South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, 67-75.
´ ´ ´ ´ ˇ – MODELOVAN I REALN YCH SITUAC´ I V MATEMATICE NA SS ˇ ´ ´ STEHOVAC I PROBLEM ˇ SAMKOVA ´ LIBUSE ˇ anek pˇredstavuje moˇ Abstrakt. Cl´ znosti vyuˇ zit´ı programu GeoGebra pˇri v´ yuce stˇredoˇskolsk´ e matematiky: pˇri ˇreˇsen´ı probl´ em˚ u, jejichˇ z formulace je stˇredoˇskolsk´ ym student˚ um snadno srozumiteln´ a, ale standardn´ı ˇreˇsen´ı nespad´ a do stˇredoˇskolsk´ eho kurikula. GeoGebra nab´ız´ı alternativn´ı ˇreˇsen´ı cel´ eho probl´ emu nebo nˇ ekter´ e jeho ˇ c´ asti. Prvn´ı ˇ c´ ast pˇr´ıspˇ evku se vˇ enuje probl´ emu stˇ ehov´ an´ı skˇr´ınˇ e rohovou chodbou a r˚ uzn´ ymi souvisej´ıc´ımi modely. Druh´ aˇ ca ´st se vˇ enuje zjednoduˇsen´ emu modelu, kter´ y zanedb´ av´ a hloubku skˇr´ınˇ e. Tˇret´ı ˇ ca ´st pˇr´ıspˇ evku pˇredstavuje ˇ cistˇ e analytick´ e ˇreˇsen´ı probl´ emu. Pˇr´ıspˇ evek nab´ız´ı zaj´ımav´ e rozˇs´ıˇren´ı t´ ematu Goniometrick´ e funkce na stˇredn´ı ˇskole: vyuˇ z´ıv´ a trigonometrie k vytvoˇren´ı modelu re´ aln´ e situace a jeho podrobn´ emu rozboru, procviˇ cuje u ´pravy v´ yraz˚ u obsahuj´ıc´ıch goniometrick´ e funkce. Tak´ e je rozˇs´ıˇren´ım t´ ematu Vlastnosti funkce (minimum funkce). Tˇret´ı ˇ c´ ast pˇr´ıspˇ evku ukazuje souvislost s nepovinn´ ym t´ ematem Diferenci´ aln´ı poˇ cet (hled´ an´ı minima funkce pomoc´ı derivace) a dalˇs´ı rozˇs´ıˇren´ı t´ ematu Goniometrick´ e funkce.
´ Uvod Pˇri studiu stˇredoˇskolsk´e matematiky m˚ uˇzeme obˇcas narazit na jednoduch´e ot´azky (z hlediska formulace i pochopen´ı smyslu ot´azky), jejichˇz ˇreˇsen´ı vyˇzaduje postupy mimo r´amec stˇredoˇskolsk´eho kurikula. Obzvl´aˇstˇe tento kontrast vynikne u praktick´ ych ot´azek, kter´e maj´ı vztah ke kaˇzdodenn´ı realitˇe. V souˇcasn´e dobˇe prob´ıh´a na ˇcesk´ ych z´akladn´ıch a stˇredn´ıch ˇskol´ach u ´spˇeˇsn´a implementace programu GeoGebra do v´ yuky matematiky. Podrobnosti o programu naleznete na webu [1]. Pˇrednostn´ı vyuˇzit´ı tohoto programu spad´a do v´ yuky geometrie, ale program je moˇzn´e vyuˇz´ıt tak´e pˇri modelov´an´ı re´aln´ ych situac´ı ˇci jako zdroj alternativn´ıch zp˚ usob˚ u ˇreˇsen´ı matematick´ ych probl´em˚ u. Prvn´ı ˇc´ast tohoto ˇcl´anku se vˇenuje probl´emu stˇehov´an´ı skˇr´ınˇe rohovou chodbou a r˚ uzn´ ymi souvisej´ıc´ımi modely. Druh´a ˇc´ast se vˇenuje zjednoduˇsen´emu modelu, kter´ y zanedb´av´a hloubku skˇr´ınˇe. Tˇret´ı ˇc´ast ˇcl´anku pˇredstavuje ˇcistˇe analytick´e ˇreˇsen´ı probl´emu. Pˇr´ıspˇevek nab´ız´ı zaj´ımav´e rozˇs´ıˇren´ı t´ematu Goniometrick´e funkce na stˇredn´ı ˇskole: vyuˇz´ıv´a trigonometrie k vytvoˇren´ı modelu re´aln´e situace a jeho podrobn´emu rozboru, procviˇcuje u ´pravy v´ yraz˚ u obsahuj´ıc´ıch goniometrick´e funkce. Tak´e je rozˇs´ıˇren´ım t´ematu Vlastnosti funkce (minimum funkce). Tˇret´ı ˇc´ast pˇr´ıspˇevku ukazuje souvislost s nepovinn´ ym t´ematem Diferenci´aln´ı poˇcet, konkr´etnˇe s hled´an´ım minima funkce pomoc´ı derivace, a nab´ız´ı dalˇs´ı rozˇs´ıˇren´ı t´ematu Goniometrick´e funkce: Key words and phrases. GeoGebra, stˇ ehovac´ı probl´ em, modelov´ an´ı, trigonometrie, minimum funkce.
