Stˇ redn´ı hodnota a rozptyl n´ ahodn´ e veliˇ ciny, vybran´ a rozdˇ elen´ı diskr´ etn´ıch a spojit´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Pr´ıklad Pˇ redpokl´ adejme ˇ ze m´ ame n´ ahodnou veliˇ cinu X kter´ a m´ a hustotu pravdˇ epodobnosti definovanou takto:
1 f (x) = b − a 0
x ∈ (a, b) x jinak
Distribuˇ cn´ı funkci z´ısk´ ame snadno jako Z x
Z x
0 x − a
1 dt = F(x) = f (t)dt = −∞ −∞ b − a b−a 1
x≤a a≤x
Necht’ pro naˇ s´ı X plat´ı a = 0 b = 2. Pak tedy: c Rost 2006 °
Pr´ıklad 1
f (x) =
2 0
a Z x
Z x
x ∈ (0, 2) x jinak 0
1 x F(x) = dt = f (t)dt = −∞ −∞ 2 2 1
x≤0 0≤x<2 x≥2
c Rost 2006 °
Stˇ redn´ı hodnota n´ ahodn´ e veliˇ ciny Nejˇ castˇ eji pouˇ z´ıvanou ˇ c´ıselnou charakteristikou polohy je prvn´ı obecn´ y moment, kter´ y se naz´ yv´ a stˇ redn´ı hodnota n´ ahodn´ e veliˇ ciny X. Budeme jej oznaˇ covat symbolem E(X). Pro diskr´ etn´ı n´ ahodnou veliˇ cinu X, x ∈ [a; b] s pravdˇ epodobnostn´ı funkc´ı P(X = x) je E(X) definov´ ana jako: E(X) =
n X
n X
xiP(X = xi) =
xipi .
i=1
i=1
Pro spojitou n´ ahodnou veliˇ cinu X s hustotou pravdˇ epodobnosti f (x) je E(X) definov´ ana jako: Zb
E(X) =
xf (x)dx . a
c Rost 2006 °
Rozptyl n´ ahodn´ e veliˇ ciny Popis polohy je tˇ reba ˇ casto doplnit o informaci, jak se rozptyluj´ı jednotliv´ e hodnoty n´ ahodn´ e veliˇ ciny kolem nˇ ejak´ e charakteristiky polohy (nejˇ castˇ eji kolem stˇ redn´ı hodnoty). Tuto informaci pod´ avaj´ı charakteristiky variability. Mezi nˇ e patˇ r´ı rozptyl D(X). Ten je stanoven jako druh´ y centr´ aln´ı moment: D(X) = E{[X − E(X)]2} V pˇ r´ıpadˇ e diskr´ etn´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny X je definov´ an jako: D(X) =
n X
[xi − E(X)]2pi .
i=1
V pˇ r´ıpadˇ e spojit´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny X je definov´ an jako: Zb
D(X) =
[xi − E(X)]2f (x)dx .
a c Rost 2006 °
Pˇ r´ıklad Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze n´ ahodn´ a veliˇ cina X popisuj´ıc´ı pod´ıl jist´ e reklamn´ı spoleˇ cnosti na tuzemsk´ em trhu, bˇ ehem jist´ eho t´ ydne, m˚ uˇ ze b´ yt pops´ ana n´ asleduj´ıc´ı hustotou pravdˇ epodobnosti: 3
(1 − x2) f (x) = 2 0
0≤x≤1 jinak
Urˇ ceme: Distribuˇ cn´ı funkci, stˇ redn´ı hodnotu, medi´ an, a rozptyl. Distribuˇ cn´ı funkce Zx
F(x) = 0
" #x " # 3 3 3 3 x y x 2 = x− (1 − y )dy = [y]0 − .
2
2
3
0
2
3
c Rost 2006 °
Pˇ r´ıklad Stˇ redn´ı hodnota: Z1
E(X) = 0
"
x2
3 3 x (1 − x2)dx = 2 2 2
"
#1
− 0
x4 4
#1 3 = .
