KMA/GVS Geometrick´ e vidˇ en´ı svˇ eta (Design)
Analytick´ a metoda aneb Vyuˇzit´ı vektor˚ u v geometrii Pouˇ zit´ e znaˇ cky a symboly R, C, Z ~x x ∈ Rn ~o, o E2 , E3
obor re´ aln´ ych, komplexn´ıch, cel´ ych ˇc´ısel geometrick´ y vektor aritmetick´ y vektor (souˇradnicov´ y vektor) nulov´ y vektor eukleidovsk´ a rovina, eukleidovsk´ y prostor
A, B, C, . . . p, q, . . . %, σ, . . . α, β, . . . , ∠
body pˇr´ımky roviny u ´hel, odchylka
A ∈ p, A ∈ % p⊂% P ∈ p∩q p=%∩σ p k q, p k % p ⊥ q, p ⊥ % |XY |, |~x|, |x| |A, p|, |A, %|
bod A leˇz´ı na pˇr´ımce p, resp. v rovinˇe % pˇr´ımka p leˇz´ı v rovinˇe % bod P je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek p a q pˇr´ımka p je pr˚ useˇcnice rovin % a σ pˇr´ımka p je rovnobˇeˇzn´ a s pˇr´ımkou q, resp. s rovinou % pˇr´ımka p je kolm´ a na pˇr´ımku q, resp. na rovinu % velikost u ´seˇcky XY , velikost vektoru ~x, resp. x vzd´ alenost bodu A od pˇr´ımky p, resp. od roviny %
Vektor Voln´ y vektor reprezentujeme orientovanou u ´seˇckou, jeˇz vych´ az´ı z poˇca ´teˇcn´ıho bodu, jde do koncov´eho bodu a m˚ uˇze b´ yt pomoc´ı posunut´ı pˇrem´ıstˇena do libovoln´e jin´e polohy v prostoru (resp. v rovinˇe) – viz obr. 1. Pokud je poˇc´ ateˇcn´ı bod pevnˇe um´ıstˇen do poˇc´ atku soustavy souˇradnic, potom dan´ y v´ azan´ y vektor ~a naz´ yv´ ame polohov´ y vektor, resp. r´ adiusvektor (koncov´eho) bodu A. Bod i jeho r´adiusvektor maj´ı stejn´e souˇradnice popsan´e (aritmetick´ ym) souˇradnicov´ ym vektorem a = (a1 , a2 , a3 ) (pochopitelnˇe v rovinˇe m´ ame jen dvˇe souˇradnice (a1 , a2 )), pˇriˇcemˇz souˇradnice bodu se zpravidla zapisuj´ı A = [a1 , a2 , a3 ]. Souˇradnicemi voln´eho vektoru rozum´ıme souˇradnice pˇr´ısluˇsn´eho r´ adiusvektoru, kter´ y byl z´ısk´ an posunut´ım poˇc´ ateˇcn´ıho bodu do poˇc´ atku soustavy souˇradnic.
y
B ~u = B − A
~b
A ~a O Obr. 1: Voln´y vektor.
x
Obr. 2: Polohov´y vektor bodu.
−→
Uvaˇzujme vektor ~u =AB s poˇc´ ateˇcn´ım bodem A, koncov´ ym bodem B a odpov´ıdaj´ıc´ımi −→ ~ ~ r´ adiusvektory ~a a b. Jelikoˇz plat´ı ~a+ AB= b (viz sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u), pro souˇradnice vektoru ~u as opravˇ nuje ch´ apat vektor jako rozd´ıl bod˚ u, tj. ihned dost´ av´ ame (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ). To n´ −→
~u =AB= B − A. Nulov´ y vektor Nulov´ y vektor ~o je vektor, jehoˇz poˇc´ateˇcn´ı a koncov´ y bod spl´ yvaj´ı, tj. jakoˇzto r´ adiusvektor popisuje poˇc´ atek soustavy souˇradnic. Jeho souˇradnice jsou o = (0, 0, 0). Velikost vektoru Velikost vektoru ~a o souˇradnic´ıch (a1 , a2 , a3 ) lze s vyuˇzit´ım Pythagorovy vˇety vypoˇc´ıtat podle vztahu q |~a| = a21 + a22 + a23 . Vektor maj´ıc´ı velikost rovnu jedn´e se naz´ yv´ a jednotkov´ y vektor; pouze nulov´ y vektor ~o m´ a velikost rovnu nule. −→
Vzd´ alenost bod˚ u A, B (tj. d´elka u ´seˇcky AB) je rovna velikosti vektoru AB, tj. p −→ |AB| = | AB | = |B − A| = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 .