68
ˇ SAMKOVA ´ LIBUSE
u ´pravy sloˇzitˇejˇs´ıch v´ yraz˚ u s goniometrick´ ymi funkcemi, vztahy mezi jednotliv´ ymi funkcemi a ˇreˇsen´ı goniometrick´ ych rovnic. Pˇri pˇr´ıpravˇe ˇcl´anku vyvstala ot´azka, jestli pˇri pr´aci s u ´hly pouˇz´ıvat stupnˇe nebo radi´any. Pˇri popisu praktick´ ych probl´em˚ u z kaˇzdodenn´ıho ˇzivota se sp´ıˇse hod´ı uv´adˇen´ı u ´hl˚ u ve stupn´ıch, ale na stˇredn´ı ˇskole se s goniometrick´ ymi funkcemi pracuje v radi´anech. Program GeoGebra sice v menu Nastaven´ı - Pro pokroˇcil´e nab´ız´ı moˇznost v´ ybˇeru, jenˇze tento v´ ybˇer se t´ yk´a pouze jednotek, ve kter´ ych budou popisov´any u ´hly v geometrick´e konstrukci a v algebraick´em oknˇe. Veˇsker´e intern´ı v´ ypoˇcty t´ ykaj´ıc´ı se goniometrick´ ych a cyklometrick´ ych fukc´ı budou v programu GeoGebra vˇzdy prov´adˇeny v radi´anech. Takˇze, pokud je konstrukce ˇcistˇe geometrick´a, bez pomocn´ ych goniometrick´ ych funkc´ı, m˚ uˇzeme si jako zobrazovan´e jednotky nastavit stupnˇe a vyuˇz´ıt tak komfortn´ıho zobrazen´ı reality v jednotk´ach, na kter´e jsme v bˇeˇzn´em ˇzivotˇe zvykl´ı. (V tomto ˇcl´anku se to t´ yk´a pouze modelu uveden´eho na Obr. 4.) Jakmile vˇsak v konstrukci potˇrebujeme nˇejak´e pomocn´e goniometrick´e funkce, je vhodnˇejˇs´ı jako zobrazovan´e jednotky zvolit radi´any. Popisky u ´hl˚ u jsou pak sladˇeny s v´ ypoˇcty. V pˇr´ıpadˇe potˇreby si m˚ uˇzeme pˇrev´est u ´hly z radi´an˚ u do stupˇ n˚ u ruˇcnˇe: je-li α u ´hel v radi´anech, tak GeoGebra pˇr´ıkaz u=α/◦ vytvoˇr´ı ˇc´ıslo u ud´avaj´ıc´ı velikost u ´hlu α ve stupn´ıch. Situaci pom˚ uˇze ujasnit n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad: jsou-li α a u jako v´ yˇse, tak sinus u ´hlu α m˚ uˇzeme urˇcit bud’ pˇr´ıkazem sin(α), nebo pˇr´ıkazem sin(u◦). ˇ´ın ˇ 1. Stˇ ehujeme skr Snad kaˇzd´ y student jiˇz nˇekdy stˇehoval (nebo pom´ahal stˇehovat) nˇejakou skˇr´ıˇ n ˇci pohovku a je si tedy vˇedom toho, ˇze kritick´ ymi m´ısty pˇri podobn´em stˇehov´an´ı jsou rohy. Trojrozmˇern´ y pˇr´ıpad zahrnuj´ıc´ı schody je pro stˇredoˇskol´aky pˇr´ıliˇs sloˇzit´ y, budeme se tedy vˇenovat pouze stˇehov´an´ı v r´amci jednoho patra. Pro z´akladn´ı zjednoduˇsen´ı budeme pˇredpokl´adat situaci, kdy stˇehujeme velice tˇeˇzkou skˇr´ıˇ n, kterou nesm´ıme nakl´anˇet. V takov´em pˇr´ıpadˇe se d´a probl´em pˇrev´est na dvojrozmˇern´ ya ´ zkoumat pouze p˚ udorys cel´e situace. Uloze Pˇredstavme si roh tvoˇren´y kolm´ymi chodbami o ˇs´ıˇrk´ ach a, b a skˇr´ın ˇ o hloubce h. Jakou nejvˇetˇs´ı ˇs´ıˇrku s m˚ uˇze skˇr´ın ˇ m´ıt, abychom ji mohli pˇrestˇehovat za roh? pak odpov´ıd´a p˚ udorys na Obr. 1, modelem skˇr´ınˇe je obd´eln´ık o rozmˇerech h, s.
