Voorwoord. Khalid Saleh. Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2

Voorwoord Dit rapport is geschreven in het kader van het Bachelor eindwerk ter afsluiting van de bachelorfase van mijn studie Civiele Techniek aan de Technische Universiteit Delft. Tijdens dit eindwerk werd ik begeleid door ir. G.J.P Ravenshorst en ir. J.W. Welleman. Ook heb ik tijdens de laatste fase van mijn eindwerk begeleiding gekregen van ir. P.A. de Vries. Bij dezen zou ik mijn begeleiders hartelijk willen bedanken voor hun advies en begeleiding. Khalid Saleh Delft, juni 2012

DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

2

Samenvatting In dit Bachelor eindwerk is onderzoek gedaan naar de effectieve kiplengte van liggers met rechthoekige doorsneden. In een voorgaand eindwerk is hier al onderzoek naar gedaan door Roeland van Straten. Daarom zijn er bepaalde delen uit het desbetreffende onderzoek overgenomen ter ondersteuning van dit eindwerk. Het gaat hierbij om de paragrafen 1.4 en 2.1. Tevens zijn er in paragraaf 2.2 delen gedeeltelijk overgenomen. Dat wil zeggen dat ze gebruikt zijn ter ondersteuning, maar zodanig aangepast dat ze beter in dit eindwerk pasten. Allereerst is er op analytische wijze een oplossing gevonden voor het kritieke kipmoment van een ligger, belast met een constant moment over de liggerlengte. Bij een moment ter grootte van √

zal de ligger gaan kippen. Aangezien er voor andere belastingsgevallen geen

uitdrukking gevonden kan worden op deze wijze is gebruik gemaakt van energievergelijkingen om het kritieke kipmoment te berekenen. Deze energievergelijkingen zijn gebaseerd op het feit dat de totale energie in de ligger tijdens het kippen gelijk moet blijven. Zo bezit de ligger potentiële energie ten opzichte van een referentielijn gelijk aan , waarbij de massa in kg is, de valversnelling in en de hoogte boven deze referentielijn. Door het kippen buigt de ligger dichter naar de referentielijn toe zodat de potentiële energie afneemt, maar de vervormingsenergie is dan wel toegenomen. Aangezien men in de praktijk niet alleen te maken heeft met één enkele ligger maar met meerdere steunpunten is gekeken wat hier de invloed van is. Dit was van groot belang bij de berekening van de kritieke last bij het fysieke model. Daar is de proef op de som genomen en voor een aantal belastingsgevallen getest of het theoretische kipmoment overeen komt met het werkelijke kipmoment.

3


Inhoudsopgave VOORWOORD .................................................................................................................................................. 2 SAMENVATTING ............................................................................................................................................... 3 1

INLEIDING ................................................................................................................................................ 6 1.1 AANLEIDING .............................................................................................................................................. 6 1.2 DOEL........................................................................................................................................................ 6 1.3 TEKENAFSPRAKEN ....................................................................................................................................... 7 1.4 DIFFERENTIAALVERGELIJKING VOOR TOETSING OP KIPINSTABILITEIT ....................................................................... 8 Evenwichtsvergelijkingen ............................................................................................................................... 9 1.4.1 Algemene DV voor kip ..................................................................................................................... 10

2

OPLOSSING MET BEHULP VAN ENERGIEVERGELIJKINGEN ...................................................................... 12 2.1 THEORIE ................................................................................................................................................. 12 2.1.1 Totale energievergelijking ............................................................................................................... 12 2.1.2 Vormveranderingsenergie ............................................................................................................... 12 2.1.3 Arbeid verricht door de puntlast F ................................................................................................... 14 2.1.4 Vinden van de equivalente momentfactor m .................................................................................. 14 2.2 VOORBEELDEN BELASTINGSSITUATIES............................................................................................................ 16 2.2.1 Puntlast op ................................................................................................................................ 16 2.2.2 Puntlast op afstand .................................................................................................................... 18 2.2.3 Verdeelde belasting q ...................................................................................................................... 20 2.2.4 Twee puntlasten op en van de overspanning ........................................................................ 21 2.2.5 Benaderingsformule voor lineaire momenten ................................................................................. 22 2.2.6 Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een q-last ............................... 24 2.2.7 Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een puntlast F ........................ 27 2.2.8 Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met puntlast F, op afstand al. ....... 28 2.3 GRAFIEKEN VOOR MOMENTFACTOREN .......................................................................................................... 30 2.4 DUBBELE GAFFELINKLEMMING..................................................................................................................... 33 2.4.1 Oplossing met behulp van energievergelijking ................................................................................ 33 2.4.2 Oplossing met behulp van inklemmingsfactor ................................................................................ 35

3

BESCHRIJVING PROEFOPSTELLING FYSIEK MODEL ................................................................................. 37 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

4

BEPALING KRITIEKE BELASTING..................................................................................................................... 37 PROEFSTUK ............................................................................................................................................. 38 OPLEGCONDITIES ...................................................................................................................................... 38 AANBRENGEN BELASTING ........................................................................................................................... 38 BEPALEN ELASTICITEITSMODULUS................................................................................................................. 39 BEPALEN GLIJDINGSMODULUS ..................................................................................................................... 40 BELASTINGSGEVAL VRIJ OPGELEGDE LIGGER.................................................................................................... 41 BELASTINGSGEVAL CONSTANT MOMENT ........................................................................................................ 42

CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN .......................................................................................................... 43 4.1 CONCLUSIES ............................................................................................................................................ 43 4.1.1 Analytische methode geeft alleen basisgeval ................................................................................. 43 4.1.2 Berekening equivalente momentfactor m.b.v. energievergelijkingen ............................................. 43 4.1.3 Toetsing fysiek model ...................................................................................................................... 43 4.2 AANBEVELINGEN ...................................................................................................................................... 44


4

5

LITERATUURLIJST ................................................................................................................................... 45

BIJLAGE 1: EQUIVALENT UNIFORM MOMENT FACTORS BIJLAGE 2: DIN-FACTOREN

........................................................................... 46

....................................................................................................................... 47

BIJLAGE 3: MAPLE SCRIPTS ............................................................................................................................. 48 A) B) C) D) E) F) G) H)

PUNTLAST OP ......................................................................................................................................... 48 PUNTLAST OP .......................................................................................................................................... 49 VERDEELDE BELASTING ................................................................................................................................ 50 PUNTLAST OP AFSTAND EN ..................................................................................................................... 51 LINEAIRE MOMENTENLIJN ............................................................................................................................... 52 VERDEELDE BELASTING MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN ...................................................................................... 53 PUNTLAST MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN ....................................................................................................... 54 PUNTLAST OP AFSTAND MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN ................................................................................. 55

BIJLAGE 4: TABEL MET VERSCHILLENDE MOMENTENCONFIGURATIES............................................................ 56 BIJLAGE 5: AFLEIDING MOMENTENLIJN MET TWEE VERSCHILLENDE EINDMOMENTEN I.C.M. PUNTLAST ...... 57 BIJLAGE 6: FOTO’S EXPERIMENT ..................................................................................................................... 59

5


1 Inleiding Tijdens het kippen van een ligger zal de drukzone van de ligger onder invloed van buiging in de sterke as zijdelings gaan verplaatsen zoals weergegeven in Figuur .

Figuur 1 Visualisatie van het kippen van een ligger

1.1 Aanleiding In de literatuur worden verschillende methoden aangereikt voor het toetsen van houtconstructies op kipinstabiliteit. Dit betekent niet dat de toetsing op kip nog erg onbekend is, maar is eerder het gevolg van de ontwikkeling van de Eurocode. Voor die tijd bestonden er verschillende methoden in de nationale normen. Deze zijn echter meestal beperkt te gebruiken voor een paar standaard belastingsgevallen en de herkomst ervan is soms onduidelijk. Dit is aanleiding om kipinstabiliteit van houten liggers nader te onderzoeken in dit Bachelor Eindwerk.

