Városok Viadala JUNIOR 1988-89. sz, els forduló 1. Ismert, hogy a sz ke hajú emberek aránya nagyobb a kékszem ek, mint az összes ember között. Melyik a nagyobb, a kékszem ek aránya a sz kék, vagy a kékszem ek aránya az összes ember között? (3 pont) 2. Egy háromszögben két magasság nem kisebb, mint a hozzájuk tartozó oldalak. Határozzuk meg a háromszög szögeit. (3 pont) 3. Mutassa meg, hogy bármely hét ( nem feltétlenül egymást követ ) természetes szám közül ki lehet választani hármat úgy, hogy összegük osztható hárommal! (3 pont) 4. Egy kocka minden lapját felosztottuk négy egyenl részre, és mindegyik negyedet befestjük három rendelkezésre álló színb l eggyel. A szomszédos negyedek különböz szín ek. Bizonyítsa be, hogy mindhárom színt 8 negyed festésére használtuk! (3 pont)
JUNIOR 1988-89. sz, második forduló 1. Egy kocka minden csúcsára írunk 1-et vagy -1-et. A kocka minden oldalára felírjuk a hozzá tartozó négy csúcson lev szám szorzatát. Lehetséges-e, hogy a tizennégy felírt szám összege 0? (G. Galperin, 3 pont) 2. Egy M pontot kiválasztunk az ABCD négyzet belsejében úgy, hogy MAC ∠= MCD∠ = x. Adjuk meg ABM∠-et! (3 pont) 3. Legyen a1, a2, ..., an az 1, 2, ..., n számok tetsz leges elrendezése. Legyen S=a1/1+a2/2+...+an/n. "n" milyen értékeket vehet fel ahhoz, hogy a1, a2, ..., an összes variációjára adódó S-ek között el forduljon n-t l n+100-ig minden szám? (3 pont) 4. a) Adott két azonos, tizennégy fogú fogaskerék. Egyiket a másikra fektetik úgy, hogy a fogaik fedik egymást ( így a fogak vetülete a vízszintes síkon egyezik ). Négy pár összeill fogat levágnak. Lehetséges-e mindig úgy elforgatni a két fogaskereket, hogy a közös vetületük úgy néz ki, mint egy egész fogaskeréké? (A fogaskerekeket közös tengelyük mentén lehet forgatni, de felfordítani nem tudjuk.) b) Válaszoljon ugyanerre a kérdésre 13 fogú fogaskerékkel és 4 levágott fogpárral! (3+3 pont) 5. Egy konvex n-szöget felosztottunk háromszögekre egymást nem metsz átlókkal. A következ m velet, a peresztrojka ( újjáépítés ) megengedett: ABD és BCD közös oldalú háromszögeket helyettesíthetjük ABC és ACD háromszögekkel. P(n) jelzi a legkevesebb szükséges peresztrojka számát, mellyel bármely felosztásból bármely másikba eljuthatunk. Bizonyítsa be, hogy: a) P(n)≥n-3, b) P(n)≤2n-7, c) P(n)≤2n-10, ha n≥13. (W.Thurston, D. Sleator, R.Tarjan, 2+2+3 pont) 6. Létezik-e olyan természetes szám, amely nem osztója egyetlen egy olyan természetes számnak sem, mely a tízes számrendszerben legfeljebb 1988 egyesb l és tetsz legesen sok 0-ból áll? (8 pont)
30/66
Városok Viadala JUNIOR 1988-89. tavasz, els forduló 1. Az a, b, c pozitív egész számokra teljesül: a≥b≥c, és a+b+c≤1. Bizonyítsa be, hogy 2 2 a +3b +5c2≤1! (F.L. Nazarov, 3 pont) 2. Az ABC háromszögben berajzoltuk az AM súlyvonalat. Lehetséges-e, hogy ABM háromszög beírt körének sugara kétszer akkora, mint az ACM háromszög beírt körének sugara? ( D. Fomin, 3 pont) 3. Milyen számot kell beírni a kérd jel helyére a 888...88?999...99 számban (50 db. 8-as és 50 db 9-es), ha azt akarjuk, hogy a szám osztható legyen héttel? (M.I. Gusarov, 3 pont) 4. Lehet-e egy Rubik-kocka (3×3×3-as beosztású) felületén egy folyamatos vonalat rajzolni úgy, hogy minden egyes kis négyzetet egyszer keresztezünk, de a vonal nem halad át egyetlen csúcson sem? (S. Fomin, 3 pont)
