Városok Viadala JUNIOR, 1994-95. sz, els forduló 1. Néhány fiú és lány kering t táncol. Lehetséges-e, hogy mindegyik lány mindig el tudja táncolni a következ táncot egy szebb, vagy okosabb fiúval mint az el z volt és, hogy minden alkalommal legalább egy lány el tudja táncolni a következ táncot egy szebb és okosabb fiúval, mint az el z partnere? (A fiúk és lányok száma megegyezik és mindenki táncol.) (AY Belov, 3 pont) 2. Adott két kör a síkon, egyik a másikon belül van. Szerkesszük meg a kisebb körön belül azt az O pontot, melyre az O-ból induló összes félegyenest a körök olyan A és B pontokban metszik, melyekre az OA/OB arány állandó. (3 pont) 3. Keressünk öt olyan pozitív egészt, melyek közül bármely kett nek a legnagyobb közös osztója megegyezik a különbségükkel. (SI. Tokarev, 5 pont) 4. Kukutyinban az iskolában 20 diák tanul. Bármely kett nek van egy közös nagyapja. Igazoljuk, hogy van 14 diák, akiknek van egy közös nagyapjuk. (AV. Sapovalov, 5 pont) JUNIOR, 1994-95. sz, második forduló 1. Néhány dobozba diókat tettünk. Dobozonként átlagosan 10 dió van. A diók dobozonkénti számának négyzetét átlagolva 1000-nél kisebb számot kapunk. Mutassuk meg, hogy a dobozoknak legalább 10%-a nem üres. (AY. Belov, 3 pont) 2. Egy 8×8-as táblázat 64 egységnégyzetb l áll. Szeretnénk ezt fedni 64 darab fekete és 64 darab fehér azonos méret egyenl szárú derékszög háromszöggel. Egy fedés szép, ha bármely két oldalszomszédos háromszög különböz szín . Hány különböz szép fedés van? (NB. Vasziljev, 4 pont) 3. Az l és m egyenesek egymásra mer legesek, metszéspontjuk éppen egy kör kerületére esik, így a körvonalat három ívre vágják. Minden íven kiválasztunk egy Mi pontot úgy, hogy a kör Mibeli érint jének m és l közé es szakaszát Mi éppen felezze. Mutassuk meg, hogy az M1M2M3 háromszög szabályos. (Przhevalszki, 4 pont) 4. Kiválasztható-e az 1, 1/2, 1/3, …sorozatból (a) egy 100 elem részsorozat; (b) egy végtelen részsorozat úgy, hogy minden számra (a harmadiktól kezdve) teljesüljön: ak=ak-2–ak-1. (SI Tokarev, 3+2 pont) 5. Adott két periodikus sorozat, 7 és 13 hosszú periódussal. Legfeljebb az els hány elemük lehet azonos? (AY. Belov, 6 pont) 6. Adott hat egész szám. Vegyük hatodik hatványaik összegét és vonjunk ki bel le egyet. Így pontosan szorzatuk hatszorosát kaptuk. Mutassuk meg, hogy egyikük 1, vagy -1, a többi pedig 0. (LD. Kurliandcsik, 6 pont) 7. Legyen n darab kör metszete az F alakzat. (A körök sugarai lehetnek eltér k.) Legfeljebb hány íves oldala lehet F-nek? (N. Brodszki, 9 pont)
58/66
Városok Viadala JUNIOR, 1994-95. tavasz, els forduló 1. Katinak 10, 15 és 20 forintos bélyegei vannak, 30 darab, összesen 500 Ft értékben. Bizonyítsuk be, hogy több 20 forintos bélyege van, mint 10 forintos. (3 pont) 2. Három, szöcske, A, B, C egy egyenes mentén helyezkedik el. Az A és C jel ek felez pontjában van a B jel . Minden másodpercben valamelyik szöcske átugorja egy társát úgy, hogy az ugrás két végpontja szimmetrikus legyen az átugrott szöcskére. Néhány ugrás után éppen azokon a helyeken vannak, mint az