1.2 Doel Bij de toetsing in de Eurocode op kipinstabiliteit wordt gebruik gemaakt van de effectieve kiplengte ( ). Het doel van dit eindwerk is het bepalen van de effectieve kiplengte voor verschillende belastingconfiguraties en deze te vergelijken met waarden uit de literatuur. Hier is al een goed begin gemaakt in een voorgaand Bachelor Eindwerk gemaakt door Roeland van Straten . Echter, er zijn een aantal belastingconfiguraties die nog niet zijn beschreven, waarbij sommigen zelfs een beperking hebben. Hiervoor zal op een andere manier de effectieve kiplengte ( ) worden bepaald. Daarnaast zal een fysiek model worden gemaakt om de kipinstabiliteit voor verschillende belastingconfiguraties te demonstreren.


6

1.3 Tekenafspraken In dit gehele rapport zal, tenzij expliciet anders vermeld, worden uitgegaan van een ligger belast op twee steunpunten in het in Figuur aangegeven assenstelsel. De ligger kan een verticale verplaatsing w en een horizontale verplaatsing u ondergaan.

y u

z

x

w Figuur 2 Ligger op twee steunpunten ondergaat een zakking w

Tevens zullen de in Figuur 3, 4 en 5 aangegeven positieve momenten worden aangehouden. Let op: dit is afwijkend ten opzichte van de notaties in de houtnormen, daar wordt voor het moment Mz de notatie My gebruikt en andersom. De hier aangehouden notatie komt voort uit het mechanica onderwijs op de TU Delft.

Mz

X

Mz

Y Z

Figuur 3 Buiging in het x-z vlak

7


My X

My

Y Z

Figuur 4 Buiging in het x-y vlak

Mx X

Mx

Y Z

Figuur 5 Torsie

1.4 Differentiaalvergelijking voor toetsing op kipinstabiliteit In van Straten is de analytische methode beschreven voor de afleiding voor de differentiaalvergelijking. Er zal hier zeer kort op worden ingegaan waarna met behulp van de energievergelijkingen de equivalente momentfactoren zullen berekend. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

8

Tijdens het kippen ontstaat er naast een verticale verplaatsing ook een laterale verplaatsing en een rotatie van de doorsnede. u

y z

w

y z

𝜙

y

ȳ

x

Figuur 7 Verplaatsing u

Evenwichtsvergelijkingen In het gedraaide ̅ , , ̅-assenstelsel wordt het evenwicht van de ligger bekeken. Voor buiging van de ligger in het ̅ - ̅ -vlak geldt er de volgende evenwichtsvergelijking: (1.1) Tevens geldt er voor de buiging in het ̅ - –vlak de volgende vergelijking. (1.2) Voor de wringing in de verdraaide doorsnede kan in het mechanica 2 boek evenwicht worden gevonden dat moet gelden:

9


tevens voor het

(1.3)

1.4.1 Algemene DV voor kip Aangezien een rechthoekige doorsnede als uitgangspunt is genomen hoeft welving hierin niet meegenomen te worden. De volgende evenwichtsvergelijkingen gelden: (1.4)

(1.5)

(1.6) De eerste vergelijking blijft een losstaande differentiaalvergelijking die de zakking van de ligger in het x-z vlak beschrijft. De laatste twee zijn aan elkaar gekoppeld en zullen gecombineerd worden tot een enkele DV die het kipgedrag beschrijft:

(1.7) Met deze DV kan alleen de kritische kipbelasting voor een ligger belast met een constant moment M0 bepaald worden. Zie Figuur 8. Voor andere belastingssituaties is het moment Mz afhankelijk van de plaats op de liggeras. De DV komt er dan anders uit te zien waardoor Maple een enorm lange algemene oplossing geeft waarvoor het kipmoment vervolgens niet meer oplosbaar is. M

M

0

M

M

0

0

0

Figuur 8 Ligger op twee steunpunten belast door een constant moment

De DV kan vereenvoudigd worden tot: (1.9)

√ De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking heeft de volgende vorm: ( )

(

)

(

)


(1.10)

10

De ligger zal op beide uiteinden worden opgelegd met een gaffeloplegging, zodat deze niet kan roteren om de x-as. Zodoende kunnen de volgende randvoorwaarden worden opgesteld: ( )

()

(1.11)

gaff l

gaff l Figuur 9 Een gaffeloplegging

Uitwerken levert: ( ) ()

(1.12) ( )

( )

( )

Ervan uitgaande dat moet gelden: ( ) , dit geldt alleen voor: waarde voor de kritieke belasting wordt gevonden door te kiezen voor geeft dat:

√

11

√


(1.13) . De kleinste en na invullen van

(1.14)

2 Oplossing met behulp van Energievergelijkingen In dit hoofdstuk zullen de equivalente momentfactoren worden berekend met behulp van energievergelijkingen en daarmee het theoretische kipmoment voor andere belastingsgevallen dan het basisgeval. Om te beginnen zal een methode worden uitgelegd waarmee de factoren bepaald kunnen worden. Vervolgens zal in een aantal voorbeelden de berekening van de equivalente momentfactoren worden uitgevoerd.

2.1 Theorie Een andere methode om de momentfactor voor een belastingsgeval te bepalen is door gebruik te maken van energievergelijkingen. Deze methode is gebaseerd op het feit dat de totale hoeveelheid energie aanwezig in en op het systeem gelijk moet blijven tijdens het kippen van de ligger. Om het principe uit te leggen zal worden gekeken naar een ligger belast met een puntlast F op het midden van de overspanning .

F

½l

½l

Figuur 10 Belastingssituatie

2.1.1 Totale energievergelijking Doordat de ligger gaat buigen en torderen zal deze vervormen, de opgeslagen energie in de constructie door de vervorming wordt vervormingsenergie genoemd. Doordat de ligger gaat doorbuigen zullen de krachten op de ligger, in verticale zin, verplaatsen. De hoeveelheid potentiële energie van die kracht neemt dus af, de kracht verricht een zekere hoeveelheid arbeid. Deze arbeid moet gelijk staan aan de hoeveelheid vormveranderingsenergie die wordt opgeslagen in de constructie. Zodoende geldt er voor de vormveranderingsenergie en de potentiële energie tijdens belasten: (2.1) 2.1.2 Vormveranderingsenergie Voordat de ligger gaat kippen heeft deze al een zekere doorbuiging en heeft de kracht al een bepaalde hoeveelheid arbeid verricht. Dit is uiteraard volgens het principe van energievergelijkingen met elkaar in evenwicht. Na het kippen zal de ligger geroteerd zijn onder een hoek , welke als klein wordt aangenomen. Zodoende kan voor het moment ̅ wederom worden geschreven: (2.2) ̅

De verplaatsing ten gevolge van dit moment zal gelijk zijn aan ̅, doordat de hoek ̅

klein is geldt er: (2.3)


12

Is de verticale verplaatsing t.g.v. het moment ̅ . Dit is al gelijk aan de verplaatsing w die de ligger had voor het moment van kippen. Zodoende hoeft de buiging in het ̅ - ̅-vlak van de ligger niet in de energievergelijkingen te worden meegenomen, de opgeslagen vormveranderingsenergie door buiging in de sterke as staat namelijk al gelijk aan de arbeid verricht door de puntlast F ten gevolge van de zakking van de ligger. Voor de vormveranderingsenergie door buiging in het ̅ - -vlak en torsie kan worden geschreven: ∫

̅

∫

(2.4)

Met invulling van (1.3) en

∫

(

)

kan dit worden herschreven tot:

∫

(

)

(2.5)

Uitwerken levert: ∫

(

)

