2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16

Obsah 1 Derivace

3

2 Integr´ aly 7 2.1 Neurˇcité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Urˇcité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Aplikace v geometrii a fyzice . . . . . . . . . . . . 16 3 Diferenci´ aln´ı rovnice 3.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Diferenciáln´ı rovnice 1. ˇra´du . . . . . . . . . . . . 3.3 Metody ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic 1. ˇrádu . . . 3.3.1 Ortogonáln´ı systémy integráln´ıch kˇrivek. . 3.4 Lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇra´du . . . . . . . 3.5 Lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n-tého ˇra´du . . . . . 3.6 Metody ˇreˇsen´ı rovnic n-tého ˇra´du . . . . . . . . . 3.6.1 Homogenn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Nehomogenn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Fyzikáln´ı aplikace . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Okrajové u ´lohy pro rovnice 2. ˇrádu . . . . . . . . 3.8 Soustavy lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic 1. ˇrádu 3.9 Metody ˇreˇsen´ı soustavy diferenciáln´ıch rovnic . .

18 18 18 20 23 24 26 28 28 32 34 35 38 39

4 Posloupnosti a ˇ rady funkc´ı 4.1 Posloupnosti funkc´ı . . . . . . . . 4.2 Funkˇcn´ı ˇrady . . . . . . . . . . . 4.3 Mocninné ˇrady . . . . . . . . . . 4.4 Trigonometrické Fourierovy ˇrady

48 48 51 52 57

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2

5 Skal´ arn´ı funkce v´ıce re´ aln´ ych promˇ enn´ ych n 5.1 Prostor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Základn´ı vlastnosti funkc´ı v Rn . . . . . . 5.3 Derivace a diferenciál . . . . . . . . . . . . 5.4 Vlastnosti diferencovateln´ ych funkc´ı . . . .

Matematická anal´ yza 1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

59 59 62 66 69


1

3

Derivace Pˇr´ıklad 1.1 : Máme auto, jehoˇz ujetá dráha je popsána funkc´ı s(t) . Chceme-li spoˇc´ıtat jeho pr˚ umˇernou rychlost v s(t)−s(t0 ) v ˇcasovém intervalu ht0 , ti, pak v = t−t0 . Rozd´ıl ∆t = t−t0 se naz´ yvá diference argumentu, rozd´ıl ∆s(t0 , ∆t) = s(t) − s(t0 ) se naz´ yvá diference funkce s s(t)−s(t0 ) yvá pomˇ ern´ a diference v bodˇe t0 a pod´ıl t−t0 se naz´ funkce s v bodˇe t0 . K v´ ypoˇctu okamˇzité rychlosti v0 auta v ˇcase t0 potˇrebujeme s(t)−s(t0 ) t−t0 t→t0

znát hodnotu limity v0 = lim

V 17.stolet´ı se matematici pokouˇseli vyˇreˇsit tzv. ”Problém teˇcny”- nalezen´ı teˇcny ke grafu funkce a ”Problém plochy”spoˇc´ıtat obsah plochy pod grafem funkce. Na u ´spˇeˇsném vyˇreˇsen´ı tˇechto problém˚ u se nezávisle na sobˇe pod´ıleli Isaac Newton (1643-1727)

.

Definice 1.1 : (derivace) Necht’ funkce f je definována na okol´ı bodu U (x0 ). Jestliˇze existuje limita f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) (= f 0 |x0 ) , x→x0 x − x0 lim

pak se naz´ yvá derivace funkce f v bodˇe x0 . (Jestliˇze f (x)−f (x0 ) lim x−x0 = ±∞, pak hovoˇr´ıme o nevlastn´ı derivaci.) x→x0

f (x)−f (x0 ) x−x0

yvá = f+0 (x0 ) , pak se naz´

f (x)−f (x0 ) x−x0 x→x0 −

= f−0 (x0 ) , pak se naz´ yvá

Jestliˇze existuje lim

x→x0 +

derivace zprava. Jestliˇze existuje lim

a Gottfried Wilhelm von Leibniz (16461716). Dalˇs´ı rozvoj v této oblasti vedl k z´ıskán´ı velkého mnoˇzstv´ı matematick´ ych poznatk˚ u, které naz´ yváme ”kalkulus”.

derivace zleva funkce f v bodˇe x0 . Funkce f 0 : x → f 0 (x) , x ∈ I se naz´ yvá derivace funkce f na mnoˇzinˇe I. f (x) = |x| y 6

Pˇr´ıklad 1.2 : Vypoˇc´ıtáme derivaci funkce f (x) = xn , n ∈ N, (x0 ) xn −xn0 x ∈ R . Dostaneme f 0 (x0 ) = lim f (x)−f = lim = x−x0 x→x0 x→x0 x−x0 n−1 n−2 x0 + ··· +xn−1 ) 0 lim (x−x0 )(x +x = nxn−1 ⇒ (xn )0 = nxn−1 . 0 x−x 0 x→x 0

@ @

f (x)

@ @

f (x) − f (x0 )

@ x0

| {z } x x − x0

-

x

4


Definice 1.2 : Necht’ k funkci f : U (x0 ) → R existuj´ı konstanta A a funkce ω : U (x0 ) → R takové, ˇze ∀ x ∈ U (x0 ) : ω(x−x0 ) x→x0 x−x0

f (x) − f (x0 ) = A · (x − x0 ) + ω(x−x0 ) ∧ lim

= 0,

pak ˇrekneme, ˇze funkce f je diferencovateln´ a v bodˇe x0 . Poloˇz´ıme h = x − x0 . Funkce df (x0 , h) = A · h se naz´ yvá diferenci´ al funkce f v bodˇe x0 .

Vˇ eta 1.1 : Funkce f má derivaci v bodˇe x0 (je derivovatelná v x0 ) právˇe tehdy, kdyˇz je diferencovatelná v bodˇe x0 . Nav´ıc plat´ı df (x0 , h) = f 0 (x0 ) · h .

Pozn´ amka 1.1 : diferenciál funkce f y

1. Pro funkci f (x) = x je f (x)−f (x0 ) = 1(x−x0 )+0 = h. Tedy f 0 (x) = 1 a df (x0 , h) = dx(x0 , h) = h , proto se pro diferenciál funkce f v bodˇe x0 zavád´ı znaˇcen´ı

ω(h) f 0 (x0 )h

df (x0 , h) = f 0 (x0 ) dx .

h 0 x0

x

x

2. Diferenciál funkce f urˇcuje hlavn´ı (lineárn´ı) zmˇenu funkce f v bodˇe x0 a pouˇz´ıvá se pro v´ ypoˇcet pˇribliˇzn´ ych hodnot dané funkce na okol´ı bodu x0 pomoc´ı vztahu . f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) . √ Napˇr´ıklad pro funkci f (x) √= x a body x = 4,1 , √ . x0 = 4 dostaneme 4,1 = 4 + 2√1 4 · (4,1 − 4) = 2,025 . 3. Rovnice teˇ cny ke grafu funkce f v bodˇe [x0 , f (x0 )] má tvar y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) . 4. Pokud f 0 (x0 ) 6= 0, pak rovnice norm´ aly ke grafu funkce f v bodˇe [x0 , f (x0 )] má tvar y − f (x0 ) = −

1 (x − x0 ) . f 0 (x0 )


5

Vˇ eta 1.2 : (algebra derivac´ı) Necht’ existuj´ı derivace f 0 (x0 ) , g 0 (x0 ) , pak plat´ı: i) (a f ± b g)0 (x0 ) = a f 0 (x0 ) ± b g 0 (x0 ) ,

a, b ∈ R ,

ii) (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ) , f 0 f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 ) iii) , g(x0 ) 6= 0 . (x0 ) = g g 2 (x0 ) Vˇ eta 1.3 : (Derivace sloˇzené a inverzn´ı funkce) Necht’ funkce f je diferencovatelná v bodˇe x0 , y0 = f (x0 ) a funkce g je diferencovatelná v bodˇe y0 , potom i sloˇzená funkce g(f (x)) je diferencovatelná v bodˇe x0 a plat´ı (g(f (x)))0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ) . Necht’ f 0 (x0 ) 6= 0 , pak pro derivaci inverzn´ı funkce f −1 v bodˇe y0 = f (x0 ) plat´ı (f −1 )0 (y0 ) =

((2x + 1) cos x ex )0 = 2 cos x ex + (2x + 1) (cos x ex )0 = 2 cos x ex +(2x+1)(− sin x) ex + (2x + 1) cos x ex . 0 sin x 0 (tg x) = cos x = cos x cos x−sin x(− sin x) cos2 x 1 ⇒ cos2 x

(tg x)0 =

1 cos2 x

=

.

1 1 = . f 0 (x0 ) f 0 (f −1 (y0 )) Derivace inverzní funkce

Pˇr´ıklad 1.3 :

y

1. (ax )0 = (ex ln a )0 = (y = x ln a) = (ey )0 · (x ln a)0 = ex ln a · ln a ⇒ (ax )0 = ax ln a . 0

2. (arctg y) (y0 ) = =

1 1+tan2 (x0 )

=

(arctg x)0 =

1 (tan x)0 (x0 )

=

1 1+tan2 (arctan(y0 ))

1 1+x2

1 1 cos2 (x0 )

=

=

1 cos2 (x0 )+sin2 (x0 ) cos2 (x0 )

1 1+(y0 )2

⇒

f −1 (x)

y0

= f (x) 0

x

x0

. Napˇr´ıklad 1 = (x)0 = (eln x )0 = eln x ·(ln x)0 = x · (ln x)0 ⇒ (ln x)0 =

1 x

.

6


Tabulka 1: Pˇrehled derivac´ı základn´ıch funkc´ı (ex )0 = ex

x∈R

(ax )0 = ax ln a

a > 0, a 6= 1, x ∈ R

(ln x)0 =

x ∈ (0, ∞)

1 x

(loga x)0 =

1 x ln a

a > 0, a 6= 1, x ∈ (0, ∞)

(xα )0 = α xα−1

α ∈ R, x ∈ (0, ∞)

(xn )0 = n xn−1

n ∈ N, x ∈ R

(sin x)0 = cos x

x∈R

(cos x)0 = − sin x

x∈R

(tg x)0 =

x 6= (2k + 1) π2 , k ∈ Z

1 cos2 x

(cotg x)0 = − sin12 x

x 6= kπ, k ∈ Z

(arcsin x)0 =

x ∈ (−1, 1)

√ 1 1−x2

1 (arccos x)0 = − √1−x 2

x ∈ (−1, 1)

(arctg x)0 =

x∈R

1 1+x2

1 (arccotg x)0 = − 1+x 2

x∈R

(sinh x)0 = cosh x

x∈R

(cosh x)0 = sinh x

x∈R

(tgh x)0 =

x∈R

1 cosh2 x

(cotgh x)0 = − sinh12 x

x 6= 0

(argsinh x)0 =

√ 1 x2 +1

x∈R

(argcosh x)0 =

√ 1 x2 −1

x ∈ (1, ∞)

(argtgh x)0 =

1 1−x2

(argcotgh x)0 =

1 1−x2

x ∈ (−1, 1) x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)


2

7

Integr´ aly

2.1

Neurˇ cit´ e integr´ aly

Uˇz v´ıme, ˇze derivace s0 (t) funkce s(t) popisuj´ıc´ı ujetou vzdálenost auta v závislosti na ˇcase t udává jeho rychlost v(t). V této kapitole budeme ˇreˇsit opaˇcn´ y problém. K dané rychlosti budeme hledat ujetou vzdálenost. Definice 2.1 : Funkce F se naz´ yvá primitivn´ı funkce k funkci f na mnoˇzinˇe M , jestliˇze ∀ x ∈ M : F 0 (x) = f (x) . Definice 2.2 : Mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci f se naz´ yvá neurˇ cit´ y integr´ al funkce f a znaˇc´ı se Z f (x) dx = F (x) + C , C ∈ R .

Necht’ G, F jsou primitivn´ı funkce k funkci f na mnoˇzinˇe M , pak ∀ x ∈ M plat´ı: (G − F )0 (x) = f (x) − f (x) = 0 . Odtud vypl´ yvá, ˇze existuje konstanta C ∈ R taková, ˇze G(x) − F (x) = C .

Konstanta C se naz´ yvá integraˇcn´ı konstanta. Pˇr´ıklad 2.1 : 1. Funkce s(t) popisuj´ıc´ı dráhu auta je primitivn´ı funkc´ı k funkci v(t) popisuj´ıc´ı rychlost auta. 2. Funkce x3 + 2 , x3 − 23 jsou primitivn´ı k funkci 2 3x y integrál k funkci 3x2 plat´ı R 2na R a3 pro neurˇcit´ 3x dx = x + C , C ∈ R . ´ Uloha naj´ıt primitivn´ı funkci je obrácená k u ´loze nalézt derivaci dané funkce. Z linearity operace derivován´ı (vˇeta (1.2) i)) plyne i linearita neurˇcitého integrálu. Vˇ eta 2.1 : Necht’ funkce f, g maj´ı primitivn´ı funkce na intervalu I , α, β ∈ R , potom plat´ı Z Z Z [α · f (x) ± β · g(x)] dx = α f (x) dx ± β g(x) dx . R x R R Pˇr´ıklad 2.2 : 3 e − 2 sin x dx = 3 ex dx − 2 sin x dx = 3 ex + 2 cos x + C . Ze znalosti derivac´ı základn´ıch funkc´ı lze odvodit následuj´ıc´ı primitivn´ı funkce.

Znak integrálu Z

f (x) dx

Integrand Integrální proměnná

8


Tabulka 2: Základn´ı primitivn´ı funkce R

ex dx = ex + C

R

ax dx =

ax ln a

R

xn dx =

xn+1 n+1

R

1 x

R

xα dx =

R

sin x dx = − cos x + C

x∈R

R

cos x dx = sin x + C

x∈R

R

1 cos2 x

dx = tg x + C

x 6= (2k + 1) π2 , k ∈ Z

R

1 sin2 x

dx = −cotg x + C

x 6= kπ, k ∈ Z

R

√ 1 1−x2

R

1 1+x2

R

cosh x dx = sinh x + C

x∈R

R

sinh x dx = cosh x + C

x∈R

R

1 cosh2 x

dx = tgh x + C

x∈R

R

1 sinh2 x

dx = −cotgh x + C

x 6= 0

R

√ 1 1+x2

dx = argsinh x + C = ln | x +

R

√ 1 x2 −1

dx = argcosh | x | +C = ln | x +

R

1 1−x2

dx = argtgh x + C

x ∈ (−1, 1)

R

1 1−x2

dx = argcotgh x + C

x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

x∈R a > 0, a 6= 1, x ∈ R

+C

n ∈ N, x ∈ R

+C

dx = ln | x | +C xα+1 α+1

x ∈ R \ {0} α 6= −1, x ∈ (0, ∞)

+C

dx = arcsin x + C = − arccos x + C

dx = arctg x + C = −arccotg x + C

√ 1 + x2 | +C √ x2 − 1 | +C

x ∈ (−1, 1) x∈R

x∈R | x | ∈ (1, ∞)


9

Ze vztahu pro derivaci souˇcinu dvou funkc´ı (vˇeta (1.2) ii)) plyne následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 2.2 : (integrace per partes) Necht’ funkce u, v jsou derivovatelné na intervalu I a existuje primitivn´ı funkce k souˇcinu u · v 0 na I, pak na I plat´ı Z Z 0 u (x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x) · v 0 (x) dx .

Pˇr´ıklad 2.3 : R 1) Vypoˇctˇete integrál x cos x dx . 0 R R u = cos x v = x x cos x dx = = x sin x− sin x dx = u = sin x v 0 = 1 x sin x + cos x + C . R 2) Vypoˇctˇete integrál loga x dx . 0 R R u = 1 v = loga x loga x dx = = x loga x− 1 0 u = x v = x ln a x x loga x − ln a + C . R 1 3) Vypoˇctˇete integrál (1+x 2 )2 dx .

x x ln a

dx =

R Obecnˇe oznaˇc´ıme In = (1+x1 2 )n dx , n ∈ N a pomoc´ı metody ”per partes”dostaneme " # 1 0 R u = 1 v = (1+x2 )n In = (1+x1 2 )n dx = = (1+xx 2 )n − −n 2x 0 u = x v = (1+x2 )n+1 R x(−n 2x) R 1+x2 −1 x x dx = + 2n 2 n+1 2 n (1+x ) (1+x ) (1+x2 )n+1 dx = (1+x2 )n + R 2n ( (1+x1 2 )n − (1+x12 )n+1 dx) = (1+xx 2 )n + 2n (In − In+1 ) . Odtud vypl´ yvá In+1 = R Nyn´ı vypoˇc´ıtáme R 1 x + (2 − 1) 2 1 2 (1+x )

1 2n

1 (1+x2 )2

x (1+x2 )n

Podobnˇe poˇc´ıtáme integrály funkc´ı xn cos kx , xn sin kx , xn ekx , k, n ∈ N .

+ (2n − 1)In .

dx = (n = 1) 1 1 x 1+x2 dx = 2 1+x2 + arctan x + C .

Podobnˇe poˇc´ıtáme integrály funkc´ı arcsin ax , arccos ax , arctg ax , a ∈ R ap.

10


Vˇ eta 2.3 : (integrace substituc´ı) Necht’ f : D(f ) → H(f ) , g : D(g) → H(g) a H(f ) ⊂ D(g) . Jestliˇze funkce f je derivovatelná na D(f ) a existuje primitivn´ı funkce G k funkci g na D(g) , potom na D(f ) plat´ı Z Z g(f (x)) · f 0 (x) dx = g(y) dy = G(f (x)) + C , C ∈ R . Typick´ ymi integrály, které lze spoˇc´ıtat pomoc´ı vˇety o substituci jsou Z Z ln x dx ; tg x dx ; x Z arcsin x √ dx ; 1 − x2 Z argsinh x √ dx ap. 1 + x2

Racionáln´ı lomené funkce maj´ı tvar P (x) R(x) = , Q(x) kde P (x), Q(x) jsou polynomy.

Pˇr´ıklad 2.4 : Vˇetu 2.3 je vhodné pouˇz´ıt v pˇr´ıkladech, kdy se v integrálu vyskytuje funkce f a jej´ı diferenciál f 0 dx, pak provedeme substituci za funkci f . y = sin x R R cos x R cotg x dx = sin x dx = = y1 dx = dy = cos x dx ln |y| + C = ln | sin x| + C . Obrácenˇe je nˇekdy v´ yhodné promˇennou x nahradit funkc´ı x(t). V tomto pˇr´ıpadˇe vˇsak mus´ıme m´ıt zaruˇcenou existenci inverzn´ı funkce x−1 (t). R 1 x = cos t t ∈ (0, π) √ dx = = 1−x2 dx = − sin t dt t = arccos x pro t ∈ (0, π) R sin t R 1 √ = (− sin t) dt = − | sin t| dt = 1−cos2 t je sin t > 0 R −1 dt = − t + C = − arccos x + C .

Integr´ aly typu

R

R(x) dx

Nejdˇr´ıve budeme integrovat základn´ı racionáln´ı funkce typu R A 1. x−x dx , kde A, x1 ∈ R . 1 u=x−4 R −3 R 1 dx = = −3 x−4 u du = −3 ln |x − 4| + C . du = dx R A 2. (x−x kde A, x1 ∈ R, k ∈ N \ {1} . k dx , 1) R 2 R 1 u=1−x u−2 dx = = 2 = 3 (−du) = −2 −2 (1−x)3 u du = −dx 1 (1−x)2 + C . R 3. x2Ax+B kde A , B , p , q ∈ R a jmenovatel +px+q dx , zlomku má komplexn´ı koˇreny. u = x2 + 2x + 2 R 2x+1 R 2x+2−1 = x2 +2x+2 dx = x2 +2x+2 dx = du = (2x + 2)dx


11

v = x+1 R R 1 du− (x+1)2 +1 dx = = ln |u|+C− v21+1 dv = dv = dx 2 ln |x + 2x + 2| − arctg (x + 1) + C . R 4. (x2Ax+B dx , kde A, B, p, q ∈ R, k ∈ N \ {1} a jme+px+q)k novatel zlomku má komplexn´ı koˇreny. u = x2 + 4 R 2x−1 R 6x−3 = (x2 +4)2 dx = 3 (x2 +4)2 dx = du = 2x dx v=x R 1 R 1 2 3 u2 du − 3 = 2 dx = 2dv = dx 16(( x2 )2 +1) R 1 −1 3 u−1 + C − 38 (v2 +1) r´ıklad (2.1) 3) = −3 x21+4 − 2 dv = (viz pˇ 3 1 v −3 3 2x x 8 2 ( v 2 +1 + arctg v) + C = x2 +4 − 16 ( x2 +4 + arctg 2 ) + C . R

1 u

Rozklad na parci´ aln´ı zlomky Z algebry v´ıme, ˇze polynom Q(x) lze rozloˇzit na souˇcin polynom˚ u nejv´ yˇse druhého stupnˇe. Tedy Q (x−xi )ki (x2 +pj x+qj )rj , ki , rj ∈ N, pj , qj ∈ R . Q(x) = i=1,...,n j=1,...,m

P (x) , kde P (x), Q(x) jsou Racionáln´ı lomenou funkci R(x) = Q(x) polynomy a stupeˇ n P (x) < stupeˇ n Q(x) rozloˇz´ıme na souˇcet základn´ıch racionáln´ıch funkc´ı: n m B x+C P P B2j x+C2j A1i A2i Aki 1j 1j R(x) = + +· · ·+ + x−xi (x−xi )2 x2 +pj x+qj + (x2 +pj x+qj )2 + (x−xi )ki

··· +

i=1 Brj x+Crj (x2 +pj x+qj )rj

j=1

a jednotlivé zlomky integrujeme zvláˇst’, napˇr´ıklad: R R R A 2x+2 2x+2 B Cx+D dx = dx = 4 3 2 2 2 x −2x +2x −2x+1 (x−1) (x +1) x−1 + (x−1)2 + x2 +1 dx R R −1 2 2 +1)+(Cx+D)(x−1)2 2 x−1 = A(x−1)(x +1)+B(x dx = (x−1)2 (x2 +1) x−1 + (x−1)2 + x2 +1 dx = − ln |x − 1| − 2(x − 1)−1 + 21 ln |x2 + 1| − arctg x + C . Konstanty A, B, C, D vypoˇc´ıtáme z rovnosti 2x + 2 = A(x − 1)(x2 + 1) + B(x2 + 1) + (Cx + D)(x − 1)2 . Pro x = 1 je 4 = B 2 ⇒ B = 2 . Pro x = i je 2i + 2 = (Ci + D)(i − 1)2 ⇒ 2i + 2 = 2C − 2iD ⇒ C = 1 , D = −1 . Pro x = 0 je 2 = A(−1) + 2 − 1 ⇒ A = −1 .