´zek 1. P˚ Obra udorys stˇehovac´ıho probl´emu.
´ ´I REALN ´ ´ MODELOVAN YCH SITUAC´I
69
Naˇcrtnˇeme si podrobnˇejˇs´ı sch´ema cel´e situace, oznaˇcme d˚ uleˇzit´e body a d´elky d˚ uleˇzit´ ych u ´seˇcek – Obr. 2:
´zek 2. Podrobn´ Obra y n´aˇcrtek situace. Pˇredpokl´adejme, ˇze pˇredn´ı ˇcelo skˇr´ınˇe sv´ır´a s chodbou u ´hel α podobnˇe jako na Obr. 2. Potom z pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u ACF , CDK a AGL postupnˇe dost´av´ame vztahy (1.1)
sin(α)
=
h u
(1.2)
cos(α)
=
a+z s
(1.3)
tan(α)
=
b z+u
Ze vztah˚ u (1.2), (1.1) a (1.3) popoˇradˇe plyne s
=
a+z cos(α)
z
=
b −u tan(α)
u =
h sin(α)
a tedy s=
a+
b tan(α)
−
cos(α)
h sin(α)
=
a · sin(α) + b · cos(α) − h cos(α) · sin(α)
Takov´e s je maxim´aln´ı moˇznou ˇs´ıˇrkou skˇr´ınˇe v pˇr´ıpadˇe, ˇze pˇredn´ı ˇcelo skˇr´ınˇe sv´ır´a s chodbou AK u ´hel α. Definujme tedy funkci s(α) := vyjadˇruj´ıc´ı z´avislost s na α.
a · sin(α) + b · cos(α) − h cos(α) · sin(α)
ˇ SAMKOVA ´ LIBUSE
70
Abychom zjistili maxim´aln´ı moˇznou ˇs´ıˇrku skˇr´ınˇe, kterou je moˇzn´e pˇrestˇehovat za roh, mus´ıme zjistit minimum funkce s(α) pro α ∈ (0, π2 ). Pˇri hled´an´ı minima m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt program GeoGebra, a to hned nˇekolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem je urˇcen´ı pˇribliˇzn´e hodnoty minima funkce z jej´ıho grafu. Na pracovn´ı plochu zad´ame posuvn´ıky pro hodnoty parametr˚ u a, b, h a funkci f (x) =
a · sin(x) + b · cos(x) − h cos(x) · sin(x)
na intervalu (0, π2 ). Na graf t´eto funkce um´ıst´ıme bod P a v interaktivn´ım textu budeme sledovat y-ovou souˇradnici bodu P . Pohybov´an´ım bodu P po grafu zjist´ıme nejmenˇs´ı hodnotu t´eto y-ov´e souˇradnice, tedy minim´aln´ı hodnotu funkce f . Ta je z´aroveˇ n minim´aln´ı hodnotou funkce s. Z x-ov´e souˇradnice bodu P vyˇcteme velikost u ´hlu α (v radi´anech), ve kter´em se minima nab´ yv´a. Situace pro a = 2, b = 3, h = 1 je zn´azornˇena na Obr. 3. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme stˇehovat skˇr´ıˇ n o maxim´aln´ı ˇs´ıˇrce 4,99 m, kritick´ ym u ´hlem je α = 51, 26◦.