8
0
Rozptyl: K v´ ypoˇ ctu rozptylu naˇ s´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny X vyuˇ zijeme zn´ am´ eho vzorce D(X) = E(X 2) − [E(X)]2. E(X 2)
Z1
= 0
3 x2 (1 − x2)dx 2
"
3 x3 = 2 3
#1 0
"
x5 − 5
#1 = 0
1 . 5
c Rost 2006 °
Pˇ r´ıklad Pak jiˇ z jednoduˇ se: " #2
3 1 D(X) = − 5 8
=
1 9 19 − = = 0, 05937 . 5 64 320
c Rost 2006 °
Bernoulliho rozdˇ elen´ı
Bern(π)
Nˇ ekdy tak´ e Alternativn´ı rozdˇ elen´ı. Pomoc´ı tohoto rozdˇ elen´ı lze popsat ty situace, ve kter´ ych m˚ uˇ ze n´ ahodn´ a promˇ enn´ a nab´ yvat pouze dvou moˇ zn´ ych hodnot. Pˇ r´ıkladem m˚ uˇ ze b´ yt hod ide´ aln´ı minc´ı. Bernoulliho rozdˇ elen´ı je definov´ ano pomoc´ı parametru π. Tento parametr lze interpretovat jako pravdˇ epodobnost zdaru. Pravdˇ epodobnostn´ı funkce Bernoulliho rozdˇ elen´ı je definov´ ana takto (1 − π) pokud x = 0 f (x; π) = . π pokud x = 1
c Rost 2006 °
Bernoulliho rozdˇ elen´ı
Bern(π)
Pravdˇ epodobnostn´ı funkci pro Bernoulliho rozdˇ elen´ı lze zapsat ekvivalentnˇ e jako: P(X = x) = π x(1 − π)(1−x) . Distribuˇ cn´ı funkci tohoto rozdˇ elen´ı pak zap´ıˇ seme jako (1 − π) pokud x = 0 F(x; π) = . 1 pokud x = 1
Stˇ redn´ı hodnota n´ ahodn´ e veliˇ ciny sleduj´ıc´ı Bernoulliho rozdˇ elen´ı je d´ ana hodnotou π, rozptyl takov´ e veliˇ ciny pak hodnotou π(1 − π). Symbolick´ ym z´ apisem X ∼ Bern(π) , ˇ r´ık´ ame, ˇ ze n´ ahodn´ a veliˇ cina X sleduje Bernoulliho rozdˇ elen´ı s parametrem π. c Rost 2006 °
Binomick´ e rozdˇ elen´ı
Bi(n; π)
Pokud budeme opakovat n-kr´ at urˇ cit´ y pokus pˇ ri dodrˇ zen´ı stejn´ ych podm´ınek, pˇ riˇ cemˇ z v kaˇ zd´ em pokusu bude moci nastat n´ ahodn´ y jev A, se stejnou pravdˇ epodobnost´ı π a naopak nenastat s pravdˇ epodobnost´ı 1 − π, pak takov´ e sch´ ema pokus˚ u naz´ yv´ ame Bernoulliho sch´ ema pokus˚ u. Poˇ cet realizac´ı jevu A v n nez´ avisl´ ych pokusech Bernoulliho schematu je zˇ rejmˇ e diskr´ etn´ı n´ ahodnou veliˇ cinou s definiˇ cn´ım oborem {0, 1, . . . , n}. Vzhledem k tomu, ˇ ze jsou tyto pokusy navz´ ajem nez´ avisl´ e lze ps´ at: ³n´ P(X = x) = π x(1 − π)n−x . x
c Rost 2006 °
Binomick´ e rozdˇ elen´ı
Bi(n; π)
Stˇ redn´ı hodnotu lze pak urˇ cit jako: E(X) = E(X1) + E(X2) + . . . + E(Xn) = nπ . Pro rozptyl pak D(X) = D(X1) + D(X2) + . . . + D(Xn) = nπ(1 − π) .
c Rost 2006 °
0.20
Bi(n, p) ●
●
●
0.10
●
●
0.05
●
● ●
0.00
P(x)
0.15
●
● ●●
0
10
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
20
30
40
x
c Rost 2006 °
Multinomick´ e rozdˇ elen´ı - mimo soutˇ eˇ z Multinomick´ e rozdˇ elen´ı je zobecnˇ en´ım binomick´ eho rozdˇ elen´ı pro p-rozmˇ ernou n´ ahodnou veliˇ cinu X = (X1, X2, . . . , Xp) se sdruˇ zenou pravdˇ epodobnostn´ı funkc´ı P(X1 = x1; X2 = x2, . . . , Xp = xp) = n! π x1 π x2 · · · π xp x1!x2! · · · , xp!
