Verantwoording bij het december-rapport

Verantwoording bij het december-rapport - 1998 In februari 1998 is een voorlopige versie gepubliceerd van het rapport van de werkgroep Doorstroming mto-hto voor de vakken wiskunde en natuurkunde. Het voorlopige karakter werd voornamelijk veroorzaakt door het feit dat de eindtermen voor natuurkunde nog te sterk op de derde generatie eindtermen waren gebaseerd. In het veld bestond veel bezwaar tegen deze eindtermen, met name vanwege het ontbreken van een eigen ‘technisch’ gezicht. Dit nieuwe, definitieve rapport van de werkgroep wijkt alleen af van de februari-versie in de paragrafen 5 en 7. In paragraaf 5 zijn tekstuele wijzigingen aangebracht, die enerzijds te maken hebben met het feit dat er nu een definitief voorstel voor eindtermen ligt (en niet meer een eerste aanzet), en anderzijds te maken hebben met de van wiskunde afwijkende beschrijving van de niet-vakspecifieke vaardigheden bij natuurkunde. Paragraaf 7 is geheel nieuw. In het februari-rapport werd, naast de eindtermenbeschrijving, ook aandacht gevraagd voor de toetsproblematiek die samenhangt met de inhoudelijke vernieuwingen. Inmiddels wordt binnen het TWIN-project op twee manieren aandacht besteed aan deze problematiek. Er komt een experimenteel examen voor de deelnemers van de TWIN-kernscholen (januari 2000). Dit examen wordt samen met Cito ontwikkeld en in overleg met de Landelijke Examen Commissie wis- en natuurkunde vastgesteld. Het zal als voorbeeld dienen voor een nieuwe examenopzet. Tevens wordt, in samenwerking met Cito, gewerkt aan het definiëren van een examendossier. Daarmee wordt invulling gegeven aan het gestelde in paragraaf 8. De wens t.a.v. externe legitimering is onveranderd aanwezig in paragraaf 8. Verder staat ook de dringende wens van de werkgroep t.a.v. het inpassen van het doorstroomprogramma binnen het reguliere opleidingspakket van 6400 SBU nog recht overeind. Wellicht kunnen de BTG-en techniek, in samenspraak met de Landelijke Organen, zich over beide onderwerpen uitspreken. Tenslotte zij nog vermeld dat de vervolgwerkzaamheden van de commissie sterk zijn vertraagd door het onverwachte overlijden in februari 1998 van de voorzitter Martien Verhoeven. Utrecht, december 1998

1

1 Inleiding Het middelbaar beroepsonderwijs is danig in beweging: nieuwe programma’s, nieuwe structuren, nieuwe didactiek, nieuwe vormen van toetsing en een significante rol voor ICT-leermiddelen. In het TWIN-project wordt een voorbeeldvulling gemaakt bij de derde generatie eindtermen wis- en natuurkunde voor de basiskwalificatie van de lange middenkaderopleidingen in het mto (SLO, 1995). Vanuit het TWIN-project zijn gedurende de eerste anderhalf jaar de volgende zorgpunten gesignaleerd m.b.t. het onderwijs in wiskunde en natuurkunde: 1.

De mto-instromers hebben vaak niet het gewenste mavo D-niveau, maar het C-niveau of zelfs minder. Het verplichte basisprogramma voor wiskunde en natuurkunde blijkt daarom in de praktijk voor veel deelnemers niet haalbaar binnen de eerste drie semesters.

2. De plannen voor het leerwegensysteem in het vmbo zullen voor de vakken wiskunde en natuurkunde tot gevolg hebben dat het eindniveau van deelnemers die de theoretische leerweg doorlopen hoogstens tot het huidige C-niveau zal reiken. Deelnemers die de gemengde leerweg volgen komen op een nog lager eindniveau uit. Beide leerwegen geven, volgens de plannen van de overheid, echter wel zonder meer toegang tot het mbo. 3. De Landelijke Organen hebben bij de formulering van de kwalificaties weinig eenvormigheid laten zien bij het inpassen van de eindtermen en de bijbehorende SBU’s voor de vakken wiskunde en natuurkunde. 4. Door twee, onafhankelijk van elkaar opererende, commissies zijn eindtermen voor de basiskwalificatie resp. de doorstroomprogramma’s geformuleerd. Geen van beide commissies heeft een uitspraak gedaan over het vierde semester, waarin ook onderwijs dient te worden verzorgd. 5. De eindtermen wiskunde en natuurkunde van het doorstroomprogramma (SLO, 1996) zijn vanuit het veld, zowel het mto als het hto, zwaar bekritiseerd, met name t.a.v. de keuze van de onderwerpen. Daarnaast dient opgemerkt te worden dat de recente ontwikkelingen op ICT-gebied en op het gebied van zelfstandig leren niet verwerkt zijn in deze generatie eindtermen. Binnen het TWIN-ontwikkeltraject zijn de deelnemers van de vijf betrokken kernscholen nu toe aan het vierde semester. Daarom is op initiatief van het TWIN-Consortium een werkgroep samengeroepen om de problematiek van het vierde semester in samenhang met een heroverweging van het doorstroomprogramma te bespreken. In dit rapport worden de conclusies van de werkgroep geformuleerd t.a.v het karakter van een zinvol doorstroomprogramma, met een aanvulling op en een gedeeltelijke herziening van de eindtermen zoals die zijn geformuleerd in 1996 (SLO). Ook wordt aandacht besteed aan een zinvolle vulling van het vierde semester, rekening houdend met de veelkleurigheid die dat semester in de schoolpraktijk zal krijgen.

