Cursus Geogebra Docentencongres wiskunde: Aan de slag met ICT!
Werkbladen voor vmbo en havo/vwo onderbouw
Februari 2011
J. Manders Dominicus College Nijmegen
[email protected]
2
Introductie Wiskunde leer je door te doen, dat geldt ook voor GeoGebra. Deze syllabus is gebaseerd op mijn eigen ervaringen met GeoGebra in de onderbouw havo/vwo de afgelopen twee jaar. Het meest nuttige vond ik dat de plaatjes en theorie uit het boek door GeoGebra gingen ‘leven’: je kunt ze laten bewegen en variabelen kunnen veranderen. Door de opdrachten te maken leer je enkele mogelijkheden van het programma kennen en maak je materiaal dat klaar is voor gebruik in de klas. De opdrachten zijn zo gekozen dat enkele van de meest gebruikte onderdelen van GeoGebra aan bod komen. Dat neemt niet weg dat er nog heel veel meer kan met dit programma, dat niet in deze cursus aan bod komt. Zie het als een start van een lange boeiende reis. Veel plezier met de opdrachten en: ‘Try this at home!’. Start Om te starten ga je naar www.geogebra.org en download je het programma. Voordeel van downloaden is dat je het rooster zelf kunt instellen (zie ‘Het rooster veranderen’) en dat dat ook zo blijft. GeoGebra start standaard op met vrij grote roosterhokjes en dat is met name bij de random oefeningen niet altijd handig. Een andere mogelijkheid is te kiezen voor ‘Webstart’. Dan heb je altijd de meest recente versie en sla je het programma niet op je computer op. Als je dan met kleinere roosterhokjes wilt werken, maak je een GeoGebra-bestand aan met kleinere hokjes (zie ‘Het rooster veranderen’) dat je opslaat en in het vervolg als startpunt neemt van je werk. Neem eerst de knoppenpagina door, waar de werking van de knoppen wordt weergegeven. In de opdrachten wordt regelmatig naar deze knoppen verwezen. De opdrachten kunnen in willekeurige volgorde worden gemaakt. Succes! Jan Manders, Dominicus College Nijmegen februari 2011
3
Inhoud Algemeen Overzicht GeoGebra-iconen .......................................................................... 5 Het rooster instellen en aanpassen ............................................................... 6 Bestanden exporteren .................................................................................. 7 Werkbladen 1 2 3 4 5 6
4
Het maken van random oefeningen: lijnformules .................................. Random oefeningen maken van de formule f(x) = a (x + b)2 + c .......... Lijnspiegeling, eenvoudige demo ......................................................... Rotatie en draaisymmetrie .................................................................. De product-som-methode met GeoGebra ............................................. De hoeksom van een driehoek: onderzoek en bewijs ............................
8 18 22 27 29 33
Overzicht van Geogebra-iconen van de meest voorkomende bewerkingen (door Paul van de Veen) Verplaats- en roteercommando’s
Verplaats
Puntcommando’s
Roteer
Punt
Snijpunt van 2 objecten
Midden van 2 punten
Lijn van punt met lengte
Halfrechte door 2 punten
Vector tussen 2 punten
Vector met beginpunt
Middelloodlijn
Bissectrices
Raaklijnen
Meetkundige plaats
Lijncommando’s I
Lijn door 2 punten
Lijn tussen 2 punten
Lijncommando’s II
Loodlijn
Evenwijdig
Veelhoekcommando’s
Veelhoek
Cirkelcommando’s
Polygon
Cirkel met M door punt
Meetcommando’s
Hoek
Hoek met bepaalde grootte
Cirkel met M en r
Passer
Cirkel door 3 punten
Transformatiecommando’s
Lengte
Lijnspiegeling Puntspiegeling
Rotatie Verschuiving over over vector bepaalde hoek
Invoegcommando’s
Schuifknop
Aanvinkvakje
Tekst
Afbeelding
Uitzoomen
Label zichtbaar
View- en stijlcommando’s
Verplaatsen
Inzoomen
Stijl kopiëren
5
Het rooster instellen en aanpassen Vaak is het handig om een groter deel van het rooster te kunnen zien: dat kan! Klik op ‘Tekenvenster verplaatsen’. Rechtsklik dan op het rooster en klik onderaan op ‘Tekenvenster’. Zet bij de ‘Assen’ de ‘Afstand’ bij de x-as én de y-as op 1. Voordeel hiervan is dat bij ‘Inzoomen’ en ‘Uitzoomen’ de stapgrootte op de assen 1 blijft. Bij ‘Rooster’ kun je nog de ‘Lijnsoort’ vervangen door dunne stippellijnen en de kleur aanpassen, bijvoorbeeld ruitjesschriftblauw. Vervolgens kun je via ‘Uitzoomen’ het rooster verkleinen waardoor het meer zichtbaar wordt.