z
y
a2
p
a21 + a22 p |~a| = a21 + a22 + a23 d=
a3
p |~a| = a21 + a22
~a
~a O O
a1
a1
x x
Obr. 3: Velikost vektoru v E2 .
d
a2 y
Obr. 4: Velikost vektoru v E3 .
Z´ akladn´ı operace s vektory Souˇctem dvou vektor˚ u ~a a ~b rozum´ıme vektor ~c = ~a + ~b, jeˇz sestroj´ıme tak, ˇze poˇc´ ateˇcn´ı bod druh´eho vektoru um´ıst´ıme do koncov´eho bodu prvn´ıho vektoru (rovnobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo) – viz obr. 5. Pokud jsou d´ any souˇradnice obou vektor˚ u a = (a1 , a2 , a3 ) a b = (b1 , b2 , b3 ), potom plat´ı c = (c1 , c2 , c3 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ). N´ asobek vektoru ~a re´ aln´ ym ˇc´ıslem k je vektor k~a, jeˇz urˇc´ıme sestrojen´ım obrazu koncov´eho bodu vektoru ve stejnolehlosti se stˇredem v poˇc´ ateˇcn´ım bodˇe a koeficientem k – viz obr. 6. N´ asoben´ı z´ aporn´ ym ˇc´ıslem obrac´ı orientaci vektoru; speci´ alnˇe pro k = −1 z´ısk´ av´ ame tzv. opaˇcn´ y vektor −~a, pro nˇejˇz plat´ı ~a + (−~a) = ~o. S vyuˇzit´ım souˇradnic dost´ av´ ame ka = k(a1 , a2 , a3 ) = (ka1 , ka2 , ka3 ). D´ ale zˇrejmˇe plat´ı 0~a = ~o a 1~a = ~a. Jelikoˇz sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u a n´ asoben´ı vektoru ˇc´ıslem odpov´ıd´ a sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı v kaˇzd´e souˇradnici, ~ ~ potom plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vztahy: k(~a + b) = k~a + kb a (k + `)~a = k~a + `~a. Koline´ arn´ı, komplan´ arn´ı ~ Dva vektory ~a, b naz´ yv´ ame koline´ arn´ı, pokud je lze um´ıstit na jednu pˇr´ımku – neboli pr´ avˇe kdyˇz
~a
~b ~c ~a
~b
~b
~a ~c
~a 2~a
~c ~b
1 ~a 2
(−2)~a
~a
Obr. 5: Souˇcet vektor˚ u ~c = ~a + ~b.
(−1)~a
Obr. 6: N´asobek vektoru.