´zek 3. Grafick´e nalezen´ı minima funkce f . Obra Pˇresnˇejˇs´ı hodnotu minima funkce f a bodu, ve kter´em se minima nab´ yv´a, poskytne pˇr´ıkaz Minimum[f,0,Pi/2]. Jeho v´ ystupem je bod na grafu funkce f . Jin´ ym zp˚ usobem vyuˇz´ıt´ı programu GeoGebra je vytvoˇren´ı dynamick´eho modelu cel´e situace – pohybliv´eho p˚ udorysu. Model m˚ uˇze slouˇzit jako kontroln´ı, pomoc´ı nˇej ovˇeˇr´ıme, zda se nˇejak´a konkr´etn´ı skˇr´ıˇ n d´a pˇrestˇehovat za roh. Model zaloˇz´ıme na posuvn´ıku pro u ´hel α. Pomocn´e posuvn´ıky umoˇzn´ı volit parametry modelu: rozmˇery chodby a ˇs´ıˇrku a hloubku skˇr´ınˇe. Pro takto zvolen´e parametry projdeme celou d´elku posuvn´ıku α a zkontrolujeme, jestli se ve vˇsech poloh´ach skˇr´ıˇ n do chodby vejde. M˚ uˇzeme tak´e vyuˇz´ıt interaktivn´ı text s podm´ınˇen´ ym zobrazen´ım, kter´ y se objev´ı, pokud se pro nˇekter´ y u ´hel skˇr´ıˇ n do chodby nevejde. Ilustrace k tomuto pohybliv´emu p˚ udorysu naleznete na Obr. 4. Sloˇzitˇejˇs´ı dynamick´ y model je zaloˇzen na podobn´e u ´vaze, jak´a vedla k hled´an´ı maxim´aln´ı ˇs´ıˇrky skˇr´ınˇe jako minima funkce s(α). Nevˇenuje se tedy konkr´etn´ımu rozmˇeru jedn´e skˇr´ınˇe, ale ˇreˇs´ı probl´em obecnˇe. Opˇet se jedn´a o pohybliv´ y p˚ udorys,
´ ´I REALN ´ ´ MODELOVAN YCH SITUAC´I
71
´zek 4. Dynamick´ Obra y model stˇehovac´ıho probl´emu pro konkr´etn´ı rozmˇery skˇr´ınˇe. tentokr´at vˇsak pro kaˇzdou hloubku skˇr´ınˇe a kaˇzdou polohu skˇr´ınˇe zn´azorˇ nuje maxim´aln´ı moˇznou ˇs´ıˇrku skˇr´ınˇe, kter´a se do chodby vejde, viz Obr. 5. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe je model zaloˇzen na posuvn´ıku pro u ´ hel α a na pomocn´ ych posuvn´ıc´ıch pro rozmˇery chodby a hloubku skˇr´ınˇe. Maxim´aln´ı moˇznou ˇs´ıˇrku skˇr´ınˇe oznaˇc´ıme v konstrukci jako s, jej´ı hodnota z´avis´ı na zvolen´em u ´hlu α. Pohyb posuvn´ıkem pro u ´hel α uk´aˇze, jak´e nejmenˇs´ı hodnoty s nab´ yv´a.
´zek 5. Dynamick´ Obra y model stˇehovac´ıho probl´emu – maxim´aln´ı stˇehovateln´a ˇs´ıˇrka. Pro pˇresn´e urˇcen´ı kritick´eho u ´hlu α m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz Minimalizovat[s,α]. V´ ystupem pˇr´ıkazu je hodnota nez´avisl´e promˇenn´e α, pro kterou z´avisl´a promˇenn´a s nab´ yv´a minima. (Vˇsimnˇete si, ˇze jsme tentokr´at v˚ ubec nepotˇrebovali funkci f .)