Rozklad na parciáln´ı zlomky je inverzn´ı operace k operaci hledán´ı spoleˇcného jmenovatele. V pˇr´ıpadˇe, kdy stupeˇ n P (x) ≥ stupeˇ n Q(x), nejdˇr´ıve vydˇel´ıme polynom P (x) polynomem Q(x) a pak pˇrejdeme k parciáln´ım zlomk˚ um.

12

Základn´ı vztahy pro goniometrické funkce cos2 x + sin2 x = 1 cos 2x = cos2 x−sin2 x 2x cos2 x = 1+cos 2 2x sin2 x = 1−cos 2 sin 2x = 2 sin x cos x .

sin2

t = tg x ⇒ t2 = cos2 xx ⇒ t2 cos2 x = 1−cos2 x ⇒ cos2 x(t2 + 1) = 1 ⇒ 1 cos2 x = 1+t 2 .


R ˇ s´ıme pˇrechodem k raIntegr´ aly typu R(sin x, cos x) dx Reˇ cionáln´ım lomen´ ym funkc´ım pomoc´ı následuj´ıc´ıch substituc´ı. 1. Pokud R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), pak t = cos x . Pokud R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), pak t = sin x . t = cos x R R 3 2 sin x cos x dx = = −t2 dt = − t3 + dt = − sin x dx 3 C = − cos3 x + C . t = sin x R 1 R 1 dt t ∈ h−1, 1i dx = = cos x cos x cos x = dt = cos x dx R dt R dt = 2 1−t2 = argtgh t + C = argtgh (sin x) + C . 1−sin x 2. Pokud R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) , pak t = tg x , x 6= (2k+1)π , k ∈ Z a plat´ı 2 2

2 dt t 1 2 x = arctg t , dx = 1+t 2 , sin x = 1+t2 , cos x = 1+t2 . R 1+t1 2 R R 1 R 1+t1 2 √ 1 dt = dt = dx = 2 2 +1+t2 dt = 2 t t sin x+1 ( 2t)2 +1 +1 2 2 1+t 1+t u = √2 t √ R √ = √12 u2du+1 = √12 arctg ( 2 tg x) + C. du = 2 dt

V nˇekter´ ych speciáln´ıch pˇr´ıpadech je vhodné pouˇz´ıt základn´ı vztahy pro goniometrické funkce. R 1 R sin2 x+cos2 x R 1 dx = dx = + sin12 x cotg 2 x dx = sin4 x sin4 x sin2 x u = cotg x R 3 = −cotg x− u2 du = −cotg x− cotg3 x +C. 1 du = − sin2 x dx Metoda sniˇzován´ı stupnˇe. R R R 2x 1 cos2 x dx = 1+cos dx = 2 2 [1 + cos 2x] dx u = 2x R = = 21 (x + 12 cos u du) = 12 x + 14 sin 2x + C . du = 2 dx 3. V obecném pˇr´ıpadˇe pouˇz´ıváme univerzáln´ı substituci t = tg x2 ,

x 6= (2k + 1)π , k ∈ Z . Potom 2

2 dt 2t 1−t x = 2 arctg t , dx = 1+t 2 , sin x = 1+t2 , cos x = 1+t2 . 2 dt R 1 R 1+t R dt R 2 dt dx = dx = = = 2t 2+sin x t2 +t+1 2+ (t+ 1 )2 + 3 1+t2

2

4

u=t+ 1 R v = √2 u R du du 3 2 = u2 + 3 = 3 2 2 = = √2 du √ u) +1) ( ( du = dt dv = 4 4 3 3 √ 3 R dv 4 x 2 √2 √2 √2 √1 3 v 2 +1 = 3 arctg v + C = 3 arctg ( 3 tg 2 + 3 ) + C .


2.2

13

Urˇ cit´ e integr´ aly

Definice 2.3 : Necht’ k funkci f : ha, bi → R existuje primitivn´ı funkce F : ha, bi → R (v krajn´ıch bodech uvaˇzujeme jednostranné derivace). Pak rozd´ıl F (b) − F (a) naz´ yváme Newtonov´ ym urˇ cit´ ym integr´ alem funkce f na intervalu ha, bi a p´ıˇseme Zb F (b) − F (a) =

f (x) dx . a

Uveden´ y vztah se naz´ yvá Newtonova-Leibnizova formule Rb b a také p´ıˇseme F (b) − F (a) = [F (x)]a = f . a

ˇ ıslo a se naz´ C´ yvá doln´ı mez, ˇc´ıslo b se naz´ yvá horn´ı mez Newtonova integrálu. Mnoˇzinu vˇsech funkc´ı, které maj´ı Newton˚ uv integrál na intervalu ha, bi znaˇc´ıme N (ha, bi) . Vˇ eta 2.4 : (vlastnosti Newtonova integrálu) 1) Newton˚ uv integrál nezávis´ı na volbˇe primitivn´ı funkce. 2) Necht’ f ∈ N (ha, bi) , c ∈ ha, bi , pak plat´ı Rb Ra Ra f (x) dx = − f (x) dx , f (x) dx = 0 , a Rb

a

b

f (x) dx =

a

Rc

f (x) dx +

a

Rb

f (x) dx .

c

3) Necht’ f, g ∈ N (ha, bi) , α, β ∈ R , pak plat´ı Rb Rb Rb αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx . a

a

a

(Tedy mnoˇzina N (ha, bi) je lineárn´ı prostor.) Pˇr´ıklad 2.5 : R2 2x dx = [x2 + C]20 = [x2 ]20 = 4 . 0

Rπ

Rπ

R0

0

π

[3 cos x − 2 sin x] dx = 3 cos x dx + 2 sin x dx =

0

3 [sin x]π0

+

2 [− cos x]0π

= 3 (0 − 0) − 2 (1 − (−1)) = −4 .

Pro jednoduchost si nyn´ı pˇredstav´ıme, ˇze rychlost naˇseho auta je konstantn´ı v(t) = c . Ujetá dráha auta s(t) v ˇcase t od poˇca´tku mˇeˇren´ı v ˇcase t0 je pak dána vztahem s(t)−s(t0 ) = c·(t−t0 ) . Rozd´ıl s(t) − s(t0 ) se zároveˇ n rovná ploˇse pod grafem funkce v na intervalu ht0 , ti . Pˇripomeˇ nme, ˇze funkce s(t) je primitivn´ı k funkci v(t). Plat´ı, ˇze i v obecnˇejˇs´ım pˇr´ıpadˇe lze primitivn´ı funkci vyuˇz´ıt k v´ ypoˇctu plochy pod grafem funkce.

14


Následuj´ıc´ı dvˇe vˇety vypl´ yvaj´ı z vˇet (2.2) a (2.3). Vˇ eta 2.5 : (per partes v Newtonovˇe integrálu) Necht’ funkce u, v jsou derivovatelné na intervalu ha, bi (v krajn´ıch bodech zprava, popˇr. zleva) a u · v 0 ∈ N (ha, bi) , potom také u0 · v ∈ N (ha, bi) a plat´ı Zb

h ib Z b u0 (x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x) · v 0 (x) dx . a

Produkce plynu Ze zkuˇsenost´ı v´ıme, ˇze nov´ y vrt produkuje asi f (t) = 0.2 t e−0.02t milion˚ u kubick´ ych metr˚ u plynu za t mˇes´ıc˚ u. Pokud chceme odhadnout celkovou produkci P (t) vrtu za jeden rok, pak mus´ıme spoˇc´ıtat integrál Z12 P (t) =

−0.02t

0.2 t e

dt .

0

Pomoc´ı metody per partes dostaneme R12

0.2 t e−0.02t dt = 0 12 10 − [t e−0.02t ]0 + R12 −0.02t . e dt = 12 . 0

a

a

Pˇr´ıklad 2.6 : Vypoˇctˇete integrál

Metodu per partes pouˇzijeme dvakrát. 0 R1 x u = ex v = sin x 1 e sin x dx = = [ex sin x]0 − x 0 u = e v = cos x 0 0 R1 x u = ex v = cos x 1 e cos x dx = = [ex sin x]0 − x 0 u = e v = − sin x 0 x

[e

1 cos x]0

−

R1

ex sin x dx . Odtud vypl´ yvá

0

R1 0

1

ex sin x dx = 21 [ex (sin x − cos x)]0 = 2e (sin 1 − cos 1) + 21 .

Vˇ eta 2.6 : (substituce v Newtonovˇe integrálu) Necht’ f : D(f ) → H(f ) , g : D(g) → H(g) a H(f ) ⊂ D(g) . Jestliˇze funkce f je derivovatelná na D(f ) a existuje primitivn´ı funkce G k funkci g na D(g) , potom pro ha, bi ⊂ D(f ) plat´ı Zb

ln x x

dx = y = ln x = dy = x1 dx h 2 i1 ln Re y dy = y2 = 12 . 1

ln 1

0

ex sin x dx .

0

Zf (b) g(f (x)) · f 0 (x) dx = g(y) dy = G(f (b)) − G(f (a)) .

a

Re

R1

f (a)

Pˇr´ıklad 2.7 : x = sin t −1 = sin a ⇒ a = − π2 1) dx = dx = cos t dt 0 = sin b ⇒ b = 0 −1 pro t ∈ (− π , 0) R0 R0 cos t 1 2 √ = = cos t dt = | cos t| dt = 2 je cos t > 0 1−sin t π π −2 −2 R0 0 1 dt = [t]− π = π2 . R0

− π2

√ 1 1−x2

2


15

Definice 2.4 : (nevlastn´ı integrál vlivem meze) Necht’ funkce f ∈ N (ha, bi) pro kaˇzdé b > a. Necht’ existuje Rb limita lim f (x) dx , pak se naz´ yvá nevlastn´ı Newton˚ uv b→∞ a

integr´ al vlivem meze a p´ıˇseme Z∞

Zb f (x) dx =

lim

b→∞ a

f (x) dx . a

Znaˇc´ıme f ∈ N (ha, ∞)) a ˇr´ıkáme, ˇze nevlastn´ı integrál konverguje; v opaˇcném pˇr´ıpadˇe diverguje. Rb Rb Analogicky f (x) dx = lim f (x) dx a definujeme R∞

a→−∞ a R∞

−∞

f (x) dx =

−∞

Rc

f (x) dx +

−∞

f (x) dx ,

c ∈ R.

c

Pˇr´ıklad 2.8 : R∞ α Rb α 1 1) (bα+1 − 1)] = x dx = lim x dx = lim [ α+1 b→∞ 1

1

n∞ 1 α+1

2)

R∞ 1 1

x

b→∞

α > −1 diverguje α < −1 konverguje.

R∞

Integrál

sin x

dx

−∞

neexistuje, nˇekdy je proto vhodné pracovat s hlavn´ı hodnotou nevlastn´ıho integrálu, která je definována vztahem R∞

v.p.

f (x) dx =

−∞ Rc

lim

c→∞ −c

f (x) dx .

(v.p. je z francouzského valeur principale).

∞

dx = lim [ln |x|]b1 = [ln x]1 = ∞ diverguje. b→∞

Definice 2.5 : (nevlastn´ı integrál vlivem funkce) Necht’ ∀ t ∈ (a, b) je funkce f ∈ N (ha, ti) a f 6∈ N (ha, bi). Rt Necht’ existuje limita lim f (x) dx , pak se naz´ yvá ne-

Podobnˇe pro nevlastn´ı integrál vlivem funkce definujme hlavn´ı hodnotu vztahem

t→b− a

vlastn´ı Newton˚ uv integr´ al vlivem funkce a p´ıˇseme Zt lim

Zb f (x) dx =

t→b− a

lim

f (x) dx . a

Znaˇc´ıme f ∈ N (ha, b)) a ˇr´ıkáme, ˇze nevlastn´ı integrál konverguje, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe diverguje. Rb Rb Analogicky f (x) dx = lim f (x) dx . a

t→a+ t

v.p.

Rc

f (x) dx =

a b−δ R

δ→0+ Rc b+δ

f (x) dx + f (x) dx . a

16


Pˇr´ıklad 2.9 : R1 α R1 α 1 1) (1 − tα+1 )] = x dx = lim x dx = lim [ α+1 t→0+ t

0

n∞ 1 α+1

2)

R1 0

2.3

1 x

t→0+

α < −1 diverguje α > −1 konverguje. 1

dx = lim [ ln |x| ]1t = [ln x]0 = ∞ diverguje. t→0+

Aplikace v geometrii a fyzice

Pˇri zaveden´ı Riemannova integrálu jsme sˇc´ıtali ”nekoneˇcnˇe mnoho nekoneˇcnˇe mal´ ych ploch -tzv. element˚ u” a dostali jsme vlastnˇe obsah plochy ”pod grafem funkce f ”. Tento postup lze pouˇz´ıt i pˇri v´ ypoˇctu objemu tˇeles, délek kˇrivek, vykonané práce ap.

Popis

Obrázek

Vztah

Plocha pod grafem funkce

Zb

f (x) dx

S=

Plocha S je ohraniˇcena grafem funkce f , pˇr´ımkami x = a, x = b a osou x.

a

Element plochy dS = f (x) dx

s=

D´ elka kˇrivky Délka s kˇrivky urˇcené grafem funkce f .

Zb p

1+

(f 0 (x))2

dx

a

Element délky . p ds = (dx)2 + (df )2 = p 2 0 2 2 (dx) p + f (x) (dx) = 0 2 1 + f (x) dx


17

Zb S = 2π

Povrch rotaˇcn´ıho tˇelesa

p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx

a

Element povrchu . dS =p 2πf (x) ds = 2πf (x) 1 + f 0 (x)2 dx

Velikost S plochy vzniklé rotac´ı grafu funkce f kolem osy x.

Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa

Zb

f 2 (x) dx

V =π

Objem V tˇelesa vzniklého rotac´ı plochy pod grafem funkce f kolem osy x.

a

Element objemu dV = πf 2 (x) dx

Statick´ y moment Statické momenty Mx , My plochy S o hustotˇe % = %(x) vzhledem k osám x, y.

1 2

Mx =

Z

b

y 2 (x)%(x) dx

a

Statick´ y moment M tˇelesa o hmotnosti m vzhledem k ose otáˇcen´ı o, která je ve vzdálenosti d od tˇeˇziˇstˇe tˇelesa, je dán vztahem

b

Z My =

xy(x)%(x) dx

M = m · d.

a

Tˇ eˇ ziˇ stˇ e plochy Tˇeˇziˇstˇe T = [xT , yT ] plochy S má souˇradnice:

Moment setrvaˇ cnosti Momenty setrvaˇcnosti Ix , Iy kˇrivky dané grafem funkce f vzhledem k osám x, y. Hmotnost kˇrivky je reprezentována jej´ı délkou.

My xT = , S

Zb Ix =

Mx yT = . S

p f 2 (x) 1 + (f 0 (x))2 dx

a

Zb Iy = a

x2

p 1 + (f 0 (x))2 dx

S je velikost plochy ”pod grafem funkce f ” na intervalu [a, b].

Moment setrvaˇcnosti I tˇelesa o hmotnosti m vzhledem k ose otáˇcen´ı o, která je ve vzdálenosti d od tˇeˇziˇstˇe tˇelesa, je dán vztahem I = m · d2 .

18

3 R. P. Feyman: ”Existuje jedin´ y zp˚ usob formulace fyzikáln´ıch zákon˚ u, a to ve tvaru diferenciáln´ıch rovnic.” Nejen fyzika, ale i ekologie, biologie nebo chemie popisuj´ı své vztahy pomoc´ı diferenciáln´ıch rovnic.

3.1


Diferenci´ aln´ı rovnice Motivace

Na u ´ˇcet v bance vloˇz´ıme v ˇcase t0 = 0 pen´ıze v hodnotˇe z(0) . Pˇri u ´roˇcen´ı s denn´ım u ´rokem u máme po t1 dnech na u ´ˇctu z˚ ustatek z(t1 ) = z(0) + z(0) u t1 . Na u ´ˇctu tedy pˇribude z(t1 ) − z(0) = z(0) u t1 a rychlost r˚ ustu z(t1 )−z(0) je = z(0) u . ”Okamˇzitou zmˇenu”´ uˇctu dostaneme pro t1 −0 z(t1 )−z(0) t1 −0 t1 →t0

t1 → 0, potom lim

= z 0 (0) a

z 0 (0) = z(0) u . z(t) = Ceut

Uvedená rovnost plat´ı v libovolném ˇcase t . Tedy

z

z 0 (t) = z(t) u

C1 C2 C3 0

t

a jej´ım (obecn´ ym) ˇreˇsen´ım je funkce z(t) = C eut , C ∈ R . Pro (poˇca´teˇcn´ı) podm´ınku z(0) = z0 dostaneme z0 = C e0 ⇒ C = z0 a (partikulárn´ı) ˇreˇsen´ı naˇs´ı u ´lohy má tvar z(t) = z0 eut . 3.2

Diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu

Definice 3.1 : (diferenciáln´ı rovnice 1.ˇrádu) Rovnice pro neznámou funkci y = y(x), x ∈ I , I ⊂ R, v n´ıˇz vystupuje derivace y 0 a která je zapsána ve tvaru Zobrazen´ı f : Rn → R se naz´ yvá funkce nreáln´ ych promˇenn´ ych. Funkce f = f (x, y) je funkce dvou reáln´ ych promˇenn´ ych.

nebo

F (x, y, y 0 ) = 0 y 0 = f (x, y)

implicitn´ı tvar explicitn´ı tvar

(1)

se naz´ yvá obyˇ cejn´ a diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu. Diferencovatelná funkce y = y(x) , x ∈ I , která splˇ nuje rovnici (1) pro kaˇzdé x ∈ I se naz´ yvá ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice. Podm´ınka y(x0 ) = y0 x0 ∈ I (2) se naz´ yvá poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınka a u ´loha (1), (2) se naz´ yvá poˇ c´ ateˇ cn´ı (Cauchyova) u ´ loha.


19

Definice 3.2 : (geometrick´ y popis dif. rovnice 1.ˇra´du) Graf ˇreˇsen´ı y = y(x) diferenciáln´ı rovnice (1) se naz´ yvá integr´ aln´ı kˇ rivka diferenci´ aln´ı rovnice. 0 Funkce f (x, y) z rovnice y = f (x, y) urˇcuje smˇ erov´ e pole diferenciáln´ı rovnice, coˇz je systém teˇcn´ ych vektor˚ u ke grafu ˇreˇsen´ı. Mnoˇzina bod˚ u [x, y], pro které je funkce f (x, y) konstantn´ı se naz´ yvá izoklina. Pˇr´ıklad 3.1 : Pro diferenciáln´ı rovnici y 0 = x maj´ı rovnice izoklin tvar x = c , c je libovolné ˇc´ıslo, coˇz jsou pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s osou y. x2 2

Obecné ˇreˇsen´ı má tvar y = + C = ϕ(x, C) . Integráln´ı kˇrivky jsou paraboly. Pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku y(0) = 3 má 2 poˇcáteˇcn´ı u ´loha (partikulárn´ı) ˇreˇsen´ı tvar y = x2 + 3 . Definice 3.3 : Obecn´ ym ˇ reˇ sen´ım diferenciáln´ı rovnice 0 y = f (x, y) se naz´ yvá funkce ϕ(x, C) závislá na volitelném parametru C taková, ˇze k libovolné bodu [x0 , y0 ] ∈ D(f ) (D(f ) je definiˇcn´ı obor funkce f ) existuje (jedin´ y) parametr C0 takov´ y, ˇze y0 = ϕ(x0 , C0 ) a funkce y(x) = ϕ(x, C0 ) ˇreˇs´ı danou diferenciáln´ı rovnici na I. Jestliˇze kaˇzd´ ym bodem integráln´ı kˇrivky nˇejakého ˇreˇsen´ı y˜ diferenciáln´ı rovnice procház´ı jiná integráln´ı kˇrivka, pak y˜ naz´ yváme singul´ arn´ım ˇ reˇ sen´ım rovnice. ˇ sen´ım rovnice Pˇr´ıklad 3.2 : Reˇ 2 y0 = y 3 je kaˇzdá funkce tvaru 1 y(x) = (x + C)3 27

Izoklina je geometrické m´ısto bod˚ u [x, y], ve kter´ ych teˇcné vektory k integrál. kˇrivkám jsou rovnobˇeˇzné. Rovnici izoklin p´ıˇseme ve tvaru f (t, x) = C (C je konstanta) . Geometricky pop´ıˇseme obecné ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu jako jednoparametrick´ y systém kˇrivek. Integráln´ı kˇrivka singulárn´ıho ˇreˇsen´ı tvoˇr´ı tzv. obálku systému kˇrivek obecného ˇreˇsen´ı. V bodech integráln´ı kˇrivky singulárn´ıho ˇreˇsen´ı je poruˇsena jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı poˇca´teˇcn´ı u ´lohy. y(x) =

1 (x + C)3 27 y

(C je libovolná konstanta) . 0

Nulová funkce y(x) = 0 je vˇsak také ˇreˇsen´ım dané rovnice. Je to singulárn´ı ˇreˇsen´ı, nebot’ libovoln´ ym bodem [x0 , 0] 1 procház´ı integráln´ı kˇrivka ˇreˇsen´ı tvaru y(x) = 27 (x − x0 )3 . Cviˇcen´ı 3.1 : rovnice

Teˇcné vektory v rovinˇe-xy maj´ı tvar (1, y 0 ), resp. (1, f (x, y)).

Dokaˇzte, ˇze obecné ˇreˇsen´ı tzv. Clairautovy 2

y 0 − xy 0 + y = 0 je funkce y(x) = Cx − C 2 a singulárn´ı ˇreˇsen´ı má tvar y(x) = 14 x2 . Nakreslete integráln´ı kˇrivky. [ Zderivován´ım a dosazen´ım do p˚ uvodn´ı rovnice ovˇeˇr´ıme tvrzen´ı. ]

x

20


Vˇ eta 3.1 : Funkce y = y(x), x ∈ I je ˇreˇsen´ım poˇca´teˇcn´ı u ´lohy (1), (2) právˇe tehdy, kdyˇz je ˇreˇsen´ım integráln´ı rovnice

y(x) = Cx − C 2 y

Zx y(x) = y0 +

f (ξ, y(ξ)) dξ.

(3)

x0

0

x

3.3

Metody ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇ r´ adu

Pˇri ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch u ´loh se budeme snaˇzit naj´ıt obecné ˇreˇsen´ı u ´lohy (1) a také ˇreˇsen´ı poˇca´teˇcn´ı u ´lohy (1), (2). Metoda pˇ r´ım´ e integrace. 1. Chceme naj´ıt obecné ˇreˇsen´ı rovnice y 0 = f (x),

x∈I.

