v programu GeoGebra leden 2012 s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech Projekt je

ˇ ych Dvac´ıtka rˇesen ´ uloh ´ v programu GeoGebra

Toma´ sˇ Mikulenka leden 2012

´ vznikl jako souˇcast ´ grantoveho ´ ´ ˇ r´ızˇ Tento výukový material projektu Gymnazia Kromeˇ ´ ´ ´ v letech 2009–2012. Projekt je s nazvem Beznakladov e´ ICT pro uˇcitele realizovaneho ˇ ´ z Evropskeho ´ socialn´ ´ ıho fondu a statn´ ´ ıho rozpoˇctu Cesk spolufinancovan e´ republiky.

Obsah

Konstrukˇcn´ı u ´lohy

3

Vlastnosti troj´ uheln´ıka a ˇctyˇru ´heln´ıka

6

Shodná a podobná zobrazen´ı

8

Kuˇzeloseˇcky

12

Funkce zadané parametricky a polárn´ımi souˇradnicemi

14

Smˇernice teˇcny, extrémy funkce

16

Obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami

17

Základy vyˇsˇs´ı algebry – matice

19

Soustavy rovnic

21

Pythagorova vˇeta – dynamick´ y model

22

GeoGebra ve fyzice – skládán´ı kmit˚ u

24

Jak by Karel May vysvˇetlil, proˇc se svˇetlo láme

25

Modelován´ı mechanick´ ych zaˇr´ızen´ı – pohyb p´ıstu

28

Literatura

32

Pˇredmluva V´ yukov´ ych materiál˚ u a postup˚ u se na webu GeoGebry www.geogebra.org nacház´ı velké mnoˇzstv´ı, ale jen málo z nich je ˇcesky. K urˇcitému zaplnˇen´ı této mezery m˚ uˇze pˇrispˇet následuj´ıc´ı mal´ y pr˚ uvodce. Dvac´ıtka ˇreˇsených u ´loh má pomoci z´ıskat uˇzivateli pˇrehled o moˇznostech GeoGebry a jej´ım uplatnˇen´ı ve v´ yuce matematiky, fyziky ˇci technick´ ych obor˚ u na naˇsich ˇskolách. Pro nového uˇzivatele GeoGebry bude uˇziteˇcné nejprve si pˇreˇc´ıst struˇcn´ y návod Markuse Hohenwartera GeoGebra – rychl´ y start (ˇcesk´ y pˇreklad je ke staˇzen´ı na www.gymkrom.cz/ict, sekce Materi´ aly). Vˇsichni zájemci jistˇe ocen´ı i dalˇs´ı ukázky ˇreˇsen´ ych u ´loh, napˇr. v rozsáhlé publikaci [1] (viz Literatura). Tomáˇs Mikulenka, leden 2012

GeoGebra

Dvac´ıtka ˇreˇsených u ´loh

Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy ´ Uloha 1 Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li dáno: c = 6, va = 3,5, vb = 5,5. ˇ sen´ ˇ ı Re Paty v´ yˇsek A1 a B1 budou leˇzet na Thaletovˇe kruˇznici sestrojené nad základnou c = AB troj´ uheln´ıka. K vyˇreˇsen´ı u ´lohy staˇc´ı následuj´ıc´ıch osm krok˚ u: (1) základna c = 6 cm; (2) kruˇznice k1 ≡ (A, va = 3,5 cm); (3) kruˇznice k2 ≡ (B, vb = 5,5 cm); (4) Thaletova kruˇznice kT ≡ (SAB , 2c = 3 cm); (5) pr˚ useˇc´ıky: A1 = k1 ∩ kT , B1 = k2 ∩ kT ; (6) polopˇr´ımky: p = 7→ AB1 , q = 7→ BA1 ; (7) vrchol C = p ∩ q; (8) doplnˇen´ı ∆ABC. Postup ´ cka dané 1. Do Nákresny libovolnˇe um´ıst´ıme bod A a s vyuˇzit´ım nástroje Useˇ délky z bodu vytvoˇr´ıme u ´seˇcku délky 6 cm. 2. Kruˇznici k1 zadáme do Vstupn´ıho pole zápisem k_1 = Kruznice[A, 3.5] nebo pomoc´ı ikony (nástroje) Kruˇznice daná stˇredem a polomˇerem. 3. Pˇridáme kruˇznici k2 : zápis k_2 = Kruznice[B, 5.5]) nebo pomoc´ı ikony. 4. Najdeme stˇred u ´seˇcky AB a vytvoˇr´ıme nad n´ı Thaletovu kruˇznici kT . To provedeme bud’ pomoc´ı nástroj˚ u Stˇred a Kruˇznice daná stˇredem a bodem nebo postupn´ ym zápisem do Vstupn´ıho pole S = Stred[A, B] a k_T = Kruznice[S, SA]). 5. Pr˚ useˇc´ıky kruˇznic – zápisy do Vstupn´ıho pole: A_1 = Prusecik[k_1, k_T] a B_1 = Prusecik[k_2, k_T] nebo nástrojem Pruseˇc´ık dvou objekt˚ u.

–3–

GeoGebra


6. Sestroj´ıme polopˇr´ımky p, q: myˇs´ı pˇres ikonu Polopˇr´ımka nebo zápisy do Vstupn´ıho pole: p = Poloprimka[A, B_1] a q = Poloprimka[B, A_1]. 7. Dopln´ıme vrchol C troj´ uheln´ıka jako pr˚ useˇc´ık polopˇr´ımek p, q: nástrojem Pruseˇc´ık dvou objekt˚ u nebo zápisem C = Prusecik[p, q]. 8. Body A, B, C spoj´ıme nástrojem Mnoho´ uheln´ık – postupnˇe klikneme na A, B, C, A. Nebo struˇcnˇeji zápisem Mnohouhelnik[A, B, C].

´ Uloha 2 Sestrojte lichobˇeˇzn´ık ABCD (AB || CD), je-li dáno: a = 6; c = 2,5; v = 3,2; β = 75◦ . ˇ sen´ ˇ ı Re Konstrukce lichobˇeˇzn´ıka (zkrácen´ y zápis): (1) základna a = AB = 6 j; (2) u ´hel α = 75◦ ; (3) rovnobˇeˇzka r || a ve vzdálenosti v´ yˇsky v od a; (4) pr˚ useˇc´ık ramene u ´hlu α s rovnobˇeˇzkou r → D; (5) kruˇznice k ≡ (D, c = 2,5 j); (6) bod C = k ∩ r; (7) doplnˇen´ı na lichobˇeˇzn´ık ABCD.

Postup ´ cka dané 1. Do Nákresny libovolnˇe um´ıst´ıme bod A a s vyuˇzit´ım nástroje Useˇ délky z bodu vytvoˇr´ıme u ´seˇcku AB délky 6 j. ´ 2. Nástrojem Uhel dané velikosti klikneme na B a A, do nab´ıdnutého pol´ıˇcka zadáme poˇzadovan´ ych 75◦ a zvol´ıme proti smˇeru hodin“. ”

–4–

GeoGebra


3. Dokonˇc´ıme rameno u ´hlu α (zápisem p = Poloprimka[A, B’] nebo nástrojem Polopˇr´ımka; bod B 0 vznikl automaticky v pˇredchoz´ım kroku). 4. Vztyˇc´ıme kolmici na základnu a v bodˇe B: zápisem m = Kolmice[B, a] do Vstupn´ıho pole nebo pomoc´ı nástroje Kolmice. 5. Abychom mohli sestrojit rovnobˇeˇzku r ve vzdálenosti v´ yˇsky v = 3,2 j od základny, pouˇzijeme kruˇznici: (zápis k = Kruznice[B, 3.2] nebo ikona). 6. V pr˚ useˇc´ıku M = m ∩ k (zápis M = Prusecik[m, k]) sestroj´ıme rovnobˇeˇzku r se základnou a (zápis r = Primka[M, a] nebo pomoc´ı ikony). 7. Vrcholem D lichobˇeˇzn´ıka bude pr˚ useˇc´ık rovnobˇeˇzky r s ramenem u ´hlu α (zápis D = Prusecik[r, p] nebo nástrojem Prusecik ). ´ cka dané délky z bodu naneseme na ro8. Posledn´ı vrchol C: nástrojem Useˇ vnobˇeˇzku r vzdálenost DC = c = 2,5 j. 9. Doplnˇen´ı na lichobˇeˇzn´ık: nástrojem Mnoho´ uheln´ık postupnˇe klikneme na A, B, C, D, A. Nebo také zápisem Mnohouhelnik[A, B, C, D]. 10. Lichobˇeˇzn´ıku nastav´ıme vhodnou barvu, tlouˇst’ku ˇcar a sytost v´ yplnˇe. Vˇsechny pomocné konstrukce m˚ uˇzeme skr´ yt.

