Városok Viadala

Városok Viadala

Városok Viadala 1980-95. JUNIOR 1980. 1. Egy kör kerületén piros és kék pontok vannak. Kijelölhetünk egy új piros pontot, miközben két szomszédja színt vált. Ki is vehetünk egy meglév piros pontot, szomszédai ekkor is átszínez dnek. Igazoljuk, hogy ha kezdetben két piros pont volt, akkor nem juthatunk a fenti lépésekkel olyan helyzetbe, hogy két kék legyen. (K. Kazarnovskij) 2. Egy n×n-es számtáblázatban minden sor különböz (legalább egy helyen eltérnek). Mutassuk meg, hogy eltávolítható egy oszlop úgy, hogy a megmaradt táblázatban se legyen két azonos sor. (A. Andjans) 3. Keressük meg a 2,3,4, … ,102 számok mindazon a1,a2, … ,a101 sorrendjeit, melyekre minden k esetén ak osztható k-val. 4. Az ABCD konvex négyszög minden oldalát N egyenl részre osztottuk. A szemközti oldalak megfelel osztópontjait összekötjük, így N2 darab kis négyszöget kaptunk. Kiválasztunk közülük N darabot úgy, hogy közülük semelyik kett se legyen azonos sávban. (Sáv: Tekintsünk egy szemköztes oldalpáron két-két megfelel , szomszédos osztópontot. Az összeköt szakaszok között elhelyezked n darab kis négyszög alkot egy sávot.) Igazoljuk, hogy a kiválasztott négyszögek területének összege az ABCD négyszög területének N-ed része. (A. Andjans) 5. Egy egységnégyzet belsejében van véges sok szakasz, melyek összhossza 18. A szakaszok végpontjai lehetnek a négyzet határán és ezek is a szakaszokhoz tartoznak. Mindegyik párhuzamos a négyzet valamely oldalával és metszhetik is egymást. A négyzetet a szakaszok tartományokra bontják. Mutassuk meg, hogy van a négyzetben olyan tartomány, melynek területe legalább 0.01. (A. Berzinsh) SENIOR 1980. Az 1-2. és 4-5. feladatok azonosak a juniorokéval. 3. Adott a három dimenziós térben 30 darab nem nulla vektor. Mutassuk meg, hogy van köztük kett , melyek szöge kisebb 45°-nál.

1

Városok Viadala JUNIOR 1981. 1. Keressük meg a következ egyenlet egész megoldásait, ahol k 1-nél nagyobb egész: yk = x2 + x . ( 3 pont) 2. Legyen M egy véges síkbeli pontrendszer. Nevezzük a sík egy O pontját M majdnemközéppontjának, ha elvehet M-b l egy pont úgy, hogy a maradék O-ra középpontosan szimmetrikus. Hány majdnem-középpontja lehet egy véges pontrendszernek a síkon? Mutassunk erre példát is. (V. Prasolov, 7 pont) 3. Az ABCD húrnégyszög átlói mer legesek, köréírt körének középpontja O. Igazoljuk, hogy az AOC töröttvonal a négyszög területét felezi. (V. Varvakin, 5 pont) 4. 64 asszonyság mindegyikének van egy pletykája. Telefonálgatnak egymásnak és kicserélik az összes általuk ismert pletykát. Minden hívás pontosan 1 órás. Mennyi id kell ahhoz, hogy mindenki minden pletykát megtudjon? (A. Andjans, 8 pont) 5. A végtelen síkon két játékos a következ t játssza. Van 51 bábu: 50 bárány és egy farkas. Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel. Minden lépés iránya tetsz legesen választható, de hossza legfeljebb egy méter lehet. A játékosok felváltva lépnek. Igaz-e, hogy a farkas mindig elkaphat legalább egy bárányt, ha X kezd? (16 pont)

2

Városok Viadala SENIOR 1981. 1. Két testet felületszomszédosnak nevezünk, ha nincs közös bels pontjuk és van egy-egy lapjuk, melyek közös része egy sokszög. Lehetséges-e, hogy 8 tetraéder közül bármely kett felületszomszédos? (A. Andjans, 7 pont) 2. A végtelen síkon két játékos a következ t játssza. Van k+1 bábu: k darab bárány és egy farkas. Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel. Minden lépés iránya tetsz legesen választható, de hossza legfeljebb egy méter lehet. A játékosok felváltva lépnek. Igaz-e, hogy k minden értékéhez létezik olyan kezd elrendezés, melyb l indulva a farkas sohasem kaphat el bárányt, ha X kezd? (10 pont) 3. Igazoljuk, hogy minden pozitív valós szám felírható 9 olyan szám összegeként, melyeknek (tízes számrendszerbeli alakjában) csak kétfajta jegye lehet, 0 és 7. (E. Turkevich, 5 pont) 4. K asszonyság mindegyikének van egy pletykája. Telefonálgatnak egymásnak és kicserélik az összes általuk ismert pletykát. Minden hívás pontosan 1 órás. Mennyi id kell ahhoz, hogy mindenki minden pletykát megtudjon? a) K=64. b) K=55. c) K=100. (A. Andjans, 5+7+12 pont) 5. Egy végtelen négyzethálós lapon hat mez t az ábra szerint kijelöltünk. Néhány mez re figurákat tettünk. Ezek helyzete megváltoztatható: ha egy figura mez jének fels és jobb oldali szomszédja üres, akkor a figurát levehetjük, miközben az említett két mez re egy-egy új figurát helyezünk. Szeretnénk a kijelölt mez kr l eltávolítani a figurákat. Lehetséges-e ez, ha: a) kezdetben hat figura van, minden kijelölt mez n egy? (8 pont) b) kezdetben egy figura van a bal alsó sarokmez n? (M. Kontsevics, 8 pont)

3

Városok Viadala JUNIOR 1982. 1. Határozzuk meg mindazon természetes számokat, melyek 30-cal oszthatók és pontosan 30 osztójuk van. (M. Levin, 5 pont) 2. Egy négyszög minden oldala és átlója rövidebb 1 méternél. Igazoljuk, hogy letakarható egy 0.9 méter sugarú körrel. (5 pont) 3. Legyen {ak} 1-nél nagyobb különböz pozitív egészek végtelen sorozata. Mutassuk meg, hogy van 100 olyan elem, melyre ak>k. (A. Andjans, 6 pont) 4. Egy országban 101-nél több város van. A f várost 100 másik várossal köti össze közvetlen légijárat. Minden más város pontosan 10 másikkal áll közvetlen légikapcsolatban. (Ez a viszony két város között kölcsönös.) Tudjuk, hogy bármely városból bármely másikba eljuthatunk, esetleg átszállásokkal. Mutassuk meg, hogy a f város járatainak fele megszüntethet úgy, hogy továbbra is bármely városból bármely másikba eljuthassunk, esetleg átszállásokkal. (IS. Rubanov, 8 pont) 5.

Az

1 1 1 1, , , ,..... 2 3 4 sorozat elemeib l kiválasztható-e olyan számtani sorozat b) 5-nél több elem (ha igen, akkor hány elem )? a) mely 5 elem ; (G. Galperin, 3+2 pont)

4

Városok Viadala SENIOR 1982. 1. a) Legyenek x1, x2 , … , xk pozitív számok (k legalább 3). Igazoljuk, hogy x1 x2 xk + + ...... + ≥ 2. x k + x 2 x1 + x 3 x k −1 + x 1 b) Mutassuk, meg, hogy az egyenl tlenség minden k esetén éles, azaz 2 a jobb oldalra írható legnagyobb szám, melyre az egyenl tlenség a változók minden értéke mellett teljesül. (A. Prokopiev, 4+3 pont) 2. Egy négyzetet k2 darab egyforma kis négyzetre osztunk. Egy töröttvonal áthalad minden kis négyzet középpontján, közben önmagát esetleg metszheti. Legalább hány szakaszdarabból áll a töröttvonal? (A. Andjans, 14 pont) 3. Legyen {ak} 1-nél nagyobb különböz pozitív egészek végtelen sorozata. Mutassuk meg, hogy van végtelen sok olyan elem, melyre ak>k. (A. Andjans, 3 pont) 4. A P(x) polinom f együtthatója 1. Természetes számoknál a helyettesítési értékei felveszik az összes 2m alakú számot (m is természetes). Igazoljuk, hogy a polinom els fokú. (8 pont) Az 5. feladat megegyezik a juniorokéval. Értéke itt 2+1 pont.

5

Városok Viadala JUNIOR 1982-83. sz 1. Egy pakliban lév 32 kártyát színek szerint egyesével sorba raktunk: makk, zöld, piros, tök, makk, zöld, piros, tök, stb. Valaki leemeli a pakli egy részét, megfordítja és a megmaradt rész két lapja közé teszi. Most a tetejér l leemelünk 4 lapot, majd újra 4-et, újra 4-et, s így tovább. Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen 4-esben négy különböz szín lesz. (A. Merkov, 12 pont) 2. Sorbaállítunk néhány tárgyat, melyek pirosak vagy kékek. Mindkét szín el fordul. Tudjuk, hogy bármely két tárgy, melyek között pontosan 10, vagy 15 másik tárgy van, azonos szín . Legfeljebb hány elemb l állhat a sor? (7 pont) 3. Legyenek m, n, k 1-nél nagyobb pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok megoldása van a következ egyenletnek: m!n!=k! . (7 pont) 4. a) Egy kört 10 pont 10 egyenl ívre oszt. Páronként összeköti ket 5 húr. Található-e köztük mindig két egyenl hosszú húr? b) Egy kört 20 pont 20 egyenl ívre oszt. Páronként összeköti ket 10 húr. Bizonyítsuk be, hogy van köztük két egyenl hosszú húr. (VV. Proizvolov, 7+12 pont) JUNIOR 1982-83. tavasz, els forduló 1. Valaki 3.5 órát gyalogolt. Bármely egy órás id tartam alatt 5 kilométert tett meg. Igaz-e, hogy átlagsebessége 5 km/h? (NN. Konstantinov, 8 pont) 2. a) Egy szabályos 4k szöget paralelogrammákra darabolunk. Igazoljuk, hogy legalább k darab téglalap lesz köztük. b) Határozzuk meg az a,-részben említett téglalapok összterületét, ha a 4k szög oldalhossza x. (VV. Proizvolov, 11+2 pont) 3. Svambrániában N város van, bármely kett közt vezet út. Az utak nem metszik egymást. Ahol találkozásuk lenne, ott az egyik út felüljárón vezet át az alatta lev másik oldalára. Egy gonosz varázsló egyirányúsítja az utakat úgy, hogy ha valaki elindul egy városból, soha ne térhessen oda vissza. Bizonyítsuk be a következ ket: a) Az adott egyirányúsítást a varázsló megteheti. b) Lesz olyan város, amelyb l bármelyik városba eljuthatunk és olyan is, amelyet nem hagyhatunk el. c) Egy és csak egy olyan út van, mely érinti az összes várost. (LM. Koganov, 3+1+5 pont) 4. Az M és K számok jegyei ugyanazok, csak más sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy: a) 2M és 2K jegyeinek összege ugyanannyi. b) M/2 és K/2 jegyeinek összege ugyanannyi, ha M és K is páros. c) 5M és 5K jegyeinek összege ugyanannyi. (AD. Lisitszkij, 4+4+2 pont) 5. Egy billiárdasztal derékszög háromszög alakú, minden csúcsnál egy-egy lyukkal. A háromszög egyik szöge 30°. Egy golyót a 30°-os csúcsnál lév lyuktól ellökünk a szemközti oldal felez pontja felé. Igazoljuk, hogy 8 ütközést követ en a golyó a 60°-os csúcsnál lév lyukba gurul. (6 pont)

6

Városok Viadala JUNIOR 1982-83. tavasz, második forduló Az 1-3. feladatok megegyeznek az els forduló feladataival. 4. A végtelen négyzethálós papíron ketten játszanak. Az els játékos beszínez egy még be nem színezett rácspontot pirosra, a második egyet kékre, s így tovább felváltva. Az els játékos célja, hogy legyen 4 piros pont, melyek négyzetet alkotnak, ahol a négyzet oldalai rácsegyenesek. A második játékos célja ennek megakadályozása. Gy zhet-e az els játékos? (DG. Azov, 18 pont) 5. Mutassuk meg, hogy 17 különböz természetes szám közül kiválasztható öt úgy, hogy vagy egyikük osztja a másik négy mindegyikét, vagy egyik sem osztja semelyik másikat. (18 pont)

SENIOR 1982-83. sz 1. Bizonyítsuk be, hogy minden 1-nél nagyobb egészre

[ n ] + [ n ] + ..... + [ n ] = [log 3

n

2n

] + [log3 n] + ..... + [logn n] .

(VV Kisil, 15 pont) 2. Létezik-e olyan (nem feltétlenül konvex) poliéder, melyben az élek teljes listája a következ : AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH. (8 pont) 3. Egy papírcsíkra egymás után 60 jelet írtak, mindegyik O, vagy X. Ezután a csíkot feldaraboljuk úgy, hogy mindegyiken a jelsorozat szimmetrikus legyen. Például: O, XX, OXXO, XOX, stb. a) Mutassuk meg, hogy így felvághatjuk 25-nél kevesebb darabra. b) Adjuk meg a jelek olyan sorozatát, mely esetén legalább 15 darabra kell vágni. c) Próbáljuk meg a (b)-beli korlátot javítani. (12+12+? pont) 4. a) Legyen egy szabályos n-szög bels pontja M, ennek az oldalegyenesekre es mer leges vetületei K1, K2, … , Kn. Bizonyítsuk be, hogy n MK1 + MK 2 + .... + MK n = MO, 2 ahol O az n-szög középpontja. (14 pont) b) Legyen M egy szabályos tetraéder bels pontja, indítsunk M-b l vektorokat az oldallapokra es mer leges vetületekhez. Mutassuk meg, hogy ezen vektorok összege 4 MO, 3 ahol O a tetraéder középpontja. (VV Prasolov,14 pont) 5. Egy város metróhálózatának terve egy önmagát metsz zárt görbe, többszörös keresztez dések nélkül. Mutassuk meg, hogy az alagút megépíthet úgy, hogy a szerelvény felváltva haladjon át a keresztez déseken alul, ill. felül. (12 pont)

7

Városok Viadala SENIOR 1982-83. tavasz, els forduló 1. Egy kör mentén elhelyeztük 1-t l 1000-ig a számokat. Mutassuk meg, hogy páronként összeköthet k a számok 500 egymást nem metsz húrral úgy, hogy minden húr végpontjainál lev számok különbsége 750-nél kisebb abszolútérték legyen. (AA. Razborov, 14 pont) 2. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain találhatók rendre a P, M, K pontok. AM, BK és CP egy ponton mennek át, továbbá AM + BK + CP összeg nullvektor. Bizonyítsuk be, hogy ekkor P, M, K az oldalak felez pontjai. (8 pont) 3. Svambrániában N város van, bármely kett közt vezet út. Az utak nem metszik egymást. Ahol találkozásuk lenne, ott az egyik út felüljárón vezet át az alatta lev másik oldalára. Egy gonosz varázsló egyirányúsítja az utakat úgy, hogy ha valaki elindul egy városból, soha ne térhessen oda vissza. Bizonyítsuk be a következ ket: a) Az adott egyirányúsítást a varázsló megteheti. b) Lesz olyan város, melyb l bárhova eljuthatunk és olyan is, melyet nem hagyhatunk el. c) A varázsló N! módon valósíthatja meg tervét. (LM. Koganov, 2+1+4 pont) 4. Néhány fiú körben ül. Mindenkinél van páros sok cukorka. Egy jelre mindenki a nála lev cukorkák felét átadja a jobb oldali szomszédjának. Ha ezután valakinek páratlan sok lenne, kap egyet a kör közepén lev kupacból. Az eljárást tovább ismételgetjük. Mutassuk meg, hogy el bbutóbb minden fiúnál ugyanannyi cukor lesz. (A. Andjans, 7 pont) 5. Egy szabályos k-szög belsejében választunk egy olyan pontot, melynek mer leges vetületei az oldalak bels pontjai. A vetületek az oldalakat 2k kis szakaszra vágják. Számozzuk meg sorban 1-t l 2k-ig a szakaszokat. Igazoljuk, hogy a páratlan sorszámú szakaszok összhossza egyenl a páros sorszámúakéval. (A. Andjans, 6 pont) SENIOR 1982-83. tavasz, második forduló Az 1-3. feladatok megegyeznek az els forduló 1-3. feladataival. 4. a) A végtelen négyzethálós papíron ketten játszanak. Az els játékos beszínez egy még be nem színezett rácspontot pirosra, a második egyet kékre, s így tovább felváltva. Az els játékos célja, hogy legyen 4 piros pont, melyek négyzetet alkotnak, a négyzet oldalai rácsegyenesek. A második játékos célja ennek megakadályozása. Gy zhet-e az els játékos? b) Mi lesz kérdésünkre a válasz, ha a második játékos minden alkalommal két rácspontot is beszínezhet? (DG. Azov, 12+30 pont) 5. Egy szabályos n-szög k csúcsát kiszínezzük. A színezést majdnem egyenletes-nek nevezzük, ha teljesül a következ : Legyen M a sokszög m darab, szomszédos csúcsának a halmaza, ugyanilyen halmaz legyen N is. Az M-ben és N-ben lev beszínezett csúcsok száma tetsz leges m-re legfeljebb eggyel térhet el. Mutassuk meg, hogy minden n, k számpárra (n ≥ k) létezik majdnem egyenletes színezés és ez elforgatás erejéig egyértelm . (M. Kontsevics, 30 pont)

8

Városok Viadala JUNIOR 1983-84. sz 1. Az ABCD négyzet belsejében található az M pont. Bizonyítsa be, hogy az ABM, BCM, CDM és DAM háromszögek súlypontjai egy négyzetet határoznak meg. (V. Prasolov, 4 pont) 2. Keressük meg az összes olyan k természetes számot, ami el állítható két 1-t l különböz relatív prím összegeként. (8 pont) 3. Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalai és az átlók felez pontjait összeköt szakasz. (IZ. Titovich, 12 pont) 4. a1, a2, a3, … egy természetes számokból álló monoton növekv sorozat. Minden k-ra teljesül, hogy aak = 3k . Keressük meg a100-at. (A. Andjans, 12 pont) 2 5. Egy N×N-es sakktáblán N darab lovat helyeztünk el. Lehetséges-e olyan átrendezés, hogy bármely két figura, ami ütésben áll, az átrendezés után szomszédos mez kön legyenek (azaz a mez knek legalább egy határos pontja legyen)? Vizsgáljunk meg két esetet: a) N = 3; b) N = 8. (S. Stefanov, 2+12 pont) JUNIOR 1983-84. tavasz, els forduló 1. 175 müty r drágább, mint 125 bigyó, de olcsóbb, mint 126 bigyó. Igazoljuk, hogy nem vásárolhatunk 3 müty rt és 1 bigyót 80 forintért. (S. Fomin, 3 pont) 2. Az ABCDE konvex ötszögben AE = AD, AB = AC, és a CAD szög egyenl az AEB és az ABE szögek összegével. Bizonyítsuk be, hogy a CD szakasz az ABE háromszög AM súlyvonalának kétszerese. (3 pont) 3. Tekintsük egy N×N-es négyzetrács szélén lev 4(N-1) négyzetet. Beírható-e 4(N-1) szomszédos egész úgy az egyes mez kbe, hogy minden az átlókkal párhuzamos oldalú téglalap sarokmez iben lev számok összege ugyanannyi legyen? Maga a két átló is elfajult téglalapnak számít, itt a kérdéses összeg a két mez ben álló számok összege. Vizsgáljuk meg a következ eseteket: a) N=3; b) N=4; c) N=5. (VG. Boltyanszkij, 2+3+4 pont) 4. Az N természetes szám számjegyeinek szorzatát jelölje P(N). Számjegyeinek összegét jelölje S(N). Hány megoldása van az alábbi egyenletnek: P(P(N)) + P(S(N)) + S(P(N)) + S(S(N)) = 1984. (4 pont) 5. Adott egy végtelen négyzethálós lap, egy egységnyi oldalú négyzetekkel. Két négyzet közötti távolságot úgy határozzuk meg, mint a legrövidebb út hossza az egyik ilyen négyzetb l a másikba, ha úgy haladunk közöttük, mint a sakkban a bástya. Határozza meg a legkevesebb színt, amelyikkel kiszínezhet a lap (minden négyzet egyszín ) oly módon, hogy minden négyzetpár, amelyek között a távolság hat egységgel egyenl , más szín . Adjon egy példát a színezésre és bizonyítsa be, hogy kevesebb színnel a kívánt cél nem érhet el! (AG. Pechovskij, IV. Itenberg, 8 pont)