2

De drie eerstgenoemde zorgpunten waren niet direct onderwerp van discussie voor de werkgroep. Het mag duidelijk zijn dat er wel sprake is van een indirecte invloed op semester 4 en het vervolg. Daarom zijn in dit rapport ook uitspraken gedaan over het gewenste aantal SBU’s voor wis- en natuurkunde in de hele lange middenkaderopleiding van het mto. Utrecht, februari 1998

3

2 Verantwoording Dit rapport kwam tot stand na raadpleging van de vergadering van voorzitters van de BTG-en van de BVE-raad. In de werkgroep waren vertegenwoordigd: • Het TWIN-Consortium:ROC Eindhoven Freudenthal Instituut Hogeschool van Utrecht SLO • Het LICA • Een representatieve vertegenwoordiging uit het hbo-veld • Een vertegenwoordiging uit het BVE-veld. • De examencommissie Wiskunde en Natuurkunde van het mto. • Een vertegenwoordiger van CEVO. In de bijeenkomsten van de werkgroep stond centraal de vraag hoe een doorstroomprogramma er moet uitzien dat doorstromers voldoende kansen biedt in het hto en dat daarom moet voldoen aan de volgende randvoorwaarden: • het sluit aan op het programma dat wordt ontwikkeld voor het basiscertificaat (TWIN project), • het spoort met het havo-profiel N&T zoals dat vanaf 1999 van kracht wordt, • het bereidt goed voor op het onderwijs zoals dat vanaf 2000 binnen het hto wordt verzorgd. Belangrijke aandachtspunten bij elk van deze voorwaarden zijn de rol van ICT-leermiddelen en de rol van het zelfstandig leren. De discussie spitste zich toe op het definiëren van de door het hto gewenste algemene vaardigheden voor de vakken wiskunde en natuurkunde. Na het definiëren van deze zogenoemde hogere orde vaardigheden werd vervolgens gekeken welke specifieke vaardigheden daarvoor van belang zijn. Twee belangrijke conclusies van de werkgroep worden hier apart vermeld: • De werkgroep spreekt uit dat een doorstroomprogramma voor tenminste 80% gelijk is voor alle studierichtingen. In de resterende 20% kunnen dan o.a. afdelingspecifieke onderwerpen worden behandeld. Deze wens komt enerzijds voort uit de behoefte om deelnemers van het mto de gelegenheid niet te ontnemen om in een andere studierichting verder te studeren binnen het hto. Anderzijds is een te sterk afdelingsgericht programma in de praktijk van de meeste mto scholen niet realiseerbaar vanwege het aantal studenten dat voor de doorstroom kiest. • De werkgroep is unaniem van mening dat een doorstroomprogramma alleen dan effectief kan zijn, als het benodigde aantal SBU’s (600, inclusief Engels) is ondergebracht in een regulier programma van 6400 SBU’s en niet, zoals nu bij sommige opleidingen wordt gesuggereerd, als extra last bovenop een volledig programma van 6400 SBU’s.

4

In dit rapport zal eerst worden ingegaan op de studiebelasting van de deelnemers voor de vakken wiskunde en natuurkunde gedurende de vierjarige opleiding. Daarna volgt een paragraaf over de meervoudige invulling van het vierde semester. Een eerste aanzet voor het beschrijven van de eindtermen wiskunde en natuurkunde voor het doorstroomprogramma wordt voorafgegaan door een paragraaf over de aard van het doorstroomprogramma, met daaraan gekoppeld het gewenste beheersingsniveau. Gezien het karakter van het doorstroomprogramma zoals dat de werkgroep voor ogen staat, leek het goed om ook gedachten te formuleren over de toetsing van het programma.

5

3 Studiebelastingsuren verdeeld over de acht semesters De geplande studiebelasting voor de deelnemers die wiskunde en natuurkunde volgen is hieronder in een schema weergegeven. In het model is getracht een gelijkmatige spreiding te krijgen over de semesters.

semester 1 2 3 4 5 6 7 8

Wiskunde 75 SBU 75 SBU 75 SBU 75 SBU stage 100 SBU 100 SBU stage

Natuurkunde 75 SBU 75 SBU 75 SBU 75 SBU stage 100 SBU 100 SBU stage

De studiebelasting voor de semesters 6 en 7 geldt alleen voor die deelnemers die willen doorstromen naar het hto. Uiteraard is het aan de scholen om de lerareninzet in overeenstemming te brengen met bovengenoemde SBU’s voor het basiscertificaat. Bovengenoemde 300 SBU’s bij wiskunde en bij natuurkunde voor de eerste vier semesters samen, zijn nodig om een zinvolle, ondersteunende vulling te geven aan de twee vakken. In de volgende paragraaf wordt de problematiek van het vierde semester nader beschreven. Voor de doorstroming is voor de talen en de exacte vakken gezamenlijk bij de verschillende studierichtingen een pakket van 600 SBU uitgetrokken. Daarbij is in 1996, bij het formuleren van de doorstroomeindtermen, voor wiskunde en natuurkunde tezamen 400 SBU gereserveerd. De verdeling 200-200 voor natuurkunde en wiskunde is een voorlopige. Bij een nadere invulling zal nog moeten blijken of beide vakken eenzelfde aantal SBU’s behoeven.

6

4 Variabele invulling voor het vierde semester Hoewel het basisprogramma is bedoeld om te worden verwerkt in de eerste drie semesters, blijkt dat in de schoolpraktijk voor een flinke groep deelnemers niet haalbaar. Als belangrijkste reden wordt genoemd het feit dat het programma uitgaat van een instroom die op het D-niveau binnenkomt. Op veel scholen blijkt dat er grote groepen deelnemers zijn die op het lagere C-niveau examen hebben gedaan. Steeds zal de noodzaak blijken om ruimte in een volgend semester te reserveren voor de categorie deelnemers die met een onvoldoende profiel binnenkomen of deelnemers die onderweg in het basisprogramma stagnatie oplopen. Het basiscertificaat is funderend en dient daarom afgesloten te zijn voordat de beroepsspecialisatie begint. In het vierde semester hebben we te maken met vier categorieën deelnemers bij de vakken wiskunde en natuurkunde: 1. De zwakste categorie die een voorschakelpakket nodig heeft in semester 1, omdat het instroomniveau te laag is. 2. De daarop volgende categorie die niet in staat is het basiscertificaat in drie semesters te behalen en daarom (een deel van) het vierde semester nodig heeft om het basisprogramma alsnog af te ronden. De twee andere categorieën vormen tezamen de groep van deelnemers die wel in drie semesters het basiscertificaat kunnen afronden. Ze onderscheiden zich door het vervolgtraject. 3. Een deel kiest voor het bedrijfsleven. Een verbreding van het pakket is dan noodzakelijk. 4. Het andere deel gaat naar het vervolgonderwijs. In dit geval is een verdieping noodzakelijk. Schematisch (de nummers in de eerste rij corresponderen met de vier genoemde categorieën): semester

