VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ LETECKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AEROSPACE ENGINEERING
VÝPOČET ROZLOŽENÍ VZTLAKU PO ROZPĚTÍ KŘÍDLA GLAUERTOVOU METODOU CALCULATION OF LIFT DISTRIBUTION ALONG WING SPAN USING THE GLAUERT'S METHOD
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS
AUTOR PRÁCE
MARTIN KUBÍČEK
AUTHOR
VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR
BRNO 2008
Ing. PAVEL ZIKMUND
Anotace Cílem této práce bylo provést zjednoduššený výpočet rozložení vztlaku po rozpětí křídla letounu RAPID 200 jež je dvousedadlový, celokovový dolnoplošník s přímým křídlem a běžným uspořádáním pohonné jednotky, Glauertovou metodou pomocí programu MathCad.
Abstrakt This work is focused on a simplified calculation lift distribution along wing span of aircraft RAPID 200. This is a two –seat, all metal lower wing airplane with a straight wing and usual setting of power unit. Glauert method is used to calculate lift distribution along wing span with program MathCad.
Klíčová slova
Metoda Glauert, rozložení vztlaku
Keywords
Glauert method, lift Distribution
KUBÍČEK, M. Výpočet rozložení vztlaku po rozpětí křídla Glauertovou metodou. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2008. 31 s. Vedoucí bakalářské práce Ing. Pavel Zikmund.
OBSAH Obsah ......................................................................................................................................7 Úvod ........................................................................................................................................9 ..............................................................................................................10 FOURIEROVY ŘADY Použití Fourierových řad v glauertově řešení...............................................................10 ROZLOŽENÍ CIRKULACE POMOCÍ GLAUERTOVY METODY.............................................11 .............................................................................................11 POČÁTEČNÍ PODMÍNKY Výpočet tětivy křídla v jednotlivých řezech........................................................12 Výpočet sklonu vztlakové čáry koncového profilu.............................................12 Výpočet sklonu vztlakové čáry kořenového profilu...........................................13 Výpočet sklonu tlakové čáry na jednotlivých řezech křídla ..............................13 AERODYNAMICKÉ A GEOMETRICKÉ KROUCENÍ KŘÍDLA.....................................13 Výpočet geometrického kroucení křídla pro jednotlivé řezy ............................13 Součet aerodynamického a geometrického kroucení křídla.............................14 VÝPOČET KOEFICIENTŮ AN ......................................................................................14 Průběh výpočtu ................................................................................................15 NULOVÉ A NORMÁLNÉ ROZLOŽENÍ............................................................................16 koeficient pro nulové rozložení.........................................................................16 koeficient pro normálné rozložení ....................................................................16 koeficient celkové rozložení pro CL maximální ................................................17 koeficient celkové rozložení pro CL cestovní rychlosti.....................................17 INDUKOVANÝ ODPOR KŘÍDLA ................................................................................18 indukovaný odpor pro CL maximální................................................................18 indukovaný odpor pro CL cestovní rychlost .....................................................18 ROZLOŽENÍ CIRKULACE NA KŘÍDLE......................................................................19 rozložení vztlaku pro koeficient nulového rozložení.........................................20 rozložení vztlaku pro koeficient normálového rozložení...................................20 rozložení vztlaku pro koeficient CL maximální .................................................21 rozložení vztlaku pro koeficient CL cestovní rychlost ......................................21 Závěr .....................................................................................................................................22 Použité zdroje........................................................................................................................23 Seznam použitých zkratek a symbolů ...................................................................................24 Seznam příloh .......................................................................................................................25
7
ÚVOD Historicky, je H. Glauert spojený s prvními teoretickými základy stlačitelnosti média na profilu křídla přibližující se rychlosti zvuku a vyvinul lineární rovnice pro podzvukové stlačitelné proudění. Stejnou teorii nastínil i Prandlt roku 1922, proto byla tato teorie na počest těchto dvou pánů pojmenována Prandlt - Glauertovo pravidlo. Avšak byl to právě H. Glauert, který navrhl, že kritická rychlost při, které začne křídlo ztrácet vztlak je dána právě tvarem křídla. Tato domněnka se ukázala jako správná. Výhodou tohoto řešení je rychlost a jednoduchost ve srovnání s CFD metodou. Tato metoda se užívá pro prvotní aerodynamický výpočet nebo pro výpočet zatížení křídla. Ve výpočtu byla řada věcí zjednodušena.