6
Bestanden exporteren Exporteren van GeoGebrabestanden heeft twee voordelen: 1. Het bestand wordt opgeslagen als html waardoor iemand het in een ELO kan openen zonder GeoGebra te hebben gedownload. 2. Rechtsbovenin verschijnt een ‘Reset’-knop waardoor je (als je met toevalsgetallen werkt) steeds nieuwe waarden kunt genereren en dus eindeloos kunt blijven oefenen. Om anderen het GeoGebrabestand te kunnen laten bewerken handel je zo: Zet eerst eventuele aanvinkvakjes uit en sla je GeoGebrabestand op. Klik op ‘Bestand’ – ‘Exporteren’ – ‘Dynamisch werkblad als webpagina (html)’. Bij ‘Algemeen’ kun je een tekst ingeven boven en onder de applet. Vul bij ‘Geavanceerd’ de vinkjes als hieronder in, uiteraard met je eigen naam en eventueel aangepaste breedte en hoogte:
Klik dan onderaan op ‘Exporteren’. Kies een opslaglocatie en vul de naam van het bestand in, bijvoorbeeld Lineaire_formules_vinden (spaties tussen woorden aangeven met _). Na enige tijd opent het html-bestand. Nu komt het leuke als je met toevalsgetallen hebt gewerkt! Helemaal rechtsboven (scroll indien nodig) zit de ‘Reset’-knop. Speel daar maar eens mee en kijk wat er gebeurt. Je kunt nu oneindig lang oefenen. Dit bestand kun je bijvoorbeeld in de klas gebruiken of in een ELO zetten.
7
Werkblad 1
Het maken van random oefeningen: lijnformules
Gebruikte commando’s: ToevalsgetalTussen[min,max], Als[dit, dan, anders], Helling[…], Tekst, Aanvinkvakje, Opmaak en Exporteren. Om random oefeningen te kunnen maken is het commando ToevalsgetalTussen[min, max] handig. In het Engels is het RandomBetween[min,max]. Tussen de rechte haken geef je de grenzen (inclusief) aan. Soms is het handig om het getal 0 te vermijden. Daarvoor gebruiken we het ‘als[dit, dan, anders]’-commando. Sla het werk na elke opdracht op via ‘Bestand’ en ‘Opslaan als’!!! Opdracht 1 Eerst maken we een positief toevalsgetal a1 tussen 1 en 5. Type in het invoerveld: a_1 = ToevalsgetalTussen[1,5] en druk op Enter. (dus om a1 te krijgen moet je intypen a_1).
In het algbravenster zie je nu het getal a1 staan.
8
Opdracht 2 Maak dan een toevalsgetal at dat maar twee waarden kan hebben. Van at (a-teken) hangt af of het getal a negatief of positief is. Type in het invoerveld: a_t =ToevalsgetalTussen[1,2], druk op Enter en in het algebravenster verschijnt ook at. Opdracht 3 In het invoerveld typen we: a = Als[at
1, a1, -a1] gevolgd door Enter.
Resultaat: als at =1 wordt a positief en als at = 2 wordt a negatief. Opdracht 4 Maak op dezelfde manier de toevalsgetallen b1, bt en b. Opdracht 5 Voer de volgende formule in het invoerveld in: y = a x + b gevolgd door Enter (let op de spatie tussen a en x: die betekent ‘keer’). In het algebravenster wordt aan deze formule een letter toegekend. Je ziet bijvoorbeeld c: y = -4x + 3. In het assenstelsel verschijnt de grafiek van deze formule.