31/66
Városok Viadala JUNIOR 1988-89. tavasz, második forduló 1. Egy lépcs házban 100 lépcs van. Kolja le szeretne menni a lépcs kön úgy, hogy felváltva le-, és felugrik a lépcs kön. A lépcs fokok száma, melyeken keresztül tud ugrani 6 (azaz 5 fölött átugrik, és a hatodikra érkezik), 7 vagy 8. Nem szeretne kétszer ugyanarra a lépcs fokra érkezni. Le tud így jönni a lépcs soron? (S. Fomin, 3 pont) 2. Egy sakktáblán áll egy gyalog. Két játékos felváltva mozgathatja úgy, hogy mindig nagyobb távolságot kell megtennie, mint az el z lépésben. Egy játékos akkor veszít, ha már nem tud lépni. Ki nyer, ha mindketten a lehet legjobb stratégiát választják? (A gyalogot mindig a négyzet közepére teszik. ) (F.L. Nazarov, 3 pont) 3. ABCD és PQRS konvex négyszögek rendre papírból, ill. kartonból készültek. Akkor "felelnek meg" egymásnak, ha a következ két állítás egyszerre igaz: I) A kartonnégyszöget rá tudjuk fektetni a papírnégyszögre úgy, hogy a csúcsai egy-egy oldalán vannak a papírnégyszögnek, és II) Ha ezután a papírnégyszög négy le nem takart háromszögét rá tudjuk hajtani a kartonra úgy, hogy teljesen lefedi. a) Bizonyítsa be, hogy ha a négyszögek megfelelnek egymásnak, akkor a papírnégyszögnek vagy van egy párhuzamos oldalpárja, vagy mer legesek az átlói. b) Mutassa meg, hogy ha ABCD egy paralelogramma, akkor mindig lehet készíteni egy négyszöget kartonból úgy, hogy megfeleljenek egymásnak. (N.Vasziljev, 2+3 pont) 4. Bizonyítsa be, hogy ha k egy pozitív páros szám, akkor fel lehet írni a számokat 1-t l (k-1)ig olyan sorrendben, hogy nincsenek olyan egymást követ számok, melyeknek összege osztható kval. (5 pont) 5. Legyen N darab vektor közös kezd pontja egy kör középpontja, végpontjaik pedig a kört N egyenl körívre osztják fel. A vektorok közül néhány piros, néhány kék. Kiszámoljuk az összes olyan szög összegét, melyeket egy kék és egy piros vektor határoz meg (a szöget az óramutató járásával ellentétesen, a pirostól a kékig mérjük), és elosztjuk a szögek számával. Mutassa meg, hogy a szögek átlaga, melyet így mértünk, 180°! (V. Proizvolov, 7 pont) 6. a) Bizonyítsa be, hogy ha 3n db csillagot elhelyezünk 3n mez n egy 2n×2n-es táblán, akkor el lehet távolítani n sort és n oszlopot úgy, hogy minden csillagot kivettünk! b) Mutassa meg, hogy el lehet helyezni 3n+1 csillagot a 2n×2n-es táblán úgy, hogy miután bárhogy eltávolítottunk n sort és n oszlopot, legalább egy csillag mindig megmarad. (K.P. Kohas, 4+4 pont)
32/66