9
FOURIEROVY ŘADY Fourierovy řady jsou limitou posloupnosti trigonometrických polynomů, které mají část složenou z kosinů a část ze sinů. Používají se především při studiu jevů s periodickým charakterem. Výhodou těchto řad je skutečnost, že požadavky kladené na jejich konvergenci k rozvíjené funkci jsou slabší než v případě rozvojů do Taylorových řad (nepožadujeme např. existenci derivací všech řádů dané funkce v daném bodě; nepožadujeme dokonce ani spojitost rozvíjené funkce). 4. Fourierovy řady koeficientů může být (zejména při použití numerických metod)Studijní text záležiRovněž výpočet jednodušší tostí než u řad Taylorových. 4. řady Studijní text kdeFourierovy x ∈ (−π, π), a pro tato x tedy konverguje daná řada k funkci f (x) = x. Studijní text 4. Fourierovy řady Součet této řady na (−∞, ∞) je pak určen 2π-periodickým rozšířením z intervalu − π, π . Graf tohoto Rozvojů funkcí do Fourierových řad se s úspěchem používá především při hledání (perio) na intervalu (−∞, ∞) je zachycen na obr. 4.1. rozšíření (a tedy součtu příslušné Fourierovy kde x ∈ (−π, π), ai graf pro tato x tedy daná řady řada Φkf funkci f (x) = x. dických) řešení obyčejných akonverguje parciálních diferenciálních rovnic. je konverguje pak určen 2π-periodickým rozšířením z intervalu − π, π . Graf tohoto tétoπ), řady na tato (−∞,x∞) kdeSoučet x ∈ (−π, a pro tedy daná řaday k funkci f (x) = x. ∞) je zachycen obr.tohoto 4.1. rozšíření (a této tedy řady i grafnasoučtu řady Φf ) na intervalu ∞) je pakFourierovy určen 2π-periodickým rozšířením(−∞, z intervalu − π, π .naGraf Součet (−∞,příslušné π Pro bližšíi graf pochopení uvádím příklad řady funkce náležící(−∞, intervalu od -Pí do Pí4.1. a je perioΦf ) f=x na intervalu ∞) je zachycen na +obr. rozšíření (a tedy součtu příslušné Fourierovy y dická: πy π π −π −3π 3π x
−π −π
−3π −3π
π π
−π
3π x 3π x
Obr. 4.1: Součtová funkce −π Na závěr tohoto příkladu ještě graficky ilustrujme konvergenci Fourierovy řady ke svému součtu. Místo −π Součtová funkce dané nekonečné řady uvažujme pouze jejíObr. n-tý4.1: částečný součet sn (x) (uvažujeme tedy prvních n členů této Obr. stupně 4.1: Součtová Profunkce různéFourierovy hodnoty nřady (n =ke 1, 2, 3, 4, 50) pak dostářady trigonometrický polynom Napředstavujících závěr tohoto příkladu ještě graficky ilustrujme n). konvergenci svému součtu. Místo vámeNa následující grafická vyjádření: dále použijeme převod naještě Fourierovu řadu a uvažujeme „malý“ počet n. Graf dané nekonečné řady uvažujme pouze její n-tý částečný součet sn (x)Fourierovy (uvažujeme tedy n členůbude této vypadat závěr tohoto příkladu graficky ilustrujme konvergenci řady ke prvních svémufunkce součtu. Místo n). ysoučet Pro různé hodnoty n (n =tedy 1, 2,prvních 3, 4, 50)npak dostářady polynom částečný sn (x) (uvažujeme členů této danépředstavujících nekonečné řadytrigonometrický uvažujme pouze její n-týstupně následovně: váme grafická vyjádření: polynom stupně n). s3 hodnoty n (n = 1, 2, 3, 4, 50) pak dostáπ Pro různé řady následující představujících trigonometrický s2 s4 váme následující grafická vyjádření: y s1 s3 πy −3π −2π π s2 s3 s4π s1 s2 s4 −π 2π 3π x s1 −3π −2π π −π −3π −2π 2π 3π x π −π −π 2π 3π x
y
−ππhledané funkci: pokud počet n zvýšíme, funkce se přiblíží námi −3π
−2π
−3π −3π
−2π −2π
−π y πy π
−π −π −π
s50
s50 s50
π π π
−π
2π
3π x
2π 2π
3π x 3π x
Obr. 4.2: Graf vybraných −πčástečných součtů Z obr. 4.2 je dobře vidět, že je-li částečný součet této−π řady vyššího stupně, začínají se příslušné funkce v Grafčástečných vybraných součtů částečných součtů blíží k nespojité součtové funkci bodech x = (2k + 1)π „trhat aObr. grafy4.2: těchto se vskutku POUŽITÍ FOURIEROVÝCHObr. ŘAD VGraf GLAUERTOVĚ ŘEŠENÍ: 4.2: vybraných částečných znázorněné 1. vidět, že je-li částečný součet této řady vyššího součtů Z obr. 4.2najeobr. dobře stupně, začínají se příslušnéfunkce v Nyní budeme zabývat kdy Fourierova řada funkce (x) konverguje na − π, π .v bodech xse =4.2 (2kje+dobře 1)π „trhat grafyčástečný těchto částečných součtů sefvskutku blížízačínají k stejnoměrně nespojité součtové funkci Z obr. vidět,otázkou, žea je-li součet této řady vyššího stupně, se příslušné funkce případě výpočtu vztlaku na křídle pomocí Glauertovi metody se princip FourieroPředevším zdůrazněme, že stejnoměrnou konvergenci lze očekávat u Fourierových řad spojitých funkcí znázorněné na(2k obr. bodechVx našem = + 1. 