South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, 8–13.
ˇ ´ ´ ˚ V PROGRAMU VETY O SHODNOSTI TROJUHELN IKU ˇ GEOGEBRA NA ZS ¨ MARTIN GUNZEL
Abstrakt. Tento ˇ cl´ anek se zab´ yv´ a vyuˇ zit´ım poˇ c´ıtaˇ ce pˇri v´ yuce vˇ et o shodnosti na z´ akladn´ı ˇskole, konkr´ etnˇ e samostatnou prac´ı ˇ z´ ak˚ u v programu GeoGebra pˇri r´ ysov´ an´ı troj´ uheln´ık˚ u podle vˇ et o shodnosti podle pˇripraven´ ych pracovn´ıch list˚ u. Struˇ cnˇ e shrnuje pr˚ ubˇ eh v´ yuky, zp˚ usob pr´ ace uˇ citele, pr˚ ubˇ eh samostatn´ e pr´ ace ˇ z´ ak˚ u a jejich motivaci. Tak´ e se vˇ enuje kr´ atk´ emu rozboru ˇ cast´ ych chyb, jenˇ z se ˇ za ´ci dopouˇstˇ eli, a nakonec shrnuje v´ yhody pr´ ace s programem GeoGebra pˇri t´ eto v´ yuce.
´ Uvod Pˇestovat geometrii znamen´ a rozv´ıjet pˇredstavivost.“ (Kuˇrina 2012, s.129). V tomto ” ˇcl´ anku autor popisuje sv´e zkuˇsenosti jako uˇcitel s pˇestov´an´ım geometrie pomoc´ı proˇ v Cesk´ ˇ ych Budˇejovic´ıch. gramu GeoGebra pˇri v´ yuce matematiky v 7. roˇcn´ıku na ZS ˇ anek se t´ Cl´ yk´ a jedn´e tˇr´ıdy, kter´a s programem GeoGebra pracuje od 6. roˇcn´ıku, z´ akladn´ı orientace v prostˇred´ı tohoto programu tak ˇz´ak˚ um nedˇelala probl´em. Pr´ace v programu GeoGebra by mˇela b´ yt v tomto ohledu vhodn´ ym n´astrojem pro rozvoj dˇetsk´e pˇredstavivosti. GeoGebra patˇr´ı pod skupinu program˚ u dynamick´e geometrie. Jde vlastnˇe o geometrick´ y n´ aˇcrtn´ık k vykreslov´ an´ı geometrick´ ych u ´tvar˚ u, kter´ y umoˇzn ˇuje manipulaci s tˇemito objekty a prov´ ad´ı i nˇekter´e v´ ypoˇcty (Binterov´a, Tlust´ y 2013, s. 23). Program GeoGebra spojuj´ıc´ı v sobˇe geometrii a algebru se zaˇcal vyv´ıjet jiˇz od roku 2001 a je pouˇz´ıv´ an v mnoha ˇskol´ach v Evropˇe. Jeho pˇredost´ı je jeho voln´e ˇs´ıˇren´ı, velmi snadn´e intuitivn´ı ovl´ ad´ an´ı a tak´e jeho pˇreklad do mnoha jazyk˚ u vˇcetnˇe ˇceˇstiny (Binterov´ a, Tlust´ y 2013, s. 27). V´ yuka, ve kter´e ˇz´ aci vyuˇz´ıvali program GeoGebra, se t´ ykala konstrukce troj´ uheln´ıka podle vˇet o shodnosti troj´ uheln´ık˚ u. Vyuˇcuj´ıc´ı nejprve danou l´atku vysvˇetlil, pˇriˇcemˇz bˇehem v´ ykladu vyuˇz´ıval takt´eˇz programu GeoGebra, po t´e danou l´ atku s dˇetmi procviˇcoval a n´aslednˇe dostaly dˇeti pracovn´ı listy, podle kter´ ych mˇely vybran´e troj´ uheln´ıky nar´ ysovat v programu GeoGebra. Pracovn´ı list obsahoval kromˇe zad´ an´ı i n´ avod, jak maj´ı dˇeti postupovat pˇri konstrukci dan´eho troj´ uheln´ıka. N´ avod obsahoval jeden moˇzn´ y struˇcn´ y postup ˇreˇsen´ı s obr´azky funkc´ı, jichˇz mohou ˇz´ aci v programu vyuˇz´ıt. N´ avod slouˇzil ˇz´ak˚ um pouze jako pom˚ ucka, podle kter´e se nemuseli nutnˇe ˇr´ıdit a je inspirov´an popisem u ´lohy konstrukce troj´ uheln´ıka podle vˇety sss v knize (Van´ıˇcek 2009, s. 82). V ˇcl´ anku autor popisuje zp˚ usob pr´ace uˇcitele s programem GeoGebra pˇri v´ ykladu a zp˚ usob pr´ ace dˇet´ı s programem. Shrnuje vliv takov´eho zp˚ usobu pr´ace na motivaci ˇz´ ak˚ u, popisuje ˇcast´e chyby v ˇz´akovsk´ ych konstrukc´ıch a zp˚ usob jejich napravov´an´ı. V pˇr´ıloze pak uv´ ad´ı autor vlastn´ı vytvoˇren´e pracovn´ı listy vytvoˇren´e k t´eto v´ yuce.