9
Opdracht 6 a De volgende stap is het zichtbaar maken van de richtingscoëfficient. Type in: Helling[c] , druk op Enter en in het algebravenster verschijnt in een andere kleur de waarde van de rico, bijvoorbeeld als: d = 2. In het assenstelsel wordt de ricodriehoek in dezelfde kleur zichtbaar. b In het algebravenster rechtsklikken we op de rico en kiezen ‘Eigenschappen’, vervolgens ‘Basis’, dan op ‘Label tonen’ en in het uitrolmenu op ‘Waarde’ en tot slot op ‘Sluiten’. Het resultaat is dat de lengtes van de lijnstukken er bij komen te staan in het assenstelsel. Standaard staat er 1 naar rechts en de rico verticaal. c Maak het snijpunt van de lijn met de y-as zichtbaar d.m.v. het snijpunticoon in de menubalk. Klik op de lijn en dan op de y-as en het snijpunt verschijnt. In het algebravenster zie je dat het punt A wordt genoemd.
Je krijgt dan bovenstaand tussenresultaat.
10
De oefening wordt nog opgeleukt en zo gemaakt dat leerlingen lijnformules random kunnen oefenen. Opdracht 7 a Eerst gaan we naar ‘Opties’, ‘Lettergrootte’ en kies dan bijvoorbeeld 18. De letters en teksten zijn nu wat groter zodat ze ook op een smartboard te lezen zijn.
b
Verder is het handig dat het assenstelsel te zien is tussen -5 en 5. Daartoe verplaatsen we het tekenvenster.
11
Opdracht 8 We gaan tekst invoegen d.m.v. het teksticoon in de menubalk.
a
Klik op het teksticoon en klik dan ergens bovenaan in het venster. Er verschijnt dan een venster waarin tekst gezet kan worden. We typen in: “De rico is: ” +d en klikken op OK. (Tekst moet tussen aanhalingstekens, variabelen beginnen met een +. Later zal de lijn veranderen waardoor de rico en de formule automatisch meeveranderen in de tekst: dit heet dynamische tekst.)
b
Op dezelfde manier maken we de teksten: “De lijn snijdt de y-as in: ” +A
en “Formule: ” +c
Er staan dan drie teksten op het scherm die je zelf naar een geschikte plaats kunt slepen door eerst te klikken op het verplaatsicoon voor objecten.
12
Opdracht 9 In deze opdracht gaan we gebruik maken van aanvinkvakjes.
a
Klik op bovenstaand icoon en vervolgens ergens rechts in het venster. Bij ‘titel’ vul je in: ‘Laat rico zien’ Bij ‘Selecteer objecten ….’ klik je op het zwarte driehoekje en daarna op Getal d en op Tekst tekst 1 Dan op Toepassen. Er verschijnt een aanvinkvakje in beeld. Klik er eens op en kijk wat er gebeurt.
b c
Op dezelfde manier maak je een aanvinkvakje met als titel ‘Laat snijpunt met de y-as zien’, waarbij je Punt A en Tekst tekst 2 selecteert. Dan ook nog het derde aanvinkvakje met als titel ‘Laat formule zien’ waarbij Tekst tekst 3 geselecteerd wordt.
13
Het eindresultaat wordt dan:
Er resten nu nog twee dingen: de figuur opmaken en gereed maken voor Exporteren en vervolgens Exporteren naar html om random te kunnen oefenen.
14
Opdracht 10 a Klik met rechts op een van de teksten en dan onderaan op Eigenschappen. In het venster dat dan verschijnt klik je in het linkervak op Tekst: dan selecteer je alle teksten tegelijk.
b c d e
Pas met de tabbladen Tekst en Kleur de lettergrootte (18) en kleur aan. Als alles dan naar wens staat Fixeer je alle tekst. Op dezelfde manier kun je de Booleaanse waarden opmaken, fixeer ook de aanvinkvakjes. Als je het nog mooier wilt maken, kun je bijvoorbeeld de tekst van de rico en ricodriehoek in de tekening dezelfde kleur geven, evenals het snijpunt met de y-as en de bijbehorende tekst. Maak de lijn wat dikker via Eigenschappen en Stijl en geef hem een kleur: dezelfde als de formuletekst.
Tot zover het basisbestand: sla dit op! In opdracht 11 gaan we dat Exporteren.
15
Opdracht 11 Zet eerst de aanvinkvakjes uit: je mag geen tekst zien. Exporteer het bestand dan zoals staat beschreven bij ‘Exporteren’.