1

2

3

4

1

voorschakelen

basisprogramma’s

basisprogramma’s

basisprogramma’s

2

basisprogramma’s

W en N

W en N

W en N

3

W en N

225 SBU elk

225 SBU elk

225 SBU elk

4

225 SBU elk

uitloop 75 SBU

verbreding 75 SBU

verdieping 75 SBU

5

STAGE

6

doorstroom W en N

7

400 SBU samen

8

STAGE

T.a.v. de voorschakeling kan nog het volgende worden opgemerkt. Als binnen een school het aantal deelnemers dat een voorschakeling nodig heeft te klein

7

is, dan kan de voorschakeling ook worden opgevat als een nevenschakeling, bijvoorbeeld gedurende de eerste twee semesters. Mochten de plannen rond het leerwegensysteem in het vmbo politiek ongewijzigd gehandhaafd blijven, dan zou in de nabije toekomst het aantal instromers dat voorschakeling nodig heeft wel eens dicht bij de 100% kunnen komen. Indien de school kiest voor een doorstroompakket dat in het zevende semester wordt aangeboden, dan komt de studielast in één semester op 400 SBU voor wiskunde en natuurkunde samen. Er worden op deze wijze hoge eisen gesteld aan de invulling van het vierde semester. Resumerend moet het vierde semester voldoen aan: – Afwikkeling van het basiscertificaat voor degenen die een schakelprogramma nodig hebben. – Afwikkeling van het basiscertificaat voor degenen die stagnatie hebben opgelopen. – Voorbereiden op toepassing in de beroepspraktijk. – Voorbereiden op het doorstroompakket voor het hto. Bij het ontwikkelen van leerstof voor het vierde semester zal meer aandacht gegeven moeten worden aan een probleemgerichte opzet. Hierbij is het zaak om zo dicht mogelijk bij de beroepspraktijk van de verschillende studierichtingen geschikt materiaal te zoeken waarbij wiskundige en natuurkundige aspecten een wezenlijke rol spelen bij het analyseren van de probleemsituatie. Voor de drie eerstgenoemde groepen deelnemers wordt op deze manier een zinvolle afronding van de ondersteunende rol van de vakken bereikt. Voor de groep die het doorstroomprogramma zal volgen, wordt in dit semester daarnaast met nieuwe leerstof ook voortgebouwd op het basisprogramma.

8

5 Karakterisering van het doorstroomprogramma In de werkgroep is eerst uitvoerig gesproken over de wensen die het hto heeft t.a.v. de instroomkwaliteiten van de student. Deze wensen beschrijven veel meer een goede attitude van de student op het gebied van probleemaanpak dan dat er eisen gesteld worden aan specifieke technische vaardigheden. De twee belangrijkste wensen zijn: • een student is in staat om een open probleemstelling uit het (technische) vakgebied aan te pakken en kan bij het analyseren daarvan gebruik maken van geëigende methodieken uit de wiskunde en/of de natuurkunde. • een student kan ICT-middelen op een goede manier gebruiken bij het analyseren van een probleemsituatie. De consequenties van deze instroomwensen voor het karakter van het doorstroomprogramma zijn aanzienlijk. Zo zullen bij het aanbieden van de leerstof (net als in het basisprogramma en het programma voor semester 4) de technische vakgebieden van het mto dienen als bron voor de problemen die de deelnemers krijgen voorgelegd en zullen de deelnemers ook getoetst worden op hun vaardigheden in het aanpakken/oplossen van problemen uit hun eigen vakgebied (zie ook paragraaf 8). Om deze reden zullen eindtermen over attitude en probleemaanpak expliciet moeten worden beschreven. Bij wiskunde is gekozen voor een model waarin de eindtermen voor het doorstroomprogramma op drie niveaus worden gepresenteerd. De eerste laag (Niveau 1: Algemene vaardigheden) geeft een beschrijving van algemene vaardigheden, inzichten en attituden die het totale bereik van de leerstofinhouden van het vak bestrijken en los van die leerinhouden samenvattend en generaliserend worden geformuleerd. De tweede laag (Niveau 2: Vak vaardigheden) beschrijft een globale typering van de leerstofdomeinen, waarbij de concrete kennis en vaardigheden in een kader worden gezet, de verbinding met de algemene vaardigheden worden beschreven en, indien van toepassing, de vervlechting van verschillende leerstofdomeinen wordt aangegeven. De derde laag (Niveau 3: Specifieke vaardigheden) beschrijft in detail de kennis en vaardigheden, op het niveau van o.a het kennen van begrippen en de beheersing van technieken (waaronder ICT-vaardigheden). In het eindtermendocument van de Commissie Doorstroming mbo-hbo (SLO, 1996) zijn de eindtermen van de eerste en de tweede laag gedeeltelijk terug te vinden in de Algemene vaardigheden. Deze dienen echter: – uitgebreid te worden om recht te doen aan de instroomwensen van het hto en – gesplitst te worden om helderheid te verschaffen naar het onderwijsveld in het mto.