∫

(2.6)

Deze vergelijking zal straks worden ingevuld in de totale energievergelijking. Er zal eerst worden gekeken naar de extra arbeid verricht door de puntlast F als gevolg van het kippen van de ligger.

w2

Mz

u2

𝑢

Mz

w1

u1

𝜙Mz

𝜙

𝜙

Figuur 11A Relaties tussen de momenten in de geroteerde doorsnede

13

𝑤 ̅

Figuur 11B Ontbonden verplaatsingen


en ̅

2.1.3 Arbeid verricht door de puntlast F De hoeveelheid arbeid verricht door een puntlast F is gelijk aan de grootte van de kracht maal de afstand in de richting van die kracht. Zodoende kan voor de arbeid verricht door de puntlast op het midden van de overspanning worden geschreven: ( )

(2.7)

De enige onbekende is de extra verticale verplaatsing ten gevolge van het kippen van de ligger. In de vorige paragraaf is al aangetoond dat deze extra verplaatsing alleen wordt veroorzaakt door buiging in het ̅ - -vlak. In dit vlak ontstaat een verplaatsing , deze kan berekend worden door gebruik te maken van de momentenvlakstellingen. Door de buiging van een klein mootje van de ligger ontstaat er op een afstand x van dat mootje een verplaatsing : (2.8) Die verplaatsing kan worden ontbonden in een horizontale en een verticale component: en . Aangezien de verticale verplaatsing van belang is voor het bepalen van de hoeveelheid arbeid door de puntlast F, kijken we alleen naar de verplaatsing . Deze kan worden uitgedrukt in volgens: (2.9) Invullen in (2.8) levert een verplaatsing

op een afstand

van een mootje

van de ligger: (2.10)

Om de zakking halverwege met behulp van uitdrukking (2.10) te bepalen kan dezelfde aanpak worden gebruikt als bij de momentenvlakstellingen. Eerst wordt de rotatie om het oplegpunt A bepaald door de zakking ter plaatse van steunpunt B gelijk te stellen aan 0.

(

∫

)

(2.11)

en het herschrijven van (2.11)

Door het invullen van de bekende uitdrukking voor

kan de rotatie

worden bepaald volgens:

(

∫ Nu de rotatie

)

(2.12)

bekend is kan de extra zakking halverwege de overspanning bepaald worden uit:

( )

∫

(

(2.13)

)

De arbeid verricht door de puntlast F kan vervolgens bepaald worden met (2.7). 2.1.4 Vinden van de equivalente momentfactor m Nu de uitdrukkingen voor de vormveranderingsenergie (2.6) en de verrichtte arbeid door de puntlast F (2.6) bekend zijn kunnen deze worden ingevuld in de totale energievergelijking (2.1). Dit levert: ∫

(

)

∫

( )


(2.14)

14

Deze wordt herschreven tot: ( )

∫

(

)

∫

(2.15)

Dit is voor elk belastingsgeval op te lossen, uitgaande van een benadering voor de rotatie ( ) over de lengte van de ligger. De rotatie kan worden beschreven met een sinus-reeks waarvan in dit eindwerk enkel de eerst term zal worden meegenomen: ( )

(

)

(2.16)

2.1.4.1 Versimpeling van de energievergelijking voor het basisgeval Om het belastingsgeval direct te vergelijken met een constant moment over de ligger wordt gekeken naar de arbeid die verricht wordt door de momenten op de uiteinden van de ligger. Deze momenten leveren een hoeveelheid arbeid gelijk aan: (2.17) Voor het bepalen van

kan wederom gebruik worden gemaakt van de momentenvlakstellingen. In

dit geval wordt eerst het oppervlak van het

-vlak bepaald, waarbij de laatste term constant is

en dus buiten de integraal is gehaald. Als uitgegaan wordt van een rotatie ( )

(

), dan mag het gehele oppervlak van het

in de vorm van

-vlak worden vermenigvuldigd

met de horizontale afstand tot het punt waarop de zakking (in dit geval) gelijk aan 0 moet zijn. Het -vlak is namelijk symmetrisch ten opzichte van de middendoorsnede van de ligger waardoor de totale hoekverdraaiing in de middendoorsnede gedacht kan worden. Dit levert: ∫

(2.18)

∫ 𝑙

𝑀 𝐸𝐼𝑦𝑦

𝑙 𝑀 ∫ 𝜙 𝑑𝑥 𝐸𝐼𝑦𝑦

Figuur 12 Visuele interpretatie van het uitrekenen van de hoekverdraaiing

15


Invullen van ∫

en in de totale energievergelijking en gebruik van (2.17) geeft:

(

)

∫

∫

(2.19)

Het linkerlid van de vergelijking is gelijk aan de vormveranderingsenergie door buiging in de zwakke as en torsie, het rechterlid is de arbeid verricht door de momenten op beide uiteinden van de ligger. Herschrijven levert: ∫

∫

∫

(2.20)

Het rechterlid verder uitwerken geeft: ∫

∫

(2.21)

Doordat in zowel vergelijking (2.15) als (2.21) aan de rechterkant de term voor de vormveranderingsenergie voor torsie overblijft, kunnen deze aan elkaar gelijk worden gesteld:

( )

∫

(

)

Oplossen van deze vergelijking door voor de rotatie ( )

(

∫

(2.22) aan te nemen dat bij benadering geldt

) levert het equivalente constante moment over de ligger

. Nu

bekend is

wordt de momentfactor gevonden door: (2.23) Waarin

het maximale moment is in de ligger.

2.2 Voorbeelden belastingssituaties In deze paragraaf zullen voor een aantal standaard belastingsgevallen de equivalente momentfactoren worden berekend op basis van de methode die in de vorige paragraaf is aangereikt. 2.2.1 Puntlast op Als eerste zal worden gekeken naar een puntlast F op het midden van een overspanning . Eerst zal de extra zakking in het midden van de ligger worden bepaald ten gevolge van alleen het kippen. Vervolgens zal de vervormingsenergie worden bepaald, waarna de equivalente momentfactor wordt uitgerekend.


16

F

½l

½l


Volgens vergelijking (2.12) is de hoekverdraaiing ter plaatse van het linker steunpunt gelijk aan: (

∫

)

(2.24)

Aangezien de momentenlijn wiskundig gezien niet met één functie beschreven kan worden wordt deze opgedeeld in twee bijdragen. De vergelijking voor wordt hiermee: (

∫

)

(

∫

)

(2.25)

Voor de momentenlijn kunnen de volgende wiskundige functies worden gebruikt: (2.26)

( ) ( )

(

( ) en

Invullen van de functies

(

∫

(2.27)

)

)

( ) voor de momentenlijn geeft: (

∫

)

(

)

(2.28)

Vervolgens kan de extra zakking ten gevolge van het kippen worden uitgerekend met:

( )

∫

(

)

De vervormingsenergie door buiging kan tevens worden beschreven door het opdelen van de integraal in 2 delen en kan worden geschreven als: 17


(2.29)

∫

(

(

)

(

(

)))

(2.30)

∫

Volgens (2.22) kan nu gesteld worden dat geldt: ∫

( )

Wederom wordt voor de rotatie

(2.31)

aangenomen dat geldt: ( )

(

). Deze vergelijking is

eenvoudig op te lossen met een programma als Maple. De uitkomst luidt: (2.32) De momentfactor m kan nu worden uitgerekend. Voor het maximale moment van een puntlast op geldt:

. Zodoende geldt er voor

:

(2.33)

Deze waarde komt goed overeen met de equivalente momentfactor voor belastingsgeval 4 uit bijlage 1. Het complete Maple-script is te vinden in bijlage 3B. 2.2.2 Puntlast op afstand Op vergelijkbare wijze kan de momentfactor worden bepaald voor een puntlast op een afstand vanaf het linker steunpunt. De belastingssituatie en momentenlijn zijn weergegeven in Figuur 14, het maximale moment op de ligger bedraagt ( ).