9

Városok Viadala JUNIOR 1983-84. tavasz, második forduló 1. Megegyezik az els forduló 5. feladatával. 2. Egy tánccsoportban 15 fiú és 15 lány egymással párhuzamosan sort alkot, vagyis 15 pár alakul. Egyik párban sem több a fiú és a lány közötti magasságbeli különbség 10 centiméternél. Bizonyítsuk be, hogy ha a fiúk és a lányok mindkét sorban nagyság szerint csökken sorrendben állnának, akkor a magasságbeli különbség minden újonnan alakult párban legfeljebb 10 centiméter lenne. (AG. Pechovskij, 8 pont) 3. Megegyezik az els forduló 3. feladatával. 4. Mutassa meg, hogyan lehet szétvágni egy egyenl szárú derékszög háromszöget hozzá hasonló háromszögekre oly módon, hogy bármely két ilyen háromszög különböz méret . (AV. Savkin, 12 pont) 5. Két pár szomszédos természetes szám (8, 9) és (288, 289) a következ tulajdonságokkal rendelkezik: mindegyik párban, mindegyik számban, mindegyik prímtényez legalább a második hatványon szerepel. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen pár van. (A. Andjans, 12 pont)

10

Városok Viadala SENIOR 1983-84. sz 1. Adott az ABCD négyzet CB és CD oldalán M és K pont, melyekre a CMK háromszög kerületének hossza a négyzetoldal kétszeresével egyezik meg. Mekkora az MAK szög? (7 pont) 2. Tekintsük az összes 9-jegy számot, melyeknek számjegyei valamilyen sorrendben a számok 1-t l 9-ig. Két ilyen szám egymás „párja”, ha összegük 987654321. a) Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 ilyen számpár van! ((a,b) és (b,a) egy párnak számít) b) Bizonyítsuk be, hogy a párok száma páratlan szám! (G. Galperin, 14 pont) 3. Az ABC háromszög körülírt körének középpontja, O, a háromszögön belül helyezkedik el. O-ból mer legeseket bocsátunk az oldalakra, ezek meghosszabbítva a köréírt kört K, M, P pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy OK + OM + OP = OI , ahol I a háromszög beírt körének középpontja. ( V. Galperin, 10 pont) 4. a1, a2, a3 ... egy monoton növekv , természetes számokból álló sorozat. Tudjuk, hogy minden k-ra aak = 3k . Határozzuk meg a1983-at! (A. Andjans, 8 pont) 5. Adva van egy minden irányban végtelen sakktábla, ezen bizonyos mez k halmazát jelölje A. Egy-egy királyt helyezünk el minden olyan mez re, mely nem tartozik A-hoz. A királyokat a következ képpen mozgathatjuk: minden mozgatás során vagy helyben maradnak, vagy egy olyan szomszédos mez re lépnek, amit esetleg a lépés végrehajtása el tt egy másik király foglalt el. Minden mez n csak egy király állhat. Létezik-e olyan k szám, melyre k mozgatás után minden mez n állni fog egy király, ha a) A olyan mez k összessége, melyek koordinátái 100-zal oszthatók. ( A mez ket egy függ leges és egy vízszintes számegyenes által meghatározott, egész számokból álló számpár egyértelm en meghatározza.) (9 pont) b) A olyan mez k összessége, amelyeket 100 tetsz legesen megadott királyn üt illetve lefed. (5 pont) Megjegyzés: Ha A-t 1 mez alkotja, akkor k=1, és az eljárás a következ : a mez vel egy sorban lév k közül a baloldaliak egyet jobbra lépnek.

11

Városok Viadala SENIOR 1983-84. tavasz, els forduló 1. 175 müty r drágább, mint 125 bigyó, de olcsóbb, mint 126 bigyó. Igazoljuk, hogy nem vásárolhatunk 3 müty rt és 1 bigyót (a) 80 forintért; (b) 100 forintért. (S. Fomin, 2+3 pont) 2. Egy tetsz leges tetraéder alapjának csúcsaiból húzzuk meg a 2-2 magasságvonalat az oldallapok háromszögeiben. Az egy oldallapon lev két talppont meghatároz egy egyenest. Bizonyítsuk be, hogy van olyan sík, mely mindhárom ilyen egyenessel párhuzamos. (I. F. Sharygin, 9 pont ) 3. Egy négyzetrácsos, 29×29-es méret papírból a rács mentén 99 db 2×2-es négyzetet vágtunk le. Bizonyítsuk be, hogy még legalább 1 db 2×2-es négyzet levágható a lap maradék részéb l. (S. Fomin, 4 pont) 4. Adott egy növekv f függvény, melyre f : [0,1] → [0,1]. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re a függvény grafikonja lefedhet n db 1/n2 terület téglalappal, melyeknek oldalai a koordinátatengelyekkel párhuzamosak. f(x) folytonos függvény az intervallumon belül, és a téglalapokhoz kerületük is hozzátartozik. ( A. Andjans, 8 pont ) 5. a) Egy 20×20-as négyzethálós lap minden négyzetén áll egy figura. Bálint mond egy d számot, és Márton átállítja a figurákat úgy, hogy minden figura legalább d távolsággal mozduljon el eredeti helyér l, és minden mez re pontosan 1 figura kerüljön. ( A távolság a négyzetek középpontjai közt mérend .) Milyen d-re valósítható ez meg? ( 4 pont) b) Mi a válasz, ha a lap mérete 21×21-es? ( S.S. Krotov, Moszkva, 4 pont) (Adjuk meg a maximális d-t, mutassunk egy megfelel mozgatást, és igazoljuk, hogy nincs ennél nagyobb d, amelyre a mozgatás kivitelezhet .)

12

Városok Viadala SENIOR 1983-84. tavasz, második forduló 1. Megegyezik az els forduló 5. feladatával. 2. Megegyezik az els forduló 2. feladatával. 3. Egy mindkét irányban végtelen hosszú folyosó egyik oldalán végtelen sok szoba helyezkedik el. A szobák egymást követ egész számokkal vannak megszámozva, és minden szobában van egy zongora. A szobákban véges sok zongorista él. (Egy szobában akár több is.) Minden nap két szomszédos szobában lakó zongorista ( pl. a k-adik és a k+1-edik ) megelégeli a másik gyakorlását, és a k-1-edik illetve a k+2-edik szobába költöznek át. Igazoljuk, hogy véges számú nap elteltével abbahagyják a költözködést. ( V. G. Ilichev, 12 pont ) 4. Megegyezik az els forduló 4. feladatával. (Nem kell feltenni a folytonosságot.) 5. Legyen p(n) egy n természetes szám partícióinak száma természetes számok összegére. A partíciók diverzitásán azt értjük, hogy hány különböz számot tartalmaznak a partíciók. Legyen q(n) n összes partíciója diverzitásának összege. ( Pl. p(4) = 5, hiszen a 4-nek 5 db. partíciója van: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1; és q(4) = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7. ) Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n-re: a) q(n) = 1+p(1)+p(2)+p(3)+...+p(n-1), ( 9 pont ) b) q(n) ≤ 2n ⋅ p(n). ( A. V. Zelevinsky, Moszkva, 3 pont) JUNIOR 1984-85. sz, els forduló 1. Az ABC háromszögben a B-nél lév szög szögfelez je az AC oldalt D pontban metszi, a Cnél lév szög szögfelez je az AB oldalt E pontban metszi. A két szögfelez O pontban metszi egymást és az OD és OE szakaszok hossza megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy vagy a BAC∠ = 60°, vagy az ABC háromszög egyenl szárú. (6 pont) 2. Egy falut négyzet alakúra terveztek és 9 háztömbb l áll, melyeknek oldalai d hosszúságúak. A háztömböket 3×3-as alakzatban építették és mindegyiküket egy beton járda veszi körül. Elindulunk a falu egyik sarkából. Melyik az a legkisebb távolság, amit meg kell tennünk, hogy visszatérjünk a kiindulási pontba, ha azt akarjuk, hogy minden járdán legalább egyszer végighaladjunk? (Moszkvai folklór, 6 pont) 3. Keressük meg a 2n + 7 = x 2 egyenlet összes megoldását, ha n és x egész szám. Bizonyítsuk be, hogy több megoldás nincs. (4 pont) 4. Egy téglalapba egy négyszöget írtunk be, melynek csúcsai a téglalap különböz oldalain találhatók. Bizonyítsuk be, hogy a beírt négyszög kerülete nem kisebb mint a téglalap átlójának a kétszerese. (V.V. Proizvolov, 8 pont) 5. Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követ háromjegy szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével. (6 pont)

13

Városok Viadala JUNIOR 1984-85. sz, második forduló Az 1-2. feladatok megegyeznek az els fordulóbeliekkel. 3. M egy síkbeli véges ponthalmaz, semely három pontja sincs egy egyenesen. Néhány pontpár közti szakaszt behúztunk, de egyik pontból sem indul egynél több. Ha létezik AB és CD egymást metsz szakasz, akkor ezt a két szakaszt elhagyjuk s helyettük behúzzuk az AC és BD szakaszokat. Ha van további metszéspont, ismét lecseréljük a szakaszokat. Lehetséges-e ezt a cserélgetést végtelenségig folytatni? (V. E. Kolosov, 6 pont) 4. Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek, amíg a többiek közönségként hallgatták ket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket? (Kanadai feladat, 12 pont) 5. Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin szín kaméleon van. Ha két különböz szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy id után minden kaméleon egyforma szín lesz? (V.G. Ilichev, 12 pont) JUNIOR 1984-85. tavasz, els forduló 1. Az ABC háromszögnek egy súlyvonala, egy szögfelez je és egy magassága egy bels O pontban metszi egymást. A szögfelez nek az a szakasza, amelyik összeköti az O pontot a csúccsal, ugyanolyan hosszú, mint a magasságnak az a szakasza, amelyik összeköti az O pontot a háromszög megfelel csúcsával. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szabályos. (3 pont) 2. Rendelkezésünkre áll 68 érme, amelyek közül semelyik kett sem egyforma tömeg . Mutassuk meg, hogyan lehet 100 méréssel megtalálni a legkisebb és a legnagyobb tömeg érmét egy kétkarú mérleg segítségével. (S. Fomin, Leningrad, 5 pont) 3. Keressük meg az ( x + y )3 = z , ( y + z )3 = x, ( z + x) 3 = y egyenletrendszer összes valós megoldását. (A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman ötlete alapján, 5 pont) 4. Három szöcske egy egyenes vonalon helyezkedik el. Minden másodpercben az egyikük ugrik egyet. Minden ugrásnál az egyik szöcske átugrik egy másik szöcskét (de nem mind a kett t). Bizonyítsuk be, hogy 1985 másodperc után a szöcskék nem kerülhetnek vissza a kiinduló helyzetbe. (Leningrádi Matematikai Olimpia, 5 pont) 5. Egy adott sorozatnak minden elemét (a második elemt l kezdve) úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az el tte lév elemet a számjegyeinek összegével. A sorozatnak az els eleme 1. Szerepel-e a sorozatban a 123 456? (S. Fomin, 5 pont)

14

Városok Viadala JUNIOR 1984-85. tavasz, második forduló 1. Egy háromszög oldalai a, b és c, γ a c oldallal szemközti szög. Bizonyítsuk be, hogy γ c ≥ (a + b) sin . 2 (V. Prasolov, 5 pont) 2. Az A szám egészrésze I(A) a legnagyobb egész szám, amelyik nem nagyobb mint A. Az A szám törtrésze, F(A), megadható az A - I(A) fejezéssel. a) Adjunk példát olyan A számra, amelyre teljesül a következ : F(A) + F(1/A) = 1. b) Lehet-e az (a)-ban kapott A racionális szám? (I. Varge, 3+5 pont) 3. Egy osztályba 32 diák jár. Alkottak 33 klubot, mindegyikben 3 f vel. Nincs két klub, melyek tagsága azonos lenne. Igazoljuk, hogy van két klub, melyeknek pontosan egy közös tagja van. (8 pont) 4. Egy négyzetet 5 téglalapra osztottunk szét úgy, hogy a 4 csúcsa 4 olyan téglalaphoz tartozik, melyeknek a területe egyenl . Az ötödik téglalapnak nincs közös pontja a négyzet oldalaival (lásd az ábrát). Bizonyítsuk be, hogy az ötödik téglalap négyzet. (5 pont) 5. Egy 10 ×10-es táblázatba beírtuk a 0, 1, 2, 3,. . ., 9 számokat úgy, hogy mindegyik szám 10szer szerepel. a) El lehet rendezni ezeket a számokat úgy, hogy minden oszlopban, vagy minden sorban legfeljebb 4 különböz szám legyen? b) Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan sor vagy oszlop, amelyik több mint 3 különböz számot tartalmaz. (L. D. Kurlyandchik, 6+6 pont) SENIOR 1984-85. sz, els forduló 1. Az ABCDEF konvex hatszögben a következ szakaszpárok párhuzamosak: AB és CF; CD és BE; EF és AD.. Igazoljuk, hogy az ACE és BDF háromszögek területei egyenl k. (5 pont) 2. Azonos a juniorok 2. feladatával. Itt 5 ponot ér. 3. Az ABC háromszög B és C csúcsánál 40°-os szög van. Legyen D a B-b l induló szögfelez és AC közös pontja. Igazoljuk, hogy BD+DA=BC. (5 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követ háromjegy szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével. (5 pont) 5. Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin szín kaméleon van. Ha két különböz szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy id után minden kaméleon egyforma szín lesz? (V.G. Ilichev, 12 pont)

15

Városok Viadala SENIOR 1984-85. sz, második forduló 1. Azonos az els forduló 1. feladatával. 2. Az a1, a2, … , a100 számok 1-100-ig az egészek valamilyen sorrendben. Definiáljuk a bi számokat: bi =

i

ak . k =1

Mutassuk meg, hogy az így kapott száz szám 100-as maradékai között lesz 11 különböz . (L. D. Kurliandcsik, 10 pont) 3. Egy szabályos tízszög minden átlóját meghúztuk. Minden csúcshoz és az átlók minden metszéspontjához odaírunk egy “+1” számot. Egy lépésben egy tetsz leges oldal, vagy átló mentén megváltoztathatom az összes szám el jelét. Elérhetjük-e, hogy minden szám “-1” legyen? (10 pont) 4. Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek, a többiek pedig közönségként hallgatták ket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket? (Kanadai feladat, 10 pont) 5. Egy 7×7-es táblára 16 darab 1×3-as lapot és egy 1×1-est tettek átfedés nélkül. Mutassuk meg, hogy az 1×1-es lap vagy a középs , vagy a tábla szélén van. (10 pont) SENIOR 1984-85. tavasz, els forduló 1. Az ABCD négyszögben AB=BC=d, a B-nél lev szög 100°, a D-nél lev pedig 130°. Mekkora a BD átló? (4 pont) 2. Az 1,2,…,1985 számokból legfeljebb hányat választhatunk ki úgy, hogy semely két kiválasztott különbsége se legyen prím? (6 pont) 3. Legyenek a, b, c valós számok. Tudjuk, hogy a+b+c>0, bc+ca+ab>0 és abc>0. Igazoljuk, hogy mindhárom szám pozitív. (6 pont) 4. Egy egyenes mentén van három szöcske. Minden másodpercben egyikük átugorja valamelyik másikat, de egyszerre nem ugornak át soha kett t. Igazoljuk, hogy 1985 ugrás után nem lehetnek a kiindulási helyzetben. (Leningrád városi versenyér l, 4 pont) 5. Egy négyzetet 5 téglalapra osztottunk szét úgy, hogy a 4 csúcsa 4 olyan téglalaphoz tartozik, melyeknek a területe egyenl . Az ötödik téglalapnak nincs közös pontja a négyzet oldalaival (lásd az ábrát). Bizonyítsuk be, hogy az ötödik téglalap négyzet. (4 pont)

16

Városok Viadala SENIOR 1984-85. tavasz, második forduló 1. Igazoljuk, hogy egy egységkocka tetsz leges síkra es mer leges vetületének területe ugyanakkora számérték , mint a kocka vetületének hossza a síkra mer leges egyenesre. (6 pont) 2. Az O középpontú kör sugara másodpercenként 360/n fokot fordul el, ahol n pozitív egész. A kiindulóhelyzetben legyen a sugár OM0. Egy másodperc múlva legyen OM1, újabb két másodperc múlva (azaz indulástól kezdve 3 másodperc múlva) OM2, újabb három másodperc múlva (azaz indulástól kezdve 6 másodperc múlva) OM3, …stb. Mely n számok esetén osztják a kört n egyenl részre az M0, M1, …, Mn-1 pontok? a) A 2 hatványai mind ilyen számok-e? b) Van-e olyan n, amelyik nem 2 hatványa? (V.V. Proizvolov, 4+4 pont) 3. Egy osztályba 32 diák jár. Alkottak 33 klubot, mindegyikben 3 f vel. Nincs két klub, melyek tagsága azonos lenne. Igazoljuk, hogy van két klub, melyeknek pontosan egy közös tagja van. (6 pont) 4. Az R sugarú félkör nem takarható le az F konvex alakzattal. Lehetséges-e, hogy F-nek két egybevágó példányával letakarható egy R sugarú kör? Mi a helyzet, ha F konkáv? (N.B. Vasziljev, A.G. Samosvat, 8 pont) 5. Egy négyzetet téglalapokra vágtunk. Néhány téglalap “láncot” alkot, ha a négyzet valamelyik oldalát az arra es mer leges vetületeik lefedik és ez a lefedés egyréteg . Azaz nincs olyan egyenes, mely a négyzet másik oldalával párhuzamos és a “lánc” két téglalapját is átszelné. a) Mutassuk meg, hogy bármely két téglalaphoz hozzávehet néhány, melyekkel együtt láncot alkotnak. b) Oldjuk meg a problémát térben, kockát téglatestekre vágva. (A lánc vetülete most valamelyik élet fedi egyréteg en.) (A.I. Goldberg, V.A. Gurevics, 12+12 pont)

17

Városok Viadala JUNIOR 1985-86. sz 1. Egy bajnokságon nyolc futballcsapat vesz részt. Minden egyes csapat pontosan egyszer játszik minden csapattal, nincsenek döntetlenek. Bizonyítsa be, hogy a bajnokság végén lehet találni négy csapatot (legyenek A, B, C és D) úgy, hogy A legy zte B-t, C-t és D-t, B csapat C-t és D-t, C pedig D-vel játszott meccsén diadalmaskodott! (3 pont) 2. A macska-egér játék során a macska az egeret üldözi az A, a B, illetve a C labirintusban. M

M K

K

M K

A B C A macska a K pontból indul, az egyik K-val szomszédos pontba lép egy ábrabeli vonalon haladva. Ezután az M pontban kezd egér mozog ugyanezen szabály szerint, majd ismét a macska következik és így tovább. Ha a macska és az egér bármikor egy helyen tartózkodik, a macska felfalja az egeret. Létezik-e a macska számára nyer stratégia, amelynek segítségével biztosan elkapja az egeret A, B, illetve C esetben? (A. Szoszinszkij, A:1 pont, B:3 pont, C:1 pont) 3. Egy osztály minden egyes tanulója a következ feladatot kapja: „Vegyünk két koncentrikus, 1 és 10 egységnyi sugarú kört! A kisebbik körhöz húzzunk három érint t, melyeknek A, B S és C metszéspontjai a nagyobbik kör belsejében vannak. Mérjük S2 A B meg ABC háromszög S területét és az S1, S2, S3 körcikkszer , A, B, C csúcsú területeket is, majd számítsuk ki S1+S2+S3–S C értékét.” Igazolja, hogy minden tanuló ugyanazt az eredményt kapja! (A.K.Tolpygo, 4 pont) S3 4. Két játékos egymással sakkozik órákat használva (ha az egyik játékos lépett, megállítja a saját óráját és elindítja ellenfeléét). Amikor a játékosok befejezték negyvenedik lépésüket, mindkét óra 2 óra 30 percet mutatott. Bizonyítsa, hogy a játék során volt olyan pillanat, amikor az egyik óra 1 perccel és 51 másodperccel mutatott kevesebbet a másiknál! Kijelenthet -e továbbá, hogy a két óraállás közötti különbség valamikor pontosan két perc volt? (S. Fomin, Szentpétervár, 4 pont) 5. Két ember fej vagy írást játszik egy-egy pénzérmével. Az egyik tízszer, a másik tizenegyszer dobja föl a sajátját. Mekkora annak a valószín sége, hogy a második érem esetén többször lesz az eredmény fej, mint az els nél? (Azok számára, akik nem járatosak a valószín ségszámítás rejtelmeiben, a kérdést az alábbi formában is feltehetnénk: „Vegyük az összes olyan 21 jegy számot, amelyeknek minden számjegye 1 vagy 2. Az esetek hányadrészében fordul el a 2-es számjegy az utolsó 11 jegy között többször, mint az els 10 között?”)

