Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný počet údajů o statistických jednotkách (respondentech - těch, kteří odpověděli). tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 skupině Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve 24,9x106 26,85x106 32,658x106 31,2x106 15x106 28,1x106 25,2x106 16,8x106 skupině
a) b) c) d) e) f)
Vypočítejte celkovou průměrnou hodnotu ze všech získaných dat. Vypočítejte vnitroskupinové směrodatné odchylky (u jednotlivých tazatelů) Vypočítejte variační koeficienty u jednotlivých tazatelů Vypočítejte meziskupinový rozptyl a meziskupinovou směrodatnou odchylku Vypočítejte celkový rozptyl a celkovou směrodatnou odchylku Vypočítejte celkový variační koeficient
2)
Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v jednom průmyslovém podniku jsme získali výsledky ze všech třech oddělní. Datový soubor obsahuje údaje o všech zaměstnancích podniku. oddělení Průměr ve skupině Podíl zaměstnanců Směrodatná odchylka
a) b) c) d) e) f)
výroba marketing ředitelství 15 250 18 745 21 645 0,6
0,3
5 200
4 800
0,1 6
800
Vypočítejte celkovou průměrnou hodnotu mezd v celém podniku, Vypočítejte vnitroskupinové variační koeficienty, Vypočítejte vnitroskupinové rozptyly v jednotlivých oddělení Vypočítejte meziskupinový rozptyl a meziskupinovou směrodatnou odchylku Vypočítejte celkový rozptyl a celkovou směrodatnou odchylku Vypočítejte celkový variační koeficient
3) Máme k dispozici datový soubor od 9. tazatele, jemuž se podařilo přesvědčit k odpovědi pouze 11 respondentů: 15 000
a) b) c) d) e) f) g)
18 000
12 000
21 000
25 000
28 000
25 000
19 000
29 000
26 000
24 000
určete průměr datového souboru, určete medián, určete horní a dolní kvartil, určete rozptyl výběrového souboru, určete výběrovou směrodatnou odchylku, určete variační rozpětí, určete variační koeficient.
4) Získali jsme informace o mzdách v zemědělském podniku (za minulý měsíc) s celkem 50-ti zaměstnanci: =25 000;
s´x = 5 700;
= 18 500;
xmin = 8 500;
xmax = 58 000;
n = 50
a) b) c) d) e)
Určete základní rozptyl souboru Určete variační koeficient Určete variační rozpětí Pokuste se vysvětlit, proč se medián liší od průměru? V měsíce byli propuštěni dva zaměstnanci jejichž mzdy činily: 26 500 a 38 200, do podniku byly na jejich místo přijati dva noví zaměstnanci s nástupními platy 21 000 a 10 000. Jak tato personální změna ovlivnila hodnotu průměrné mzdy v podniku? f) Co se stane s průměrnou mzdou, pokud bude každému zaměstnanci přidáno 500 Kč jako bonus? g) Co se stane s rozptylem a směrodatnou odchylkou při této změně? h) Co se stane s variačním koeficientem? i) Pokud průměrná mzda vzroste o 15% a směrodatná odchylka vzroste o 10%, jak se změní variační koeficient? j) Pokud průměrná mzda vzroste o 15% a rozptyl vzroste o 10%, jak se změní variační koeficient?
5) Obchodní řetězec odebírá určitý výrobek, jehož cena v průběhu roku sezónně kolísá, od dvou stálých dodavatelů (A a B). Průměrná cena za celý rok od dodavatele A je 9 CZK, její směrodatná odchylka činí 2 CZK, od dodavatele A se nakoupilo 1000 kusů. U dodavatele B činí průměrná cena 10 CZK při směrodatné odchylce 1 CZK, nákup od dodavatele B byl 4000 kusů. Určete a.) variační koeficient vyjadřující variabilitu kolísání nákupní ceny během roku souhrnně za oba dva dodavatele dohromady. b.) zjistěte, zda se na celkové variabilitě nákupní ceny větší měrou podílí průběžné sezónní kolísání cen výrobku u jednotlivých dodavatelů v rámci roku nebo zda jsou důležitější rozdíly mezi průměrnými cenami jednotlivých dodavatelů.
6) Ve stavební společnosti STATUS a.s. je zaměstnáno 80% mužů, zbytek jsou ženy. Průměrná měsíční mzda žen ve firmě je 25 000 Kč. Průměrná mzda v celém podniku je 24 500 Kč. Jaká je průměrná měsíční mzda mužů?
7) V soukromé společnosti pracuje 10 pracovníků s průměrným platem 25 000 Kč. Ke konci října z firmy odchází zaměstnanec, jehož mzda je 21 500 Kč. Na jeho místo je ihned přijat nový zaměstnanec s nástupním platem 20 000 Kč. Jaká bude nyní průměrná mzda ve firmě?
