Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

CHYBY MĚŘENÍ

Opakované měření téže fyzikální veličiny nevede vždy k přesně stejným výsledkům. Této skutečnosti bychom se nevyhnuli, i kdybychom měření prováděli s největší důkladností a precisností – naopak, čím citlivější a přesnější jsou použité přístroje, tím spíše k tomuto poznatku dojdeme. Při každém měření fyzikální veličiny vznikají určité odchylky naměřené hodnoty od skutečné hodnoty dané veličiny. Tyto odchylky nazýváme chybami měření. - příčiny chyb jsou velmi různé - někdy je známe, ale často je také nedovedeme vůbec zjistit.

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele ... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné kalibrace měřidel, přesnost metody ... - zatěžují stejným způsobem výsledek každého měření - není-li udána, uvažujeme hodnotu jedné poloviny nejmenšího dílku měřidla 3. náhodné chyby - v důsledku působení náhodných vlivů - nelze je zjistit ani ovlivnit - lze je „odhadnout“ - užíváme matematickou statistiku

Náhodné chyby Jednotlivá měření jsou vždy zatížena určitou chybou  nemůžeme z naměřených hodnot určit přesnou hodnotu X měřené veličiny. Eliminace vlivu náhodných chyb na měření: - danou veličinu změříme vícekrát - z naměřených hodnot určíme nejpravděpodobnější hodnotu (hodnotu považovanou za nejbližší skutečné hodnotě)

Je-li každé měření provedeno se stejnou přesností (hrubé chyby vylučujeme), lze ukázat, že nejpravděpodobnější hodnotou je aritmetický průměr.

Náhodné chyby Označme:

n - počet měření dané veličiny

X - skutečná hodnota měřené veličiny

X - nejpravděpodobnější hodnota měřené veličiny X i - naměřená hodnota (i-té měření) X i  X i  X - absolutní chyba (i-tého měření)

Vi  X i  X - nejpravděpodobnější chyba (i-tého měření)

Náhodné chyby Potom: Pokud při hledání nejpravděpodobnější hodnoty požadujeme, aby součet nejpravděpodobnějších chyb byl roven 0 n

 V

0

i

i 1

 V   X n

dosazením

i 1

n

i

i 1

 X    X i  nX  0 n

i

i 1

n

dostáváme

X

X i 1

n

i

- tj. aritmetický průměr

Náhodné chyby Dosazením

X i  X  X i

dostáváme nX 

n

do předchozího vztahu

n

n

 X    X  X   nX   X i 1

i

i

i 1

i 1

i

n

n

odtud

nX  nX   X i i 1



X X 

 X i 1

n

Protože chyby Xi nabývají se stejnou pravděpodobností kladných i záporných hodnot, blíží se pravá strana pro nekonečný počet měření k nule. Pro nekonečně velký počet měření je tedy skutečná hodnota naměřené veličiny X totožná s aritmetickým průměrem X .

i

Náhodné chyby Nejistotu, s jakou přesností aritmetický průměr určuje měřenou veličinu lze odhadnout různými metodami.

Průměrná chyba Pravděpodobnost vzniku kladné a záporné odchylky je stejná  při velkém počtu měření je aritmetický průměr chyb ∆Xi roven 0  průměrná chyba se počítá z absolutních hodnot chyb | ∆Xi |. n

X 

 X i 1

n

n

i



X i 1

i

n

X

Zápis výsledku měření:

X  X  X

X - měřená veličina

X - výsledek měření (artimetický průměr) X - absolutní chyba (odchylka) měření

X X  X

- relativní chyba (odchylka) měření - zavádíme pro porovnání přesnosti měření

Zásady pro zápis výsledku měření: - chybu měření uvádíme na nejvýše dvě platné číslice - ve výsledku zaokrouhlujeme v řádu poslední platné číslice chyby Příklady zápisu výsledku měření:

l  6,32  0,02 mm

l  0,3 0 0

v  26,32  0,42 m  s

1

v  1,6 0 0

Poznámka: Pokud se chyba měření ve výsledku neudává, předpokládá se, že je menší, než polovina řádu za poslední platnou číslicí výsledku. Např.:

v  3,5 m  s

1

1    3,45  v  3,55 m  s

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

l1  l2  l3  ...  ln l n

Vypočítáme aritmetický průměr z naměřených hodnot. (Považujeme jej za nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny.)

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

-0,16 0,04 0,04 0,14 -0,06 0,088

l1  l2  l3  ...  ln l n

li  li  l

li – odchylka (chyba) jednotlivého měření Pro každé měření určíme rozdíl li mezi naměřenou hodnotou li a aritmetickým průměrem.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

-0,16 0,04 0,04 0,14 -0,06 0,088

l1  l2  l3  ...  ln l n

li  li  l l 

l1  l2  ...  ln n

Z jednotlivých odchylek vypočítáme průměrnou odchylku l jako aritmetický průměr absolutních hodnot odchylek jednotlivých měření.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

-0,16 0,04 0,04 0,14 -0,06 0,088

l  107,36 mm l  0,088 mm

l  l  l

l  107,36  0,088 mm l  107,272 ; 107,448 mm

Pomocí aritmetického průměru a průměrné odchylky určíme horní a dolní mez intervalu, o kterém předpokládáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

-0,16 0,04 0,04 0,14 -0,06 0,088

l  107,36 mm l  0,088 mm

l  l  l

l  107,36  0,088 mm l  107,272 ; 107,448 mm

Měřením nezjišťujeme skutečnou číselnou hodnotu veličiny, ale horní a dolní mez intervalu, o kterém předpokládáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

-0,16 0,04 0,04 0,14 -0,06 0,088

l  107,36  0,088 mm l  0,08%

l 0,088 l   .100% l 107,36

Pro porovnání přesnosti měření uvádíme průměrnou relativní odchylku. Je určena podílem průměrné odchylky a aritmetického průměru z naměřených hodnot.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření

1. 2. 3. 4. 5.

li mm

107,2 107,4 107,4 107,5 107,3 Průměr 107,36

 li mm

-0,16 0,04 0,04 0,14 -0,06 0,088

l  107,36  0,088 mm l  0,08%

Výsledek měření udáváme formou intervalu, o kterém předpokládáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny, s průměrnou relativní odchylkou měření.

Chyby fyzikálních veličin určovaných výpočtem Násobení - veličina X je součinem veličin A, B Nejpravděpodobnější hodnota Relativní chyba

X  AB

 X   A B

Dělení - veličina X je podílem veličin A, B A X  Nejpravděpodobnější hodnota B  X   A B Relativní chyba

Chyby fyzikálních veličin určovaných výpočtem Posloupnost kroků při určování chyb a) Měřená veličina – 1. průměr – 2. absolutní chyba – 3. relativní chyba

Relativní chyba

X X  X

b) Počítaná veličina – 1. průměr – 2. relativní chyba – 3. absolutní chyba

Absolutní chyba

X   X  X