–5–

GeoGebra


Vlastnosti troj´ uheln´ıka a ˇ ctyˇ ru ´ heln´ıka ´ Uloha 3 Sestrojte troj´ uheln´ık ABC pomoc´ı vˇety sss. Demonstrujte na nˇem zákonitosti troj´ uheln´ıkové nerovnosti. ˇ sen´ ˇ ı Re 1. Definujeme tˇri posuvn´ıky a, b, c v rozsahu od 1 do 5, krok 0.1 a necháme je zobrazit v Nákresnˇe. ´ cka dané délky z bodu klikneme do Nákresny a zadáme délku 2. Nástrojem Useˇ ´ c. Useˇcku pojmenujeme AB (základna c troj´ uheln´ıka). 3. Kruˇznici k ≡ (A, b) z´ıskáme zápisem k = Kruznice[A, b] do Vstupn´ıho pole nebo nástrojem Kruˇznice daná stˇredem a polomˇerem. 4. Stejn´ ym zp˚ usobem vytvoˇr´ıme kruˇznici l ≡ (B, a). V pr˚ useˇc´ıku obou kruˇznic bude vrchol C troj´ uheln´ıka. 5. Nástrojem Mnoho´ uheln´ık dokonˇc´ıme konstrukci troj´ uheln´ıka ABC. Nastav´ıme jeho vlastnosti a skryjeme pomocné objekty. 6. Do Nákresny vloˇz´ıme informativn´ı text popisuj´ıc´ı troj´ uheln´ıkovou nerovnost: a + b > c. Pro lepˇs´ı vzhled m˚ uˇzeme zatrhnout volbu LATEX vzorec. Velikosti jednotliv´ ych stran troj´ uheln´ıka ovládáme pˇres posuvn´ıky a, b, c. V okamˇziku, kdy pˇrestane platit nˇekterá z troj´ uheln´ıkov´ ych nerovnost´ı a + b > c, a + c > b nebo b + c > a, zmˇen´ı se troj´ uheln´ık na u ´seˇcku.

Model se dá vylepˇsit pˇridán´ım dvou rovnobˇeˇzek: na jednu z nich naneseme za sebou délky dvou stran troj´ uheln´ıka, na druhou pak délku tˇret´ı strany. Budeme tak moci lépe sledovat, zda troj´ uheln´ıková nerovnost plat´ı nebo je poruˇsena. –6–

GeoGebra


´ Uloha 4 Sestrojte tˇetivov´ y ˇctyˇru ´heln´ık ABCD a ukaˇzte na nˇem platnost Ptolemaiovy vˇety: e·f =a·c+b·d kde e, f jsou u ´hlopˇr´ıˇcky tˇetivového ˇctyˇru ´heln´ıka a a, b, c, d jsou jeho strany.

ˇ sen´ ˇ ı Re 1. Do Nákresny um´ıst´ıme kruˇznici se stˇredem S (pro jednoduchost v poˇcátku souˇradnicového systému) o polomˇeru napˇr. 3 cm. 2. Na tuto kruˇznici rozm´ıst´ıme pˇribliˇznˇe rovnomˇernˇe ˇctyˇri body K, L, M, N . 3. Nástrojem Kruhový oblouk procházej´ıc´ı tˇremi body vytvoˇr´ıme na kruˇznici postupnˇe oblouky s krajn´ımi body KL, LM , M N a N K. 4. Na oblouk KL um´ıst´ıme vrchol A ˇctyˇru ´heln´ıka, podobnˇe na oblouk LM um´ıst´ıme vrchol B, na oblouk M N vrchol C a na oblouk N K vrchol D. T´ımto postupem zajist´ıme, ˇze vrcholy A, B, C, D, které se mohou pohybovat v mez´ıch pˇr´ısluˇsného oblouku, budou stále tvoˇrit vrcholy tˇetivového ˇctyˇru ´heln´ıka ve správném poˇrad´ı. 5. Nástrojem Mnoho´ uheln´ık vytvoˇr´ıme ˇctyˇru ´heln´ık ABCD, zviditeln´ıme jeho u ´hlopˇr´ıˇcky (´ useˇcky e = AC, f = BD), skryjeme pomocné objekty. 6. Definujeme ˇc´ısla u = e · f a s = a · c + b · d zápisem do Vstupn´ıho pole. Pomoc´ı nástroje Vloˇzit text um´ıst´ıme obˇe tyto hodnoty do Nákresny. I kdyˇz r˚ uznˇe pˇremist’ujeme vrcholy tˇetivového ˇctyˇru ´heln´ıka ABCD po obvodu kruˇznice, souˇcin u ´hlopˇr´ıˇcek e · f se vˇzdy rovná souˇctu souˇcin˚ u protilehl´ ych stran a · c + b · d.

–7–

GeoGebra


Shodn´ a a podobn´ a zobrazen´ı ´ Uloha 5 Kovboj hl´ıdá stádo kon´ı (K). Naveˇcer je má zahnat do ohrady (O), ale pˇredt´ım je má napojit u ˇreky (pˇr´ımka r). Najdˇete optimáln´ı polohu napajedla (bod N ∈ r) tak, aby celková délka cesty a + b byla minimáln´ı. (Body K, O leˇz´ı na stejné stranˇe ˇreky.) ˇ sen´ ˇ ı Re Pokud pracujeme s mladˇs´ımi ˇza´ky, kteˇr´ı jeˇstˇe neznaj´ı osovou soumˇernost, je to pro nˇe problémová u ´loha, kterou s nimi m˚ uˇzeme vymodelovat: 1. Do Nákresny um´ıst´ıme pˇr´ımku – nástroj Pˇr´ımka. Pˇr´ımku pˇremenujeme na r a tvoˇr´ıc´ı body pˇr´ımky A, B skryjeme. 2. Nástrojem Nový bod um´ıst´ıme na pˇr´ımku r bod N , do stené poloroviny vzhledem k r také pˇridáme body K a O. ´ cka 3. Znázorn´ıme obˇe cesty: u ´seˇcka a = KN , u éˇcka b = N O; nástroj Useˇ daná dvˇema body nebo zápis a = Usecka[K, N], b = Usecka[N, O]. 4. Zmˇeˇr´ıme délku u ´seˇcky a a u ´seˇcky b: nástrojem Vzdálenost klikneme na u ´seˇcku a a na u ´seˇcku b. 5. Definujeme souˇcet délek ve Vstupn´ım poli: c = a + b. Pak zobraz´ıme celkovou délku cesty nástrojem Vloˇzit text, kam zadáme: "a+b = "+c V tomto jednoduchém modelu lze posouvat bodem N po pˇr´ımce r a pˇri tom sledovat ˇ sen´ım je taková poloha N , pˇri n´ıˇz je celková dráha nejmenˇs´ı. celkovou délku cesty. Reˇ

Znaj´ı-li ˇzáci osovou soumˇernost, stane se ˇreˇsen´ı u ´lohy snadnou záleˇzitost´ı: staˇc´ı pˇridat obraz O0 bodu O soumˇern´ y podle osy r a dále vytvoˇrit pr˚ useˇc´ık P spojnice KO0 s osou r. Tento pr˚ useˇc´ık bude ˇreˇsen´ım u ´lohy. –8–

GeoGebra


6. Nástrojem Osová soumˇernost nejprve klikneme na bod O, pak na pˇr´ımku r. Vznikne obraz O0 . 7. Vytvoˇr´ıme spojnici KO0 (zápis d = Usecka[K, O’]). Nástrojem Pr˚ useˇc´ıky dvou objekt˚ u klikneme postupnˇe na d a na r, vznikne bod P . Nyn´ı se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze nejkratˇs´ı je cesta právˇe tehdy, kdyˇz se bod N s pr˚ useˇc´ıkem P pˇrekr´ yvaj´ı.

Do ˇreˇsen´ı u ´lohy jeˇstˇe m˚ uˇzeme vnést fyzikáln´ı hledisko – zákon odrazu svˇetla (obecnˇe vlnˇen´ı). Sestroj´ıme v bodˇe N kolmici na pˇr´ımku r a znázorn´ıme u ´hel dopadu a u ´hel odrazu. Tyto u ´hly se budou rovnat jedinˇe v pˇr´ıpadˇe, kdy N ≡ P .