a kde xi = 0, 1, 2, . . . , n. Z´ aroveˇ n plat´ı p X i=1
xi = n
a
p X
πi = 1 .
i=1 c Rost 2006 °
Poissonovo rozdˇ elen´ı
P o(λ)
V nˇ ekter´ ych pˇ r´ıpadech nen´ı poˇ cet ud´ alost´ı v´ ysledkem pˇ redem stanoven´ eho poˇ ctu zkouˇ sek. Vhodn´ y pravdˇ epodobnostn´ı model pak pˇ redstavuje Poissonovo rozdˇ elen´ı. Poissonovo rozdˇ elen´ı m´ a pouze jeden jedin´ y parametr a t´ım je λ, kter´ y ud´ av´ a jak stˇ redn´ı hodnotu tak rozptyl. Maxim´ alnˇ e vˇ erohodn´ ym odhadem parametru λ je prost´ y aritmetick´ y pr˚ umˇ er. Pokud n´ ahodn´ a veliˇ cina X sleduje Poissonovo rozdˇ elen´ı s parametrem λ, pak p´ıˇ seme X ∼ P o(λ). c Rost 2006 °
Poissonovo rozdˇ elen´ı
P o(λ)
Poissonova pravdˇ epodobnostn´ı funkce je definov´ ana takto e−λλx f (x; λ) = P(X = x; λ) = x! Distribuˇ cn´ı funkce pak jako F(x; λ) =
x X e−λλz z=0
z!
c Rost 2006 °
Po(2) ●
0.20
0.25
●
0.15 0.10
●
0.05
●
● ●
0.00
P(x)
●
●
0
●
5
●
●
10
●
●
●
●
●
15
x
c Rost 2006 °
Hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı
H(M ; N ; n)
N´ ahodn´ a veliˇ cina X m´ a hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı s parametry N, M, n, jestliˇ ze m´ a definovanou pravdˇ epodobnostn´ı funkci n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: M
P(X = x) =
N −M
( x )( n−x ) pokud x ∈ hmax(0, M − N + n); N
(n)
min(M, n)i jinak .
0
Pˇ riˇ cemˇ z N, M, n a x jsou pˇ rirozen´ aˇ c´ısla, pro kter´ a plat´ı n ≤ M ≤ N a 1 ≤ n ≤ N . Uvˇ edomte si, ˇ ze faktori´ aly jsou definov´ any pouze pro nulu a pˇ rirozen´ aˇ c´ısla: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 0! = 1 c Rost 2006 °
Hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı
H(M ; N ; n)
Pro mal´ a n/N pˇ ribliˇ znˇ e pro n/N ≤ 0, 1 lze hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı aproximovat binomick´ ym rozdˇ elen´ım s parametrem π = M/N .
V pˇ r´ıpadˇ e, ˇ ze je n/N a M/N mal´ e a n velk´ e, ˇ reknˇ eme n/N ≤ 0, 1, M/N ≤ 0, 1 a n > 30, lze hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı aproximovat tzv. Poissonov´ ym rozdˇ elen´ım s parametrem λ = nM/N .
c Rost 2006 °
V´ıcerozmˇ ern´ e hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı - mimo hru V´ıcerozmˇ ern´ e hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı je rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ eho vektoru X = (X1, X2, . . . , Xp) se sdruˇ zenou pravdˇ epodobnostn´ı funkc´ı ³
P(X1 = x1; X2 = x2, . . . , Xp = xp) =
M1 x1
´³
´ ³ ´ Mp M2 · · · xp x2 ³ ´ N n
,
kde xi = max[0; Mi − N + n], . . . , min[Mi; n] a d´ ale p X i=1
xi = n
a
π X
Mi = N .
i=1 c Rost 2006 °
Co V´ am to pˇ ripom´ın´ a?