9

Tenslotte zullen de geformuleerde specifieke eindtermen in het SLO-document moeten worden herbezien in het licht van de twee lagen die erboven liggen. De werkgroep is van mening dat de beschreven eindtermen die in de eerste twee lagen worden beschreven, uitstekend passen in de kwalificatiestructuren zoals die door de Landelijke Organen worden geformuleerd, terwijl de eindtermen uit de tweede en derde laag goed zijn onder te brengen in de zogenoemde toetstermen van de Landelijke Organen. Deze laatste categorie termen kan namelijk zonder bezwaar aangepast worden via een schrijven aan de scholen, als de noodzaak daarvan evident is. Op deze manier wordt bereikt dat de kwalitatieve uitgangspunten voor een vak worden gehandhaafd, terwijl de concrete invulling via leerstofonderwerpen kan worden aangepast aan de nieuwste inzichten en eisen die het vak stelt. Ten aanzien van de bovengenoemde indeling in drie niveau’s kan nog worden opgemerkt dat de huidige onderwijs- en toetscultuur bij wiskunde en natuurkunde is beperkt tot de derde laag, met een enkele uitschieter naar laag 2. Bij natuurkunde is gekozen om de niet-vakspecifieke vaardigheden op een zelfde manier te beschrijven als is gedaan bij het profiel Natuur & Techniek van havo. In de paragrafen 6 (voor wiskunde) en 7 (voor natuurkunde) worden de eindtermen voor het algemene deel (80%) van het totale doorstroomprogramma beschreven. De werkgroep is van mening dat het voorschrijven van de vulling van de afdelingsspecifieke programma’s (het 20% deel) niet tot haar taak behoort. Het lijkt voor de hand liggend de afdelingsspecifieke stukken leerstof te beschrijven binnen het kader van de verwanteopleidingen-discussie.

10

6 Eindtermen Wiskunde t.b.v. doorstroming BOL-4 techniek (mto) naar hto Niveau 1: Algemene vaardigheden

De deelnemer kan: 1. bij een probleemsituatie uit het vakgebied aangeven welke wiskundige modellen en methodieken kunnen helpen het probleem te beschrijven en te analyseren. 2. redeneringen van anderen beoordelen en eigen redeneringen en werkwijzen verwoorden. 3. reflecteren op een gekozen werkwijze bij de analyse van een probleemsituatie 4. vaststellen in welke mate ICT-hulpmiddelen kunnen worden ingezet bij het analyseren van een probleemsituatie. 5. in het kader van een gegeven probleemsituatie: a. logische relaties tussen gegevens, beweringen en resultaten van een analyse aanbrengen en beoordelen; b. relevante gegevens scheiden van minder relevante gegevens; c. hoofd- en bijzaken onderscheiden. 6. vaststellen of een gekozen wiskundig model (nog) voldoet en (indien nodig) een bijstelling van het model opstellen. 7. wiskundige isomorfieën herkennen tussen problemen in verschillende contexten. 8. systematisch en methodisch werken. 9. met anderen samenwerken 10. onderzoekstaken gefaseerd aanpakken en uitvoeren Niveau 2: Vak vaardigheden

De deelnemer kan: 11. de orde van grootte van uitkomsten schatten. 12. de nauwkeurigheid van de gegevens of werkwijzen betrekken bij de beoordeling van het resultaat. 13. een bij het gekozen model passende oplossingsmethode correct uitvoeren. 14. onderzoeken of een gekozen model moet worden bijgesteld ten gevolge van wijzigingen in de gegevens. 15. onderzoeken in hoeverre veranderingen in de parameters van het model de resultaten beïnvloeden. 16. bij het analyseren van een probleem ICT-middelen (met name de GRM, grafieken programma’s en meetkunde-software) doelmatig gebruiken. 17. bij een gegeven verband tussen twee of meer grootheden dit verband beschrijven met formules en grafieken. 18. het veranderingsgedrag van een functie lokaal (via ‘inzoomen’) en globaal (via ‘uitzoomen’) onderzoeken 19. vergelijkingen en ongelijkheden exact oplossen met algebraïsche vaardigheden danwel numeriek benaderen met gebruikmaking van ICT-middelen. 20. de structuur of opbouw van een formule doorgronden en daarvan gebruik maken bij het bewerken van de formule, zoals het isoleren van een grootheid of de substitutie

11

van een andere (samengestelde) grootheid. 21. in voorkomende gevallen bij een meetkundige probleemstelling algebraïsche vaardigheden – en bij een algebraïsche probleemstelling meetkundige vaardigheden inzetten. Niveau 3: Specifieke vaardigheden Algebraïsche vaardigheden

De deelnemer kan: 22. de prioriteitsvolgorde bij algebraïsche operatoren (plus, min, maal, gedeeld door, machtverheffen, haakjes) hanteren bij het manipuleren van formulevormen. 23. de factorstelling in eenvoudige gevallen toepassen bij het ontbinden van een veelterm. 24. de rekenregels voor exponenten en logaritmen gebruiken. 25. werken met: als f(x) · g(x) = 0 dan f(x) = 0 of g(x) = 0 26. werken met: als f(x)/g(x) = 0 dan f(x) = 0 en g(x) ≠ 0 Meetkundige vaardigheden

De deelnemer kan: 27. sinus, cosinus en tangens in eenheidscirkel en rechthoekige driehoek weergeven en gebruiken bij berekeningen. 28. de stelling van Pythagoras in twee- en driedimensionale situaties gebruiken. 29. evenredigheden gebruiken bij berekeningen aan meetkundige figuren. Functies en grafieken

goniometrische functies De deelnemer kan: 30. cirkelbeweging en harmonische beweging beschrijven door middel van goniometrische functies. 31. de begrippen amplitude, evenwichtsstand, faseverschil en frequentie hanteren in een wiskundige en fysische context. 32. sinusoïden tekenen en een formule opstellen van de vorm y = a · sin (bx + c) + d of y = a · cos (bx + c) + d of van de vorm y = a · sin b(x + c) + d of y = a · cos b(x + c) + d bij een gegeven sinusoïde of periodiek verschijnsel. 33. de formules sin2x + cos2x = 1 en sinx / cosx = tanx gebruiken. 34. de symmetrie-eigenschappen van sinusoïden gebruiken om een formule om te schrijven naar een andere, zoals sin (– x) = – sin(x), cos(x) = sin(x + π / 2). 35. alle oplossingen van eenvoudige vergelijkingen van het type sin x = a, cos x = b en tan x = c bepalen door het vinden van één oplossing met de GRM en de andere via gebruikmaking van symmetrie en periodiciteit.