8. Nástrojem Kolmice nejprve klikneme na bod N , pak na pˇr´ımku r. Vzniklou kolmici pojmenujeme k a um´ıst´ıme na ni pomocn´ y bod C. ´ 9. Nástrojem Uhel znázorn´ıme u ´hel dopadu (v následuj´ıc´ım poˇrad´ı klikneme na body C, N, K) a u ´hel odrazu (klikneme na body O, N, C).

–9–

GeoGebra


´ Uloha 6 Do ostro´ uhlého troj´ uheln´ıka ABC vepiˇste ˇctverec KLM N tak, aby strana ˇctverce KL byla souˇca´st´ı základny AB troj´ uheln´ıka a ostatn´ı vrcholy ˇctverce se dot´ ykaly zbyl´ ych stran troj´ uheln´ıka. ˇ sen´ ˇ ı Re Sestroj´ıme ostro´ uhl´ y troj´ uheln´ık ABC a do nˇej libovoln´ y pomocn´ y ˇctverec, kter´ y jednou stranou spoˇc´ıvá na základnˇe AB troj´ uheln´ıka a jeden z vrchol˚ u ˇctverce je souˇcást´ı strany AC troj´ uheln´ıka. Ke konstrukci v´ ysledného ˇctverce pak vyuˇzijeme stejnolehlost.

1. Pomoc´ı nástroje Mnoho´ uheln´ık klikneme na tˇri r˚ uzné body do Nákresny a pak opˇet do v´ ychoz´ıho bodu – vznikne troj´ uheln´ık ABC. 2. Nástrojem Nový bod vytvoˇr´ıme libovolnˇe bod D ∈ AB. 3. Zapneme nástroj Kolmice a klikneme postupnˇe na bod D a pak na stranu AB. Vytvoˇr´ı se pˇr´ımka d kolmá na základnu troj´ uheln´ıka. 4. Nástrojem Pr˚ useˇc´ık zviditeln´ıme pr˚ useˇc´ık kolmice d s dalˇs´ı stranou troj´ uheln´ıka. Vznikl bod E (na obrázku je souˇca´st´ı strany AC). 5. Vybereme nástroj Pravidelný mnoho´ uheln´ık a klikneme j´ım nejprve na bod E a pak na D (záleˇz´ı na poˇrad´ı – GeoGebra vytváˇr´ı dalˇs´ı body proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek). Objev´ı se okno s v´ yzvou Body“ (zadán´ı poˇctu vrchol˚ u); potvrd´ıme v´ ychoz´ı ” hodnotu 4“ a tak vznikne pomocn´ y ˇctverec DF GE (viz obrázek). ”

6. Abychom mohli zjistit koeficient stejnolehlosti, pˇriprav´ıme si polopˇr´ımku AG: nástrojem Polopˇr´ımka dvˇema body klikneme postupnˇe na A a G a podobnˇe jako v bodˇe 4 urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık této polopˇr´ımky s odpov´ıdaj´ıc´ı stranou troj´ uheln´ıka.

– 10 –

GeoGebra


7. Takto vznikl´ y pr˚ useˇc´ık je jiˇz jedn´ım z vrchol˚ u v´ ysledného ˇctverce, proto jej pˇrejmenujeme: pravé tlaˇc´ıtko myˇsi > volba Pˇrejmenovat na M“ (nebo rychleji: vybrat ” dan´ y bod a pˇr´ımo z klávesnice napsat M“ a potvrdit). ” 8. Zmˇeˇr´ıme vzdálenosti bod˚ u AG a AM : nástrojem Vzdálenost klikneme postupnˇe na bod A a G. Vzdálenost se objev´ı v Nákresnˇe a rovnˇeˇz v Algebraickém oknˇe, kde ji pro lepˇs´ı pˇrehlednost pˇrejmenujeme (napˇr. na i). Stejnˇe urˇc´ıme vzdálenost AM , kterou pak pˇrejmenujeme na j. 9. Koeficient stejnolehlosti urˇcen´ y pomˇerem k = do nˇehoˇz zap´ıˇseme: k = j/i

|AM | |AG|

zadáme pomoc´ı Vstupn´ıho pole,

10. Fináln´ı ˇctverec vytvoˇr´ıme nástrojem Stejnolehlost ze skupiny nástroj˚ u Zobrazen´ı. Nejprve kliknut´ım vybereme stˇred stejnolehlosti (bod A), pak vzorov´ y objekt (pomocn´ y ˇctverec DF GE) a v posledn´ım kroku nás GeoGebra vyzve k zadán´ı koeficientu stejnolehlosti – do pˇr´ısluˇsného pole zap´ıˇseme k a potvrd´ıme. 11. Nakonec jeˇstˇe pˇrejmenujeme vrcholy K, L, N v´ ysledného ˇctverce KLM N ; vrchol spl´ yvaj´ıc´ı s jiˇz dˇr´ıve vytvoˇren´ ym pr˚ useˇc´ıkem M m˚ uˇzeme skr´ yt.

– 11 –

GeoGebra


Kuˇ zeloseˇ cky ´ Uloha 7 Najdˇete rovnici kruˇznice soumˇernˇe sdruˇzené s kruˇznic´ı (x−1)2 +(y −2)2 = 1 podle pˇr´ımky x − y − 3 = 0. ˇ sen´ ˇ ı Re Do Vstupn´ıho pole (pˇr´ıkazového ˇra´dku) zadáme rovnice kruˇznice a pˇr´ımky: •

k:

(x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 1

•

p:

x − y − 3 = 0

Myˇs´ı vybereme nástroj Osová soumˇernost a postupnˇe klikneme na vzor (kruˇznice k) a na osu soumˇernosti (pˇr´ımka p). Vznikne obraz kruˇznice k 0 , jej´ıˇz rovnici vid´ıme v oknˇe Algebry: k 0 : (x − 5)2 + (y + 2)2 = 1.

– 12 –

GeoGebra


´ Uloha 8 Urˇcete vˇsechny hodnoty parametru q ∈ R, pro které má pˇr´ımka p: y = x + q s elipsou e: 9x2 + 16y 2 = 144 aspoˇ n jeden spoleˇcn´ y bod. ˇ sen´ ˇ ı Re 1. Pˇriprav´ıme posuvn´ık q (parametr v rovnici pˇr´ımky): od −10 do 10; krok = 0.1. 2. Pomoc´ı Vstupn´ıho pole (pˇr´ıkazového ˇrádku) zadáme rovnici elipsy e a pˇr´ımky p a nakonec urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky elipsy a pˇr´ımky: •

e:

9 x^2 + 16 y^2 = 144

•

p:

y = x + q

•

Prusecik[e, p]

3. V´ ysledek: zmˇenami posuvn´ıku q zjist´ıme, ˇze pro hodnoty q ∈ (−5, 5) je pˇr´ımka p seˇcnou elipsy (vzniknou dva pr˚ useˇc´ıky A, B), zat´ımco pro q = ±5 je pˇr´ımka jej´ı teˇcnou (body A, B splynou ve spoleˇcn´ y dotykov´ y bod). Pro jiné hodnoty parametru q nemaj´ı pˇr´ımka a elipsa ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod.

– 13 –

GeoGebra


Funkce zadan´ e parametricky a pol´ arn´ımi souˇ radnicemi ´ Uloha 9 Cykloida je cyklická kˇrivka, kterou vykresl´ı bod na obvodu kruˇznice o polomˇeru r odvaluj´ıc´ı se po pˇr´ımce. Obecnou cykloidu lze vyjádˇrit parametrick´ ymi rovnicemi: x = r · (t − sin t) t ∈ h0, 2 πi pro jeden oblouk cykloidy y = r · (1 − cos t) Nakreslete n oblouk˚ u obecné cykloidy vzniklé odvalován´ım kruˇznice o polomˇeru r. Kˇrivku um´ıstˇete do poˇca´tku souˇradnicového systému, volte n ∈ h1, 5i a r ∈ h0,2; 2,0i. ˇ sen´ ˇ ı Re 1. Pˇriprav´ıme posuvn´ık n pro volbu poˇctu oblouk˚ u cykloidy: doln´ı mez = 1, horn´ı mez = 5, krok = 1 2. Pˇriprav´ıme posuvn´ık r pro nastaven´ı velikosti oblouk˚ u cykloidy: doln´ı mez = 0.2, horn´ı mez = 2, krok = 0.1 3. Cykloidu c zap´ıˇseme do Vstupn´ıho pole pˇr´ıkazem Krivka[] s parametrem t: c = Krivka[r*(t-sin(t)), r*(1-cos(t)), t, 0, 2*n*pi] 4. Graf bude pˇrehlednˇejˇs´ı, nastav´ıme-li na ose x jednotky π: hlavn´ı menu Nastaven´ı (nebo P na myˇsi ) > Nákresna > záloˇzka Osy a záloˇzka OsaX > v poli Jednotky vybrat π

K procviˇ cen´ı Do stejného obrázku pˇridejte graf funkce f (x) = | sin x| a porovnejte pr˚ ubˇeh oblouk˚ u u obou kˇrivek.