Kies een opslaglocatie en vul als naam van het bestand in Lineaire_formules_vinden. Na enige tijd opent het html-bestand. Nu komt het leuke! Helemaal rechtsboven (scroll indien nodig) zit de Reset-knop. Speel daar maar eens mee en kijk wat er gebeurt. Je kunt nu oneindig lang oefenen met het vinden van de formule van de getoonde lijn. Dit bestand kun je bijvoorbeeld in de klas gebruiken of in de ELO zetten.
16
Nu andersom: we maken een nieuw bestand waarin een formule verschijnt en de lijn gevonden moet worden. Opdracht 12 Om dubbel werk te voorkomen gaan we terug naar het ggb-bestand dat we zojuist gemaakt hebben. a Verwijder alle tekst en alle aanvinkvakjes d.m.v. rechtsklikken en Verwijderen. b Sla het bestand onder een nieuwe naam op, bijvoorbeeld ‘Van formule naar lijn’. c Maak dan drie teksten: “Hoe loopt de lijn met de formule: “+c “De lijn snijdt de y-as in “ +A d e f
“De rico van de lijn is “+d Maak aanvinkvakjes bij tekst 2 en 3, resp. Tip 1 en Tip 2. Bij Tip 1 selecteer je tekst 2 en punt A. Bij Tip 2 selecteer je tekst 3 en getal d. Maak nog een tekst: “”+c en maak daarbij een aanvinkvakje met de naam ‘Laat lijn zien’ en selecteer daarbij Rechte c. Dan nog de tekst vergroten, kleuren geven, aanvinkvakjes UIT en exporteren met bestandsnaam Van_formule_naar_lijn.
17
Werkblad 2
Vooraf:
Random oefeningen maken van de formule f(x) = a (x + b)2 + c met a, b en c gehele getallen en a≠0
Zorg dat bij ‘Beeld’ de opties ‘Assen’ en ‘Rooster’ aan staan. Maak de hokjes kleiner zoals beschreven in ‘Het rooster veranderen’. Alle rode tekst letterlijk intypen. Sla tussendoor steeds op!!!
Opdracht 1 We maken eerst drie toevalsgetallen a, b en c. In het invoerveld typen we achtereenvolgens (steeds gevolgd door ‘Enter’): a_1= ToevalsgetalTussen[1,3] a_t = ToevalsgetalTussen[1,2] a = Als[a_t = = 1, a_1, -a_1] De dubbele = ‘betekent als a_t =’. Het getal a wordt zo een toevalsgetal tussen -3 en 3 en a kan niet 0 worden. at bepaalt of a positief of negatief is. Maak dan de toevalsgetallen b en c door in te typen: b = ToevalsgetalTussen[-5,5] c = ToevalsgetalTussen[-5,5]
en
Dan typen we nog: f(x) = a (x + b)2 + c (let op de spatie tussen a en haakje!) De grafiek en formule verschijnen. Sla het bestand op als bijvoorbeeld ‘Parabolen_random_oefenen’. En dan ook nog: Extrema[f] Dit geeft punt A, de top van de parabool. Opdracht 2 Voeg de volgende teksten in (steeds gevolgd door ‘OK’): “f(x) = “+f De dynamische tekst verschijnt in het tekenvenster. Deze tekst heet ‘tekst1’. “De top ligt op “+A
‘tekst2’
“Dus b = “+b
‘tekst3’
“En c = “+c
‘tekst4’
In het invoerveld typen we: ateken = Als[a<0, “omlaag”, “omhoog”] Bij de oorsprong verschijnt dan een van deze twee woorden. Rechtsklik daarop en vink uit ‘Object tonen’: de tekst verdwijnt dan uit beeld.