(S. Fomin, Szentpétervár, 4 pont) 6. Az X1, X2, ... sorozatban X1=0,5 és Xk+1=(Xk) +Xk minden természetes k szám esetén. Adja meg az 1/(X1+1)+1/(X2+1)+...+1/(X100+1) összeg értékének egészrészét! (A. Andjans, Riga, 10 pont) 2

18

Városok Viadala 7. A „szupersakk” fantázianev játékot 30x30-as táblán játsszák 20 különböz figurával. Minden figura saját szabályai szerint mozog, de egyik mez r l sem léphet húsznál több másikra. Egy figura leüt egy másikat, ha arra a mez re lép, ahol az éppen tartózkodik. A megengedett lépések (pl m lépés el re, n lépés jobbra) nem függnek a figurák indulási helyét l. Bizonyítsa, hogy a) Egy figura nem tud leütni egy adott mez n álló másikat több mint 20 kiindulási mez r l. b) Létezik a húsz figurának olyan elrendezése a táblán, ahol egyikük sem tud leütni egy másik figurát sem egyetlen lépésben. (A. K. Tolpygo, Kiev, 3+5 pont)























19




Városok Viadala JUNIOR 1985-86. tavasz 1. Az ABC háromszög A és B csúcsán keresztül egy-egy egyenest húzunk, amelyek a háromszöget négy részre (három háromszögre és egy négyszögre) osztják. A négy alakzat területe közül három egyenl nagyságú. Bizonyítsa, hogy e három terület közül a négyszög az egyik! (G. Galperin, A. Savin, Moszkva, 3 pont) 2. Az N természetes szám tízes számrendszerbeli alakjában minden egyes számjegy osztja N-t (a 0 számjegy nem fordul el ). Legfeljebb hányféle különböz számjegyb l állhat N?











(S. Fomin, Szentpétervár, 6 pont) 3. Egy város utcái háromféle irányúak és a várost egyenl terület szabályos háromszögekre osztják. A keresztez désekben a forgalom csak egyenesen, 120o-kal jobbra vagy balra haladhat tovább az ábrán látható módon. Kizárólag a keresztez désekben szabad kanyarodni. Két autó áll egy keresztez désben. Az egyik elindul valamelyik szomszédos keresztez dés felé, és amikor eléri, a második kocsi is kezd haladni felé. Ett l a pillanattól fogva azonos sebességgel mozognak, ám nem feltétlenül kanyarodnak ugyanarra. El fordulhat-e, hogy valamikor találkoznak? (N. N. Konsztantinov, Moszkva, 4 pont) 4. Az ABCD négyzet AB és CD oldalán rendre adottak a K és L pontok, a KL szakaszon pedig adott az M pont. Igazolja, hogy az AKM és MLC háromszögek köréírt köreinek M-t l különböz metszéspontja az AC átlóra esik. (V. N. Dubrovszkij, 5 pont) 5. Egy bajnokság els napján a részt vev húsz futballcsapat mindegyike egy-egy meccset játszik, majd másnap egy-egy újabb összecsapás következik. Bizonyítsa, hogy a második nap után kiválasztható tíz csapat úgy, hogy nincs közöttük kett , amelyek már játszottak egymással.



































(S. A. Genkin, 6 pont) 6. „A sziszifuszi munka”: Egy dombra felvezet lépcs 1001 fokból áll, közülük néhányon egy-egy kavics található. Sziszifusz felemel egy kavicsot az egyik fokról, majd a fölötte lev legközelebbi üres fokra helyezi. Ezután ellenfele, Aid egy fokkal lejjebb gurít egy kavicsot, amelynek a lépcs foka alatt közvetlenül üres fok következik. A lépcs n található összesen 500 kavics a legalsó 500 lépcs fokon helyezkedik el. Sziszifusz és Aid felváltva rakosgatják a kavicsokat, Sziszifusz lép els ként. Célja, hogy a legfels fokra tegye az egyik kavicsot. Megakadályozhatja ezt Aid? (S. Jeliszejev, 8 pont) 7. Egy osztályban harmincan elhatározzák, hogy meglátogatják egymást. Minden egyes diák egy este során több látogatást tehet, ám otthon kell maradnia, ha aznap vendéget vár. Igazolja, hogyha mindenki meg akar látogatni mindenkit, a) négy este nem elég, b) öt este nem elég, c) tíz este elégséges, d) hét este is elég. (3+3+3+3 pont)























20

Városok Viadala SENIOR 1985-86. sz 1. Adott egy konvex négyszög és belsejében egy M pont. A négyszög kerülete legyen l, átlóinak hossza e és f. Mutassuk meg, hogy M-nek a csúcsoktól való távolságainak összege nem nagyobb, mint l+e+f. (V. Prasolov, 3 pont) 2-3-4. Megegyezik a juniorok 4-5-6. feladatával. Itt csak 3-7-7 pont. 5. a) Az A1A2A3......An konvex poligon bels pontja O.Tekintsük az összes AiOAj szöget, ahol i és j két különböz egész 1 és n között. Bizonyítsuk be, hogy ezek közül legalább n-1 nem hegyesszög. b) Ugyanez a probléma n csúcsú konvex poliéderre. (V. Boltyanszkij, 8+4 pont) 6. Az ABC háromszög A-ból induló magasságának talppontja H, B-b l induló szögfelez jének talppontja E. Tudjuk, hogy a BEA szög 45° . Igazoljuk, hogy EHC∠ = 45° .














(I. Sharygin, 10 pont) 7. A „szupersakk” fantázianev játékot 100x100-as táblán játsszák 20 különböz figurával. Minden figura saját szabályai szerint mozog, de egyik mez r l sem léphet húsznál több másikra. Egy figura leüt egy másikat, ha arra a mez re lép, ahol az éppen tartózkodik. A megengedett lépések (pl m lépés el re, n lépés jobbra) függhetnek a figurák aktuális helyzetét l. Bizonyítsa, hogy létezik a húsz figurának olyan elrendezése a táblán, ahol egyikük sem tud leütni egy másik figurát sem egyetlen lépésben. (A. K. Tolpygo, Kiev, 5 pont)

















SENIOR 1985-86. tavasz 1.

k2 a maximumát? 1.001k

Mely k természetes szám esetén veszi fel

(4 pont) 2. A juniorok 5. feladata. Itt 4 pont. 3. Egy tetsz leges tetraéder éleit valamilyen irányítással tekintsük hat vektorként. Lehet-e összegük zérus? (4 pont) 4. Az F függvény minden valós számon értelmezett, és minden x-re F(x+1)F(x)+F(x+1)+1=0. Igazoljuk, hogy F nem folytonos. (A.I. Plotkin, 4 pont) 5. Az ABCD paralelogramma BAD szögének felez je BC-t és CD-t rendre K-ban és L-ben metszi. Tudjuk, hogy ABCD nem rombusz. Mutassuk meg, hogy a CKL háromszög köréírt körének középpontja rajta van a BCD háromszög köréírt körén. (10 pont) 6. Tudjuk, hogy a1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a 2 n −1 ≥ 0 . Igazoljuk, hogy





a12 − a 22 + a 23 − .... + a 22 n −1 ≥ (a1 − a 2 + a 3 − .... + a 2 n −1 )2 .

(L. Kurliandcsik, 8 pont) 7.

A juniorok 7. feladata. Itt 3+2+2+3 pont.

21

Városok Viadala JUNIOR 1986-87. sz 1. Adott két kétjegy szám, x és y. Tudjuk, hogy x kétszer akkora, mint y. y egyik jegye az összege, másik jegye pedig a különbsége x számjegyeinek. Keressük meg x és y lehetséges értékeit, és bizonyítsuk be, hogy más megoldás nincs. (3 pont) 2. Az ABCD négyzet és az O kör 8 pontban metszik egymást, és így négy köríves háromszög keletkezik, AEF, BGH, CIJ és DKL háromszögek. (EF, GH, IJ és KL körívek.) Bizonyítsuk be, hogy a) EF és IJ ívek hosszainak összege egyenl GH és KL ívek hosszainak összegével. b) Az AEF és CIJ íves háromszögek kerületeinek összege egyenl a BGH és DKL íves háromszögek kerületeinek összegével. (V. V. Proizvolov, 2 pont) 3. Egy játékot ketten játszanak. Van egy téglalap alakú csokoládé, ami 60 kockából áll, 6×10es elrendezésben. A tábla csokoládét csak a rácsvonalak mentén szabad eltörni. Az els játékos valahol eltöri a táblát, és megeszi az egyik részt. Ezután a másik játékos eltöri a megmaradt darabot, és is megeszi az egyik részt. Az els játékos is megismétli ezt, és így tovább. Az a játékos nyer, aki egyetlen kockát hagy meg. Ha mind a ketten jól játszanak, melyikük fog nyerni?

















(S. Fomin, 4 pont) 4. Tekintsük az 1, 2, ... , N halmaz részhalmazait! Minden részhalmazban kiszámítjuk az elemek reciprokainak szorzatát. Mennyi az így kapott szorzatok összege? (4 pont) 5. Keressük meg egy adott körbe írt háromszögek magasságpontjainak (a magasságvonalak metszéspontjainak) mértani helyét! (A. Andjans, 7 pont) 6. Egy futballbajnokságban (minden csapat mindegyik másikkal egyszer játszik, a gy zelem 2, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ér) 28 csapat vesz részt. A bajnokság alatt a mérk zések több, mint 75 %-a végz dött döntetlennel. Bizonyítsuk be, hogy a végén volt két csapat, amelyik azonos pontszámot ért el! (M. Vera, gimn. tanuló, Magyarország, 7 pont) 7. Egy sakktábla minden mez jét kékre vagy pirosra színeztük. Bizonyítsuk be, hogy a királyn tehet egy körutat az összes egyszín mez érintésével! A királyn az ilyen szín mez ket többször is meglátogathatja. Más szín mez re nem léphet rá, viszont áthaladhat felettük. A királyn vízszintes, függ leges vagy átlós irányban tetsz leges távolságot léphet. (A. K. Tolpugo, 9 pont)
































22




Városok Viadala JUNIOR 1986-87. tavasz, els forduló

(




) (

)

2

Bizonyítsuk be, hogy a minden értékére 3 1 + a 2 + a 4 ≥ 1 + a + a 2 .

1.

(2 pont) 2. Egy hegyesszög háromszögben a magasságok talppontjai egy új háromszöget alkotnak. Tudjuk, hogy ennek a háromszögnek két oldala párhuzamos az eredeti háromszög két oldalával. Bizonyítsuk be, hogy a harmadik oldal is párhuzamos az eredeti háromszög valamelyik oldalával! (2 pont) 3. Van két darab háromliteres üvegünk. Az egyik 1 liter vizet, a másik 1 liter 2 %-os sóoldatot tartalmaz. Az egyik edényb l át lehet önteni kívánt mennyiség folyadékot a másik edénybe és összekeverni ket, hogy különböz összetétel sóoldatokat nyerjünk. Ezt többször is megtehetjük. El lehet-e így állítani 1,5 %-os sóoldatot abban az üvegben, ami eredetileg vizet tartalmazott?











(S. Fomin, 3 pont) 4. Derékszög háromszög alakú csempéink vannak, melyeknek befogói 1 illetve 2 cm hosszúak. Kirakhatunk-e egy négyzetet 20 darab ilyen csempéb l? (S. Fomin, 3 pont)


JUNIOR 1986-87. tavasz, második forduló 1. Egy gép minden bedobott ötcentesért kidob öt darab egycentest, és minden egycentesért öt darab ötcentest. Lehetséges-e, hogy Péternek a gép segítségével egy id után ugyanannyi egycentes és ötcentes érméje legyen, ha az elején egy egycentese volt? (F. Nazarov, Leningrádi olimpia, 1987, 3 pont) 2. Egy nyolcszögb l valamely átlójával nyolcféleképpen vághatunk le négyszöget. Lehetségese, hogy e nyolc négyszög közül (a) négynek; (b) ötnek van beírt köre? (P. M. Sedrakjan, Jereván, 2+2 pont) 3. Egy 8×8-as sakktábla bal alsó sarkában lev 3×3-as négyzetben elhelyeztünk kilenc gyalogot. Bármelyik gyalog átugorhat egy másikat úgy, hogy a mellette lév üres mez re áll; vagyis bármelyiket középpontosan tükrözhetjük a szomszédjára. (Az ugrások vízszintesek, függ legesek és átlósak is lehetnek.) Ilyen lépésekkel kell áthelyezni a gyalogokat a sakktábla egy másik sarkába (egy másik 3×3-as négyzetbe). Áthelyezhetjük-e ket a) a bal fels sarokba? b) a jobb fels sarokba? (J. E. Briskin, 2+3 pont) 4. Az ABC hegyesszög háromszög A-nál lév szöge 60°-os. Bizonyítsuk be, hogy a B-hez és C-hez tartozó magasságok által bezárt szög valamelyik szögfelez je átmegy a körülírt kör középpontján. (V. Pogrebnyak, 12 éves tanuló, Vinnitsa, 5 pont) 5. Néhány kockát kiszíneztünk hat színnel, úgy, hogy minden kockának hat különböz szín oldala van. (A színek az egyes kockákon különféleképpen lehetnek elhelyezve.) A kockákat úgy helyeztük el egy asztalon, hogy egy téglalapot alkossanak. Megtehetjük, hogy kivesszük valamelyik oszlopot, elforgatjuk (az egészet együtt) a hosszanti tengelye körül, majd visszatesszük a téglalapba. Ugyanezt megtehetjük egy sorral is. Elérhetjük-e bármilyen kiindulási helyzetb l ilyen lépésekkel, hogy az összes kocka tetején ugyanolyan szín legyen? (D. Fomin, Leningrád, 5 pont)






































23

Városok Viadala SENIOR 1986-87. sz 1. Az ABCD trapéz átlóinak metszéspontja M. AD és BC párhuzamosak, AB mer leges ADre és a trapézba kör írható. Legyen a beírt kör sugara R. Mekkora a DCM háromszög területe?





(3 pont) 2. Megadható-e egy olyan N szám, melyre létezik N-1 darab végtelen számtani sorozat, rendre 2, 3, 4, ... , N-1 differenciákkal, úgy, hogy minden természetes szám valamelyikben szerepeljen? (3 pont) 3. Megadható-e 100 darab háromszög, melyek közül egyik sem takarható le a többi 99 segítségével? (3 pont) 4. Legyen N!!=N(N-2)(N-4).......5⋅3⋅1, ha N páratlan és N!!=N(N-2)(N-4).......6⋅4⋅2, ha N páros. Például 8!!=8⋅6⋅4⋅2 és 9!!=9⋅7⋅5⋅3⋅1. Igazoljuk, hogy 1986!!+1985!! osztható 1987-tel. (V.V. Proizvolov, 5 pont) 5. A juniorok 6. feladata. Itt 5 pont. 6. Egy sakktábla mez ire ráírtuk 1-t l 32-ig a számokat, mindegyik kétszer szerepel. Mutassuk meg, hogy kiválasztható 32 mez úgy, hogy minden sorból és oszlopból választunk legalább egy mez t, és a kiválasztott mez kön különböz számok állnak. (A. Andjans, 8 pont) 7. Egy kör kerületén adott 21 pont. Tekintsük az összes, két pont által meghatározott ívet. Bizonyítsuk be, hogy legalább 100 olyan ív van, amelynek középponti szöge kisebb 120° -nál.

















(A.F.Szidorenko, 8 pont) SENIOR 1986-87. tavasz, els forduló 1. Felírhatjuk-e 1986-ot 6 darab páratlan négyzetszám összegeként?


2. A háromdimenziós térben adott az ABCD paralelogramma és az S sík. pontoknak a távolsága S-t l a, b, c. Határozzuk meg D távolságát S-t l.


(2 pont) Az A, B, C




(2 pont) 3. A juniorok 3. feladat. Itt 2 pont. 4. Kiválasztjuk a sakktábla egyik mez jét. Vesszük a középpontjának a fekete mez k középpontjától mért távolságait s tekintjük ezek négyzetösszegét. Legyen ez s. A világos mez k középpontjaira ugyanez v. Igazoljuk, hogy s=v. (A. Andjans, 3 pont)








24

Városok Viadala SENIOR 1986-87. tavasz, második forduló 1. Legyen p(x) egész együtthatós polinom. Mutassuk meg, hogy x és y különbsége 1.

Tudjuk, hogy p(x)-p(y)=1, ahol x és y egészek.

(3 pont) 2. Egy egységsugarú kört lefedtünk hét darab azonos nagyságú körrel. Bizonyítsuk be, hogy átmér jük nem kisebb az egységnél. (3 pont) 3. Egy városban egy lakástulajdonos egy napon belül csak egy másik lakástulajdonossal cserélhet lakást. (Nem lehet több között "körbecserélés".) Bizonyítsuk be, hogy két nap alatt tetsz leges adott állapotból tetsz leges másikba juthatunk a megengedett cserékkel. (N.N. Konstantinov, 5 pont)





4.




2 3 4... ( n − 1) n < 3 .