ˇ SAMKOVA ´ LIBUSE
72
2. Stˇ ehujeme desku Budeme-li skˇr´ıˇ n stˇehovat rozloˇzenou na jednotliv´e desky, je jasn´e, ˇze ˇsance na jej´ı u ´spˇeˇsn´e pˇrem´ıstˇen´ı za roh se znaˇcnˇe zv´ yˇs´ı. Dˇrevˇen´e desky maj´ı tlouˇst’ku kolem 2 cm, coˇz je zlomek jejich ostatn´ıch rozmˇer˚ u, zkusme tedy tuto tlouˇst’ku zanedbat. Vytvoˇrme model situace, kdy za roh stˇehujeme desku o ˇs´ıˇrce d. Modelem desky je u ´seˇcka d´elky d, viz Obr. 6 a 7.
´zek 6. P˚ Obra udorys stˇehovac´ıho probl´emu s deskou.
´zek 7. Podrobn´ Obra y n´aˇcrtek situace. Pokud deska sv´ır´a s chodbou u ´hel α jako na Obr. 7, tak z pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u ABK, a LBH dost´av´ame vztahy
ze kter´ ych plyne
sin(α)
=
b+v d
tan(α)
=
v a
´ ´I REALN ´ ´ MODELOVAN YCH SITUAC´I
d = v
=
73
b+v sin(α) a · tan(α)
a tedy (2.1)
d=
b + a · tan(α) b · cos(α) + a · sin(α) = sin(α) cos(α) · sin(α)
Takov´e d je maxim´aln´ı moˇznou ˇs´ıˇrkou desky v pˇr´ıpadˇe, ˇze deska sv´ır´a s chodbou AK u ´hel α. Definujme tedy funkci d(α) :=
a · sin(α) + b · cos(α) cos(α) · sin(α)
vyjadˇruj´ıc´ı z´avislost d na α. Abychom zjistili maxim´aln´ı moˇznou ˇs´ıˇrku desky, kterou je moˇzn´e pˇrestˇehovat za roh, mus´ıme zjistit minimum funkce d(α) na intervalu (0, π2 ). Vzhledem k tomu, ˇze d je rovno s pro h = 0, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt libovoln´ y postup z prvn´ı ˇc´asti tohoto ˇcl´anku. Napˇr´ıklad model z Obr. 3 pro h = 0, a = 2, b = 3 d´av´a α = 48, 86◦ a d(α) = s(α) = 7, 02. Zb´ yv´a si poloˇzit d˚ uleˇzitou ot´azku, jak moc jsme se spletli oproti re´aln´e situaci, kdyˇz jsme zanedbali tlouˇst’ku desky. Odpovˇed’ n´am poskytne opˇet model z Obr. 3, a to pro h = 0, 02: zde vych´ az´ı α = 48, 84◦ a s(α) = 6, 98. Zanedb´an´ım tlouˇst’ky desky tak doˇslo k nadhodnocen´ı maxim´aln´ı stˇehovateln´e ˇs´ıˇrky o 0,02 m, dopustili jsme se relativn´ı chyby 0,6 %.
3. Stˇ ehujeme a derivujeme Milovn´ıci analytick´ ych postup˚ u se uˇz jistˇe zam´ yˇsleli nad moˇznost´ı vyˇreˇsit probl´em analyticky. Ta moˇznost tu skuteˇcnˇe je, ale vyˇzaduje znalost diferenci´aln´ıho poˇctu. Diferenci´aln´ı poˇcet sice nen´ı povinnou souˇc´ast´ı stˇredoˇskolsk´ ych osnov, ale nˇekter´e ˇ ˇskoly ho do sv´eho SVP zaˇrazuj´ı, a tak si tento postup tak´e uk´aˇzeme. Zaˇcnˇeme tou jednoduˇsˇs´ı u ´lohou – hled´an´ım minima funkce d(α) na intervalu ych je derivace (0, π2 ). Nejprve najdeme body podezˇrel´e z extr´emu, tj. body ve kter´ nulov´a. Pˇred derivov´an´ım si funkci uprav´ıme do vhodnˇejˇs´ıho tvaru a dostaneme: ′ b a b · cos(α) a · sin(α) d ′ (α) = + =− + sin(α) cos(α) cos2 (α) sin2 (α) Rovnost d ′ (α) = 0 je tedy splnˇena pokud b · cos(α) sin2 (α)