induláskor. (Csak esetleg más sorrendben.) Bizonyítsuk be, hogy B most is biztosan a középs . (AK. Kovaldzhy, 3 pont) 3. A T1 négyzetbe rajzolt kör L, az L-be rajzolt négyzet T2. A T1 négyzet csúcsai rajta vannak T2 oldalegyenesein. Mekkorák annak a konvex nyolcszögnek a szögei, melynek csúcsai T1 oldalainak L-en lev érintési pontjai és T2 csúcsai? (S. Markelov, 4 pont) 4. Mutassuk meg, hogy 40…09 (a 4 és 9 között legalább egy nulla van) nem lehet négyzetszám. (V. Senderov, 4 pont)
JUNIOR, 1994-95. tavasz, második forduló 1. Legyenek a, b, c egészek. Tudjuk, hogy (a/b)+(b/c)+(c/a) és (a/c)+(c/b)+(b/a) is egészek. Mutassuk meg, hogy a=b=c. (A. Gribalko, 4 pont) 2. Az ABCDEFGHIJ egységoldalú szabályos tízszögb l egy egyenes a PAQ háromszöget metszi le. PA+AQ=1. Tekintsük a tízszög A-tól különböz kilenc csúcsát és azon szögeket, amely alatt ezekb l PQ látszik. Mekkora a szögek összege? (V. Proizvolov, 4 pont) 3. Adott az ABC szabályos háromszög. Keressük meg azon P pontok mértani helyét, melyekre az AP és BP egyeneseknek ugyanakkora szakasza esik a háromszög belsejébe. (4 pont) 4. Lehet-e a+b+c+d prím, ha a, b, c, d pozitív egészek és ab=cd? (5 pont) 5. Adott négy egybevágó derékszög háromszög. Bármely háromszöget kettévághatunk az átfogójához tartozó magassága mentén és az így keletkez kkel is megtehetjük ezt. Igazoljuk, hogy bármennyi vágás után marad legalább kett egybevágó háromszög. (AV. Sapovalov, 8 pont) 6. Elhelyezhet -e hat paralelepipedon (semely kett nek nincs közös pontja) úgy a térben, hogy valamely küls pontból egyetlen csúcsot se láthassunk? (nem átlátszóak) (V. Proizvolov, 8 pont) 7. Egy geológus expedíció 80 konzervet vitt magával. Minden doboz súlya különböz és ismert, err l van egy listájuk. Sajnos a konzervdobozok feliratai olvashatatlanná váltak. A szakács azt állítja, hogy tudja, melyikben mi van. Ezt be is tudja bizonyítani a nélkül, hogy felbontana akár csak egyet is. Ehhez csak a listára és egy kétkarú mérlegre van szüksége, mely jelzi a két oldalon lev súly különbségét. Mutassuk meg, hogy ehhez a) négy mérés elegend . b) három mérés nem elegend . (AK. Tolpygo, 4+4 pont)
59/66
Városok Viadala SENIOR, 1994-95. sz, els forduló 1. Néhány fiú és lány kering t táncol. Lehetséges-e, hogy mindegyik lány mindig el tudja táncolni a következ táncot egy szebb, vagy okosabb fiúval mint az el z volt és, hogy minden alkalommal legalább 80 %-a a lányoknak el tudja táncolni a következ táncot egy szebb és okosabb fiúval? (A fiúk és lányok száma megegyezik és mindenki táncol.) (AY Belov, 3 pont) 2. Bizonyítsuk be, hogy megszerkeszthet két háromszög egy tetsz legesen kiválasztott tetraéder hat éléb l. (VV Proizvolov, 4 pont) 3. Legyenek a, b, c és d olyan valós számok amelyekre teljesül, hogy: a 3 + b3 + c3 + d 3 = a + b + c + d = 0 . Bizonyítsuk be, hogy a négy közül valamely két szám összege 0. (LD Kurliandchik, 4 pont) 4. Egy téglalap alakú 1x10-es szalagot szétosztunk 10 darab 1x1-es négyzetre. Az 1, 2, ..., 10 számokat beírjuk a négyzetekbe a következ szabály szerint: El ször az 