c Rost 2006 °
Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı
N(µ; σ 2)
Patˇ r´ı mezi nejd˚ uleˇ zitˇ ejˇ s´ı spojit´ a rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ ych veliˇ cin. M´ a z´ asadn´ı v´ yznam jak v statistick´ e teorii, tak i v aplikac´ıch. Lze ˇ r´ıci, ˇ ze t´ımto rozdˇ elen´ım lze popsat jevy, na jejichˇ z kol´ıs´ an´ı m´ a vliv velk´ y poˇ cet nepatrn´ ych a vz´ ajemnˇ e nez´ avisl´ ych vliv˚ u. Hustota pravdˇ epodobnosti tohoto rozdˇ elen´ı je d´ ana funkc´ı: (x −µ) 1 − i 2 2 2σ f (x|µ; σ ) = √ e σ 2π
2
pro xi ∈ (−∞, ∞)
Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı je symetrick´ e kolem sv´ e stˇ redn´ı hodnoty, kter´ a je souˇ casnˇ e medi´ anem i modem. c Rost 2006 °
c Rost 2006 °
0.4 0.2 0.0
dnorm (x)
0.6
0.8
Normalni rozdeleni
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
c Rost 2006 °
Standardizace Pokud bychom hodnoty n´ ahodn´ e veliˇ ciny X s norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım vhodnˇ e transformovali resp. normovali, pak bychom z´ıskali n´ ahodnou veliˇ cinu U jej´ıˇ z rozdˇ elen´ı bylo opˇ et norm´ aln´ı, resp. norm´ aln´ı normovan´ e rozdˇ elen´ı, s jednotkov´ ym rozptylem a nulovou stˇ redn´ı hodnotu. N´ ahodnou veliˇ cinu U z´ısk´ ame transformac´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny X ∼ N(µ; σ 2) takto: U =
X − E(X)
X −µ = σ D(X)
q
Rozdˇ elen´ı N(0; 1) se naz´ yv´ a norm´ aln´ım normovan´ ym rozdˇ elen´ım.
c Rost 2006 °
Kaˇ zd´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı, lze transformovat, na norm´ aln´ı normovan´ e rozdˇ elen´ı. Hustotu normovan´ eho norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı d˚ uslednˇ e oznaˇ cujeme symbolem ϕ(x). Distribuˇ cn´ı funkci rozdˇ elen´ı N(0, 1) d˚ uslednˇ e oznaˇ cujeme prostˇ rednictv´ım symbolu φ(x). Tabulky hustoty pravdˇ epodobnosti spolu s distribuˇ cn´ı funkc´ı jsou sestaveny vˇ etˇ sinou pro nez´ aporn´ e hodnoty normovan´ e veliˇ ciny U . Hodnoty pro x < 0 plynou ze vztah˚ u ϕ(−x) = ϕ(x)
φ(−x) = 1 − φ(x)
c Rost 2006 °
Pojem: α100%n´ı kvantil Ve statistice je velmi d˚ uleˇ zit´ y pojem kvantilu. Kvantilem, resp. α100%-n´ım kvantilem n´ ahodn´ e veliˇ ciny X, kter´ a m´ a jist´ e spojit´ e rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny s distribuˇ cn´ı funkc´ı F (x) a hustotu pravdˇ epodobnosti f (x), je ˇ c´ıslo xα pro kter´ e plat´ı Zxα
F(xα) = P(X ≤ xα) =
f (x)dx = α . −∞
Alfa procentn´ı kvantil norm´ aln´ıho normovan´ eho rozdˇ elen´ı N(0; 1) oznaˇ cujeme prostˇ rednictv´ım symbolu uα. Pro norm´ aln´ı normovan´ e rozdˇ elen´ı plat´ı uα = −u1−α.