– 14 –

GeoGebra


Spir´ aly vznikaj´ı skládán´ım dvou pohyb˚ u: bod A = (x, y) se pohybuje po polopˇr´ımce, která se souˇcasnˇe otáˇc´ı okolo nˇekterého svého pevného bodu (napˇr. okolo poˇca´tku O). ´ Uloha 10 Vykreslete nˇekolik závit˚ u Archimedovy spirály zadané rovnic´ı ρ = k · ϕ (k 6= 0, ϕ ≥ 0), kde ρ a ϕ jsou polárn´ı souˇradnice. ˇ sen´ ˇ ı Re Potˇrebujeme rovnice pˇrechodu od polárn´ıch souˇradnic ke kartézsk´ ym (viz obrázek): x = ρ · cos ϕ y = ρ · sin ϕ Dalˇs´ı postup je podobn´ y jako v pˇredchoz´ı u ´loze: 1. Definujeme dva posuvn´ıky: n (volba poˇctu závit˚ u spirály – od 1 do 5; krok = 1) a koeficient spirály k (od 0 do 1; krok = 0.05) 2. Spirálu s zadáme do Vstupn´ıho pole pˇr´ıkazem Krivka[] s parametrem ϕ, do prvn´ıch dvou v´ yraz˚ u pouˇzijeme pˇrechodové rovnice, kam za ρ dosad´ıme z rovnice spirály: s = Krivka[k ϕ cos(ϕ), k ϕ sin(ϕ), ϕ, 0, 2 n pi]

– 15 –

GeoGebra


Smˇ ernice teˇ cny, extr´ emy funkce ´ Uloha 11 Funkce f (x) = 2 − 12 x + cos 2x je definována na uzavˇreném intervalu h−2,5; 5,5i. a) Sestrojte graf funkce f (x). b) Vytvoˇrte bod A na kˇrivce f (x) a jej´ı teˇcnu v bodˇe A. c) Sledujte, jak se mˇen´ı smˇernice teˇcny, vyhledejte lokáln´ı extrémy funkce f (x) na jej´ım definiˇcn´ım oboru. d) Sledujte chován´ı oskulaˇcn´ı kruˇznice ke kˇrivce f (x) v bodˇe A. ˇ sen´ ˇ ı Re a) Do Vstupn´ıho pole zap´ıˇseme: f = Funkce [2 - 0.5 x + cos(2 x), -2.5, 5.5] b) Nástrojem Nový bod klikneme na kˇrivku f (x) v Nákresnˇe, vytvoˇr´ı se bod A na kˇrivce; dále nástrojem Teˇcny z bodu klikneme nejprve na A, pak na kˇrivku – v bodˇe A vznikne teˇcna a. (Stejn´ y efekt by mˇel zápis Tecna[A, f(x)] do Vstupn´ıho pole.) c) Smˇernici teˇcny dostaneme do grafu nástrojem Spád, kter´ ym klikneme na bod A, nebo zápisem do Vstupn´ıho pole: Smernice[a]. d) Do Vstupn´ıho pole zap´ıˇseme OskulacniKruznice[A, f(x)]. Budeme-li posouvat bodem A po kˇrivce f (x), m˚ uˇzeme pozorovat polohu teˇcny a velikost jej´ı smˇernice: v m´ıstech s nulovou smˇernic´ı – teˇcna je vodorovná – se vyskytuj´ı lokáln´ı extrémy funkce.

– 16 –

GeoGebra


Obsah plochy ohraniˇ cen´ e kˇ rivkami ´ Uloha 12 Vypoˇctˇete velikost plochy ohraniˇcené prvn´ı vlnou funkce y = sin x a osou x. ˇ sen´ ˇ ı – následuj´ıc´ı pˇr´ıkazy zap´ıˇseme do Vstupn´ıho pole: Re • •

f(x) = sin(x) plocha = Integral[f(x), 0, pi]

´ Uloha 13 1 3 Zobrazte pr˚ ubˇeh exponenciáln´ı funkce f (x) = 2x a kubické paraboly g(x) = x + 2. 10 Vypoˇctˇete velikost plochy, kterou grafy tˇechto dvou funkc´ı vymezuj´ı. ˇ sen´ ˇ ı Re Obˇe funkce zadáme do Vstupn´ıho pole (pˇr´ıkazového ˇrádku): • •

f(x) = 2^x g(x) = 0.1 x^3 + 2

Myˇs´ı vybereme nástroj Pr˚ useˇc´ık a postupnˇe klikneme na kˇrivku f (x) a g(x). T´ım vzniknou pr˚ useˇc´ıky A, B, jejichˇz x-ové souˇradnice budou tvoˇrit doln´ı a horn´ı integraˇcn´ı mez. Na závˇer zadáme do Vstupn´ıho pole pˇr´ıkaz: •

Plocha = Integral[g(x), f(x), x(A), x(B)]

– 17 –

GeoGebra


´ Uloha 14 Urˇcete plochu ohraniˇcenou osou x a grafem kvadratické funkce f (x) = −x2 + 2x + c s parametrem c ∈ h−1,4; 4,0i. Graficky znázornˇete konstrukci integrálu – velikost dané plochy lze povaˇzovat za limitu, k n´ıˇz konverguje tzv. doln´ı a horn´ı souˇcet. ˇ sen´ ˇ ı Re 1. Pˇriprav´ıme posuvn´ık c (parametr kvadratické funkce): od −1.4 do 4; krok = 0.1. To nám umoˇzn´ı dynamicky posouvat graf a mˇenit velikost vymezené plochy. 2. Definujeme posuvn´ık n (od 1 do 50, krok = 1), kter´ y bude pˇredstavovat rozdˇelen´ı intervalu pro doln´ı a horn´ı souˇcet na n ˇca´st´ı. 3. Do Vstupn´ıho pole zap´ıˇseme pˇr´ıkazy pro zadán´ı funkce f (x) (urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky s osou x), v´ ypoˇcet velikosti vymezené plochy a pro vytvoˇren´ı doln´ıho a horn´ıho souˇctu: • • • •

f(x) = -x*x + 2*x + c (+ urˇcit pr˚ useˇc´ıky – viz pˇredchoz´ı u ´loha) Plocha = Integral[f(x), x(A), x(B)] Doln´ ı = DolniSoucet[f(x), x(A), x(B), n] Horn´ ı = HorniSoucet[f(x), x(A), x(B), n]

Hotov´ y model (viz obrázek): taˇzen´ım posuvn´ık˚ u c a n mˇen´ıme velikosti plochy vymezené grafem a nastavujeme dˇelen´ı intervalu pro doln´ı (horn´ı) souˇcty.

K procviˇ cen´ı Urˇcete velikost plochy ohraniˇcené zdola parabolou f (x) = x2 − 4 x a shora grafy funkc´ı g(x) = ln x a h(x) = 4 − x.