1-es számot elhelyezzük egy szabadon kiválasztott négyzetbe, utána a 2-es számot egy szomszédos négyzetbe majd a 3-as számot egy már korábban elfoglalt mez vel szomszédos üres mez be és így tovább (10-ig). Hány különböz permutációját kapjuk meg az 1, 2, ..., 10 számoknak ily módon? (A Shen, 5 pont) SENIOR, 1994-95. sz, második forduló 1. Az x 2 + px + q = 0 egyenlet p és q együtthatóit, megváltoztattuk és az újak legfeljebb 0.001-gyel különböznek a régiekt l. Különbözhet-e az új egyenlet nagyobbik gyöke a régit l 1000-rel vagy annál többel? (3 pont) 2. Mutassuk meg hogy lehet a teret a) egybevágó tetraéderekre b) egyenl oldalú egybevágó tetraéderekre osztani. (Egy tetraédert egyenl oldalúnak nevezünk ha az összes oldala egybevágó háromszög.) (NB Vassiliev, 2+2 pont) 3. Az AD súlyvonal az ABC háromszög beírt körét (amelynek a középpontja O) az X és Y pontokban metszi. Mekkora az XOY szög ha AC = AB + AD? (A Fedotov, 4 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív a1 , a 2 , , a n számra az
2
2
1 + a1 1 + a 2 a2 a3 egyenl tlenség érvényes.
1+
an2
a1
≥ (1 + a1 )(1 + a2 )...(1 + an )
(LD Kurliandchik, 5 pont) 5. Két periodikus sorozatnak a periodusa, m és n, relatív prím egymáshoz. Legfeljebb az els hány eleme egyezhet meg a két sorozatnak? (AY. Belov, 6 pont) n 6. Legyen cn a 2 –nek az els számjegye (a 10-es számrendszerben). Bizonyítsuk be, hogy ennek a sorozatnak 13 szomszédos eleme, (ck,ck+1,....,ck+12) 57 féle lehet. (AY Belov, 7 pont) 7. A juniorok 7. feladata. Itt 8 pont.
60/66
Városok Viadala SENIOR, 1994-95. tavasz, els forduló 1. Legyenek a, b, c, d a [0,1] intervallum pontjai. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan x pont ebben az intervallumban, amelyre érvényes a következ : 1 1 1 1 40 . + + + x−a x−b x−c x−d (LD Kurliandchik, 3 pont) 2. Egy négyzet minden csúcsában egy-egy szöcske ül. Minden másodpercben az egyik szöcske átugrik egy másik szöcskén az erre a csúccsal tükrös pontba (ha az X jel az Y-on keresztül ugrik át az X’ pontba, akkor X, Y és X’ egy egyenesen vannak és XY = YX’). Bizonyítsuk be, hogy néhány ugrás után semelyik három szöcske sem lehet: a) a négyzet valamelyik oldalával párhuzamos egyenesen b) egy egyenesen. (AK Kovaldzhy, 3+3 pont) 3. Egy O középpontú körbe egy ABC háromszöget írtunk be. Legyen q az a kör amelyik az A, O és B pontokon megy keresztül. CA és CB egyenesek q-t a D és E (A és B-t l különböz ) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a CO és DE egyenesek egymásra mer legesek. (S Markelov, 4 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy az a0...09 (melyben a 0-tól különböz számjegy és melyben legalább egy 0 van) nem négyzetszám. (VA Senderov, 4 pont)