12

exponentiële functies De deelnemer kan: 36. de grafiek tekenen bij formules van de vorm y = c . ax voor a > 1 en voor 0 < a < 1. 37. het getal e als grondtal hanteren. 38. vergelijkingen van het type ap = aq oplossen, waarbij p en q lineaire uitdrukkingen zijn van één en dezelfde variabele. 39. een exponentieel verband als groeimodel hanteren en daarbij de begrippen groeifactor en beginwaarde gebruiken. 40. een gegeven groeifactor omzetten naar de groeifactor e of 10, via een tijdschaling. logaritmische functies De deelnemer kan: 41. een logaritmische functie beschrijven als inverse functie bij een exponentieel verband 42. werken met logaritmen met grondtal e (ln) en 10 (log). 43. logaritmische vergelijkingen oplossen met de standaard algebraïsche vaardigheden dan wel met behulp van de GRM 44. verbanden van de vorm y = c . ax en y = c . xa transformeren tot lineaire verbanden. 45. gebruik maken van logaritmisch grafiekenpapier, onder andere om te onderzoeken of een verband exponentieel is (enkellogaritmisch papier) dan wel een machtsverband is (dubbellogaritmisch papier). werken met standaardfuncties De deelnemer kan: 46. de kenmerkende eigenschappen van de volgende standaardfuncties beschrijven en dekarakteristieke grafiek tekenen: y = xr (r rationaal), y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x), y = ax, y = alogx (a positief reëel, a ≠ 1) 47. de grafieken van y = f(x) + c , y = f (x + c) , y = c . f(x) en y = f(cx) in verband brengen met de grafiek van y = f(x). 48. de grafiek van y = a · f(bx + c) +d in verband brengen met de grafiek van y = f(x) 49. nieuwe functies samenstellen uit standaardfuncties door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, het omgekeerde nemen en substitueren. 50. snijpunten bepalen van twee grafieken door middel van het oplossen van een vergelijking, het gebruiken van een benaderingsmethode of met behulp van een GRM. 51. ongelijkheden van de vorm f(x) > g(x) oplossen met behulp van de grafieken van f en g of door f(x) – g(x) te onderzoeken met een GRM. Het veranderingsgedrag van functies

maten voor de steilheid van een grafiek De deelnemer kan: 52. de begrippen hellingscoëfficiënt en raaklijn hanteren.

13

53. bij een grafiek de steilheid in een punt en de gemiddelde steilheid op een interval bepalen. 54. bij een gegeven grafiek de grafiek van de hellingfunctie tekenen en conclusies trekken uit het verloop van de hellingfunctie. 55. een gegeven grafiek van een hellingfunctie gebruiken om de grafiek van een bijbehorende functie kwalitatief te beschrijven. maten voor het veranderingsgedrag van een functie De deelnemer kan: 56. het begrip differentiequotiënt hanteren als maat voor de gemiddelde verandering van een functie op een eindig interval. 57. het differentiequotiënt berekenen in het geval de functie is gegeven door een tabel, grafiek of formule. 58. de begrippen limiet en infinitesimale verandering omschrijven. 59. het begrip differentiaalquotiënt hanteren als maat voor de infinitesimale verandering van de functie. 60. het differentiaalquotiënt benaderen in het geval het verband gegeven is door een formule. 61. het differentiaalquotiënt gebruiken om een functie lokaal lineair te benaderen. ∞ 62. in voorkomende gevallen van een onbepaalde vorm (zoals 0--0- , ---- , 0 ⋅ ∞ , ∞ – ∞ ) ∞ het gedrag lokaal (via ‘inzoomen’) dan wel globaal (via ‘uitzoomen’) nader onderzoeken. afgeleide functie / hellingfunctie De deelnemer kan: 63. de afgeleide functie hanteren als karakteristiek voor het veranderingsgedrag van een functie. 64. de tweede afgeleide hanteren als karakteristiek voor de verandering van het veranderingsgedrag van een functie. 65. de notaties f'(x), dy/dx, d/dx f(x) en f''(x) herkennen en gebruiken. 66. relaties leggen tussen begrippen in contexten, met name de begrippen snelheid en versnelling,deeersteen/oftweedeafgeleidevanenfunctieendegrafiekenvandeeerste en/of tweede afgeleide. regels voor het differentiëren De deelnemer kan: 67. de afgeleide van de standaardfuncties bepalen. 68. het verband aangeven tussen de afgeleide van een functie f en van een functie g waarvan de grafiek door verschuiven of rekken uit die van f is ontstaan. 69. de som-, produkt-, quotiënt- en kettingregel toepassen bij het berekenen van afgeleiden van functies die zijn samengesteld uit standaardfuncties. extreme waarden en buigpunten

14

De deelnemer kan: 70. de afgeleide functie gebruiken voor het bestuderen van stijging of daling van een functie. 71. de afgeleide functie gebruiken bij het vinden van extremen van een functie of het verifiëren van langs numeriek-grafische weg gevonden extremen. 72. de tweede afgeleide gebruiken om toe- of afname van stijging of daling te onderscheiden 73. de tweede afgeleide gebruiken bij het vinden van buigpunten van een grafiek of het verifiëren van langs numeriek-grafische weg gevonden buigpunten. 74. met behulp van differentiëren realistische optimaliseringsproblemen oplossen, waarbij de te optimaliseren functie eventueel uit een context moet worden opgesteld. asymptotisch gedrag De deelnemer kan: 75. functies onderzoeken op asymptotisch gedrag (dit onderzoek mag berusten op numerieke beschouwingen, op het gebruik van een GRM, of op het vergelijken met een standaardfunctie). Meetkunde

verhoudingen De deelnemer kan: 76. de vermenigvuldiging van figuren en het begrip gelijkvormigheid gebruiken bij het berekenen van lengtes van lijnstukken in meetkundige figuren. inhoud en oppervlakte De deelnemer kan: 77. de oppervlakte van een driehoek, cirkel en cirkelsector en figuren die uit deze elementen zijn samengesteld, berekenen. 78. de oppervlakte en inhoud van een kubus, bol, kegel, cilinder en piramide berekenen.