– 18 –

GeoGebra


Z´ aklady vyˇ sˇ s´ı algebry – matice ´ Uloha 15 Jsou dány matice   6 −4 −17 1 3  A=1 2 −1 −6



 1 5 2 B=1 1 7 0 −3 4

C=

2 −3 4 1 −1 5



 1 3 D = −6 4  2 1

Urˇcete: a) souˇcet matic A + B b) inverzn´ı matici k matici A c) determinant matice A d) souˇciny matic C ·D, D·C a B ·C, pokud existuj´ı. ˇ sen´ ˇ ı Re Budeme pracovat se Vstupn´ım polem (pˇr´ıkazov´ ym ˇra´dkem) GeoGebry. Zadávané objekty a poˇzadované v´ ysledky se zobrazuj´ı v oknˇe Algebra – to lze myˇs´ı rozˇs´ıˇrit na u ´kor Grafického okna, které nyn´ı nevyuˇzijeme. Po zápisu odes´ıláme kaˇzd´ y ˇra´dek klávesou Enter : • • • • • • • • • •

A = {{6, -4, -17}, {1, 1, 3}, {2, -1, -6}} B = {{1, 5, 2}, {1, 1, 7}, {0, -3, 4}} C = {{2, -3, 4}, {1, -1, 5}} D = {{1, 3}, {-6, 4}, {2, 1}} M = A + B A’ = Invert[A] detA = Determinant[A] N = C * D O = D * C P = B * C

V´ ysledky se pr˚ ubˇeˇznˇe zobrazuj´ı v oknˇe Algebry, po zadán´ı posledn´ıho pˇr´ıkazu vyskoˇc´ı okno s hláˇskou Neplatn´ y vstup“ (viz obrázek), nebot’ souˇcin tˇechto matic nen´ı definován. ”

– 19 –

GeoGebra


K procviˇ cen´ı Ovˇeˇrte pomoc´ı GeoGebry, ˇze vynásoben´ım A · A0 nebo A0 · A vznikne jednotková matice. Vypoˇctˇete determinant jednotkové matice.

Tip Zadáván´ı matice do systému GeoGebry bude mnohem pˇrehlednˇejˇs´ı, vyuˇzijeme-li tabulkové prostˇred´ı (klávesová zkratka Ctrl + Shift + S nebo myˇs´ı – hlavn´ı menu – Zobrazit > Tabulka). Matici pak vloˇz´ıme ve tˇrech kroc´ıch: • kaˇzd´ y prvek matice zap´ıˇseme do samostatné buˇ nky; ˇrádky i sloupce mus´ı odpov´ıdat zadán´ı, vˇsechny buˇ nky tvoˇr´ı souvislou oblast • provedeme v´ ybˇer této oblasti • kliknut´ım pravého tlaˇc´ıtka na myˇsi vyvoláme kontextovou nab´ıdku, z n´ıˇz vybereme volbu Vytvoˇr matici (viz obrázek)

Takto zadávané matice se postupnˇe objevuj´ı v oknˇe Algebra s názvy matice1, matice2, atd. Nakonec je tedy vhodné je pˇrejmenovat, aby názvy matic odpov´ıdaly zadán´ı u ´lohy.

– 20 –

GeoGebra


Soustavy rovnic ´ Uloha 16 ˇ ste soustavu rovnic o neznám´ Reˇ ych x, y, z, w: 2x + 3y − z x + 2y − 3z + 2w 3x + 4y + 2z − 2w −x + y − z + w

= = = =

5 4 9 2

ˇ sen´ ˇ ı Re Pouˇzijeme Cramerovo pravidlo: urˇc´ıme determinant soustavy |A| a determinant |Ax |; matice Ax vznikne z p˚ uvodn´ı matice A nahrazen´ım 1. sloupce sloupcem absolutn´ıch ˇclen˚ u. x| Pro |A| = 6 0 je pak prvn´ı koˇren soustavy x = |A : |A| 2 1 |A| = 3 −1

3 −1 0 2 −3 2 = −9 , 4 2 −2 1 −1 1

|Ax | =

5 4 9 2

3 −1 0 2 −3 2 = −9 , 4 2 −2 1 −1 1

x=

|Ax | = 1. |A|

Stejnˇe postupujeme u dalˇs´ıch neznám´ ych a dostaneme: y = 2, z = 3, w = 4. GeoGebra: Postupnˇe zadáme vˇsech pˇet matic A, Ax , . . . Aw , jejich determinanty a v´ ypoˇcet koˇren˚ u (podobnˇe jako v pˇredchoz´ı u ´loze). V oknˇe Algebry se pak zobraz´ı v´ ysledky:

Poznámka: Koˇreny x, y rovnic oznaˇcujeme odliˇsnˇe (napˇr. pomoc´ı index˚ u – x1 , y1 ), jinak je bude GeoGebra povaˇzovat za pˇr´ımky, které novˇe pojmenuje (napˇr. a: x = 1, b: y = 2).

– 21 –

GeoGebra


Pythagorova vˇ eta – dynamick´ y model ´ Uloha 17 Vytvoˇrte dynamick´ y model pro znázornˇen´ı vztahu mezi stranami pravo´ uhlého troj´ uheln´ıka (ukaˇzte geometricky platnost Pythagorovy vˇety). ˇ sen´ ˇ ı Re Model vytvoˇr´ıme ze dvou obrázk˚ u. Prvn´ı obrázek bude statick´ y a bude znázorˇ novat pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık a tˇri ˇctverce sestrojené nad dvˇema odvˇesnami troju ´heln´ıka a jeho pˇreponou (1). Druh´ y obrázek bude dynamick´ y: z jeho dvou krajn´ıch fáz´ı (2a) a (2b) bude moˇzné uvidˇet, ˇze obsah ˇctverce nad pˇreponou je stejn´ y jako souˇcet obsah˚ u ˇctverc˚ u nad odvˇesnami. Svou roli hraj´ı i barvy – ty objekty, které maj´ı v jednotliv´ ych obrázc´ıch stejné barvy, jsou shodné. Postup 1. V Nákresnˇe zobraz´ıme osy a vrchol pravého u ´hlu troj´ uheln´ıka (bod C) um´ıst´ıme do poˇcátku souˇradnického systému. 2. Pˇriprav´ıme dva posuvn´ıky: a a b pro volbu délky obou odvˇesen troj´ uheln´ıka; rozsahy mohou b´ yt napˇr. od 1 do 3 u odvˇesny a a od 3 do 5 u odvˇesny b; krok zvol´ıme 0.1. 3. Vrchol A troj´ uhelnka z´ıskáme pomoc´ı nástroje Kruˇznice daná stˇredem a polomˇerem. Stˇredem kruˇznice je bod C a polomˇerem hodnota posuvn´ıku b; vytvoˇr´ıme pr˚ useˇc´ıky této kruˇznice s osou x: lev´ y skryjeme, prav´ y pojmenujeme A. Stejn´ ym postupem z´ıskáme vrchol B (horn´ı pr˚ useˇc´ık kruˇznice se stˇredem C a polomˇerem a s osou y). 4. Nástrojem Mnoho´ uheln´ık dokonˇc´ıme troj´ uheln´ık ABC a vybarv´ıme (napˇr. ˇzlutou). 5. Sestroj´ıme ˇctverce nad jednotliv´ ymi stranami: pomoc´ı nástroje Pravidelný mnohou ´heln´ık klikneme postupnˇe na body C a B (poˇrad´ı je d˚ uleˇzité) a následnˇe v nab´ıdnutém pol´ıˇcku potvrd´ıme v´ ychoz´ı hodnotu 4“. Vznikne tak ˇctverec, kter´ y je na ” obrázku (1) vybarven ˇcervenˇe. Podobnˇe sestroj´ıme dalˇs´ı dva ˇctverce a opatˇr´ıme je vhodn´ ymi barvami.

– 22 –

GeoGebra


6. Prvn´ı obrázek modelu je hotov, pro konstrukci druhého si pˇriprav´ıme vektory posunut´ı ~u, ~v , w, ~ ~r, ~s a ~t. Zadáme je napˇr. pomoc´ı Vstupn´ıho pole následuj´ıc´ımi zápisy: • u = (-8, 0) • v = (0, -b) • w = u + v

• r = (-a, 0) • s = r + w • t = (-8+b, -b)

7. Druh´ y obrázek vytvoˇr´ıme tak, ˇze vˇsechny tˇri ˇctverce necháme zobrazit v posunut´ı (lze pouˇz´ıt nástroj Posunut´ı nebo zápis ve Vstupn´ım poli) o následuj´ıc´ı vektory: ˇctverec nad odvˇesnou AC (modr´ y) . . . . . . ˇctverec nad odvˇesnou BC (ˇcerven´ y) . . . . . . ˇctverec nad pˇreponou AB (ˇsed´ y) ......

o vektor ~u o vektor w ~ o vektor ~s

8. Vytvoˇr´ıme také dva obrazy ˇzlutého troj´ uheln´ıka: prvn´ı vznikne jeho posunut´ım o vektor ~s. Druh´ y obraz vznikne ve sloˇzeném zobrazen´ı: nejprve posunut´ım o ~t a následnˇe otoˇcen´ım kolem bodu C 00 o 90◦ proti smˇeru hodin (viz obrázek). Obraz posunut´ y o vektor ~t skryjeme, otoˇcen´ y obraz ponecháme.