18
Dan weer een tekstveld met daarin: “Vanuit de top ga je 1 naar rechts en “+(abs(a))+” “+ateken+” dus a = “+a Opdracht 3 Nu gaan we eerst alles opmaken en op de goede plaats zetten. Dit gaat door rechts te klikken op een van de teksten en naar ‘Eigenschappen’ te gaan. Pas het volgende aan: Maak de parabool wat dikker (Stijl) en geef hem een kleur (Kleur). Maak punt A wat groter (Stijl) en geef hem een kleur (Kleur). Maak alle teksten in één keer groter (Lettergrootte 18) en geef ze een kleur. Sluit het algebravenster en sleep het tekenvenster meer naar het midden. Sla weer op! Tussenresultaat:
19
Opdracht 4 Maak bij ‘Opties’ de ‘Aanvinkvakjes’ ‘ Groot’ Maak de volgende aanvinkvakjes erbij: Titel grafiek Top b c a formule
Selecteer Functie f Punt A en tekst2 tekst3 tekst4 tekst5 tekst1
Geef ze een kleur, zet alles op de goede plek en ‘Fixeer’ de teksten en de aanvinkvakjes. Zet de aanvinkvakjes uit behalve de grafiek. Vergeet niet op te slaan. Je kunt nu twee kanten uit. Zoals het er nu staat krijg je een grafiek en ga je stap voor stap naar de formule. Als je de aanvinkvakjes in een andere volgorde zet (begin met de formule en pas de teksten 2, 3 en 4 aan) dan kun je ook oefenen van formule naar grafiek. Sla dan wel onder een andere naam op. Beide bestanden gaan we ‘Exporteren’ om random opgaven te genereren. Hoe dat moet staat beschreven bij ‘Exporteren’. Eenmaal geëxporteerd kan het eeuwige oefenen beginnen door de ‘reset’-knop rechtsboven in het scherm te gebruiken. Van deze applet is ook een demonstratie/onderzoeks-applet te maken door niet te beginnen met toevalsgetallen maar met drie schuifknoppen a, b en c.
20
Handigheidjes Als je vaker gebruik maakt van toevalsgetallen is het handig om twee bestanden te maken met toevalsgetallen: een met 0 en een zonder 0. Die kunnen dan als startpunt dienen voor andere applets. Sla wel meteen onder een andere naam op. Het assenstelsel is nu maar beperkt zichtbaar omdat de hokjes zo groot zijn. Wil je meer laten zien, dan kun je voor je begint het volgende doen: Zorg dat het icoon ‘Tekenvenster’ aangeklikt staat en klik dan met de rechtermuisknop op het tekenvenster. Onderaan klikken op ‘Tekenvenster’ en zet bij de ‘Assen’ de ‘Afstand’ bij de x-as en de y-as op 1. Voordeel hiervan is dat bij ‘Inzoomen’ en ‘Uitzoomen’ de stapgrootte op de assen 1 blijft. Vervolgens kun je via ‘Uitzoomen’ het rooster verkleinen waardoor er meer zichtbaar wordt. Bij ‘Rooster’ kun je nog de ‘Lijnsoort’ vervangen door dunne stippellijnen en de kleur aanpassen, bijvoorbeeld ruitjesschriftblauw.
21
Werkblad 3
Lijnspiegeling, eenvoudige demo
Het leuke van GeoGebra is dat je de statische plaatjes uit het boek in beweging kunt brengen. We gaan een eenvoudige lijnspiegeling maken en maken er later een applet van die je in de klas kunt gebruiken. Opdracht 1 Open GeoGebra en sluit via ‘Beeld’ het ‘Algebravenster’, het ‘Rooster’ en de ‘Assen’. Je krijgt een blanco pagina. Verder is het handig als je bij ‘Opties’ het volgende doet: de ‘Aanvinkjes’ alvast ‘Groot’ maken en bij ‘Labels’ alvast aanvinken ‘Enkel nieuwe punten’. Opdracht 2 Teken links ergens een driehoek ABC met ‘Veelhoek’. Teken rechts naast de driehoek een lijn door de punten D en E via ‘Rechte door twee punten’. Via rechtsklikken en ‘Eigenschappen’ kun je de lijn wat dikker maken en de driehoek en de lijn een kleur geven. Het plaatje ziet er dan ongeveer zo uit:
Opdracht 3 Klik bovenin op ‘Lijnspiegeling’, dan op de driehoek en dan op de lijn. De driehoek wordt nu gespiegeld in de lijn.