Urˇc´ıme systém primitivn´ıch funkc´ı k funkci f , tj. y(x) = F (x) + C . 2. Chceme-li naj´ıt ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy y 0 = f (x), Necht’ g(ξ) = f (ξ, y(ξ)) a funkce G je primitivn´ı funkce k funkci g, potom G(x)−G(x0 ) = Rx g(ξ) dξ a plat´ı x0 (G(x)−G(x0 ))0 = g(x) = f (x, y(x)) . Poznamenejme, ˇze neexistuje ˇzádná univerzáln´ı metoda na ˇreˇsen´ı vˇsech typ˚ u diferenciáln´ıch rovnic.

y(x0 ) = y0 ,

x ∈ I,

pak a) ze systému primitivn´ıch funkc´ı y(x) = F (x) + C vybereme takovou, která splˇ nuje poˇca´teˇcn´ı podm´ınku y0 = F (x0 ) + C . (Graf funkce y procház´ı bodem [x0 , y0 ] .) Odtud vypoˇcteme C = y0 − F (x0 ), takˇze y(x) = F (x) + y0 − F (x0 ) . b) nebo vyuˇzijeme vˇetu (3.1), potom Zx y(x) = y0 + f (ξ) dξ . x0

Tento v´ ysledek lze samozˇrejmˇe také psát ve tvaru Rx y(x) = y0 + F (x) − F (x0 ), nebot’ F (x) = f (ξ) dξ x0

(primitivn´ı funkce vyjádˇrená integrálem s promˇennou horn´ı mez´ı, viz definice 8.10 v MA1).


21

ˇ s´ıme poˇca´teˇcn´ı u Pˇr´ıklad 3.3 : Reˇ ´lohu y 0 = x3 + sin x,

x ∈ R.

y(0) = 1,

a) Z obecného ˇreˇsen´ı x4 − cos x + C y(x) = 4 vypoˇcteme konstantu C: 1 = −1 + C

⇒

ˇ sen´ı u Reˇ ´lohy má tvar: y(x) =

x4 4

C = 2. − cos x + 2 .

b) Pˇr´ımou integrac´ı dostaneme: Zx y(x) = 1 +

x4 − cos x + 1 . [ξ + sin ξ] dξ = 1 + 4 3

0

Metoda separace promˇ enn´ ych. Touto metodou ˇreˇs´ıme rovnice typu y0 =

f1 (x) , f2 (y)

kde f1 , f2 jsou dané funkce.

Rovnici m˚ uˇzeme psát ve tvaru

dy dx

=

f1 (x) f2 (y)

,

resp.

f2 (y) dy = f1 (x) dx (separace promˇenn´ ych) a chápat jako rovnost dvou diferenciál˚ u. Protoˇze y = y(x), pak integrován´ım dostaneme rovnost Zx x0

f2 (y(ξ)) y 0 (ξ) dξ =

Zx f1 (ξ) dξ , x0

neboli F2 (y(x)) = F1 (x) + C , kde F1 , F2 jsou primitivn´ı funkce k funkc´ım f1 , f2 . Pozn´ amka 3.1 : Vztahu F2 (y(x)) = F1 (x) + C ˇr´ıkáme funkcionáln´ı rovnice pro neznámou funkci y(x). Také se naz´ yvá obecn´ y integr´ al dané diferenciáln´ı rovnice, nebot’ jej´ı ˇreˇsen´ı ˇ ıkáme také, y(x) je obecn´ ym ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice. R´ ˇze obecné ˇreˇsen´ı je obecn´ ym integrálem dáno implicitnˇ e.

22


Pˇr´ıklad 3.4 : Stanovme obecné ˇreˇsen´ı (obecn´ y integrál) diferenciáln´ı rovnice x y0 = . sin y Separac´ı promˇenn´ ych pˇrevedeme rovnici na tvar x dy = ⇒ sin y dy = x dx dx sin y a integrován´ım dostaneme − cos y =

x2 +C 2

obecn´ y integrál

nebo −x2 − 2 cos y = 2C

implicitn´ı tvar ˇreˇsen´ı.

Rovnice umoˇ zn ˇ uj´ıc´ı pˇ rechod k separaci promˇ enn´ ych. Rovnici tvaru y 0 = f (ax + by + c)

rovnice s pˇr´ımkou

pˇrevedeme substituc´ı u = ax + by + c na rovnici se separovateln´ ymi promˇenn´ ymi. Pˇr´ıklad 3.5 : Pˇr´ıklad dy (2x − y + 1) + dx (4x − 2y + 6) = 0 vyˇreˇs´ıme substituc´ı u = 2x − y + 1 ⇒ du = 2 dx − dy ⇒ dy = 2 dx − du, potom (2 dx − du)u + dx (2u + 4) = 0 −du u + dx (4u + 4) = 0 dx =

1 u 4 u+1

du

x + C = 14 (u − ln |u + 1|) x + C = 14 (2x − y + 1 − ln |2x − y + 2|)

obecn´ y integrál.

Rovnici tvaru y 0 = f (x, y) ,

kde ∀ t ∈ R : f (tx, ty) = f (x, y)

pˇrevedeme substituc´ı u =

y x

na rovnici se separovateln´ ymi promˇenn´ ymi.


23

Pˇr´ıklad 3.6 : Pˇr´ıklad y

y0 = e x + vyˇreˇs´ıme substituc´ı u = potom

y x

y x

⇒ u x = y ⇒ y 0 = u0 x + u,

u0 x + u = eu + u du dx

x = eu

e−u du =

1 x

dx

−e−u = ln |x| + C − 3.3.1

1 y ex

= ln |x| + C

obecn´ y integrál.

Ortogon´ aln´ı syst´ emy integr´ aln´ıch kˇ rivek.

Z definice (3.2) v´ıme, ˇze integráln´ı kˇrivky rovnice y 0 = f (x, y) tvoˇr´ı jednoparametrick´ y systém kˇrivek a ˇze funkce f (x, y) urˇcuje v bodˇe [x, y] smˇernici teˇcny k jedné z tˇechto kˇrivek. Potom hod1 nota − f (x,y) urˇc´ı smˇernici pˇr´ımky kolmé (normály) v tomtéˇz bodˇe. Proto obecné ˇreˇsen´ı (obecn´ y integrál) rovnice y0 = −

1 f (x, y)

urˇc´ı systém integráln´ıch kˇrivek ortogonáln´ıch k systému p˚ uvodn´ımu. Pˇr´ıklad 3.7 : diferenciáln´ı rovnice ”ortogonáln´ı”rovnice y 0 y 0 = − xy y =x obecné ˇreˇsen´ı y(x) = C x y 2 + x2 = C systém pˇr´ımek procházej´ıc´ı poˇca´tkem

systém kruˇznic se stˇredem v poˇca´tku

Vid´ıme, ˇze znalost jednoho systému dovoluje urˇcit systém ortogonáln´ı. S u ´lohami tohoto typu se m˚ uˇzeme setkat napˇr. v teorii pole (systém siloˇcar a systém ekvipotenciáln´ıch ˇcar).

Pˇripomeˇ nme, ˇze dvˇe pˇr´ımky ve smˇernicovém tvaru y = k1 x + q1 y = k2 x + q2 jsou kolmé, jestliˇze k1 · k2 = −1 .

24


3.4

Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu

Definice 3.4 : Diferenciáln´ı rovnice tvaru y 0 = a(x) y + b(x) ,

x∈I

(4)

se naz´ yvá line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu. Funkce a(x) se naz´ yvá koeficient rovnice a funkce b(x) prav´ a strana rovnice (4). Rovnice y 0 = a(x) y se naz´ yvá homogenn´ı diferenci´ aln´ı rovnice. ˇ sen´ı rovnice (4) metodou variace konstanty. Reˇ 1. Urˇc´ıme obecné ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice y 0 = a(x) y R dy R a(x) dx y =

separac´ı promˇenn´ ych A(x) je primitivn´ı

ln |y| = A(x) + K funkce k funkci a(x) |y| = eA(x)+K

K ∈ R , poloˇz´ıme C = ±eK

yh = C eA(x)

obecné ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice

y = eA(x)

se naz´ yvá fundament´ aln´ı ˇ reˇ sen´ı

ˇ sen´ı nehomogenn´ı rovnice (4) hledáme ve tvaru: 2. Reˇ y(x) = C(x) eA(x)

variace konstanty C .

Po dosazen´ı do rovnice (4) dostaneme Základem metody variace konstanty je hledat ˇreˇsen´ı y ve tvaru souˇcinu dvou funkc´ı, tedy y = C yh . Po dosazen´ı do (4) dostaneme C 0 yh +Cyh0 = aCyh +b, coˇz plat´ı, pokud C yh0 = a C yh a zároveˇ n C 0 yh = b .

C 0 (x) eA(x) + C(x) eA(x) a(x) = a(x) C(x) eA(x) + b(x) . Tedy 0

A(x)

C (x) e

Z = b(x)

⇒

C(x) =

a partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı rovnice (4) má tvar Z yp (x) =

b(x) dx · eA(x) . A(x) e

b(x) dx eA(x)


25

3. Pro obecné ˇreˇsen´ı y nehomogenn´ı rovnice (4) plat´ı A(x)

y = yh + yp , neboli y = C e

Z +

b(x) dx · eA(x) . A(x) e

Obecné ˇreˇsen´ı rovnice y 0 = a(x)y + b(x) je souˇctem obecného ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice a partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice.

Pˇr´ıklad 3.8 :

Najdˇete obecné ˇreˇsen´ı rovnice y 0 = y + e2x .

1. Homogenn´ı rovnice y 0 = y má obecné ˇreˇsen´ı yh (x) = C ex

(ex

fundamentáln´ı ˇreˇsen´ı) .

ˇ sen´ı nehomogenn´ı rovnice hledáme ve tvaru 2. Reˇ y(x) = C(x) ex ,

tj. y 0 = C 0 (x)ex + C(x) ex .

Po dosazen´ı do p˚ uvodn´ı rovnice obdrˇz´ıme C(x)0 ex + C(x) ex = C(x) ex + e2x , tj.

C(x)0 ex = e2x

⇒

C(x) = ex + K .

Bez u ´jmy na obecnosti poloˇz´ıme K = 0 (K ex je homogenn´ı ˇreˇsen´ı) a dostaneme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı yp (x) = ex ex = e2x . 3. Obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice má tedy tvar y(x) = yh (x) + yp (x) = Cex + e2x .

26


3.5

Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice n-t´ eho ˇ r´ adu

Definice 3.5 : Necht’ a0 (x), a1 (x), . . . , an−1 (x), f (x), x ∈ I jsou reálné funkce. Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnici n-t´ eho ˇ r´ adu pro neznámou funkci y = y(x) se naz´ yvá rovnice y (n) + . . . + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x),

x∈I.

(5)

Zkrácenˇe p´ıˇseme L[y] = f, ˇr´ıkáme, ˇze L je line´ arn´ı diferenci´ aln´ı oper´ ator n-t´ eho ˇ r´ adu. Je-li f (x) = 0 , pak se rovnice (5) naz´ yvá homogenn´ı, jinak nehomogenn´ı. Funkce y = y(x), která splˇ nuje rovnici (5) pro kaˇzdé x ∈ I a pro x0 ∈ I splˇ nuje poˇcáteˇcn´ı podm´ınky y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , · · · , y n−1 (x0 ) = yn−1

(6)

se naz´ yvá ˇ reˇ sen´ı poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy (5), (6). Analogii k Peano-Picardovˇe vˇetˇe zaruˇcuj´ıc´ı existenci a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı pro rovnice 1.ˇra´du je následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 3.2 : (o existenci a jednoznaˇ cnosti) Necht’ funkce a0 , a1 , . . . , an−1 , f jsou spojité na otevˇreném intervalu I ⊂ R . Pak poˇcáteˇcn´ı u ´loha (5), (6) má právˇe jedno ˇreˇsen´ı definované na celém intervalu I. Pˇr´ıklad 3.9 : Rovnice y 00 + 4y = 0 je diferenciáln´ı rovnice 2. ˇra´du. Tato rovnice má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Jsou to napˇr´ıklad funkce y1 (x) = sin 2x ,

y2 (x) = cos 2x

a jejich libovolná lineárn´ı kombinace y = C 1 y 1 + C 2 y2

obecné ˇreˇsen´ı .

Poˇcáteˇcn´ı podm´ınky y(0) = 1, y 0 (0) = 0 splˇ nuje funkce y = cos 2x . Podle pˇredchoz´ı vˇety (3.2) je tato funkce urˇcena jednoznaˇcnˇe (a2 = 1, a1 = 0, a0 = 4, f = 0 jsou spojité funkce na R).


27

Dále budeme pˇredpokládat, ˇze a0 , a1 , . . . , an , f jsou spojité funkce na otevˇreném intervalu I ⊂ R a an (x) 6= 0 na I. Definice 3.6 : Funkce y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x) , x ∈ I se naz´ yvaj´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ e, jestliˇze existuj´ı konstanty c1 , c2 , . . . , cn takové, ˇze alespoˇ n jedna je nenulová a plat´ı ∀x ∈ I :

c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x) = 0 .

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze funkce y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e.

Vˇ eta 3.3 : Oznaˇcme K = {y(x) : L[y] = 0} mnoˇzinu vˇsech ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice. Potom K je lineárn´ı prostor dimenze n.

Mnoˇzina K se naz´ yvá jádro operátoru L.

Definice 3.7 : Báze prostoru K se naz´ yvá fundament´ aln´ı syst´ em homogenn´ı diferenciáln´ı rovnice L[y] = 0 . Fundamentáln´ı systém je tvoˇren n lineárnˇe nezávisl´ ymi funkcemi

Konstanty c1 , c2 mohou b´ yt i z tˇelesa komplexn´ıch ˇc´ısel.

Funkce

y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x), x ∈ I .

y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x),

kde c1 , c2 , . . . , cn

jsou libovolné konstanty, se naz´ yvá obecn´ eˇ reˇ sen´ı homogenn´ı rovnice. Volbou konstant c1 , c2 , . . . , cn nebo poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , · · · , y n−1 (x0 ) = yn−1 z´ıskáme ˇreˇsen´ı (poˇca´teˇcn´ı) u ´lohy.

Pˇr´ıklad 3.10 : Fundamentáln´ı systém rovnice y 00 + y = 0 je tvoˇren funkcemi y1 (x) = cos x , y2 (x) = sin x a funkce y(x) = c1 cos x + c2 sin x je obecn´ ym ˇreˇsen´ım dané rovnice.

Existence a jednoznaˇcnost funkc´ı yi plyne z vˇety (3.2).

28

3.6 3.6.1


Metody ˇ reˇ sen´ı rovnic n-t´ eho ˇ r´ adu Homogenn´ı rovnice

Rovnice xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + · · · + a1 x y 0 + a0 y = 0 , kde a0 , a1 , . . . , an−1 jsou reálné konstanty, se naz´ yvá Eulerova rovnice. Je to lineárn´ı rovnice se speciáln´ımi promˇenn´ ymi koeficienty a jej´ı fundamentáln´ı systém tvoˇr´ı funkce ve tvaru y(x) = xλ ,

(popˇr. xλ ln x, . . . , xλ lnk−1 x) λ ∈ C .

V´ yklad provedeme na pˇr´ıkladech. A) (jednoduché koˇreny)

Pro rovnici

x3 y 000 − 3x2 y 00 + 6xy 0 − 6y = 0 chceme stanovit takové hodnoty parametru λ, aby funkce y(x) = xλ byla ˇreˇsen´ım této rovnice. Protoˇze y 0 = λxλ−1 , y 00 = λ(λ − 1)xλ−2 , y 000 = λ(λ − 1)(λ − 2)xλ−3 , pak po dosazen´ı do diferenciáln´ı rovnice obdrˇz´ıme x3 λ(λ−1)(λ−2)xλ−3 −3x2 λ(λ−1)xλ−2 +6xλxλ−1 −6xλ = 0 , tud´ıˇz (λ3 − 6λ2 + 11λ − 6) xλ = 0 . Tato rovnost je splnˇena (pˇri x 6= 0) pouze pro koˇreny λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3 uvedeného polynomu. Trojice funkc´ı y1 (x) = x,

y2 (x) = x2 ,

y3 (x) = x3

je lineárnˇe nezávislá, nebot’ pˇr´ısluˇsn´ y Wronskián je nenu3 lov´ y (W (x) = 2x , x 6= 0), a tvoˇr´ı tedy fundamentáln´ı systém Eulerovy rovnice. Obecné ˇreˇsen´ı rovnice má tvar y = C1 x + C2 x2 + C3 x3 . B) (v´ıcenásobné koˇreny) V pˇr´ıpadˇe, ˇze λ je k-násobn´ ym koˇrenem polynomu pˇr´ısluˇsného Eulerovˇe rovnici, potom k tomuto koˇrenu máme k lineárnˇe nezávisl´ ych ˇreˇsen´ı tvaru y1 (x) = xλ ,

y2 (x) = xλ ln x ,

...

yk (x) = xλ lnk−1 x ,

patˇr´ıc´ıch do fundamentáln´ıho systému.


29

Pˇri ˇreˇsen´ı rovnice x2 y 00 + 3xy 0 + y = 0 dostaneme: y(x) = xλ , y 0 = λxλ−1 , y 00 (x) = λ(λ − 1)xλ−2 a po dosazen´ı x2 λ(λ − 1)xλ−2 + 3x λ xλ−1 + xλ = 0 , λ2 − λ + 3λ + 1 = 0 , λ2 + 2λ + 1 = 0 , λ1,2 = −1 . Do fundamentáln´ıho systému rovnice tedy patˇr´ı funkce y1 (x) = x1 , y2 (x) = x1 ln x a obecné ˇreˇsen´ı rovnice má tvar y = C1

1 1 + C2 ln x . x x

C) (komplexn´ı koˇreny) Jsou-li koˇreny polynomu Eulerovy rovnice komplexn´ı, mohou b´ yt funkce fundamentáln´ıho systému (tj. komplexn´ı funkce reálné promˇenné) xa+ib ,

resp. xa+ib lnk x,

xa−ib ,

xa−ib lnk x ,

nahrazeny reáln´ ymi funkcemi xa cos(b ln x) , xa sin(b ln x) ,

resp.

xa cos(b ln x) lnk x , xa sin(b ln x) lnk x .

Pˇri ˇreˇsen´ı rovnice x2 y 00 + xy 0 + y = 0 dostaneme: x2 λ(λ − 1)xλ−2 + x λ xλ−1 + xλ = 0 , λ2 + 1 = 0 , λ1 = i λ2 = −i . Do fundamentáln´ıho systému tedy patˇr´ı funkce y1 (x) = xi , y2 (x) = x−i nebo y1 (x) = cos(ln x) , y2 (x) = sin(ln x) a obecné ˇreˇsen´ı rovnice má tvar y = C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x) .

Vyuˇzijeme-li vztahu ab = eb ln a (a > 0) a Eulerovy identity eix = cos x + i sin x , pak pro x > 0 dostaneme xib = cos(b ln x)+ i sin(b ln x) . ( Pro x < 0 vol´ıme ln(−x) m´ısto ln x. ) Poznamenejme, ˇze L[y1 + iy2 ] = 0 ⇔ L[y1 ] + iL[y2 ] = 0 ⇔ L[y1 ] = 0 ∧ L[y2 ] = 0 .

30


Metoda charakteristick´ e rovnice ˇ sen´ı homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n-tého ˇrádu Reˇ s konstantn´ımi koeficienty an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = eλx (popˇr. xeλx , . . . , xk−1 eλx ), kde ˇc´ıseln´ y parametr λ je koˇrenem charakteristick´ e rovnice (charakteristick´ eho polynomu) an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0. A) (jednoduché koˇreny)

ˇ sen´ı rovnice Reˇ

y 00 − 4y 0 + 3y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = eλx . Potom y 0 (x) = λeλx , y 00 (x) = λ2 eλx a po dosazen´ı do rovnice máme λ2 eλx − 4λeλx + 3eλx = 0 . Hledáme tedy koˇreny charakteristické rovnice λ2 − 4λ + 3 = 0 , které jsou λ1 = 3, λ2 = 1 . Fundamentáln´ı systém rovnice je tedy tvoˇren funkcemi e3x , ex a obecné ˇreˇsen´ı rovnice má tvar y(x) = C1 e3x + C2 ex . B) (v´ıcenásobn´ y koˇren)

Chceme vyˇreˇsit rovnici

y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0 . Jej´ı charakteristická rovnice λ3 − 3λ2 + 3λ − 1 = 0 má trojnásobn´ y (k = 3) koˇren λ = 1 . V tomto pˇr´ıpadˇe je fundamentáln´ı systém rovnice tvoˇren funkcemi y1 (x) = ex ,

y2 (x) = x ex ,

y3 (x) = x2 ex

a obecné ˇreˇsen´ı rovnice má tvar y = C1 ex + C2 x ex + C3 x2 ex .


31

C) (komplexn´ı koˇreny)

Hledáme obecné ˇreˇsen´ı rovnice

y 00 + 4y 0 + 13y = 0. Koˇreny charakteristického polynomu λ2 +4λ+13 jsou komplexn´ı ˇc´ısla λ1 = −2 + 3i, λ2 = −2 − 3i. Fundamentáln´ı systém je tvoˇren funkcemi (−2+3i)x

−2x

y1 (x) = e = e (cos 3x + i sin 3x), (−2−3i)x y2 (x) = e = e−2x (cos 3x − i sin 3x), které lze zapsat jako lineárn´ı kombinace funkc´ı yˆ1 (x) = e−2x cos 3x, yˆ2 (x) = e−2x sin 3x . Máme tedy jinou bázi lineárn´ıho prostoru K = {y : L[y] = 0} a obecné ˇreˇsen´ı tak m˚ uˇzeme psát ve tvaru y(x) = e−2x (C1 cos 3x + C2 sin 3x) .

Cviˇcen´ı 3.2 : Stanovte obecné ˇreˇsen´ı rovnice y 00 − 2y 0 − 3y = 0 . [ y(x) = C1 e−x + C2 e3x . ]

Cviˇcen´ı 3.3 : Vyˇreˇste rovnici y (5) − 3y (4) + 3y 000 − y 00 = 0 . [ λ1,2 = 0 dvojnásobn´ y koˇren a λ3,4,5 = 1 trojnásobn´ y koˇren, obecné ˇreˇsen´ı y(x) = C1 1 + C2 x + C3 ex + C4 x ex + C5 x2 ex . ]

Cviˇcen´ı 3.4 : Vyˇreˇste rovnici y (4) + 8y 00 + 16y = 0 . [ λ1,2 = 2i dvojnásobn´ y koˇren a λ3,4 = −2i dvojnásobn´ y koˇren, obecné ˇreˇsen´ı y(x) = C1 cos 2x + C2 x cos 2x + C3 sin 2x + C4 x sin 2x . ]

Z lineárn´ı algebry v´ıme, ˇze jestliˇze komplexn´ı ˇc´ıslo z = a+ib je koˇrenem polynomu, potom také komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo z = a−ib je koˇrenem daného polynomu.