9. Dynamiku druhého obrázku zajist´ıme posuvn´ıkem ϕ pro u ´hel otoˇcen´ı: ϕ ∈ h0◦ , 90◦ i, krok 0.01. 10. Dále necháme oba ˇzluté troj´ uheln´ıky zobrazit v otoˇcen´ı: lev´ y kolem bodu B 0 o u ´hel ϕ proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek, prav´ y kolem bodu A000 o u ´hel ϕ po smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek (viz obrázek vpravo). 11. Pro lepˇs´ı viditelnost zv´ yrazn´ıme strany otoˇcen´ ych troj´ uheln´ık˚ uu ´seˇckami tmavé barvy, zat´ımco jejich p˚ uvodn´ı vzory skryjeme. Otáˇcen´ı troj´ uheln´ık˚ u pak ovládáme myˇs´ı taˇzen´ım za posuvn´ık ϕ.

– 23 –

GeoGebra


GeoGebra ve fyzice – skl´ ad´ an´ı kmit˚ u ´ Uloha 18 Sestavte model vzniku nárazového kmitán´ı v akustice – vznik r´ az˚ u. V modelu umoˇznˇete nastavován´ı frekvenc´ı f1 , f2 obou kmitav´ ych pohyb˚ u a fázového posunut´ı ϕ mezi nimi. ˇ sen´ ˇ ı Re Rázy (záznˇeje) vznikaj´ı skládán´ım dvou kmitán´ı bl´ızk´ ych frekvenc´ı. Budeme pˇredpokládat, ˇze oba kmitavé pohyby maj´ı harmonick´ y pr˚ ubˇeh a jsou vyjádˇreny rovnicemi: y1 = A · sin ω1 t,

y2 = A · sin(ω2 t + ϕ)

kde ω1 = 2πf1 a ω2 = 2πf2 jsou u ´hlové frekvence kmit˚ u a amplituda (maximáln´ı v´ ychylka) A je u obou kmitav´ ych pohyb˚ u stejná. 1. Pˇriprav´ıme si celkem tˇri posuvn´ıky: dva z nich pro frekvence – pojmenované f1 , f2 (rozsah od 0.1 do 5 jednotek, krok 0.05) a tˇret´ı pro fázov´ y posun – pojmenovan´ yϕ (rozsah od 0 do 2π, krok 0.05). 2. Rovnice pro kmitav´ y pohyb zadáme do Vstupn´ıho pole (pro správné vykreslen´ı graf˚ u m´ısto ˇcasu t zadáme promˇennou x, amplitudu zvol´ıme napˇr. A = 2): • f(x) = 2 sin(2 pi f_1 x) • g(x) = 2 sin(2 pi f_2 x - ϕ) • h(x) = f(x) + g(x) 3. Pomoc´ı posuvn´ık˚ u f1 , f2 a ϕ nastavujeme pomˇer frekvenc´ı a fázov´ y posun a sledujeme pr˚ ubˇeh sloˇzen´ ych kmit˚ u (funkce h(x) znázorˇ nuje vznik ráz˚ u).

– 24 –

GeoGebra


Jak by Karel May vysvˇ etlil, proˇ c se svˇ etlo l´ ame ´ Uloha 19 Old Shatterhand ut´ıká pˇred zl´ ymi Komanˇci a potˇrebuje se co nejrychleji dostat k Vinnetouovi, kter´ y ho spolu s dalˇs´ımi Apaˇci m˚ uˇze zachránit. Bˇehem svého pˇresunu z bodu K do bodu A (viz obrázek) vˇsak jeho k˚ un ˇ mus´ı projet dvˇema r˚ uzn´ ymi prostˇred´ımi: travnatou prérij´ı a pouˇstn´ım p´ıskem, pˇriˇcemˇz na p´ısku se k˚ un ˇ pohybuje mnohem pomaleji neˇz na trávˇe. Porad’te Old Shatterhandovi, jak má nasmˇerovat svého konˇe, aby jeho cesta z K do A probˇehla co nejrychleji.

ˇ sen´ ˇ ı Re V prostˇred´ı GeoGebry vytvoˇr´ıme model obsahuj´ıc´ı tˇri dynamické prvky – pro nastavován´ı rychlosti konˇe na trávˇe v1 a v p´ısku v2 a polohy bodu P na rozhran´ı obou prostˇred´ı. Do modelu zahrneme v´ ypoˇcet celkové dráhy konˇe a celkového ˇcasu. Pˇridáme v´ ypoˇcet pomˇer˚ u sin α v1 a , aby vynikla souvislost se zákonem lomu. sin β v2

– 25 –

GeoGebra


Postup 1. Pro snazˇs´ı a pˇresnˇejˇs´ı kreslen´ı zapneme mˇr´ıˇzku (hlavn´ı menu Zobrazit > Mˇr´ıˇzka). Vytvoˇr´ıme u ´seˇcku BC (hranice trávy a p´ısku) a dva ˇctyˇru ´heln´ıky: horn´ı = tráva, doln´ı = p´ısek. Jejich vrcholy skryjeme kromˇe dvou bod˚ u – v´ ychoz´ıho K a c´ılového A (viz obrázek). Pomoc´ı nástroje Vloˇzit text m˚ uˇzeme oba ˇctyˇru ´heln´ıky pro lepˇs´ı ’ pˇrehlednost doplnit komentáˇrem (prérie – tráva, pouˇst – p´ısek).

2. Nástrojem Nový bod vytvoˇr´ıme bod P vázan´ y na u ´seˇcku BC, krajn´ı body u ´seˇcky pak skryjeme. Pˇridáme dalˇs´ı dvˇe u ´seˇcky pˇredstavuj´ıc´ı dráhy konˇe po trávˇe a na p´ısku: d = KP , p = P A. 3. Urˇc´ıme celkovou dráhu konˇe – zápis r = d + p do Vstupn´ıho pole. Tuto hodnotu necháme zobrazit v Nákresnˇe pomoc´ı nástroje Vloˇzit text, do jehoˇz okna provedeme zápis: "celkov´ a dr´ aha = " + r (text v uvozovkách je ˇretˇezec, znaménko + pˇredstavuje operaci zˇretˇezen´ı, za text v uvozovkách se tedy vyp´ıˇse hodnota r). 4. Pˇridáme dva posuvn´ıky pro nastaven´ı rychlosti konˇe v1 na trávˇe a v2 na p´ısku (vol´ıme shodné názvy, zap´ıˇseme tedy v_1 a v_2, rozsah od 1 do 5, krok = 0.25). 5. Urˇc´ıme celkov´ y ˇcas konˇe: t = t1 + t2 = t = d/v_1 + p/v_2 a potvrd´ıme.

d v1

+

p ; v2

provedeme zápis do Vstupn´ıho pole:

6. Také celkov´ y ˇcas necháme zobrazit v Nákresnˇe – podobnˇe jako v kroku 3: do okénka nástroje Vloˇzit text zap´ıˇseme: "celkov´ y c ˇas = " + t Prvn´ı ˇca´st naˇseho modelu je hotova (viz následuj´ıc´ı obrázek) a jeho dynamika je plnˇe funkˇcn´ı: umoˇzn ˇuje nastavovat r˚ uzné rychlosti v1 a v2 a posouvat bodem P po hranici trávy a p´ısku. Napˇr´ıklad pro hodnoty v1 > v2 m˚ uˇze ˇza´k zjistit, ˇze pokud k˚ un ˇ pobˇeˇz´ı po nejkratˇs´ı moˇzné dráze (´ useˇcka KA), bude jeho celkov´ y ˇcas delˇs´ı, neˇz kdyˇz svou dráhu zalom´ı“ v bodˇe P tak, ˇze delˇs´ı u ´sek absolvuje po trávˇe a kratˇs´ı po p´ısku. T´ımto principem ” se ˇr´ıd´ı svˇetlo (obecnˇe vlnˇen´ı) pˇri pˇrechodu z jednoho prostˇred´ı do druhého.