Igazoljuk, hogy minden természetes n-re:

(V. Proizvolov, 5 pont) 5. Az ABC szabályos háromszög M bels pontjának az oldalakra es mer leges vetületei D, E, F. Határozzuk meg azon M-ek mértani helyét, melyekre DEF derékszög háromszög. (J. Tabov, 5 pont) 6. Két játékos játszik a 8×8-as sakktáblán. A kezd elhelyez egy lovat valamelyik mez re. Ezután felváltva lépkednek, de nem léphetnek már korábban érintett mez re. Aki nem tud lépni, veszt. Melyik játékosnak van nyer stratégiája? (V. Zudilin, Moldova, 12 éves diák, 6 pont) JUNIOR 1987-88. sz 1. Bizonyítsuk be, hogy minden 3-hatvány utolsó el tti számjegye páros. (V.I. Plachko, 3 pont) 2. Határozzuk meg azon M pontok mértani helyét az ABCD rombusz belsejében, amelyekre az AMB és a CMD szögek összege 180°. (5 pont) 3. Egy játékban két játékos felváltva választ egyre nagyobb természetes számokat. Ha valaki az n számot választja, a következ az n+1, n+2, ..., 2n-1 számok bármelyikét választhatja. Az els szám a 2. Az nyer, aki az 1987-et választja. Ki nyer, ha mindkét játékos a lehet legügyesebben játszik? (5 pont) 4. Van egy AC ívvel, és egy ABC töröttvonallal határolt síkidom úgy, hogy az ív és a törött vonal az AC húr ellentétes oldalán helyezkedik el. Szerkesszünk egy olyan egyenest, mely az AC ív középpontján megy át, és felezi a síkidom területét. (5 pont) 5. Adottak A, B és C nem negatív számok, amikr l tudjuk, hogy A4 + B4 + C4 ≤ 2 (A2B2 + B2C2 + C2A2). a) Bizonyítsuk be, hogy A, B és C egyike sem nagyobb, mint a másik kett összege. b) Bizonyítsuk be, hogy, A2 + B2 + C2 ≤ 2 (AB + BC + CA). c) Következik-e az eredeti egyenl tlenség a (b)-ben lév b l? (V.A. Senderov, Moszkva, 3+2+2 pont) 6. Van 2000 almánk, néhány kosárban elrendezve. Kivehet k kosarak, és/vagy a kosarakból almák. Bizonyítsuk be, hogy ekkor lehetséges az, hogy ugyanannyi alma lesz minden megmaradt kosárban, és legalább 100 alma marad összesen. (Razborov, 8 pont) 7. Három háromszögnek (egy kék, egy zöld, és egy piros) van egy közös bels pontja, M. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható minden háromszögb l egy csúcs úgy, hogy az M pont az általuk alkotott háromszög egy bels pontja. (Bárány Imre, Magyarország, 8 pont) JUNIOR 1987-88. tavasz, els forduló

































































25

Városok Viadala 1. Januárban Kolját és Vászját húszszor osztályozták az iskolában, és mindkett 20 osztályzatot kapott (ezek mindegyike legalább kettes volt). Kolja annyi ötöst kapott, mint Vászja négyest, annyi négyest, mint Vászja hármast, annyi hármast, mint Vászja kettest, és annyi kettest, mint Vászja ötöst. Ha mindkett jüknek ugyanaz az átlaga, határozzuk meg, hogy Kolja hány kettest kapott. (S. Fomin, Leningrad) 2. Az ABCD konvex négyszögben BC felez pontja M, DA felez pontja N. Az AC átló felezi MN-t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC és az ACD háromszögek területe egyenl . 3. (a) Egy szabályos tízszög csúcsait felváltva feketére és fehérre festették. Két játékos a következ játékot játssza. Egymás után húznak egy átlót, mely összeköt két azonos szín csúcsot. Ezek az átlók nem metszhetik egymást. Az gy z, aki az utolsó átlót behúzza. Ki nyer, ha mindkét játékos a legjobb stratégiával játszik? (b) Válaszoljuk meg a kérdést szabályos tizenkétszög esetén. (V.G. Ivanov) 4. Egy sakktábla négyzeteibe beírtuk a számokat 1-t l 64-ig (1-t l 8-ig balról jobbra az els sorba, 9-t l 16-ig balról jobbra a második sorba, és így tovább). A számok elé plusz, vagy mínuszjeleket írtunk úgy, hogy minden sorban és oszlopban 4-4 plusz és mínuszjel van. Bizonyítsuk be, hogy a leírt számok összege nulla.


























26







Városok Viadala JUNIOR 1987-88. tavasz, második forduló 1. Tudjuk, hogy a, b és c pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy ha a = b + c, akkor a4 + b4 + c4 egy egész szám négyzetének duplája. ( 5 pont) 2. Adott az ABC háromszög. Tükrözzük AB-re és BC-re az AC oldal egyenesét. A kapott egyenesek K-ban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy BK áthalad az ABC háromszög körülírt körének a középpontján. (V.Y. Protasov, 5 pont) 3. Keressük meg a következ egyenletrendszer valós megoldásait. (x3 + x4 + x5)5 = 3x1 (x4 + x5 + x1)5 = 3x2 (x5 + x1 + x2)5 = 3x3 (x1 + x2 + x3)5 = 3x4 (x2 + x3 + x4)5 = 3x5 (L. Tumescu, Románia, 5 pont) 4. Van egy súlykészletünk, melyben a súlyok 1 mg, 2 mg, 4 mg-osak, és így tovább, minden érték kett -hatvány. Lehetnek azonos tömeg súlyok is. Egy kétkarú mérleg mindkét oldalára tettünk néhány súlyt, melyek egyensúlyban vannak. Tudjuk, hogy a bal oldalon minden súly különböz volt. Bizonyítsuk be, hogy a jobb oldalon nem volt kevesebb darab súly, mint a baloldalon. (5 pont) 5. Lehet-e úgy befedni egy síkot körökkel, hogy minden ponton pontosan 1988 kör menjen át? (N. Vasziljev, 8 pont) 6. Vegyünk egy végtelen négyzethálós síkot, annak is csak egy negyedét. Lehetséges-e minden négyzetbe egy természetes számot írni úgy, hogy minden sorban és oszlopban ezek mindegyike pontosan egyszer szerepeljen? (V.S. Shelev, 8 pont) 7. Vegyünk egy olyan szósort, melyben a szavak két fajta bet b l állnak, A-ból és B-b l. Az els szó „A”, míg a második „B”. A k-ik szót úgy kapjuk, hogy a k-2-ik után írjuk a k-1-iket. (Tehát az els pár elem: „A”, „B”, „AB”, „BAB”, „ABBAB".) Létezik-e ebben a sorban egy olyan „periodikus” elem, pl. egy PPP…P formájú, ahol P egy olyan szó, mely minimum egyszer ismétl dik? (Megjegyzés: a BABBBABB PP formájú, ahol P pontosan egyszer ismétl dik.) (A. Andjans, Riga, 8 pont)


























27

Városok Viadala SENIOR 1987-88. sz 1. Az egységnyi oldalú ABCD négyzet A csúcsából két egyenest húzunk; az egyik felezi a BC oldalt, a másik a CD oldalt. A két egyenes által bezárt szög ϑ. A B és D csúcsokból mer legeseket bocsátunk az egyenesekre. Számítsuk ki a négy mer leges talppontja által meghatározott négyszög területét. (3 pont) 2. Egy négyzet alakú, vízzel telt medence közepén van egy fiú. Tanára, aki nem tud úszni, a medence egyik sarkánál áll. A tanár háromszor olyan gyorsan képes futni, mint ahogy a gyerek úszik, de a fiú gyorsabban fut, mint a tanár. El tud-e menekülni a fiú a tanár el l? (5 pont) 3. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan természetes a és b számpár van, amelyre teljesül, hogy a² + 1 osztható b-vel, és b² +1 osztható a-val. (5 pont) 4. Az ABC háromszögben lev M pontból mer legeseket bocsátunk a háromszög magasságaira. Tudjuk, hogy a háromszög csúcsait a hozzájuk tartozó magasságokon keletkezzett talppontokkal páronként összeköt szakaszok egyenl ek. Bizonyítsuk be, hogy e szakaszok mindegyike egyenl hosszú a háromszög beírt körének átmér jével. (5 pont) 5. Tekintsük az összes pozitív egész (A, B) számpárt, ahol B>A. Néhány párt jelöljünk feketével, míg a többit fehérrel. Meg tudjuk-e jelölni a párokat úgy, hogy bármely pozitív egész A, A+D, A+2D számhármasra, ahol D>0, teljesüljön, hogy a lehetséges számpárok (A, A+D); (A, A+2D); (A+D, A+2D) között legyen fekete és fehér is? (5 pont) 6. Egy szabályos háromszöget feldarabolunk oldalaival párhuzamos egyenesekkel egyenl oldalú, egybevágó kis háromszögekre. A háromszögek közül egy fekete, míg az összes többi fehér. Tekintünk egy egyenest, mely az eredeti háromszög oldalaival párhuzamos és átmetsz néhány kis háromszöget. Az összes átmetszett színét kicseréljük. Mindig el tudjuk-e érni ilyen lépésekkel, hogy az összes kis háromszög fehér legyen? (8 pont) 7. Tekintsünk egy várost végtelen síknak, amely egyenesekkel van felszabdalva négyzetekre. Az egyenesek utcák, a négyzetek pedig háztömbök. Egy bizonyos utcán minden századik útkeresztez désnél van egy rend r. Valahol a városban van egy b nöz , akinek a helyzete és a sebessége ismeretlen, és csak az utcákon mozoghat. A rend rök célja az, hogy lássák a b nöz t. Tudnánk-e olyan módszert javasolni a rend röknek, hogy céljukat elérjék? (A. Andjans, Riga, 8 pont)















































28




Városok Viadala SENIOR 1987-88. tavasz, els forduló 1. Ki tudunk-e választani két természetes számot, m-et és n-et úgy, hogy m számjegyeinek egyik permutációja egyenl legyen n-nel, valamint hogy m+n=999…9 teljesüljön? 2. Két egyenl szárú trapézt rajzolunk egy körbe úgy, hogy akármelyik trapézra teljesül, hogy valamennyi oldala párhuzamos a másik trapéz valamely oldalával. Bizonyítsuk be, hogy a trapézok átlói egyenl hosszúak. 3. Vegyük az összes tízjegy számot két részhalmaz uniójának: az M részhalmaz tartalmazza az olyan tízjegy eket, amelyek el állnak két ötjegy szám szorzataként, az N pedig tartalmazza az összes többi tízjegy számot. Az N vagy az M részhalmaznak van több eleme?














(S. Fomin) 4. Egy végtelen sakktáblán gyalogok vannak elhelyezve úgy, hogy egy végtelen négyzethálót alkotnak: minden sor vagy oszlop, ahol van gyalog, így néz ki: egy gyalog, három üres mez , egy gyalog, három üres mez , és így tovább, oly módon, hogy csak minden negyedik soron vagy oszlopon vannak gyalogok. Bizonyítsuk be, hogy egy huszárral nem tudjuk bejárni az összes üres mez t úgy, hogy pontosan egyszer lépünk a mez kre. (A. K. Tolpugo)











SENIOR 1987-88. tavasz, második forduló 1. Egy egyenes hat pontban metszi egy trapéz átlóit, szárait, valamint a meghosszabbított alapokat. A metszéspontok közti öt szakasz egyenl . Határozzuk meg a trapéz alapjainak (párhuzamos oldalainak) az arányát. (E.G. Gotman, 5 pont) 2. Vegyünk egy végtelen négyzethálós síkot, annak is csak egy negyedét. Lehetséges-e minden négyzetbe egy természetes számot írni úgy, hogy minden sorban és oszlopban ezek mindegyike pontosan egyszer szerepeljen?


(V.S. Shelev, 8 pont)

3. Ismert, hogy az 1 és a 2 egy egészegyütthatós polinom gyökei. Bizonyítsuk be, hogy a polinomnak van –1-nél kisebb együtthatója. (5 pont) 4. Egy kártyapakliban a kártyákon 1-30-ig szerepelnek a számok, akár ismétl dve is. Mindegyik tanuló elvesz egy kártyát. A tanár elvégezheti a következ m veletet: felolvas egy számokból álló listát (akár egytagú lista is lehet), majd felszólítja a tanulókat, hogy tegyék fel a kezüket, ha a számuk szerepelt a listán. Hányszor kell elvégeznie ezt a m veletet, hogy meghatározza az összes tanuló kártyáján szerepl számot? (Határozzuk meg a m veletek számát és bizonyítsuk be, hogy ez a lehet legkevesebb. Vegyük figyelembe, hogy nem feltétlenül 30 tanuló van.) (5 pont) 5. Egy 20x20x20-as kocka 2000 darab 2x2x1-es téglatestb l áll. Bizonyítsuk be, hogy lehetséges egy t vel úgy átszúrni a kockát, hogy az egyetlen kis téglatestet sem döf át. (A. Andjans, Riga, 8 pont) 6. Vegyük a szavak egy sorozatát, ahol a szavak A és B bet kb l állhatnak. Az els szó a sorozatban az A. A k-adik szó a (k-1)-edikb l következik oly módon, hogy mindegyik A-t kicseréljük AAB-re, és mindegyik B-t kicseréljük A-ra. Látható, hogy így minden szó a következ szónak a kezd része lesz. Így a szavak a következ bet sorozattal kezd dnek: AABAABAAABAABAAB… a) Hol lesz a sorozatban az 1000-dik A bet ? b) Bizonyítsuk be, hogy a sorozat nem periodikus. (V. Galperin, Moszkva, 4+4 pont)
































29




Városok Viadala JUNIOR 1988-89. sz, els forduló 1. Ismert, hogy a sz ke hajú emberek aránya nagyobb a kékszem ek, mint az összes ember között. Melyik a nagyobb, a kékszem ek aránya a sz kék, vagy a kékszem ek aránya az összes ember között? (3 pont) 2. Egy háromszögben két magasság nem kisebb, mint a hozzájuk tartozó oldalak. Határozzuk meg a háromszög szögeit. (3 pont) 3. Mutassa meg, hogy bármely hét ( nem feltétlenül egymást követ ) természetes szám közül ki lehet választani hármat úgy, hogy összegük osztható hárommal! (3 pont) 4. Egy kocka minden lapját felosztottuk négy egyenl részre, és mindegyik negyedet befestjük három rendelkezésre álló színb l eggyel. A szomszédos negyedek különböz szín ek. Bizonyítsa be, hogy mindhárom színt 8 negyed festésére használtuk! (3 pont)























JUNIOR 1988-89. sz, második forduló 1. Egy kocka minden csúcsára írunk 1-et vagy -1-et. A kocka minden oldalára felírjuk a hozzá tartozó négy csúcson lev szám szorzatát. Lehetséges-e, hogy a tizennégy felírt szám összege 0?





(G. Galperin, 3 pont) 2. Egy M pontot kiválasztunk az ABCD négyzet belsejében úgy, hogy MAC ∠= MCD∠ = x. Adjuk meg ABM∠-et! (3 pont) 3. Legyen a1, a2, ..., an az 1, 2, ..., n számok tetsz leges elrendezése. Legyen S=a1/1+a2/2+...+an/n. "n" milyen értékeket vehet fel ahhoz, hogy a1, a2, ..., an összes variációjára adódó S-ek között el forduljon n-t l n+100-ig minden szám? (3 pont) 4. a) Adott két azonos, tizennégy fogú fogaskerék. Egyiket a másikra fektetik úgy, hogy a fogaik fedik egymást ( így a fogak vetülete a vízszintes síkon egyezik ). Négy pár összeill fogat levágnak. Lehetséges-e mindig úgy elforgatni a két fogaskereket, hogy a közös vetületük úgy néz ki, mint egy egész fogaskeréké? (A fogaskerekeket közös tengelyük mentén lehet forgatni, de felfordítani nem tudjuk.) b) Válaszoljon ugyanerre a kérdésre 13 fogú fogaskerékkel és 4 levágott fogpárral! (3+3 pont) 5. Egy konvex n-szöget felosztottunk háromszögekre egymást nem metsz átlókkal. A következ m velet, a peresztrojka ( újjáépítés ) megengedett: ABD és BCD közös oldalú háromszögeket helyettesíthetjük ABC és ACD háromszögekkel. P(n) jelzi a legkevesebb szükséges peresztrojka számát, mellyel bármely felosztásból bármely másikba eljuthatunk. Bizonyítsa be, hogy: a) P(n)≥n-3, b) P(n)≤2n-7, c) P(n)≤2n-10, ha n≥13. (W.Thurston, D. Sleator, R.Tarjan, 2+2+3 pont) 6. Létezik-e olyan természetes szám, amely nem osztója egyetlen egy olyan természetes számnak sem, mely a tízes számrendszerben legfeljebb 1988 egyesb l és tetsz legesen sok 0-ból áll? (8 pont)




















30




Városok Viadala JUNIOR 1988-89. tavasz, els forduló 1. Az a, b, c pozitív egész számokra teljesül: a≥b≥c, és a+b+c≤1. Bizonyítsa be, hogy 2 2 a +3b +5c2≤1! (F.L. Nazarov, 3 pont) 2. Az ABC háromszögben berajzoltuk az AM súlyvonalat. Lehetséges-e, hogy ABM háromszög beírt körének sugara kétszer akkora, mint az ACM háromszög beírt körének sugara?


( D. Fomin, 3 pont) 3. Milyen számot kell beírni a kérd jel helyére a 888...88?999...99 számban (50 db. 8-as és 50 db 9-es), ha azt akarjuk, hogy a szám osztható legyen héttel? (M.I. Gusarov, 3 pont) 4. Lehet-e egy Rubik-kocka (3×3×3-as beosztású) felületén egy folyamatos vonalat rajzolni úgy, hogy minden egyes kis négyzetet egyszer keresztezünk, de a vonal nem halad át egyetlen csúcson sem? (S. Fomin, 3 pont)


31

Városok Viadala JUNIOR 1988-89. tavasz, második forduló 1. Egy lépcs házban 100 lépcs van. Kolja le szeretne menni a lépcs kön úgy, hogy felváltva le-, és felugrik a lépcs kön. A lépcs fokok száma, melyeken keresztül tud ugrani 6 (azaz 5 fölött átugrik, és a hatodikra érkezik), 7 vagy 8. Nem szeretne kétszer ugyanarra a lépcs fokra érkezni. Le tud így jönni a lépcs soron? (S. Fomin, 3 pont) 2. Egy sakktáblán áll egy gyalog. Két játékos felváltva mozgathatja úgy, hogy mindig nagyobb távolságot kell megtennie, mint az el z lépésben. Egy játékos akkor veszít, ha már nem tud lépni. Ki nyer, ha mindketten a lehet legjobb stratégiát választják? (A gyalogot mindig a négyzet közepére teszik. ) (F.L. Nazarov, 3 pont) 3. ABCD és PQRS konvex négyszögek rendre papírból, ill. kartonból készültek. Akkor "felelnek meg" egymásnak, ha a következ két állítás egyszerre igaz: I) A kartonnégyszöget rá tudjuk fektetni a papírnégyszögre úgy, hogy a csúcsai egy-egy oldalán vannak a papírnégyszögnek, és II) Ha ezután a papírnégyszög négy le nem takart háromszögét rá tudjuk hajtani a kartonra úgy, hogy teljesen lefedi. a) Bizonyítsa be, hogy ha a négyszögek megfelelnek egymásnak, akkor a papírnégyszögnek vagy van egy párhuzamos oldalpárja, vagy mer legesek az átlói. b) Mutassa meg, hogy ha ABCD egy paralelogramma, akkor mindig lehet készíteni egy négyszöget kartonból úgy, hogy megfeleljenek egymásnak. (N.Vasziljev, 2+3 pont) 4. Bizonyítsa be, hogy ha k egy pozitív páros szám, akkor fel lehet írni a számokat 1-t l (k-1)ig olyan sorrendben, hogy nincsenek olyan egymást követ számok, melyeknek összege osztható kval. (5 pont) 5. Legyen N darab vektor közös kezd pontja egy kör középpontja, végpontjaik pedig a kört N egyenl körívre osztják fel. A vektorok közül néhány piros, néhány kék. Kiszámoljuk az összes olyan szög összegét, melyeket egy kék és egy piros vektor határoz meg (a szöget az óramutató járásával ellentétesen, a pirostól a kékig mérjük), és elosztjuk a szögek számával. Mutassa meg, hogy a szögek átlaga, melyet így mértünk, 180°! (V. Proizvolov, 7 pont) 6. a) Bizonyítsa be, hogy ha 3n db csillagot elhelyezünk 3n mez n egy 2n×2n-es táblán, akkor el lehet távolítani n sort és n oszlopot úgy, hogy minden csillagot kivettünk! b) Mutassa meg, hogy el lehet helyezni 3n+1 csillagot a 2n×2n-es táblán úgy, hogy miután bárhogy eltávolítottunk n sort és n oszlopot, legalább egy csillag mindig megmarad. (K.P. Kohas, 4+4 pont)


















































32

Városok Viadala SENIOR 1988-89. sz, els forduló 1. Van-e olyan 2-hatvány, hogy a számjegyeket újrarendezve egy másik 2-hatványt kapunk?