SENIOR, 1994-95. tavasz, második forduló 1. Létezik-e olyan gömb, amelyik csak egy racionális ponton halad át? (A racionális pont az olyan pont, amelynek koordinátái mind racionális számok.) (A Rubin, 4 pont) 2. Az n mely értékeire lehetséges egy n-szög alapú hasáb éleit kiszínezni három színnel úgy, hogy minden csúcsban legyen mindhárom szín él és a hasáb összes lapja –az alap és fed lap is– tartalmazzon mindhárom szín élt? (AV Shapovelov, 4 pont) 3. Egy trapéz nem párhuzamos oldalai két körnek az átmér i. Bizonyítsuk be, hogy mind a négy érint , amit az átlók metszéspontjaiból szerkesztünk a két körhöz, egyenl hosszú (ha ez a pont a két körön kívül helyezkedik el). (S Markelov, 5 pont) 4. Néhány pontot megjelöltünk a síkon, melyeknek koordinátái egész számok. Tudjuk, hogy semelyik négy pont sem fekszik egy körön. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan 1995 egységnyi sugarú kör, amelyben nincs megjelölt pont. (AV Shapovelov, 6 pont) 5. a) Osszuk fel a [0,1] intervallumot kisebb fekete és fehér intervallmokra úgy, hogy bármely legfeljebb másodfokú p(x) polinom növekményeinek összege a fekete és fehér intervallumokon egyenl legyen. (p(x) növekményén [a,b]-n p(b)-p(a) értend .) b) Felosztható-e úgy az intervallum, hogy minden legfeljebb 1995-ödfokú polinomra megmaradjon a kívánt tulajdonság? (Burkov, 4 pont) 6. Létezik-e olyan nem konvex poliéder, amelynek egyik csúcsa sem látható egy küls M pontból? (A poliéder anyaga nem átlátszó.) (AY Belov, S Markelov, 8 pont) 7. Bizonyítsuk be, hogy egy 50 tagú csoportban mindig van két ember, akiknek páros számú (a 0 is lehetséges) közös ismer se van a csoporton belül. (SI Tokarev, 10 pont)
61/66
Városok Viadala JUNIOR, 1995-96. sz, els forduló 1. Adott a síkon egy négyzet. Valaki egy láthatatlan pontot helyez el a síkon, melyet csak lát egy különleges szemüveggel. Szeretnénk eldönteni, a négyzet belsejében van-e. Ha behúzunk egy egyenest az illet megmondja, melyik oldalán van a pont, vagy azt, hogy éppen rajta van. Hány egyenesre lesz szükségünk? (3 pont) 2. Megadható-e 100 különböz pozitív egész úgy, hogy összegük és legkisebb közös többesük ugyanannyi legyen? (S. Tokarev, 3 pont) 3. Az egységnyi terület ABCD téglalapot összehajtottuk egy egyenes mentén úgy, hogy C A-hoz került. Igazoljuk, hogy a kapott ötszög területe kisebb 0,75-nél. (3 pont) 4. Az ABC háromszög A csúcsából három szakaszt húztunk. AM a bels , AN a küls szögfelez , AK a köréírt kör érint je. (M, K, N a BC oldalegyenesen vannak.) Bizonyítsuk be, hogy MK=KN. (I. Sharigin, 5 pont)
JUNIOR, 1995-96. sz, második forduló 1. Mutassuk meg, hogy minden hegyesszög háromszög belsejében kiválasztható egy pont úgy, hogy az oldalakra es vetületei éppen egy szabályos háromszöget határoznak meg. (N.B. Vasziljev, 5 pont) 2. Egy sorozat els öt eleme 1,2,3,4,5. Innen kezdve minden elem az összes el tte lev elem szorzatánál eggyel kisebb. Igazoljuk, hogy az els hetven elem szorzata egyenl négyzeteik összegével. (L.D. Kurliandcsik, 5 pont) 3. Az ABC háromszög szögfelez i legyenek AK,BL,CM. Legyen P és Q a BL és CM egyeneseinek olyan pontjai, melyekre AP=PK és AQ=QK. Mutassuk meg, 1 hogy PAQ∠ = 90° − BAC∠ . 