– 26 –

GeoGebra


Zat´ımco pro ˇza´ky základn´ıch ˇskol a niˇzˇs´ıch gymnázi´ı bychom model mohli ukonˇcit na této v1 sin α = . u ´rovni, stˇredoˇskolák˚ um jeˇstˇe pˇripomeneme platnost Snellova zákona lomu: sin β v2 7. V bodˇe P sestroj´ıme kolmici na rozhran´ı (nástroj Kolmice). Pro lepˇs´ı vzhled vytvoˇr´ıme kolmici jako svislou u ´seˇcku k – nejprve vyznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky kolmé pˇr´ımky s horn´ı ´ cka dvˇema a doln´ı stranou pˇr´ısluˇsn´ ych obdéln´ıkov´ ych oblast´ı a pak nástrojem Useˇ body tyto pr˚ useˇc´ıky spoj´ıme; u ´seˇcku pˇrejmenujeme na k a p˚ uvodn´ı kolmou pˇr´ımku skryjeme. ´ 8. Vyznaˇc´ıme u ´hel dopadu α a u ´hel lomu β: pouˇzijeme k tomu nástroj Uhel, kter´ ym klikneme vˇzdy na tˇri body v pˇr´ısluˇsné obdéln´ıkové oblasti. Dojde k vyznaˇcen´ı u ´hl˚ u v obrázku a spolu s jejich názvy α, β se zobraz´ı i velikosti. 9. K prezentaci Snellova zákona lomu si nadefinujeme hodnoty dvou zlomk˚ u zápisem do Vstupn´ıho pole: z_1 = sin(α)/sin(β) – pod´ıl sin˚ uu ´hl˚ u, a dále z_2 = v_1/v_2 – pod´ıl rychlost´ı. 10. Jako posledn´ı krok necháme v Nákresnˇe oba uvedené pomˇery zobrazit: opˇet pouˇzijeme nástroj Vloˇzit text, tentokrát v jeho oknˇe pouˇzijeme nav´ıc syntaxi LATEXu, nebot’ potˇrebujeme zapsat zlomek. Kliknut´ım zaˇskrtneme volbu LATEX vzorec a do pˇripraveného prostˇred´ı, tj. mezi znaky $ $ vep´ıˇseme poˇzadovan´ y zlomek pomoc´ı syntaxe LATEXu. Zápis pak bude m´ıt tvar: "$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=$"+z_1. Podobnˇe zadáme i druh´ y zlomek: "$\frac{v_1}{v_2}=$"+z_2. 11. Závˇer: pˇri urˇcitém pomˇeru rychlost´ı vv12 je potˇreba naj´ıt takovou polohu bodu P , pˇri n´ıˇz je celkov´ y ˇcas minimáln´ı. To plat´ı právˇe tehdy, kdyˇz je splnˇen Snell˚ uv zákon v1 sin α lomu a plat´ı: sin β = v2 .

– 27 –

GeoGebra


Modelov´ an´ı mechanick´ ych zaˇ r´ızen´ı – pohyb p´ıstu ´ Uloha 20 Vytvoˇrte geometrick´ y model pohybuj´ıc´ıho se p´ıstu a ojnice ve válci spalovac´ıho motoru. ˇ sen´ ˇ ı Re GeoGebra umoˇzn ˇuje manipulaci s geometrick´ ymi objekty a s t´ım souvisej´ıc´ı objevován´ı nˇekter´ ych zákonitost´ı. Toto znovuobjeven´ı“ má pak daleko hlubˇs´ı ” vzdˇelávac´ı efekt neˇz pouhé sdˇelován´ı skuteˇcnost´ı ˇzák˚ um. C´ılem je naj´ıt bod reprezentuj´ıc´ı stˇred P p´ıstu pohyblivého ve svislém smˇeru (smˇer polopˇr´ımky a). Model p´ıstu bude m´ıt správné chován´ı“ tehdy, kdyˇz délka ” ojnice bude nemˇenná. Druh´ y konec ojnice O bude opisovat kruˇznici se stˇredem S pˇredstavuj´ıc´ı pohyb klikové hˇr´ıdele. Odtud je uˇz jen kr˚ uˇcek k objevu stˇredu p´ıstu P jako pr˚ useˇc´ıku svislé polopˇr´ımky a a kruˇznice d pevného polomˇeru se stˇredem v bodˇe O (viz obrázek). Postup Existuje celá ˇrada moˇznost´ı, jak vytvoˇrit model pohybuj´ıc´ıho se p´ıstu. Zde si ukáˇzeme pouze jednoduch´ y a krátk´ y postup (pˇr´ıpadn´ y sofistikovan´ y tuning“ ponecháme na fantazii ” a tv˚ urˇc´ıch schopnostech ˇctenáˇre). Veˇskerá ˇc´ısla nebo souˇradnice uvedená v následuj´ıc´ıch kroc´ıch maj´ı jen orientaˇcn´ı charakter. 1. Konstrukci modelu zaháj´ıme kruˇznic´ı pˇredstavuj´ıc´ı osu klikové hˇr´ıdele. V Nákresnˇe zobraz´ıme souˇradnicové osy, do jejich poˇca´tku um´ıst´ıme bod S a o nˇeco v´ yˇse na ose y bod B (napˇr. B = [0, 0.7]). Vytvoˇr´ıme kruˇznici se stˇredem S o polomˇeru SB (nástroj Kruˇznice daná stˇredem a bodem). 2. Vytvoˇr´ıme polopˇr´ımku a = SB a skryjeme pomocn´ y bod B i souˇradnicové osy. 3. Pokraˇcujeme ojnic´ı: na obvod kruˇznice se stˇredem S um´ıst´ıme nov´ y bod O (jeden koncov´ y bod ojnice). Nástrojem Kruˇznice daná stˇredem a polomˇerem vytvoˇr´ıme kruˇznici d = (O; 2 cm). Nyn´ı stanov´ıme pr˚ useˇc´ık kruˇznice d s polopˇr´ımkou a. Takto ´ cka spoj´ıme body OP vznikl´ y bod pˇredstavuje stˇred p´ıstu (název P ). Nástrojem Useˇ (ojnice) a také OS (kliková hˇr´ıdel). Vypneme zobrazen´ı kruˇznice d. T´ım je jádro modelu hotovo (viz obrázek na následuj´ıc´ı stranˇe nahoˇre). Vyzkouˇs´ıme jeho funkˇcnost: myˇs´ı pohybujeme bodem O po kruˇznici a bod P koná posuvn´ y pohyb svisl´ ym smˇerem. Dalˇs´ı kroky jsou jen kosmetické u ´pravy“ – dokonˇc´ıme p´ıst a obal´ıme ho válcem. ” – 28 –

GeoGebra


Dokonˇcen´ı p´ıstu (ˇctverec se stˇredem v bodˇe P ) a válce 4. Nástrojem Kruˇznice daná stˇredem a polomˇerem vytvoˇr´ıme kruˇznici se stˇredem P o polomˇeru (pˇribliˇznˇe) 0.4 cm. 5. Dále urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky (K, L) této kruˇznice s polopˇr´ımkou a; v tˇechto pr˚ useˇc´ıc´ıch sestroj´ıme teˇcny (e, f ) k dané kruˇznici. 6. Vyuˇzijeme shodného zobrazen´ı – otoˇcen´ı: nástrojem Otoˇcen´ı ou ´hel vytvoˇr´ıme obraz bodu K v otoˇcen´ı o 90◦ vlevo (K 0 ). 7. Z takto vytvoˇreného obrazu bodu sestroj´ıme teˇcnu ke kruˇznici (teˇcna g rovnobˇeˇzná s polopˇr´ımkou a). 8. Vytvoˇr´ıme pr˚ useˇc´ıky teˇcny g s teˇcnami e a f → body M, N . 9. Nástrojem Pravidelný mnoho´ uheln´ık nejprve klikneme na bod M , pak na N a následnˇe v nab´ıdnutém pol´ıˇcku potvrd´ıme v´ ychoz´ı hodnotu 4“. T´ım vznikne pravideln´ y ˇctyˇru ´heln´ık ” (ˇctverec), kte´ y pˇredstavuje model p´ıstu. 10. Nastav´ıme vlastnosti tohoto ˇctverce (barva, tlouˇst’ka ˇcar, v´ yplˇ n) a skryjeme vˇsechny pomocné konstrukce vˇcetnˇe názv˚ u objekt˚ u. 11. Pokraˇcujeme válcem: pro vˇetˇs´ı pohodl´ı opˇet na chv´ıli zobraz´ıme osy x, y a mˇr´ıˇzku. Nalevo od osy p´ıstu um´ıst´ıme pomocn´ y bod V (doln´ı okraj válce; nesm´ı bránit ojnici v pohybu). 12. Bodem V vedeme rovnobˇeˇzku s osou y. 13. Nyn´ı na tuto rovnobˇeˇzku um´ıst´ıme bod W – pˇredpokládan´ y horn´ı okraj válce (pˇred t´ım jsme si p´ıst pˇresunuli do horn´ı u ´vrati kv˚ uli pˇresnˇejˇs´ımu stanoven´ı polohy bodu W ). 14. Body V a W spoj´ıme u ´seˇckou a vytvoˇr´ıme jej´ı osovˇe soumˇern´ y obraz V 0 W 0 podle osy y. Pomocnou rovnobˇeˇzku i názvy objekt˚ u skryjeme. 15. Body W a W 0 spoj´ıme obloukem W ZW 0 (nástroj Kruhový oblouk procházej´ıc´ı tˇremi body). 16. Nastav´ıme vlastnosti obou u ´seˇcek a oblouku (barvu a tlouˇst’ku ˇcar) a skryjeme osy, mˇr´ıˇzku a vˇsechny pomocné konstrukce vˇcetnˇe názv˚ u objekt˚ u. Model p´ıstu s mechanick´ ym ovládán´ım“ je t´ım hotov. Z fyzi” káln´ıho hlediska je pak vhodné zamyslet se nad t´ım, co je pˇr´ıˇcinou pohybu a co je d˚ usledkem (v naˇsem modelu pohybujeme bodem O po kruˇznici, zat´ımco u reálného motoru pohyb vycház´ı z p´ıstu, jehoˇz posuvn´ y pohyb se pˇrevád´ı na rotaci klikové hˇr´ıdele). – 29 –