(3 pont) 2. Legyen N az ABC háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy az ABN, ACN és BCN háromszögek köré írt körök egyenl sugarúak. (3 pont) 3. Bizonyítsuk be, hogy egy poliéder minden csúcsához hozzáírhatunk egy természetes számot úgy, hogy minden azonos élen lév csúcspár esetében a hozzáírt számok nem relatív prímek (azaz van 1-nél nagyobb közös osztójuk) és minden közös él nélküli csúcs-párnál lev számok relatív prímek (megjegyzés: végtelen sok prímszám van). (3 pont) 4. Egy négyzethálós füzet egy lapján minden kis négyzetet kifestettünk, amihez 23 színt használtunk. Egy színpárt akkor nevezünk jónak, ha vannak ilyen színekkel festett szomszédos négyzetek. Legalább hány jó pár van? (3 pont)








SENIOR 1988-89. sz, második forduló 1. Szeretnénk egy sakktáblán megjelölni minél kevesebb mez t úgy, hogy a) semelyik két megjelölt négyzetnek sincs közös oldala vagy közös csúcsa, és b) bármely jelöletlen négyzetnek van közös oldala vagy csúcsa legalább egy megjelölt négyzettel. Add meg a megjelölt négyzetek olyan konkrét konfigurációját, amelyek kielégítik (a)-t és (b)-t, és mutasd meg, hogy kevesebb számú megjelölt négyzet nem lesz elég. (A. Andjans, 3 pont) 2. Bizonyítsuk be, hogy a2pq + b2qr + c2rp < 0, ahol a, b és c egy háromszög oldalai és p + q + r = 0. (J. Mustafaev, 3 pont) 3. Adott az 1, 2,…, n egész számok egy olyan sorrendje, hogy ha k, 1 < k < n egész szám nem az els , akkor a k + 1 vagy a k – 1 egész számok egyike k-t megel zi. Az 1, 2,…, n egész számok hány sorrendje elégíti ki ezt a feltételt? (A. Andjans, 4 pont) 4. Egy országban 1988 város és 4000 út található (minden út két várost köt össze). Bizonyítsuk be, hogy van egy zárt útvonal, ami legfeljebb 20 városon halad át. (A. Razborov, 6 pont) 5. A juniorok 6. feladata. Itt 7 pont. 6. M az ABCD téglalap bels pontja és S a területe. Bizonyítsuk be, hogy S < AM⋅CM + BM⋅DM. (I. J. Goldsheyd, 7 pont) SENIOR 1988-89. tavasz, els forduló 1. Az a, b, c és d pozitív számok eleget tesznek a következ feltételeknek: a < b < c < d és a + b + c + d ≥ 1. Bizonyítsuk be, hogy a2 + 3b2 + 5c2 + 7d2 ≥ 1. (3 pont) 2. Az ABCD trapézba kör írható be. Bizonyítsuk be, hogy a szárakra mint átmér kre emelt körök érintik egymást. (D. Fomin, 3 pont) 3. Keressünk 6 olyan különböz pozitív egész számot, hogy bármely kett szorzata osztható legyen az összegükkel. (D. Fomin, 3 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 3 pont.





























33

Városok Viadala SENIOR 1988-89. tavasz, második forduló 1. Keressünk két olyan hatjegy számot, melyeket ha egymás mögé írunk, akkor olyan tizenkét jegy számot kapunk, ami osztható a két eredeti szám szorzatával. Keressük meg az összes ilyen számpárt. (M. N. Gusarov, 3 pont) 2. Az ABC háromszög belsejében lev M pontra teljesül, hogy BMC∠ = 90° + ½ BAC∠ és az AM egyenes átmegy a BMC háromszög köré írt kör középpontján. Bizonyítsuk be, hogy M az ABC háromszög beírt körének középpontja. (4 pont) 3. Adott a következ 1000 lineáris függvény : fk(x) = pkx + qk, k = 1, 2,…, 1000. Keressük az f(x) = f1(f2(f3…f1000(x)…)) összetett függvény helyettesítési értékét az x0 helyen. Segítségünkre van tetsz legesen sok számolómester. Mindegyiknek adhatunk két számot és k ezekkel végrehajtanak akármilyen aritmetikai m veletet, majd közlik az eredményt. Mi mondjuk meg nekik a kiinduló számaikat és azt is, hogy mit csináljanak velük. Egy lépésben egyszerre dolgozhatnak többen is. Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb 30 lépésben elvégezhet a számolás. (Az els lépésben használhatjuk a p1,p2 …p1000, q1,q2 …q1000, x0 számokat, a kés bbiekben az újonnan legyártottakat is.) (S. Fomin, 5 pont) 4. Egy 11 f s klubnak van egy bizottsága. A bizottság minden ülésén újjáalakul, az új tagság egy f ben tér el az el z t l (vagy egy új taggal b vül, vagy egy taggal csökken). A bizottságnak mindig legalább 3 tagja van és a klub alapszabálya szerint bármely stádiumban a bizottságnak különböznie kell minden korábbi stádium bizottságától. Lehetséges-e, hogy bizonyos id után a bizottság minden lehetséges összetétele már el fordult? (S. Fomin, 6 pont) 5. Adott N darab egyenes (N > 1) a síkon, melyek közül semelyik 2 nem párhuzamos és semelyik háromnak nincs közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy az ezen vonalak által meghatározott sík minden régiójához ki lehet jelölni egy nem 0 egész számot, amelynek abszolút értéke nem haladja meg N-et, úgy hogy a számok összege az adott vonalak bármelyikének bármely oldalán 0val egyenl . (S. Fomin, 7 pont) 6. Adott 101 téglalap, oldalaik hossza 101-nél kisebb egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ezen 101 téglalap között van 3 olyan, mondjuk A, B és C, hogy A belefér B-be, B belefér C-be.















































(N. Sedrakyan, 7 pont) JUNIOR, 1989-90. sz, els forduló 1. Három futó X, Y és Z versenyt futottak. Z beragadt a rajtnál, és utolsóként kezdett el futni, Y másodikként rajtolt. A verseny során Z hatszor cserélt helyet más versenyz vel, X ezt ötször tette meg. Tudjuk Y-ról, hogy X el tt ért a célba. Mi lett a sorrend? (3 pont) 2. Egy hegyesszög háromszög oldalainak hosszai egymást követ egész számok. Bizonyítsuk be, hogy a második leghosszabb oldalhoz tartozó magasság az oldalt két olyan szakaszra osztja, melyek hosszának különbsége 4. (3 pont) 3. Adott egy 1989 darab számból álló halmaz. Tudjuk, hogy ezek közül bármelyik 10 összege pozitív. Bizonyítsuk be, hogy mindnek az összege is pozitív! (3 pont) 4. Keressük meg az egyenlet pozitív egész megoldásait:














x+

1 1 y+ z

=

10 7

(G. Galperin, 3 pont)

34

Városok Viadala JUNIOR, 1989-90. sz, második forduló 1. Keressük meg az egyenlet megoldásait a pozitív egészek körében:








x x + 1, = 10 11 







ahol [A]

jelöli A egészrészét, pl. [2,031]=2, [2]=2 stb. (3 pont) 2. Az ABCDEF hatszög köré kör írható, AB=BC=a, CD=DE=b, és EF=FA=c. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe a hatszög területének a fele. (I. P. Nagel, 3 pont) 3. A síkot szabályos háromszögekre vágjuk, 3 irányú párhuzamos egyenesekkel (bármely két egyenes vagy párhuzamos, vagy 60°-os szöget zárnak be). Lehetséges-e, hogy találunk a háromszögek csúcsai között 4-et, melyek négyzetet alkotnak? (4 pont) 4. Adott az N természetes szám. Alkossuk az (a, b, c) pozitív egészekb l álló számhármasokat úgy, hogy a+b+c=N. Vegyük azt a legnagyobb, ilyen számhármasokból álló rendszert, ahol semelyik két számhármasnak nincs közös eleme! Jelöljük az ebben a rendszerben lev számhármasok számát K(N)-nel! Bizonyítsuk be, hogy





a)

K( N) >

N − 1 ; b) 6

K( N) <

2N . 9

(L.D. Kurliandcsik, 4 pont) 5. Egy téglalap alakú M×N-es táblát 1×1-es cellákra osztottunk. Rendelkezésünkre áll M×N darab 1×2-es dominó. Ezeket a dominókat, ill. közülük valamennyit úgy helyezünk el a táblán, hogy egy dominó 2 cellát foglal el. A végén a tábla nem teljesen lefedett, de nem tudunk egy dominót sem megmozdítani (a táblának kerete van, így a dominók nem lóghatnak le róla). Bizonyítsuk be, hogy a lefedetlen cellák száma: a) kevesebb, mint M⋅N/4; b) kevesebb, mint M⋅N/5. (2 pont) (L. D. Kurliandcsik, 4 pont) 6. Egy szabályos hatszöget felvágtunk N egyenl terület paralelogrammára. Bizonyítsuk be, hogy N osztható hárommal! (V. Prasolov, I. Sharygin, 7 pont)


35

Városok Viadala JUNIOR, 1989-90. tavasz, els forduló 1. Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n-re teljesül, hogy : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + + + ... + + ... + + + = 2n − 1 + + ... + 2 n 2 n n −1 n n 2 n





































(S. Manukian, 4 pont) 2. Legyenek c és d egymást nem tartalmazó és nem metsz egysíkú körök. C és D pontok rendre a körökön vannak, a lehet legtávolabb egymástól. Két kisebb kört szerkesztünk c és d belsejébe. Az els kis kör érinti c-t és a C-b l d-hez húzott két érint t, míg a másik érinti d-t és a Db l c-hez húzott érint ket. Bizonyítsuk be, hogy a kis körök egybevágóak! (J. Tabov, 4 pont) 3. Lehetséges-e 9 piros, 9 kék és 9 fehér egybevágó kockából összerakni egy nagy kockát, aminek minden sora (három kocka, párhuzamosan a nagy kocka egy tetsz leges élével) pontosan két színt tartalmaz? (S. Fomin, 5 pont) 4. Adott 61 egyformának látszó érme. Két érme (melyek tömege egyforma) hamis. A többi 59 (eredeti) érme tömege is egyforma, de más, mint a hamisaké. Nem tudjuk azonban, hogy mely érmék a nehezebbek. Hogyan tudjuk ezt a kérdést megválaszolni, ha háromszor mérhetünk egy kétkarú mérleggel? (Nem kell elválasztani a hamis érméket a többit l). (D. Fomin, 8 pont) JUNIOR, 1989-90. tavasz, második forduló 1. Határozzuk meg azt a maximális számot, ahány részre a koordinátasík felosztható 100 különböz , y = ax 2 + bx + c alakú függvény grafikonjával! (a≠0) (N. B. Vasiliev, 6 pont) 2. Ha egy négyzetet elmetszünk egy vele egybevágó, de középpontja körül 45°-kal elforgatott négyzettel, akkor az mind a 4 oldalt a:b:a arányban osztja (ez kiszámolható). Vegyük a következ szerkesztést egy tetsz leges konvex négyszögre: osszuk fel minden oldalát ebben az a:b:a arányban, és húzzunk egyenest minden csúcs melletti két osztópont között! Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek metszéspontjai által meghatározott új négyszög területe ugyanannyi, mint az eredeti négyszögé! (A. Savin, 6 pont) 3. 15 elefánt áll egy sorban. Tömegeik egész kilogrammokban fejezhet k ki. Minden egyes elefánt tömege (kivéve a jobb széls ) és a mellette jobbra álló tömegének kétszerese összesen éppen 15 tonna. Határozzuk meg az elefántok tömegét! (F.L. Nazarov, 8 pont) 4. Legyen ABCD egy rombusz, és P a BC oldal egyik pontja. Az A,B,P pontokon átmen kör Q-ban metszi másodszor BD-t, a C,P,Q pontokon átmen kör R-ben metszi másodszor BD-t. Bizonyítsuk be, hogy A, R és P egy egyenesen fekszik! (D. Fomin, 8 pont) 5. Határozzuk meg azon pozitív egészekb l álló (m,n) számpárok számát, melyekre m,n≤1000 m m +1 és < 2< . n +1 n (D. Fomin, 10 pont) 6. Egy súlygy jteményt (minden súly egész érték) akkor nevezünk alapnak, ha az együttes súlyuk 200, és minden 200-nál nem nagyobb súly kimérhet velük egyértelm en meghatározott súlykompozícióval. (Az egyértelm en meghatározott úgy értend , hogy nem vesszük figyelembe a sorrendet, vagy azt, hogy két azonos súlyból melyiket választjuk ki, ha van egyáltalán választási lehet ségünk.) a) Keressünk egy példát alapgy jteményre, de ne a 200 darab 1 érték súly legyen az! b) Hány különböz alapgy jtemény létezik? (D. Fomin, 4+8 pont)






























































36

Városok Viadala SENIOR, 1989-90. sz, els forduló 1. Tíz barát üdvözl lapokat küld egymásnak, mindegyikük ötöt küld. Bizonyítsuk be, hogy közülük legalább kett küldött egymásnak lapot. (3 pont) 2. Adott 3 pont a síkon: K, L, M. Ezen pontok egy kiradírozott négyszög 3 szomszédos, egyenl hosszúságú oldalának felez pontjai. Szerkesszük meg a négyszöget. (3 pont) 3. Létezik-e 1 000 000 egymástól különböz pozitív egész szám, hogy ezek közül akárhányat kiválasztva az összegük soha nem négyzetszám? (3 pont) 1989 1989 4. A2 és az 5 számokat leírjuk egymás után (tízes számrendszerben). Hány számjegyet írtunk le összesen? (G. Galperin, 3 pont)




















SENIOR, 1989-90. sz, második forduló 1. Meg lehet-e adni egy gömböt, egy tetraédert és egy síkot úgy, hogy a megadott síkkal párhuzamos minden sík egyenl terület részekben messe a gömböt és a tetraédert? (3 pont) 2. Tekintsük az {1, 2,…, N} halmaz összes olyan részhalmazát, amely nem tartalmaz egymást követ számokat. Egy papírra felírjuk minden részhalmaz esetén az elemeinek szorzatát. Bizonyítsuk be, hogy ha a papírra felírt számokat négyzetre emeljük, majd összeadjuk, akkor (N+1)! – 1 lesz az eredmény. (R.P. Stanley ötlete alapján, 3 pont) 3. Az R sugarú körön belül kijelölünk egy A pontot. Szerkesszünk A-n keresztül egy mer leges egyenespárt. Forgassuk el ezeket az egyeneseket ugyanazzal a v szöggel A körül. Míg az egyenesek a kezdeti helyzetükb l a végs helyzetükbe mozognak, egy kereszt alakú alakzat jön létre, melynek középpontja A. Mekkora a kereszt területe? (5 pont) 4. A természetes számok halmaza legyen páronként diszjunkt halmazok uniója, amelyeknek elemei végtelen számtani sorozatot alkotnak, pozitív d1, d2, d3, … differenciával. Lehetséges-e, 1 1 1 hogy az + + + ... összeg nem haladja meg a 0.9-et? Tekintsük azokat az eseteket, ahol d1 d 2 d 3 a) a számtani sorozatok száma véges. 1 1 1 + + + ... nem b) a számtani sorozatok száma végtelen (Ebben az esetben a feltételt, hogy d1 d 2 d 3 haladja meg a 0.9-et, úgy kell érteni, hogy bármely véges számú összeg nem haladja meg a 0.9-et.)

















(a) (A. Tolpugo, 2+3 pont) 5. Adott 100 pont. Ezek közül N darab egy konvex N-szög csúcsai, és a többi (100-N) pont ezen N-szögön belül helyezkedik el. A pontok jelölése alapján nem határozható meg, hogy csúcsaie az N-szögnek, avagy nem. Ismeretes, hogy nincs olyan három pont, amelyek kollineárisak, és nincs négy olyan pont, amelyek két párhuzamos egyenesen vannak. A következ kérdést lehet feltenni: Mekkora az XYZ háromszög területe, ha X, Y, Z a 100 pont közül való? Bizonyítsuk be, hogy 300 ilyen kérdés elegend ahhoz, hogy megmondjuk melyik pontok csúcspontok, és meghatározzuk az N-szög területét. (D. Fomin, 6 pont) 6. Egy táblázatnak m sora, és n oszlopa van, ahol m < n. Néhány mez ben csillagok vannak elhelyezve úgy, hogy minden oszlopban legalább egy csillag van. Bizonyítsuk be, hogy van legalább egy csillag, hogy az t tartalmazó sorban több csillag van, mint az t tartalmazó oszlopban.