Városok Viadala SENIOR 1988-89. sz, els forduló 1. Van-e olyan 2-hatvány, hogy a számjegyeket újrarendezve egy másik 2-hatványt kapunk? (3 pont) 2. Legyen N az ABC háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy az ABN, ACN és BCN háromszögek köré írt körök egyenl sugarúak. (3 pont) 3. Bizonyítsuk be, hogy egy poliéder minden csúcsához hozzáírhatunk egy természetes számot úgy, hogy minden azonos élen lév csúcspár esetében a hozzáírt számok nem relatív prímek (azaz van 1-nél nagyobb közös osztójuk) és minden közös él nélküli csúcs-párnál lev számok relatív prímek (megjegyzés: végtelen sok prímszám van). (3 pont) 4. Egy négyzethálós füzet egy lapján minden kis négyzetet kifestettünk, amihez 23 színt használtunk. Egy színpárt akkor nevezünk jónak, ha vannak ilyen színekkel festett szomszédos négyzetek. Legalább hány jó pár van? (3 pont) SENIOR 1988-89. sz, második forduló 1. Szeretnénk egy sakktáblán megjelölni minél kevesebb mez t úgy, hogy a) semelyik két megjelölt négyzetnek sincs közös oldala vagy közös csúcsa, és b) bármely jelöletlen négyzetnek van közös oldala vagy csúcsa legalább egy megjelölt négyzettel. Add meg a megjelölt négyzetek olyan konkrét konfigurációját, amelyek kielégítik (a)-t és (b)-t, és mutasd meg, hogy kevesebb számú megjelölt négyzet nem lesz elég. (A. Andjans, 3 pont) 2. Bizonyítsuk be, hogy a2pq + b2qr + c2rp < 0, ahol a, b és c egy háromszög oldalai és p + q + r = 0. (J. Mustafaev, 3 pont) 3. Adott az 1, 2,…, n egész számok egy olyan sorrendje, hogy ha k, 1 < k < n egész szám nem az els , akkor a k + 1 vagy a k – 1 egész számok egyike k-t megel zi. Az 1, 2,…, n egész számok hány sorrendje elégíti ki ezt a feltételt? (A. Andjans, 4 pont) 4. Egy országban 1988 város és 4000 út található (minden út két várost köt össze). Bizonyítsuk be, hogy van egy zárt útvonal, ami legfeljebb 20 városon halad át. (A. Razborov, 6 pont) 5. A juniorok 6. feladata. Itt 7 pont. 6. M az ABCD téglalap bels pontja és S a területe. Bizonyítsuk be, hogy S < AM⋅CM + BM⋅DM. (I. J. Goldsheyd, 7 pont) SENIOR 1988-89. tavasz, els forduló 1. Az a, b, c és d pozitív számok eleget tesznek a következ feltételeknek: a < b < c < d és a + b + c + d ≥ 1. Bizonyítsuk be, hogy a2 + 3b2 + 5c2 + 7d2 ≥ 1. (3 pont) 2. Az ABCD trapézba kör írható be. Bizonyítsuk be, hogy a szárakra mint átmér kre emelt körök érintik egymást. (D. Fomin, 3 pont) 3. Keressünk 6 olyan különböz pozitív egész számot, hogy bármely kett szorzata osztható legyen az összegükkel. (D. Fomin, 3 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 3 pont.
33/66
Városok Viadala SENIOR 1988-89. tavasz, második forduló 1. Keressünk két olyan hatjegy számot, melyeket ha egymás mögé írunk, akkor olyan tizenkét jegy számot kapunk, ami osztható a két eredeti szám szorzatával. Keressük meg az összes ilyen számpárt. (M. N. Gusarov, 3 pont) 2. Az ABC háromszög belsejében lev M pontra teljesül, hogy BMC∠ = 90° + ½ BAC∠ és az AM egyenes átmegy a BMC háromszög köré írt kör középpontján. Bizonyítsuk be, hogy M az ABC háromszög beírt körének középpontja. (4 pont) 3. Adott a következ 1000 lineáris függvény : fk(x) = pkx + qk, k = 1, 2,…, 1000. Keressük az f(x) = f1(f2(f3…f1000(x)…)) összetett függvény helyettesítési értékét az x0 helyen. Segítségünkre van tetsz legesen sok számolómester. Mindegyiknek adhatunk két számot és k ezekkel végrehajtanak akármilyen aritmetikai m veletet, majd közlik az eredményt. Mi mondjuk meg nekik a kiinduló számaikat és azt is, hogy mit csináljanak velük. Egy lépésben egyszerre dolgozhatnak többen is. Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb 30 lépésben elvégezhet a számolás. (Az els lépésben használhatjuk a p1,p2 …p1000, q1,q2 …q1000, x0 számokat, a kés bbiekben az újonnan legyártottakat is.) (S. Fomin, 5 pont) 4. Egy 11 f s klubnak van egy bizottsága. A bizottság minden ülésén újjáalakul, az új tagság egy f ben tér el az el z t l (vagy egy új taggal b vül, vagy egy taggal csökken). A bizottságnak mindig legalább 3 tagja van és a klub alapszabálya szerint bármely stádiumban a bizottságnak különböznie kell minden korábbi stádium bizottságától. Lehetséges-e, hogy bizonyos id után a bizottság minden lehetséges összetétele már el fordult? (S. Fomin, 6 pont) 5. Adott N darab egyenes (N > 1) a síkon, melyek közül semelyik 2 nem párhuzamos és semelyik háromnak nincs közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy az ezen vonalak által meghatározott sík minden régiójához ki lehet jelölni egy nem 0 egész számot, amelynek abszolút értéke nem haladja meg N-et, úgy hogy a számok összege az adott vonalak bármelyikének bármely oldalán 0val egyenl . (S. Fomin, 7 pont) 6. Adott 101 téglalap, oldalaik hossza 101-nél kisebb egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ezen 101 téglalap között van 3 olyan, mondjuk A, B és C, hogy A belefér B-be, B belefér C-be.
(N. Sedrakyan, 7 pont) JUNIOR, 1989-90. sz, els forduló 1. Három futó X, Y és Z versenyt futottak. Z beragadt a rajtnál, és utolsóként kezdett el futni, Y másodikként rajtolt. A verseny során Z hatszor cserélt helyet más versenyz vel, X ezt ötször tette meg. Tudjuk Y-ról, hogy X el tt ért a célba. Mi lett a sorrend? (3 pont) 2. Egy hegyesszög háromszög oldalainak hosszai egymást követ egész számok. Bizonyítsuk be, hogy a második leghosszabb oldalhoz tartozó magasság az oldalt két olyan szakaszra osztja, melyek hosszának különbsége 4. (3 pont) 3. Adott egy 1989 darab számból álló halmaz. Tudjuk, hogy ezek közül bármelyik 10 összege pozitív. Bizonyítsuk be, hogy mindnek az összege is pozitív! (3 pont) 4. Keressük meg az egyenlet pozitív egész megoldásait:
x+
1 1 y+ z
=
10 7
(G. Galperin, 3 pont)
34/66
Városok Viadala JUNIOR, 1989-90. sz, második forduló 1. Keressük meg az egyenlet megoldásait a pozitív egészek körében:
x x = + 1, 10 11
ahol [A]
jelöli A egészrészét, pl. [2,031]=2, [2]=2 stb. (3 pont) 2. Az ABCDEF hatszög köré kör írható, AB=BC=a, CD=DE=b, és EF=FA=c. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe a hatszög területének a fele. (I. P. Nagel, 3 pont) 3. A síkot szabályos háromszögekre vágjuk, 3 irányú párhuzamos egyenesekkel (bármely két egyenes vagy párhuzamos, vagy 60°-os szöget zárnak be). Lehetséges-e, hogy találunk a háromszögek csúcsai között 4-et, melyek négyzetet alkotnak? (4 pont) 4. Adott az N természetes szám. Alkossuk az (a, b, c) pozitív egészekb l álló számhármasokat úgy, hogy a+b+c=N. Vegyük azt a legnagyobb, ilyen számhármasokból álló rendszert, ahol semelyik két számhármasnak nincs közös eleme! Jelöljük az ebben a rendszerben lev számhármasok számát K(N)-nel! Bizonyítsuk be, hogy a)