F

al

(1-a)l

Fal(1-a) Figuur 14 Belastingssituatie


18

Op vergelijkbare wijze als voor een puntlast op de helft van de overspanning zal de momentfactor worden bepaald, het grote verschil is dat in dit geval alles afhankelijk is van de variabele a. Voor de rotatie valt af te leiden dat geldt: (

∫

)

(

∫

)

(2.34)

Voor de momentenlijn kunnen de volgende wiskundige functies worden gebruikt: Linkerdeel:

( )

Rechterdeel:

( )

(

) (

(2.35) )

(2.36)

Invullen wordt aan de lezer overgelaten. Vervolgens kan de extra zakking ten gevolge van het kippen worden uitgerekend met:

(

(

∫

)

)

(2.37)

De vervormingsenergie door buiging kan tevens worden beschreven door het opdelen van de integraal in 2 delen en kan worden geschreven als: (

∫

)

∫

(

)

(2.38)

Volgens (2.22) kan nu gesteld worden dat geldt:

(

)

∫

(2.39)

Wederom wordt de onbekende M0 opgelost door aan te nemen dat voor de rotatie geldt: ( )

(

). Het equivalente moment is met maple dan eenvoudig op te lossen. Voor een

puntlast op een kwart van de overspanning (voor ) levert dat een momentfactor , deze komt goed overeen met de equivalente momentfactor voor belastingsgeval 7 uit bijlage 1. Het complete script is gegeven in bijlage 3C. In N.S. Trahair wordt voor een ligger belast met een puntlast een formule aangereikt voor de equivalente momentfactor waarbij de puntlast verschuift over de ligger. Deze formule luidt als volgt: (

19

)


(2.40)

Waarbij

met: op op

Hieronder zijn twee grafieken te zien voor het belastingsgeval met een puntlast op verschillende afstanden.

Figuur 15 Formule van Trahair

Figuur 16 Formule op basis van energievergelijkingen

In Figuur 15 is de formule van Trahair geplot. Te zien is dat deze goed overeenkomt met figuur 16. In Figuur 15 is voor a=0, m=0.73. In Figuur 16 is voor a=0.5, m=0.73. Het probleem is dat met behulp van de energievergelijking Maple geen fijne formule geeft om de equivalente momentfactor uit te drukken in de afstandsvariabele a. 2.2.3 Verdeelde belasting q Voor een verdeelde belasting kan dezelfde aanpak worden gevolgd als in de vorige voorbeelden. Enig verschil is dat de integralen nu niet opgesplitst hoeven te worden in 2 delen, aangezien de momentenlijn met één wiskundige functie te beschrijven is.

q

l

1/8ql2



20

De momentenlijn is te beschrijven met: ( )

(

)

(2.41)

Invullen van de functie voor het moment in vergelijkingen (2.12), (2.13)en (2.22) en oplossen met Maple geeft m=0.88. Dit is exact gelijk aan de equivalente momentfactor die gevonden wordt in bijlage 1. Het Maple-script is bijgevoegd in bijlage 3D. 2.2.4 Twee puntlasten op en van de overspanning Voor de belastingssituatie in Figuur 18 zal kort worden besproken hoe de momentfactor worden bepaald.

F

kan

F

al bl

1/4Fl(voor a=0.25, b=0.75) Figuur 18 Belastingssituatie

In dit geval wordt de complete integraal opgedeeld in 3 delen welke te beschrijven zijn met de volgende momentfuncties: ( ) ( )

( )

(

)

(

)

(

)

(2.42) (2.43)

(

(2.44)

)

Met ( (

) )(

)

(2.45) (2.46)

en zijn de momenten op afstanden en . De momentenfuncties volgen uit de helling van de momentenlijn. De momentfactor wordt in dit geval bepaald door de arbeid die deze twee 21


puntlasten leveren mee te nemen in de energiebeschouwing. Zodoende kan de momentfactor uitgerekend worden met: ∫

(2.47)

Hierin zijn wa en wb de extra zakkingen van de puntlasten op respectievelijk afstand en ten opzichte van het linker steunpunt. E is hierin de totale vervormingsenergie door buiging in de zwakke as, welke opgedeeld is in 3 delen doordat de momentenlijn met 3 functies beschreven wordt. Aangezien het maximale moment in de ligger optreedt op afstand of vanaf het linker steunpunt, volgt de momentfactor uit: (2.48) Het complete Maple script is gegeven in bijlage 3E. Voor een puntlast op een kwart en op driekwart van de overspanning ( en ) geeft dit een momentfactor , wat in overeenstemming is met bijlage 1. Voor een enkele puntlast op afstand al (dus , ) geeft dit de eerder gevonden momentfactor . Let op: in het Maple script is aangenomen dat . 2.2.5 Benaderingsformule voor lineaire momenten Nu blijkt dat vrijwel alle equivalente momentenfactoren af te leiden zijn met behulp van een energiebeschouwing zal worden gekeken of de benaderingsformule in (2) ook kan worden onderbouwd met deze methode. Er wordt uitgegaan van een lineair verdeelde momentenlijn met aan de linkerzijde een moment aan de rechterzijde een moment waarbij varieert tussen -1 en 1.

en

βM1 M1

-βM1 M1 Figuur 19 Lineair verdeelde momentenlijn

Er is reeds bekend is dat een moment een hoeveelheid arbeid levert gelijk aan het moment maal de hoekverdraaiing. Zodoende zal hoekverdraaiing op beide uiteinden van de ligger eerst bepaald worden. Hiervoor is uit (2.12) bekend dat geldt:


22

(

∫

)

(2.49)

Enkel de functie voor het moment Mz moet nog worden bepaald in deze vergelijking. Deze kan worden afgeleid uit Figuur 19: (

)

(2.50)

Voor de hoekverdraaiing aan de rechterzijde van de ligger kan op vergelijkbare wijze als voor worden afgeleid dat geldt: ∫

(2.51)

De afstand tot het rechter steunpunt ( ) is nu vervangen door de afstand tot het linker steunpunt . Nu de rotaties op beide uiteinden bekend zijn kan eenvoudig de arbeid die beide momenten leveren worden bepaald: (2.52) Vervolgens kan op vergelijkbare wijze als voor vergelijking (2.22) worden gevonden dat moet gelden: ∫

(

)

∫

(2.53)

Deze vergelijking kan op eenvoudige wijze met Maple worden opgelost, zie bijlage 3E. De functie voor de equivalente momentfactor afhankelijk van luidt: (2.54)

√ Voor

komt dit overeen met belastingsgeval 2, welke gelijk is aan

Figuur 20 Equivalente momentfactor afhankelijk van 𝛽 23 DE𝑚EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

.