32


3.6.2

Nehomogenn´ı rovnice

Metoda variace konstant pro ˇreˇsen´ı nehomogenn´ıch lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic n−tého ˇra´du L[y] = an (x)y (n) +an−1 (x)y (n−1) +· · ·+a1 (x)y 0 +a0 (x)y = f (x) . 1. Urˇc´ıme fundamentáln´ı systém y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) a obecné ˇreˇsen´ı yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) homogenn´ı rovnice L[y] = 0 . 2. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice L[y] = f hledáme ve tvaru yp (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) + · · · + Cn (x) yn (x) , Po dosazen´ı obecného tvaru partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı yp (x) do p˚ uvodn´ı rovnice, dostaneme jednu rovnici s n neznám´ ymi funkcemi C1 (x) , · · · , Cn (x) . Prvn´ıch n − 1 rovnic v dané soustavˇe si tedy m˚ uˇzeme volit. Determinant této soustavy je Wronskián, kter´ y je podle vˇety ?? nenulov´ y. Uvedená soustava má tedy ˇreˇsen´ı

kde funkce C1 (x) , C2 (x) , · · · , Cn (x) z´ıskáme jako ˇreˇsen´ı soustavy C10 y1

+

C20 y2

+ ··· +

Cn0 yn

= 0,

C10 y10 .. .

+

C20 y20 .. .

+ ··· +

Cn0 yn0 .. .

= 0, .. .

(n−2)

+ C20 y2

(n−1)

+ C20 y2

C10 y1

C10 y1

···

(n−2)

+ · · · + Cn0 yn

(n−2)

= 0,

(n−1)

+ · · · + Cn0 yn

(n−1)

=

f (x) an (x)

.

3. Obecné ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı nehomogenn´ı diferenciáln´ı rovnice je souˇctem homogenn´ıho a partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı y(x) = yh (x) + yp (x) . Pˇr´ıklad 3.11 : Stanovme obecné ˇreˇsen´ı rovnice (1 + x2 ) y 00 − 2x y 0 + 2y = 2 . 1. Urˇc´ıme obecné ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (viz metoda sniˇzován´ı ˇra´du pˇr´ıklad (??)) yh (x) = C1 x + C2 (x2 − 1) .


33

2. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı yp nehomogenn´ı rovnice hledáme ve tvaru yp (x) = C1 (x) x + C2 (x)(x2 − 1) . Po zderivován´ı: yp0 = C10 x + C20 (x2 − 1) + C1 + 2x C2 . Poloˇz´ıme C10 x + C20 (x2 − 1) = 0 a znovu derivujeme yp00 = C10 + 2 C20 + 2x C2 . Po dosazen´ı do dané rovnice obdrˇz´ıme (1+x2 )(C10 +2 C20 +2x C2 )−2x (C1 +2x C2 )+ 2(C1 x + C2 (x2 − 1)) = 2 , odtud po u ´pravˇe dostaneme 2 0 0 (1 + x )(C1 + 2x C2 ) = 2 . Dostáváme soustavu algebraick´ ych rovnic pro neznámé 0 0 funkce C1 , C2 : C10 x + C20 (x2 − 1) = C10 + 2x C20

=

0, 2 x2 +1

.

Odtud

x2 − 1 2 2x 2(x2 −1) 2 +1 −2x x 0 = C1 = (x2 +1)2 ⇒ C1 (x) = 1+x2 + K1 , 2 x x −1 1 2x (bez u ´jmy na obecnosti pokládáme : K1 = 0) . 0

x 0 1 x22+1 0 = C2 = 2 x x −1 1 2x

2x (x2 +1)2

⇒ C2 (x) =

−1 1+x2 +(K2 = 0) .

Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı dostáváme ve tvaru yp (x) =

−2x −1 −3x2 + 1 2 x + (x − 1) = . 1 + x2 1 + x2 1 + x2

3. Obecné ˇreˇsen´ı u ´lohy je tedy funkce y(x) = yh (x) + yp (x) = C1 x + C2 (x2 − 1) +

−3x2 + 1 . 1 + x2

Cviˇcen´ı 3.5 : Metodou variace konstant vyˇreˇste poˇca´teˇcn´ı u ´lohu y 00 − 2y 0 + y = ex , y(0) = 1 , y 0 (0) = 1 . [ Obecné ˇreˇsen´ı y(x) = C1 ex + C2 xex + 2 y(x) = ex + x2 ex . ]

x2 x e 2

, ˇreˇsen´ı poˇc. u ´lohy

Jestliˇze yh je ˇreˇsen´ım homogenn´ı rovnice L[yh ] = 0, pak také L[C yh ] = 0 , ∀ C ∈ R. Jestliˇze tedy máme správnˇe ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice, potom v metodˇe variace konstant mus´ı vypadnout ˇcleny z nederivovan´ ymi funkcemi C1 , C2 .

34


3.6.3

Fyzik´ aln´ı aplikace

Kirchhoff˚ uv z´ akon v tzv. RLC obvodu Necht’ i(t) je proud v elektrickém obvodu v závislosti na ˇcase t, uR je napˇet´ı na odporu R > 0, uL je napˇet´ı na c´ıvce s indukc´ı L > 0 , uC je napˇet´ı na kondenzátoru s kapacitou C > 0 , u(t) = U0 sin ωt je napˇet´ı na svorkách zdroje , potom plat´ı uR + uL + uC = u(t), nebo-li di(t) 1 Ri(t) + L + dt C Rovnice elektrického obvodu a jednoduchého mechanického systému se z matematického pohledu neliˇs´ı, a proto hovoˇr´ıme o rovnici kmit˚ u (elektrick´ ych, mechanick´ ych). Funkce F0 cos ω0 t na pravé stranˇe pˇredstavuje vnˇ ejˇ s´ı buzen´ı, pˇriˇcemˇz F0 je amplituda a ω0 frekvence vnˇejˇs´ıho periodického buzen´ı. K jednoznaˇcnému urˇcen´ı tˇechto funkc´ı mus´ıme nav´ıc znát poˇcáteˇcn´ı hodnoty y(t0 ), y 0 (t0 ), resp. 0) . i(t0 ), di(t dt ˇ sen´ı pˇr´ısluˇsné poˇca´Reˇ teˇcn´ı u ´lohy se naz´ yvá odezva syst´ emu na poˇca´teˇcn´ı stav a na vnˇejˇs´ı buzen´ı.

Zt i(τ ) dτ = u(t) ,

t ≥ t0 .

t0

Hledáme-li funkci i = i(t) splˇ nuj´ıc´ı tento zákon, pak derivován´ım obdrˇz´ıme diferenciáln´ı rovnici 2. ˇra´du pro neznámou funkci i: di d2 i i L 2 + R + = ωU0 cos ωt . dt dt C

Rovnice mechanick´ eho syst´ emu Uvaˇzujeme jednoduch´ y mechanick´ y systém pohybuj´ıc´ı se po nerovném povrchu. Vertikáln´ı pohyb se ˇr´ıd´ı Newtonov´ ym pohybov´ ym zákonem my 00 (t) = −ky(t) − γy 0 (t) + F (t) , kde y = y(t) je ˇcasovˇe závislá v´ ychylka tˇelesa od klidové polohy, m > 0 je hmotnost systému, k > 0 je tuhost pruˇziny, γ ≥ 0 je koeficient tlumen´ı. Vnˇejˇs´ı s´ıla F m˚ uˇze m´ıt tvar 1. F (t) = −[kϕ(t) + γ ϕ(t)] ˙ (buzen´ı vlivem nerovnost´ı terénu), 2. F (t) = F0 cos ω0 t (periodické vnˇejˇs´ı buzen´ı).


3.7

35

Okrajov´ eu ´ lohy pro rovnice 2. ˇ r´ adu

Okrajovou u ´ lohou nazveme lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici 2. ˇrádu a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x) ,

(7)

kde a2 (x) 6= 0 , a1 (x) , a0 (x) , f (x) jsou funkce na intervalu ha, bi s okrajov´ ymi podm´ınkami α1 y(a) + β1 y 0 (a) = γ1 α2 y(b) + β2 y 0 (b) = γ2

α1 , β1 , γ1 ∈ R , α2 , β2 , γ2 ∈ R .

(8)

Podle tvaru okrajov´ ych podm´ınek také dˇel´ıme okrajové u ´lohy na následuj´ıc´ı typy. Dirichletova okrajov´ au ´ loha Pˇri této u ´loze hledáme funkci y = y(x), x ∈ ha, bi tak, aby platilo a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x), y(a) = γ1 , y(b) = γ2 .

x ∈ (a, b) ,

kde γ1 , γ2 jsou daná reálná ˇc´ısla. Neumannova okrajov´ au ´ loha Nyn´ı hledáme funkci y = y(x), x ∈ ha, bi tak, aby platilo a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x), y 0 (a) = γ1 , y 0 (b) = γ2 .

John Von Neumann (1903-1957).

x ∈ (a, b) ,

Pˇr´ıklad 3.12 : a) Dirichletova u ´loha y 00 + y = 0 , x ∈ (0, π) , y(0) = 0 , y(π) = 0 . Obecn´ ym ˇreˇsen´ım u ´lohy je y(x) = C1 cos x+C2 sin x a z okrajov´ ych podm´ınek dostaneme 0 = C1 cos 0 + C2 sin 0 , C1 = 0 , 0 = C1 cos π + C2 sin π , C2 ∈ R . ˇ sen´ım okrajové u Reˇ ´lohy je funkce y(x) = C2 sin x.

teoreticky vybudoval ideu samoˇcinného poˇc´ıtaˇce s programem uloˇzen´ ym ve vnitˇrn´ı pamˇeti a nˇekteré ˇca´sti teorie automat˚ u a kybernetiky.

36


b) Neumannova u ´loha y 00 + y = 0 , x ∈ (0, b) , 0 0 y (0) = γ1 , y (b) = γ2 , y(x) = C1 cos x+C2 sin x, o γ1 = −C1 sin 0+C2 cos 0, ⇒ y 0(x) = −C1 sin x+C2 cos x, γ2 = −C1 sin b+C2 cos b, C2 = γ1 , γ2 − γ1 cos b = −C1 sin b . Protoˇze γ1 , γ2 , b jsou daná ˇc´ısla, mohou nastat následuj´ıc´ı situace 1. sin b 6= 0 , potom C1 = jediné ˇreˇsen´ı y(x) =

γ1 cos b−γ2 sin b

au ´loha má tedy

γ1 cos b − γ2 cos x + γ1 sin x. sin b

2. sin b = 0, γ2 − γ1 cos b = 0 , potom má u ´loha nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı tvaru y(x) = C1 cos x + γ1 sin x, kde C1 je libovolné reálné ˇc´ıslo. 3. sin b = 0, γ2 − γ1 cos b 6= 0 , pak neexistuje ˇreˇsen´ı dané u ´lohy. Napˇr´ıklad y 00 + y = 0, y 0 (0) = 1, y 0 (π) = 2 Vid´ıme, ˇze otázky ˇreˇsitelnosti okrajov´ ych u ´loh jsou mnohem sloˇzitˇejˇs´ı neˇz u poˇca´teˇcn´ıch u ´loh, kde staˇcila spojitost koeficient˚ uk jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı. Obecnˇe pro operátorovou rovnici L[y] = λy hledáme vlastn´ı ˇc´ıslo a vlastn´ı funkci, které splˇ nuj´ı danou rovnici.

nemá ˇza´dné ˇreˇsen´ı. Zde b = π, γ1 = 1 , γ2 = 2 . Okrajov´ au ´ loha s parametrem neboli Sturmova-Liouvilleova u ´ loha je speciáln´ım pˇr´ıpadem okrajové u ´lohy (7). Nyn´ı hledáme parametr λ a nenulovou funkci y(x) 6= 0, x ∈ ha, bi, tak, aby platilo a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = λy

x ∈ (a, b)

s homogenn´ımi okrajov´ ymi podm´ınkami α1 y(a) + β1 y 0 (a) = 0 , α2 y(b) + β2 y 0 (b) = 0 . Ta hodnota parametru λ, pro kterou existuje nenulové ˇreˇsen´ı y(x) této u ´lohy, se naz´ yvá vlastn´ı ˇ c´ıslo u ´ lohy a funkce y(x) se naz´ yvá vlastn´ı funkce u ´ lohy odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ.


37

Pˇr´ıklad 3.13 : Urˇc´ıme vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı funkce okrajové u ´lohy −y 00 = λy ,

y(0) = 0 ,

y(π) = 0 .

Pro λ < 0 a pro λ = 0 vypl´ yvá z tvaru obecného ˇreˇsen´ı, ˇze u ´loha má pouze nulové ˇreˇsen´ı (provˇeˇrte!). Pro λ > 0 má obecné ˇreˇsen´ı tvar √ √ y(x) = C1 cos λx + C2 sin λx. Z okrajov´ ych podm´ınek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C1 , C2 0 = C1 · 1 + √ √C2 · 0, 0 = C1 cos λπ + C2 sin λπ. Odtud C1 = 0,

√ C2 sin λπ = 0.

Aby mohlo b´ yt C2 = 6 0 (zaj´ımá nás nenulové ˇreˇsen´ı!), mus´ı nastat rovnost √ √ sin λπ = 0, tj. λπ = kπ, kde k = 1, 2, 3, . . . . Pro hodnoty λ = λk = k 2 : (1, 4, 9, 16, . . .) má okrajová u ´loha nenulové ˇreˇsen´ı yk (x) = C2 sin kx. Dostáváme tak posloupnost vlastn´ıch ˇ c´ısel {1, 4, 9, 16, . . .} a posloupnost jim odpov´ıdaj´ıc´ıch vlastn´ıch funkc´ı je {sin x, sin 2x, sin 3x, . . .}.

38

3.8

ˇ sen´ım soustavy jsou Reˇ napˇr´√ ıklad funkce √ y1 = √k1 sin( √k1 k2 x), y2 = k2 cos( k1 k2 x).


Soustavy line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇ r´ adu

Motivace: Syst´ em lovec-koˇ rist Necht’ funkce y1 popisuje poˇcet lovc˚ u (napˇr. liˇsek) a funkce y2 poˇcet koˇristi (napˇr. zaj´ıc˚ u). Velice zjednoduˇsenˇe si m˚ uˇzeme 0 pˇredstavit, ˇze rychlost pˇrib´ yván´ı lovc˚ u (tj. y1 ) je pˇr´ımo u ´mˇerná n rychlost poˇctu koˇristi, neboli y10 = k1 y2 , k1 ∈ R+ . Zároveˇ 0 ´mˇernˇe na poˇctu lovc˚ u, u ´bytku koˇristi (tj. −y2 ) závis´ı pˇr´ımo u tedy plat´ı −y20 = k2 y1 , k2 ∈ R+ . Dostáváme tak soustavu dvou diferenciáln´ıch rovnic o dvou neznám´ ych y10 = k1 y2 , −y20 = k2 y1 . Obecnou soustavu line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇ r´ adu p´ıˇseme ve tvaru y10 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + . . . + a1n (x)yn + b1 (x), y20 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + . . . + a2n (x)yn + b2 (x), ................................................. yn0 = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + . . . + ann (x)yn + bn (x), kde aij (x), bi (x), i, j = 1, . . . , n jsou funkce definované na nˇejakém intervalu I. Jestliˇze oznaˇc´ıme   a11 (x), a12 (x), . . . , a1n (x)  a21 (x), a22 (x), . . . , a2n (x)   A(x) =   ............................ , an1 (x), an2 (x), . . . , ann (x)

Vektorovou funkci ~y = ~y (x) ˇreˇs´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohu m˚ uˇzeme geometricky interpretovat jako parametrické rovnice kˇrivky, fyzikálnˇe pak jako polohov´ y vektor pohybuj´ıc´ıho se bodu ve fázovém prostoru. Hovoˇr´ıme o f´ azov´ e kˇ rivce nebo trajektorii soustavy.

~b(x) = (b1 (x), b2 (x), . . . , bn (x))T , ~y (x) = (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x))T , m˚ uˇzeme soustavu psát v maticov´ em tvaru ~y 0 = A(x)~y (x) + ~b(x). Podobnˇe jako v definici (3.5) formulujeme poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohu. ~y 0 (x) = A(x) ~y (x) + ~b(x) , ~y (x0 ) = ~x0 ,

x0 ∈ I, ~x0 ∈ Rn

(9) (10)

Vektorová funkce ~y = ~y (x) splˇ nuj´ıc´ı rovnici (9) a poˇcáteˇcn´ı podm´ınky (10) se naz´ yvá ˇ reˇ sen´ı poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy. Matice A(x) se naz´ yvá matice soustavy, vektor ~b(x) se naz´ yvá vektor prav´ ych stran. Je-li ~b(x) = ~0, potom se soustava (9) naz´ yvá homogenn´ı.


39

Pozn´ amka 3.2 : Kaˇzdá soustava n diferenciáln´ıch rovnic 1.ˇrádu ~y 0 = A~y + ~b(x) , kde       y1 (x) 0 0 1 0 ... 0  y (x)   0   0 0 1 ... 0   2            . . ~ .. A = , b(x) = .. , ~y (x) = y3 (x)  ...  ..       .   0   0 0 0 ... 1  yn (x) f (x) −p0 −p1 −p2 . . .−pn−1 je ekvivalentn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici n-tého ˇra´du (n)

(n−1)

y1 + p(n−1) y1

+ · · · + p1 y10 + p0 y1 = f (x) .

Na soustavy diferenciáln´ıch rovnic pouˇz´ıváme stejné metody jako pro rovnici jedinou. Pouˇzit´ı tˇechto metod je vˇsak sloˇzitˇejˇs´ı, zvláˇstˇe kdyˇz matice A nemá speciáln´ı tvar (diagonáln´ı, troj´ uheln´ıkov´ y, Jordan˚ uv).

Pˇripomeˇ nme, ˇze vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice L[y] = 0 lze zapsat ve tvaru yh = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn , kde funkce y1 , y2 , · · · , yn tvoˇr´ı fundamentáln´ı systém rovnice (viz definice (3.7) a vˇeta (3.3)). Podobnˇe lze ukázat, ˇze vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy ~y 0 = A(x)~y se daj´ı vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinace jednoho (zvoleného) fundamentáln´ıho systému. 3.9

Metody ˇ reˇ sen´ı soustavy diferenci´ aln´ıch rovnic

Metoda pˇ revodu na jednu rovnici n-t´ eho ˇ r´ adu (eliminaˇ cn´ı metoda) Pˇrevodem na rovnici 2. ˇra´du najdeme ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy diferenciáln´ıch rovnic y10 = 4y1 − 2y2 , y20 = y1 + y2 . Z 2. rovnice vyjádˇr´ıme y1 = y20 − y2 , zderivujeme y10 = y200 − y20 a obˇe rovnice dosad´ıme do 1. rovnice. Dostaneme y200 − y20 = 4(y20 − y2 ) − 2y2 ⇒ y200 − 5y20 + 6y2 = 0 . Obecné ˇreˇsen´ı této rovnice má tvar y2 (x) = C1 e3x +C2 e2x , potom y1 (x) = (C1 e3x + C2 e2x )0 − (C1 e3x + C2 e2x ) = 2C1 e3x + C2 e2x . Obecn´ ym vektorem ˇreˇsen´ı soustavy je vektorová funkce 2x 3x e 2C1 e3x + C2 e2x 2e ~y (x) = = C1 +C2 . 3x 2x 3x C1 e + C2 e e e2x | {z } | {z } ~y1

~y2

Obecnˇe soustavu ~y 0 (x) = A(x)~y + ~b(x) pˇrevád´ıme na jednu rovnici n-tého ˇra´du derivován´ım, napˇr´ıklad prvn´ı rovnice, a postupnou eliminac´ı ostatn´ıch neznám´ ych funkc´ı.

40


2x 3x 2e e ˇ ıkáme, ˇze vektorové funkce ~y1 = R´ , ~ y = tvoˇr´ı 2 e3x e2x 3x 2x 2e e se fundament´ aln´ı syst´ em soustavy a matice Y = e3x e2x naz´ yvá fundament´ aln´ı matice soustavy. C 1 ~ = Oznaˇc´ıme-li vektor konstant C , pak ˇreˇsen´ı soustavy C2 3x 2x 2e e C1 ~. m˚ uˇzeme psát ve tvaru ~y = · =Y·C e3x e2x C2

Vˇsimnˇeme si, ˇze ˇc´ısla λ1 = 3, λ2 = 2 jsouvlastn´ ı ˇc´ıslama 4 2 2 1 tice soustavy A = a vektory ~h1 = , ~h2 = 1 1 1 1 jsou jim odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory. Obecné ˇreˇsen´ı soustavy tedy m˚ uˇzeme psát ve tvaru ~y (x) = C1~h1 eλ1 x + C2~h2 eλ2 x . Tento poznatek zobecn´ıme v následuj´ıc´ım paragrafu.

Metoda fundament´ aln´ıho syst´ emu a fundament´ aln´ı matice Nyn´ı máme homogenn´ı soustavu n diferenciáln´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty ~y 0 = A~y ,

x∈I.

(11)

ˇ sen´ı soustavy (11) hledáme ve tvaru ~y = ~heλx , kde ~h je konReˇ stantn´ı vektor. Po dosazen´ı do (11) dostaneme λ~heλx = A~heλx , nebo-li (λI − A)~h = ~0 ,

kde I je jednotková matice.