8) Inflace ve čtyřech po sobě jdoucích letech byla 4%; 5%; 3% a 6%. Za pomoci geometrického průměru (viz. učebnice) vypočítejte průměrnou inflaci za celé období čtyř let. 9) Jak se změní průměr, rozptyl a směrodatná odchylka, pokud každou hodnotu v souboru zvýším o 10? 10) V následují tabulce je znázorněna produkce podniku v měsíci říjnu, podle výrobní haly a podle jakosti.
Výrobní hala/jakost Hala A Hala B Hala C celekm
I jakost
II jakost
III jakost
celkem
1520 1855 2450 5825
758 654 335 1747
252 58 252 562
2530 2567 3037 8134
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek z celkové produkce v měsíci říjnu je A) B) C) D) E) F)
I jakosti, I nebo II jakosti, III jakosti, jestliže víme, že byl vyroben v hale B, II nebo III jakosti, jestliže byl vyroben v hale C, byl vyroben v hale B, alespoň II jakosti a vyroben v hale A nebo B?
11) a) b) c) d) e) f)
Při hodu dvěma kostkami určete pravděpodobnost, že Padne na obou kostkách šestka, padne součet 10, padne součet alespoň 10, padne na obou kostkách sudé číslo, padne alespoň na jedné kostce šestka padne právě jedna šestka.
12) V klobouku máme 20 černých a 10 červených koulí. Náhodně z klobouku vytáhneme 5 koulí. Jaká je pravděpodobnost, že a) bude právě jedna koule červená, jestliže provádíme výběr s vracením, b) bude právě jedna koule červená, jestliže c) bude všech 5 koulí červených, jestliže provádíme výběr s vracením, d) bude všech 5 koulí červených, jestliže provádíme výběr bez vracení?
13) a) b) c) d)
Na 10 m látky je v průměru 1 kaz, jaká je pravděpodobnost, že na roli dlouhé 50 metrů bude jeden kaz, tři kazy, více než jeden kaz. Určete vhodné rozdělení použitelné pro tento příklad a určete u něho střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X).
14) Házíme sedmkrát mincí. a) jaká je pravděpodobnost, padne právě šestkrát panna b) jaká je pravděpodobnost, že při prvních šesti pokusech padne orel a při sedmým panna c) padne víc pan než orlů?
15) Balík obsahuje 50 věcí. 5 věcí v balíku jsou vadné zmetky. Vytahujeme 7 věcí. Jaká je pravděpodobnost reklamace, ke které je potřeba vytáhnout alespoň 1 zmetek, a) Jestliže vždy výrobek zpět po vytažení vrátíme, b) jestliže výrobek zpět po vytažení do balíku nevracíme?
16) a) b) c) d)
Pravděpodobnost, že trefím terč při jednom výstřelu je 0,25. Určete pravděpodobností, že ze 6ti výstřelů se trefím vždy do terče, ze 6-ti se trefím alespoň 3krát ze 6-ti se trefím právě 3krát. Z 5-ti výstřelů se netrefím ani jednou.
17) a) b) c)
Tři kamarádi jedou na dovolenou, Petr s pravděpodobností 0,4, Pavel 0,25 a Honza 0,5 Určete pravděpodobnost, že pojedou všichni tři, že pojede alespoň jeden, že pojede Petr i Pavel, ale Honza ne
18) Délka pobytu jednoho hosta v hotelu (měřena ve dnech) je náhodná veličina X s pravděpodobnostním rozdělením X P(x)
1 0,45
2 0,25
3 0,2
4 0,1
Vypočítejte distribuční funkci náhodné veličiny X a její střední hodnotu.
18) Bylo pozorováno, ze 30% zákazníků dává při nákupu určitého druhu zboží přednost značce A a 70% značce B. Jaká je pravděpodobnost, že a) z 5-ti zákazníků si 4 koupí značku A a 1 zákazník značku B, b) z 5-ti zákazníků si všichni koupí značku A c) z 5-ti zákazníků si nikdo nekoupí značku A?
19) Máme 3 typy domácností: 20% domácností nemá žádné auto, 1 auto má 50% domácností a 2 auta má 30% domácností. Víme, že náklady (benzín a nafta) pro používání jednoho každého auta stojí 1500 Kč. Určete: a) b) c) d)
Jaká je pravd., že náhodně vybraná dom. vlastní 1 auto? Jaká je pravd., že náhodně vybraná dom. má náklady na benzín větší než 2500 Kč? kolik domácnosti spotřebují celkem průměrně na benzín? (střední hodnota n.v.) Určete rozptyl náhodné veličiny X
20) Při kontrole účetních dokladů v určitém velkém průmyslovém podniku externí auditor ze zkušenosti ví, že lze předpokládat formální chyby u 2 % účetních dokladů. Jestliže ze souboru účetních dokladů jich auditor vybere 100, jaká je pravděpodobnost, že a) mezi nimi budou právě 2 chybné? b) ani jeden chybný? c) maximálně dva chybné? Pozn.: řešte pomocí binomického i pomocí poissonova rozdělení – následně porovnejte výsledky