In {2} wordt een benaderingsformule gegeven waarmee de momentfactor bepaald kan worden voor een moment wat lineair verdeeld is over de lengte van de ligger. De benaderingsformule luidt:

Een plot van de functie gegeven door Maple, evenals de benaderingsformule volgens {2}, zijn te zien in Figuur 20. De exacte oplossing is dus met behulp van een energiebeschouwing af te leiden en laat eveneens zien dat de benaderingsformule een veilige benadering is voor de oplossing, aangezien iets te hoge -factoren juist zorgen voor een iets te klein kipmoment, wat uiteraard aan de veilige kant is. 2.2.6 Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een q-last In deze paragraaf zal gekeken worden wat de invloed is van het toevoegen van twee verschillende negatieve eindmomenten en . De nieuwe belastingssituatie met bijbehorende momentenlijn is weergegeven in Figuur 21.

q αql2

βql2 l

-βql2

1/8ql2

-αql2

ql2(½(α-β+½)2-α) Figuur 21 Belastingssituatie F

Bij dit belastingsgeval kan het momentenvoorschrift niet meer op basis van symmetrie worden gevonden. Er zal moeten worden gekeken naar de statische betrekkingen voor een ligger belast met een q-last. De differentiaalvergelijking luidt dan: (2.55) (2.56) Na herhaald integreren vindt men: (2.57)

( )


(2.58)

24

Randvoorwaarden: ( )

(2.59)

()

(2.60)

Invullen van de randvoorwaarden in (2.58) volgt: ( )

(2.61) (2.62)

() (

)

(

(2.63)

)

Het voorschrift wordt dan hiermee: ( )

(

Om het maximale veldmoment te vinden wordt aan nul: ( )

(

(2.64)

)

( ) gedifferentieerd en vervolgens gelijk gesteld

)

(

)

(2.65)

Hieruit volgt dat het maximale veldmoment een waarde heeft van: ( (

))

(

)

(2.66)

Aangezien er twee koppels zijn, en , hebben deze beide een andere hoekverdraaiing Voor de hoekverdraaiing aan de rechterzijde van de ligger kan op vergelijkbare wijze als voor worden afgeleid dat geldt: ∫

(2.67)

Evenals bij een constant moment over de ligger zal het moment arbeid verrichten, dit is gelijk aan: (2.68)

25


Dit zal worden toegevoegd in de energievergelijking. Vervolgens kan het equivalent kipmoment worden bepaald als functie van de factor , waarbij , het resultaat is te zien in Figuur 22a.

Figuur 22b equivalente momentfactor als functie van β

Figuur 22a Het kipmoment als functie van β

De momentfactor wordt vervolgens bepaald door het kipmoment te delen door het maximale moment wat optreedt in de ligger. Het maximale moment in de ligger is afhankelijk van en kan worden beschreven met: (

( (

)

)

(2.69)

Vervolgens kan de equivalente momentfactor worden berekend doordat geldt

; het

resultaat is te zien in Figuur b. Voor komt de equivalente momentfactor overeen met de eerder gevonden waarde voor een verdeelde belasting q op de ligger. De knik in de grafiek komt doordat de equivalente momentfactor afhankelijk is van vergelijking (2.69), met . Tevens is te zien dat de equivalente momentfactor voor

gelijk is aan 0.39, wat overeenkomt met de

waarde van belastingsgeval 9 uit bijlage 1. Voor een inklemming geldt immers dat het inklemmingsmoment gelijk is aan

. Opmerkelijk is het wel dat dit niet overeenkomt met

belastingsgeval 4.2 uit bijlage 2. Er is echter te zien dat als het moment in het midden van de ligger gebruikt wordt als maximaal moment de equivalente momentfactor te berekenen is met:

(

(2.70)

)

Wordt nu de equivalente momentfactor volgens (2.70) geplot dan wordt de grafiek in Figuur 23Figu gevonden. Te zien is dat voor

een equivalente momentfactor wordt gevonden gelijk aan 0.77,

wat overeenkomt met bijlage 2.


26

Figuur 23 Momentfactor als functie van β

Het is kennelijk zo dat in de DIN het moment in de middendoorsnede gebruikt moet worden in de toetsing op kipinstabiliteit, echter staat dit niet zo aangegeven in de norm. Het zou ook goed kunnen zijn dat deze hoge waarde van de equivalente momentfactor met opzet gebruikt wordt, omdat een vergissing door de middendoorsnede te toetsen nu niet fataal is, en bij een momentfactor van 0.39 wel. Het complete Maple script is weergegeven in bijlage 3G. 2.2.7 Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een puntlast F Nu zal worden gekeken naar de invloed van twee negatieve eindmomenten en , aangrijpend op een ligger belast met een puntlast F, op de equivalente momentfactor. De belastingssituatie en de bijbehorende momentenlijn zijn weergegeven in Figuur 24.

F αFl

-βFl l

-αFl

1/4Fl

-βFl

½Fl(- α – β+ ½) Figuur 24 Belastingssituatie F

Voor de momentenlijn kunnen de volgende wiskundige functies worden gebruikt:

27


( )

(

( )

(

(2.71)

)

(2.72)

)

Ook hier wordt het negatieve eindmoment toegevoegd aan de functies die de momentenlijn beschrijven en wordt de arbeid verricht door de eindmomenten meegenomen in de energievergelijking. Het resultaat is een equivalente momentfactor zoals weergegeven in Figuur 25.

Figuur 25 Momentfactor als functie van β

De equivalente momentfactor is voor

gelijk aan 0.73, wat overeenkomt met de eerste

gevonden waarde van belastingsgeval A. Voor

blijkt de equivalente momentfactor gelijk aan

0.58, wat overeenkomt met de waarde voor belastingsgeval 8 in bijlage 1. Voor een inklemming met een puntlast in het midden is het inklemmingsmoment immers gelijk aan

. Het complete Maple

script is weergegeven in bijlage 3H. 2.2.8

Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met puntlast F, op afstand . Tot slot zal er worden gekeken naar de invloed van een puntlast, op een afstand al van steunpunt A, met twee negatieve eindmomenten

F

en –

.

βFl

αFl al

-βFl

-αFl 1/4Fl

Fal(α-β+1-a)-αFl DE EFFECTIEVE VAN HOUTEN LIGGERS Figuur 26 Puntlast op afstand 𝑎𝑙 met twee verschillendeKIPLENGTE eindmomenten

28

Hieronder volgt een beknopte uitwerking van het momentenvoorschrift. Eerst zal de som van de momenten genomen worden om punt A. (2.73)

∑ Hieruit volgt: ( Op dezelfde manier kan ook

(2.74)

)

worden gevonden: (

)

(2.75)

Met behulp van de oplegreacties kan het moment op een afstand (

( )

worden gevonden: )

(2.76)

Nu zijn de op drie plaatsen de momenten bekend. Hiermee kan het momentenvoorschrift worden bepaald. ( ) ( )

(2.77)

(

)

(2.78)

() De helling van tot en met

(2.79)

is:

(

)

(

(2.80)

)

Hieruit volgt: ( ) Evenzo vindt men de helling van (

( )

)

(2.81)

tot en met :

(

) (

Invullen van

(

(

)

)

(

)

(2.82)

)

( ) om het momentenvoorschrift compleet te maken: (

)

(

)

(

(

(

)

(

)

)

(2.83)

)

Controle van de momentenlijn: ( )

29


(2.84)

( ) ( )

(2.85) ()

(2.86)

Voor en allebei gelijk aan en komt de momentfactor uit op wat in overeenstemming is met belastingsgeval 4 in bijlage 1. Voor en allebei gelijk aan en komt de momentfactor uit op .

2.3 Grafieken voor momentfactoren In 2.2.6 en 2.2.7 zijn voor een volledige inklemming de equivalente momentfactoren berekend. Maar het kan ook voorkomen dat deze inklemmingen De en variëren tussen 0 en een volledige inklemming. In dat geval kan men de equivalente momentfactoren halen uit de grafieken hieronder, waarbij telkens gelet moet worden wat het maximale moment is. Dit kan of het veldmoment of het steunpuntmoment zijn. De en stellen de momentfactoren voor. Tevens is de uitgezet tegen de momentfactor. Als controle wordt gekeken naar een ligger zonder eindmomenten, , waarbij het veldmoment dus maatgevend is. Hieruit volgt dat . Voor een volledig ingeklemde ligger met een puntlast, met aangezien bij

, is

. Dit is in beide grafieken te zien,

het maximale moment even groot is bij zowel het steunpunt als in het veld.

DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS Figuur 27 m-factoren voor verschillende 𝛼 en 𝛽

30

Bovenstaande grafieken gelden voor waarden van en kleiner dan 0.20. Echter, er kunnen zich ook gevallen voor doen waarbij deze veel groter kunnen worden. Bijvoorbeeld, een ligger op twee steunpunten met in het veld twee horizontale steunen(op gelijke afstanden), dan zullen voor het stuk tussen de steunen de waarden van en 1 zijn. Zie onderstaande ligger.

q a

a

a

½q3a

½q3a

Figuur 28 Ligger met horizontale steunen

Gaffeloplegging

Horizontale steunen

Figuur 29 Bovenaanzicht ligger met horizontale steunen

Als het gedeelte tussen de twee horizontale steunen “eruit” wordt gehaald dan wordt voor het moment gevonden: (

)

(

)

1/8al2

a

q βal2

βal2 a

Figuur 30 Moment tussen twee horizontale steunen

31


(2.87)

Aangezien er wordt gekeken naar de belasting precies in het midden, is

.

√ (

)

Als er voor wordt gekozen komt dit uit op . Nu is het interessant om te weten waar deze waarde van m naartoe gaat voor steeds groter wordende en . Uit Figuur 31a valt te zien dat de functie m een horizontale asymptoot met heeft. Dit is ook het geval bij een puntlast. Vanaf dit punt wordt gekozen dat

Figuur 31a Ligger met twee grote eindmomenten

Figuur 31b Ligger met één groot eindmoment

Dit is niet ook verwonderlijk. Als alsmaar groter wordt, dan kan de momentenlijn vrijwel als constant worden aangenomen, zie bijlage 1 belastingsgeval 1. Immers, de verhouding tussen en het veldmoment is zodanig dat de invloed van

(bij een q-last) vrijwel verwaarloosd mag

worden. Dit is ook het geval bij een ligger met een puntlast, waarbij de waarde van

vrijwel

verwaarloosd mag worden. Bij het belastingsgeval waarbij en met de eis dat groot is, in combinatie met een puntlast of een q-last, kan de momentenlijn vrijwel als lineair beschouwd worden. Dit is dan weer in overeenstemming met bijlage 1 belastingsgeval 2 waarbij de m-factor gelijk is aan 0.53. In Figuur 31b is te zien dat bij een steeds groter wordende de waarde m naar 0.53 nadert. Al deze belastingsgevallen zijn te zien in bijlage 4.


32

2.4 Dubbele gaffelinklemming To u o zij all o fac or b r k d voor ‘ k l gaff li kl i g’. Zie figuur 32a. Dit houdt in dat de ligger in het bovenaanzicht een zekere rotatie heeft bij de gaffelinklemming.

Figuur 32a Enkele gaffelinklemming

Figuur 32b Dubbel gaffelinklemming

Ook met belastingsgeval 8 in bijlage 1 is er sprake van een inklemming zoals te zien in figuur 32a. Echter, het verschil tussen belastingsgeval 4 is dat deze niet kan roteren in het x-z vlak. Om te voorkomen dat deze ligger bij de gaffelinklemmingen kunnen roteren, kan men deze voorzien van een dubbele gaffel zoals te zien in Figuur 32b. 2.4.1 Oplossing met behulp van energievergelijking Tot voorheen zag de rotatie va ligg r ‘ k l gaff li kl ( ) Een typische sinuscurve met periode

33

(

)

en maximum . Zie ook figuur 33.


i g’ er als volgt uit: (2.88)

Figuur 33 Uitbuigingsvorm enkele gaffelinklemming

Nu zal gekeken worden naar het functievoorschrift voor ( ) bij een dubbele inklemming. De daarbij horende knikvorm:

Figuur 34 Uitbuigingsvorm dubbele gaffelinklemming

Dit is een verschoven sinuscurve met periode . Wanneer we als randvoorwaarden invoeren dat voor en en de tussenliggende als positief definiëren, hebben we te maken met een verschuiving in twee richtingen: de evenwichtsstand is een half maximum omhoog geschoven en de grafiek is naar rechts verschoven qua fase. Daar in fase de periode is, is in fase een kwart van de periode, dus de verschuiving is . Wanneer men er van uitgaat dat de beide knikvormen op schaal getekend zijn, is het maximum hier , zodat de verschuiving omhoog bedraagt. Zo komt men tot het functievoorschrift: (2.89) ( ( ))

Nu de nieuwe uitbuigingsvorm bekend is zou op dezelfde manier als voorheen de equivalente momentfactor bepaald kunnen worden met behulp van de energievergelijking. Echter, het probleem is dat met de methode bij 2.1.4.1 dat nu niet meer opgaat. Bij de versimpeling van de energievergelijking voor het basisgeval wordt gekeken naar de arbeid die verricht wordt door de momenten op de uiteinden van de ligger. Aangezien er nu wordt gekeken naar een dubbele inklemming dient het basisgeval ook te worden voorzien van een dubbele inklemming met aan weerszijde een constant moment . Zie Figuur 35.

M0

M0 l

Figuur 35 Volledige inklemming met twee uitwendige momenten


34

Maar in dit geval kunnen de momenten geen arbeid leveren. Bij de inklemming is er geen rotatie . De twee momenten M0 zullen dus als h war “v rdwij ” i d i kl i g. Er zal nu dus gekeken moeten worden naar een andere oplossingsstrategie. 2.4.2 Oplossing met behulp van inklemmingsfactor De formule voor het kritische kipmoment luidt als volgt: √(

( )

(2.90)

( )

)

(

)

u

w

u u

u

w

w

u

In (2.90) zitten aandelen ten gevolge van welving en het aangrijpingspunt van de kracht. Aangezien een rechthoekige doorsnede als uitgangspunt is genomen hoeft welving hierin niet te worden meegenomen. Ook wordt er aangenomen dat de kracht aangrijpt in het dwarskrachtencentrum. Zodoende kan worden geconcludeerd dat (2.90) kan worden vereenvoudigd tot:

( ) Het gedeelte tussen de

en √

(2.91)

( ) √

√

lijkt veel weg te hebben van de formule voor Eulerse knik:

. Bij deze formule varieert de waarde van afhankelijk van het type inklemming. Bij een volledige inklemming aan weerszijden is de kniklengte gelijk aan

.

De waarde geeft de inklemmingsfactor weer. Deze is afhankelijk van een stijfheidsconstante de rotatiestijfheid bij de inklemming weergeeft. In formulevorm:

die

(2.92)

1.0

k 0.5

35

0.5


0.2 Figuur 36 Inklemmingsfactor 𝑘

0.4

0.6 0.8 1.0 (αrL/EI)/(1+αrL/EI)

Voor twee uiterste gevallen zal deze formule gecontroleerd worden. Bij een enkele gaffelinklemming is de rotatiestijfheid gelijk aan 0. Dit levert een . Bij een dubbele gaffelinklemming is . Invullen in (2.92): (2.93)

In Figuur 36 is k geplot tegen

, waarbij

een dimensieloze inklemmingsstijfheid voorstelt. Er is

te zien dat k bijna lineair varieert van 1.0 tot 0.5. Dit houdt dus in dat als er sprake is van een vrije oplegging, dus een enkele gaffelinklemming, gelijk is aan 1.0. Bij een inklemming, dus een dubbele gaffelinklemming, is gelijk aan 0.5. In hoofdstuk 3 zal een belastingssituatie bekeken worden waarbij de tussen de 0.5 en 1.0 ligt. 2.4.2.1 Dubbele gaffelinklemming met puntlast In de DIN is voor het belastingsgeval met een puntlast in combinatie met een enkele gaffelinklemming een equivalente momentfactor gegeven ter waarde van Met

, kniklengte van en een

komt men uit op

, met

.

voor een dubbele

gaffelinklemming: (2.94) √

√

√

2.4.2.2 Dubbele gaffelinklemming met een q-last Bij de berekening van de equivalente momentfactor bij een q-last moet worden opgemerkt dat de DIN het moment in de doorsnede gebruikt voor de toetsing op kipinstabiliteit. De formule voor de equivalente momentfactor gaat uit van het maximale moment, en dat is bij een inklemming met een q-last bij de opleggingen. DIN: (2.95) √

√

√

Uitgaande van het maximale moment in het steunpunt: (2.96) √

√


√

36

3 Beschrijving proefopstelling fysiek model In dit hoofdstuk zal worden gekeken naar het werkelijke kipgedrag van liggers. Hiervoor zal er een fysiek model worden gemaakt om het kipgedrag te demonstreren bij verschillende belastingconfiguraties. In dit hoofdstuk wordt een beschrijving gegeven van de hierbij gebruikte proefopstelling.