Tud´ıˇz λ je vlastn´ı ˇc´ıslo matice A a ~h je odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektor. R˚ uzná násobnost vlastn´ıho ˇc´ısla vede k následuj´ıc´ım moˇznostem. V pˇr´ıpadˇe, ˇze máme n r˚ uzn´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel matice A, pak kaˇzdé je jednonásobné.

a) Necht’ λi , i = 1 , . . . , n jsou navz´ ajem r˚ uzn´ a vlastn´ı ˇ c´ısla (obecnˇe komplexn´ı) matice A a ~hi (i = 1, . . . , n) jsou odpov´ıdaj´ıc´ı lineárnˇe nezávislé vlastn´ı vektory. Potom vektorové funkce ~yi (x) = ~hi eλi x ,

i = 1, 2, . . . , n


41

jsou lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy ~y 0 = A~y a tvoˇr´ı fundament´ aln´ı syst´ em dané homogenn´ı soustavy. Matice Y(x) (ˇrádu n), jej´ıˇz sloupce jsou tvoˇreny fundamentáln´ım systémem, tj. λ1 x ~ λ2 x λn x ~ ~ Y(x) = h1 e , h2 e , . . . , hn e se naz´ yvá fundament´ aln´ı matic´ı soustavy (11). Obecn´ e ˇ reˇ sen´ı soustavy (11) definujeme jako vektorov´ y násobek fundamentáln´ı matice ~, ~y (x) = Y(x) · C resp. v rozepsané podobˇe ~y (x) = C1~h1 eλ1 x + C2~h2 eλ2 x + · · · + Cn~hn eλn x , ~ = (C1 , C2 , . . . , Cn )T je libovoln´ kde C y konstantn´ı vektor. Pˇr´ıklad 3.14 : Urˇc´ıme fundamentáln´ı matici a obecné ˇreˇsen´ı soustavy y10 = 5y1 − 2y2 − 2y3 y20 = −2y1 + y2 + y3 y30 = 14y1 − 6y2 − 6y3 . Zde máme

 5 −2 −2 A =  −2 1 1  , 14 −6 −6   λ−5 2 2 det(λI−A) = det  2 λ−1 −1  = λ(λ−1)(λ+1). −14 6 λ+6 

Vlastn´ı ˇc´ısla a odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory matice A jsou: ~h1 = (0, 1, −1)T (ˇreˇsen´ı soustavy −A~h = ~0), λ1 = 0, ~h2 = (1, 0, 2)T λ2 = 1, (ˇreˇsen´ı soustavy (I − A)~h = ~0), λ3 = −1, ~h3 = (1, −1, 4)T (ˇreˇsen´ı soustavy (−I − A)~h = ~0). Fundamentáln´ı matice má tedy tvar         0 1 1 0 ex e−x Y(x) = 1 , 0 ex , −1  e−x= 1 0 −e−x  −1 2 4 −1 2ex 4e−x a obecné ˇreˇsen´ı má tvar ~ = C1~h1 + C2~h2 ex + C3~h3 e−x . ~y (x) = Y(x) · C

42


b) Necht’ λi je ri -n´ asobn´ ym vlastn´ım ˇ c´ıslem matice A. V tomto pˇr´ıpadˇe je situace sloˇzitˇejˇs´ı v závislosti na poˇctu lineárnˇe nezávisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u matice A pˇr´ısluˇsn´ ych vlastn´ımu ˇc´ıslu λ. Abychom se vyhnuli pouˇzit´ı Jordanova tvaru matice A, mus´ıme se spokojit s konstatován´ım, ˇze ve fundamentáln´ım systému, fundamentáln´ı matici a v obecném ˇreˇsen´ı vystupuj´ı lineárn´ı kombinace funkc´ı typu (viz také metodu charakteristické rovnice pro diferenciáln´ı rovnici ntého ˇra´du) eλi x ,

xeλi x ,

x2 eλi x ,

...

, xk−1 eλi x ,

k ≤ ri .

Vektorové funkce, které ve fundamentáln´ım systému pˇr´ısluˇs´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λi budeme hledat ve tvaru   Pi1 (x)  P (x)   i2  λi x ~y (x) =   e , ..   . Pin (x) kde koeficienty polynom˚ u Pij (x) stupnˇe nejv´ yˇse ri−1 urˇc´ıme z poˇzadavku, aby funkce ~y (x) byla ˇreˇsen´ım soustavy a abychom dostali chybˇej´ıc´ı lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı. Sestroj´ıme pak fundamentáln´ı matici Y(x) a obecné ˇreˇsen´ı vyjádˇr´ıme ve tvaru ~, ~y (x) = Y(x) · C

~ = (C1 , C2 , . . . , Cn )T . C

Pˇr´ıklad 3.15 : Stanovme obecné ˇreˇsen´ı, fundamentáln´ı systém a fundamentáln´ı matici soustavy ~y 0 = A~y tvaru y10 = 2y1 − y2 , y20 = y1 . 2 −1 Matice A = dané soustavy má dvojnásobné 1 0 vlastn´ı ˇc´ıslo λ1,2 = 1 a jeden vlastn´ı vektor ~h = (1, 1)T . Odpov´ıdaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı ~y (x) = ~hex nestaˇc´ı k urˇcen´ı obecného ˇreˇsen´ı. Budeme jej proto hledat ve tvaru a1 + a2 x ~y (x) = ex . b1 + b2 x


43

Dosazen´ım do soustavy ~y 0 = A~y dostaneme a1 + a2 x a 2 −1 a + a x 2 1 2 ex + · ex ex = b1 + b2 x b2 1 0 b1 + b2 x neboli a1 + a2 x + a2 = 2a1 + 2a2 x − b1 − b2 x , b1 + b2 x + b2 = a1 + a2 x . Odtud plyne b2 = a2 ,

b1 = a1 − a2 ;

takˇze obecné ˇreˇsen´ı má tvar x 1 a1 + a2 x ex . ex + a2 e x = a1 ~y (x) = −1 + x 1 (a1 − a2 ) + a2 x Fundamentáln´ı matici sestav´ıme z funkc´ı fundamentáln´ıho systému, tj. x e xex Y(x) = ex (−1 + x)ex a snadno provˇeˇr´ıme, ˇze plat´ı Y0 = AY. Pozorov´ an´ı: obecné ˇreˇsen´ı lze upravit na tvar 1 x 0 1 ~y (x) = a1 e + a2 +x ex = a1~hex + a2 (~v + x~h) ex , 1 −1 1 kde ~h = (1, 1)T je vlastn´ı vektor matice A odpov´ıdaj´ıc´ı dvojnásobnému vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1,2 = 1 a ~v je nenulové ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (A − λ1,2 I)~v = ~h . Pˇr´ıklad 3.16 : Najdeme obecné ˇreˇsen´ı soustavy y10 = y1 y20 = y2 + y3 y30 = y3 Koˇreny charakteristické rovnice   λ−1 0 0 det  0 λ − 1 −1  = (λ − 1)3 = 0 0 0 λ−1 jsou λ1,2,3 = 1 .

K v´ıcenásobnému vlastn´ımu ˇc´ıslu m˚ uˇze patˇrit v´ıce lineárnˇe nezávisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u, popˇr´ıpadˇe ”ˇretˇezec vektor˚ u”.

44


Vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 1 je trojnásobné. Obecné ˇreˇsen´ı proto hledáme ve tvaru   a1 + a2 x + a3 x 2 ~y (x) =  b1 + b2 x + b3 x2 ex . c1 + c2 x + c3 x2 Dosazen´ım do p˚ uvodn´ı soustavy a po vydˇelen´ı ex dostaneme a2 + 2a3 x + a1 + a2 x + a3 x2 = a1 +a2 x+a3 x2 b2 + 2b3 x + b1 + b2 x + b3 x2 = b1 +b2 x +b3 x2 +c1 +c2 x+c3 x2 c2 + 2c3 x + c1 + c2 x + c3 x2 = c1 +c2 x +c3 x2 . Odtud plyne a3 = a3 2a3 + a2 = a2 a2 + a1 = a1 b3 = b3 + c3 2b3 + b2 = b2 + c2 b2 + b1 = b1 + c1 c3 = c3 2c3 + c2 = c2 c2 + c1 = c1 ,

Vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1 pˇr´ısluˇs´ı dva lineárnˇe nezávislé vlastn´ı vektory ~h1 = (1, 0, 0)T , ~h2 = (0, 1, 0)T a s vektorem ~h2 tvoˇr´ı ˇretˇezec vektor ~v = (0, 0, 1)T .

neboli a2 = a3 = 0, a1 ∈ R , b2 = c1 , b3 = 0, b1 ∈ R , c2 = c3 = 0, c1 ∈ R . Obecné ˇreˇsen´ı má tedy tvar           0 0 0 1 a1 x x x           ~y (x) = b1 +c1 x e = a1 0 e +b1 1 e +c1 0 +x 1ex. 0 1 0 0 c1

Pˇr´ıklad 3.17 : Stanovme obecné ˇreˇsen´ı a fundamentáln´ı matici soustavy y10 = −y1 + y2 , y20 = −y2 + 4y3 , y30 = y1 − 4y3 . Koˇreny charakteristické rovnice   λ+1 −1 0 det  0 λ+1 −4  = λ3 + 6λ2 + 9λ = 0 −1 0 λ+4 jsou λ1,2 = −3, λ3 = 0.


45

Vlastn´ımu ˇc´ıslu λ3 = 0 pˇr´ısluˇs´ı vektor ~h3 = (1, 1, 14 )T a dvojnásobnému vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1,2 = −3 pˇr´ısluˇs´ı jeden vlastn´ı vektor ~h1 = (1, −2, 1)T. Obecné ˇreˇsen´ı hledáme proto ve tvaru     a1 + a2 x 1 −3x ~y (x) =  b1 + b2 x e + a3  1 e0·x . 1 c1 + c2 x 4 Dosazen´ım do soustavy urˇc´ıme vztahy mezi a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , tj. 2a1 − a2 + b1 = 0 , 2a1 + b2 = 0 , 2b1 − b2 + 4c1 = 0 , 2b2 + 4c2 = 0 , −c1 − c2 + a1 = 0 , −c2 + a2 = 0 . Pomoc´ı a1 , a2 vyjádˇr´ıme ostatn´ı koeficienty: b1 = a2 − 2a2 , c1 = a1 − a2 ,

b2 = −2a2 , c2 = a2 .

Takˇze obecné ˇreˇsen´ı soustavy má tvar     1 a1 + a2 x −3x    + a3 1  = ~y (x)= (a2 − 2a1 ) − 2a2 x e 1 4    a2 ) + a2 x (a1 − 1 x 1 −3x −3x + a3  1  = + a2  1 − 2x e = a1 −2e −1 +x   14     1  1 1 0 1 = a1 −2e−3x + a2  1 +x−2e−3x +a3 1= 1 1 −1 1 4 = a1~h1 e−3x + a2 (~v + x~h1 )e−3x + a3~h3 , kde (λ1,2 I − A)~h1 = ~0, (λ1,2 I − A)~v = ~h1 , (λ3 I − A)~h3 = ~0. Fundamentáln´ı matice soustavy má tedy tvar  −3x  e xe−3x 1 Y(x) =  −2e−3x (1 − 2x)e−3x 1  , e−3x (−1 + x)e−3x 14 a proto ~y (x) = Y(x) · ~a ,

~a = (a1 , a2 , a3 )T .

46


Metoda variace konstant Nyn´ı máme nehomogenn´ı soustavu diferenciáln´ıch rovnic ~y 0 = A(x)~y + ~b(x) ,

x∈I

(9)

a metodou variace konstant nalezneme jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı 1. Nejdˇr´ıve vyˇreˇs´ıme homogenn´ı soustavu ~y 0 = A(x)~y . Reˇ homogenn´ı soustavy má tvar ~, ~yh (x) = Y(x) · C ~ je vektor kde Y(x) je fundamentáln´ı matice soustavy a C konstant. 2. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (9) hledáme ve tvaru ~ ~yp (x) = Y(x) · C(x) , ~ kde C(x) je vektor funkc´ı. Po dosazen´ı do soustavy (9) máme ~ ~ 0 (x) = AY(x)C(x) ~ Y0 (x)C(x) + Y(x)C + ~b(x) . Protoˇze Y0 = AY, tak plat´ı ~ 0 (x) = ~b(x) Y(x) C ~ 0 (x) = Y−1 (x)~b(x) . C Pˇr´ımou integrac´ı urˇc´ıme ~ C(x) =

Z

Y−1 (ξ)~b(ξ) dξ

a partikulárn´ eˇsen´ı soustavy (9) dostaneme ve tvaru Rı ˇr−1 yp (x) = Y(x) Y (ξ)~b(ξ) dξ . 3. Obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy má proto tvar Z ~ + Y−1 (ξ)~b(ξ) dξ , ~y (x) = ~y (x)h + ~yp (x) = Y(x) C ~ = (C1 , C2 , . . . , Cn )T je libovoln´ kde C y konstantn´ı vektor. Pˇr´ıklad 3.18 : Metodou variace konstant ˇreˇs´ıme soustavu y10 = 4y1 − 2y2 + ex , y20 = y1 + y2 + ex .


47

1. Najdeme fundamentáln´ı matici homogenn´ı soustavy 3x 2x e e Y(x) = 1 3x 2x . e 2e 2. Protoˇze Y−1 (x) =

2e−3x −2e−3x −e−2x 2e−2x

,

tak partikulárn´ı ˇreˇsen´ı soustavy má tvar x 3x 2x Z 0 −e e e dξ = . ~yp (x) = 1 3x 2x e e−ξ −ex 2e Pokud nechceme poˇc´ıtat inverzn´ı matici k fundamentáln´ı, ~ ~ 0 (x) = pak vektor C(x) z´ıskáme vyˇreˇsen´ım soustavy Y(x) C ~b(x) , neboli e3x C10 + e2x C20 = ex 1 3x 0 x 2x 0 2 e C1 + e C2 = e . 3. Obecn´ ym ˇreˇsen´ım u ´lohy je vektorová funkce 3x 2x y1 (x) e e C1 −ex = 1 3x 2x + , x y2 (x) e e C −e 2 2 kde C1 , C2 jsou libovolné konstanty.

48


4

Posloupnosti a ˇ rady funkc´ı

Motivace Pˇri ˇreˇsen´ı poˇca´teˇcn´ı u ´lohy y 0 (x) = y(x) ,

y(0) = 1

m˚ uˇzeme formáln´ım derivován´ım dostat y 00 (x) = y 0 (x) , · · · , y (n+1) (x) = y (n) (x) , · · · ⇒ y (n) (0) = 1 . Taylor˚ uv rozvoj funkce y v bodˇe 0 tedy bude m´ıt tvar ∞

X xn y (n) (0) n y(x) = y(0) + y (0)(x − 0) + · · · (x − 0) + · · · = . n! n! n=0 0

Rovnici y 0 = y ˇreˇs´ı exponenciáln´ı funkce ex , jej´ıˇz Taylor˚ uv rozvoj ∞ n P x je . n!

ˇ sen´ı u Reˇ ´lohy jsme dostali ve tvaru tzv. mocninné ˇrady, kterou budeme zkoumat v této kapitole.

n=0

4.1 n

Pˇr. fn (x) = xn! , M = R. Posloupnost funkc´ı {fn }+∞ je omezen´ a n=1 na mnoˇ zinˇ e M, existuje-li konstanta K > 0 taková, ˇze pro vˇsechna x ∈ M a pro vˇsechna n = 1, 2, . . . plat´ı |fn (x)| ≤ K . Posloupnost fn (x) = cos nx je omezená na mnoˇzinˇe M = R konstantou K ≥ 1 .

Posloupnosti funkc´ı

Definice 4.1 : Pˇredpokládejme, ˇze funkce f1 , f2 , f3 , . . . jsou definovány na mnoˇzinˇe M ⊂ R . Potom zobrazen´ı F : n → fn , n ∈ N se naz´ yvá posloupnost funkc´ı na acenˇe {fn } . mnoˇ zinˇ e M . Znaˇc´ıme F = {fn }∞ n=1 , zkr´ Definice 4.2 : Posloupnost {fn }+∞ e n=1 konverguje v bodˇ +∞ x0 ∈ M , kdyˇz ˇc´ıselná posloupnost {fn (x0 )}n=1 konverguje. Posloupnost {fn }+∞ e na mnoˇ zinˇ e M, n=1 konverguje bodovˇ +∞ kdyˇz pro kaˇzdé x ∈ M ˇc´ıselná posloupnost {fn (x)}n=1 konverguje. Mnoˇzinu M pak naz´ yváme oborem bodov´ e konvergence a na M je definována funkce f = f (x) vztahem f (x) = lim fn (x) , n→∞

x∈M.

Funkce f se naz´ yvá bodov´ a limitn´ı funkce posloupnosti +∞ {fn }n=1 , znaˇc´ıme fn → f . Pˇr´ıklad 4.1 : Posloupnost fn (x) = nx k funkci f = 0 na mnoˇzinˇe M = R .

konverguje bodovˇe

Posloupnost {xn }+∞ M = h0, 1i má bodovou limitu n=0 , 0 x ∈ h0, 1) , f (x) = { 1 x = 1.


49

ˇ Definice 4.3 : Rekneme, ˇze posloupnost {fn }+∞ konn=1 verguje stejnomˇ ernˇ e na mnoˇ zinˇ e M k funkci f = f (x), jestliˇze lim sup |fn (x) − f (x)| = 0 . n→∞ x∈M

Znaˇc´ıme fn ⇒ f . Funkci f naz´ yváme stejnomˇ ernou limitou. Pˇr´ıklad 4.2 :

(pokraˇcován´ı pˇr´ıkladu (4.1))

Posloupnost {xn } na h0, 1i nekonverguje stejnomˇernˇe. Plat´ı totiˇz sup |xn − f (x)| = 1 ∀n ∈ N . x∈h0,1i

Zvol´ıme-li δ ∈ (0, 1), potom na intervalu h 0, δ i posloupnost {xn } konverguje stejnomˇernˇe, nebot’ pro x ∈ h0, δi je f (x) = 0 a sup |xn | = δ n → 0 pro n → ∞ . x∈h0,δi

Zároveˇ n plat´ı lim xn = 1 ∀n ∈ N,

lim f (x) = 0 .

x→1−

x→1−

Jin´ ymi slovy: lim lim xn (x) = lim 1n = 1 .

n→∞ x→1−

n→∞

n

lim lim x (x) = lim 0 = 0 .

x→1− n→∞

x→1−

Vid´ıme, ˇze limity nelze zamˇenit. Pˇr´ıklad 4.3 : Necht’ fn (x) =

sin √nx n

, n = 1, 2, . . . . Potom

lim fn (x) = f (x) = 0 na R

n→∞

a protoˇze sup x∈R

1 | sin nx| √ = √ → 0, n n

tak fn ⇒ 0 .

Zároveˇ n lim fn0 (0) = lim

n→∞

n→∞

√

n cos(0) = +∞ ,

ale ( lim fn (0))0 = f 0 (x) = 0 . n→∞

Vid´ıme, ˇze derivace limitn´ı funkce nen´ı limitou posloupˇ ıkáme, ˇze danou posloupnost {fn } nelze nosti derivac´ı. R´ ”derivovat ˇclen po ˇclenu”.

Posledn´ı pˇr´ıklad ilustruje situaci, kdy posloupnost funkc´ı spojit´ ych konverguje bodovˇe k funkci nespojité. Proto bodovou konvergenci ”vylepˇs´ıme”. Pokud posloupnost konverguje stejnomˇernˇe, pak zˇrejmˇe konverguje i bodovˇe. Uvedeme ekvivalentn´ı definice konvergence posloupnosti funkc´ı. Bodová konvergence na M: ∀ x ∈ M ∀ ε > 0 ∃ n0 (ε, x) ∀ n > n0 : |fn (x) − f (x)| < ε , Stejnomˇern´ a konvergence na M : ∀ ε > 0 ∃ n0 (ε) ∀ x ∈ M ∀ n > n0 : |fn (x)−f (x)| < ε .

50


Pˇr´ıklad 4.4 : Necht’ fn (x) = nx(1−x2 )n , x ∈ h0, 1i . Potom f (x) = lim fn (x) = 0 ∀x ∈ h0, 1i . n→∞

Zároveˇ n pro integrály ˇclen˚ u posloupnosti plat´ı Z1 lim

Z1 fn (x) dx = lim

n→∞

n→∞

0

Opˇet vid´ıme, ˇze nelze zamˇenit poˇrad´ı limitován´ı a integrován´ı, tj. limita posloupnosti integrál˚ u nen´ı rovna integrálu z limity. ˇ ıkáme, ˇze danou poR´ sloupnost nelze ”integrovat ˇclen po ˇclenu”.

n 1 = n→∞ 2n + 2 2

nx(1−x2 )n dx = lim

0

avˇsak

Z1

Z1 lim fn (x) dx = f (x) dx = 0 .

n→∞ 0

0

Vˇ eta 4.1 : (Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka spojitosti, diferencovatelnosti a integrovatelnosti limitn´ı funkce, zámˇennosti limit) a) Je-li {fn } posloupnost spojit´ ych funkc´ı na intervalu I, která na I konverguje stejnomˇernˇe k funkci f , potom funkce f = f (x) je také spojitá na I. b) Jestliˇze posloupnost {fn } Riemannovsky integrovateln´ ych funkc´ı (fn ∈ R(I), I = ha, bi) konverguje stejnomˇernˇe na I k funkci f (x), potom f ∈ R(I) a plat´ı Zb

Zb fn (x) dx =

lim

n→∞ a

Zb lim fn (x) dx =

f (x) dx .

n→∞ a

a

c) Jestliˇze posloupnost {fn } konverguje v nˇejakém bodˇe x0 ∈ I = ha, bi, fn jsou diferencovatelné funkce na I a posloupnost derivac´ı {fn0 } konverguje stejnomˇernˇe na I, potom i posloupnost {fn } konverguje stejnomˇernˇe na I, limitn´ı funkce f (x) = lim fn (x) je diferencovan→∞ telná funkce na I a plat´ı h i0 0 lim fn (x) = lim fn (x) = f 0 (x) . n→∞

n→∞

d) Necht’ fn ⇒ f na (a, b) a pro kaˇzdé n ∈ N existuje vlastn´ı limita lim fn (x) = cn . Pak existuj´ı vlastn´ı limity x→a+

lim cn , lim f (x) a jsou si rovny.

n→∞

x→a+


4.2

51

Funkˇ cn´ı ˇ rady V´ yraz

Definice 4.4 : Necht’ {fn (x)}+∞ ı defin=1 je posloupnost funkc´ novan´ ych na mnoˇzinˇe M . Potom v´ yraz +∞ X

fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · ·

n=1

se naz´ yvá nekoneˇ cn´ aˇ rada funkc´ı na mnoˇ zinˇ e M . Funkce sn (x) =

n X

fk (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x)

k=1

+∞ n X xn x 1+· · ·+ +· · · = , n! n! n=0

je ˇradou funkc´ı 1, x, x2 , . . . definovan´ ych 2! na R. Pro kaˇzdé pevné x ∈ R dostáváme ˇc´ıselnou ˇradu, která konverguje, nebot’ podle d’Alembertova krin+1 téria je lim

se naz´ yvá n-t´ y ˇ c´ asteˇ cn´ y souˇ cet ˇ rady a {sn (x)} je posloupnost ˇ c´ asteˇ cn´ ych souˇ ct˚ uˇ rady. Existuje-li lim sn (x) = s(x) , x ∈ M , n→∞

potom funkce s(x), x ∈ M , se naz´ yvá souˇ cet ˇ rady +∞ P ˇ ıkáme, ˇze ˇ fn (x) . R´ rada konverguje k funkci s(x) a

n→∞

|x| n+1 n→∞

lim

|x | (n+1)! |xn | n!

=

= 0 (< 1).