Key words and phrases. GeoGebra, shodnost, v´ yuka matematiky. 8
ˇ GEOGEBRA NA ZS
9
´ uka pomoc´ı programu GeoGebra 1. Vy ˇ Pro samotnou v´ yuku vˇet o shodnosti troj´ uheln´ık˚ u je podle SVP na ˇskole, kde autor uˇc´ı, vˇenov´ ano 7 hodin. Prvn´ı tˇri hodiny jsou strukturov´any tak, ˇze nejprve uˇcitel vysvˇetl´ı obsah vˇety, provede jej´ı verifikaci v programu GeoGebra a pot´e dˇeti konstruuj´ı zadan´ y troj´ uheln´ık podle probran´e vˇety. Bˇehem tˇechto tˇr´ı hodin jsou probr´ any vˇsechny vˇety a ˇz´ aci maj´ı v seˇsitˇe od kaˇzd´e vˇety alespoˇ n dvˇe konstrukce troj´ uheln´ıka. N´ asleduj´ıc´ı dvˇe hodiny prob´ıh´a procviˇcov´an´ı a tr´enov´an´ı konstrukce vˇcetnˇe vybran´ ych slovn´ıch u ´loh. Posledn´ı dvˇe hodiny prob´ıhaj´ı v poˇc´ıtaˇcov´e uˇcebnˇe, kde dˇeti konstruuj´ı troj´ uheln´ık v programu GeoGebra podle zad´an´ı z pracovn´ıch list˚ u. Jde tedy o uˇcen´ı podporovan´e poˇc´ıtaˇcem, kter´e klade d˚ uraz na uˇcen´ı ˇz´aka a rozvoj jeho kompetenc´ı. (Binterov´ a, Tlust´ y 2013, s. 15). V´ ysledky jejich pr´ace ukl´adaj´ı do uˇcitelovy sloˇzky v m´ıstn´ı s´ıti, ze kter´e je uˇcitel pozdˇeji otevˇre a ohodnot´ı. 1.1. Zaveden´ı vˇet o shodnosti troj´ uheln´ık˚ u s programem GeoGebra Bˇehem prvn´ıch dvou vyuˇcovac´ıch hodin vyuˇz´ıv´a autor program GeoGebra pˇri v´ ykladu k demonstrac´ım r˚ uzn´ ych zp˚ usob˚ u konstrukce troj´ uheln´ıka a n´asledn´e verifikaci vˇet o shodnosti. D´ıky dynamick´emu prostˇred´ı programu GeoGebra tak lze ˇz´ak˚ um demonstrovat mnohem v´ıce separovan´ ych model˚ u neˇz pouze pomoc´ı tabule, kˇr´ıdy, popˇr. tuˇzky a pap´ıru. Poˇc´ıtaˇc je zde velkou pom˚ uckou pro uˇcitele ke kvalitn´ımu demonstrov´ an´ı a pˇribl´ıˇzen´ı mnoha r˚ uzn´ ych geometrick´ ych konstrukc´ı souvisej´ıc´ıch s vˇetami o shodnosti. Tuto shodnost lze d´ıky programu tak´e snadno ovˇeˇrovat. Konstrukce v programu GeoGebra tak pˇrisp´ıvaj´ı k n´azornosti, protoˇze jsou dynamick´e, m˚ uˇzeme je mˇenit pˇri zachov´ an´ı vztah˚ u mezi sledovan´ ymi objekty (Binterov´a, Tlust´ y 2013, s. 68). 