=
a · sin(α) cos2 (α)
b a
=
sin3 (α) cos3 (α)
ˇ SAMKOVA ´ LIBUSE
74
tan3 (α)
=
tan(α)
=
(3.1)
b a r 3
α =
b a
arctan
r 3
b a
ˇ sen´ı (3.1) oznaˇcme α0 . Protoˇze d(0+) = d( π −) = ∞, tak funkce d na intervalu Reˇ 2 (0, π2 ) m´a v bodˇe α0 minimum. Abychom mohli pˇrehlednˇe urˇcit hodnotu funkce d v bodˇe α0 , potˇrebujeme vyj´adˇrit sin(α) a cos(α) pomoc´ı tan(α). Vyuˇzijeme vztahu tan2 (α) + 1 =
sin2 (α) + cos2 (α) 1 = 2 2 cos (α) cos (α)
odtud =
sin2 (α)
= 1 − cos2 (α) =
a tedy d´ıky tomu, ˇze tan(α0 ) = 2
1 tan (α) + 1
cos2 (α)
sin (α0 )
2
q 3
dost´av´ame q
√ 3 b2 3 2 tan (α0 ) b a2 q √ √ = = 3 3 2 2 tan2 (α0 ) + 1 3 b b + a2 2 + 1 2
=
b a,
tan2 (α) tan2 (α) + 1
a
Protoˇze na intervalu (0, π2 ) je funkce sinus kladn´a, m˚ uˇzeme bez obav odmocnit √ 3 b sin(α0 ) = p √ √ 3 2 3 b + a2
a dosadit do prvn´ı ˇc´asti vztahu (2.1): q p√ √ p√ √ √ 3 2 3 3 3 2 3 b + a · 3 ab · b + a2 (b + ba2 ) · b + a2 √ √ d(α0 ) = = = 3 3 b b q√ q √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 = b 2 + a2 · b 2 + a2 = b 2 + a2 q Funkce d m´a na intervalu (0, π2 ) minimum v bodˇe α0 = arctan 3 ab , kter´e je rovno q √ √ 3 3 3 (3.2) b 2 + a2 q √ √ √ 3 3 Je-li a = b, tak α0 = arctan(1) = π4 a minimum je rovno ( a2 + a2 )3 = 8 · a. q Pro chodbu s parametry a = 2, b = 3 dost´av´ame α0 = arctan 3 32 = 48, 86◦ a d(α0 ) = 7, 02, tedy stejn´a ˇc´ısla, kter´a jsme obdrˇzeli z dynamick´eho GeoGebra modelu.
´ ´I REALN ´ ´ MODELOVAN YCH SITUAC´I
75
Sloˇzitˇejˇs´ı probl´em s hled´an´ım minima funkce f jiˇz tak pˇeknˇe nevych´az´ı: hled´an´ı nulov´e derivace vede k rovnici a · sin(x) − h b · cos(x) − h − =0 cos2 (x) sin2 (x) kter´a pro obecn´a a, b, h nen´ı ˇreˇsiteln´a algebraick´ ymi u ´pravami. ´ vˇ ˇ n´ ´mky 4. Za erec e pozna Dynamick´ y software GeoGebra umoˇzn ˇuje obohacen´ı v´ yuky matematiky o nov´a t´emata, tuto v´ yhodu ocen´ıme zvl´aˇstˇe u jednoduˇse formulovateln´ ych praktick´ ych probl´em˚ u. Z´ajemce o podobn´e, ale sloˇzitˇejˇs´ı probl´emy odkazujeme na tzv. Moving sofa problem, kter´ y ˇreˇs´ı stˇehovac´ı probl´em z trochu jin´e perspektivy: hled´a kˇreslo s maxim´aln´ım obsahem p˚ udorysu. Podrobnosti naleznete napˇr´ıklad na [2]. Vˇsechny obr´azky v tomto ˇcl´anku byly vytvoˇreny v programu GeoGebra. Literatura [1] Program GeoGebra, dostupn´ y na http://www.geogebra.org. [2] Moving sofa problem, http://en.wikipedia.org/wiki/Moving_sofa_problem, 15/12/2013.
ˇ ´ fakulta, Jihoc ˇeska ´ Univerzita v Cesk ´ ch Budˇ Katedra matematiky, Pedagogicka y ejovic´ıch E-mail address:
[email protected]