22
Opdracht 4 Beweeg nu een van de punten A t/m E. Dit is het dynamisch maken van het begrip lijnspiegeling. Nu gaan we de applet zo maken dat we hem in de klas kunnen gebruiken om de techniek van een lijnspiegeling te demonstreren. Opdracht 5 Teken met ‘Lijnstuk’ de lijnstukken AA’, BB’ en CC’. Maak met ‘Snijpunt van 2 objecten’ de snijpunten F, G en H van de lijnstukken met de lijn. Het is voor het vervolg noodzakelijk om deze volgorde aan te houden. Zorg ervoor dat de punten F, G en H tussen D en E liggen. Maak dan de drie lijnstukken onzichtbaar door er met de rechtermuisknop op te klikken en ‘Object tonen’ uit te vinken. Opdracht 6 Maak de lijnstukken AF, A’F, BG, B’G, CH en C’H en maak er via ‘Eigenschappen’ en ‘Stijl’ stippellijnen van en geef ze eventueel een kleur. Dit kan in één keer door de lijnstukken h t/m m in het Eigenschappenvenster te selecteren met ‘Shift’ of ‘Ctrl’. Voorzie de lijnstukken via ‘Eigenschappen’ en ‘Markering’ van streepjes om gelijke afstanden aan te geven: AF en A’F een enkel streepje, BG en BG’ een dubbel en CH en C’H een driedubbel streepje. Opdracht 7 Behalve de gelijke afstanden tot de lijn willen we ook de rechte hoek zichtbaar maken. Dat gaat zo (hou de aangegeven lettervolgorde aan): Klik op ‘Hoek’ en dan op de punten A, F en D. Klik op ‘Hoek’ en dan op de punten B, G en D. Klik op ‘Hoek’ en dan op de punten C, H en D. Je ziet dan drie hoeken van 90°. Sla het bestand op. Hiermee valt al te werken. Deze applet is nog niet ‘monkeyproof’. Beweeg de punten maar eens rigoreus en je ziet dat er dan soms ongewenste hoeken van 270° verschijnen. Daar gaan we wat aan doen.
23
Opdracht 8 Klik op een van de hoeken en via ‘Eigenschappen’ en ‘Geavanceerd’ vul je bij ‘Voorwaarde om object te tonen’ bij elke hoek in dat hij alleen maar getoond wordt bij een waarde van 90° of kleiner (de benodigde symbolen zitten in de uitrolmenu’s).
Sla weer op. Opdracht 9 We maken drie extra hoeken: Klik op ‘Hoek’ en dan op de punten D, F en A. Klik op ‘Hoek’ en dan op de punten D, G en B. Klik op ‘Hoek’ en dan op de punten D, H en C. Geef op de manier van opdracht 8 aan dat deze drie nieuwe hoeken alleen worden getoond als ze KLEINER zijn dan 90° (met de toets < op het toetsenbord boven de komma). Maak de punten F, G en H nog onzichtbaar door ‘Object tonen’ uit te vinken.
24
Resultaat:
Nu kun je er nog een stap-voor-stap demo van maken met aanvinkvakjes. Er is hier gekozen voor een aanpak zonder tekst. Opdracht 10 Maak de volgende ‘Aanvinkvakjes’: Titel 1 2 3 4 5 6 7
Selectie lijnstuk h en hoek alfa lijnstuk i en punt A’ lijnstuk j en hoek beta lijnstuk k en punt B’ lijnstuk l en hoek gamma lijnstuk m en punt C’ driehoek A’B’C’ en de lijnstukken a’, b’ en c’
25
Resultaat:
Opdracht 11 Zet de aanvinkvakjes allemaal uit en sla het bestand op. Dan kun je het nog ‘Exporteren als dynamisch werkblad’ om het in een ELO te kunnen gebruiken. Hoe dat moet vind je bij ‘Exporteren’.