(A. Razborov, 8 pont) 37

Városok Viadala SENIOR, 1989-90. tavasz, els forduló 1. Szerkesszük meg azt a háromszöget, amelynek adott 2 oldala, ha az adott oldalak közös csúcsából húzott súlyvonal ezt a szöget 1:2 arányban osztja. (V. Chikin, 6 pont) 2. Bizonyítsuk be, hogy: a) ha az n természetes szám 4k+1 alakú (ahol k egész szám), akkor létezik n darab olyan páratlan pozitív egész, amelyeknek összege egyenl a szorzatukkal. b) ha n nem ilyen alakú, akkor ilyen számhalmaz nem létezik. (M. Kontsevich, 3+4 pont) 3. a) Egy dodekaéder néhány csúcsát megjelöltük úgy, hogy minden lapon van egy megjelölt csúcs. Hány csúcsot kell legalább megjelölni, hogy ez lehetséges legyen? b) Ugyanez a feladat, csak ikozaéderrel. (G. Galperin, 2+5 pont) (A dodekaédernek 12 ötszög oldala van, amelyek közül 3 egy csúcsban találkozik. Az ikozaédernek 20 háromszög alakú oldala van, amelyek közül 5 egy csúcsban találkozik.) 4. Adott 103 pénzérme, amelyek látszólag azonosak. Két pénzérme (amelyek tömege egyenl ) hamis. A többi 101 (igazi) pénzérmének is egyenl a tömege, de különbözik a hamis érmék tömegét l. Nem tudjuk, hogy az igazi érmék vagy a hamis érmék nehezebbek-e. Hogy találhatjuk ki ezt egy kétkarú mérleggel három méréssel? (Nem feladat a hamis érmék kiválasztása. (D. Fomin, 7 pont) SENIOR, 1989-90. tavasz, második forduló 1. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egészre létezik egy P(x) polinom, amely (x-1)n-nel osztható, a foka legfeljebb 2n és minden együtthatója 1, 0 vagy -1. (D. Fomin, 6 pont) 2. A mér súlyok egy csoportját (minden súly egész érték) alapkészletnek nevezzük, ha az együttes súlyuk 500-zal egyenl és minden 500-nál nem nagyobb súly kimérhet velük egy egyértelm en meghatározott súlykompozícióval. (Az egyértelm en meghatározott úgy értend , hogy nem vesszük figyelembe a sorrendet, vagy azt, hogy két azonos súlyból melyiket választjuk ki, ha van egyáltalán választási lehet ségünk.) a) Keressünk egy példát az alapkészletre (ami különbözik az 500 darab 1 egységest l) b) Hány különféle alapkészlet létezik? (D. Fomin, 4+6 pont) 3. Egy tortát készítenek az esti összejövetelre, amelyre p vagy q személy érkezik. (p és q relatív prímek, egészek.) Keressük meg a (nem feltétlenül egyforma) szeletek minimális számát, amelyekre a tortát fel kell el zetesen vágni ahhoz, hogy a tortát egyenl en szét lehessen osztani a vendégek között, mindkét esetben. (D. Fomin, 10 pont) 4. Legyen ABCD trapéz, ahol AC=BC. Legyen H az AB alap felez pontja és legyen l egy egyenes, mely keresztül megy H-n. l metszi AD- t P pontban, és BD- t Q-ban. Bizonyítsuk be, hogy az ACP szög és a QCB szög vagy egyenl vagy összegük 180o. (I. Sharygin, 10 pont) 5. Létezik-e olyan konvex poliéder, amelynek van egy háromszög metszete (egy síkkal elmetszve, amely nem megy át a csúcsokon) és a poliéder minden csúcsa a) legalább 5 laphoz tartozik? b) pontosan 5 laphoz tartozik? (G. Galperin,4+6 pont) 6. Van néhány tintapacni egy a oldalú négyzet alakú fehér papíron. Egyik pacni területe sem több, mint 1 területegység. Minden egyenes, amely párhuzamos a négyzet valamelyik oldalával legfeljebb egy pacnin megy keresztül. Bizonyítsuk be, hogy a pacnik összterülete legfeljebb a területegység. (A. Razborow, 12 pont)












































38

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, els forduló 1. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög csúcspontjai az ABCDEF szabályos hatszög AB, CD és EF oldalain helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek és a hatszögnek azonos a középpontja. (N. Sedrakjan, 4 pont) 3. Keressünk 10 különböz pozitív egész számot úgy, hogy mindegyikük osztója legyen az összegüknek. (S. Fomin, 4 pont) 4. Egy 100×100-as négyzet alakú táblát 10 000 egységnégyzetre osztottak fel. Egy egységnégyzetet kivágunk. Le tudjuk-e fedni a tábla többi részét egyenl szárú derékszög háromszögekkel, amelyeknek 2 hosszú az átfogójuk éspedig úgy, hogy átfogóik az egységnégyzetek oldalain helyezkednek el, a másik két oldaluk pedig az átlókon. A háromszögek nem fedhetik egymást, és nem lóghatnak túl a tábla szélén. (S. Fomin, 5 pont)











39

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91.

sz, második forduló 1 1 . 1. Adott a = és b = 1 1 2+ 2+ 1 1 3+ 3+ ... ... ... + ... + 1 99 99 + 100 1 . Bizonyítsuk be, hogy a − b < 99!⋅100!


(G. Galperin, 4 pont) 2. Az AB átmér re egy S félkört rajzolunk. Egy az S-en lév tetsz leges C pont esetében (C≠A, C≠B) az ABC háromszög AC és BC oldalaihoz a háromszögön kívül négyzeteket illesztünk. Keressük meg a négyzetek középpontjait összeköt szakasz felez pontjainak mértani helyét, miközben a C az S mentén mozog. (J. Tabov, 4 pont) 3. Egy 8×8-as tábla (64 db 1×1-es négyzet) fehérre van festve. Kiválaszthatjuk a 64 négyzet közül bármely 1×3-as téglalapot, és mindhárom négyzetet ellenkez szín re festjük (a feketéket fehérre, a fehéreket feketére). Be lehet az egész táblát feketére festeni ezzel a módszerrel?

















(I.S. Rubanov, 5 pont) 4. Egy ABCD négyszög AB, BC, CD illetve DA oldalai rendre egyenl k az A’B’C’D’ négyszög A’B’, B’C’, C’D’ és D’A’ oldalaival. Tudjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel és B’C’ párhuzamos D’A’-vel. Bizonyítsuk be, hogy mindkét négyszög paralelogramma. (V. Proizvolov, 5 pont) 5. Az {xn} számsorozatra teljesül, hogy x n +1 = x n − x n −1 minden n>1 értékre. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat periodikus 9-re, azaz bármely n > 1-re xn = xn+9. (M. Koncsevics, 6 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépés során kihúzunk egy csoport egymás melletti kártyát együtt a csomag bizonyos helyér l és valahova máshova visszarakjuk anélkül, hogy a csoporton belül kevernénk, vagy megfordítanánk bármely kártyát. Szeretnénk megfordítani a teljes pakliban a kártyák sorrendjét ilyen cserékkel. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetében ez 5 lépésben megtehet . b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetében ez i. 27 lépésben megtehet , ii.17 lépésben nem tehet meg, iii. 26 lépésben nem tehet meg. (S.M. Voronin, 3+3+4+4 pont)




















40

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. tavasz, els forduló 1. Adott N db egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetösszegük osztható N-nel, ha tudjuk, hogy közülük bármelyik N-1 szorzata és a kimaradó szám közti különbség N-nel osztható.


(D. Fomin, 3 pont) 2. Három kör mindegyike kívülr l érinti a másikat, sugaraik rendre 1, r és r. Milyen r értékekre van olyan háromszög, amelyben e körök benne foglaltatnak. (A körök a háromszög belsejében vannak, mindegyik kör érinti a háromszög két oldalát és a háromszög minden oldala két kört érint.)


(N.B. Vasziljev, 3 pont) 3. Egy sorban 30 csizma áll (15 pár). Bizonyítsuk be, hogy van tíz olyan egymást követ csizma a sorban valahol, hogy közülük 5 jobb lábas és 5 bal lábas. (D. Fomin, 3 pont) 4. Egy számítógép képerny je a 123-as számot mutatja. Minden percben a számítógép 102-vel növeli a képerny n látható számot. Misa, a számítógépguru meg tudja cserélni a képerny n megjelen szám számjegyeinek sorrendjét. El tudja-e érni azt, hogy soha ne jelenjen meg 4 jegy szám a képen? (F.L. Nazarov, 4 pont)














JUNIOR, 1990-91. tavasz, második forduló k3 − 1 1. Bizonyítsuk, hogy a 99 darab 3 ( k=1,2, … ,99) alakú tört szorzata nagyobb, mint 2/3. k +1 (D. Fomin, 3 pont) 2. Az ABCDE ötszögnek van beírt köre és az AD és CE átlók ennek O középpontjában metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a BO szakasz és a DE oldal mer legesek egymásra. (4 pont) 3. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, melyeknek tízes számrendszerbeli alakjában mindegyik számjegy –a másodiktól kezd d en– legalább akkora, mint az el z számjegy. Ezenkívül a számok négyzetére is teljesülnie kell a fenti tulajdonságnak. a) Keressünk 4 ilyen számot. b) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Andjans, 2+3 pont) 4. Egy kört az AB húr 2 részre oszt és az egyiket elforgatjuk az A pont körül bizonyos szöggel, így a B pontot a B’-be visszük. Összekötjük BB’ középpontjával az el nem forgatott AB ív felez pontját és az elforgatott AB’ ív felez pontját is. Mutassuk meg, hogy ezen szakaszok mer legesek egymásra. (F. Nazyrov, 4 pont) 5. Egy országban 8 város van. A király egy olyan úthálózatot szeretne, hogy bármely városból bármely másikba el lehessen jutni legfeljebb egy város érintésével. Semelyik városból nem indulhat k-nál több út. Mely k értékekre lehetséges ez? (D. Fomin, 6 pont) 6. Egy versenyen 16 ökölvívó vesz részt. Minden ökölvívó naponta egyszer mérk zik. A versenyz k különböz kondícióban vannak és az er sebbik mindig nyer. Bizonyítsuk be, hogy egy 10 napos verseny megrendezhet úgy, hogy az er sorrend kiderüljön. A meccsek kiosztása az azt megel z nap este történik és nem változtatható meg. (A. Andjans, 8 pont)





















































41

Városok Viadala SENIOR, 1990-91. sz, els forduló 2 1. A pozitív egészeket 1-t l n -ig tetsz legesen elhelyeztük egy n×n-es sakktábla mez iben. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan szomszédos mez (van közös csúcsuk vagy közös olda- luk), hogy a bennük lev számok különbsége legalább n + 1. (N. Sedrakyan, 4 pont) 2. A síkot párhuzamos egyenesek három végtelen halmazával azonos terület szabályos háromszögekre osztottuk. Legyen M a csúcsok halmaza, továbbá A és B egy ilyen szabályos háromszög két csúcsa. Egy lépésben elforgathatjuk a síkot az M halmaz bármely pontja körül 120°kal. Kerülhet-e A pont B-be ilyen lépések sorozata után? (N. Vasiliev, 4 pont) 3. A falon két ugyanolyan óra van: az egyik a jelenlegi moszkvai id t, a másik pedig a jelenlegi helyi id t mutatja. A két kismutató vége közti minimális távolság m, a maximális távolság M. Mennyi a távolság a két óra középpontja között? (S. Fomin, 4 pont) 4. „Téglányokat” készítünk a következ módon: veszünk egy egységnyi oldalú kockát, és három közös csúccsal rendelkez lapjához három újabb egységkockát ragasztunk, úgy, hogy az összeragasztott lapok pontosan fedjék egymást. Építhetünk-e ilyen „téglányokból” 11×12×13-as téglatestet? (A. Adjans, 5 pont)
































SENIOR, 1990-91. sz, második forduló 1. A juniorok 1. feladata. Itt 3 pont. 2. M az ABC szabályos háromszög körülírt körének AC ívén lév pont. P ennek az ívnek a felez pontja, N a BM húr felez pontja, K pedig a P-b l az MC-re állított mer leges talppontja. Bizonyítsuk be, hogy az ANK háromszög szabályos. (I. Nagel, 4 pont) 3. Vegyük a síkon az egységnégyzetek M véges halmazát. A négyzetek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és metszhetik egymást. Tudjuk, hogy bármely két négyzet középpontja közti távolság legfeljebb 2 egység. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egységnégyzet (nem feltétlenül M egyik eleme), aminek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és M halmaz minden négyzetével van legalább egy közös pontja. (A. Adjans, 4 pont) 4. Adott 20 pont a síkon úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Ezen pontok közül 10 piros, a többi kék. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egyenes, aminek mindkét oldalán 5 piros és 5 kék pont van. (A. Kusnirenko, 5 pont) 5. Az ABC háromszögben AC = CB. D az AB szakasz egy pontja. Tudjuk, hogy az ACD háromszög beírt körének sugara megegyezik a DB szakaszt, valamint CD és CB szakaszok meghosszabbítását egyaránt érint kör sugarával. Bizonyítsuk be, hogy ez a sugár egyenl az ABC háromszög két egyenl hosszúságú magasságának negyedével. (I. F. Sharygin, 7 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépésben kiveszünk a csomagból valahonnan néhány egymás után következ kártyát, és visszatesszük máshova anélkül, hogy megcserélnénk a sorrendet, vagy akármelyik kártyát felfordítanánk. Az a feladatunk, hogy ilyen lépések sorozatával megfordítsuk a kártyák sorrendjét a csomagon belül. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetén ez megtehet 5 lépésben. b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetén ez i. 27 lépéssel megtehet , ii. 17 lépéssel nem tehet meg, iii. 26 lépéssel nem tehet meg. (S. M. Voronin, 2+2+4+4 pont)












































42

Városok Viadala SENIOR, 1990-91. tavasz, els forduló 1. Keressük meg az összes n természetes számot és x, y egészeket (x és y különböz ), amelyek kielégítik a következ egyenletet: n n x + x 2 + x 4 + .... + x 2 = y + y 2 + y 4 + .... + y 2 (4 pont) 2. Adott egy körön két pontot, K és L. Szerkesszünk olyan ABC háromszöget, aminek C csúcsa és az AK és BL súlyvonalainak metszéspontja egyaránt a körön vannak (K és L a BC, illetve AC oldalak felez pontjai). (4 pont) 3. Egy táblára felírtuk a következ száz számot: 1, 1/2, 1/3, ... , 1/100. Ha letöröljük közülük az a és b számokat, akkor az a + b + ab számot írjuk fel helyettük. 99 ilyen lépés után egyetlen szám marad fenn a táblán. Mi ez a szám? (D. Fomin, 4 pont) 4. a) Elhelyezhetünk-e úgy 5 darab fából készült kockát a térben, hogy mindegyikük érintse az összes többi kockát valamelyik lapjának egy-egy részével? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést hat kocka esetén is! (2+2 pont)














SENIOR, 1990-91. tavasz, második forduló 1. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, amiknek tízes számrendszerbeli alakjában a második jegyt l kezdve egyik számjegy sem kisebb, mint az el tte álló. Továbbá a számok négyzetének ugyanilyen tulajdonságokkal kell rendelkezniük. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Adjans, 4 pont) 2. Egy körben rögzítjük az MN húrt. A kör minden AB átmér jéhez vegyük az AM és BN szakaszok C metszéspontját, és szerkesszük meg azt az l egyenest, ami átmegy C-n és mer leges AB-re. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen l egyenes egy ponton megy át. (E. Kulanin, 5 pont) 3. Az x1, x2, x3, ... , xn számok összege 0, négyzeteik összege 1. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük két olyan szám, amiknek szorzata nem nagyobb, mint -1/n. (Stolov, 5 pont) 4. Kiválasztottunk 5 pontot a gömbön úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy f körre (a f kör a gömb metszete egy olyan síkkal, ami átmegy a gömb középpontján). Két f kör egyenérték , ha egyikük sem tartalmazza egyik pontot sem az öt közül, és egymásba mozgathatók anélkül, hogy áthaladnának valamelyik kiválasztott ponton. a) Hány olyan f kört tudunk rajzolni a gömbön, amik nem egyenérték ek, és nem tartalmazzák egyik kiválasztott pontot sem? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést n kiválasztott pontra. (A. Belov, 3+3 pont) 5. Egy királyságban 16 város van. A király olyan úthálózatot akar építtetni, hogy bármelyik városból bármelyik másikba el lehessen jutni legfeljebb egy közbens város érintésével, de minden városból legfeljebb 5 út induljon ki. a) Bizonyítsuk be, hogy ez lehetséges. b) Bizonyítsuk be, hogy 5 helyett 4 út esetén nem lehetséges. (D. Fomin, 4 pont) 6. Egy tornán 32 ökölvívó vesz részt. Mindegyikük legfeljebb egyszer játszhat egy nap. Tudjuk, hogy nem egyforma er sek, és mindig az er sebb gy z. Bizonyítsuk be, hogy rendezhetünk egy 15 napos tornát, aminek az eredménye alapján elkészíthetjük az er sorrendet. A találkozók menetrendjét mindig a mérk zés el tti napon kell rögzíteni, és a nap folyamán nem lehet megváltoztatni. (A. Adjans, 8 pont)


















































43

Városok Viadala JUNIOR, 1991-92. sz, els forduló 1. A k1 kör középpontja rajta van k2 körön. A és B a körök metszéspontjai. k2 kör B pontban húzott érint je k1 kört C pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AB = AC. (V. Prasovov, 3 pont) 2. A „repül bástya” úgy mozog, mint a sakkban a bástya, de nem léphet szomszédos mez re egy lépésben. Lehetséges-e, hogy egy 4×4-es sakktáblán a repül bástya minden mez re pontosan egyszer lép és végül 16 lépésben visszatér a kezd mez re? (A. Tolpygo, 3 pont) 1 1 + =1 3. Bizonyítsd be, hogy 1 1 2+ 1+ 1 1 3+ 1+ 1 3+ 1 1 ... + 4+ 1991 1 ... + 1991 (G. Galperin, 3 pont) 4. Egy körre hat számot írunk. A = B - C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév hat szám összege 1. Mik a körön lév számok? ( 3 pont)






































44




Városok Viadala JUNIOR, 1991-92. sz, második forduló 1. 32 lovag él egy királyságban. Néhány közülük másokat szolgál. Egy szolgának csak egy gazdája lehet, és minden gazda gazdagabb, mint a szolgái. Az olyan lovagot, akinek minimum 4 szolgája van, bárónak hívjuk. Maximum hány báró lehet? (A királyság egyik fontos törvénye: „A szolgám szolgája nem az én szolgám”). (A. Tolpygo, 3 pont) 2. Az ABC háromszögben AB = AC és a BAC szög 20º. Legyen D pont az AB oldalon úgy, hogy AD = BC. Mekkora a BCD szög? (I. F. Sharygin, 6 pont) 3. Lehetséges-e, hogy páronként különböz , 100-nál kisebb pozitív egészeket egy 4×4-es táblázat mez ibe írva minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata egyenl ? (N. B. Vasiliev, 8 pont) 4. Az an sorozat képzési szabálya: a0= 9 és bármilyen nemnegatív k- ra: ak+1=3(ak) 4+ 4(ak) 3. Bizonyítsuk be, hogy a10 (tízes számrendszerben) legalább 1001 db 9-est tartalmaz! (Yao, 8 pont) 5. Egy 9×9-es négyzet 81 egységoldalú négyzetre, azaz mez re van felosztva. Néhány mez satírozott. A távolság bármely két satírozott mez középpontja között több mint 2. a) Adj példát jó satírozásra 17 satírozott mez esetén! b) Bizonyítsd be, hogy nem lehet 17-nél több satírozott mez ! (S. Fomin, 5 pont) 6. Az ABCDEFGH konvex nyolcszögnek minden bels szöge egyenl , AB = CD = EF = GH, valamint BC = DE = FG = HA. (Az ilyen nyolcszöget félszabályosnak nevezzük) Az AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB és HC átlók részekre osztják a nyolcszöget. Tekintsük azt a részt, amelyik a nyolcszög középpontját tartalmazza. Ha ez a rész is nyolcszög, akkor ez a nyolcszög is félszabályos (ez nyilvánvaló). Ekkor megint megszerkesztjük az átlókat a bels nyolcszögben, megint nézzük a középpontot tartalmazó részt és így tovább. Ha valahány lépés után a középpontot tartalmazó alakzat nem nyolcszög, akkor az eljárás leáll. Bizonyítsd be, hogy ha sosem ér véget az eljárás, akkor az eredeti nyolcszög szabályos volt! (A. Tolpygo, 8 pont) 7. n gyerek akar elosztani m darab azonos nagyságú csokoládét egyenl részekre úgy, hogy egyik csokoládé sincs eltörve egynél többször. a) Milyen n-re lehetséges ez, ha m = 9? b) Milyen n és m esetén lehetséges ez? (Y. Tschekanov, 5+7 pont) JUNIOR, 1991-92. tavasz, els forduló 1. A hónap elején egy boltnak 10 különböz eladnivaló áruja van, azonos árakkal. Minden nap, minden egyes áru ára vagy megduplázódik, vagy megtriplázódik. A következ hónap elejére minden ár különböz lesz. Bizonyítsd be, hogy a legnagyobb és a legkisebb ár aránya nagyobb, mint 27! (D. Fomin és Stanislav Smirnov, 3 pont) 2. Az ABCD trapézban a BC és AD oldalak párhuzamosak, AC = BC + AD, és az átlók közti szög 60º. Bizonyítsd be, hogy AB = CD! (Stanislav Smirnov 3 pont) 3. Frednek, az éremgy jt nek van néhány pénzérméje. Egyiknek sem nagyobb az átmér je 10 cm-nél. Fred minden pénzérméjét egy 30×70 cm alapterület dobozban tartja. Egy 25 cm átmér j érmével leptük meg. Bizonyítsd be, hogy Fred bele tudja rakni az összes pénzérméjét egy 55×55 cm alapterület dobozba! (Fedja Nazarov, 3 pont) 4. Egy körvonalat 7 körcikkre osztottunk. Bármely két szomszédos középponti szög összege maximum 103º. Mekkora annak az szögnek a legnagyobb értéke, amire bármelyik középponti szög nagyobb mint ? Mutassuk meg, hogy ez valóban a maximális . (A. Tolpygo, 5 pont)



























































45

Városok Viadala JUNIOR, 1991-92. tavasz, második forduló 1. Egy n számból álló (n > 2) halmazt zsúfoltnak hívunk, ha minden eleme kisebb, mint a halmaz elemeinek összege osztva n-1-gyel. Legyen {a, b, c,…} egy zsúfolt számhalmaz, elemeinek összege S. Bizonyítsd be, hogy a) a halmaz minden eleme pozitív, b) mindig igaz, hogy a + b > c, c) mindig igaz, hogy a + b S / (n – 1). (Regina Schleifer, 2+2+2 pont) 2. Tekintsük az ABC derékszög háromszöget, ahol A a derékszög csúcs és AC > AB. Legyen E és D rendre az AC-n és BC-n úgy, hogy AB = AE = BD. Bizonyítsd be, hogy az ADE háromszög akkor és csak akkor derékszög , ha az AB:AC:BC arány 3:4:5. (A. Parovan, 6 pont) 3. Legyenek n, m és k természetes számok, ahol m > n. Melyik szám a nagyobb: n + m + n + ....