2 (I. Sharigin, 5 pont) 4. Egy összejövetelen n ember van. Egy újságíró keresi Z-t, akir l tudja, hogy Z mindenkit ismer, de senki sem ismeri Z-t. Újságírónk tetsz legesen választhat két embert s egyikükt l megkérdezheti, ismeri-e a másikat. A válaszok igazak. (Egy ember többször is választható.) a) Biztosan megtalálhatja Z-t n-nél kevesebb kérdésb l? b) Hány kérdésre van legalább szükség Z megtalálásához? (G. Galperin, 3+3 pont) 5. Egyszer sokszögnek nevezünk egy olyan alakzatot, melynek határa egy önmagát nem metsz zárt töröttvonal. a) Van-e két egybevágó egyszer hétszög, melyeknek csúcsai közösek, de nincs közös élük? b) Van-e három ilyen hétszög? (V. Proizvolov, 5+2 pont) 6. Egy 1 × 1000 − es táblán a következ játékot játsszák. Kezdetben a tábla mellett van egy dobozban n korong. Felváltva lép A és B. El ször az A játékos kiválaszt legfeljebb 17 korongot akár a tábláról, akár a dobozból s elhelyezi ket üres mez kbe. Minden mez be legfeljebb egy korong kerülhet. A B játékos tetsz legesen sok korongot levehet, melyek egymást követ mez kön állnak s visszateszi ket a dobozba. A játékot A nyeri, ha mind az n korong felkerül a táblára, ráadásul mind szomszédos mez kön vannak. a) Mutassuk meg, hogy A gy zhet, ha n=98. b) Mi a legnagyobb n, melyre A nyerni tud? (A. Sapovalov, 4+5 pont)
62/66
Városok Viadala JUNIOR, 1995-96. tavasz, els forduló 1. Egy hegyesszög háromszög minden szöge fokokban mérve egész és a legkisebb szög a legnagyobbnak egyötöde. Mekkorák a szögek? (G. Galperin, 2 pont) 2. Létezik-e olyan pozitív egész n melyre az alábbi három szám: a) n-96, n, n+96; b) n-1996, n, n+1996 mindegyike pozitív prím? (V. Senderov, 2+2 pont) 3. Az ABC derékszög háromszög beírt körének meghúzzuk azon érint it, melyek mer legesek az AB átfogóra. Ezek az átfogón kimetszik a P és Q pontokat. Mekkora a PCQ∠ ?
(M. Evdokimov, 4 pont) 4. a) Rajzoljunk olyan körbeírható hurkolt hatszöget, mely önmagát a lehet legtöbb pontban metszi. b) Igazoljuk, hogy ennél több önmetszés nem lehet. (N.B. Vasziljev, 3+3 pont) 5. Egy 10 × 10 − es táblán ketten játszanak. Az els minden lépésben egy üres mez re tesz egy X-et, a második egy O-t. Ha mind a 100 mez elfogyott megszámolják, hány helyen van a táblán öt szomszédos X. Ezek lehetnek sorban, oszlopban, vagy átlóban. (pl. ha egy sorban 7 egymást követ X van, akkor az 3-nak számít.) Ez legyen az els játékos száma. Hasonlóan az Okat nézve kapjuk a második játékos számát. Az nyer, akinek a száma nagyobb, egyenl ség esetén döntetlen. Van-e az els játékosnak (a) nem veszt , (b) nyer stratégiája? (A. Belov, 3+3 pont) JUNIOR, 1995-96. tavasz, második forduló 1. Igazoljuk, ha az a, b, c pozitív számokra a2+b2-ab=c2, akkor (a-c)(b-c)≤0. (A. Egorov, 3 pont) 2. Az O és O’ középpontú közös pont nélküli körök egyik bels érint je a köröket rendre az A, A’ pontokban érinti. Az OO’ szakasz a köröket rendre B, B’ pontokban metszi. Legyen AB és A’B’ egyeneseinek metszéspontja C. Az OO’-re mer leges C-n áthaladó egyenes D-ben metszi az AA’ egyenesét. Bizonyítsuk be, hogy AD=A’D (3 pont) 3. Van sorban 1996 számunk. Mutassuk meg, hogy kiválasztható néhány szomszédos úgy, hogy összegük egy egész számhoz 0,001-nél közelebb van. (A. Kanel, 3 pont) 4. Egy bástya áll egy n×m-es tábla egyik sarkánál. Két játékos felváltva mozgatja a figurát, mely eközben befesti azokat a mez ket, melyek fölött elhalad, ill. melyeken megáll. A bástya nem haladhat el befestett mez fölött s nem is állhat meg ilyenen. Aki nem tud lépni veszt. Melyik játékosnak van nyer stratégiája és hogyan kell játszania? (B. Begun, 5 pont) 5. 