c Rost 2006 °
5% kvantil norm´ aln´ıho normovan´ eho rozdˇ elen´ı - u0,05
Normal Distribution
Probability Density
mu = 0 , sigma = 1
P( X < −1.644854 ) = 0.05
P( X > −1.644854 ) = 0.95
−4
−2
−3
−2
0
−1
0
2
1
2
4
3
c Rost 2006 °
50% kvantil norm´ aln´ıho normovan´ eho rozdˇ elen´ı - u0,50
Normal Distribution
Probability Density
mu = 0 , sigma = 1
P( X < 0 ) = 0.5
P( X > 0 ) = 0.5
−4
−2
−3
−2
0
−1
0
2
1
2
4
3
c Rost 2006 °
95% kvantil norm´ aln´ıho normovan´ eho rozdˇ elen´ı - u0,95
Normal Distribution
Probability Density
mu = 0 , sigma = 1
P( X < 1.644854 ) = 0.95
P( X > 1.644854 ) = 0.05
−4
−2
−3
−2
0
−1
0
2
1
2
4
3
c Rost 2006 °
Tabulky rozdˇ elen´ı
N(0; 1)
Tabelovan´ e Hodnoty pro N(0; 1) vyjadˇ ruj´ıc´ı P (X ≤ x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
0 0,500 0,540 0,579 0,618 0,655 0,696 0,725 0,758 0,788 0,816 0,841 0,864 0,885 0,903 0,919 0,933 0,945 0,955 0,964 0,971
0,01 0,504 0,544 0,583 0,622 0,659 0,695 0,729 0,761 0,791 0,817 0,844 0,867 0,887 0,905 0,921 0,935 0,946 0,956 0,965 0,972
0,02 0,508 0,548 0,587 0,626 0,663 0,699 0,732 0,764 0,794 0,821 0,846 0,869 0,889 0,907 0,922 0,936 0,947 0,957 0,966 0,973
0,03 0,512 0,552 0,591 0,629 0,666 0,702 0,736 0,767 0,797 0,824 0,849 0,871 0,891 0,908 0,924 0,937 0,948 0,958 0,966 0,973
0,04 0,516 0,556 0,595 0,633 0,670 0,705 0,739 0,770 0,800 0,826 0,851 0,873 0,893 0,910 0,925 0,938 0,9495 0,959 0,967 0,974
0,05 0,520 0,560 0,599 0,637 0,674 0,709 0,742 0,773 0,802 0,829 0,853 0,875 0,894 0,912 0,927 0,939 0,9505 0,960 0,968 0,974
0,06 0,524 0,564 0,603 0,641 0,677 0,712 0,745 0,776 0,805 0,832 0,855 0,877 0,896 0,913 0,928 0,941 0,952 0,961 0,969 0,975
0,07 0,528 0,568 0,606 0,644 0,681 0,716 0,749 0,779 0,808 0,834 0,858 0,879 0,898 0,915 0,929 0,942 0,953 0,962 0,969 0,976
0,08 0,532 0,571 0,610 0,648 0,684 0,719 0,752 0,782 0,811 0,837 0,860 0,881 0,900 0,916 0,931 0,943 0,954 0,963 0,970 0,976
0,09 0,536 0,575 0,614 0,651 0,687 0,722 0,754 0,785 0,813 0,838 0,862 0,88 0,901 0,917 0,931 0,944 0,954 0,963 0,970 0,976
c Rost 2006 °
χ2(v)
Chi–kvadr´ at rozdˇ elen´ı
Uvaˇ zujme navz´ ajem v nez´ avisl´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin U1, U2, · · · , Uv , z nichˇ z kaˇ zd´ a m´ a normovan´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı. Potom rozdˇ elen´ı souˇ ctu ˇ ctverc˚ u tˇ echto n´ ahodn´ ych veliˇ cin m´ a χ2 rozdˇ elen´ı. Tedy χ2
=
v X i=1
Ui2
Souˇ cet ˇ ctverc˚ u v vz´ ajemnˇ e nez´ avisl´ ych normovan´ ych norm´ aln´ıch n´ ahodn´ ych veliˇ cin m´ a hustotu pravdˇ epodobnosti danou pˇ redpisem
f (x) =
1
v 2 2 Γ( 2v )
0,
v −1 χ2 2 2 e− 2 (χ ) ,
χ2 > 0 χ2 ≤ 0
Parametr v se naz´ yv´ ame poˇ ctem stupˇ n˚ u volnosti. V naˇ sem pˇ r´ıpadˇ e mluv´ıme o χ2 rozdˇ elen´ı o v stupn´ıch volnosti, kter´ e znaˇ c´ıme χ2(v). Distribuˇ cn´ı funkce tohoto rozdˇ elen´ı je definov´ ana c Rost 2006 °
Chi–kvadr´ at rozdˇ elen´ı rovnic´ı
F (x) =
χ2(v)
R χ2 − t − v −1 1 e 2 t 2 dt, v 0 v 2 2 Γ( 2 )
0,
χ2 > 0 χ2 ≤ 0
Charakteristiky tohoto rozdˇ elen´ı jsou E(χ2) = v D(χ2) = 2v . Frekvenˇ cn´ı funkce χ2 rozdˇ elen´ı je asymetrick´ a. Jej´ı pr˚ ubˇ eh z´ avis´ı na poˇ ctu stupˇ n˚ u volnosti. S rostouc´ım v se χ2 rozdˇ elen´ı bl´ıˇ z´ı norm´ aln´ımu rozdˇ elen´ı N (v, 2v). Pokud v > 30 lze toto rozdˇ elen´ı aproximovat normovan´ ym norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım.