, vagy m + n + m + .... ? Megjegyzés: Mindkét kifejezés k darab négyzetgyökjelet tartalmaz, n és m pedig váltakozik. (N. Kurlandchik, 6 pont) 1. Legyen a P pont az ABC háromszög körülírt körén. Vegyünk fel egy olyan tetsz leges A1B1C1 háromszöget, aminek az A1B1, B1C1 és C1A1 oldalai rendre párhuzamosak a PC, PA és PB szakaszokkal, és húzzunk párhuzamosakat A1-en, B1-en és C1-en keresztül rendre BC, CA és AB oldallal. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást az A1B1C1 háromszög körülírt körén! (V. Prasolov, 10 pont) 2. Adott 50 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 51 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz . Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a „középs ” súly (ami az 51. helyen van, ha a 101 érmét súly szerint sorba rendezzük) 7 méréssel? (A. Andjans, 10 pont) 3. Egy kört n körcikkre osztottunk fel. Néhány körcikken gyalogok vannak, összesen n + 1-en. Ez a helyzet a következ képpen változik: valamely két gyalog, akik ugyanazon a körcikken vannak, egyszerre szomszédos mez re lépnek különböz irányban. Bizonyítsd be, hogy néhány ilyen lépés után elkerülhetetlenül el áll egy olyan helyzet, amikor legalább a körcikkek felében van gyalog.




















(D. Fomin, 12 pont) SENIOR, 1991-92. sz, els forduló 1. Egy szögön belül két kör fekszik, A és B középponttal. Érintik egymást és a szög mindkét szárát. Bizonyítsuk be, hogy az AB átmér j kör a szög mindkét szárát érinti. (V. Prasolov, 3 pont) 2 2. 11 lány és n fiú gombászni ment. Összesen n + 9n - 2 darabot találtak, minden gyerek ugyanannyit. Kik vannak többen, a fiúk vagy a lányok? (A. Tolpygo, 3 pont) AD AB = . Bizonyítsuk, hogy a C3. A D pont az ABC háromszög AB oldalán fekszik, és DC BC nél lév szög tompaszög. (S Berlov, 3 pont) 4. Egy körre harminc számot írunk. A = B–C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév harminc szám összege 1. Mik a körön lév számok? ( 3 pont)























46




Városok Viadala SENIOR, 1991-92. sz, második forduló 1. Az ABCD húrnégyszögben BC = CD. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe egyenl ( AC )2 sin BAD∠ . 2 (D. Fomin, 6 pont) 2. Fel lehet-e osztani a síkot sokszögekre úgy, hogy mindegyik sokszög 360/7 fokos forgásszimmetriával rendelkezzen? A sokszögek minden oldala legyen 1 cm-nél nagyobb! (Legyen sokszög a sík egy olyan része, melyet önmagát nem metsz zárt töröttvonal határol, és nem feltétlenül konvex.) (A. Andjans, 8 pont) 3. Elhelyezhet -e 81 darab 1991-nél kisebb, egymástól különböz pozitív egész szám egy 9×9es tábla mez iben úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban megegyezzen a számok szorzata?

















(N.B. Vasziljev, 8 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 6 pont. 5. Legyen M az ABC háromszög súlypontja. M körüli 120 fokos forgatással B pont P-be, M körüli 240 fokos forgatással C pont Q-ba megy át. Bizonyítsa be, hogy APQ egyenl oldalú háromszög vagy A, P és Q egybeesnek. (Bykovszky, Kabarovszk, 8 pont) 6. Egy számtani sorozat, melynek különbsége nem egyenl 0-val, természetes számokból áll. Egyik szám sem tartalmaz 9-est. a) Bizonyítsa be, hogy a tagok száma kevesebb, mint 100. b) Adjon példát ilyen sorozatra 72 taggal! c) Bizonyítsa, hogy a tagok száma nem haladja meg a 72-t, ha a sorozat a fenti tulajdonságú. (V. Bugajenko, Tarasov, 3+3+4 pont) 7. A juniorok 7. feladata.





SENIOR, 1991-92. tavasz, els forduló 1. A juniorok 1. feladata. 2. Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 egység. Mindegyik oldalt meghosszabbítjuk, míg el nem metszi a szemközti szög küls szögfelez jét. Így három új pontot kaptunk. Igazoljuk, hogy ezek egyike a másik két pont által meghatározott szakasz felez pontja. (V. Prasolov, 3 pont) 3. Legyen O egy szabályos n-szög középpontja, melynek csúcsai rendre A1, ...... , An. Legyen a1>a2>…>an>0. Bizonyítsuk be, hogy az a1 OA1 + a 2 OA 2 + ... + a n OA n vektor nem egyenl a nullvektorral. (D. Fomin, A. Kiricsenko, 4 pont) 4. 10 számot helyeztünk el egy körön. Összegük 100. Bármely 3 szomszédos szám összege legalább 29. Találja meg azt a minimális A-t, aminél bármely ilyen sorozatra igaz, hogy a 10-es sorozat egyik tagja sem nagyobb A-nál. Bizonyítsuk be, hogy A értéke tényleg minimális. (A. Tolpygo, 4 pont)














47

Városok Viadala SENIOR, 1991-92. tavasz, második forduló 1. Bizonyítsuk be, hogy az egész számok szorzata (21917 + 1) -t l (21991 – 1) -ig nem négyzetszám. (V. Senderov, 6 pont) 2. Legyenek a és S egy egységsugarú körbe írt szabályos háromszög oldalhossza és területe! A körbe 51 egyenl szakaszból álló zárt töröttvonalat írtunk, A1A2...A51A1. Ebben bármely két szomszédos pont távolsága éppen a. Tekintsük a következ 51 háromszöget: A1A2A3, A2A3A4, …, A49A50A51, A50A51A1, A51A1A2. Bizonyítsuk be, hogy területeik összege legalább 3S. (A. Berzins, 6 pont) 1 . Kiválasztunk n mez t úgy, hogy 3. Egy n × n − es táblázat i. sorának j. eleme legyen i + j −1 minden sorban és oszlopban pontosan egy kiválasztott legyen. Mutassuk meg, hogy a kiválasztott mez kön álló számok összege legalább 1. (S. Ivanov, 8 pont) 4. Az A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3 háromszögek súlypontjai egy egyenesen vannak. A háromszögek csúcsai között nincs három egy egyenesen. Tekintsük mind a 27 háromszöget, melyeknek egy-egy csúcsát rendre az els , második és harmadik háromszögb l választottuk. (AiBjCk típusúak.) Igazoljuk, hogy ez a 27 háromszög két csoportra osztható úgy, hogy a területösszeg mindkett ben ugyanannyi legyen. (A. Andjans, 8 pont) 5. Adott 100 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 101 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz . Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a „középs ” súly (ami az 101. helyen van, ha a 201 érmét súly szerint sorba rendezzük) a lehet legkevesebb méréssel? Igazoljuk, hogy ennél kevesebb mérés nem elegend . (A. Andjans, 12 pont) 6. Az n és b természetes számokhoz legyen V(n,b) azon szorzatoknak a száma, melyeknek értéke n és minden tényez jük nagyobb, mint b. Például 36 = 6 × 6 = 4 × 9 = 3 × 3 × 4 = 3 × 12 , tehát n minden n és b értékre. V(36,2)=5. Mutassuk meg, hogy V(n, b ) < b (N.B. Vasziljev, 12 pont)






































JUNIOR, 1992-93. sz els forduló 1. 101 sakkozó mindegyike már több bajnokságban is indult. Egyik bajnokságban sem vettek részt mindannyian. A 101 játékos közül bármely kett pontosan egyszer indult ugyanabban a bajnokságban. Igazoljuk, hogy van köztük olyan, aki legalább 11 bajnokságban indult. (Minden bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.) (A. Andjans, 3 pont) 2. Egy paralelogramma minden oldalán választunk egy tetsz leges pontot. A közös csúcsú (szomszédos) oldalakon lev pontokat összekötjük. Igazoljuk, hogy a paralelogramma csúcsainál így keletkez négy háromszög köréírt köreinek középpontjai paralelogrammát alkotnak. (ED Kulanin, 3 pont) 3. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész M-nek létezik olyan többese, melynek jegyeinek összege páratlan. (D. Fomin, 3 pont) 4. a) Az ABC háromszögben az A-nál nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AB-nek a fele. b) Az ABCD konvex négyszögben az A-nál nagyobb szög van, mint C-nél, a D-nél nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AD fele. (F. Nazarov, 2+3 pont)

















48

Városok Viadala JUNIOR, 1992-93. sz második forduló 1. Egy n×n-es táblán nevezzünk "bástya körnek" egy önmagát nem metsz zárt töröttvonalat, melynek minden szakasza valamely oldallal párhuzamosan halad a mez k mentén. Kezdetben az egyik átló mentén minden szám 1, az összes többi pedig 0. Egy bástyakör mentén lev összes mez höz hozzáadhatunk egyet. Ilyen változtatásokkal elérhetjük-e, hogy minden mez ben ugyanaz a szám álljon? (AA Jegorov, 4 pont) 2. Adott a síkon egy négyzet, benne 1993 szabályos háromszög. Ezek mindegyik csúcsa a négyzet kerületén fekszik. Igazoljuk, hogy van a síknak olyan pontja, mely legalább 499 háromszög kerületére illeszkedik. (N. Sendrakjan, 5 pont) 3. Van-e olyan egészegyütthatós P(x) és Q(x) polinom, melyekre (P-Q)(x), P(x) és (P+Q)(x) mindegyike egy-egy polinom négyzete? (Tudjuk, hogy Q(x) P(x)-nek nem konstansszorosa.) (V. Prasolov, 5 pont) 4. A síkon adott az ABSD töröttvonal, AB=BC=CD=1 és AD≠1. B és C rögzítettek, de A és D felváltva elmozdulhatnak. A-t tükrözzük BD egyenesére, majd D-t tükrözzük AC egyenesére (az aktuális, már tükrözött A-ról van szó). Majd A-t tovább tükrözzük a kapott D és B egyenesére, stb. Igazoljuk, hogy néhány lépés után A és D az eredeti helyükön lesznek. (M. Koncsevics, 7 pont) 5. A sík O csúcsú szögén belül van az A pont. Legyenek a két szögszáron az M és N pontok úgy, hogy OAM∠ = OAN∠ . Bizonyítsuk be, hogy MN áthalad egy rögzített ponton, vagy mindig párhuzamos egy rögzített iránnyal. (S. Tokarev, 8 pont) 6. Az a(n) sorozatra a(1)=1, a (n + 1) = a (n ) + a (n ) . (n=1,2,3,…) Bizonyítsuk be, hogy a sorozatban végtelen sok négyzetszám szerepel. (A. Andjans, 8 pont)

















[

]

JUNIOR, 1992-93. tavasz els forduló 1. Az ABC háromszög AB oldalán adott az M pont. Ismert AB=c és CMA∠ = ϕ . Határozzuk meg az AMC és BMC háromszögek magasságpontjainak távolságát. (I.F. Sarygin, 3 pont) 2. Az A és B házban is két lakás van. Macskák és kutyák élnek itt. Ismert, hogy az A ház els lakásában a macskák aránya az itt él összes állathoz képest nagyobb, mint a B ház els lakásában. Ugyanez igaz az A és B ház másik lakásaira is. Igaz-e, hogy a macskák aránya az A házban nagyobb, mint a B-ben? (AK. Kovaldji, 3 pont) ab = c. 3. Az a, b és c számok pozitív egészek, legnagyobb közös osztójuk 1, továbbá a−b Bizonyítsuk be, hogy a-b négyzetszám. (SL. Berlov, 3 pont) 4. Egy hangya halad egy kocka élei mentén. Csak csúcsoknál vált irányt. Az egyik csúcsnál már 25-ször járt. Lehetséges-e, hogy a többi 7 csúcs mindegyikén eddig pontosan 20-szor járt?











(S. Tokarev, 4 pont)

49

Városok Viadala JUNIOR, 1992-93. tavasz, második forduló 1. Három pozitív szám összegét megmondtuk Istvánnak, szorzatukat pedig Péternek. "Ha tudnám" mondta István, "hogy a te számod nagyobb, mint az enyém, akkor kitalálnám a három számot." "De a számom kisebb a tiednél", felelte Péter, "és a három szám x, y és z". Mi volt x, y és z? (L. Boriszov, 4 pont) 2. Az ABC háromszög AC oldalához hozzáírt kör közepe legyen O. Legyen D az ABO háromszög köréírt körének középpontja. Igazoljuk, hogy ABCD húrnégyszög. (YF. Akurlics, 4 pont) 3. Definiáljuk a * m veletet. A változók minden értékére x*x=0 és x*(y*z)=(x*y)+z. Mennyi lesz 1993*1932? (G. Galperin, 4 pont) 4. Péternek 25 osztálytársa van ( t nem számolva). Péter észrevette, hogy mindegyiknek különböz számú barátja van az osztályon belül. Hány barátja lehet Péternek? (S Tokarev, 6 pont) 5. Egy papírháromszög szögeinek aránya 1:1:7. Valamely szögfelez je mentén kettévágtuk. A kapott háromszögek egyikét valamely szögfelez je mentén kettévágtuk, és így tovább. Mutassuk meg, hogy soha nem kaphatunk a kiindulási háromszöghöz hasonlót. (AI. Galocskin, 6 pont) 6. Egy hosszú kanyargós folyó partjának bármely pontjától legfeljebb 1 km-t úszva eljuthatunk a túlpartra. Végigcsónakázhatunk-e a folyón úgy, hogy egyik parttól se legyünk soha a) 0.7 kmnél; b) 0.8 km-nél távolabb? Feltételezhetjük, hogy a part szakaszokból és körívekb l áll. (G. Kondakov, 4+4 pont) 7. Egy egyenesen van balra egy piros, jobbra egy kék pont. Bejelölhetünk két új, szomszédos pontot azonos színnel, vagy törölhetünk két meglév szomszédos azonos szín pontot. Mutassuk meg, hogy nem maradhat a végén csak két pont úgy, hogy balra egy kék, jobbra pedig egy piros. (Szomszédos két pont, ha nincs köztük más jelölt pont.) (A. Belov, 6 pont)

















SENIOR, 1992-93. sz, els forduló 1. Adott egy kocka, melynek élei n cm hosszúak. Rendelkezésünkre áll egy nagyon hosszú, 1 cm széles ragasztószalag. Ezzel szeretnénk beragasztani a kockát. A szalag mindig valamely éllel párhuzamosan kell, hogy fusson, de éleket keresztezhetünk vele szomszédos lapok találkozásánál. A szalag nem lóghat az éleken túl és csúcsot nem takarhat. A szalag hány darabjával fedhet be teljesen a kocka? (n poz. egész) (A Spivak, 4 pont) 2. Egy végtelen nagy táblára négyzeteket rajzolunk spirális sorrendben: Az els 1 cm oldalú jobb oldali függ leges éléhez illeszkedik a második, szintén 1 cm oldalú.; a harmadik (2 cm oldalú) az els és második fels oldalához csatlakozik; a negyedik (3 cm oldalú) az els és második bal oldalához csatlakozik; az ötödik (5 cm oldalú) a 4. 1. és 2. alsó oldalához csatlakozik; a hatodik (8 cm oldalú) az eddigiek jobb oldalához és így tovább. Minden további négyzetnek a korábbi állapot téglalapjával van egy közös oldala. Mutassuk meg, hogy a négyzetek középpontjai az els kivételével mind két egyenes mentén helyezkednek el. (A Andjans, 4 pont) 3. Adott véges sok függvény a következ alakban: y=c2- x-d . Legyenek c és d paraméterek, c pozitív. Most definiálunk egy f(x) függvényt az [a, b] intervallumon. Az intervallum tetsz leges x elemére f(x) értéke legyen az adott függvények x helyen felvett értékeinek maximuma. Tudjuk, hogy f(a)=f(b). Mutassuk meg, hogy azon intervallumok összhossza, ahol f n egyenl azzal, ahol csökken, azaz mindkett (b-a)/2. (NB Vasziljev, 4 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 1+3 pont.






