8 diák gondolkozott 8 feladaton. ( Mindenkinek ugyanaz a 8.) a) Minden feladatot 5 diák oldott meg. Igazoljuk, hogy található két diák úgy, hogy minden feladatot megoldotta valamelyikük. b) Minden feladatot 4 diák oldott meg. Bizonyítsuk be, lehetséges, hogy nincs két ilyen diák. (S. Tokarev, 3+3 pont) 6. Az ABC szabályos háromszög AB oldalának A-hoz legközelebbi n-edel pontja D. n −1
Legyenek a P1, P2. … , Pn-1 a BC oldal n-edel pontjai. Igazoljuk, hogy i =1
DPi A∠ = 30° , ha a)
n=3; b) n>2. (V. Proizvolov, 3+5 pont) 63/66
Városok Viadala SENIOR, 1995-96. sz, els forduló 1. Adott a síkon egy négyzet. Valaki egy láthatatlan pontot helyez el a síkon. Szeretnénk eldönteni, a négyzet belsejében van-e. Ha behúzunk egy egyenest az illet megmondja, melyik oldalán van a pont, vagy azt, hogy éppen rajta van. Hány egyenesre lesz szükségünk? (3 pont) 2. Megadhatunk-e a) négy; b) öt különböz pozitív egészet úgy, hogy bármely három szám összege prím legyen? (V. Senderov, 2+2 pont) 3. Egy 6 jegy szám balról számított els jegye 5. Tudunk minden esetben a szám után írni további hat jegyet úgy, hogy a kapott szám négyzetszám legyen? (A. Tolpygo, 3 pont) 4. Adott a síkon három különböz pont, A, B és C. Szerkesztend C-n át olyan m egyenes, melyt l A és B távolságainak szorzata a lehet legnagyobb! Igaz-e, hogy a ponthármas egyértelm en meghatározza m-et? (N.B. Vasziljev, 5 pont)
SENIOR, 1995-96. sz, második forduló 1. Az ABCD konvex négyszög bels pontja P. Az APB ∠ , BPC∠ , CPD∠ és DPA∠ szögfelez i az AB, BC, CD, DA szakaszokat rendre a K, L, M, N pontokban metszik. a) Adjunk meg egy olyan P pontot, melyre KLMN paralelogramma. b) Adjuk meg az ilyen P-k mértani helyét! (S. Tokarev, 3+2 pont) 2. Legyen n db valós szám szorzata p, p-nek mind az n számtól való különbsége páratlan egész. Igazoljuk, hogy mind az n szám irracionális! (G. Galperin, 5 pont) 3. Egy téglalap oldalai a és b (a>b). Feldaraboljuk derékszög háromszögekre úgy, hogy bármely kett nek van egy közös oldala, vagy egy közös csúcsa, vagy nincs közös pontjuk. Még azt is tudjuk, hogy minden közös oldal a két szomszédos háromszög egyikében befogó, a másikban pedig átfogó. Bizonyítsuk be, hogy a ≥ 2b . (A. Sapovalov, 5 pont) 4. Egy Forma 1-es verseny célegyenesében a néz tér els sorában 1000 szék van sorban számozva 1-t l 1000-ig. Ebbe a sorba n jegyet adtak el, 100
64/66