1)π „trhat a grafy těchto částečných součtů sepouze vskutku blíží k nespojité součtové funkci vých řad u jsou vzorce: (členy této řady sin kx, cosřada kx, jejichž musí být v případě na stejnoměrné znázorněné na obr. 1. totiž spojité Nyní seujal budeme zabývat otázkou,funkce kdy Fourierova funkce fsoučtem (x) konverguje stejnoměrně − π, π . konvergence opět spojitá θkonverguje Γkonvergenci θFourierova očekávat Především žefunkce). stejnoměrnou lze pouze u Fourierových řad spojitých Nyní sezdůrazněme, budeme zabývat otázkou, kdy řada funkce f(x) stejnoměrně na −funkcí π, π . (členy této řady jsou totiž spojité funkcekonvergenci sin kx, cos kx, jejichž součtem musí být v případě stejnoměrné Především zdůrazněme, že stejnoměrnou lze očekávat pouze u Fourierových řad spojitých funkcí Věta 4.17. (Jordanovo kritérium stejnoměrné Nechťmusí f (x) být je periodická s pekonvergence spojitá funkce). (členy této opět řady jsou totiž spojité kx, jejichž součtem v případěfunkce stejnoměrné funkce sin kx, coskonvergence) která je na intervalu spojitá a má po částech spojitou derivaci. Potom Fourierova řada − π, π riodou 2π, konvergence opět spojitá funkce). 10 Φ konverguje k funkci f (x) stejnoměrně pro všechna x ∈ (−∞, ∞). Γ θ f Věta 4.17. (Jordanovo kritérium stejnoměrné konvergence) Nechť f (x) je periodická funkce s pe která je na intervalu spojitá a má po částech spojitou derivaci. Fourierova − π, π riodou Věta 2π, 4.17. (Jordanovo kritérium stejnoměrné konvergence) Nechť f (x) jePotom periodická funkce řada s pe Φ konverguje k funkci f (x) stejnoměrně pro všechna x ∈ (−∞, ∞). která je na intervalu spojitá a má po částech spojitou derivaci. Potom Fourierova řada − π, π riodou 2π, f Poznámka 4.18. (O stejnoměrné konvergenci rozvoje neperiodické funkce) Není-li f (x) perio-
kde Lkridla představuje rozpětí křídla, v představuje rychlost letounu, Γ θ θn představuje liché číslo, An je koeficient, který se vypočte ze soustavy rovnic (viz výpočet) a v kombinaci se vzorcem:
Γ θ θ Γ θ
tětivy křídla v daném řezu, dostaneme vzorec na Γ θ a C délku kde CL představuje součinitel vztlaku θ výpočet rozložení vztlaku v závislosti na úhlu:
θ α θ θ
díky této rovnici jsme schopni sestavit graf závislosti CL*C na úhlu resp. na vzdálenosti od kořene θ α křídla což je předmětem této bakalářského práce. Γ θ θ θ
Γ θ θ π αGLAUERTOVY ROZLOŽENÍ CIRKULACE POMOCÍ METODY Γ θ Γ α θ θ π θ
π PODMÍNKY POČÁTEČNÍ α
θ Γ α π θ θ θ jeho geometrií a aerodyna počáteční hodnoty křídla jsoudány θ μ θ μ α θ Γ
Počáteční podmínky resp. mickými charakteristikami profilů. Pro výpočet jsme použily křídlo, které bylo nutno zjednodušit viz. Obr. 2.1. θ μ θ μ α θ δ δ δ δ
θ
θ
Dále bylo nutné dané křídlo rozdělit na určitý počet úseků dále již jen jako řezů. Toto roz dělení jsem udělal ve stupních a to tak, že v počátku souřadného systému a kolmo na osu Z jsem zadal θ=90O a souběžně s osou Z jsem definoval θ=0O, posléze jsem vzniklý úhel rozdělil na 9 11
θ symetrických dílů. Počátek souřadného jsem systému umístil ke kořenu křídla (viz Obr. 2.1). graficky ukazuji dané rozložení v jednotlivých Aby bylo možné sestrojit diagramy, které nám nutné místech křídla a pro lepší orientaci ve výpočtu bylo ke každému úhlu dopočítat jeho zetovou souřadnici. Toho jsem docílil pomocí jednoduché rovnice uvedené níže. Kde Z je vzdálenost od křídla, zde uváděná v metrech a L1 je polorozpětí křídla. kořene
θ
Výpočet tětivy křídla v jednotlivých řezech a odtokovou hranu jsem sklopil do roviny, viz Na kořen křídla jsem umístil souřadný systém 2.2. obr. Díky této úpravě jsem byl schopen sestavit lineární rovnici, která udává závislost délky tětivy na vzdálenosti resp. úhlu od počátku souřadného systému.