je jeden z nich n´ asobkem druh´eho, tj. plat´ı ~b = k~a. Pro k > 0 hovoˇr´ıme o souhlasnˇe koline´ arn´ıch vektorech, pro k < 0 o nesouhlasnˇe koline´ arn´ıch vektorech. Tˇri vektory ~a, ~b, ~c naz´ yv´ ame komplan´ arn´ı, pokud je lze um´ıstit do jedn´e roviny – neboli pr´avˇe kdyˇz lze jeden z nich (napˇr. ~c) vyj´ adˇrit jako line´ arn´ı kombinaci zb´ yvaj´ıc´ıch dvou, tj. ~c = k~a + `~b. Skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u Skal´ arn´ı souˇcin dvou vektor˚ u ~a a ~b se souˇradnicemi (a1 , a2 , a3 ) a (b1 , b2 , b3 ) je re´ aln´e ˇc´ıslo definovan´e vztahem ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . S vyuˇzit´ım maticov´eho n´ asoben´ı lze ~a · ~b zapsat b1 ~ ~a · b = (a1 , a2 , a3 ) · b2 = a> · b, b3 kde a, b jsou nyn´ı (tj. pro u ´ˇcely maticov´eho n´ asoben´ı) br´ any jako sloupcov´e vektory. Pokud vektory ~a a ~b maj´ı velikosti |~a| a |~b| a sv´ıraj´ı u ´hel ϕ ∈ h0◦ , 180◦ i, potom pro v´ ypoˇcet skal´ arn´ıho souˇcinu dost´ av´ ame vztah ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ. V´ yˇse uveden´ y vzorec se d´ a snadno pouˇz´ıt pro v´ ypoˇcet velikosti u ´hlu dvou nenulov´ ych vektor˚ u. Ortogon´ aln´ı (kolm´e ) vektory ~a, ~b (~a ⊥ ~b) sv´ıraj´ı u ´hel ϕ = 90◦ , tj. cos ϕ = 0, a proto jejich skal´ arn´ı souˇcin je roven nule. Vektorov´ y souˇ cin vektor˚ u Ve trojrozmˇern´em prostoru je definov´ an vektorov´ y souˇcin vektor˚ u ~a a ~b se souˇradnicemi (a1 , a2 , a3 ) a (b1 , b2 , b3 ) vztahem ~c = ~a × ~b =
~i ~j ~k a2 a3 ~ a a a a · i − 1 3 · ~j + 1 2 · ~k, a1 a2 a3 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b3
neboli
c = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ), kde ~i, ~j, ~k jsou jednotkov´e vektory leˇz´ıc´ı na os´ ach x, y, z, tj. vektory se souˇradnicemi (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Vektor ~c = ~a × ~b je kolm´ y na oba vektory ~a, ~b. Pokud jsou ~a, ~b koline´ arn´ı, potom ~a × ~b = ~o. Pro velikost vektorov´eho souˇcinu plat´ı |~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin ϕ.
~c = ~a × ~b
~b ϕ < 90◦ ~a ~b ◦
ϕ = 90◦
~b
~a
90 < ϕ < 180
~b
ϕ = 180◦
~a
~b
~a
◦
ϕ
~a ~ = ~b × ~a −c
Obr. 7: Odchylka vektor˚ u.
Obr. 8: Vektorov´y souˇcin.
Pˇ r´ımka −→ Pˇr´ımka p je jednoznaˇcnˇe urˇcena dvˇema r˚ uzn´ ymi body A a B. Vektor ~u =AB (a kaˇzd´ y jeho nenulov´ y n´ asobek) naz´ yv´ ame smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p. Pokud k bodu A pˇriˇcteme libovoln´ y t-n´ asobek vektoru ~u = B − A, dostaneme koncov´ y bod X = A + t~u = A + t(B − A), kter´ y rovnˇeˇz leˇz´ı na pˇr´ımce p. V´ yˇse uveden´e vyj´ adˇren´ı se naz´ yv´ a parametrick´ a rovnice pˇr´ımky p, kde t ∈ R je tzv. parametr. R˚ uzn´e hodnoty parametru d´ avaj´ı r˚ uzn´e body pˇr´ımky; napˇr. pro t = 0, resp. t = 1/2, resp. t = 1 dost´ av´ ame bod A, stˇred S u ´seˇcky AB, bod B. V´ yˇse uvedenou reprezentaci je moˇzn´e pouˇz´ıt jak v rovinˇe, tak v prostoru x = a1 + tu1 , y = a2 + tu2 ,
resp.
x = a1 + tu1 , y = a2 + tu2 , z = a3 + tu3 .