15

7 Eindtermen Natuurkunde t.b.v. doorstroming BOL-4 techniek (mto) naar hto Eindtermen: Vaardigheden Taalvaardigheden

De deelnemer kan: 1. redeneringen van anderen inhoudelijk beoordelen en eigen redeneringen en werkwijzen beknopt verwoorden. 2. een standpunt beargumenteren en verdedigen. 3. verslag doen. Reken/wiskundige vaardigheden

De deelnemer kan: 4. bij berekeningen gebruik maken van ICT-middelen zoals een grafische rekenmachine (GRM) of specialistische software. 5. de orde van grootte van uitkomsten schatten, controleren en beoordelen. 6. afgeleide eenheden herleiden tot eenheden van het SI. 7. wiskundige technieken toepassen. 8. berekeningen uitvoeren met bekende grootheden en relaties en daarbij de juiste formules en eenheden hanteren. Informatievaardigheden

De deelnemer kan: 9. ICT-middelen op een goede manier gebruiken voor het verwerven van informatie en bij het analyseren, oplossen en evalueren van een probleemsituatie. 10. de nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van gegevens of werkwijzen betrekken bij de beoordeling van het resultaat. 11. benodigde gegevens halen uit grafieken, tekeningen, simulaties, schema's, diagrammen en tabellen. 12. In het kader van een gegeven probleemsituatie: – logische relaties tussen gegevens, beweringen en resultaten van een analyse aanbrengen en beoordelen, – relevante gegevens scheiden van minder relevante gegevens, – hoofd- en bijzaken onderscheiden. Technisch-instrumentele vaardigheden

De deelnemer kan: 13. meetapparatuur en instrumenten aflezen in juiste nauwkeurigheid. 14. motorisch en manueel practicumproeven voldoende vaardig uitvoeren, ook in belang

16

van verantwoordelijkheid en veiligheid voor mens en milieu; Ontwerp- en onderzoeksvaardigheden

De deelnemer kan: 15. toepassingen van natuurkundige principes herkennen in technische situaties. 16. een open probleemstelling uit het technisch vakgebied aanpakken en bij het analyseren daarvan gebruik maken van de geëigende methodieken uit de natuurkunde. 17. onderzoekstaken gefaseerd aanpakken en uitvoeren. 18. systematisch en methodisch werken 19. met anderen samenwerken. Eindtermen: Vakinhoudelijk Mechanica

Krachten gebruiken De deelnemer kan: 20. krachten op een systeem weergeven als vectoren in situaties van rust en constante snelheid. 21. de begrippen zwaartekracht, normaalkracht, wrijvingskracht, veerkracht en spankracht in berekeningen toepassen. 22. berekeningen maken aan hefbomen in evenwicht bij werktuigen en technische constructies. 23. berekeningen maken over kracht, arbeid en vermogen bij krachtoverbrengingen bij werktuigen en bij eenparig veranderende snelheden van zich horizontaal voortbewegende voorwerpen. 24. de begrippen moment, koppel, massatraagheidsmoment en hoekversnelling in technische constructies herkennen en bij berekeningen toepassen. Energie en beweging De deelnemer kan: 25. bij bewegingen in één dimensie wiskundig juist omgaan met begrippen als plaats, verplaatsing, afgelegde weg, snelheid en gemiddelde snelheid. 26. bij een vrije val en verticale worp informatie halen uit diagrammen (plaats-tijd-diagram, snelheid-tijd-diagram) en de daarbij behorende berekeningen maken. 27. de wet van behoud van energie toepassen bij een vrije val, verticale worp en horizontale worp en bij bewegingen zonder en met wrijving. 28. gebruik maken van een energiebeschouwing bij berekeningen aan bewegingen.

17

Versnellen en vertragen De deelnemer kan: 29. de relatie tussen massa, versnelling en resulterende kracht gebruiken om te rekenen aan systemen en deelsystemen bij bewegingen in de techniek. 30. de grootheden bepalen die een rol spelen bij het versnellen en vertragen van deelsystemen. 31. de natuurkundige relaties gebruiken bij het beantwoorden van vragen over de veiligheid in technische situaties. 32. berekeningen uitvoeren betreffende elastische en inelastische botsingen. 33. aangeven wat de gevolgen voor de optredende krachten zijn bij het rollen met en zonder slippen. Cirkelbeweging De deelnemer kan: 34. de begrippen baansnelheid, hoeksnelheid, omlooptijd en toerental toepassen bij een ronddraaiend voorwerp, in situaties van voertuigen en techniek. 35. de begrippen middelpuntzoekende versnelling en kracht toepassen bij een eenparige cirkelbeweging. 36. factoren bespreken die een rol spelen bij de opslag van energie in een vliegwiel. Trillingen en Golven

De deelnemer kan: 37. het beeld van een harmonische trilling in termen van frequentie, trillingstijd en amplitude beschrijven. 38. de relatie beschrijven tussen uitwijking, snelheid en versnelling bij harmonische trillingen en eenvoudige berekeningen hieraan uitvoeren. 39. interferentieverschijnselen bij golven uitleggen met behulp van de begrippen frequentie, golflengte, gereduceerde fase en amplitude. 40. berekeningen uitvoeren aan situaties waarin zich staande golven voordoen. 41. de begrippen interferentie en faseverschil toepassen bij onderwerpen uit de fysische optica en geluid. Vloeistoffen en gassen

De deelnemer kan: 42. de principes van de thermodynamica herkennen in praktijksituaties. 43. rekenen met de massaformule van waterdamp en omgaan met begrippen als relatieve luchtvochtigheid en dauwpunt. 44. de wet van Boyle, de wetten van Gay-Lussac en de algemene gaswet toepassen.