Z absolutn´ı konvergence ˇrady plyne (neabsolutn´ı) konvergence ˇrady (viz vˇeta 5.11, MA1).

n=1

mnoˇzina M se naz´ yvá obor konvergence ˇ rady . +∞ P Jestliˇze konverguje ˇrada |fn (x)| , potom ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada n=1 +∞ P

fn (x) konverguje absolutnˇ e.

n=1

ˇ Pˇr´ıklad 4.5 : Rada x2 x2 x2 x + + + ... + + ... 1 + x2 (1 + x2 )2 (1 + x2 )n 2

1 je geometrickou ˇradou s kvocientem q = 1+x 2 < 1 , x 6= 0 , a tedy konverguje pro kaˇzdé x ∈ (−∞, +∞) (pro x = 0 je sice q = 1, ale ˇrada se skládá ze sam´ ych nul). Jej´ı souˇcet je

s(x) =

x2 x2 1 + x2 = = { 1 x2 0 1 − 1+x 2 1+x2

x 6= 0 , x = 0.

Tedy souˇcet ˇrady spojit´ ych funkc´ı existuje, ale nen´ı to spojitá funkce.

K tomu, aby souˇcet ∞ P s(x) ˇrady fn (x), n=1

kde fn (x) jsou spojité funkce, byl spojit´ y, potˇrebujeme podle vˇety (4.1), aby posloupnost ˇcásteˇcn´ ych souˇct˚ u {sn (x)} konvergovala k souˇctu s(x) stejnomˇernˇe.

52 Nˇemeck´ y matematik Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897).


Vˇ eta 4.2 : (Weierstrassovo kritérium stejnomˇerné konvergence ˇrady funkc´ı) +∞ +∞ P P ’ Necht fn (x) je ˇrada funkc´ı na mnoˇzinˇe M a bn je n=1

n=1

ˇc´ıselná ˇrada s nezáporn´ ymi ˇcleny bn ≥ 0 . Necht’ dále plat´ı |fn (x)| ≤ bn ∀ n ∈ N ∀ x ∈ M +∞ +∞ P P a ˇrada bn konverguje. Potom ˇrada fn (x) konverguje n=1

se v´ yznamnˇe pod´ılel na budován´ı teorie funkc´ı komplexn´ı promˇenné pomoc´ı mocninn´ ych ˇrad. Vˇeˇril, ˇze matematika nesm´ı ztrácet kontakt s ostatn´ımi vˇedami a pˇrispˇel k rozvoji matematické fyziky, optiky a astronomie.

n=1

stejnomˇernˇe a absolutnˇe na M (tj. konverguje stejnomˇernˇe +∞ P na M také ˇrada |fn (x)|) . n=1

ˇ Rada

+∞ P

bn se naz´ yvá majoranta ˇrady

n=1

+∞ P

fn (x) .

n=1

+∞ P cos nx ˇ konverguje podle vˇet (4.1) a Pˇr´ıklad 4.6 : Rada n2 n=1

(4.2) stejnomˇernˇe ke spojité funkci, nebot’ jej´ı majoranta +∞ P 1 ı. n2 je konvergentn´

n=1

4.3

Mocninn´ eˇ rady

Definice 4.5 : Necht’ {an } je posloupnost reáln´ ych ˇc´ısel. Potom +∞ X an (x − x0 )n , x ∈ R, n=0

se naz´ yvá mocninn´ aˇ rada se stˇ redem v bodˇ e x0 ∈ R. Z vˇety (4.3) vypl´ yvá, ˇze existuje ˇc´ıslo R ≥ 0 takové, ˇze mocninná +∞ P ˇrada an (x − x0 )n n=0

konverguje absolutnˇe pro x splˇ nuj´ıc´ı nerovnost |x − x0 | < R a diverguje pro x splˇ nuj´ıc´ı nerovnost |x − x0 | > R.

Vˇ eta 4.3 : +∞ P 1. Konverguje-li mocninná ˇrada an (x − x0 )n v bodˇe n=0

x1 6= x0 , potom konverguje absolutnˇe v kaˇzdém bodˇe x otevˇreného intervalu urˇceného nerovnost´ı |x − x0 | < |x1 − x0 | . 2. Diverguje-li mocninná ˇrada v bodˇe x2 , potom diverguje v kaˇzdém bodˇe x splˇ nuj´ıc´ım nerovnost |x − x0 | > |x2 − x0 | .


53

Definice 4.6 : (Polomˇer konvergence) ˇ ıslo R ≥ 0 s v´ C´ yˇse uvedenou vlastnost´ı se naz´ yvá polomˇ er konvergence mocninné ˇrady. V pˇr´ıpadˇe, ˇze mocninná ˇrada konverguje pro kaˇzdé x ∈ R, klademe R = +∞ .

Pˇr´ıklad 4.7 :

a) Máme ˇradu

+∞ P n=0

xn n!

. Pro pevné x ∈ R

zkoumáme absolutn´ı konvergenci této ˇrady pomoc´ı pod´ılového kritéria (vˇeta 5.6 MA1). Protoˇze (n+1) x (n+1)! |x| lim xn = lim = 0 (< 1) , n→∞ n→∞ n + 1 n!

O konvergenci ˇci divergenci mocninné ˇrady v krajn´ıch bodech x0 − R a x0 + R nelze obecnˇe nic ˇr´ıci. V tˇechto bodech ˇrada bud’ konverguje, nebo diverguje v závislosti na posloupnosti {an }.

tak daná ˇrada konverguje pro vˇsechna x ∈ R, tj. R = +∞. b) Máme ˇradu

+∞ P n=1

xn n

. Nyn´ı pouˇzijeme limitn´ı odmocni-

nové kritérium (vˇeta 5.6 MA1). Protoˇze s xn lim n = |x| , n→∞ n

V krajn´ıch bodech oboru konvergence mus´ıme vyˇsetˇrit danou ˇradu samostatnˇe. Pro x = −1 ˇrada +∞ P (−1)n konverguje n

n=1

tedy daná ˇrada konverguje pro vˇsechna x splˇ nuj´ıc´ı |x| < 1, diverguje pro vˇsechna x splˇ nuj´ıc´ı |x| > 1 a polomˇer konvergence R = 1 .

podle Leibnizova kritéria. Pro x = 1 dostaneme harmonic+∞ P 1 , která kou ˇradu n n=1

diverguje.

V´ ypoˇ cet polomˇ eru konvergence mocninn´ eˇ rady Z odmocninového (Cauchyova) kritéria lze odvodit pro polomˇer konvergence vzorec: R=

1 lim sup

p . n |an |

n→∞

Jestliˇze existuje lim | aan+1 | , pak z pod´ılového (d’Alembertova) n n→∞ kritéria dostaneme 1 R= . lim | aan+1 | n n→∞

Pouˇzijeme-li odmocninové kritérium, pak obecnˇe chceme, aby platilo p lim n |an (x − x0 )n | = n→∞ p lim n |an ||x − x0 | < 1. n→∞

Podobnˇe z pod´ılového krité ria plyne (x−x0 )n+1 lim an+1 = n an (x−x0 ) n→∞

lim | an+1 ||x−x0 | < 1. an

n→∞

54 Pro x ∈ (−1, 1) je +∞ P k 1 x = 1−x . s(x) = k=0

Pro n−t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet této ˇrady plat´ı n P n+1 sn (x) = xk = 1−x . 1−x k=0

Potom n+1 |sn (x)−s(x)| = | −x | 1−x −xn+1 a sup | 1−x | = +∞ . |x|<1

Odtud plyne, ˇze ˇrada +∞ P k x nekonverguje k=0

stejnomˇernˇe na intervalu (−1, 1).


Vˇ eta 4.4 : (Stejnomˇerná konvergence mocninné ˇrady) Necht’ R ∈ (0, ∞) je polomˇer konvergence mocninné ˇrady +∞ P an (x − x0 )n a 0 < ε < R, potom mocninná ˇrada konn=0

verguje stejnomˇernˇe na uzavˇreném intervalu hx0 − R + ε, x0 + R − εi . Vˇ eta 4.5 : (o derivaci a integraci mocninné ˇrady) Mocninné ˇrady +∞ +∞ Zx X X d g(x) = [an (x − x0 )n ], F (x) = an (t − x0 )n dt dx n=0 n=0 x0

maj´ı stejn´ y polomˇer konvergence R jako ˇrada s(x) =

+∞ X

an (x − x0 )n

n=0

a plat´ı s0 (x) = g(x), F 0 (x) = s(x) pro kaˇzdé x ∈ (x0 −R, x0 +R). Pˇr´ıklady analytick´ ych funkc´ı jsou +∞ P 1 n x , sin x = ex = n! n=0

+∞ P n=0

(−1)n (2n+1)!

cos x =

D˚ usledek 4.1: Mocninnou ˇradu lze uvnitˇr oboru konvergence derivovat a integrovat ˇclen po ˇclenu, tj. derivace souˇctu se rovná souˇctu derivac´ı a integrál souˇctu se rovná souˇctu integrál˚ u.

x2n+1 ,

+∞ P n=0

(−1)n (2n)!

x2n .

Kaˇzdá mocninná ˇrada je Taylorovou ˇradou svého souˇctu, ale ne kaˇzd´ a Taylorova ˇrada funkce f konverguje k funkci f . Napˇr´ıklad funkce f (x) = |x| má v bodˇe x0 = 1 vˇsechny derivace a jej´ı Taylorova ˇrada je 1(x−1)0 +1(x−1)1 = x, coˇz nen´ı p˚ uvodn´ı funkce (pro x < 0) . ´ Uloha nalézt Taylorovu ˇradu funkce f se naz´ yvá rozvoj funkce f v mocninnou ˇ radu.

Pˇr´ıklad 4.8 : Pomoc´ı pˇredchoz´ı vˇety (4.5) najdeme souˇcet +∞ P xn ˇrady ım derivován´ım dostaneme geometrickou n . Jej´ ˇradu

n=1 +∞ P

n=0

xn =

1 1−x

. Zpˇetnˇe po integrován´ı plat´ı

+∞ P n=1

xn n

=

− ln |1 − x| pro x ∈ (−1, 1) .

Definice 4.7 : Necht’ funkce f = f (x) má derivace vˇsech ˇra´d˚ u v bodˇe x0 . Mocninná ˇrada +∞ (n) X f (x0 ) n=0

n!

(x − x0 )n ,

se naz´ yvá Taylorova ˇ rada funkce f . Jestliˇze se nav´ıc souˇcet Taylorovy ˇrady rovná funkci f , pak se funkce f naz´ yvá analytick´ a funkce na oboru konvergence.


55

Taylorova metoda ˇ reˇ sen´ı poˇ c´ ateˇ cn´ıch u ´ loh Pˇredpokládejme, ˇze ˇreˇsen´ı y(x) poˇcáteˇcn´ı u ´lohy má v bodˇe x0 ˇ derivace vˇsech ˇra´d˚ u. Reˇsen´ı pak hledáme ve tvaru y 00 (x0 ) y(x) = y(x0 ) + y (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . 2! 0

a hodnoty y(x0 ), y 0 (x0 ), . . . a z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek.

urˇc´ıme z diferenciáln´ı rovnice

ˇ s´ıme poˇca´teˇcn´ı u ´lohu Pˇr´ıklad 4.9 : Reˇ y 00 = xy,

y(0) = 4, y 0 (0) = 3 .

Z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek plyne y 00 (0) y(x) = 4 + 3(x − 0) + (x − 0)2 + . . . . 2! Z rovnice dostaneme postupn´ ym derivován´ım: y 00 (x) = x y(x) ⇒ y 00 (0) = 0 y(0) = 0 , y 000 (x) = y(x) + x y 0 (x) ⇒ y 000 (0) = y(0) + 0 · y 0 (0) = 1 · 4 , y IV (x) = y 0 (x) + y 0 (x) + x y 00 (x) ⇒ y IV (0) = 2y 0 (0) + 0 · y 00 (0) = 2 · 3 , .. . (n) (n−3) y (x) = (n − 2)y (x) + x y (n−2) (x) ⇒ y (n) (0) = (n − 2)y (n−3) (0) . Obecnˇe y (3n) (0) = (3n − 2)(3n − 5) · · · 4 · 1 · 4 , y (3n+1) (0) = (3n − 1)(3n − 4) · · · 5 · 2 · 3 , y (3n+2) (0) = 0 . Po dosazen´ı do pˇredpokládaného tvaru ˇreˇsen´ı dostaneme: y(x) = 4 + 3x + 3!4 x3 + 4!3 x4 + . . . ∞ P = 4+3x+ 4 (3n−2)(3n−5)···4·1 x3n +3 (3n−1)(3n−4)···5·2 x3n+1 . (3n)! (3n+1)! n=1

yˇse uveden´ y formáln´ı postup byl Pozn´ amka 4.1 : Aby v´ oprávnˇen´ y, mus´ıme dokázat konvergenci vypoˇctené Taylorovy ˇrady. To vˇsak m˚ uˇze b´ yt daleko komplikovanˇejˇs´ı neˇz cel´ y pˇredcházej´ıc´ı v´ ypoˇcet.

Mocninné ˇrady se pouˇz´ıvaj´ı v teorii aproximac´ı, pˇri konstrukci primitivn´ıch funkc´ı, pˇri ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic a velmi ˇcasto v teorii funkc´ı komplexn´ı promˇenné.

56


Metoda neurˇ cit´ ych koeficient˚ u (pro ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic) Tato metoda se pouˇz´ıvá ke stanoven´ı fundamentáln´ıho systému lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice. Pˇredpokládáme, ˇze ˇreˇsen´ı y(x) je ve tvaru mocninné ˇrady se stˇredem v bodˇe 0 , tedy y(x) =

+∞ X

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . .

n=0

Formáln´ım derivován´ım ”ˇclen po ˇclenu”dostáváme +∞ P 0 y (x) = nan xn−1 y 00 (x) =

n=1 +∞ P

n(n − 1)an xn−2

atd.

n=2

Po dosazen´ı do rovnice a vyuˇzit´ı poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek vypoˇc´ıtáme koeficienty an , n = 0, 1, 2, . . . . ˇ s´ıme poˇca´teˇcn´ı u Pˇr´ıklad 4.10 : Reˇ ´lohu y 00 = xy ,

y(0) = 0, y 0 (0) = 1 .

Po dosazen´ı za y(x), y 00 (x) obdrˇz´ıme: +∞ X

n(n − 1)an x

n−2

=x

n=2 +∞ X

+∞ X

an x n ⇒

n=0

[(n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 ]xn + 2a2 = 0 .

n=1

Odtud plyne: 2a2 = 0 , a3 a6 = 6·5 = Obecné ˇreˇsen´ı rovnice y 00 = xy m˚ uˇzeme tedy psát ve tvaru y(x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x) , kde y1 (x) = 1 +

x3 2·3

y2 (x) = x +

x4 3·4

+

x6 2·3·5·6

+ ... ,

+

x7 3·4·6·7

+ ... .

Funkce y1 , y2 jsou lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı dané rovnice, která tvoˇr´ı fundamentáln´ı systém.

a3 = a0 6·5·3·2 ,

a0 3·2

a1 a4 = 4·3 , a4 a1 a7 = 7·6 = 7·6·4·3 ,

,

a5 = atd.

a2 5·4

= 0,

Dostáváme tedy y(x) = a0 (1 +

x3 2.3

+

x6 2.3.5.6

+ ... +

x3n 2.3.5.6...(3n−1)3n

+ . . .)

+ a1 (x +

x4 3.4

+

x7 3.4.6.7

+ ... +

x3n+1 3.4.6.7...3n(3n+1)

+ . . .) .

Z poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek obdrˇz´ıme a0 = y(0) = 0,

a1 = y 0 (0) = 1.

Je moˇzné ukázat, ˇze v´ yˇse uvedená mocninná ˇrada má polomˇer konvergence R = +∞ , tj. ˇreˇsen´ı poˇca´teˇcn´ı u ´lohy je definováno na celém R.


4.4

57

Trigonometrick´ e Fourierovy ˇ rady

Definice 4.8 : (Fourierova ˇrada podle základn´ıho systému) Necht’ f ∈ R(h−π, πi). Trigonometrick´ aˇ rada +∞ a0 X (ak cos kx + bk sin kx), + 2 k=1

jej´ıˇz koeficienty jsou urˇceny vzorci Zπ 1 ak = f (ξ) cos kξ dξ, k = 0, 1, 2, . . . , π bk =

1 π

Dosud jsme funkce hledali ve tvaru mocninné ˇrady, vyjadˇrovali jsme je v ”bázi polynom˚ u” 1 , x , x2 , . . . . Nyn´ı zavedeme novou ”bázi trigonometrick´ ych funkc´ı” 12 , sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . .

−π Zπ

f (ξ) sin kξ dξ,

k = 1, 2, 3, . . . ,

−π

se naz´ yvá Fourierova ˇ rada funkce f podle (z´ trigonometrick´ eho syst´ emu 1akladn´ıho) 2 , cos x, sin x, cos 2x, . . . . Koeficient˚ um ak , bk urˇcen´ ym uveden´ ymi vzorci se ˇr´ıká Fourierovy koeficienty funkce f a pˇr´ısluˇsné Fourierovˇe ˇradˇe se také ˇr´ıká Fourier˚ uv rozvoj funkce f . Pozn´ amka 4.2 : Chceme formálnˇe vyjádˇrit funkci f ve tvaru +∞ P a0 f (x) = 2 + (ak cos kx + bk sin kx) . Po vynásoben´ı k=1

funkc´ı sin nx a integrován´ı dostaneme

Rπ

f (x) sin nx dx =

−π

Rπ −π

a0 2

sin nx dx +

+∞ P Rπ

(ak cos kx + bk sin kx) sin nx dx .

k=1 −π

Rπ

Zároveˇ n pro k = n je

(sin nx)2 dx = π , jinak ale plat´ı

−π Rπ

Rπ

sin kx sin nx dx = 0 a

−π

cos kx sin nx dx = 0 . Odtud ply-

−π

nou vztahy pro ak , bk . Pˇr´ıklad 4.11 : Stanov´ıme Fourierovu ˇradu funkce f (x) = x, x ∈ h−π, π) podle základn´ıho trigonometrického systému, tj. ve tvaru +∞ a0 X + (ak cos kx + bk sin kx). 2 k=1

Vypoˇcteme koeficienty ak , bk :

ˇ ıkáme, ˇze funkce R´ cos kx , sin nx jsou ortogonáln´ı. Fourierovy ˇrady (pokud konverguj´ı) pˇredstavuj´ı ”analytické”vyjádˇren´ı 2π-periodick´ ych funkc´ı z´ıskan´ ych mˇeˇren´ım periodick´ ych dˇej˚ u (kmit˚ u, signál˚ u, apod.).

58


1 ak = π

Zπ ξ cos kξ dξ = 0 ,

k = 0, 1, 2, . . . ,

−π

1 bk = π

Zπ

2 ξ sin kξ dξ = π

Zπ

−π

2 ξ sin kξ dξ = (−1)k−1 , k = 1, . . . . k

0

V´ ysledek p´ıˇseme ve tvaru: sin 2x sin 3x sin kx f (x) ∼ 2 sin x − + − . . . + (−1)k−1 + ... 2 3 k Integrál liché funkce na symetrickém intervalu je nulov´ y. Integrál sudé funkce na symetrickém intervalu h−a, ai se rovná dvojnásobku daného integrálu na poloviˇcn´ım intervalu h0, ai.

Pˇr´ıklad 4.12 : Vypoˇc´ıtáme Fourierovu ˇradu 2π-periodického prodlouˇzen´ı funkce f (x) = x2 , x ∈ h−π, π) podle základn´ıho trigonometrického systému. a0 = ak = bk =

V pˇr´ıkladu 4.11 je f (−π) = −π, ale souˇcet ˇrady v bodˇe −π je nula.

V pˇr´ıkladu 4.11 je f (π+) = −π, f (π−) = π, (−π− ) = 0, tedy f (−π+ )+f 2 coˇz odpov´ıdá souˇctu Fourierovy ˇrady.

1 π 1 π 1 π

Rπ −π Rπ −π Rπ

ξ 2 dξ =

2π 2 3 ,

Rπ

2 π

ξ 2 cos kξ dξ =

0

ξ 2 sin kξ dξ = 0 ,

k

ξ 2 cos kξ dξ = 4 (−1) k2 , k = 1, 2, 3, . . . .

−π

π2 cos 2x cos 3x f (x) ∼ − 4 cos x − + − ... . 3 22 32 Protoˇze periodické prodlouˇzen´ı funkce f je spojitá funkce a má po ˇcástech spojitou derivaci, plat´ı podle vˇety (??) π2 cos 2π cos 3π rovnost s(π) = f (π) ⇒ 3 −4 cos π− 22 + 32 −. . . = π 2 . Tedy ∞ π2 X 1 = . 6 k2 k=1

Cviˇcen´ı 4.1 : Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f (x) ={

−π ≤ x ≤ 0, 0 < x < π,

0, x,

podle základn´ıho trigonometrického systému, tj. ve tvaru +∞

a0 X + (ak cos kx + bk sin kx). 2 k=1

[ f (x) ∼

π 4

−

2 π

cos x +

sin x − 21 sin 2x + 13 sin 3x − . . . . ]

1 32

cos 3x +

1 52

cos 5x + . . . +


5

59

Skal´ arn´ı funkce v´ıce re´ aln´ ych promˇ enn´ ych

5.1

Prostor Rn

Symbolem Rn oznaˇcujeme mnoˇ zinu vˇ sech uspoˇ r´ adan´ ych n n-tic re´ aln´ ych ˇ c´ısel, tj. R = {x : x = [x1 , x2 , . . . , xn ]}, xi ∈ R . n Mnoˇzinu R chápeme bud’ jako mnoˇzinu bod˚ u, nebo jako vektorov´ y prostor, pokud v této mnoˇzinˇe zavedeme algebraické operace splˇ nuj´ıc´ı axiómy lineárn´ıho prostoru. Vektory znaˇc´ıme ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ), ˇc´ısla xi , i = 1, . . . , n se naz´ yvaj´ı sloˇ zky (souˇ radnice) vektoru (bodu). Definice 5.1 : Necht’ ~x, ~y , ~z ∈ Rn , potom pomoc´ı následuj´ıc´ıch vztah˚ u definujeme 1. skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u ~x, ~y n X ~x · ~y = xi yi , i=1

2. normu vektoru ~x

Vektorov´ y prostor, v nˇemˇz je definován skalárn´ı souˇcin se naz´ yvá eukleidovsk´ y prostor. Pro skalárn´ı souˇcin se také pouˇz´ıvá znaˇcen´ı (~x, ~y ) .

v u n √ uX x2i = ~x · ~x , k~x k = t i=1

3. vzd´ alenost bod˚ u x, y (”délka vektoru ~x − ~y ”) v u n uX ρ(~x, ~y ) = kx − yk = t (xi − yi )2 . i=1

Z uveden´ ych definic bezprostˇrednˇe plyne: 1. Pro libovolné ~x, ~y ∈ Rn plat´ı a) ~x · ~y = ~y · ~x , b) (~x + ~y ) · ~z = ~x · ~z + ~y · ~z , c) (α~x ) · ~y = α~x · ~y pro libovolné α ∈ R , d) ~x · ~x > 0 pro ~x 6= ~0 . 2. Pro libovolné ~x, ~y ∈ Rn plat´ı: a) k~x k > 0 pro ~x 6= ~0, k~0 k = 0 , b) kα~x k = |α| k~x k pro libovolné α ∈ R , c) k~x + ~y k ≤ k~x k + k~y k (troj´ uheln´ıková nerovnost) .