26
Werkblad 4
Rotatie en draaisymmetrie
In de opdrachten gaan we figuren dynamisch laten roteren. Je kunt de applet mooi gebruiken om draaisymmetrie tot leven te brengen. Opdracht 1 Maak eerst een ‘Schuifknop’, vink ‘Hoek’ aan en onder het tabblad ‘Schuifknop’ maak je de ‘Breedte’ 200. Opdracht 2 Maak met ‘Regelmatige veelhoek’ een regelmatige driehoek, vierhoek, vijfhoek en zeshoek en zet die verdeeld over het scherm. Ze heten resp. veelhoek1 t/m veelhoek4. Je kunt de grootte en positie veranderen door de eerste twee punten te verslepen. Als je wil kun je ze opmaken via rechtsklikken en ‘Eigenschappen’. Opdracht 3 We kiezen het rotatiemiddelpunt in het midden van de figuren: dat is altijd het zwaartepunt. In het invoerveld typen we: Zwaartepunt[veelhoek1]
en ‘Enter’
Doe dit ook voor de andere veelhoeken. Resultaat:
27
Opdracht 4 Met het icoon ‘Rotatie’ kunnen we de figuren laten draaien. Klik op ‘Rotatie’ en klik in de veelhoek, dan op het zwaartepunt en voer als hoek alfa in (die letter staat in het uitorolmenu). Tegenwijzersin is tegen de klok in, dat is OK. Doe dit voor elke veelhoek. Opdracht 5 Klik het ‘Verplaats’-icoon aan en versleep de schuifknop langzaam. De figuren gaan draaien. Nog leuker is om rechts te klikken op de schuifknop en ‘Animatie aan’ aan te vinken. Via de ‘Eigenschappen’ van de schuifknop kun je de snelheid aanpassen, zet die bijvoorbeeld op 0.2 (gebruik een punt en geen komma). Opdracht 6 Sla het bestand op en exporteer het als dynamisch werkblad zoals beschreven staat bij ‘Exporteren’.
28
Werkblad 5
De product-som-methode met GeoGebra
Het meetkundige dynamische karakter van GeoGebra is bekend, maar ook algebraïsch kun je leuke applets maken, vooral als je gebruik maakt van toevalsgetallen. In de opdrachten gaan we een applet maken waarmee de leerling oneindig lang kan oefenen met de product-som-methode. De opdracht beperkt zich tot de uitdrukking x2 + somab x + productab met a en b hele getallen ongelijk aan 0. Opdracht 1 Maak twee toevalsgetallen a en b die ongelijk aan 0 zijn. In het invoerveld typen we: a_1 = ToevalsgetalTussen[1,10] en ‘Enter’ a_t = ToevalsgetalTussen[1,2] en ‘Enter’ a = Als[a_t = = 1, a_1, -a_1] en ‘Enter’ Doe hetzelfde voor b. Opdracht 2 Maak de twee variabelen somab en productab: somab = a + b productab = a b
(een spatie tussen variabelen betekent ‘keer’)
Opdracht 3 Je voorkomt veel gedoe met plussen en minnen als je de uitdrukking definieert als functie. In het invoerveld typen we in: p(x) = x2 + somab x + productab
en ‘Enter’
In het algebravenster verschijnt de dynamische functie p, in het tekenvenster de bijbehorende grafiek. Die maken we onzichtbaar door op het bolletje voor f te klikken in het algebravenster. Opdracht 4 GeoGebra bevat het commando ‘Ontbinden’, dat handig is in dit geval. Typ in het invoerveld: Ontbinden[p]
en ‘Enter’
De ontbonden functie heet ‘f’ en staat in het algebravenster. Maak de grafiek onzichtbaar.
29
Nu de teksten! Er zit echter een klein addertje onder het gras: als somab = 0 dan krijg je bijvoorbeeld de functie p(x) = x2 + 0x – 25. Dat is geen gezicht. We lossen dat nu even op door in de tekst een uitzondering te maken voor het geval dat somab = 0. Opdracht 5 Met het icoon ‘Tekst invoegen’ maken we de volgende teksten: Reset voor een andere opgave p+” =”
en ‘OK’ (tekst1)
en ‘OK’ (tekst2)
In het invoerveld maken we tekst3 als volgt: Als[somab == 0, tekst1, tekst2] en ‘Enter’. Je krijgt dan altijd de goede tekst. Rechtsklik in het tekenvenster op de eerste tekst en geef via ‘Eigenschappen’ alle drie de teksten Tekstgrootte 18, een Kleur en Positioneer ze op bijvoorbeeld het punt (2,8). Opdracht 6 Voor de oplossing komt geven we eerst een tip. Maak met ‘Tekst invoegen’ de volgende teksten: “Het product van de getallen is “+productab+” en de som is “+somab
(tekst4)
“De getallen zijn “+a+” en “+b
(tekst5)
p+” = “+f
(tekst6)
Maak tekst6 hetzelfde op als tekst3 maar plaats hem een stuk lager. De teksten 4 en 5 geef je een andere kleur en als je wilt een iets kleinere lettergrootte, bijvoorbeeld 16. Zet alles op de gewenste positie. In het tussenresultaat laat ik het rooster en de assen nog even staan.