K( N) >
N − 1 ; b) 6
K( N) <
2N . 9
(L.D. Kurliandcsik, 4 pont) 5. Egy téglalap alakú M×N-es táblát 1×1-es cellákra osztottunk. Rendelkezésünkre áll M×N darab 1×2-es dominó. Ezeket a dominókat, ill. közülük valamennyit úgy helyezünk el a táblán, hogy egy dominó 2 cellát foglal el. A végén a tábla nem teljesen lefedett, de nem tudunk egy dominót sem megmozdítani (a táblának kerete van, így a dominók nem lóghatnak le róla). Bizonyítsuk be, hogy a lefedetlen cellák száma: a) kevesebb, mint M⋅N/4; b) kevesebb, mint M⋅N/5. (2 pont) (L. D. Kurliandcsik, 4 pont) 6. Egy szabályos hatszöget felvágtunk N egyenl terület paralelogrammára. Bizonyítsuk be, hogy N osztható hárommal! (V. Prasolov, I. Sharygin, 7 pont)
35/66
Városok Viadala JUNIOR, 1989-90. tavasz, els forduló 1. Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n-re teljesül, hogy : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + + + ... + + ... + + + = 2n − 1 + + ... + 2 n 2 n n −1 n n 2 n
(S. Manukian, 4 pont) 2. Legyenek c és d egymást nem tartalmazó és nem metsz egysíkú körök. C és D pontok rendre a körökön vannak, a lehet legtávolabb egymástól. Két kisebb kört szerkesztünk c és d belsejébe. Az els kis kör érinti c-t és a C-b l d-hez húzott két érint t, míg a másik érinti d-t és a Db l c-hez húzott érint ket. Bizonyítsuk be, hogy a kis körök egybevágóak! (J. Tabov, 4 pont) 3. Lehetséges-e 9 piros, 9 kék és 9 fehér egybevágó kockából összerakni egy nagy kockát, aminek minden sora (három kocka, párhuzamosan a nagy kocka egy tetsz leges élével) pontosan két színt tartalmaz? (S. Fomin, 5 pont) 4. Adott 61 egyformának látszó érme. Két érme (melyek tömege egyforma) hamis. A többi 59 (eredeti) érme tömege is egyforma, de más, mint a hamisaké. Nem tudjuk azonban, hogy mely érmék a nehezebbek. Hogyan tudjuk ezt a kérdést megválaszolni, ha háromszor mérhetünk egy kétkarú mérleggel? (Nem kell elválasztani a hamis érméket a többit l). (D. Fomin, 8 pont) JUNIOR, 1989-90. tavasz, második forduló 1. Határozzuk meg azt a maximális számot, ahány részre a koordinátasík felosztható 100 különböz , y = ax 2 + bx + c alakú függvény grafikonjával! (a≠0) (N. B. Vasiliev, 6 pont) 2. Ha egy négyzetet elmetszünk egy vele egybevágó, de középpontja körül 45°-kal elforgatott négyzettel, akkor az mind a 4 oldalt a:b:a arányban osztja (ez kiszámolható). Vegyük a következ szerkesztést egy tetsz leges konvex négyszögre: osszuk fel minden oldalát ebben az a:b:a arányban, és húzzunk egyenest minden csúcs melletti két osztópont között! Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek metszéspontjai által meghatározott új négyszög területe ugyanannyi, mint az eredeti négyszögé! (A. Savin, 6 pont) 3. 