1.2. Samostatn´a pr´ace ˇz´ak˚ u Po pˇeti vyuˇcovac´ıch hodin´ ach, bˇehem nichˇz ˇz´aci r´ ysovali pouze do seˇsitu se nyn´ı pouˇst´ı do konstrukce v programu GeoGebra. Kaˇzd´ y ˇz´ak dostal pracovn´ı list, kter´ y se skl´ ad´ a ze ˇctyˇr ˇc´ ast´ı - podle ˇctyˇr vˇet o shodnosti troj´ uheln´ık˚ u (sss, sus, usu, Ssu). V kaˇzd´e ˇc´ asti pracovn´ıho listu je u ´kol na konstrukci troj´ uheln´ıka podle dan´e ˇ aci vˇzdy nejprve tuˇzkou naˇcrtnou troj´ vˇety o shodnosti. Z´ uheln´ık a provedou rozbor do pracovn´ıho listu, pot´e zaˇcnou r´ ysovat v programu GeoGebra. Nakonec jeˇstˇe troj´ uheln´ık nar´ ysuj´ı do pracovn´ıho listu. V prvn´ı ˇc´ asti vˇenovan´e vˇetˇe sss se ˇz´aci sezn´am´ı s funkc´ı, kterou doposud ne´ cka dan´e velikosti. Formou ˇreˇsen´ı dvou jednopotˇrebovali. Jedn´ a se o funkci Useˇ duch´ ych u ´kol˚ u si mohou pouˇz´ıv´an´ı t´eto funkce snadno osvojit a vyuˇz´ıt j´ı k n´asledn´e konstrukci troj´ uheln´ıka podle vˇety sss. Spr´avn´ y postup ˇreˇsen´ı obou u ´vodn´ıch u ´kol˚ ui konstrukce troj´ uheln´ıka maj´ı dˇeti uveden v pracovn´ım listˇe vˇcetnˇe obr´azku. Spr´avn´ y postup konstruov´ an´ı je uveden jak ve formˇe slovn´ıho popisu, tak ve formˇe matematick´eho z´ apisu, se kter´ ym se ˇz´aci v tomto roˇcn´ıku teprve seznamuj´ı. ´ Ve druh´e ˇc´ asti vˇenovan´e vˇetˇe sus se ˇz´aci setk´avaj´ı s dalˇs´ı novou funkc´ı Uhel dan´e velikosti. Na dvou jednoduch´ ych u ´kolech se mohou ˇz´aci sezn´amit s jej´ım pouˇzit´ım a ihned mohou tuto funkci vyuˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı konstrukce troj´ uheln´ıku podle vˇety sus. Ve zb´ yvaj´ıc´ıch dvou ˇc´ astech zamˇeˇren´e na vˇetu usu a Ssu uˇz jen ˇz´aci z´ uroˇcuj´ı sv´e poznatky a dovednosti s pouˇz´ıv´an´ım obou objeven´ ych funkc´ı tohoto programu.
