2/p0 Ω
H
y 0
Ax
B
C
D L ukázka použité sítě, 250 x 20 buněk
- změnou tlakového poměru p2/p0 na výstupu měníme proudové pole uvnitř oblasti - k daným okrajovým podmínkám je předpoklad subsonického vstupu a výstupu
Oblast a její okrajové podmínky, výpočetní síť B. Mříž periodická podmínka Wi0=WiY
c∞
profil DCA 8%
M∞
p2/p∞
α∞
c∞
+a
-
M∞
α∞ p∞
ukázka použité sítě, 150 x30 buněk
pevná stěna na BC a B´C´ (w1,w2)n=0 - oblast je zkosena pod úhlem 45°, to umožní snadnou realizaci periodické podmínky - změnou velikosti Machova čísla M∞ nebo úhlu α∞ na vstupu, se změní proudové pole uvnitř oblasti - zeleně orámované podmínky jsou zadávány pro subsonický vstup či výstup - modře orámované podmínky jsou zadávány pro supersonický vstup či výstup
Numerická schémata pro hyperbolické rovnice - řešení metodou konečných objemů na strukturované síti Laxovo - Friedrichsovo schéma
Δt W n1 =W n − ij ij μ ij
4
ε F Δy − G Δx ∑ kn k kn k 4 k =1
4
∑ W k n−W ij n
k=1
-explicitní, velká numerická vazkost, ε∈(0.8,1〉, O(∆x, ∆y, ∆t)
Laxovo – Wendroffovo schéma (Richtmyerova verze) P:
1 Δt W n1/ 2 =W n − ij ij μ ij 2
C:
Δt W n1 =W n − ij ij μ ij
4
4
ε F Δy − G Δx ∑ k n k k n k 4 ∑ W k n−W ij n k =1 k =1
4
∑ F k n1/ 2 Δy k −G k n1/ 2 Δx k
k =1
-explicitní, oscilace v místě nespojitosti, O(∆x2, ∆y2, ∆t2)
Kompozitní schéma - ve formě : m x LW + 1 x LF , kde m – počet časových iterací LW schématem
Proudění v kanále Vliv změny tlakového poměru p2/p0 na výstupu - výsledky jsou zobrazeny ve formě izočar Machova čísla
ρ 0=1, p0 =1 M ∞ =0 .699
α ∞ =0°
p2 =0. 65 p0
nevyvinuté transsonické proudění
p2 =0. 65 p0 M ∞ =0 .761
40 x LW+1 x LF vyvinuté transsonické proudění
p2 =0. 60 p0 M ∞ =0 .770
LF schéma
40 x LW+1 x LF aerodynamické ucpání nelze zvýšit hmotnostní tok kanálem
Proudění v mříži Podzvukové vstupy (M∞<1) 1.
je sledován vývoj transsonického obtékání mříže při zvyšujícím se M∞
2.
výstupní tlak je nastaven na p2/p∞=1, jedná se o rovnotlakou mříž
3.
jsou zadávány vstupní Machova čísla M∞ a je měněn úhel nabíhajícího proudu α∞
4.
řešení je vypočteno kompozitním schématem
5.
velikost numerické vazkosti je měněna podle daných podmínek (změnou formy schématu), tak aby výsledek odpovídal co nejvíce experimentu
6.
je sledována struktura izočar v poli, zejména tvar zvukové čáry
7.
je srovnáno nastavení vstupních podmínek při výpočtu a v experimentu
8.
výsledky jsou uvedeny ve formě izočar Machova čísla, ∆M=0.025, zvuková čára je zvýrazněna tlustě
9.
interferogramy jsou zobrazeny ve formě izočar hustoty, zvuková čára je zvýrazněna červeně
A)
- vývoj supersonické oblasti na horním profilu
M∞=0.813, α∞=0°, p2/p∞=1 - vývoj supersonické oblasti na horním profilu i na spodním profilu
M∞=0.845, α∞=0°, p2/p∞=1, M1=0.818, 90.LW+1.LF
B)
M∞=0.832, α∞=0°, p2/p∞=1
- vývoj supersonické oblasti na
spodním profilu, na horním profilu zvětšení supersonické oblasti, mění se tvar izočar na vstupu do mříže
- změna tvaru oblasti na spodním
M∞=0.850, α∞=0.9°, p2/p∞=1, M1=0.833, 90.LW+1.LF
profilu, na horním profilu zvětšení supersonické oblasti, jiný úhel nabíhajícího proudu změní tvar izočar
C)
- přemostění mezilopatkového
kanálu zvukovou čarou, nedochází k aerodynamickému ucpání
M∞=0.849, α∞=0°, p2/p∞=1
M∞=0.930, α∞=-2.0°, p2/p∞=1, M1=0.852, 20.LW+1.LF
D)
- zvýšena numerická vazkost
schématu, přechod mezi supersonickou a subsonickou oblastí na horním profilu u odtokové hrany je méně ostrý, úhel náběhu mění tvar zvukové čáry
- mění se tvar zvukové čáry,
zvětšuje se supersonická oblast
M∞=0.863, α∞=0°, p2/p∞=1 - tvar zvukové čáry na vstupu do mříže se liší s tvarem zvukové čáry experimentu, který je ovlivněn poruchami v poli
M∞=0.950, α∞=0°, p2/p∞=1, M1=0.898, 40.LW+1.LF
Nadzvukové vstupy (M∞>1) 1.