GeoGebra


´ ı modelu Zdokonalovan´ Cel´ y model m˚ uˇzeme obohatit samoˇcinn´ ym pohybem p´ıstu. Otáˇcen´ı klikové hˇr´ıdele uˇz tedy nebude závislé na naˇsem ruˇcn´ım pohonu myˇs´ı. To se dá zaˇr´ıdit posuvn´ıkem, kter´ y umoˇzn ˇuje zapnout nebo vypnout animaci. 17. Definujeme nov´ y posuvn´ık ϕ pˇredstavuj´ıc´ı u ´hel: doln´ı mez = 0, horn´ı mez = 2π (zápis 2*pi), krok = 0.01; v ˇca´sti Animace nastav´ıme hodnotu posuvn´ıku Opakovat na Rostouc´ı. 18. Zmˇeˇr´ıme polomˇer kruˇznice se stˇredem S a toto ˇc´ıslo pojmenujeme r. (V prvn´ım kroku naˇseho postupu jsme zadali hodnotu 0.7, ale práce s obecn´ ymi promˇenn´ ymi je ˇcasto v´ yhodnˇejˇs´ı.) 19. Nov´ y bod X zadáme pomoc´ı Vstupn´ıho pole zápisem: X = (r*cos(ϕ),r*sin(ϕ)) (nebo X = (0.7*cos(ϕ),0.7*sin(ϕ)), pokud v´ıme, ˇze hodnotu polomˇeru nebudeme cht´ıt pozdˇeji mˇenit). T´ım byl bod X definován polárn´ımi souˇradnicemi (r, ϕ) a jeho pohyb nyn´ı ovládáme myˇs´ı nikoliv pˇr´ımo, ale pˇres posuvn´ık ϕ. 20. Nyn´ı potˇrebujeme, aby se bod X stal doln´ım koncem ojnice, coˇz vyˇzaduje pˇredefinován´ı kruˇznice d. Po dvojkliku na kruˇznici d v oknˇe Algebra se objev´ı okno Pˇredefinovat“. V p˚ uvodn´ı definici Kruznice[O, 2] ” nahrad´ıme bod O bodem X a zmˇenu potvrd´ıme. 21. Skryjeme bod O a u ´seˇcky OS a OP a naopak pˇridáme nové u ´seˇcky XS a XP a uprav´ıme jejich vlastnosti (tlouˇst’ka ˇcáry, barva, . . . ). 22. Spust´ıme animaci posuvn´ıku ϕ (pravé na myˇsi > Animace zapnuta). 23. Model dále vylepˇs´ıme pˇridán´ım regulace ot´ aˇ cek. Definujeme jeˇstˇe jeden posuvn´ık, napˇr. t (tempo): doln´ı mez = −5, horn´ı mez = 5, krok = 1. 24. Uprav´ıme definici bodu X ve Vstupn´ım poli: m´ısto argumentu ϕ pouˇzijeme jeho t-násobek, tedy X = (r*cos(ϕ*t),r*sin(ϕ*t)). T´ım dosáhneme závislosti rychlosti obˇehu bodu X na hodnotˇe parametru t: pro t ≥ 1 se kliková hˇr´ıdel otáˇc´ı v kladném smyslu, pro t ≤ −1 se zmˇen´ı smˇer otáˇcen´ı a pro t = 0 z˚ ustane bod X a tedy i p´ıst v klidu. 25. Pro vˇetˇs´ı názornost pˇri ovládán´ı dopln´ıme posuvn´ık t textov´ ym komentáˇrem s nápisy ˇed, Stop, Vzad“ a nastav´ıme jeho um´ıstˇen´ı svisle; zobrazen´ı posuvn´ıku pro Vpr ” u ´hel ϕ m˚ uˇzeme vypnout.

– 30 –

GeoGebra


Export do HTML Hotov´ y model lze vyexportovat do r˚ uzn´ ych formát˚ u – jeden z ˇcasto pouˇz´ıvan´ ych je webová stránka: nab´ıdka Soubor > Export > Dynamický pracovn´ı list jako webová stránka (html). V oknˇe, které se objev´ı, lze zadat název pracovn´ıho listu a v záloˇzce Pro pokroˇcilé lze nastavit dalˇs´ı parametry (ˇs´ıˇrka a v´ yˇska, lze povolit manipulaci s objekty, zobrazit panely nástroj˚ u, apod.). Potˇrebujeme-li zaˇclenit aplet z GeoGebry do své webové stránky, která má své specifické rozvrˇzen´ı a stylován´ı, vykop´ırujeme z právˇe exportovaného webu naˇs´ı u ´lohy v GeoGebˇre vˇeˇsker´ y obsah mezi tagy ... (vˇcetnˇe poˇca´teˇcn´ıho a koncového tagu) a vloˇz´ıme do naˇs´ı webové stránky mezi pˇripravené znaˇcky párového tagu object. Situace v zápisu kódu pak vypadá následovnˇe:

Screen dynamického pracovn´ıho listu GeoGebry vyexportovaného jako webová stránka:

– 31 –

Literatura

ˇ Poˇc´ıtaˇc ve v´ [1] Gergelitsová, S.: yuce nejen geometrie – pr˚ uvodce GeoGebrou, Generation Europe, Praha, 2011. [2] Dytrych, M., Dobiasová, I., Livˇ nanská, L.: Sb´ırka u ´loh z matematiky – geometrie a funkce, Fortuna, Praha, 2001. ˇ [3] Buˇsek, I., Mannová, B., Sediv´ y, J., Rieˇcan, B.: Sb´ırka u ´loh z matematiky pro III. roˇcn´ık gymnázi´ı, SPN, Praha, 1987. ˇ a SS, ˇ [4] Van´ıˇcek, J.: Metodika pouˇzit´ı dynamické geometrie pˇri vyuˇcován´ı na ZS http://www.pf.jcu.cz/cabri/metodika/. [5] V´ yukové materiály Cabri Geometrie: http://www.pf.jcu.cz/p-mat/.

c RNDr. Tom´

aˇs Mikulenka, Kromˇeˇr´ıˇz 2012. Sazba a grafická u ´prava: autor. Publikace m˚ uˇze b´ yt pro u ´ˇcely v´ yuky na ˇskol´ ach volnˇe reprodukována. Pˇripom´ınky a námˇety lze a smˇeˇrovat na adresu: t.mikulenka seznam.cz.

´ vznikl jako souˇcast ´ grantoveho ´ ´ ˇ r´ızˇ Tento výukový material projektu Gymnazia Kromeˇ ´ ´ ´ v letech 2009–2012. Projekt je s nazvem Beznakladov e´ ICT pro uˇcitele realizovaneho ˇ ´ z Evropskeho ´ ´ ıho fondu a statn´ ´ ıho rozpoˇctu Cesk spolufinancovan socialn´ e´ republiky.

www.gymkrom.cz/ict

v programu GeoGebra leden 2012 s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech Projekt je

Recommend Documents