10
¨ MARTIN GUNZEL
´ zek 1. Pracovn´ı list ke konstrukci troj´ Obra uheln´ıka podle vˇety sss
´ zek 2. Pracovn´ı list ke konstrukci troj´ Obra uheln´ıka podle vˇety Ssu ´ sledky 2. Motivace a vy Vyuˇzit´ı modern´ı technologie je jednou z moˇznost´ı jak ˇz´aky v´ıce motivovat a pom´ahat takt´eˇz kvalitnˇejˇs´ı pˇr´ıpravˇe uˇcitel˚ u. Podle souˇcasn´ ych v´ yzkum˚ u pouˇz´ıv´a 90 % evropsk´ ych uˇcitel˚ u k pˇr´ıpravˇe na v´ yuku modern´ı technologie (Binterov´a, Tlust´ y 2013,
ˇ GEOGEBRA NA ZS
11
s. 37). Pr´ ace v programu GeoGebra byla koncipov´ana tak, aby ˇz´aky co nejv´ıce motivovala k sezn´ amen´ı s r´ ysov´ an´ım trochu jin´ ym zp˚ usobem. Bˇehem pr´ace na poˇc´ıtaˇci chtˇel kaˇzd´ y ˇz´ ak danou u ´lohu vyˇreˇsit a z´aroveˇ n mohl postupovat sv´ ym vlastn´ım tempem. Nebyl kladen d˚ uraz na rychlost ˇreˇsen´ı dan´ ych u ´kol˚ u, n´ ybrˇz pouze na jeho spr´ avnost. 2.1. Motivace ˇz´ak˚ u pˇri pr´aci v programu GeoGebra Pˇres nem´ alo chyb, kter´ ych se pˇri pr´aci dˇeti dopouˇstˇely a na kter´e musel uˇcitel reagovat, nijak neochabovalo pracovn´ı nadˇsen´ı ve tˇr´ıdˇe, a to i u takov´ ych ˇz´ak˚ u, kteˇr´ı bˇehem norm´ aln´ıch vyuˇcovac´ıch hodin odm´ıtaj´ı pracovat. Mnoho ˇz´ak˚ u, kteˇr´ı si pr´ aci v programu GeoGebra velmi rychle osvojili, vylepˇsovalo sv´e vyˇreˇsen´e konstrukce zmˇenou barvy, zv´ yrazˇ nov´an´ım v´ ysledn´ ych objekt˚ u ˇci skr´ yv´an´ım objekt˚ u pomocn´ ych. Pˇrestoˇze jsou v pracovn´ıch listech uveden´e postupy krok po kroku, nˇekteˇr´ı ˇz´ aci r´ ysovali pouze podle zad´an´ı a zmenˇsen´eho obr´azku s ˇreˇsen´ım. Na druhou stranu se nˇekteˇr´ı ˇz´ aci dopouˇstˇeli pˇri r´ ysov´an´ı chyb vˇetˇsinou na z´akladˇe ˇspatn´e definice geometrick´ ych objekt˚ u nebo jejich vz´ajemn´e polohy. ˇ e chyby v konstrukc´ıch 2.2. Cast´ Jedna z velk´ ych pˇrednost´ı softwaru dynamick´e geometrie je nutnost pˇrem´ yˇslet o tom, jak spr´ avnˇe definovat polohu dan´eho objektu v˚ uˇci jin´ ym objekt˚ um, jak pˇresnˇe popsat jejich vz´ ajemn´ y vztah. Konstrukce na z´akladˇe chybn´e u ´vahy lze ˇcasto velmi rychle rozpoznat zmˇenou polohy nez´avisl´ ych objekt˚ u. Jedna z chyb, kter´ ych se dˇeti dopouˇstˇely, vznikla pˇri r´ ysov´an´ı tˇret´ıho bodu troj´ uheln´ıka podle vˇety sss. Dˇeti se nauˇcily, ˇze pˇri konstrukci troj´ uheln´ıka podle t´eto vˇety je nutno r´ ysovat kruˇznice, jejichˇz pr˚ useˇc´ıkem je tˇret´ı bod, kter´ y jinak nenajdou. Nˇekteˇr´ı z ˇz´ ak˚ u vˇsak m´ısto toho, aby nar´ ysovali kruˇznici s pˇevnˇe dan´ ym polomˇerem, ˇ ımˇz jim vznikla kruˇznice, jej´ıˇz povyuˇzili funkce