Figuur 37 3D Model

Gaffeloplegging

Opening voor belasting

250

500

500

500

250

Figuur 38 Bovenaanzicht

3.1 Bepaling kritieke belasting Met de beschikbare formules zou het goed mogelijk moeten zijn om vooraf de kritieke belasting te bepalen. Voor een ligger die wordt belast met een constant moment over de ligger en aan beide zijden een enkele gaffeloplegging heeft, geldt: (3.1)

√ Tevens geldt dat

, waarbij

het maximale moment is dat optreedt in de ligger. Dit

invullen in (3.1) geeft men: √ Uitgaande van een ligger belast met een puntlast halverwege de ligger, zonder eindmoment, is . Hieruit volgt voor

37

:


(3.2)

(3.3)

√

Nu zijn alleen nog de balkgegevens nodig om de maximale belasting te bepalen. Hiervoor wordt het volgende aangehouden: (3.4) (3.5) (3.6) (3.7)

3.2 Proefstuk Er is gekozen om als proefstuk een lat van triplex, tegenwoordig wel multiplex genoemd, te gebruiken met een symmetrische doorsnede van 4 x 60 [mm].

3.3 Oplegcondities

40

80

De lat is aan weerszijden opgelegd op gaffels. Hierdoor wordt rotatie om de lengteas van het proefstuk verhinderd. Zie Figuur 39. Ook is er een schroef aangebracht in de gaffels zodat de ligger in de z-richting vrij kan roteren. Bij afwezigheid van een schroef zou de ligger min of meer ingeklemd zijn en zou belastingsgeval 8 (bijlage 1) optreden. Zie Figuur 39.

200 Figuur 39 Bovenaanzicht- Verhindering rotatie om lengteas

Schroef

Figuur 40 Gaffeloplegging voorzien van een schroef

3.4 Aanbrengen belasting Omdat er gekozen is voor een triplex plaat met een dikte van 4 [mm] is een horizontale vooruitbuiging niet vereist. Aangezien het een erg dunne plaat is, is het lastig om de belasting aan te brengen. Als oplossing is bedacht om een ijzeren schoentje midden tussen ondersteuningen aan te brengen waar de belasting dan op aangrijpt. Zie ook Figuur 41.


38

Ijzeren schoentje

Figuur 41 Aanbrengen belasting

Aangezien het proefstuk bestaat uit triplex is er sprake van verschillende E-moduli. In de berekening zal de laagste E-modulus meegenomen worden. Het proefstuk zal zodanig geplaatst worden zodat de belasting in de zwakste richting aangrijpt. Een lagere E-modulus betekent een lagere belasting waardoor het proefstuk eerder zal kippen. Zie ook figuur 42.

F

F

Proefstuk A

Figuur 42a Belasten loodrecht op vezelrichting

Proefstuk B

Figuur 42b Belasten evenwijdig aan vezelrichting

3.5 Bepalen elasticiteitsmodulus De elasticiteitsmodulus kan op eenvoudige wijze bepaald worden door middel van een doorbuigingsproef. Zie Figuur 43. De doorbuiging wordt opgemeten waarmee vervolgens met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een aan een zijde ingeklemde ligger de elasticiteitsmodulus wordt bepaald. Aangezien het proefstuk van triplex is, dient te worden gekeken in welke vezelrichting het de laagste elasticiteitsmodulus geeft. Uit de doorbuigingsproef is gebleken dat bij dezelfde belasting proefstuk A een grotere doorbuiging heeft.

39


Figuur 43 Proefopstelling bepaling E-modulus

De beide planken worden belast met hetzelfde gewicht en de doorbuiging wordt opgemeten. Het traagheidsmoment in de zwakke richting is: (3.8) Vervolgens is met een vergeet-mij-nietje de E-modulus te bepalen: (3.9)

3.6 Bepalen glijdingsmodulus

ϕ

S verschil

180mm F Figuur 44 Proefopstelling bepaling glijdingsmodulus

Figuur 45 Bepaling

Op dezelfde wijze als voor de bepaling van de elasticiteitsmodulus kan ook de glijdingsmodulus worden gevonden. Alleen in dit geval zal de belasting excentrisch worden aangebracht. De verticale zakking zal hetzelfde blijven alleen zal de ligger gaan torderen. Zie Figuur 45. Door het verschil in doorbuiging van beide uiteinden te meten, kan men de hoekverdraaiing ten gevolge van het torsiemoment (constant voor de ligger over de lengte) berekenen en daaruit volgt de . Het horizontale plaatje op het uiteinde dient ervoor om het lengteverschil beter te kunnen meten.


40

(3.10)

( ) ( (

) ( ) (

) )

(3.11)

3.7 Belastingsgeval vrij opgelegde ligger Gebruik makend van (3.3) kan voor verschillende belastingconfiguraties de kritieke last bepaald worden. Hier zal de kritieke belasting worden berekend voor een belasting in het middelste veld, waarbij de twee buitenste twee velden onbelast blijven. Men kan dan de ligger als vrij opgelegd beschouwen waarbij de momentfactor gelijk is aan bijlage 2 belastingsgeval 4. (3.12)

√

√

Uit het experiment is gebleken dat bij een waarde van 140 N de ligger pas echt gaat kippen, zie ook bijlage 6. Dit is te verklaren door het volgende: De ligger is niet helemaal vrij opgelegd. Namelijk bij twee uiterste steunpunten A en B zorgen er voor dat ligger BC niet helemaal vrij opgelegd is. Steunpunten B en C hebben hierdoor een bepaalde inklemmingswaarde welke de rotatieveerstijfheid bij de steunpunten voorstelt. Deze kan eenvoudig bepaald worden met behulp van een vergeet-mij-nietje. Zie Figuur 46. θB θB x

A

B

l

l

C

D

l

y Figuur 46a Uitbuigingsvorm met puntlast in veld BC

θB

A

l

MB

B

Figuur 46b Bepaling rotatieveerstijfheid 𝛼𝑟

Het vergeet-mij-nietje luidt als volgt:

, met

. Aangezien alle liggers dezelfde

buigstijfheid en lengte hebben is de rotatiestijfheid bij beide steunpunten even groot. (2.91) krijgt men voor : ( (

41

) )


invullen in

(3.12)

De kritieke belasting wordt hiermee: (3.13)

√

√

Deze waarde komt overeen met werkelijke kritieke belasting

.

Uitgaande van een situatie waarbij de ligger op de uiteinden vrij kan roteren is de factor 1.0. Hierdoor wordt de kritieke belasting een factor 1.6 keer zo klein waardoor

gelijk aan .