Speci´ alnˇe pro t = 0, resp. t 5 0, resp. 0 5 t 5 1 popisuj´ı v´ yˇse uveden´e rovnice polopˇr´ımku AB, resp. opaˇcnou polopˇr´ımku k polopˇr´ımce AB, resp. u ´seˇcku AB. V rovinˇe(!) lze pˇr´ımku popsat i neparametricky. Necht’ vektor ~n o souˇradnic´ıch (a, b) je vektor kolm´ y ke smˇerov´emu vektoru ~u o souˇradnic´ıch (u1 , u2 ); takov´ yto vektor se naz´ yv´ a norm´ alov´ y vektor pˇr´ımky – napˇr. m˚ uˇzeme volit (a, b) = (−u2 , u1 )). Je-li X libovoln´ y a A pevnˇe zvolen´ y bod pˇr´ımky p, potom plat´ı ~n · (X − A) = (a, b) · (x − a1 , y − a2 ) = 0. Po rozn´ asoben´ı a pˇreznaˇcen´ı c = −(aa1 + ba2 ) dost´ av´ ame obecnou rovnici pˇr´ımky v rovinˇe ve tvaru ax + by + c = 0, (a, b) = 6 (0, 0). Rovina Rovina % je jednoznaˇcnˇe urˇcena tˇremi nekoline´ arn´ımi body A, B a C, kter´e urˇcuj´ı dva nekoline´ arn´ı vektory ~u = B −A a ~v = C −A. Pokud k bodu A pˇriˇcteme libovolnou line´ arn´ı kombinaci vektor˚ u ~u, ~v , dostaneme koncov´ y bod X = A + t~u + r~v = A + t(B − A) + r(C − A),
y
t50 p
~n = ~u × ~v
05t51
A ~u
t=1
B X O
~u A x
Obr. 9: Smˇerov´y vektor pˇr´ımky.
%
B
X
~v C
Obr. 10: Norm´alov´y vektor roviny.
kter´ y rovnˇeˇz leˇz´ı v rovinˇe %. V´ yˇse uveden´e vyj´ adˇren´ı se naz´ yv´ a parametrick´ a rovnice roviny % s parametry t, r ∈ R. R˚ uzn´e dvojice hodnot parametr˚ u (t, r) d´ avaj´ı r˚ uzn´e body roviny; napˇr. pro (0, 0), resp. (1, 0, resp. (0, 1) dost´ av´ ame bod A, resp. bod B, resp. bod C. Rozeps´ an´ım do souˇradnic dost´ av´ ame x = a1 + tu1 + rv1 , y = a2 + tu2 + rv2 , z = a3 + tu3 + rv3 . Norm´ alov´ y vektor roviny, tj. vektor kolm´ y ke vˇsem vektor˚ um roviny %, spoˇc´ıt´ ame jakoˇzto vektorov´ y souˇcin ~n = ~u × ~v . Kaˇzd´ a pˇr´ımka se smˇerov´ ym vektorem k~n, k 6= 0 (tj. kolm´ a na rovinu) se naz´ yv´ a norm´ ala roviny %. Je-li X libovoln´ y a A pevnˇe zvolen´ y bod roviny %, potom plat´ı ~n · (X − A) = (a, b, c) · (x − a1 , y − a2 , z − a3 ) = 0. av´ ame obecnou rovnici roviny v prostoru Po rozn´ asoben´ı a pˇreznaˇcen´ı d = −(aa1 +ba2 +ca3 ) dost´ ve tvaru ax + by + cz + d = 0, (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Vz´ ajemn´ a poloha pˇ r´ımek a rovin V rovinˇe mohou b´ yt pˇr´ımky bud’to rovnobˇeˇzn´e (r˚ uzn´e, popˇr. spl´ yvaj´ıc´ı), anebo r˚ uznobˇeˇzn´e (prot´ınaj´ıc´ı se ve spoleˇcn´em bodˇe, tzv. pr˚ useˇc´ıku). V trojrozmˇern´em prostoru nav´ıc pˇrib´ yv´ a situace, kdy jsou pˇr´ımky mimobˇeˇzn´e – nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a