Vektor ~0 = (0, 0, . . . , 0) se naz´ yvá nulov´ y vektor.

60


3. Pro libovolné ~x, ~y , ~z ∈ Rn plat´ı: a) ρ(~x, ~y ) ≥ 0 ;

ρ(~x, ~y ) = 0, právˇe kdyˇz ~x = ~y ,

b) ρ(~x, ~y ) = ρ(~y , ~x ), c) ρ(~x, ~z ) ≤ ρ(~x, ~y ) + ρ(~y , ~z ) . 4. Pro kaˇzdé ~x, ~y ∈ Rn plat´ı Cauchyova-Schwarzova nerovnost |~x · ~y | ≤ k~x k · k~y k tj. s n sn n P P P 2 xi yi ≤ xi · yi2 i=1

i=1

i=1

y

5. Pro nenulové ~x, ~y existuje ˇc´ıslo ϕ ∈ h0, πi, které se naz´ yvá u ´ hlem vektor˚ u ~x, ~y , takové, ˇze

~y ϕ

ϕ = arccos ~x

0

x

~x · ~y , k~x k · k~y k

·~y nebot’ |~x · ~y | ≤ k~x k · k~y k ⇔ −1 ≤ k~x ~xk·k~ y k ≤ 1 a odtud vypl´ yvá ~x · ~y = k~x k · k~y k cos ϕ pro jisté ϕ ∈ h0, πi.

Cviˇcen´ı 5.1 : Dokaˇzte ekvivalenci troj´ uheln´ıkové nerovnosti a Schwarzovy nerovnosti. [ k~x k2 +2k~x k k~y k+k~y k2 = (k~x k+k~y k)2 ≥ k~x +~y k2 = (~x +~y , ~x +~y ) = (~x, ~x ) + (~x, ~y ) + (~y , ~x ) + (~y , ~y ) = k~x k2 + 2(~x, ~y ) + k~y k2 ⇔ k~x k k~y k ≥ |(~x, ~y )|. ]

Z geometrického pohledu je okol´ı bodu vlastnˇe koule, jej´ıˇz povrch je tvoˇren sf´ erou {x ∈ Rn : kx−x0 k = ε}. Podobnˇe naz´ yváme kv´ adrem mnoˇzinu {x ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi ; ai , bi ∈ R, i = 1, . . . , n}. Jestliˇze nadefinujeme otevˇrené mnoˇziny, potom hovoˇr´ıme o topologii daného prostoru.

Definice 5.2 : (okol´ı, otevˇrená mnoˇzina v Rn ) Mnoˇzinu U (x0 ) = {x ∈ Rn : kx − x0 k < ε} nazveme okol´ı bodu x0 . Mnoˇzinu P (x0 ) = {x ∈ Rn : 0 < kx − x0 k < ε} nazveme prstencov´ e okol´ı bodu x0 . ˇ Rekneme, ˇze bod x0 ∈ Ω je vnitˇ rn´ım bodem mnoˇziny Ω, jestliˇze existuje okol´ı Uε (x0 ) takové, ˇze Uε (x0 ) ⊂ Ω . Mnoˇzinu vnitˇrn´ıch bod˚ u mnoˇziny Ω znaˇc´ıme intΩ a naz´ yváme vnitˇ rkem mnoˇziny Ω . Mnoˇzina Ω se naz´ yvá otevˇ ren´ a, kdyˇz Ω = intΩ (je tvoˇrena pouze vnitˇrn´ımi body). Mnoˇzina Ω se naz´ yvá souvisl´ a, jestliˇze jej´ı libovolné dva body lze spojit kˇrivkou a Ω je oblast, jestliˇze je otevˇrená a souvislá.


61

Definice 5.3 : (uzavˇrená mnoˇzina) Bod x0 ∈ Rn se naz´ yvá hromadn´ y bod mnoˇziny Ω, jestliˇze kaˇzdé jeho prstencové okol´ı P (x0 ) obsahuje alespoˇ n jeden bod x ∈ Ω. Takov´ y bod mnoˇziny Ω, kter´ y nen´ı jej´ım hromadn´ ym bodem, se naz´ yvá izolovan´ y bod mnoˇziny Ω . n Bod x0 ∈ R je hraniˇcn´ım bodem Ω, kdyˇz kaˇzdé jeho okol´ı U (x0 ) obsahuje jak body x ∈ Ω, tak body y 6∈ Ω . Hranice mnoˇ ziny Ω je tvoˇrena jej´ımi hraniˇcn´ımi body. Znaˇc´ıme ji ∂Ω . Uz´ avˇ er mnoˇ ziny Ω je mnoˇzina Ω = Ω ∪ ∂Ω . ˇ Rekneme, ˇze mnoˇzina Ω je uzavˇ ren´ a, jestliˇze Ω = Ω. ˇ Rekneme, ˇze mnoˇzina Ω je omezen´ a, jestliˇze ∃ K ∈ R ∀ x ∈ Ω : kxk < K .

Okol´ı hromadného bodu obsahuje nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u mnoˇziny Ω . Okolo izolovaného bodu existuje okol´ı, které celé neleˇz´ı v Ω . ˇ ast okol´ı hraniˇcn´ıho C´ bodu leˇz´ı v mnoˇzinˇe, ˇca´st vnˇe mnoˇziny Ω . Uzavˇrená mnoˇzina se rovná svému uzávˇeru, obsahuje svou hranici. Omezená mnoˇzina leˇz´ı v kouli o polomˇeru K.

Definice 5.4 : (posloupnost v Rn ) Zobrazen´ı f : N → Rn pˇriˇrazuj´ıc´ı kaˇzdému k ∈ N bod (vektor) xk ∈ Rn naz´ yváme posloupnost (bod˚ u, vektor˚ u) v Rn . Znaˇc´ıme f = {xk } . Definice 5.5 : (konvergentn´ı posloupnost) Posloupnost {xk } ⊂ Rn je konvergentn´ı v Rn , jestliˇze ∃ x0 ∈ Rn ∀ ε > 0 ∃ k0 ∈ N ∀ k ∈ N : k > k0 ⇒ kxk −x0 k < ε . P´ıˇseme lim xk = x0 , k→+∞

resp. xk → x0

pro k → +∞ .

Vˇ eta 5.1 : (konvergence po sloˇzkách) Posloupnost {xk } je konvergentn´ı v Rn právˇe tehdy, kdyˇz posloupnosti vˇsech sloˇzek {xki } jsou konvergentn´ı v R, tj. xk → x0

⇔

xki → x0i ,

i = 1, 2, . . . , n .

D˚ ukaz : plyne ze vztah˚ u v u n uX |xki − x0i | ≤ kxk − x0 k = t (xki − x0i )2 . i=1

Poznamenejme, ˇze uzavˇrená mnoˇzina obsahuje limity vˇsech konvergentn´ıch posloupnost´ı prvk˚ u této mnoˇziny, tj. plat´ı: Ω ⊂ Rn je uzavˇrená (Ω = Ω) právˇe tehdy, kdyˇz kaˇzdá konvergentn´ı posloupnost prvk˚ u z Ω má limitu v Ω .

Protoˇze máme eukleidovsk´ y vektorov´ y n prostor R , hovoˇr´ıme o konvergenci vzhledem k eukleidovské normˇe. Analogicky definujeme konvergenci vzhledem k jiné normˇe ˇci jiné metrice.

62


5.2 Definiˇcn´ım oborem D(f ) funkce f je tedy mnoˇzina Ω .

Z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı v Rn

Definice 5.6 : (funkce n-promˇenn´ ych) n Necht’ Ω ⊂ R . Zobrazen´ı f : Ω → R pˇriˇrazuj´ıc´ı kaˇzdému argumentu x ∈ Ω funkˇ cn´ı hodnotu f (x) se naz´ yvá re´ aln´ a funkce n re´ aln´ ych promˇ enn´ ych definovaná na Ω . Znaˇc´ıme f : x → f (x) , f = f (x) . , Mnoˇzina G = {[x, f (x)] ∈ Rn+1 : x ∈ Ω} se naz´ yvá graf funkce f . Mnoˇzina HC = {x ∈ Ω : f (x) = C} , C ∈ R , se naz´ yvá hladina (vrstevnice) funkce f . (Je to mnoˇzina bod˚ u definiˇcn´ıho oboru, v nichˇz funkce f nab´ yvá stejné funkˇcn´ı hodnoty). Pˇr´ıklad 5.1 : Grafem funkce f : R2 → R dané pˇredpisem f (x1 , x2 ) = x√21 +x22 je paraboloid a jej´ı hladiny jsou kruˇznice o polomˇeru C . Definice 5.7 : (limita funkce n-promˇenn´ ych) Necht’ je dána funkce f : Ω → R, Ω ⊂ Rn a necht’ x0 je hromadn´ y bod mnoˇziny Ω . Jestliˇze ∃L ∈ R takové, ˇze

Jednotlivé podm´ınky v definici limity jsou ekvivalentn´ı. Také se naz´ yvaj´ı Heineho, Cauchyho, popˇr. topologická definice limity.

1. ∀{xk }, xk ∈ Ω, xk 6= x0 : xk → x0 ⇒ f (xk ) → L , 2. ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ Ω, 0 < kx−x0 k < δ ⇒ |f (x)−L| < ε , 3. ∀ U (L) ⊂ R ∃ P (x0 ) ⊂ R : f (Ω ∩ P (x0 )) ⊂ U (L) , pak ˇrekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 limitu L (vlastn´ı) a p´ıˇseme lim f (x) = L . x→x0

Cviˇcen´ı 5.2 : Modifikujte Cauchyho definici limity pro lim f (x) = ∞

x→x0

a

lim f (x) = L .

x→∞

[ ∀K > 0 ∃δ(K) > 0 ∀x ∈ Ω, 0 < kx−x0 k < δ ⇒ f (x) > K , ∀ε > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ Ω, kxk > K ⇒ |f (x)−L| < ε , ]


63

Pˇr´ıklad 5.2 : Vypoˇc´ıtáme limitu funkce f (x, y) = x3 − y 3 v bodˇe [1, 2] . Necht’ {xk }, {yk } jsou libovolné posloupnosti reáln´ ych ˇc´ısel takové, ˇze xk → 1 a yk → 2 . Pak x3k → 1, yk3 → 8 ⇒ f (xk , yk ) = x3k − yk3 → 1 − 8 = −7. Tedy lim (x3 − y 3 ) = −7 .

Vyuˇz´ıváme vˇetu 4.6 z MA1 o algebˇre limit funkc´ı jedné reálné promˇenné.

[x,y]→[1,2])

Pˇr´ıklad 5.3 : Stanovme

y x [x,y]→[0,0]

lim

.

Zvol´ıme posloupnost {xk , yk } = { k1 , kc }, c ∈ R, pak dostac neme lim k1 = c . Vid´ıme, ˇze daná funkce nemá v bodˇe k→∞ k ˇ ıslo c m˚ [0, 0] limitu. (C´ uˇzeme volit libovolnˇe, tedy neexistuje ˇc´ıslo L, ke kterému se bl´ıˇz´ı funkˇcn´ı hodnoty funkce f .) Vˇ eta 5.2 : (jednoznaˇcnost limity, algebra limit) 1. Má-li funkce f v bodˇe x0 limitu (vlastn´ı), potom je tato limita jediná. 2. Existuj´ı-li lim f (x) = Lf , lim g(x) = Lg , potom plat´ı x→x0

x→x0

lim f (x) ± g(x) = Lf ± Lg , lim f (x)g(x) = Lf · Lg ,

x→x0

(x) lim fg(x) x→x0

x→x0

=

Lf Lg ,

Lg 6= 0 .

Definice 5.8 : (ˇcásteˇcné limity, v´ıcenásobné limity v R2 ) Mˇejme funkci f = f (x, y) definovanou v okol´ı bodu [x0 , y0 ]. Existuje-li pro kaˇzdé pevné y lim f (x, y) = ϕ(y),

x→x0

naz´ yvá se ˇ c´ asteˇ cn´ a (parci´ aln´ı) v promˇenné x. Existuje-li

limita

funkce

f

L1 = lim ϕ(y) = lim lim f (x, y), y→y0

y→y0 x→x0

naz´ yvá se dvojn´ asobnou limitou funkce f v bodˇe [x0 , y0 ] . Analogicky definujeme pro pevné x ψ(x) = lim f (x, y) a L2 = lim ψ(x) = lim lim f (x, y). y→y0

x→x0

x→x0 y→y0

Poloˇz´ıme-li y = c x , pak v limitˇe dostaneme lim xy = c . [x,y]→[0,0]

K limitn´ımu bodu se bl´ıˇz´ıme po pˇr´ımkách. Pozor tato metoda je vhodná pouze k d˚ ukazu neexistence limity, nikoli jej´ı existence.

64


Pˇr´ıklad 5.4 : Pro funkci f (x, y) = x2xy asobné +y 2 najdeme dvojn´ limity v bodˇe [0, 0] . xy xy lim lim 2 = lim lim = 0. y→0 x→0 x + y 2 x→0 y→0 x2 + y 2 Limitu funkce f budeme hledat ”po pˇr´ımkách”y = kx, potom kx2 k xy = lim = , lim 2+1 [x,y]→[0,0] x2 + y 2 x→0 k 2 x2 + x2 k y=kx tud´ıˇz hledaná limita neexistuje. Pˇr´ıklad 5.5 : Hledáme limity funkce f , kde x sin y1 + y sin x1 f (x, y) = { 0 Existence a rovnost dvojnásobn´ ych limit nezaruˇc´ı existenci limity funkce v bodˇe a obrácenˇe z existence limity nevypl´ yvá existence dvojnásobn´ ych limit. Pˇresto, jestliˇze existuje (dvojná) limita a ”vnitˇrn´ı limity”, pak existuj´ı dvojnásobné limity.

x 6= 0, y 6= 0, x = 0, y = 0 ,

v okol´ı bodu [0, 0]. 1 1 Z odhadu x sin y +y sin x ≤ |x|+|y| plyne lim f (x, y) = 0, [x,y]→[0,0]

ale limity lim x sin y1 , lim y sin x1 neexistuj´ı, tud´ıˇz neexistuj´ı y→0

x→0

ani dvojnásobné limity. Vˇ eta 5.3 : (vztah dvojné limity a dvojnásobn´ ych limit) Necht’ funkce f = f (x, y) je definovaná (aspoˇ n) v prstencovém okol´ı P ([x0 , y0 ]) bodu [x0 , y0 ] a existuje limita lim

f (x, y) = L.

[x,y]→[x0 ,y0 ]

Necht’ dále existuj´ı ˇca´steˇcné limity lim f (x, y) = ϕ(y),

[x0 , y] ∈ P ([x0 , y0 ]),

lim f (x, y) = ψ(x),

[x, y0 ] ∈ P ([x0 , y0 ]).

x→x0

y→y0

Potom existuj´ı dvojnásobné limity L1 = lim ϕ(y) = lim lim f (x, y), y→y0

y→y0 x→x0

L2 = lim ψ(x) = lim lim f (x, y) x→x0

x→x0 y→y0

a plat´ı L1 = L2 = L. (Tedy existence L, ϕ(x), ψ(x) je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro existenci L1 , L2 a jejich rovnost L.)


65

Definice 5.9 : (Spojitost) Funkce f : Ω → R je spojit´ a v hromadném bodˇe x0 mnoˇziny n Ω ⊂ R , jestliˇze lim f (x) = f (x0 ). x→x0

Funkce f je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e Ω, je-li spojitá v kaˇzdém bodˇe x ∈ Ω. Bod x0 je bodem nespojitosti funkce, nen´ı-li v nˇem funkce f spojitá.

Vˇ eta 5.4 : (vlastnosti spojit´ ych funkc´ı) 1. Souˇcet, rozd´ıl, souˇcin, pod´ıl (s v´ yjimkou nulov´ ych hodnot jmenovatele) spojit´ ych funkc´ı je funkce spojitá.

Funkce f je spojitá, kdyˇz pro kaˇzdou posloupnost xk → x0 , posloupnost funkˇcn´ıch hodnot {f (xk )} konverguje k ˇc´ıslu f (x0 ). V izolovaném bodˇe x0 ∈ Ω se funkce f povaˇzuje za spojitou, je-li v tomto bodˇe definována. Jestliˇze v bodˇe nespojitosti existuje vlastn´ı limita funkce f , pak ˇr´ıkáme, ˇze nespojitost je odstranitelná.

2. Je-li f definovaná v nˇejakém okol´ı x0 , spojitá v bodˇe x0 a f (x0 ) 6= 0, potom existuje okol´ı U (x0 ) bodu x0 , v nˇemˇz sgn f (x) = sgn f (x0 )

∀ x ∈ U (x0 ) .

3. (O mezihodnotˇe). Je-li f spojitá na souvislé mnoˇzinˇe Ω ⊂ Rn a kdyˇz pro x1 , x2 ∈ Ω je f (x1 ) 6= f (x2 ), potom pro kaˇzdé ˇc´ıslo y leˇz´ıc´ı mezi ˇc´ısly f (x1 ), f (x2 ) existuje aspoˇ n jedno x0 ∈ Ω takové, ˇze f (x0 ) = y. 4. (Weierstrass). Je-li funkce f spojitá na kompaktn´ı (tzn. omezené a uzavˇrené) mnoˇzinˇe Ω ⊂ Rn , potom je na Ω omezená a existuj´ı body xm , xM ∈ Ω takové, ˇze f (xm ) = inf f (x) ; x∈Ω

f (xM ) = sup f (x) x∈Ω

(tˇemto ˇc´ısl˚ um se ˇr´ıká minimum, resp. maximum funkce na mnoˇzinˇe Ω). 5. Je-li funkce f spojitá na kompaktn´ı mnoˇzinˇe Ω ⊂ Rn , potom je na Ω stejnomˇernˇe spojitá, tj. pro kaˇzdé dvˇe posloupnosti {xm } , {xk } z Ω takové, ˇze kxm−xk k → 0, plat´ı |f (xm ) − f (xk )| → 0 .

Porovnejte vˇetu 5.4 s vˇetou 6.6 z MA1.

66


Pˇr´ıklad 5.6 : y 1. Funkce f (x, y) = x2 +y je spojitá v kaˇzdém bodˇe 2 [x, y] 6= (0, 0), ale v bodˇe (0, 0) spojitá nen´ı, a nav´ıc nespojitost nen´ı odstranitelná. x sin y1 + y sin x1 xy 6= 0 , 2. Funkce f (x, y) = { 0 xy = 0 , je spojitá v bodˇe [0, 0], avˇsak v kaˇzdém okol´ı tohoto bodu existuj´ı body nespojitosti (body souˇradnicov´ ych os). xy 2

x2 + y 2 6= 0 , 3. Funkce f (x, y) = { 0 x2 + y 2 = 0 , je spojitá v bodˇe [0, 0], coˇz dokáˇzeme pˇrechodem k polárn´ım souˇradnic´ım. Poloˇz´ıme x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, potom 2 r3 cos ϕ(sin ϕ)2 lim x2xy+y2 = lim = 0. r2 r→0 x2 +y 2

Pˇri pˇrechodu k polárn´ım souˇradnic´ım plat´ı následuj´ıc´ı ekvivalence [x, y] → [0, 0] ⇔ k[x, p y] − [0, 0]k → 0 ⇔ 2 2 px + y → 0 ⇔ r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ → 0 ⇔ r → 0+ . Pomoc´ı tohoto pˇrechodu lze tedy dokázat existence limity funkce.

[x,y]→[0,0]

5.3

ϕ∈h0,2π)

Derivace a diferenci´ al

Definice 5.10 : (derivace podle vektoru, parciáln´ı derivace) Mˇejme funkci f : Ω → R, Ω ⊂ Rn , x0 ∈ Ω a existuje okol´ı U (x0 ) ⊂ Ω . Je dán (pevn´ y) vektor ~s ∈ Rn , ~s = (s1 , s2 , . . . , sn ). Jestliˇze existuje koneˇcná limita d ∂f (x0 ) f (x0 + t~s ) − f (x0 ) = f (x0 + t~s )|t=0 = , t→0 t dt ∂~s

lim

pak se naz´ yvá derivace funkce f v bodˇ e x0 podle vektoru ~s (nebo také variace funkce f v bodˇe x0 ) , je-li ~s jednotkov´ y vektor, tj. k~s k = 1, pak se tato limita naz´ yvá derivace funkce f v bodˇ e x0 ve smˇ eru ~s. Jestliˇze ~s = ~ei (jednotkov´ y vektor ve smˇeru osy xi ), potom ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) = ∂~ei ∂xi a hovoˇr´ıme o parci´ aln´ı derivaci funkce f v bodˇ e x0 podle xi a o funkci f ˇr´ıkáme, ˇze je derivovateln´ a v bodˇ e x0 podle promˇ enn´ e xi .