18

8 De toetsing van het doorstroomprogramma Kennis en vaardigheden die op verschillende niveaus worden beschreven, vragen om passende toetsing. Een aantal (met name specifieke) vaardigheden laat zich goed toetsen via de traditionele toetsinstrumenten (toetsbank Cito o.i.d.). Daarbij gaat het voornamelijk om het toetsen van de eindtermen zoals die op niveau 3 en ook wel op niveau 2 zijn beschreven. Daarbij kunnen vraagstukken zoals die in havo-eindexamens van de laatste jaren voorkomen, namelijk het gebruiken van vaardigheden om contextproblemen in stappen te onderzoeken en op te lossen, als voorbeeld dienen. De meer complexe vaardigheden die op niveau 1 en op niveau 2 zijn beschreven, kunnen in het algemeen niet in het traditionele toetskader (een schriftelijk werk van beperkte tijdsduur) worden ingepast. Voor deze categorie wordt een examendossier gedefinieerd, waarvoor het aantal complexe onderzoeksopdrachten wordt voorgeschreven, vergezeld van een beschrijving van het karakter van zo’n opdracht en de wiskundige en/of natuurkundige methodieken en vaardigheden die ermee worden getoetst. Beide onderdelen zouden via landelijke afspraken moeten worden vastgelegd. De meer traditionele schriftelijke eindtoets zou goed kunnen worden afgenomen via een landelijk examen. Het examendossier zou voor externe legitimering in aanmerking kunnen komen. Gelet op het nieuwe karakter van de toetsing moeten voorbeelden worden ontwikkeld, zowel van (context)vraagstukken waarmee de specifieke- en domeinvaardigheden worden getoetst (zie bijvoorbeeld de examens wiskunde B en natuurkunde van havo) als vvan de complexe onderzoeksopdrachten. Dit alles dient gekoppeld te worden aan de praktijkervaringen van een doorstroomproject. Tevens is duidelijk dat dergelijke onderzoeksopdrachten al moeten worden ingebouwd in het programma voor de eerste vier semesters van de opleiding. Alleen dan kunnen zulke opdrachten als toetsvorm in het doorstroomprogramma worden ingevoerd.

19

Bijlage 1: Samenstelling van de werkgroep De werkgroep, die driemaal bijeen is geweest, was als volgt samengesteld: Roel van Asselt, Hogeschool Enschede, LICA Jan Blankespoor, Technische Hogeschool Rijswijk Frans Gouverneur, Hogeschool (West) Brabant Tom Goris, ROC Eindhoven Wim Hochstenbach, Hogeschool van Amsterdam Joke Jansen, Hogeschool Eindhoven (Fontys) Henk van der Kooij, Freudenthal instituut Paul Nitschelm, Overgelder College Jeroen van den Oord, ROC Zeeland Eric Payens, Hogeschool van Utrecht/FEO Martien Verhoeven, voorzitter De februari-versie van dit rapport is gecomponeerd op basis van: – de gevoerde discussies tijdens de drie bijeenkomsten – het inpassen van schriftelijke stukken van Roel van Asselt, Jan Blankespoor (leerdoelen wiskunde begin propaedeuse Technische Hogeschool Rijswijk), Joke Jansen (verslaglegging van regionaal overleg Hogeschool Eindhoven, TLE, Ter Aa College m.b.t. aansluiting mto-hto voor elektro), Frans Gouverneur (domeinen en onderwerpen natuurkunde voor mto-hto doorstroming) en Wim Hochstenbach. Een voorversie van dit document is ter commentaar aan alle deelnemers voorgelegd. De op- en aanmerkingen zijn verwerkt in deze definitieve versie van het rapport.

De uiteindelijke december-versie van het rapport kwam tot stand vanuit dezelfde commissie, waarbij tevens dankbaar gebruik is gemaakt van de inhoudelijke bijdragen van Teo Kleintjes, ROC Eindhoven, auteur EPN, natuurkunde Geert Croes, ROC Eindhoven, auteur EPN, wiskunde

20

Bijlage 2: Toelichting bij de eindtermen wiskunde Eindtermen zijn per definitie multi-interpreteerbaar. Vandaar dat er vanuit de werkgroep behoefte bestaat om iets toe te voegen over het beheersingsniveau in algemene zin, aan de hand van enkele voorbeelden. De bij niveau 3 opgesomde eindtermen staan in dienst van de termen die bij niveau 2 worden opgevoerd. Op hun beurt zijn deze weer ondergeschikt aan de niveau 1 eindtermen. Het is uitdrukkelijk de bedoeling dat instromers in het hto de niveau 1 vaardigheden kunnen benutten bij het toepassen van wiskunde in de technische vakken. Zo bezien lijken de niveau 3 vaardigheden alleen maar noodzakelijke bouwstenen voor de hogere orde vaardigheden. Maar daarmee is niet alles gezegd. Met een paar toelichtende voorbeelden wordt nu gepoogd wat helderheid te verschaffen over de mate van beheersing van de eindtermen op niveau 3. Er kan worden opgemerkt dat op niveau 1 (probleemaanpak) de wiskundige vaardigheden van de niveaus 2 en 3 geïntegreerd moeten kunnen worden toegepast binnen nieuwe probleemstellingen en modellen, in de daarin voorkomende variabelen of coderingen. Bij het analyseren van een probleemstelling wordt over het algemeen een beroep gedaan op een aantal verschillende vaardigheden. Daarbij treedt dus de integratie van onderdelen op. • Voor een deelnemer zou het vanzelfsprekend moeten zijn als hij in het oplossingsproa+b - verder bewerkt kan worden tot ces een breukvorm tegenkomt, dat een vorm zoals ----------c a a b --- + --- terwijl dat niet mogelijk is bij de vorm -----------b+c c c • Operatoren (of functies) laten zich niet wegdelen, zoals (foutief) gebeurt in sin ( x ) --------------sin ( y )

=

x -y

Voorbeelden bij contexten en coderingen zijn: • een deelnemer zou moeten kunnen inzien dat de vergelijking 4 2 (w – 1) – 9(w – 1) + 20 = 0 in feite behandeld kan worden als een tweedegraadsver2 gelijking, door de substitutie t = (w –1) • als de adiabatische expansie van gas een variabele druk kent van k · V 1,4, dan mag het 2 2,8 geen probleem zijn dat dus het kwadraat van die druk gelijk is aan k · V en de wortel 0,7 uit die druk evenredig is met V .