neleˇz´ı v jedn´e rovinˇe. Pˇr´ımka a rovina v prostoru mohou b´ yt incidentn´ı (pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe), rovnobˇeˇzn´e, popˇr. r˚ uznobˇeˇzn´e (prot´ınaj´ıc´ı se ve spoleˇcn´em bodˇe, tzv. pr˚ useˇc´ıku). Dvˇe roviny v prostoru jsou bud’to rovnobˇeˇzn´e (r˚ uzn´e, popˇr. spl´ yvaj´ıc´ı), anebo r˚ uznobˇeˇzn´e (prot´ınaj´ıc´ı se ve spoleˇcn´e pˇr´ımce, tzv. pr˚ useˇcnici). Vz´ ajemnou polohu dvou (nebo v´ıce) geometrick´ ych u ´tvar˚ u urˇcujeme ˇreˇsen´ım soustavy jejich rovnic – pro pˇr´ımky a roviny jde o rovnice line´ arn´ı. Kolmost pˇ r´ımek a rovin Dvˇe pˇr´ımky p, q jsou kolm´e (ortogon´ aln´ı), pokud jsou jejich smˇerov´e vektory (v rovinˇe i norm´ alov´e vektory) ortogon´ aln´ı. V trojrozmˇern´em prostoru je tedy definov´ ana i kolmost dvou mimobˇeˇzek! Pˇr´ımka p a rovina % jsou kolm´e, jsou-li smˇerov´ y vektor pˇr´ımky a norm´ alov´ y vektor roviny koline´ arn´ı. Pˇr´ımka se potom naz´ yv´ a norm´ ala roviny a rovina se naz´ yv´ a norm´ alov´ a rovina pˇr´ımky. Dvˇe roviny %, σ jsou kolm´e (ortogon´ aln´ı), pokud jsou jejich norm´ alov´e vektory ortogon´ aln´ı.
q
A k
P % p Obr. 11: Vzd´alenost dvou mimobˇeˇzek.
Obr. 12: Vzd´alenost bodu od roviny.
Vzd´ alenosti Vzd´ alenost dvou libovoln´ ych geometrick´ ych u ´tvar˚ u U, V definujeme |U, V| = min |XY | : X ∈ U, Y ∈ V . Pokud maj´ı geometrick´e u ´tvary nepr´ azdn´ y pr˚ unik, je tedy jejich vzd´ alenost 0. Je-li jedn´ım z u ´tvar˚ u bod A a druh´ ym pˇr´ımka p, resp. rovina % , potom se u ´loha pˇrev´ ad´ı na vzd´ alenost dan´eho bodu A a jeho ortogon´ aln´ıho pr˚ umˇetu do pˇr´ımky p, popˇr. do roviny %, jenˇz se urˇc´ı pomoc´ı norm´ alov´e roviny σ pˇr´ımky p (A ∈ σ, σ ⊥ p), resp. pomoc´ı norm´ aly k roviny % (A ∈ k, k ⊥ %). Odchylky Narozd´ıl od odchylky dvou vektor˚ u ϕ ∈ h0◦ , 180◦ i, je odchylka dvou geometrick´ ych u ´tvar˚ u defi◦ ◦ novan´ a α ∈ h0 , 90 i. Pˇri vyuˇzit´ı odchylky vektor˚ u tedy mus´ıme vˇzdy uvaˇzovat α = min ϕ, 180◦ − ϕ . Poˇc´ıt´ ame-li odchylku pˇr´ımek p, q, urˇc´ıme ϕ jakoˇzto odchylku jejich smˇerov´ ych vektor˚ u. V trojrozmˇern´em prostoru je tedy definov´ ana odchylka i pro dvˇe mimobˇeˇzky! Odchylka dvou rovin %, σ je rovna odchylce jejich norm´ al. Odchylku pˇr´ımky p od roviny % urˇc´ıme jakoˇzto doplnˇek (do prav´eho u ´hlu) odchylky dan´e pˇr´ımky a norm´ aly dan´e roviny.
q ~v α=ϕ ~u p
n
90◦ −α
p
α q α ~v ϕ ~u
% p
Obr. 13: Odchylka dvou pˇr´ımek.
Obr. 14: Odchylka pˇr´ımky a roviny.