Kruˇznice dan´ a stˇredem a bodem. C´ lomˇer m˚ uˇzeme mˇenit pouh´ ym pˇretaˇzen´ım bodu, kter´ y j´ı n´aleˇz´ı. Protoˇze na pap´ıˇre toto moˇzn´e nen´ı, ˇz´ aky nenapadlo s bodem kruˇznice h´ ybat, a tak kromˇe toho, ˇze nemˇeli spr´ avn´ y polomˇer kruˇznice podle zad´an´ı, nemˇeli ani spr´avnˇe nadefinovanou pomocnou kruˇznici. Tento zp˚ usob r´ ysov´an´ı v programu GeoGebra je pro dˇeti nov´ y a nut´ı je v´ıce pˇrem´ yˇslet o tom, jak vlastnˇe spr´avnˇe popsat a definovat vz´ajemn´e vztahy mezi objekty, jejich vz´ ajemnou polohu a z´avislost na urˇcit´ ych parametrech. Dalˇs´ı chyba, kter´ a se u dˇet´ı objevovala, spoˇc´ıvala v nespr´avn´e konstrukci pr˚ useˇc´ıku kruˇznic u konstrukce troj´ uheln´ıka podle vˇety sss. M´ısto funkce Pr˚ useˇc´ık dvou objekt˚ u nar´ ysoval ˇz´ak pouze obyˇcejn´ y nov´ y bod tak, ˇze se snaˇzil jej vytvoˇrit v m´ıstˇe, kde se kruˇznice prot´ınaj´ı. Zvolil postup, kter´ ym r´ ysujeme do seˇsitu, avˇsak v dynamick´e geometrii tento postup selh´av´a. Novˇe vznikl´ y bod lze samozˇrejmˇe pˇrem´ıst’ovat kamkoliv, protoˇze nen´ı nijak pevnˇe definov´ana jeho poloha. Opˇet jde tedy o spr´ avnou pˇredstavu o poloze dan´eho bodu, o to, ˇze program nut´ı dˇeti nejprve pˇrem´ yˇslet, jak vlastnˇe dan´ y bod vznikl, jak je definov´ana jeho poloha vzhledem k ostatn´ım objekt˚ um. Chyba je tak zaloˇzena vlastnˇe na nedostateˇcn´em vybudov´ an´ı polohy dan´eho bodu pomoc´ı geometrick´ ych axiom˚ u, s jej´ımˇz spr´ avn´ ym formulov´ an´ım se dˇeti teprve seznamuj´ı. Abstraktn´ı geometrick´ y svˇet totiˇz nen´ı zaloˇzen na smyslov´em vn´ım´an´ı, na jehoˇz z´akladu jsou dˇeti zvykl´e pozn´avat okoln´ı svˇet, n´ ybrˇz na geometrick´ ych vlastnostech zakotven´ ych v axiomech. Protoˇze vˇsak v´ yuka geometrie na z´ akladn´ı ˇskole se op´ır´a pˇredevˇs´ım o geometrick´e vlastnosti na reprezentac´ıch konstruovan´ ych v re´aln´em prostoru, m˚ uˇze t´ım doch´azet pr´avˇe
12
¨ MARTIN GUNZEL
k tˇemto chybn´ ym pˇredstav´ am a nedostateˇcn´ ym pochopen´ım vz´ajemn´ ych vztah˚ u mezi geometrick´ ymi objekty (Kuˇrina 2012, s. 63). Posledn´ı ˇcastou chybou bylo nespr´avn´e oznaˇcov´an´ı bod˚ u. Jde sice v podstatˇe o form´ aln´ı chybu, kter´ a nem´ a se spr´avn´ ym ch´ap´an´ım geometrie co do ˇcinˇen´ı, pˇrece jen vˇsak je nutn´e na ni pouk´ azat. Pˇri r´ ysov´an´ı na pap´ıˇre je spr´avn´e oznaˇcov´an´ı bod˚ u nutnost´ı, kterou dˇeti akceptuj´ı a nedˇel´a jim velk´ y probl´em spr´avnˇe pojmenov´avat body pˇri jejich konstrukci. Neblah´ y dopad m´a vˇsak skuteˇcnost, ˇze pokud r´ ysujete v programu GeoGebra, pak