Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra Lineární a kvadratické rovnice jsou součástí velké množiny rovnic. Jejich uplatnění je často velmi praktické, a proto je pojmu rovnice třeba dobře rozumět i pro vaši budoucí profesní dráhu. V následujícím úvodu si stručně shrneme základní pojmy a poznatyky, které se váží k řešení lineárních a kvadratických rovnic. Sestavujeme-li rovnici, vlastně se tímto zápisem ptáme, pro jakou hodnotu nezávislé proměnné (obvykle x) mají dvě funkce f a g stejnou funkční hodnotu. Funkce f a g obvykle nazýváme funkcí reálné proměnné. To znamená, že definiční obor těchto funkcí je podmnožinou množiny reálných čísel. Říkáme také, že rovnici řešíme na množině M⊂R. Formálně lze předchozí tvrzení schrnout do formule: f (x ) = g ( x), kde x∈M. Prakticky taková rovnice může vypadat takto: 2x−1 = x+2 Z porovnání obou zápisů vidíme, že funkce f je lineární funkcí s předpisem f : y =2x−1 a funkce g je opět lineární funkce s předpisem g : y = x+2 . Zbývá dodat, že funkce f se nazývá levá strana rovnice a funkce g se nazývá pravá strana rovnice. Množina M, která v tomto případě není uvedena, se nazývá obor řešení rovnice.(pokud není M uvedena pokládáme ji za celou množinu R). Je-li funkce g(x) = 0, říkáme, že rovnice je v anulovaném tvaru. Pak má tento formální tvar: f (x ) = 0 Například: 2x−1 = 0 . Pozor! Termín řešení rovnice se používá nejen jako termín pro pojem kořen rovnice, ale také pro postup, kterým se tyto kořeny hledají. V jakém významu se termínu bude požívat vám bude zřejmé z kontextu úlohy.
Shrnutí K řešení rovnice je třeba znát: • obor řešení M • označení neznámé (obvykle x, y, z …) • funkce f a g, jejichž proměnnou je neznámá a jejichž funkční hodnoty si mají být rovny
Teorie už bylo dost. Můžeme si vyzkoušet řešení jednoduché rovnice v GeoGebře? To samozřejmě můžeme, jenom si uvědomte, že celé řešení v GeoGebře se bude opírat o předchozí pojmy. Navíc je třeba umět alespoň základní dovednosti, které se týkají funkcí. Vraťme se k jedné z předchozích jednoduchých rovnicí: 2x – 1 = 0. Vdíme, že se jedná o lineární rovnici s neznámou x v anulovaném tvaru. Obor řešení rovnice je celá R. Rovnici vyřešíme pomocí příkazu NuloveBody[<Mnohočlen>]. Nejprve vytvoříme funkci levé strany tak, že do vstupního řádku napíšeme f: y = 2x – 1. V algebraickém okně vidíme nově vytvořenou funkci f a v Nákresně novou přímku – graf této funkce. Víme, že když je rovnice v anulovaném tvaru, hledáme průsečík grafu funkce levé strany s osou x, ten získáme právě příkazem NuloveBody[<Mnohočlen>]. Na místo <Mnohočlen> v příkazu doplníme jméno naší funkce f. Celý příkaz má tento tvar NuloveBody[f]. V Algebraickém okně uvdíme následující výpis:
Vidíme, že funkce protíná osu x v bodě A = (0.5, 0). Pokud rozumíte pojmu bod funkce je vám jasné jak z daného bodu A dostanete řešení rovnice. Je to první (x – ová) souřadnice bodu A. Pro tuto hodnotu nezávislé proměnné x funkce f dává funkční hodnotu rovnou 0. V GeoGebře se příkaz pro první souřadnici bodu píše x(A). Uložíme si ji třeba do proměnné resRov takto: resRov=x(A). Výpis Algebraického okna vypadá takto:
Řešení můžeme dotáhnou do lepší podoby, když „zneviditelníme“ graf funkce f, tak že klikneme na bod v Algebraickém okně u naší funkce f. Do Nákresny doplníme slovní odpověď tak, že do Vstupní řádku doplníme příkaz: Text["Řešením dané rovnice 2x – 1 = 0 je x="+ resRov]. Výsledné okno GeoGebry vypadá takto:
Můžeme si objasnit postup na některé složitější rovnici s pravou stranou? Samozřejmě. Vrátíme se do úvodních odsrtavců, kde se vyskytla tato rovnice 2x−1 = x+2 . Pokusíme se její řešení v GeoGebře. Zřejmě oproti předchozímu řešení budeme potřebovat více funkcí. Pro pravou stranu rovnice vytvoříme ve Vstupním řádku funkci f: y = 2x-1 a pro levou stranu funkci g: y=x + 2. Celou rovnici převedeme do anulovaného tvaru tak, že si vytvoříme novou funkci aRov = Zjednodusit[2x-1 – (x + 2)]. Dostali jsme se do bodu, kdy můžeme použít postup předchozího řešení pomocí příkazu NuloveBody. Do Vstupního řádku napíšeme příkaz NuloveBody[aRov] a GeoGebra nám v Algebraickém okně i v Nákresně vytvoří bod A o souřadnicích A = (3,0). O tomto bodu již víme, že obsahuje kořen rovnice, který získáme příkazem resRov=x(A). Podobně jako v předchozí rovnici dotáhneme výsledek do konce pomocí vložení textového pole příkazem Text["Řešením dané rovnice 2x – 1 = x + 2 je x="+ resRov]. Takto vypadá ukázka ze souboru GeoGebry s naším příkladem:
Ze souboru, který máte před sebou vidíte i druhé možné řešení dané úlohy, tzv. grafické. Grafickým řešením je opět x-ová souřadnice průsečíku grafů funkcí f a g. V GeoGebře je to opět snadná úloha. Nejprve si vytvoříme příkazem B=Prusecik[f,g] bod, který je průsečíkem grafů funkcí. Potom příkazem resRov2=x(B) získáme jeho x-ovou souřadnici a zároveň řešení dané rovnice. Na závěr opět doplníme příkaz Text["Grafický řešením dané rovnice 2x – 1 = x + 2 je x="+ resRov2]. Takto vypadá výsledný soubor:
Podobně jednoduché to asi bude i s kvadratickými rovnicemi? Jistě zkusme vyřešit rovnici x 2−5x+6=0 . Budeme postupovat podobně jako v minulých příkladech. Vytvoříme si funkci f levé strany rovnice f: y=x2 - 5x + 6 . Potom použijeme příkaz NuloveBody[x2 – 5x + 6]. Dojde k nalezení průsečíků s osouX A=(2,0) a B=(3,0). Víme, že jejich x-ové souřadnice představují kořeny dané kvadratické rovnice. Označíme je jako x1 a x2 a získáme je známým příkazem x_1=x(A) a x_2=x(B), které postupně zapíšeme do vstupního řádku. A. Vaše Algebraické okno by mělo vypadat následovně:
Získané hodnoty zapíšeme pomocí textového okna a příkazu: Text["Kořeny rovnice x^2 – 5x + 6 = 0 jsou čísla x_1 = "+ x_1 + " a x_2" +x_2]. Výsledný soubor v GeoGebře má tento vzhled:
Co se stane v případě, že kvadratická rovnice nemá žádné reálné kořeny? Například rovnice x2 + 1 = 0, žádný reálný kořen nemá. Kdybychom si při vykreslení grafu funkce „nevšimli“, že neprotíná osu X, pak by po vložení příkazu NuloveBody[x2 + 1] došlo k výpisu do Algebraického okna : A nedefinovaný. Tady je výpis Algebraického okna daného příkladu:
Kvadratická rovnice se může řešit rozkladem na součin lineárních výrazů. Může mi v tom GeoGebra pomoci? Může, pokud nechcete sestavovat výrazy rozkladu z NulovýchBodů, můžete v GeoGebře použít příkaz, který výrazy sám vytvoří. Příkaz má následující syntaxi Rozklad[
]. Například budeme řešit rovnici x2 – 4 = 0 pomocí rozkladu. Funkci levé strany označíme jako f a zadáme ji do Vstupního řádku f: y = x^ 2– 4. Graf funkce se vykreslí v Nákresně, vidíme i její nulové body, které se využívají pro vytvoření rozkladu a jsou jejími kořeny. Rozklad provedeme pomocí příkazu Rozklad[x^2 – 4]. V Algebraickém okně se vytvoří nová funkce g zapsaná jako součin lineárních výrazů s proměnnou x. Můžeme odečíst kořeny x1 = -2 a x2 = 2. Tady vidíte výpis souboru:
