3 Chyby měření Za daných podmínek má každá fyzikální veličina určitou hodnotu, kterou ovšem z principiálních důvodů nemůžeme zjistit úplně přesně. Každé měření je totiž zatíženo chybami, které jsou nejrůznějšího původu. Výsledek měření ovlivňují vlastnosti měřicích přístrojů i samotná osoba, která měření provádí. Dalším zdrojem chyb může být zvolená metoda měření a mnoho jiných, většinou nezjistitelných vlivů. Přesnost měření vyjadřuje blízkost výsledku měření ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Skutečná – pravá – hodnota veličiny je ovšem pojem ideální. V teorii měření ji nahrazujeme tzv. konvenčně pravou hodnotou, což je hodnota, která se skutečné blíží natolik, že jejich rozdíl můžeme považovat za zanedbatelný. Při různých nárocích na přesnost můžeme např. za pravou hodnotu Planckovy konstanty jednou považovat 6,6256.10-34 J.s, jindy 6,6.10-34 J.s. Při opakovaných měřeních (po korekci soustavných chyb) klademe pravou hodnotu veličiny rovnu aritmetickému průměru naměřených hodnot. Přesnost, s jakou dané měření uskutečníme, musíme vždy stanovit, neboť výsledek měření bez uvedení přesnosti nemá smysl – nelze ho totiž porovnat s jiným naměřeným výsledkem. Součástí každého měření je tedy důkladná analýza všech chyb, které se při něm uplatnily. Chyby měření lze roztřídit do několika kategorií, a to podle různých hledisek. Podle původu (chyby osobní a chyby měřicích přístrojů, metody), podle charakteru (chyby náhodné a chyby soustavné) nebo podle analytického vyjádření (chyby absolutní a relativní). Můžeme uvést také chybu krajní (mezní), což je maximální chyba měření, ke které může za daných podmínek dojít, nebo chybu větší než maximální – tzv. chybu nadměrnou (hrubou). Ta svědčí o nespolehlivosti měření způsobené poruchou přístroje, omylem experimentátora apod. Některé výše uvedené druhy chyb se vzájemně prolínají a jejich rozlišení je mnohdy obtížné. Například soustavné chyby měření zůstávají při opakování měření za stejných podmínek konstantní. Mění-li se však podmínky měření (často si to ani neuvědomíme), mění se i hodnoty soustavných chyb a snadno dojde k jejich záměně s náhodnými chybami. Uvedeme-li chybu měření (ať už soustavnou, náhodnou nebo hrubou, či jinou) v jednotkách měřené veličiny, hovoříme o chybě absolutní. Lepší představu o přesnosti měření však dává chyba relativní, vyjádřena jako podíl absolutní chyby a měřené veličiny. Je to bezrozměrné číslo, což je výhodné, máme-li porovnat přesnost měření fyzikálních veličin různého druhu. V praxi se uvádí obvykle procentuální vyjádření relativní chyby.
3.1 Hrubé chyby Měření zatížené hrubou chybou poznáme snadno, protože dává proti ostatním měřením téže veličiny příliš odlišnou hodnotu. Hrubé chyby vznikají nepozorností nebo únavou (na stupnici čteme 13 místo 18), při zhoršených podmínkách měření (špatná viditelnost), může k nim dojít také při nevhodné volbě měřicí metody a měřicích přístrojů. Např. magnetoelektrické voltmetry s usměrňovačem pro měření střídavých napětí jsou cejchovány v efektivních hodnotách napětí. Toto cejchování však platí jen pro napětí harmonického průběhu. Jestliže by se takovým voltmetrem měřilo napětí neharmonického průběhu, údaj voltmetru by byl chybný. Při zpracování měření je nutno hrubé chyby vyloučit, aby nezkreslovaly výsledek měření. 00-3/1
3.2 Soustavné (systematické) chyby Největší problém z hlediska posouzení přesnosti měření představují soustavné chyby, protože jejich původ a velikost se dá určit mnohdy velmi obtížně. V praxi se navíc běžně vyskytují soustavné chyby společně s chybami náhodnými. Soustavnou chybou měření se rozumí chyba, jejíž hodnota se nemění, opakuje-li se měření za stejných podmínek (což není vždy splněno). Zdroje soustavných chyb jsou různé: jejich původem jsou měřicí metody, používané měřicí přístroje nebo osoby provádějící měření. Na rozdíl od náhodných chyb, u kterých nedovedeme přesně popsat příčiny vzniku, lze pečlivým rozborem měření (analýzou) soustavné chyby odhalit a odhadnout jejich velikost a znaménko (případně je odstranit). I když nebudeme ve cvičení úlohu opakovat, můžeme svoje zkušenosti a poznatky uplatnit u jiné úlohy, kde je použita stejná metoda měření, popřípadě stejné měřicí přístroje. Tak například při měření napětí voltmetrem dostáváme pro napětí hodnoty poněkud menší, protože vnitřní odpor voltmetru není nekonečně velký. Tady můžeme chybu vyloučit početní korekcí, nebo měření nahradit např. kompenzační metodou. Použijeme-li při měření gravitačního zrychlení reverzním kyvadlem vzorce pro dobu kmitu platného pro nulový rozkmit, dostáváme pro gravitační zrychlení hodnotu vždy o něco menší, než je skutečná hodnota. Potřebujeme-li velmi přesný výsledek, opravíme dobu kmitu podle tabulky na nulový rozkmit. Alespoň částečné eliminace soustavných chyb se dá dosáhnout opakováním měření různými metodami. Soustavné chyby tím dostanou charakter proměnlivých chyb se souměrným rozložením. Po vyhodnocení způsobem obvyklým u náhodných chyb dospějeme k přesnější hodnotě měřené veličiny. V některých případech (je-li rozptyl takto získaných hodnot značný) vyjádříme pouze rozpětí, ve kterém leží měřená veličina intervalem X min , X max . Existuje celá řada testů, kterými lze zjišťovat, zda skutečné chyby opakovaných měření (za stejných podmínek) obsahují kromě náhodné chyby i chybu soustavnou. Nejjednodušší je sledování posloupnosti znamének chyb. Odchylky se sledem znamének – – – + – – + + – + – + + + (nebo obdobným) jsou náhodné, zatímco u odchylek např. + + + + + – + + – – – – – se dá předpokládat soustavná složka, která se měnila z kladné na zápornou hodnotu. Chyby vnáší do měření i samotný objekt měření. Mnohé materiály delším provozem mění svoje vlastnosti (únava materiálu), takže interval, ve kterém určíme naměřenou veličinu se buď částečně nebo vůbec nekryje s intervalem, který udávají tabulky. Např. nižší hodnoty modulů se dají přirozeně vysvětlit a lze je v závěru protokolu zdůvodnit. Opožděné spuštění stopek při měření času, chybný způsob odečítání hodnot ze stupnice (tzv. paralaktická chyba), příliš hrubý odhad zlomků nejmenšího dílku – to jsou chyby osobní. Ty se nejúčinněji odstraní automatizací měření. Častými zdroji soustavných chyb jsou samotné měřicí přístroje, u nichž může být třeba nerovnoměrně nanesená stupnice (ověřujeme cejchováním). Důležité je rovněž správné nastavení přístrojů (nastavení nuly, citlivosti), a to před měřením i v průběhu měření. Není také vhodné měřit elektronickými měřicími přístroji hned po jejich zapnutí. Jejich vlastnosti jsou ustálené až po uplynutí dostatečně dlouhé doby.
00-3/2
Soustavnou chybu, která byla zjištěna, je nutno korigovat. Ve zpracování výsledku měření se použijí opravené hodnoty měření.
3.3 Chyby měřicích přístrojů Vzhledem k rozmanitému původu soustavných chyb a jejich závislosti na podmínkách měření není ovšem mnohdy možné stanovit jejich hodnotu a opravit výsledek měření. V takovém případě určíme (nebo pouze odhadneme) alespoň interval, ve kterém s jistotou leží chyba jednoho měření. Výsledek měření tedy zapíšeme ve tvaru X xN u ( X ) ,
r ( X )
u( X ) , xN
(3.1)
kde xN je naměřená hodnota veličiny X, u(X) je mezní chyba měřidla v absolutním tvaru a r ( X ) je relativní chyba výsledku. Chyby měřidel bývají zařazeny mezi soustavné chyby. U analogových (ručkových) měřicích přístrojů vymezíme interval, ve kterém leží měřená veličina, z třídy přesnosti. Ta je definována jako číslo n, které udává, že mezní chyba měření je n % z největší hodnoty zvoleného měřicího rozsahu, a to pro všechny hodnoty odečtené na tomto rozsahu. Velikost chyby z třídy přesnosti je jednoznačně určena zařazeným rozsahem. Na různých rozsazích je tedy různá, zpravidla větší než desetina nejmenšího dílku dělení. Výrobce zaručuje, že v těchto mezích leží součet všech dílčích soustavných chyb (způsobených nepřesností výroby, oteplením přístrojů vlastní spotřebou, stárnutím materiálů, rušivými mechanickými silami – tření, atd.) i mezní náhodná chyba. Snažíme se o co nejpřesnější odečítání hodnot, minimálně odhadneme polovinu nejjemnějšího dělení. Zatímco absolutní mezní chyba je pro daný rozsah konstantní, velikost relativní chyby závisí na hodnotě měřené veličiny. Z hlediska přesnosti měření je proto volba vhodného měřicího rozsahu velmi důležitá.
Příklad: Měřicí přístroj třídy přesnosti 0,2 má na rozsahu 1500 mA mezní absolutní chybu 3 mA (tj. 0,2 % z 1500 mA) pro všechny hodnoty. Odečítáme-li tedy na tomto rozsahu 1500 mA, je relativní chyba 0,2 %, ale při měření proudu 750 mA už 0,4 % a pro hodnotu 150 mA dokonce 2 %. Rozsah přístroje musíme proto volit vždy tak, aby se výchylka pohybovala pokud možno v poslední třetině nebo alespoň v druhé polovině stupnice, protože pouze tady měříme s relativní chybou jen o něco větší než je třída přesnosti. U číslicových měřicích přístrojů není mezní chyba dosud stanovena normami jako u analogových třídou přesnosti. Zpravidla se však celková chyba vyjadřuje součtem dvou čísel. První číslo je část chyby v % měřené hodnoty, druhé číslo je část chyby v % plného rozsahu (zde se uplatní zejména chyby související s kvantováním). Za mezní chybu vážení budeme považovat rozdíl nulových poloh před a po vážení dělený citlivostí vah. U stopek byla mezní chyba měření způsobená strojem a lidským faktorem odhadnuta na 0,3 s pro jeden odečet času. U všech měření, kdy odečítáme na stupnici, můžeme za maximální chybu považovat nejmenší dílek dělení (obvykle to bývá 1mm), někdy také jeho polovinu (stanovíme 00-3/3
dohodou). Přesně odečteme celé dílky a není-li měřítko opatřeno noniem, desetiny dílku odhadneme. Úroveň svých měřicích schopností a tím i přesnost odečítání ze stupnice určí nejlépe každý sám. Je ovšem samozřejmé, že se snažíme o co nejlepší výsledek. U většiny měření se vyskytuje více druhů chyb. Např. při měření napětí voltmetrem chyba odečítání na stupnici i chyba vymezená z třídy přesnosti. Srovnáním jejich velikostí zjistíme, kterou z nich můžeme zanedbat.
3.4 Náhodné chyby Opakujeme-li měření s dostatečnou rozlišovací schopností, pak i při konstantní hodnotě měřené veličiny dostaneme výsledky, které se navzájem liší. Příčinu spatřujeme v tom, že při každém měření působí řada víceméně nepostižitelných vlivů, které se náhodně kombinují a způsobují náhodné (nahodilé) chyby měření. Těmto chybám není možné se vyhnout a vynikají tím více, čím přesnější měření provádíme. Obdobně dostaneme náhodně rozložené výsledky opakovaných měření v případě, že měřená veličina má náhodný charakter, i kdyby samotná měření byla bez chyb. Pravděpodobnost a statistika nám umožňuje vyřešit problém, jak z těchto různých naměřených hodnot určit tu, která je s největší pravděpodobností skutečnou (pravou) hodnotou naší veličiny. Kdybychom provedli velmi mnoho (a „velmi mnoho“ znamená počet n měření, ukázalo by se, že rozložení hodnot na číselné ose vykazuje jistou zákonitost. Nejvíce jich leží v blízkém okolí hodnoty, kterou nazýváme střední hodnota . Malé odchylky od střední hodnoty jsou tedy daleko četnější než velké. Většina veličin měřených ve fyzice má symetrické rozložení kolem střední hodnoty – pro každou kladnou odchylku od střední hodnoty bychom při velkém souboru hodnot našli stejně velkou zápornou odchylku. Takovéto rozložení se nazývá normální neboli Gaussovo rozložení a je popsáno funkcí p ( x)
1 e 2
1 ( x )2 2 2
.
(3.2)
Je to známá zvonovitá křivka (obr. 3.1), která vyjadřuje hustotu pravděpodobností hodnot veličiny x (jsou to všechny hodnoty xi , jež by při našem měření mohla nabývat tato fyzikální veličina). Hodnoty xi jsou diskrétní, ale pro n jsou rozloženy tak hustě, že je můžeme aproximovat spojitým rozložením. Funkce p(x) má jediné maximum právě v bodě x a její průběh závisí na parametru . Čím menší je , tím vyšší a ostřejší je maximum, tj. naměřené hodnoty jsou méně rozptýleny.
00-3/4
Obr. 3.1 Průběh normálního rozdělení pro různé hodnoty rozptylu Rozptýlenost hodnot na číselné ose vyjadřuje veličina 2 , jež se nazývá rozptyl. Je definována jako průměrný čtverec odchylek jednotlivých hodnot od střední hodnoty : 1 n
2 ( xi )2
(3.3)
Druhá odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná (standardní) odchylka) , v některých publikacích také střední kvadratická odchylka. Patří spolu se střední hodnotou k základním charakteristikám Gaussova rozložení. Protože p(x) vyjadřuje rozložení pravděpodobností hodnot, dá se řešením integrálu x2
p( x) dx
(3.4)
x1
vyčíslit pravděpodobnost, s jakou se měřená veličina nachází v určitém intervalu x1, x2 . Definiční obor funkce (3.4) je , , v tomto intervalu se tedy veličina nachází se 100 %-ní pravděpodobností. Vymezíme-li na ose x význačné body, pak intervalu , přísluší 68,26 %-ní pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny, intervalu 2 , 2 pravděpodobnost 95,44 %, a v intervalu 3 , 3 leží s 99,72%ní pravděpodobností skutečná hodnota měřené veličiny (obr.3.2). Jinak řečeno, má-li naše veličina normální rozložení, je téměř 100 %-ní pravděpodobnost, že žádná z hodnot, kterou naměříme, se nebude odchylovat od střední hodnoty více než 3 . Normální Gaussovo rozložení (rozdělení) připouští sice teoreticky i výskyt velmi velkých odchylek od střední hodnoty, ale jejich pravděpodobnost je velmi malá.
Obr. 3.2 Normální Gaussovo rozdělení
Zkušenost ukazuje, že hodnoty náhodné veličiny nikdy nepřesáhnou určitou mez. Měřímeli vzdálenost 10 m, není prakticky možné, abychom v důsledku náhodných chyb naměřili např. 8 m. Za maximální možnou odchylku se bere nejčastěji Δmax 3 . Hodnoty, které přesáhnou tuto mez, vyloučíme obvykle ze zpracování jako hrubé chyby. Je to známé pravidlo „tří sigma“. Soubor n hodnot pro n se ve statistice nazývá základní soubor a svými parametry a je popsán jednoznačně. V praxi je ovšem nemožné provést „nekonečně mnoho měření“, a to nejen z časových důvodů. U některých veličin by došlo k nevratným změnám, u jiných měřených objektů dokonce ke zničení. Musíme se proto spokojit s menším počtem měření
00-3/5
a pokusit se i z tohoto tzv. náhodného výběru odhadnout parametry (tj. střední hodnotu a rozptyl, resp. směrodatnou odchylku) základního souboru. Bodovým odhadem střední hodnoty je aritmetický průměr naměřených hodnot x : x
1 xi n
(3.5)
Výběrový rozptyl s2 , kterým odhadujeme rozptyl základního souboru 2, je definován s
2
( xi x )2
(3.6)
n 1
a výběrová směrodatná odchylka (střední kvadratická odchylka jednoho měření) s je potom
( xi x )2
s
(3.7)
n 1
Aritmetický průměr a výběrový rozptyl ovšem nejsou obecně (z hlediska základního souboru) konstanty, neboť pro každou sadu měření bychom obdrželi poněkud jiné hodnoty jak aritmetického průměru, tak výběrového rozptylu. S jakou přesností můžeme považovat aritmetický průměr naměřených hodnot x za pravou hodnotu měřené veličiny? Tuto přesnost odhadu popisuje interval spolehlivosti: s s , x tn, P , n n
x tn, P
(3.8)
kde x je aritmetický průměr naměřených hodnot, s je výběrová směrodatná odchylka a tn, P je koeficient Studentova rozdělení. sx
Výraz
s n
( xi x )2
(3.9)
n(n 1)
se nazývá výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru.
( X ) tn, P
Součin
s n
(3.10)
je chyba výsledku z n měření s pravděpodobností P (tzv. hladina spolehlivosti). Obvykle uvádíme i relativní chybu výsledku (X ) r ( X ) . (3.11) x Hodnoty t jsou tabelovány v příslušných normách, zde uvedeme pouze zkrácenou tabulku t pro vybrané hodnoty počtu měření n a některé pravděpodobnosti P. tn, P
n
P = 0,50
P = 0,68
P = 0,95
P = 0,99
3
0,817
1,321
4,526
19,210
5
0,741
1,110
2,968
6,620
10
0,703
1,059
2,320
3,250
15
0,692
1,037
2,145
2,997
00-3/6
20
0,688
1,027
2,093
2,861
Tab. 3.1 Tabulka vybraných hodnot koeficientů Studentova rozdělení V technické praxi je obvyklé požadovat 95 %-ní pravděpodobnost výsledku (tedy hladinu spolehlivosti 0,95). Znamená to zároveň, že je pouze 5 %-ní riziko, že v našem intervalu se pravá hodnota měřené veličiny nenachází. Při běžných měřeních bývají výsledky uvedeny s hladinou spolehlivosti 0,68 (tedy s pravděpodobností 68 %). U výsledku se zapsanou chybou vždy uvedeme zvolenou pravděpodobnost a počet měření. Interval spolehlivosti se zužuje při rostoucím počtu měření v důsledku zmenšujících se hodnot t a rostoucího jmenovatele n ve vztahu (3.9). Na obr. 3.3 je však vidět, že při velkých n klesá s x jen pozvolna, takže provádění velkého počtu měření je neekonomické. Kromě toho nelze vždy zaručit stálost měřené veličiny a podmínek měření. Za vhodný počet měření se obvykle považuje 10 – 20.
Obr. 3.3 Závislost výběrové směrodatné odchylky na počtu měření
3.5 Chyby nepřímých měření Přímo naměřené veličiny dosazujeme ve většině případů do fyzikálních vztahů, abychom vypočetli hledanou fyzikální veličinu – jedná se o nepřímé měření. Vyvstává tedy otázka, jak veliká je chyba výsledné veličiny, jestliže známe chyby vstupních hodnot. Předpokládejme, že fyzikální veličina, kterou je nutno určit, souvisí s dílčími veličinami vztahem
V f ( X , Y , ...) Hodnoty veličin X,Y,... změříme přímo a standardním postupem (s. 34) určíme také jejich chyby ( X ), (Y ), ... Nejpravděpodobnější hodnotu hledané veličiny obdržíme, dosadíme-li do vztahu aritmetické průměry změřených veličin, tj.
v f ( x , y , ...)
(3.12)
Pokud jsme některou z veličin změřili jednorázově, dosadíme tuto hodnotu (např. y N ). Chyba takto vypočítané veličiny je dána vztahem 2
2
f f (V ) ( X ) (Y ) ... , x y
00-3/7
(3.13)
kde ( X ) je chyba výsledku měření veličiny X a (Y ) chyba výsledku měření veličiny Y, atd. Nemusí se přitom jednat o stejný druh chyb, neboť velmi často měříme některé veličiny pouze jednou, jiné opakovaně. Uvedený vztah se nazývá zákon šíření chyb a uvádíme ho bez důkazu. Ve většině případů nám však požadovaná přesnost dovolí použít jednoduššího tvaru téhož zákona
(V )
f f ( X ) (Y ) ... x y
(3.14)
Pro praktickou potřebu výpočtu přesnosti výsledku uvedeme několik aplikací vzorce (3.14) pro nejčastěji se vyskytující tvary funkce V, kde a, b, k, m jsou konstanty, a ( X ) a r ( X ) absolutní a relativní chyby. V aX
(V ) a ( X )
V aX bY
(V ) a ( X ) b (Y )
V aX k
r (V ) k r ( X )
V aX k bY m
r (V ) k r ( X ) m r (Y )
Xk
r (V ) k r ( X ) m r (Y )
V
Ym
Tab. 3.2 Výpočet absolutních a relativních chyb pro nejčastěji se vyskytující funkce Je-li tedy nepřímo měřená veličina součtem či rozdílem přímo měřených veličin, rozhoduje o chybě výsledku větší z absolutních chyb. V zájmu ekonomického měření je třeba volit metody měření obou veličin tak, aby ( X ) (Y ) (bez ohledu na chyby relativní). Nemá tedy v tomto případě ani smysl některou z veličin měřit daleko přesněji (s menší absolutní chybou) než ostatní, neboť na chybu výsledku nemá prakticky vliv. Je-li naopak nepřímo měřená veličina součinem nebo podílem přímo měřených veličin (a jejich mocnin), platí obdobný závěr pro relativní chyby. Pro velikost výsledné relativní chyby je určující největší relativní chyba (exponenty se přitom objevují jako koeficienty u příslušných relativních chyb) – tab. 3.2. Z toho také plyne, že veličiny, které se v určujícím vzorci vyskytují s vyššími mocninami, je třeba měřit s větší přesností než ostatní. V praxi se někdy naskytne i opačný úkol: stanovit, s jakou maximální chybou mohou být naměřeny hodnoty výchozích veličin, aby maximální chyba výsledku (tj. nepřímo měřené veličiny) nepřestoupila zadanou přípustnou mez. Postup se nazývá optimalizace měření. Nejčastěji se přitom vychází ze zásady stejného vlivu, tj. z předpokladu, že všechny členy na pravé straně rovnice (3.14) jsou stejně velké a tomuto požadavku se přizpůsobí výběr měřicích přístrojů a metoda měření. Obvyklá přesnost v laboratorním měření je okolo 1 %. Chceme-li posoudit pravděpodobnost, s jakou se nepřímo měřená veličina nachází ve vypočteném intervalu, musíme uvážit, s jakou pravděpodobností máme určeny dílčí veličiny. Nejmenší z těchto pravděpodobností je zároveň pravděpodobnost výsledku. (Je to aplikace známé zásady – pevnost řetězu je rovna pevnosti jeho nejslabšího článku.)
00-3/8