Vanuit het hbo wordt ook gesteld dat bij het beheersingsniveau het niet zozeer gaat om de complexiteit van de technische vaardigheden, als wel om het inzetten van verschillende vaardigheden binnen één probleemsituatie Een voorbeeld: 2 • Welke buigpunten heeft de grafiek van y = x + sin(2x) op het interval [0,2π]?

21

Het gaat dan om de systematiek in de aanpak en het herkennen van: het type functie (somfunctie, waarin een kettingfunctie voorkomt), het beheersen van de regels voor het differentiëren, de rol van de tweede afgeleide, het oplossen van goniometrische vergelijkingen, omgaan met graden en radialen, etc. Bij veel van deze activiteiten kan de GRM worden gehanteerd, maar pas als de onderliggende wiskundige concepten duidelijk zijn; het apparaat moet immers met kennis van zaken worden aangestuurd. Met of zonder GRM: de deelnemer dient zelf het ‘oplossingsprogramma’ te kunnen bedenken. In strikt wiskundige zin moet een deelnemer ook vaardig zijn in het doorzien van de structuur of opbouw van een formule. Dat is o.a. erg belangrijk als er computeralgebra-pakketten worden gebruikt, hetgeen binnen het hbo overal gebeurt. De formules moeten in zulke pakketten ‘lineair’ worden ingevoerd. Ook voor het bepalen van een inverse relatie bij kettingfuncties is deze vaardigheid belangrijk. Een voorbeeld: • De uitdrukking K = 1 +

1 1+

1 x

moet in de huidige generatie algebrapakketten ‘lineair’ worden ingevoerd als y = 1 + 1/(1 + 1/x) Voor het bepalen van x als functie van K helpt de volgende beschrijving van de formule met schakels: omkeren

x    ∅

1 x

plus 1

   ∅ 1+

1 x

omkeren

   ∅

1 1+

plus 1

1

   ∅ K =1+

1 1+

x

1 x

De inverse relatie wordt dan makkelijk daaruit afgeleid, door het schema in omgekeerde volgorde te doorlopen en daarbij de bewerkingen te neutraliseren: x=

1 1 K −1

−1

omkeren ♦    

1 K−1

min 1

− 1♦   

1 K −1

omkeren ♦    

min 1

K − 1♦    K

Dit soort ingeslepen gedrag wordt in het hbo verwacht van deelnemers die wiskunde gebruiken in beroepsgerichte vakken. Bezien vanuit het mto kan bij het bovenstaande worden opgemerkt dat dergelijke ‘basisvaardigheden’ die het hto wenst van de instromers, voor de mto-deelnemers absoluut niet tot die categorie kunnen worden gerekend. Integendeel: het zal veel inzet van deelnemers en wiskundige deskundigheid van docenten vragen om deze doelen te verwezenlijken. Een ontwikkeltraject met een zorgvuldige, goed begeleide implementatiefase is daarvoor nodig.

22

Bijlage 3: Toelichting bij de eindtermen natuurkunde De beschreven eindtermen voor natuurkunde dienen te worden geïnterpreteerd als een opsomming van vaardigheden en kenniselementen die noodzakelijk zijn om in het hto in te kunnen stromen. Een dergelijke opsomming zal in het algemeen onvoldoendezicht geven op de vaardigheden die de deelnemers dienen te beheersen. Hieronder wordt, middels twee voorbeelden voor natuurkunde in het kort een poging gedaan daar enig zicht op te geven. Voorbeeld 1: Woning-verwarming

De warmtestroom door een materiaal kan worden berekend met de formule: M =

λ A ∆T d

Het is niet voldoende als deelnemers met behulp van deze formule de warmtestroom door een bepaalde wand kunnen berekenen. De deelnemers dienen in te zien wat er gebeurt met de warmtestroom als veranderingen, bijvoorbeeld een dikkere wand of toevoegen isolatie, aangebracht worden aan de wand. deelnemers dienen dus te kunnen denken in termen van verbanden tussen grootheden. Een dergelijke vaardigheid speelt een belangrijke rol bij het bepalen van het benodigde verwarmingsvermogen voor een huis. Daarbij hoort het inzicht dat voor het op constante temperatuur houden van een ruimte er precies evenveel warmte (door de verwarming) moet worden toegevoerd als dat er door de wanden naar buiten gaat. Voor de deelnemers moet het denken in termen van evenwicht-situaties een tweede natuur worden. Voorbeeld 2: Verkeer en veiligheid

Krachten spelen een wezenlijke rol bij de veiligheid in het verkeer. Om de optredende krachten bij afremmen of botsen te kunnen bepalen zijn twee methoden mogelijk, met behulp van de bewegingsleer of de energetica. bewegingsleer: Met (Newton) F = m . a, waarbij de vertraging a uit afstanden, snelheidsverandering en/ of tijden verkregen wordt. energetica: Met W = F.s, waarbij deze arbeid gelijk gesteld wordt aan de afname van de bewegingsenergie. Afhankelijk van de gegevens dienen de deelnemers een van de oplossingsmethoden te kunnen kiezen. Nog belangrijker is het inzicht in de samenhang tussen grootheden, dus dat verkleining van de versnelling a of vergroting van de afstand s leidt tot een kleinere rem- of botskracht en dus minder schade en letsel. Om de genoemde vaardigheden bij de deelnemers aan te brengen zijn gestructureerde onderwijsactiviteiten nodig. Deze kenmerken zich door het in herkenbare contexten plaatsen van de leerstof en een actieve rol van de deelnemer in het proces. De deelnemer dient regelmatig zijn/haar bevinden te verwoorden en te presenteren aan anderen om eigen inzichten te verdiepen en samenhangen ontdekken.

23