15 elefánt áll egy sorban. Tömegeik egész kilogrammokban fejezhet k ki. Minden egyes elefánt tömege (kivéve a jobb széls ) és a mellette jobbra álló tömegének kétszerese összesen éppen 15 tonna. Határozzuk meg az elefántok tömegét! (F.L. Nazarov, 8 pont) 4. Legyen ABCD egy rombusz, és P a BC oldal egyik pontja. Az A,B,P pontokon átmen kör Q-ban metszi másodszor BD-t, a C,P,Q pontokon átmen kör R-ben metszi másodszor BD-t. Bizonyítsuk be, hogy A, R és P egy egyenesen fekszik! (D. Fomin, 8 pont) 5. Határozzuk meg azon pozitív egészekb l álló (m,n) számpárok számát, melyekre m,n≤1000 m m +1 és < 2< . n +1 n (D. Fomin, 10 pont) 6. Egy súlygy jteményt (minden súly egész érték) akkor nevezünk alapnak, ha az együttes súlyuk 200, és minden 200-nál nem nagyobb súly kimérhet velük egyértelm en meghatározott súlykompozícióval. (Az egyértelm en meghatározott úgy értend , hogy nem vesszük figyelembe a sorrendet, vagy azt, hogy két azonos súlyból melyiket választjuk ki, ha van egyáltalán választási lehet ségünk.) a) Keressünk egy példát alapgy jteményre, de ne a 200 darab 1 érték súly legyen az! b) Hány különböz alapgy jtemény létezik? (D. Fomin, 4+8 pont)
36/66
Városok Viadala SENIOR, 1989-90. sz, els forduló 1. Tíz barát üdvözl lapokat küld egymásnak, mindegyikük ötöt küld. Bizonyítsuk be, hogy közülük legalább kett küldött egymásnak lapot. (3 pont) 2. Adott 3 pont a síkon: K, L, M. Ezen pontok egy kiradírozott négyszög 3 szomszédos, egyenl hosszúságú oldalának felez pontjai. Szerkesszük meg a négyszöget. (3 pont) 3. Létezik-e 1 000 000 egymástól különböz pozitív egész szám, hogy ezek közül akárhányat kiválasztva az összegük soha nem négyzetszám? (3 pont) 1989 1989 4. A2 és az 5 számokat leírjuk egymás után (tízes számrendszerben). Hány számjegyet írtunk le összesen? (G. Galperin, 3 pont) SENIOR, 1989-90. sz, második forduló 1. Meg lehet-e adni egy gömböt, egy tetraédert és egy síkot úgy, hogy a megadott síkkal párhuzamos minden sík egyenl terület részekben messe a gömböt és a tetraédert? (3 pont) 2. Tekintsük az {1, 2,…, N} halmaz összes olyan részhalmazát, amely nem tartalmaz egymást követ számokat. Egy papírra felírjuk minden részhalmaz esetén az elemeinek szorzatát. Bizonyítsuk be, hogy ha a papírra felírt számokat négyzetre emeljük, majd összeadjuk, akkor (N+1)! – 1 lesz az eredmény. (R.P. Stanley ötlete alapján, 3 pont) 3. Az R sugarú körön belül kijelölünk egy A pontot. Szerkesszünk A-n keresztül egy mer leges egyenespárt. Forgassuk el ezeket az egyeneseket ugyanazzal a v szöggel A körül. Míg az egyenesek a kezdeti helyzetükb l a végs helyzetükbe mozognak, egy kereszt alakú alakzat jön létre, melynek középpontja A. Mekkora a kereszt területe? (5 pont) 4. A természetes számok halmaza legyen páronként diszjunkt halmazok uniója, amelyeknek elemei végtelen számtani sorozatot alkotnak, pozitív d1, d2, d3, … differenciával. Lehetséges-e, 1 1 1 hogy az + + + ... összeg nem haladja meg a 0.9-et? Tekintsük azokat az eseteket, ahol d1 d 2 d 3 a) a számtani sorozatok száma véges. 1 1 1 b) a számtani sorozatok száma végtelen (Ebben az esetben a feltételt, hogy + + + ... nem d1 d 2 d 3 haladja meg a 0.9-et, úgy kell érteni, hogy bármely véges számú összeg nem haladja meg a 0.9-et.)