kaˇzd´ y vznikl´ y bod je automaticky oznaˇcov´an samotn´ ym programem, ˇc´ımˇz pak mus´ıme vznikl´e body extra pˇrejmenov´avat1. Chyba ˇz´ak˚ u mohla b´ yt zapˇr´ıˇcinˇena t´ım, ˇze pˇrejmenov´an´ı vznikl´ ych bod˚ u jednoduˇse zapomnˇeli nebo si nevzpomnˇeli na zp˚ usob, jak se daj´ı pˇrejmenovat. ´ 2.3. Uloha uˇcitele Samotn´e vyˇreˇsen´ı dan´eho u ´kolu nen´ı zcela c´ılem t´eto v´ yuky. K tomu, aby d´ıtˇe bl´ıˇze pochopilo abstraktn´ı svˇet geometrie, je tˇreba o v´ ysledn´ ych ˇreˇsen´ıch d´ale diskutovat, ´ at’ uˇz jsou ˇreˇsen´ı spr´ avn´ a ˇci nikoliv. Ulohou uˇcitele je vytv´aˇret vhodn´ y prostor a podnˇecovat dˇeti k hlubˇs´ımu zam´ yˇslen´ı, pokl´adat jim ot´azky t´ ykaj´ıc´ı se jejich ˇreˇsen´ı, ˇc´ımˇz m˚ uˇze d´ıtˇe nakonec dospˇet ke spr´avn´emu nebo lepˇs´ımu ˇreˇsen´ı. Tento proces, jak je vystiˇzen i na upraven´em obr´azku z knihy (Babtist 2012, s. 25) je zaloˇzen na interakci mezi uˇcitelem a ˇz´ akem, neust´al´ ym dialogem nad v´ ysledn´ ym ˇreˇsen´ım.
´ ve ˇr 3. Za Kromˇe samotn´eho procviˇcov´ an´ı konstrukc´ı bylo smyslem pr´ace ˇz´ak˚ u v programu GeoGebra pˇri r´ ysov´ an´ı troj´ uheln´ık˚ u podle vˇet o shodnosti dov´ezt ˇz´aky k hlubˇs´ımu pochopen´ı tˇechto postup˚ u konstrukc´ı, motivovat ˇz´aky ke spr´avn´ ym definic´ım vz´ ajemn´ ych poloh a vytvoˇrit jim prostor pro pˇrem´ yˇslen´ı a moˇznosti k objevov´an´ı jejich vlastn´ıch chyb a tedy nespr´avn´ ych pˇredstav, kter´e se bˇehem klasick´e v´ yuky bez poˇc´ıtaˇce tˇeˇzko odhaluj´ı. 1 Automatick´ e oznaˇ cov´ an´ı vznikl´ ych bod˚ u lze v programu GeoGebra vypnout. Nov´ e body pak nebudou oznaˇ cov´ any nijak, ˇ c´ımˇ z se stejnˇ e nevyhneme dodateˇ cn´ emu popisov´ an´ı.
ˇ GEOGEBRA NA ZS
13
Reference ´ Helena a Pavel TLUSTY. ´ Uˇ ˇ [1] BINTEROVA, cen´ı matematiky s poˇ c´ıtaˇ cem. 1. vyd. Cesk´ e ˇ Budˇ ejovice: Jihoˇ cesk´ a univerzita v Cesk´ ych Budˇ ejovic´ıch, 131 s. ISBN 978-80-7394-410-0. ˇ [2] VAN´ICEK, Jiˇr´ı. Poˇ c´ıtaˇ cov´ e kognitivn´ı technologie ve v´ yuce geometrie. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogick´ a fakulta, 2009. ISBN 978-807-2903-948. [3] BAPTIST a Dagmar Raab. (EDS). Implementing inquiry in mathematics education. Bayreuth: [Univ. Bayreuth, Lehrstuhl f¨ ur Mathematik und ihre Didaktik], 2012. ISBN 978-300-0407-529. ˇ [4] KURINA, Frantiˇsek. Element´ arn´ı matematika a kultura. Vyd. 1. Hradec Kr´ alov´ e: Gaudeamus, 230 s. ISBN 978-807-4352-188. ˇ ´ fakulta, Jihoc ˇeska ´ univerzita v Cesk ´ ch Bude ˇjovic´ıch Katedra matematiky, Pedagogicka y E-mail address:
[email protected]