Na základě této úpravy jsem byl schopen sestrojit rovnici přímky, která odpovídá zúžené části křídla a v příslušných řezech spočítat délku tětivy. V obrázku 2.2 je délka tětivy značená jako X, ale nového značení dále používám označení C. z důvodu Bohužel touto rovnicí jsem nebyl schopen popsat centroplán, kde je tětiva konstantní. Proto který tuto chybu opravoval. Výsledek je uveden v v programu MathCad vytvořil program, jsem (Tab. P.3.1) v příloze. tabulce profilu Výpočet sklonu vztlakové čáry koncového Pro profil LS 413 jsem určil CLα z grafu, který je zobrazen v příloze (Obr. P.1.1). Následně odečetl tyto hodnoty. jsem
níže a vypočítal hledanou hodnotu C . Tyto hodnoty jsem dosadil do rovnice uvedené Lα
12
α
α
α α
Výpočet sklonu vztlakové čáry kořenového profilu α
Pro profil LS 417 jsem určil CLα z jsem odečetl tyto hodnoty.
grafu,
který je zobrazen v příloze (Obr. P.1.2). Následně
níže Tyto hodnoty jsem dosadil dorovnice uvedené a vypočítal hledanou hodnotu CLα. α α α Výpočet sklonu tlakové čáry na jednotlivých řezech křídla α α α jsem sestavil lineární rovnici popisující závislost jednotlivého úhlu natočení na vzdále Zde α nosti od počátku křídla. Tato rovnice opět neobsahuje α α řešení pro rovnou část křídla a bylo nutno α ve, kterém jsem napsat program danou problematiku jsou uvedeny v tabulce vyřešil. Výsledky (Tab P.3.1), která je v příloze. α α α α α
α α α α α
AERODYNAMICKÉ A GEOMETRICKÉ KROUCENÍ KŘÍDLA Nyní bylonutné spočítat celkové kroucení křídla tj. součet aerodynamického krouceni a geometrického v jednotlivých řezech křídla. kroucení, α Výpočet geometrického kroucení křídla pro jednotlivé řezy Opět bylo nutné sestavit rovnici, ale v tomto případě byly jiné počáteční podmínky (viz níže). Tytopočáteční podmínky vycházeli z aerodynamických požadavků. I zde bylo nutné sestavit matematický program, abych zahrnul rovnou část křídla.
α
α
α
α α
13
α α α α
α
α α α α Součet aerodynamického a geometrického kroucení křídla Nyní jsem sečetl výše spočtené aerodynamické a geometrické kroucení křídla. Z důvodu toho, že oba profily mají nulový vztlak při stejném úhlu náběhu je aerodynamické kroucení křídla 0 tj. αaeron = 0, proto je celkové kroucení křídla rovno geometrickému kroucení. Pro přehlednost zde uvádím součtový vzorec a výsledek jeαzohledněn v tabulce (Tab. P.3.1).