(a) (A. Tolpugo, 2+3 pont) 5. Adott 100 pont. Ezek közül N darab egy konvex N-szög csúcsai, és a többi (100-N) pont ezen N-szögön belül helyezkedik el. A pontok jelölése alapján nem határozható meg, hogy csúcsaie az N-szögnek, avagy nem. Ismeretes, hogy nincs olyan három pont, amelyek kollineárisak, és nincs négy olyan pont, amelyek két párhuzamos egyenesen vannak. A következ kérdést lehet feltenni: Mekkora az XYZ háromszög területe, ha X, Y, Z a 100 pont közül való? Bizonyítsuk be, hogy 300 ilyen kérdés elegend ahhoz, hogy megmondjuk melyik pontok csúcspontok, és meghatározzuk az N-szög területét. (D. Fomin, 6 pont) 6. Egy táblázatnak m sora, és n oszlopa van, ahol m < n. Néhány mez ben csillagok vannak elhelyezve úgy, hogy minden oszlopban legalább egy csillag van. Bizonyítsuk be, hogy van legalább egy csillag, hogy az t tartalmazó sorban több csillag van, mint az t tartalmazó oszlopban. (A. Razborov, 8 pont) 37/66
Városok Viadala SENIOR, 1989-90. tavasz, els forduló 1. Szerkesszük meg azt a háromszöget, amelynek adott 2 oldala, ha az adott oldalak közös csúcsából húzott súlyvonal ezt a szöget 1:2 arányban osztja. (V. Chikin, 6 pont) 2. Bizonyítsuk be, hogy: a) ha az n természetes szám 4k+1 alakú (ahol k egész szám), akkor létezik n darab olyan páratlan pozitív egész, amelyeknek összege egyenl a szorzatukkal. b) ha n nem ilyen alakú, akkor ilyen számhalmaz nem létezik. (M. Kontsevich, 3+4 pont) 3. a) Egy dodekaéder néhány csúcsát megjelöltük úgy, hogy minden lapon van egy megjelölt csúcs. Hány csúcsot kell legalább megjelölni, hogy ez lehetséges legyen? b) Ugyanez a feladat, csak ikozaéderrel. (G. Galperin, 2+5 pont) (A dodekaédernek 12 ötszög oldala van, amelyek közül 3 egy csúcsban találkozik. Az ikozaédernek 20 háromszög alakú oldala van, amelyek közül 5 egy csúcsban találkozik.) 4. Adott 103 pénzérme, amelyek látszólag azonosak. Két pénzérme (amelyek tömege egyenl ) hamis. A többi 101 (igazi) pénzérmének is egyenl a tömege, de különbözik a hamis érmék tömegét l. Nem tudjuk, hogy az igazi érmék vagy a hamis érmék nehezebbek-e. Hogy találhatjuk ki ezt egy kétkarú mérleggel három méréssel? (Nem feladat a hamis érmék kiválasztása. (D. Fomin, 7 pont) SENIOR, 1989-90. tavasz, második forduló 1. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egészre létezik egy P(x) polinom, amely (x-1)n-nel osztható, a foka legfeljebb 2n és minden együtthatója 1, 0 vagy -1. (D. Fomin, 6 pont) 2. A mér súlyok egy csoportját (minden súly egész érték) alapkészletnek nevezzük, ha az együttes súlyuk 500-zal egyenl és minden 500-nál nem nagyobb súly kimérhet velük egy egyértelm en meghatározott súlykompozícióval. (Az egyértelm en meghatározott úgy értend , hogy nem vesszük figyelembe a sorrendet, vagy azt, hogy két azonos súlyból melyiket választjuk ki, ha van egyáltalán választási lehet ségünk.) a) Keressünk egy példát az alapkészletre (ami különbözik az 500 darab 1 egységest l) b) Hány különféle alapkészlet létezik? (D. Fomin, 4+6 pont) 3. Egy tortát készítenek az esti összejövetelre, amelyre p vagy q személy érkezik. (p és q relatív prímek, egészek.) Keressük meg a (nem feltétlenül egyforma) szeletek minimális számát, amelyekre a tortát fel kell el zetesen vágni ahhoz, hogy a tortát egyenl en szét lehessen osztani a vendégek között, mindkét esetben. (D. Fomin, 10 pont) 4. Legyen ABCD trapéz, ahol AC=BC. Legyen H az AB alap felez pontja és legyen l egy egyenes, mely keresztül megy H-n. l metszi AD- t P pontban, és BD- t Q-ban. Bizonyítsuk be, hogy az ACP szög és a QCB szög vagy egyenl vagy összegük 180o. (I. Sharygin, 10 pont) 5. Létezik-e olyan konvex poliéder, amelynek van egy háromszög metszete (egy síkkal elmetszve, amely nem megy át a csúcsokon) és a poliéder minden csúcsa a) legalább 5 laphoz tartozik? b) pontosan 5 laphoz tartozik? (G. Galperin,4+6 pont) 6. Van néhány tintapacni egy a oldalú négyzet alakú fehér papíron. Egyik pacni területe sem több, mint 1 területegység. Minden egyenes, amely párhuzamos a négyzet valamelyik oldalával legfeljebb egy pacnin megy keresztül. Bizonyítsuk be, hogy a pacnik összterülete legfeljebb a területegység. (A. Razborow, 12 pont)
38/66
