ROZKLAD ROZPTYLU
ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže jsou k dispozici údaje o skupinách (průměry, rozptyly, četnosti)
VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách
MEZISKUPINOVÝ ROZPTYL Je mírou odlišnosti poloh (průměrů) skupin Jiný název: rozptyl průměrů Vypočítává se jako rozptyl z průměrů jednotlivých skupin vůči celkovému rozptylu. Užívá se definiční výpočet rozptylu (průměrná čtvercová odchylka)
PŘÍKLAD 1
Na základě výsledků z 1. příkladu minulého bloku vypočítejte vnitroskupinový, meziskupinový a celkový rozptyl.
Četnosti Průměry Rozptyly
W
10
5
0
X
10
9,4
185,24
Y
10
9,4
16,44
Z
10
31,9
398,89
ŘEŠENÍ 1 W X Y Z Celkem
ni 10 10 10 10 40
xi si2 5 0 9,4 185,24 9,4 16,44 31,9 398,89 XX XX
nixi 50 94 94 319 557
Průměr:
si2ni 0 1852,4 164,4 3988,9 6005,7
(xi-x) (xi-x)2 (xi-x)2ni -8,925 79,656 796,55625 -4,525 20,476 204,75625 -4,525 20,476 204,75625 17,975 323,1 3231,00625 0 XX 4437,075 13,925
Vnitroskupinový rozptyl:
150,1425
Meziskupinový rozptyl
110,9269
Rozptyl
261,0694
PŘÍKLAD 2
Na základě následující tabulky vypočítejte meziskupinový, vnitroskupinový a celkový rozptyl. Varianta počet průměr minimum maximum medián Směrodatná odchylka
Adámek Barunka Jiříček 30 17 31 15 13,88 12,71 6 0 6 20 20 19 16 15 13 4,655
5,85
3,438
Dětinské kolegium 20 12,75 2 20 12 5,337
ŘEŠENÍ 2
Průměr = (15*30+13,88*17+12,71*31+12,75*20)/98 = 13,62
Adámek Barunka Jiříček Dětinské kolegium Celkem
ni 30 17 31
si2 21,669 34,223 11,82
ni*si2 650,07 581,791 366,42
xi (xi-x)2 (xi-x)2*ni 15 1,9044 57,132 13,88 0,0676 1,1492 12,71 0,8281 25,6711
20
28,484
569,68
12,75 0,7569
98
XXX
2167,961 13,62
XXX
15,138 99,090
ŘEŠENÍ 2
sx2 = 22,12 + 1,01 = 23,13
PŘÍKLAD 3
Na základě následující tabulky vypočítejte meziskupinový, vnitroskupinový a celkový rozptyl.
Skupina
Podíly Průměry Rozptyly
A
0,2
1,75
0,25
B
0,3
2,5
0,2
C
0,5
3,8
0,5
ŘEŠENÍ 3 Skupina
pi
A
xi
si2
si2pi
xipi
(xi-x)2pi
0,2
1,75
0,25
0,05
0,35
0,3125
B
0,3
2,5
0,2
0,06
0,75
0,075
C
0,5
3,8
0,5
0,25
1,9
0,32
Celkem
1
XX
XX
0,36
3
0,7075
MÍRY ŠIKMOSTI Rozdělení s nulovou šikmostí je takové, ve kterém se medián rovná průměru Rozdělení s kladnou šikmostí je takové, ve kterém je medián menší než průměr Rozdělení se zápornou šikmostí je takové, ve kterém je medián větší než průměr Měr šikmosti je mnoho, nejpoužívanější je tzv. třetí normovaný moment
MÍRY ŠPIČATOSTI Čím více hodnot je kolem středu, tím je rozdělení špičatější. Nejpoužívanější míra špičatosti vychází ze čtvrtého normovaného momentu a srovnává se se špičatostí normovaného normálního rozdělení.
STATISTICKÝ UKAZATEL Je funkcí hodnot znaků (proměnných) Primární ukazatele jsou ukazatele přímo zjišťované (tržba) Sekundární ukazatele jsou ukazatele odvozené z primárních a to jako:
Funkce různých primárních ukazatelů (zisk) Funkce různých hodnot téhož ukazatele (průměrný zisk) Funkce různých hodnot různých ukazatelů (průměrný podíl marže A na zisku)
STATISTICKÝ UKAZATEL Absolutní vyjadřuje velikost určitého jevu bez vztahu k jiným (např. zisk) Relativní vyjadřuje velikost určitého jevu vztaženou k jinému (např. podíl marže A na zisku) Extenzitní ukazatel je ukazatelem množství Intenzitní ukazatel je ukazatelem úrovně (např. ceny) Okamžikový je daný k určitému časovému bodu Intervalový je daný za určité časové období
SHRNOVATELNOST UKAZATELŮ Přímo shrnovatelné – jejich souhrnnou hodnotu lze určit z dílčích hodnot (např. roční zisk z dílčích zisků za jednotlivé měsíce; součet) Nepřímo shrnovatelné – jejich souhrnnou hodnotu můžeme zjistit pouze tehdy, když známe nejen dílčí hodnoty, ale ještě hodnoty jiného znaku (např. marže z prodeje A za rok z měsíčních průměrných zisků a objemů prodeje; průměr) Neshrnovatelné – jejich souhrnnou hodnotu lze určit pouze se znalostí všech hodnot (např. medián)
INDEXY Absolutní rozdíl je rozdílem dvou hodnot Index je podílem dvou hodnot. Je to číslo udávající kolikrát je hodnota v čitateli větší než hodnota ve jmenovateli.
Prostorový index srovnává jeden ukazatel na dvou různých místech (zisk firmy A vs. zisk firmy B) Druhový index srovnává jeden ukazatel u dvou různých věcí (zisk z výrobku A vs. zisk z výrobku B) Časový index srovnává jeden ukazatel ve dvou různých okamžicích (zisk v roce 0 vs. zisk v roce 1)
DĚLENÍ INDEXŮ Množství a úrovně (extenzitní a intenzitní) Individuální indexy jsou indexy stejnorodých ukazatelů
Jednoduché indexy jsou takové, ve kterých neprovádíme shrnování Složené indexy jsou takové, ve kterých provádíme shrnování
Souhrnné indexy jsou indexy nestejnorodých ukazatelů
UKAZATELE
Obecně se používají tři ukazatele – p, q, Q
p = Q/q
Tradiční význam: p – cena q - množství Q – tržba
JEDNODUCHÉ INDEXY Jednoduché indexy srovnávají dvě hodnoty téhož ukazatele. Nejsou nijak shrnovány. Index úrovně (ceny):
Index množství:
Index tržeb:
Vztah:
ABSOLUTNÍ PŘÍRŮSTKY
Změna ceny:
Změna množství:
Změna tržeb:
PŘÍKLAD
Pan Bakala objevil na zahrádce uhlí a rozhodl se ho prodávat. V prvním roce prodal 200 tun uhlí za cenu 2000,- Kč/t. Ve druhém roce se rozhodl zvýšit cenu na 2200,-Kč/t a prodal takto 180 tun. Porovnejte změnu cen, prodaného množství a tržeb ve druhém roce oproti prvnímu.
ŘEŠENÍ Jelikož se jedná o jednu veličinu a jedno pozorování (uhlí a jedno prodejní místo), použijí se jednoduché indexy (nic se neshrnuje). Ip = 2200/2000 = 1,1 (cena vzrostla o 10%) Δp = 2200 – 2000 = 200 (cena vzrostla o 200 Kč/t) Iq = 180/200 = 0,9 (objem klesl o 10%) Δq = 180 – 200 = -20 (objem klesl o 20 tun) IQ = (2200*180)/(200*2000) = 396 000/400 000 = 0,99 (tržby klesly o cca. 1%) ΔQ = 2200*180 - (2000*200) = 396 000 – 400 000 = - 4000 (tržby klesly o 4000,- Kč)
BAZICKÉ A ŘETĚZOVÉ INDEXY
Bazické indexy se vztahují vždy ke stejnému základu (srovnávají hodnotu vždy se stejným číslem - bází). Často se udávají v procentech (po vynásobení stem)
Řetězové indexy srovnávají dvě po sobě jdoucí hodnoty v časové řadě. Mají tudíž smysl pouze pro časové indexy.
VZTAH INDEXŮ
Platí, že násobením řetězových indexů dostáváme bazické.
Opačně řetězový index získáme dělením dvou po sobě jdoucích bazických indexů.
PŘÍKLAD V tabulce je časová rada ukazující vývoj počtu zjištěních trestných činů v letech 1991 – 1997. Charakterizujte tento vývoj pomocí absolutních přírůstku, řetězových a dvou bazických indexů (bází je rok 1991 a poté rok 1995)
t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Yt 282 996 345 008 398 505 365 265 368 624 387 374 397 845
ŘEŠENÍ t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Yt 282 996 345 008 398 505 365 265 368 624 387 374 397 845
It/91 100 121,91 140,81 129,07 130,26 136,88 140,58
It/95 Přírůstky It/t-1 76,77 93,59 62 012 121,91 108,11 53 497 115,51 99,09 -33 240 91,66 100 3 359 100,92 105,09 18 750 105,09 107,93 10 471 102,7
PŘÍKLAD V tabulce jsou bazické indexy počtu dokončených bytů v ČR v letech 1997 - 2000 se základem v roce 1997, a dále bazické indexy počtu dokončených bytů v letech 2000 až 2003 se základem v roce 2000. Dopočítejte chybějící bazické indexy v obou řadách.
Rok
I(i/97)
1997
100,0
1998
132,4
1999
141,6
2000
150,4
I(i/00)
100,0
2001
98,2
2002
108,3
2003
107,6
ŘEŠENÍ Rok I(i/97) 1997 100 1998 132,4 1999 141,6 2000 150,4 2001 147,69 2002 162,88 2003 161,83
I(i/00) 66,49 88,03 94,15 100 98,2 108,3 107,6
It/t-1 XXX 1,324 1,069 1,062 0,982 1,103 0,993