α α α
θ Γ θ θ Γ θ Γ θ VÝPOČET α θ KOEFICIENTŮ A N Γ θ θ θ Γ θ které Nyní se dostáváme k řešení koeficientů, budeme potřebovat pro řešení vý později Γ θ sledného rozložení vztlaku. Zde uvádím rovnici pro indukovaný úhel: θ Γ θ Γ θ
αθ θ θ
A rovnici, jež je rovnicí
α θ θ Γ θ aproximována θ θkterá průběhu cirkulace, byla
α θ
θ
Fourierovou řadou:
Γ θ θ π α Γ θ α α θ Γ θ Γ θ θ θ θ π θ Dosazením těchto dvou rovnic do Prandltovy rovnice byla získána πnásledující rovnice: α θ θ Γ α Γ θ Γ θ θ π π θ θ α μ θ μ α θ Γ Γ α θ θ θ π θ π μ α θ Γ θ Γ μ θα θ μ α π θ θ θ Dále po úpravách dostaneme δ θ μ α θ θ μ rovnici: δ θ μ θ μ α θ δ důvodu, počítám pouze symetrické řešení), protože δ z toho Ve které n značí liché číslo (liché δ An jsou hledané liché koeficienty, θ je úhel odpovídající danému řezu na křidle a zmiňovaný výše, αa je úhel náběhu a μ je substituce pro rovnici: δ 14 δ δ
μ
Průběh výpočtu Levou stranu rovnice jsem zapsal do matice (matice P.2.1) pro mnou definované počáteční podmínky a taktéž pravou stranu jsem zapsal do matice (matice P.2.2), kde jsem za αa dosadil 1 radián. Nyní jsem měl dvě matice představující devět lineárních rovnic o devíti neznámých a jejich řešením pomocí programu MathCAd jsem získal hledané koeficienty A1 až A17 pro αa je rovno 1 radiánu. Díky tomuto kroku jsem získal koeficienty A1rad (Tab. P.2.4), které jsou nutné pro určení normálových koeficientů. Dále bylo nutno celý výše zmíněný proces znovu opakovat, ale tentokrát místo αa rovno 1 radián jsem za αa dosadil αgeom tj. součet geometrického a aerodynamického kroucení. Vzhledem k tomu, že maticové provedení levé strany rovnice je shodné s řešením popsaným výše tak ho vynechávám a uvádím pouze matici představující pravou stranu (matice P.2.3). Následně jsem nechal program MathCad vyřešit tuto soustavu devíti rovnic o devíti neznámých, čímž jsem vypočítal koeficienty A1 až A17 pro αa je rovno αgeom, které jsou řešením koeficientů Atw (Tab. P.2.5). Tyto koeficienty jsem použil při hledání koeficientů nulového rozložení. Díky výše spočítaným koeficientům A1rad a Atw jsem mohl začít dosazovat do rovnic, pomocí nichž jsem mohl vypočíst koeficienty celkového rozložení CL maximální a CL cestovní rychlost ze, kterých se určí výsledné rozložení vztlaku na jednotlivých řezech křídla.
15
NULOVÉ A NORMÁLNÉ ROZLOŽENÍ VZTLAKU Koeficient pro nulové rozložení Následoval výpočet opravného koeficientu, který jsem použil v další rovnici.
Dále uvádím vzorec na výpočet koeficientu pro nulového rozložení od kroucení křídla. Výsledky této rovnice jsem shrnul do tabulky (Tab. P.3.4) uvedené v příloze.
Koeficient pro normálné rozložení spočítat štíhlost křídla. Toho jsem nejprvé Před výpočtem normálného rozložení jsem musel docílil pomocí vzorce: λ Do tohoto vzorce vstupuje ještě jedna neznámá ato plocha křídla. Tuto plochu jsem spo λ čítal tak, že jsem dané křídlo rozdělil na dvě znichž první části představovala centroplán a druhá část část představovala vnější (lichoběžníkovou) křídla. π λ Vzorec pro centroplán křídla: Vzorec pro vnější (lichoběžníkovou) plochu: jednoduchou Jak je vidět výše tento vzorec vznikl integrací rovnice určující nám délku tětivy předchozím v jednotlivých řezech, která je uvedené v textu. Posléze jsem tyto dva výsledky sečetl a díky tomu jsem získal obsah křídla, který jsem použil v rovnici pro výpočet štíhlosti křídla. Vzorec pro výpočet štíhlosti křídla: λ λ λ λ λ λ 16 λ λ
λ λ Díky spočítanému obsahu křídla a následné štíhlosti křídla jsem mohl přistoupit k mezi výpočtu pro určení opravného součiniteleλpro normálné rozložení vztlaku. Zde uvádím vzorec
výslednou hodnotu.