3.8 Belastingsgeval constant moment Om het belastingsgeval met een constant moment te bepalen worden in de buitenste twee velden gewichten aangebracht. Hierdoor ontstaan er momenten op de middelste twee steunpunten. Om er voor te zorgen dat deze velden niet gaan kippen, zullen deze velden halverwege gesteund worden. Ook hier is er sprake van een gedeeltelijke inklemming bij de steunpunten B en C. De inklemmingsfactor dient ook hier meegenomen te worden. (3.14)

√

√

Nu is bepaald kan de kritieke belasting worden bepaald. Zie Figuur 46. De equivalente momentfactor voor een ligger met een koppel is gelijk aan en de maximale belasting treedt op in het veld. Het maximale veldmoment is gelijk aan . (3.15) (3.16) Ook deze waarde komt goed overeen met de werkelijke kritieke belasting.

F M0

1/4Fl

M0

Figuur 46 Bepaling kritieke last voor constant moment


42

4 Conclusies en aanbevelingen 4.1 Conclusies 4.1.1 Analytische methode geeft alleen basisgeval Op analytische wijze is aan te tonen dat voor het theoretische kopmoment van een ligger, belast met twee tegengestelde momenten op de uiteinden, opgelegd op een gaffeloplegging, geldt: √ Helaas kan met een programma als Maple geen analytische oplossing worden gevonden voor andere belastingsgevallen dan het basisgeval. 4.1.2 Berekening equivalente momentfactor m.b.v. energievergelijkingen Met behulp van energievergelijkingen is in van Straten9 voor een groot aantal belastingsgevallen de equivalente momentfactor gevonden. Deze belastingsgevallen zijn in dit eindwerk grotendeels op dezelfde wijze afgeleid. De grootste verandering in deze vergelijking zijn de momentenvoorschriften. Gebleken is dat dit hetzelfde resultaat levert. Voor belastingsgevallen met steunpuntsmomenten die veel groter zijn dan het veldmoment blijkt dat de equivalente momentfactor vrijwel gelijk is aan 1. De belasting in het veld is vrijwel verwaarloosbaar waardoor men het belastingsgeval mag opvatten als een ligger met twee eindmomenten. Dit levert een constant moment over de hele ligger. In de DIN staat een speciaal belastingsgeval waarbij er sprake is van een dubbele gaffelinklemming(Zie Figuur 32b en bijlage 2 belastingsgeval 3.1 en 3.2). Er is eerst geprobeerd om met behulp van de analogie van de energievergelijkingen voor dit belastingsgeval de equivalente momentfactor te vinden. Hiervoor is een ligger aangenomen met aan weerszijden een rotatieveer in het x-y vlak. Met behulp van de differentiaalvergelijking voor buiging is de uitbuigingsvorm benaderd en deze is ingevoerd in Maple. Het probleem was dat er teveel variabelen ontstonden en Maple er geen uitdrukking voor kon vinden. Het grootste probleem was dat de versimpeling van de energievergelijking voor het basisgeval (2.1.4.1.) niet meer opging. Daar is uitgegaan dat de ligger vrij opgelegd is waarbij de twee momenten aan weerszijden arbeid leveren. Maar bij een dubbele gaffelinklemming leveren deze momenten geen arbeid. In N.S. Trahair is een methode aangereikt waarmee met behulp van een inklemmingsfactor de equivalente momentfactor kan worden gevonden. Hiervan gebruik makend in de formule voor het kritische kipmoment gaf dit een uitkomst die zeer goed overeenkwam met de waarde in de DIN. 4.1.3 Toetsing fysiek model Voor de belastingconfiguraties in Figuur 27 zijn de equivalente momentfactoren gevonden. Echter, er was nergens een referentie om deze waarden mee te controleren. Met behulp van een fysiek model is voor een aantal belastingconfiguraties geprobeerd deze te controleren. Er moet opgemerkt worden dat er redelijk veel onnauwkeurigheden aanwezig waren tijdens deze proef waardoor het kipmoment soms te laag of te hoog uitviel. Het proefstuk heeft een initiële vooruitbuiging(niet ten gevolge van een horizontale belasting) waardoor deze eerder zal gaan kippen. Ook zullen er altijd onnauwkeurigheden zitten in het fysiek model. Om het belastingsgeval met een dubbele 43


gaffelinklemming na te bootsen is gebruik gemaakt van houtklemmen. Bij het inklemmen zal het proefstuk al een beetje gaan vervormen wat weer invloed heeft op het kippen. Desalniettemin is gebleken dat de kritieke belasting vrij goed overeen komt met de voorafgaande berekening.

4.2 Aanbevelingen In eerste instantie verdient het aanbeveling om te onderzoeken of andere belastingsgevallen dan het constante moment op een analytische wijze gevonden kunnen worden. Dit kan bijvoorbeeld gedaan worden door benadering met een oneindige reeks. Verder is het interessant om de rotatiestijfheid verder te onderzoeken. Bijvoorbeeld bij een belastingssituatie met aan een zijde een volledige inklemming en aan de andere zijde een vrije oplegging.


44

5 Literatuurlijst 1. Hartsuijker, Coenraad. Toegepaste mechanica, deel 2 Spanningen, vervormingen en verplaatsingen. Schoonhoven: Academic Service, 2000. 2. Kirby, P.A. en Nethercot, D.A. Design for structural stability. St. Albans : Granada publishing, 1979. 3. DIN EN 1995-1-1 NA: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten. 4. Vries, P.A. de en Kuilen, J.W.G. van der. Dictaat CT2052 Houtconstructies. Delft : sn, Maart 2010. 5. Abspoel, R. en Bijlaard, F.S.K. Dictaat CT2052 Staalconstructies. Delft : sn, Januari 2010. 6. American Forest & Paper Association. Designing for lateral-torsional stability in wood members. Washington : American Wood Council, 2003. 7. NEN-EN 1995-1-1: Ontwerp en berekening van houtconstructies. 8. Welleman, Hans. Dictaat CT3109: Module Arbeid en Energie. Delft : sn, 2011. 9. Van Straten, Roeland. De effectieve kiplengre van houten liggers. Juni 2011, Delft. 10. Trahair, N.S. Flexural Torsional Buckling of Structures. E & FN Spon, London, 1993.

45


Bijlage 1: Equivalent uniform moment factors


46

Bijlage 2: DIN-factoren

47


Bijlage 3: Maple scripts A) Puntlast op


48

B) Puntlast op

49


C) Verdeelde belasting


50

D) Puntlast op afstand

51

en


E) Lineaire momentenlijn


52

F) Verdeelde belasting met ongelijke eindmomenten

53


G) Puntlast met ongelijke eindmomenten


54

H) Puntlast op afstand

55

met ongelijke eindmomenten


Bijlage 4: Tabel met verschillende momentenconfiguraties Momentenconfiguratie

Verdeelde belasting

β ≈ 1/ 8

Puntlast

β ≈ 1/ 4

βFl

βFl l

β » 1/8

β » 1/ 4

βFl

βFl l

β ≈ 1/8

β ≈ 1/ 4

β » 1/ 8

β » 1/ 4

βFl

βFl l

βFl

βFl l


56

Bijlage 5: Afleiding momentenlijn met twee verschillende eindmomenten i.c.m. puntlast Deze momentenlijn wordt gecontroleerd door gebruik te maken van het feit dat deze lineair is, zodat per lijn slechts twee punten gecontroleerd hoeven te worden. De punten die gecontroleerd moeten worden zijn: ( ) ( ) () De twee momentenlijnen hebben de volgende vorm:

-βFl -αFl -βFl - ½Fl(- α – β+ ½) ½Fl(- α – β+ ½)- -αFl

½Fl(- α – β+ ½) ½l

½l

( ) (

( )

57


)

Zodat: ( )

(

)

(

(

)

(

)

)

Controle verbeterde momentenlijn ( ) ( )

(

( )

()

(

) (

)

)


58

Bijlage 6: Foto’s experiment

Inklemming

Vezelrichting

Uitbuigingsvorm met belasting in veld 2

Uitbuigingsvorm met belasting in veld 1 en 3

59


Voorwoord. Khalid Saleh. Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2

Recommend Documents