Városok Viadala SENIOR, 1995-96. tavasz, els forduló 1. Megkérdeznek 100 embert: „Az új elnök jobb lesz-e, mint a régi volt?” Jelölje a „jobb lesz” válaszok számát a, az „egyformák” válaszok számát b, a „rosszabb lesz” válaszok számát c. Szociológusok kiszámolják a lakosságra jellemz optimizmus indexeket: m=a+0,5b és n=a-c. Tudjuk, hogy m=40. Mennyi lehet n? (A. Kovaldji, 3 pont) 2. Az 1,2, …, 9 számokat valamilyen sorrendben leírva alkotunk egy 9 jegy számot. Tekintsük a szomszédos hármasok alkotta hét darab háromjegy szám összegét. Legfeljebb mekkora lehet ez az összeg? (A. Galocskin, 3 pont) 3. Vegyük az 1!, 2!, …. ,100! számokat. Kiválasztható-e közülük egy úgy, hogy a megmaradtak szorzata négyzetszám legyen? (S. Tokarev, 4 pont) 4. Kitölthet -e a tér szabályos tetraéderekkel és oktaéderekkel? (A. Belov, 4 pont) 5. Az ABC háromszög oldalaira kifele négyzeteket rajzolunk, ezek ABMN, BCKL, ACPQ. Az ABMN és BCKL területének különbsége d. Határozzuk meg az NQ és PK oldalú négyzetek területeinek különbségét, (a) ha ABC∠ = 90° ; (b) tetsz leges háromszögnél. (A. Gerko, 3+2 pont)
65/66
Városok Viadala SENIOR, 1995-96. tavasz, második forduló 1. Elhelyezhet -e egy kocka a térben úgy, hogy csúcsainak egy adott síktól való távolságai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7 legyen? (V. Proizvolov, 4 pont) 2. Az xy koordinátarendszerben adott a C középpontú 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 négyzet. A küls M pont koordinátái nem egészek. M-b l indul egy szöcske, arra a pontra ugrik, mely M tükörképe a négyzet „legbaloldalibb” csúcsára nézve, a szöcske néz pontjából. (Képzeljük el, hogy M-ben állunk és vesszük a csúcsok felé futó irányokat. Ezek közül választjuk a leginkább balra futót.) Legyen M és C távolsága d. Bizonyítsuk be, hogy akárhányszor ugrik is a szöcske, soha nem kerül 10d-nél távolabb C-t l. (A. Kanel, 5 pont) 3. Az ABC háromszögben AB=AC, BAC∠ = α . Legyen D az AB szakasz olyan pontja, melyre AD=AB/n. Legyenek a P1, P2. … , Pn-1 a BC oldal n-edel pontjai. Mekkora lesz α n −1
függvényében i =1
DPi A∠ , ha (a) n=3; (b) n>2. (V. Proizvolov, 3+4 pont)
4.
Katonaországban két szigorú törvény van:
i) Mindenki, aki szomszédjainak legalább 80%-ánál alacsonyabb, mentesül a katonai szolgálat alól. Szomszéd alatt értünk mindenkit, akinek lakhelye r-nél közelebb van. ii) Mindenki, aki szomszédjainak legalább 80%-ánál magasabb, szolgálhat a rend rségnél. Szomszéd alatt értünk mindenkit, akinek lakhelye R-nél közelebb van.
Szerencsére minden ember maga választhatja meg, mekkora sugarú legyen a saját r és R szomszédsága, ez lehet akár minden embernél más és más. Lehet-e, hogy az ország legalább 90%-a mentesül a katonai szolgálat alól és ezzel egy id ben legalább 90% szolgálhat a rend rségnél? (Az emberek lakóhelye a síkon rögzített.) (N. Konstantinov, 6 pont) 5. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan n-1, n, n+1 számhármas van, melyre a) közülük csak n írható fel két négyzetszám összegeként. b) mindhárom felírható két négyzetszám összegeként. (V. Senderov, 3+5 pont) n 6. Egy 2 × n -es táblázat minden mez jében +1, vagy –1 van úgy, hogy nincs két azonos sor. Kés bb néhány számot 0-ra változtattak. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható néhány sor úgy, hogy a) a kiválasztott sorokban álló összes szám összege 0. b) a kiválasztott sorok minden oszlopában a számok összege 0. (G. Kondakov, V. Csernorutszkij, 4+5 pont)
66/66