λ
a
π λ λ π λ λ Následně jsem mohl spočíst opravný koeficient pro dané rozložení. Opět uvádím vzorec a výslednou hodnotu. π λ již Tímto koeficientem jsem přenásobil dříve získané koeficienty A1rad spočtené pro jeden mnou hledaného rozložení vztlaku. Vzorec radián a získal jsem konečný koeficient pro výpočet uvádím níže a výslednou matici jsempřehledně zapsal do tabulky (Tab. P.3.4) uvedené v příloze.
ρ Koeficient celkového rozložení pro CL maximální Dále bylo nutné spočítat koeficienty celkové rozložení jednak pro CL ρ maximální, které je pro vypočtené CL cestovní v našem případě je rovno 1.5 a také pro rychlosti níže. Nejdříve bylo nutné rychlost. spočítat rychlost pro CL maximální což jeρpádová Vzorec pro pádovou rychlost je uveden ρ níže. ρ
ρ ρ ρ ρ
V této rovnici je g rovno gravitačnímu mletounu je hmotnost letounu a je rovna 450 zrychlení, kg, Skridla je plocha křídla, CL je výše zmíněná hodnota pro CL maximální, ρ je hustota vzduchu 0m ρ 3 MSA a je rovna 1.225 kg/m .
CL maximální a výše spočítané koeNásledoval výpočet pro určení koeficientu zahrnující ficienty koef0 a koefn, který se následně použil pro určení rozložení vztlaku na křídle. Zde uvádím tabulky (Tab. P.3.4). vzorec a výsledek resp. výsledné hodnoty jsem umístil do Koeficient celkového rozložení pro CL cestovní rychlost byla zadaná v zadání této bakalářské která Nyní bylo nutné určit CL pro cestovní rychlost, následující práce a je 180 km v hodině. K tomu zde uvádím vzorec. 17
ρρ ρ
Γ θ θ ρ Γ θ dosadit Nyní jsem spočítané CL mohl rovnice níže pro hledaný koeficient na do uvedené opravu výsledného rozložení cirkulace tlaku.Výsledek uvádím do tabulky (Tab. P.3.4) v příloze. θ INDUKOVANÝ θ ODPOR θ θ KŘÍDLA αΓ θ jako složka vztlaku působící ve směIndukovaný odpor je nežádoucí veličinou, která vzniká ru odporu. Zvláště nepříznivě se indukovaný odpor projevuje ΓΓθθ θna letech s vysokým součinitelem účinek vztlaku. Parametrem, který snižuje nežádoucí indukovaného odporu je štíhlost křídla. U ne zkroucených křídel závisí pouze na půdorysným tvaru, pro lichoběžníková křídla je funkcí štíhlosti vysokých π a zúžení křídla. Zvláště nepříznivýδδ účinek se projeví při θ úhlech náběhu. Křídla o větších α θ Γ vztlaku jako bombardé α na vyšších součinitelích Γ operující štíhlostech se běžně navrhují pro letadla θ θ θ π větroně. ry, vysoko letící dopravní letadla nebo výkonné δ Pro zjištění indukovaného odporu bylo nejprve nutno určit Glauertův opravný součinitel δ a θ α θ μ θ μ α θ to jak pro CL maximální tak pro CL cestovní rychlosti. Nejprve uvádím výpočet pro CL maximální θ δ a k němu příslušný opravný součinitel vzorec pro určení δ. δ a indukovaný odpor. Zde je Γ θ θ δ δδ δ δ π α θ Γ Γ α π δ δ θ θ θ δδ odporu Následně jsem použil vzorec pro výpočet indukovaného pro CL maximální: δ μδ μ δδ θ θ α θ δδ ππ λ λ δ δ π λ δ kde CLmax je rovno 1.5 (viz. předchozí text), aλje štíhlost křídla. δ použitím δδ π λ CL pro cestovní rychlost letounu: Nyní jsem celý proces znovu zopakoval, ale tentokrát s δ δ δ δ δ δ - tato hodnota se neshoduje s výsled kem z programu Glauert III, důvod se nepodařílo zjistiit A znovu jsem použil vzorec pro výpočet indukovaného odporu, ale tentokrát s použitím CL δ cestovní rychlosti. π λ 18
δ
π λ
δ
ROZLOŽENÍ CIRKULACE NA KŘÍDLE
Dále se dostáváme ke konečnému řešení rozložení vztlaku. Aby bylo možno určit jednotlivý průběh vztlaku na křídle tak bylo nutno porovnat rovnice rozložení cirkulace a Prandltovu rovnici. Zde uvádím prvně rovnici cirkulace. Γ θ
Následně uvádím Prandltovu
θ
Γ θ θ rovnici: θ Γ θ Γ θ Γ θ θ θ
Jejich následným porovnáním dostáváme mnou hledanou rovnici jež je závislostí CL a C na θ Γ θ úhlu. Zde uvádím výslednou a upravenou rovnici.