c Rost 2006 °
Studentovo nebo tak´ e t-rozdˇ elen´ı t(n) Jedn´ım z nejˇ castˇ eji vyuˇ z´ıvan´ ym rozdˇ elen´ım je tzv. Studentovo rozdˇ elen´ı. Lze jej definovat pomoc´ı dvou nez´ avisl´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin U a χ2, kter´ e maj´ı po ˇ radˇ e N (0, 1) a χ2(v) rozdˇ elen´ı. N´ ahodn´ a veliˇ cina t kde ta je definov´ ana jako U
t=r
χ2
,
(1)
v
m´ a hustotu pravdˇ epodobnosti 2 χ2 u v −1 1 1 − − 2 2 2 2 2 f (u; χ ) = √ e e (χ ) v v 2π 2 2 Γ( )
(2)
2
kde −∞ < u < ∞ a χ2 > 0. Poˇ cet stupˇ n˚ u volnosti veliˇ ciny χ2 ve jmenovateli veliˇ ciny t urˇ cuje poˇ cet stupˇ n˚ u volnosti Studentova rozdˇ elen´ı. c Rost 2006 °
Studentovo nebo tak´ e t-rozdˇ elen´ı t(n) Rozdˇ elen´ı t pˇ ri rostouc´ım poˇ ctu stupˇ n˚ u volnosti rychle konverguje k norm´ aln´ımu rozdˇ elen´ı. Pro v > 30 lze nahradit Studentovo rozdˇ elen´ı norm´ aln´ım normovan´ ym rozdˇ elen´ım. Studentovo rozdˇ elen´ı je symetrick´ e jednovrcholov´ e. Vzhledem k symetrii plat´ı: tα(v) = −t1−α(v)
c Rost 2006 °
Fisherovo-Snedecorovo rozdˇ elen´ı F (v1; v2) Dalˇ s´ım hojnˇ e vyuˇ z´ıvan´ ym rozdˇ elen´ım je Fisherovo-Snedecorovo rozdˇ elen´ı. Lze jej definovat prostˇ rednictv´ım dvou nez´ avisl´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin kter´ e poch´ azej´ı z Chi-kvadr´ at rozdˇ elen´ı s v1 resp. v2 stupni volnosti. N´ ahodn´ a veliˇ cina F je definov´ ana takto: F =
χ2 1 v1 χ2 2 v2
.
Rozdˇ elen´ı s touto hustotou pravdˇ epodobnosti se naz´ yv´ a FisherovoSnedecorovo rozdˇ elen´ı ˇ ci F rozdˇ elen´ı o v1 a v2 stupn´ıch volnosti.
c Rost 2006 °
Fisherovo-Snedecorovo rozdˇ elen´ı F (v1; v2) Symbolicky se zapisuje jako F (v1, v2). Uvˇ edomte si, ˇ ze zde z´ aleˇ z´ı na poˇ rad´ı stupˇ n˚ u volnosti v1, v2. Nicm´ enˇ e plat´ı vztah Fα(v1, v2) =
1 F1−α(v2, v1)
Rozdˇ elen´ı F se pˇ ri velk´ ych poˇ ctech stupˇ n˚ u volnosti bl´ıˇ z´ı k rozdˇ elen´ı norm´ aln´ımu, ale dosti pomalu. Toto rozdˇ elen´ı je asymetrick´ e.
c Rost 2006 °