30
Tussenresultaat:
Opdracht 7 Nu de aanvinkvakjes. Maak met het icoon ‘Aanvinkvakje…’ de volgende aanvinkvakjes en plaats ze op de gewenste plek (selecteren kan ook door aanklikken in het tekenvenster). Titel Opgave Tip 1 Tip 2 Laat zien
Selectie tekst3 tekst4 tekst5 tekst6
Geef de aanvinkvakjes desgewenst een kleur. Als alles op de gewenste plek staat rest nog via ‘Eigenschappen’ het ‘Fixeren’ van alle tekst en aanvinkvakjes. Schakel dan via ‘Beeld’ het ‘Algebravenster’, de ‘Assen’ en het ‘Rooster’ uit.
31
Eindresultaat:
Opdracht 8 Schakel alle aanvinkvakjes uit behalve de opgave. Om random te kunnen oefenen moet het bestand geëxporteerd worden. Zie daarvoor de paragraaf ‘Exporteren’. Exporteer het bestand als Dynamisch werkblad. Met de ‘Reset’-knop rechtsboven genereer je steeds nieuwe opgaven.
32
Werkblad 6
De hoeksom van een driehoek: onderzoek en bewijs
Vooraf: Vink bij ‘Opties’ bij ‘Labels’ aan: ‘Enkel nieuwe punten’ en bij ‘Afronden’ ‘0 decimalen’. Vink bij ‘Beeld’ het ‘Rooster’ en de ‘Assen’ en het ‘Algebravenster’ uit. Opdracht 1 Teken een driehoek ABC m.b.v. het icoon ‘Veelhoek’. Klik op het ‘Hoek’-icoon en vervolgens op driehoek ABC: de hoeken van de driehoek verschijnen. Maak de hoeken groter en duidelijker door rechts te klikken op een hoek en via ‘Eigenschappen’ en ‘Stijl’ de ‘Afmeting’ op bijvoorbeeld ‘5’ te zetten en de ‘Vulling’ op 25%. Geef elke hoek een andere kleur. Zorg wel dat je de hoeken nog ziet. Opdracht 2 In het invoerveld type je: hoeksom = α + β + γ het uitrolmenu aan de rechterkant zitten.
dus alfa + beta + gamma die in
Dan gaan we de volgende tekst intypen met Tekst invoegen: “De hoeken van ΔABC zijn samen: “+α+” + “+β+” + “+γ+” = “+hoeksom Na ‘OK’ verschijnt de tekst. Opdracht 3 Beweeg nu de punten van de driehoek en let op de dynamische tekst. Dit vraagt om een verklaring! Sla het bestand op en exporteer het ook. Exporteren staat uitgelegd bij ‘Exporteren’. Opdracht 4 Verwijder de tekst, maar laat de driehoek staan. Sla direct op onder de naam ‘Hoeksom_driehoek_bewijs’. Teken door C een ‘Evenwijdige rechte’ aan AB. Zet op deze lijn twee punten, D links van C en E rechts van C. Opdracht 5 Maak met het ‘Hoek’-icoon een hoek door te klikken op de punten D, C en A. De volgorde is belangrijk. Daarna maak je de hoek BCE. Geef deze hoeken dezelfde kleur en grootte als de overeenkomstige Z-hoeken. Verberg nu de punten D en E door ‘Object tonen’ uit te vinken.
33
Opdracht 6 Nu gaan we de aanvinkvakjes 1 t/m 5 en conclusie maken. Selecteren kan ook door de desbetreffende elementen aan te klinken in de tekening. Titel 1 A 2 3 4 5 Conclusie
Selectie Tekst 1, de lijn door C, de hoeken bij C, de lijnstukken AC en BC, punt Tekst Tekst Tekst Tekst Tekst
2, punt B, lijnstuk AB en driehoek ABC 3, hoek A en B 4 5 6
Het resultaat is:
Om het nog abstracter te maken zou je ‘Labels tonen’ kunnen uitvinken bij alle hoeken. Zet dan alle aanvinkvakjes behalve het eerste uit en sla het bestand op. Vervolgens ‘Exporteren’ zoals beschreven staat bij ‘Exporteren’.
34