θ α θ θ θ α θ Γ θ θ
Kde Lkridla je rozpětí křídla, An jsou dříve vypočtené koeficienty, n je liché bezrozměrné číslo a θ je Γ θ θ vztlaku nemá vliv. úhel. Jak je vidět ve výše zmíněné rovnici rychlost letounu na rozložení θ α π θ α θ Γ Γ α Nyní bylo nutné do dané rovnice dosadit spočtené koeficienty a vytvořit graf jednotlivé π výše π θ θ θ rozložení Pří- Γ θ uvádím θ závislosti pro dané rozložení. Jako první pro koeficient nulového rozložení. α θ Γ α θ Γdaný graf. slušné hodnoty jsem zapsal do tabulky (Tab. P.3.5), θ θ πvykresluji pouze zde proto θ μαπ θ θ μ α θ Γ Γ α θ μπ θ μθα θ θ θ δ θ μα θ θμ δ δ δ δ δ 19
Dále bylo nutno obdobný graf sestrojit znovu, ale tentokrát s normálovými koeficienty. Zde uvádím jen graf a hodnoty jsou zapsané v tabulce (Tab. P.3.5).
Další následoval stejný výpočet jako v předchozím případě, tentokrát však byl použit koeficient CL maximální. Opět uvádím jenom graf, hodnoty jsou shrnuty v tabulce (Tab. P.3.5). 20
Následně jsem sestrojil poslední zbývající graf, tentokrát jsem, ale použil koeficienty CL cestovní rychlosti. Zde uvádím pouze graf, hodnoty jsou přehledně zahrnuty v tabulce (Tab. P.3.5).
Nakonec jsem všechny 4 grafy zobrazené v předešlém textu vykreslil do jediného grafu, abych znázornil rozdíly mezi použitím jednotlivých koeficientů.
21
Závěr:
Z výše uvedených grafů vyplívá, že největší vztlak tvoří křídlo u kořene a na konci křídla je vztlak roven nule. Co se týká součinitele vztlaku je největší při letu na pádové rychlosti - CLCCLmax, což je kritická rychlost při, které ještě křídlo tvoří dostatečný vztlak. Dále následuje rozložení normálného vztlaku - CLCkoefn, které představuje křídlo bez zahrnutí kroucení křídla a nejmenší vztlak je při letu na rozložení dle CLCCLvcest, který představuje let na normální cestovní rychlosti. Dále ještě rozložení CLCkoef0, který značí vztlak tvořený kroucením křídla. Výsledky byly překontrolovány dle programu „Glauert“ a vyšly velice blízko výše provedenému výpočtu. Do přílohy přikládám obrázek (obr. P.4.1) rozložení vztlaku vygenerovaný programem Glauert.
22
POUŽITÉ ZDROJE [1] Prof. Ing. Václav Brož, CsC. Aerodynamika nižších rychlostí vyd. Praha: ČVUT, 1995 [2] Ing. JIří Hlinka. Glauert III - manuál vyd. Brno: VUT
23
SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ
24
Γ v Lkridla M Re L1 C1 C10 θ Z C CLα CLα1 CLα10 αgeom1 αgeom10 αgeom αaeron αi Cy αa CL A1rad Atw k koef0 λ Skridla Skridlarovina Skridlasklopeni kn koefn vCLmax koefCLmax CLvcest
m/s m m m m rad m m 1/rad 1/rad 1/rad rad rad rad rad rad rad m/s -
koefCLvcest δCLmax CDICLmax δcest CDICLcest
-
cirkulace rychlost letounu délka křídla Machovo číslo Reynoldsovo číslo polorozpětí křídla délka tětivy centroplánu délka tětivy konce křídla úhel rozdělení křídla vzdálenost od kořene křídla délka tětivy sklon vztlakové čáry sklon vztlakové čáry kořenového profilu sklon vztlakové čáry koncového profilu geometrické zkroucení u kořene křídla geometrické zkroucení u konce křídla geometrické zkroucení aerodynamické zkroucení indukovaný úhel součinitel vztlaku dle