67

Pˇr´ıklad 5.7 : Uvaˇzujeme funkci f (x, y) = xy 2 , vektor ~s = (s1 , s2 ) = (1, 2) a bod [x0 , y0 ] = [1, 1] . Potom dostaneme ∂f (x0 ,y0 ) ∂~s

2 )−f (x0 ,y0 ) = lim f (x0 +ts1 ,y0 +ts t

t→0

= lim (1+t)(1+t·2) t t→0

2

−1

2

+t+4t2 +4t3 −1 = t f (1+t·1,1+t·0)−f (1,1) t (1+t)(1+t·0)2 −1 = 1, t f (1+t·0,1+t·1)−f (1,1) t (1+t·0)(1+t·1)2 −1 = 2. t

= lim 1+4t+4t t→0

∂f (x0 ,y0 ) ∂~e1

=

∂f (1,1) ∂x

= lim t→0

= lim t→0

∂f (x0 ,y0 ) ∂~e2

=

∂f (1,1) ∂y

= lim t→0

= lim t→0

5,

Z definice (5.9) pro funkci dvou promˇenn´ ych plyne ∂f (x0 ,y0 ) ∂x

(x0 ,y0 ) = lim f (x0 +t,y0 )−f , t t→0

∂f (x0 ,y0 ) ∂y

(x0 ,y0 ) = lim f (x0 ,y0 +t)−f . t t→0

Obecnˇe plat´ı ∂f (x0 ) f (x01 , . . . , x0i + t , x0i+1 , . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0n ) = lim . t→0 ∂xi t Z uveden´ ych vztah˚ u vypl´ yvá, ˇze parciáln´ı derivace poˇc´ıtáme derivován´ım podle pˇr´ısluˇsné promˇenné (ostatn´ı promˇenné se chovaj´ı jako konstanty). Napˇr´ıklad ∂(xy 2 ) = y2 , ∂x

∂(xy 2 ) = 2xy . ∂y

Geometrick´ y v´ yznam derivace ve smˇ eru Máme funkci f : Ω → R , vnitˇrn´ı bod x0 ∈ Ω , vektor ~s s jednotkovou normou k~s k = 1 a u ´seˇcku p : x = x0 + t~s, t ∈ I, I = (−δ, δ), δ > 0 , p ⊂ Ω . Poloˇz´ıme g(t) = f (x0 + t~s ), potom graf funkce g : I → R je dán pr˚ unikem grafu funkce f a roviny %, která obsahuje u ´seˇcku p a je kolmá k rovinˇe-xy . Plat´ı g(t) − g(0) f (x0 + t~s ) − f (x0 ) ∂f (x0 ) = lim = . t→0 t→0 t−0 t ∂~s

g 0 (0) = lim

Hodnota derivace funkce f ve smˇeru ~s je tud´ıˇz rovna smˇernici teˇcny τ ∈ % ke grafu funkce f v bodˇe x0 . Tato smˇernice se rovná tangens u ´hlu teˇcny τ a pˇr´ımky p (prodlouˇzen´ı u ´seˇcky p) .

68


Definice 5.11 : (diference, totáln´ı diferenciál) Je dán vnitˇrn´ı bod x0 ∈ Ω ⊂ Rn . Pro libovolné x ∈ Ω oznaˇc´ıme ~h = x − x0 . Vektor ~h = (h1 , h2 , . . . , hn ) (= ∆x = dx , hi = dxi ) nazveme diferenc´ı argumentu. 1. Funkci promˇenné ~h ∈ Rn Pro funkci f (x, y) = x2 + 3y je ~h = (x − x0 , y − y0 ) a ∆f (x0 , ~h) = x2 − x20 + 3y − 3y0 = (x + x0 )(x − x0 ) +3(y − y0 ) = (2x0 + x − x0 )(x − x0 ) +3(y − y0 ) = (2x0 , 3)(x − x0 , y − y0 ) +(x − x0 )2 . Tedy ~ = gradf = (2x0 , 3) A a ω(~h) = (x − x0 )2 , nebot’ 2 lim √ (x−x2 0 ) = 0. 2

k~hk→0 (x−x0 ) +(y−y0 )

∆f (x0 , ~h) = f (x0 + ~h) − f (x0 ) = f (x) − f (x0 ) nazveme diferenc´ı funkce f v bodˇ e x0 vzhledem k ~h (tzv. tot´ aln´ı diference). 2. Funkce f se naz´ yvá diferencovateln´ a v bodˇ e x0 , ~ existuje-li okol´ı U (x0 ) ⊂ Ω , vektor A = (A1 , A2 , . . . An ) , a funkce ω(~h) (promˇenné ~h) splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku ω(~h) lim =0 k~hk→0 k~ hk tak, ˇze ∀ x ∈ U (x0 ) plat´ı ~ · ~h + ω(~h) . f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ~h) − f (x0 ) = A Funkce f je diferencovateln´ a na Ω, je-li diferencovatelná v kaˇzdém bodˇe x ∈ Ω . ~ · ~h naz´ 3. U diferencovatelné funkce se lineárn´ı forma A yvá (tot´ aln´ım) diferenci´ alem funkce f v bodˇe x0 a znaˇc´ı se ~ · ~h , ~h ∈ Rn df = df (x0 , ~h) = A ~ = (A1 , A2 , . . . , An ) se naz´ a vektor A yvá tot´ aln´ı derivace funkce f v bodˇ e x0 nebo také gradient funkce f v bodˇe x0 . Uˇz´ıvá se oznaˇcen´ı ~ = gradf (x0 ) = ∇f (x0 ) = f 0 (x0 ) . A Diferenciál pak zapisujeme ve tvaru

Diferenciál df se rovná skalárn´ımu souˇcinu gradientu gradf a diference argumentu ~h.

df (x0 , ~h) = gradf (x0 ) · ~h = ∇f (x0 ) ~h = f 0 (x0 ) dx . Pˇr´ıklad 5.8 : Urˇc´ıme diferenciál funkce f (x, y) = xy 2 v bodˇe x0 = [x0 , y0 ] . Plat´ı f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = (x0+h1 )(y0+h2 )2−x0 y02 = y02 h1+2x0 y0 h2+2y0 h1 h2+x0 h22+h1 h22 .


69

Odtud A1 = y02 , A2 = 2x0 y0 , ω(~h) = 2y0 h1 h2 +x0 h22 +h1 h22 . Zb´ yvá dokázat lim

k~hk→0

ω(~h) k~hk

h1 = r cos ϕ = lim r→0 h2 = r sin ϕ ϕ∈h0,2π)

= 0 , tedy lim

2y0 h1 h2 +x0 h22 +h1 h22

k~hk→0

√

h21 +h22

=

2y0 r2 cos ϕ sin ϕ+x0 r2 sin2 ϕ+r3 cos ϕ sin2 ϕ = 0. r

Diferenciál funkce f = xy 2 v bodˇe x0 = [x0 , y0 ] má tvar df (x0 , ~h) = (y02 , 2x0 y0 ) · ~h = y02 h1 +2x0 y0 h2 . 5.4

Vlastnosti diferencovateln´ ych funkc´ı

Vˇ eta 5.5 : (vlastnosti diferencovatelné funkce) Je-li funkce f diferencovatelná v bodˇe x0 , potom 1. je v bodˇe x0 spojitá, 2. existuje v bodˇe x0 derivace funkce f podle libovolného vektoru ~s (tedy existuj´ı i vˇsechny parciáln´ı derivace) a plat´ı ∂f (x0 ) = gradf (x0 ) · ~s , ∂~s 3. pokud v Rn uvaˇzujeme kartézsk´ y souˇradnicov´ y systém a za bázi vol´ıme jednotkové vektory ve smˇeru os systému, pak ∂f (x0 ) ∂f ∂f ∂f Ai = , gradf (x0 ) = , ,..., . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂xn x0 D˚ usledek 5.1: vˇety (5.5) Diferenciál funkce f v bodˇe x (v kartézském souˇradnicovém vyjádˇren´ı) m˚ uˇzeme psát ve tvaru ∂f (x) ∂f (x) ∂f (x) df (x, ~h) = dx1 + dx2 +. . .+ dxn , ∂x1 ∂x2 ∂xn

~h = dx .

Napˇr´ıklad diferenciál funkce f (x, y) = xy 2 má tvar ∂f (x) ∂f (x) dx + dy = y 2 dx + 2xy dy . ∂x ∂y Pˇr´ıklad 5.9 : Uvedeme funkci, která má v bodˇe [0, 0] parciáln´ı derivace, ale nen´ı v tomto bodˇe spojitá : df (x, (dx, dy)) =

f (x, y) ={

0 1

xy = 0 . xy 6= 0 .

Pro funkci f (x, y) = xy 2, bod [x0 , y0 ] = [1, 1] a smˇer ~s = (1, 2) z pˇr´ıkladu (5.7) máme ∂f (x0 ) = (y02 , 2x0 y0 ) · ~s ∂~s = (1, 2) · (1, 2) = 5 .

70


Potom

lim

f (x, y) neexistuje, avˇsak existuj´ı limity

[x,y]→(0,0)

f (0 + h1 , 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = = 0, h1 →0 h1 ∂x lim

f (0, 0 + h2 ) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = 0. = h2 →0 h2 ∂y lim

Pˇr´ıklad 5.10 : Funkce, která má parciáln´ı derivace v celém R2 , ale je v bodˇe [0, 0] nespojitá: f (x, y) ={

xy x2 +y 2

0

x2 + y 2 > 0 , x2 + y 2 = 0 .

Podobnˇe jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe z definice vypoˇcteme ∂f fx (0, 0) = ∂f sak ∂x (0, 0) = 0 , fy (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0 ; avˇ 2 k kx lim f (x, y) neexistuje, nebot’ lim x2 +k 2 x2 = 1+k 2 . x→0 y=kx

[x,y]→[0,0]

Pˇr´ıklad 5.11 : Funkce, která má parciáln´ı derivace v celém R2 , je spojitá v R2 (viz pˇr´ıklad (5.6),3.), ale nen´ı diferencovatelná v bodˇe [0, 0] : f (x, y) ={

xy 2 x2 +y 2

0

x2 + y 2 > 0 , x2 + y 2 = 0 .

Potom plat´ı ∂f (x, y) y 4 − x2 y 2 = 2 , ∂x (x + y 2 )2

∂f (x, y) 2x3 y = 2 , ∂y (x + y 2 )2

∂f (0, 0) = fx (0, 0) = 0 , ∂x

∂f (0, 0) = fy (0, 0) = 0 ∂y

(na osách je funkce f nulová). Pokud by funkce f byla diferencovatelná v poˇcátku, pak pro vektor ~h s dostateˇcnˇe malou normou mus´ı platit 2 f ([0, 0] + (h1 , h2 )) − f (0, 0) = 0 · h1 + 0 · h2 + h21 h22 = ω(~h) a lim

k~hk→0

ω(~h) k~hk

h1 +h2

= 0.

Avˇsak limita

lim

k~hk→0

ω(~h) k~hk

=

lim [h1 ,h2 ]→[0,0]

√

h1 h22 h21 +h22 (h21 +h22 )

neexis-

tuje, tedy funkce f nen´ı diferencovatelná v poˇcátku.


71

Vˇ eta 5.6 : (algebra diferenciálu a gradientu) Necht’ funkce f, g jsou diferencovatelné na mnoˇzinˇe Ω a pro body x ∈ Ω oznaˇc´ıme df = df (x, dx) = gradf (x) · dx , dg = dg(x, dx) = gradg(x) · dx , potom na Ω plat´ı d(cf ) = c df , grad(cf ) = c gradf , d(f ± g) = df ± dg , grad(f ± g) = gradf ± gradg , d(f g) = g df + f dg , grad(f g) = g gradf + f gradg , dg gradg d fg = g dfg−f , grad fg = g gradfg−f , g(x) 6= 0 . 2 2 D˚ ukaz : Je podobn´ y jako u funkc´ı jedné promˇenné. (MA1, vˇeta 7.3) Vˇ eta 5.7 : (diferenciál a derivace sloˇzené funkce) Necht’ funkce u = u(x, y), v = v(x, y) jsou diferencovatelné v bodˇe [x0 , y0 ] a funkce f (u, v) je diferencovatelná v bodˇe [u0 , v0 ] , kde u0 = u(x0 , y0 ) , v0 = v(x0 , y0 ) . Potom sloˇzená funkce f (u(x, y), v(x, y)) je diferencovatelná v [x0 , y0 ] a plat´ı (v bodˇe [x0 , y0 ]) ∂f ∂u

du + ∂f ∂v dv ∂f ∂v ∂f ∂u ∂u ∂v = ∂u ∂x dx + ∂y dy + ∂v ∂x dx + ∂y dy ∂f ∂v ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂u = ∂u ∂x + ∂v ∂x dx + ∂u ∂y + ∂v ∂y dy . | {z } | {z }

df =

∂f ∂x

∂f ∂y

Pˇr´ıklad 5.12 : Funkce u(x, y) = −2xy , v(x, y) = x + y jsou diferencovatelné na R2 a funkce f (u, v) = u + v 2 je také diferencovatelná na R2 . Pro diferenciál sloˇzené funkce f (u(x, y), v(x, y)) tedy na R2 plat´ı df = 1 du + 2v dv = 1 [(−2y) dx − 2x dy] + 2(x + y)(dx + dy) = 2x dx + 2y dy . Zároveˇ n f (u(x, y), v(x, y)) = −2xy + (x + y)2 = x2 + y 2 , tedy df = 2x dx + 2y dy .

Celou vˇetu (5.7) lze formulovat a dokázat pro sloˇzenou funkci f (~u(x)) = f (u1 , . . . , um ). Potom m X ∂f ∂f ∂uj = . ∂xi ∂u ∂x j i j=1 Také hovoˇr´ıme o ”ˇretˇezovém pravidlu”.

72


Pˇr´ıklad 5.13 : (derivace paraboloidu podél kruˇznice) Necht’ f (x, y) = x2 +y 2 a x(r, t) = r cos t , y(r, t) = r sin t . df dx df dy df = + = 2x(−r sin t) + 2y(r cos t) = dt dx dt dy dt 2r2 (− cos t sin t + sin t cos t) = 0 .

Potom Pˇri pˇrechodu k polárn´ım souˇradnic´ım x = r cos ϕ , y = r sin ϕ má jednotkov´ y vektor ve ”smˇeru r”tvar ~eb1 = (cos ϕ, sin ϕ) a pro jednotkov´ y vektor ve ”smˇeru ϕ”plat´ı ~eb2 = (− sin ϕ, cos ϕ) . Matice pˇrechodu M od báze ~e1 , ~e2 k bázi ~eb1 , ~eb2 má tedy tvar cos ϕ − sin ϕ M= . sin ϕ cos ϕ Nyn´ı vyjádˇr´ıme gradient funkce f = f (x, y) v novém souˇradném systému, tedy cos ϕ −sin ϕ ∂f ∂f ( ∂x , ∂y )· sin ϕ cos ϕ = ∂f cos ϕ + ∂f sin ϕ, ∂x ∂y ∂f ∂f (− sin ϕ)+ cos ϕ . ∂x ∂y Zároveˇ n z diferenciálu sloˇzené funkce plyne ∂f ∂r

∂f ∂x ∂x ∂r

+

∂f ∂y ∂y ∂r

∂f ∂x

cos ϕ +

∂f ∂y

sin ϕ a

∂f ∂ϕ

=

∂f ∂x ∂x ∂ϕ

+

∂f ∂y ∂y ∂ϕ

=

=

=

∂f (−r sin ϕ)+ ∂f r cos ϕ. ∂x ∂y

Porovnán´ım dostaneme pro gradient funkce f v polárn´ıch souˇradnic´ıch ∂f 1 ∂f gradf = , . ∂r r ∂ϕ

Vˇ eta 5.8 : (vlastnosti gradientu) Necht’ funkce f je diferencovatelná v bodˇe x . gradf (x) i) Poloˇz´ıme-li ~z = kgradf z k = 1 , potom plat´ı (x)k , tedy k~ ∂f (x) ∂~z

∂f (x) , k~s k=1 ∂~s

= max

~s je libovoln´ y vektor (zmˇena funkce

ve smˇeru gradientu je nejvˇetˇs´ı). ii) Vektor gradf (x0 )(6= ~o ) je kolm´ y k teˇcné varietˇe (pˇr´ımka, rovina, . . .) hladiny H = {x : f (x) = f (x0 )} v bodˇe x0 . D˚ ukaz : i) Z vˇety (5.5) plyne ∂f∂~(x) s . Z Cauchy – s = gradf (x) · ~ Schwarzovy nerovnosti dostaneme pro k~s k = 1 vztah ∂f (x) ≤ kgradf (x)k · k~s k = kgradf (x)k . ∂~s Zároveˇ n pro vektor ~z plat´ı ∂f (x) gradf (x) (x) = gradf (x) · = kgradf (x)k . ∂~z kgradf (x)k Odtud plyne prvn´ı tvrzen´ı vˇety. ii) Pro jednoduchost vol´ıme funkci f : R2 → R . Hladinu H = {[x, y] ∈ R2 : f (x, y) = C)} pop´ıˇseme parametricky x = x(t), y = y(t) . Tedy f (x(t), y(t)) = C . Funkci f budeme nyn´ı derivovat podle promˇenné t (podél hladiny H) . Potom plat´ı df ∂f dx ∂f dy ∂x ∂y = + = gradf · , = 0. dt ∂x dt ∂y dt ∂t ∂t dx dy Odtud je vidˇet, ˇze teˇcn´ y vektor ( e je dt , dt ) k hladinˇ ∂f kolm´ y ke gradf = ∂f . ∂x , ∂y


73

Pˇr´ıklad 5.14 : Máme k funkci f (x, y) = x3 − y 2 , bodu B = [1, 2] a vektoru ~v = (3, 4) urˇcit smˇer nejvˇetˇs´ıho r˚ ustu v bodˇe B a derivaci podle vektoru ~v . Smˇer nejvˇetˇs´ıho r˚ ustu funkce f v bodˇe B je dán vektorem 2 gradf (1, 2) = (3x , −2y)[1,2] = (3, −4). Pro derivace podle vektoru ~v plat´ı ∂f (1,2) ∂~v

= gradf (1, 2) · ~v = (3, −4) · (3, 4) = 0 .

Vid´ıme, ˇze vektor ~v = (3, 4) je teˇcn´ y vektor k hladinˇe H = {[x, y] : x3 − y 2 = −3} v bodˇe B = [1, 2] . Definice 5.12 : (teˇcné lineárn´ı variety) Graf lineárn´ı funkce u : Rn → R dané pˇredpisem u(x) = ~a ·x+d = a1 x1 +· · ·+an xn +d ,

kde ~a ∈ Rn , d ∈ R .

se naz´ yvá nadrovina v Rn+1 a procház´ı-li bodem [x0 , u0 ], pak lze vyjádˇrit pomoc´ı rovnice u − u0 = ~a · (x − x0 ) = a1 (x1 − x01 ) + · · · + an (xn − x0n ) . Necht’ funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodˇe x0 , gradf (x0 ) 6= ~o , potom 1. teˇ cn´ a nadrovina k hladinˇ e H = {x ∈ Rn : f (x) = f (x0 )} funkce f procházej´ıc´ı bodem x0 má rovnici gradf (x0 ) · (x − x0 ) = 0 . 2. teˇ cn´ a nadrovina ke grafu funkce u = f (x) , x ∈ Rn v bodˇe grafu [x0 , u0 ] ∈ Rn+1 , kde u0 = f (x0 ), je dána rovnic´ı u − u0 = gradf (x0 ) · (x − x0 ) . Pozn´ amka 5.1 : Graf funkce u = f (x) je vlastnˇe nulovou hladinou funkce g(x, u) = f (x) − u = 0 . Teˇcná nadrovina k hladinˇe funkce g v bodˇe [x0 , u0 ] má tedy tvar gradg(x0 ) · ([x, u] − [x0 , u0 ]) = 0 a odtud dostaneme gradf (x0 ) · (x − x0 ) − 1(u − u0 ) = 0 . Pˇr´ıklad 5.15 : Je dána funkce f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Hladiny této funkce jsou kulové plochy, které leˇz´ı v R3 ; graf

Libovoln´ y vektor x−x0 teˇcné nadroviny k hladinˇe je kolm´ y k vektoru gradf (x0 ) . Pro f : R2 → R má teˇcná nadrovina k hladinˇe (tj. pˇr´ımka) tvar fx0 (x - x0 )+fy0 (y - y0 ) = 0 a teˇcná nadrovina ke grafu funkce (tj. rovina) má tvar u−u0 = fx0 (x−x0 )+fy0 (y −y0 ) .

74


funkce f leˇz´ı v R4 . Hladina procházej´ıc´ı bodem [x0 , y0 , z0 ] má rovnici x2 + y 2 + z 2 = u0 , u0 = x20 + y02 + z02 . Teˇcná rovina k této hladinˇe v bodˇe [x0 , y0 , z0 ] má rovnici a1 (x−x0 )+a2 (y−y0 )+a3 (z−z0 ) = 0 ,

~a = gradf (x0 , y0 , z0 ) ,

tj. 2x0 (x − x0 ) + 2y0 (y − y0 ) + 2z0 (z − z0 ) = 0 . Teˇcná nadrovina ke grafu této funkce leˇz´ı v R4 a má rovnici u − u0 = 2x0 (x − x0 ) + 2y0 (y − y0 ) + 2z0 (z − z0 ) . Cviˇcen´ı 5.3 : Ke grafu funkce f (x, y) = x2 + y 2 v R2 urˇcete rovnici teˇcné roviny (v R3 ) v bodˇe B = [1, 2, ?] . [B = [1, 2, f (1, 2)] = [1, 2, 5] , gradf (1, 2) = (2x, 2y)[1,2] = (2, 4) rovina je

⇒ teˇcná

u − 5 = 2(x − 1) + 4(y − 2) . ]

Definice 5.13 : (smˇer r˚ ustu, poklesu) Vektor ~s ∈ Rn , (k~s k = 1) se naz´ yvá smˇ erem r˚ ustu (poklesu) funkce f v bodˇe x0 , jestliˇze ∃ δ > 0 : f (x0 + t~s ) > (<)f (x0 ),

∀ t ∈ (0, δ) ,

tj. ve smˇeru ~s se hodnota funkce f zvˇetˇsuje (zmenˇsuje). Vˇ eta 5.9 : (smˇer r˚ ustu, poklesu diferencovatelné funkce) Necht’ funkce f je diferencovatelná v bodˇe x0 . Vektor ~s ∈ Rn , je smˇ erem r˚ ustu (poklesu) funkce f v bodˇe x0 , jestliˇze gradf (x0 ) · ~s > 0

(gradf (x0 ) · ~s < 0) .

(Tedy vektory gradf (x0 ) a ~s sv´ıraj´ı ostr´ y (tup´ y) u ´hel.) Pˇr´ıklad 5.16 : Urˇcete, zda vektor ~s = (1, 3) je smˇerem r˚ ustu(poklesu) funkce f (x, y) = x2 + y 2 v bodˇe B = [1, 1] . Protoˇze gradf (1, 1) · ~s = (2, 2) · (1, 3) = 8 > 0, tak vektor ~s je smˇerem r˚ ustu funkce f v bodˇe B .


Reference ˇ ıˇzek, Kubr, M´ıková: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ [1] C´ u z matematické anal´ yzy ˇ Plzeˇ I., skripta ZCU n 1997 ˇ ıˇzek, Kubr, M´ıková: Semináˇr z matematické anal´ [2] C´ yzy I., ˇ skripta ZCU Plzeˇ n 1995 ˇ Plzeˇ [3] Drábek, M´ıka: Matematická anal´ yza I., skripta ZCU n 1996 ˇ [4] Schwabik, Sarmanov´ a: Mal´ y pr˚ uvodce histori´ı integrálu, Prometheus, Praha 1996

75

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16

Recommend Documents