je sledován vývoj supersonického obtékání mříže při zvyšujícím se M∞
2.
jsou zadávány vstupní Machova čísla M∞ a je měněn úhel nabíhajícího proudu α∞
3.
řešení je vypočteno kompozitním schématem
4.
velikost numerické vazkosti je měněna podle daných podmínek (změnou formy schématu), tak aby výsledek odpovídal co nejvíce experimentu
5.
je sledována struktura izočar v poli, zejména tvar zvukové čáry
6.
je srovnáno nastavení vstupních podmínek při výpočtu a v experimentu
7.
výsledky jsou uvedeny ve formě izočar Machova čísla, ∆M=0.05, zvuková čára je zvýrazněna tlustě
8.
interferogramy jsou zobrazeny ve formě izočar hustoty, zvuková čára je zvýrazněna červeně
A)
Experiment: M∞=0.946, α∞=0°, p2/p∞=1 Výpočet: M∞=1.05, α∞=0°, p2/p∞=1, M1=0.965, 40.LW+1.LF
- zvuková čára zasahuje nad střední proudnici mezilopatkového kanálu - uvnitř supersonické oblasti vzniká na spodním profilu rázová vlna, která není tak patrná v numerickém řešení (vlivem numerické vazkosti) a tato vlna uzavírá zvukovou čáru.
B)
Experiment: M∞=0.982, α∞=0°, p2/p∞=1 Výpočet: M∞=1.08, α∞=0°, p2/p∞=1, M1=0.981, 70.LW+1.LF
- uzavírací rázová vlna na spodním profilu se posouvá směrem k odtokové hraně - roste supersonická oblast
C)
Experiment: M∞=1.013, α∞=0°, p2/p∞=1 Výpočet: M∞=1.120, α∞=0°, p2/p∞=1, M1=1.009, 55.LW+1.LF
- uzavírací rázová vlna přechází v čelní rázovou vlnu sousedního profilu - zvuková čára se uzavírá mezi spodní hranou profilu a hranou k ní přivrácenou, vymezuje tak subsonickou oblast
D)
Experiment: M∞=1.073, α∞=0°, p2/p∞=1 Výpočet: M∞=1.150, α∞=0°, p2/p∞=1, M1=1.030, 40.LW+1.LF
- u odtokové hrany spodního profilu je dobře patrná šikmá rázová vlna - v numerickém řešení je již lehce patrná čelní rázová vlna
Závěr 2.
Cíl diplomové práce, vytvořit vlastní software, který je schopen řešit systém Eulerových rovnic metodou konečných objemů na dané oblasti, byl dosažen.
3.
Řešení proudového pole mezi profily se shoduje s proudovým polem experimentu, řešení proudového pole za mříží nedosahuje dobré shody s experimentem.
4.
Výpočet s kompozitním schématem konverguje pomalu s nízkými rezidui.
5.
Poruchy v proudovém poli způsobené vazkostí plynu a interakcí rázové vlny s mezní vrstvou a úplavem nelze s použitím matematického modelu systému Eulerových rovnic popsat.
Budoucí cíle: -
Použití Mac Cormackovo schématu s TVD vazkostí
-
Nahrazení modelu Eulerových rovnic modelem Navierových – Stokesových rovnic, který popisuje stlačitelnou, vazkou tekutinu.
Literatura [1]
Dvořák R.: Transsonické proudění. Akademia, Praha, 1986
[2]
Dvořák R., Kozel K.: Matematické modelování v aerodynamice. ČVUT, Praha, 1996
[3]
Kozel K., Fürst J.: Numerické metody řešení problémů proudění I. ČVUT, Praha, 2001