starého značení úhel náběhu součinitel vztlaku dle nového značení koeficient pro 1 rad koeficient pro aerodynamické a geometrické kroucení křídla opravný součinitel pro koeficient nulového rozložení koeficient pro nulové rozložení štíhlost křídla plocha křídla plocha centroplánu plocha vnější (lichoběžníkové) části křídla opravný součinitel koeficientu nulového rozložení koeficient pro normálné rozložení pádová rychlost koeficient pro CL maximální opravný součinitel pro koeficient rozložení vztlaku pro cestovní rychlost koeficient rozložení vztlaku pro cestovní rychlost Glauertův opravný součinitel pro CL maximální indukovaný odpor pro CL maximální Glauertův opravný součinitel pro CL cestovní rychlosti indukovaný odpor pro CL cestovní rychlost
SEZNAM PŘÍLOH Příloha 1 - grafy sklonu vztlakové čáry Příloha 2 - maticové zápisy rovnic Příloha 3 - tabulky zapsaných hodnot Příloha 4 - graf programu Glauert
25
Příloha 1
Obr. P.1.1
Obr. P.1.2
θ
θ
α
θ
θ θ
μ
μ α μ
Příloha 2
μ
θ
matice P.2.1
P.2.2 matice
matice P.3.3
Příloha 3
Tab P.3.1 - Poátení podmínky ez 1
stupn O 90
Z m
C mm
CL -
tw stupn
0
1500
7.699
0
0.834
1500
7.699
0
1.642
1386.759
7.536
-0.675
2.400
1252.94
7.343
-1.474
3.085
1131.991
7.169
-2.195
3.677
1027.585
7.018
-2.818
4.157
942.895
6.896
-3.323
4.511
880.494
6.806
-3.695
4.727
842.279
6.751
-3.923
2
80
O
3
70
O
4
60
O
5
50
O
6
40
O
7
30
O
8
20
O
9
10
O
Tab. P.3.2 - koeficienty A1rad
ez 1
stupn O 90
Z m
n -
-
A1rad -
0
1
0.301
0.300747
0.834
3
0.302
0.296178
1.642
5
0.272
0.255734
2.400
7
0.240
0.20749
3.085
9
0.211
0.161881
3.677
11
0.188
0.120716
4.157
13
0.169
0.084663
4.511
15
0.156
0.053374
4.727
17
0.148
0.025713
2
80
O
3
70
O
4
60
O
5
50
O
6
40
O
7
30
O
8
20
O
9
10
O
Tab. P.3.3 - koeficienty Atw ez 1 2 3 4 5 6 7 8 9
stupn 90O 80O 70O 60O 50O 40O 30O 20O 10O
n 1 3 5 7 9 11 13 15 17
0.301 0.302 0.272 0.240 0.211 0.188 0.169 0.156 0.148
Atw -0.00501383 -0.0034925 -0.00000217 -0.00021839 -0.00007184 0.00000649 -0.0000436 0.00002316 -0.00002595
koef0 0 -0.0033703 0.0001885 -0.0001705 -0.0000544 0.000021 -0.000044 0.000029 -0.0000288
koefn 0.0409346 0.0009977 0.0015571 0.0003909 0.0001421 0.0001182 -0.0000029 0.0000475 -0.000023
koefCLmax 0.061402 -0.001874 0.002524 0.000416 0.000159 0.000198 -0.000048 0.0001 -0.000063
koefCLvcest 0.009954 -0.003128 0.000567 -0.000075 -0.00002 0.00005 -0.000045 0.000041 -0.000034
CLCkoefn m 1.576 1.552 1.455 1.319 1.170 1.012 0.84 0.635 0.362
CLCCLmax m 2.501 2.451 2.243 1.966 1.683 1.409 1.139 0.844 0.476
CLCCLvcest m 0.52 0.5 0.414 0.308 0.213 0.138 0.083 0.046 0.021
Z m 0 0.834 1.642 2.400 3.085 3.677 4.157 4.511 4.727
Tab. P.3.4 - koeficienty ez 1 2 3 4 5 6 7 8 9
stupn 90O 80O 70O 60O 50O 40O 30O 20O 10O
Z m 0 0.834 1.642 2.400 3.085 3.677 4.157 4.511 4.727
Tab. P.3.5 - Výsledné rozložení vztlaku ez 1 2 3 4 5 6 7 8 9
stupn 90O 80O 70O 60O 50O 40O 30O 20O 10O
Z m 0 0.834 1.642 2.400 3.085 3.677 4.157 4.511 4.727
CLCkoef0 m 0.136406369 0.122385665 0.059842811 -0.013142596 -0.07131055 -0.108146878 -0.121121601 -0.108599786 -0.06757873
Příloha 4 Obr. P.4.1