50




Városok Viadala SENIOR, 1992-93. sz, második forduló 1. Mutassuk meg, hogy létezik 100 különböz egész olyan sorozata, hogy bármely kett szomszédosnak négyzetösszege négyzetszám legyen. (S Tokarev, 4 pont) 2. Van n3 darab egységkockánk, mindegyik fekete, vagy fehér. Szeretnénk ezekb l egy olyan kockát készíteni, melynek élei n egységnyiek úgy, hogy minden kis kocka pontosan három lapjához, t le különböz szín kocka csatlakozzon. Mely n értékekre lehetséges ez? (S Tokarev, 4 pont) 3. Az a(n) sorozatra a(1)=1, a (n + 1) = a (n ) + a (n ) . (n=1,2,3,…) Hány egymilliónál kisebb négyzetszámot találhatunk a sorozat els elemei között? (A Andjans, 6 pont) 4. Van egy n×m-es táblázatunk. Az n⋅m darab elemének a következ permutációi megengedettek: tetsz leges permutáció, mely minden elemet a saját sorában hagy „vízszintes kavarodás”, illetve olyan, mely minden elemet a saját oszlopában hagy „függ leges kavarodás”. Keressük meg azt a k számot, melyre az m⋅n darab elem tetsz leges permutációja elérhet k megengedett kavarodással, de k-nál kevesebbel nem mindegyik. (A Andjans, 8 pont) 5. Az ABC háromszög köréírt körét az A-ból induló bels szögfelez D-ben metszi. Legyen P a beírt kör középpontjának a BC oldal felez pontjára való tükörképe. A köréírt kört a PD egyenese másodszor M-ben metszi. Mutassuk meg, hogy az AM, BM, CM szakaszok közül az egyik a másik kett összege. (VO Gordon, 8 pont) 6. Vegyünk egy 100 él poliédert. a) Ha a poliéder konvex, legfeljebb hány éle metszhet el egy olyan síkkal, mely a poliéder egyetlen csúcsára sem illeszkedik? b) Mutassuk meg, hogy ez a szám nem konvex poliéder esetén akár 96 is lehet, de nem lehet 100. (A Andjans, 4+3+2 pont)

















[

]


































SENIOR, 1992-1993. tavasz, els forduló 1. Keressük meg az összes olyan kett hatványt, melynek els kett hatványt kapunk. (mindez persze tízes számrendszerben)





jegyét törölve ismét egy





(A Perlin, 3 pont) 2. Az ABCD húrnégyszög AB és CD oldalegyeneseinek metszéspontja legyen M, A BC és AD oldalegyeneseké pedig N. Tudjuk, hogy BM=DN. Bizonyítsuk be, hogy CM=CN. (F Nazarov, 3 pont) 3. Leírjuk egy sorba a következ számokat: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ….., 1/1993. A következ sorba a szomszédosak különbségeit: 1/2, 1/6, ……, 1/(1992⋅1993). Így folytatva minden sorban egyel kevesebb szám lesz. Mely szám áll az utolsó sorban egyedül? (GW Leibnitz, 3 pont) 4. Van három kupac kavicsunk. Valamely kupachoz hozzátehetünk, vagy elvehetünk bel le annyi kavicsot, amennyi a másik kett ben van összesen. Például a [12,3,5]-b l lehet [12,20,5], ha a második kupachoz adunk12+5-öt, vagy lehet [4,3,5] is, ha az els b l elveszünk 3+5-öt. Az [1993,199,19] kupacokból indulva elérhet -e, hogy az egyik kupac éppen elfogyjon? (MN Gusarov, 4 pont)




















51




Városok Viadala SENIOR, 1992-93. tavasz, második forduló 1. Egy egységnégyzet belsejében egymást nem fed kisebb négyzetek vannak. A kis négyzetek különböz méret ek lehetnek. Meghúzzuk az egységnégyzet egyik átlóját és tekintjük azon kis négyzeteket, melyeket ez az átló elmetsz. Lehet-e ezek kerületének összege nagyobb, mint 1993? (AN Volmogorov, 4 pont) 2. Az ABC háromszög AB oldalára kifele rajzolunk egy O középpontú négyzetet. Legyenek M és N rendre a BC és AC oldalak felez pontjai. BC=a és AC=b rögzített, a C-nél lev szög változhat. Legfeljebb mekkora lehet OM+ON? (IF Sarygin, 5 pont) 3. Szeretnénk k ember közt szétosztani egy örökséget. Egy örököst szegénynek nevezünk, ha 99$-nál kevesebbet, és gazdagnak, ha 10 000$-nál többet kap. Lehetnek olyan örökösök is, akik sem szegénynek, sem gazdagnak sem tekinthet k. Az örökség összege és az örökösök száma olyan, hogy bárhogy osztják szét, a gazdag örökösök összes öröksége nem lesz kevesebb, mint a szegényeké. Mutassuk meg, hogy a gazdag örökösök összesen legalább 100-szor annyit kaptak, mint a szegények összesen. (F Nazarov, 5 pont) 4. Pozitív egészeket írunk a táblára egymás után. A soron következ tagnak mindig olyannak kell lennie, hogy ne fejezhessük ki a korábbiaknak nem negatív egész együtthatós lineáris kombinációjával. Azaz az an+1-et ne írhassuk fel k1⋅a1+k2⋅a2+….+kn⋅an alakban, ahol ki számok nem negatív egészek. Mutassuk meg, hogy a sorozat nem lehet végtelen hosszú. (A. Belov, 6 pont) 5. Létezik-e olyan "darabonként lineáris" függvény, mely a [-1,1]-en értelmezett s melyre f(f(x))=-x teljesül minden x-re? (Egy függvényt nevezzünk darabonként lineárisnak, ha grafikonja véges sok pont és szakasz uniója; nem kell folytonosnak lennie. ) (6 pont) 6. A juniorok 6. feladata. Itt 3+3 pont. 7. Egy növényhatározó minden növényt ugyanazon 100 tulajdonság segítségével ír le. Minden növény egy adott tulajdonság szerint nézve vagy rendelkezik azzal, vagy nem. Két növényt "jelent sen különböz nek" tartunk, ha legalább 51 tulajdonságban eltér ek. a) Mutassuk meg, hogy a növényhatározóban nem lelhetünk 50-nél több, páronként jelent sen különböz növényt. b) Található 50 ilyen? (Dima Teresin, 4+4 pont)
































52

Városok Viadala JUNIOR, 1993-94. sz, els forduló 1. Vegyünk egy hatszöget, egy-egy számmal az oldalain és a csúcsain. Bármely csúcsra írt szám egyenl a csúcsból induló oldalakra írt számok összegével. Tegyük fel, hogy az összes oldalra írt számot és egy csúcsra írt számot leradíroztunk az ábráról. Meg tudjuk határozni azt, hogy melyik számot radíroztuk le a csúcsról? (3 pont) 2. Egy háromszög A, B, C csúcsait összekötjük a velük szemközti oldalakon lev A’, B’, C’ pontokkal, melyek nem esnek egybe a háromszög csúcsaival. Lehetséges az, hogy az AA’, BB’, CC’ szakaszok felez pontjai egy egyenesbe esnek? (3 pont) 3. Adott egy A természetes szám. Hozzáadhatunk egy számot az osztói közül (1


















JUNIOR, 1993-94. sz, második forduló 1. Tíz egész számot leírtunk egy sorba. Egy második, szintén 10 számból álló sort a következ képpen írtunk le: bármely els sorban lév A egész alatti egész egyenl az A jobb oldalán szerepl , A-nál nagyobb számok számával. Ugyanígy kaptuk a harmadik sort, és így tovább. a) Bizonyítsuk be, hogy néhány ilyen lépés után megjelenik egy csak nullákból álló sor. b) Legfeljebb hány, nem csak nullákból álló sor lehet? (S. Tokarev, 2+2 pont) 2. A PQRS négyzet úgy helyezkedik el az ABCD négyzet belsejében, hogy az AP, BQ, CR és DS szakaszok egyike sem metszi a másikat, vagy a PQRS négyzetet. Bizonyítsuk be, hogy az ABQP és CDSR négyszögek területének összege egyenl a BCRQ és DAPS négyszögek területének összegével. (3 pont) 3. Egy nem-konvex, önmagát nem metsz négyszög három szöge 45 fok (azaz a negyedik 225 fok). Bizonyítsuk be, hogy oldalainak felez pontjai egy négyzet csúcsai. (V Proizvolov, 3 pont) 4. Egy 8x8-as táblán minden egységoldalú négyzet egyik átlóját behúzzuk. Vegyük a 64 megrajzolt átló unióját, jelölje ezt W. A W halmaz tartalmaz néhány összekötött részt (két pont akkor és csak akkor tartozik egy részhez, ha W tartalmaz egy vonalat a két pont között). Lehet nagyobb az ilyen részek száma (a) 15-nél? (b) 20-nál? (NB Vasziljev, 2+3 pont) 5. Jelölje S(n) az n (tízes számrendszerbeli) szám jegyeinek összegét. Léteznek-e olyan n, p, q természetes számok, melyekre teljesül, hogy n+S(n) = p+S(p) = q+S(q)? (M Gerver, 6 pont) 6. Készítsünk egy k darab egész grammos súlyból álló készletet úgy, hogy az összes egész grammot ki tudjuk mérni 1-55 g között, még akkor is, ha néhány súly elveszik a készletb l. Tekintsünk két változatot: a) k = 10, és bármely súly elveszhet, de csak az egyik. b) k =12, és bármely két súly elveszhet. (Mindkét esetben bizonyítsuk be, hogy a készlet megfelel a követelményeknek.) (D Zvonkin, 4+4 pont)





























53

Városok Viadala JUNIOR, 1993-94. tavasz, els forduló 1. Szerkesszünk meg egy konvex négyszöget, ha adottak oldalainak hosszai, valamint az átlók felez pontjait összeköt szakasz hossza. (3 pont) 2. 60 gyerek ment el egy nyári táborba. Bármely 10 gyerek között van legalább 3, akik ugyanabban a háztömbben laknak. Bizonyítsuk be, hogy van legalább 15 gyerek ugyanabból a háztömbb l. (4 pont) 3. Legyen O az A1A2…An konvex sokszög belsejében úgy, hogy ΟΑ1Αn∠≤ΟΑ1Α2∠≤ΟΑ2Α1∠≤ΟΑ2Α3∠≤ ... ≤ΟΑn−1Αn−2∠≤ΟΑn−1Αn∠≤ΟΑnΑn−1∠≤ΟΑnΑ1∠, ahol az összes szög hegyesszög. Bizonyítsuk be, hogy O a sokszög beírt körének középpontja. (V Proizvolov, 4 pont) 4. Tíz pénzdarab van körben elhelyezve, mindegyik fejet ábrázol (az írás van alul). Két lépés engedélyezett: a) megfordítani négy egymás melletti érmét, b) megfordítani négy érmét, amelyek így helyezkednek el: XXOXX (X egy megfordítandó érme, O érintetlen marad). Lehetséges-e ilyen lépésekkel elérni azt, hogy mind a tíz pénzen írás legyen felül? (A Tolpygo, 5 pont)











54

Városok Viadala JUNIOR, 1993-94. tavasz, második forduló 1. Egy kislány elfelejtette kiírni a szorzójelet két három-jegy szám közé, és egybe írta ket. Ez a hatjegy szám háromszor nagyobbnak bizonyult, mint a szorzás eredménye. Találjuk meg ezeket a számokat. (A Kovaldzhi, 3 pont) 2. Két kör metszi egymást az A és B pontokban. Érint ket húzunk a két körhöz A-ban, melyek metszik a köröket az M és N pontokban. A BM és BN egyenesek további egy-egy pontban metszik a köröket, P-ben és Q-ban. Bizonyítsuk be, hogy az MP és NQ szakaszok egyenl k. (I Nagel, 3 pont) 3. 450 parlamenti képvisel mindegyike ad egy pofont egy másik képvisel nek. Bizonyítsuk be, hogy ezek után tudnak választani egy 150 tagú bizottságot úgy, hogy k nem kaptak pofont a bizottság egyik tagjától sem. (3 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz elem között van két egyenl , ha minden sorból és oszlopból csak egy elemet választhatunk. 0 1 2 3 ... 9 9 0 1 2 ... 8 8 9 0 1 ... 7 ... 1 2 3 4 ... 0 (A Savin, 4 pont) 5. Létezik olyan konvex ötszög, melyb l egy vágással levágható egy hozzá hasonló ötszög? (S Tokarev, 5 pont) 6. A számegyenesen minden egésznél van egy lámpa egy kapcsolóval. Ha a kapcsolót megnyomjuk, az ég lámpa lekapcsolódik, míg egy nem ég felkapcsolódik. Kezdetben semelyik lámpa sem ég. Egy sablon, véges darab, egymástól egész távolságra lev lyukkal rajta, van a számegyenesen. A sablont merev testként mozgathatjuk a számegyenes mentén, és bármely meghatározott helyzetében megnyomhatjuk az összes kapcsolót, melyek elérhet k a lyukakon keresztül. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen sablonnal el tudjuk érni azt, hogy pontosan két lámpa égjen. (B Ginsburg, 5 pont) 7. Egy 10×10-es négyzethálón (amit úgy hívunk, “az öböl”), el kell helyeznünk 10 “hajót”: egy darab 1×4-es hajót, két darab 1×3-as hajót, három darab 1×2-es hajót és négy darab 1×1-es hajót. A hajóknak nem lehetnek közös pontjaik (még a sarkuk sem), de érinthetik az öböl “partját”. Bizonyítsuk be, hogy: a) a fenti sorrend szerint egymás után rakva le a hajókat, mindig lehetséges a hajók elhelyezése. b) ha fordított sorrendben helyezzük el a hajókat (a kisebbekkel kezdve), elérhet olyan helyzet, hogy a következ hajó nem fér el (mutassunk erre példát). (KN Ignatjev, 5+2 pont)









































55

Városok Viadala SENIOR, 1993-94. sz, els forduló 1. Véges, vagy végtelen sok megoldása van a következ körében: x2+y3=z2.








egyenletnek a pozitív egészek

(3 pont) 2. Az ABC derékszög háromszög AB átfogóján van az N és M pont úgy, hogy BC=BM és AC=AN. Mutassuk meg, hogy az MCN szög 45 fokos. (3 pont) 3. Az 1,2,3, …,25 számokat beírtuk egy 5×5-ös táblázatba. Minden sorban balról jobbra növekv sorrendben vannak. Keressük meg a középs oszlopban álló számok összegének legkisebb és legnagyobb lehetséges értékét. (5 pont) 4. Péter egy furcsa dobókockát készít. Minden lapjára különböz pozitív egész kerül. A szomszédos lapok számainak eltérése legalább kett . Legalább mennyi lesz a hat szám összege? (5 pont)











SENIOR, 1993-94. sz, második forduló 1. Egy körhöz a küls C pontból érint ket húzunk, az érintési pontok A és B. Tekintsük az ABC "íves háromszöget", melyet a rövidebb AB ív és az AC és BC szakaszok határolnak. Mutassuk meg, hogy ebbe nem rajzolható CA=CB-nél hosszabb szakasz. (3 pont) 2. Felírjuk egymás mellé a számokat 1-t l n-ig: 123…91011…99100…(n). létezik olyan n, melyre mind a tíz jegy ugyanannyiszor szerepel a sorozatban? (A Andjans, 3 pont) 3. Két nem feltétlenül azonos méret szabályos háromszög metszi egymást. A csúcsaik egy hatszöget alkotnak. Az egyik háromszöget eltoljuk (de el nem forgatjuk) úgy, hogy továbbra sincs takarásban a csúcsok egyike se és még mindig metszik egymást. Igazoljuk, hogy közben a hatszög területe nem változott. (V. Proizvolov, 3 pont) 4. Egy konvex 1993 szöget hétszögekre vágtunk. A hétszögek csúcsai lehetnek az eredeti sokszög csúcsai, vagy az eredeti sokszög bels pontjai. Két hétszögnek vagy nincs közös pontja, vagy egyetlen közös csúcsuk van, vagy egy teljes oldaluk közös. Bizonyítsuk be, hogy az eredeti 1993 szögnek lesz három szomszédos oldala, melyek ugyanahhoz a hétszöghöz tartoznak. (A Kanel-Belov, 6 pont) 5. Egy négyzet sarkaiban ül egy-egy béka. Tetsz leges sorrendben ugrálnak, de egyszerre csak egy ugrik. Minden ugró a másik három béka közös súlypontjára tükrözi az induló helyét és oda ugrik. El fordulhat-e, hogy valamelyik béka ráugrik egy másikra? (A. Andjans, 6 pont) 4 3 2 6. Tudjuk, hogy a következ egyenletnek van valós gyöke: x +ax +2x +bx+1=0. Bizonyítsuk be, hogy a2+b2≥8. (A. Jegorov, 8 pont)























56

Városok Viadala SENIOR, 1993-94. tavasz, els forduló 1. Az ABC háromszög köréírt körének A-val átellenes pontja legyen A1. A BC oldal felez pontja legyen A0. Legyen A2 az A1 pontnak az A0-ra vonatkozó tükörképe. Hasonlóan definiáljuk a B2 és C2 pontokat. Mutassuk meg, hogy A2, B2, C2 egybeesnek. (4 pont) 2. Az a1, a2, … sorozat tagjai pozitív egészek. Tudjuk, hogy minden pozitív egész n-re az an+2x2+an+1x+an=0 egyenletnek van valós gyöke. (a) Lehet-e a sorozatnak 10 eleme? (b) Lehet-e a sorozatnak végtelen sok eleme? (A. Sapovalov, 3 pont) 3. Egy tábla csokoládén egyik irányban 8, a másikban 5 osztóvonal segíti a feldarabolást. Összesen 9×6=54 "kockára" törhet így a csoki. Két játékos felváltva törhet a csokiból egy egységnyi széles csíkot és azt megeheti. Ha valaki a végén egy két egységnyi széles csíkot széttör két darab egységnyi szélessé, akkor megeszi az egyik darabot, a másik játékos pedig a másikat. Mutassuk meg, hogy az els játékos meg tud enni legalább 6 "kockával" többet, bárhogy játszik is a másik. (R Fedorov, 4 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 4 pont.














SENIOR, 1993-94. tavasz, második forduló 1. Van-e végtelen sok olyan egészekb l álló számhármas (nem feltétlenül pozitívok), melyekre 2 2 x +y +z2=x3+y3+z3? (NB. Vasziljev, 3 pont) 2. Tekintsük a 0 és 1 közötti számok azon sorozatát, melynek x utáni tagja 1-1-2x. a) Mutassuk meg, hogy amennyiben az els elem racionális, akkor a sorozat periodikus. b) Mutassuk meg, hogy amennyiben a sorozat periodikus, akkor az els elem racionális. (G. Sabat, 2+2 pont) 3. A P(x) polinomnak legalább egy együtthatója negatív. Lehetséges-e, hogy minden hatványában (P(x)n, ahol n>1 egész) csak pozitív együtthatók szerepeljenek? (O. Krizanovszkij, 4 pont) 4. Az ABC háromszög BC oldalán van a D pont. Az ABD és ACD háromszögek beírt köreinek közös küls érint je K-ban metszi AD-t. Mutassuk meg, hogy AK hossza nem függ D helyét l. (I. Sarygin, 5 pont) 5. Keressük meg a legnagyobb olyan M egészet, melynek utolsó jegye nem 0, továbbá valamely, de nem az els , jegyének letörlésével M-nek egy osztóját kapjuk. (A. Galocskin, 5 pont) 6. Az ABCD konvex négyszög szemközti oldalait meghosszabbítjuk, hogy messék egymást. BA és CD metszéspontja P, BC és AD metszéspontja pedig Q. A négyszög A-nál és C-nél lev küls szögfelez inek metszéspontja legyen K. . A négyszög B-nél és D-nél lev küls szögfelez inek metszéspontja legyen L. A P-nél és Q-nál lev szögek küls szögfelez inek metszéspontja M. Bizonyítsuk be, hogy K, L, M egy egyenesre esnek. (S. Markelov, 5 pont) 7. Legyen F egy tetsz leges síkidom (nem konvex). F húrjának nevezünk egy olyan szakaszt, melynek két végpontja F határára esik, többi pontja pedig F-nek bels pontja. a) Létezik-e mindig olyan húr, mely felezi F területét? b) Mutassuk meg, hogy mindig létezik olyan húr, hogy mindkét oldalára a síkidom területének legalább az 1/3-a kerül. c) A b)-beli 1/3 szám növelhet -e? (V. Proizvolov, 3+3+2 pont)


















































57







Városok Viadala JUNIOR, 1994-95. sz, els forduló 1. Néhány fiú és lány kering t táncol. Lehetséges-e, hogy mindegyik lány mindig el tudja táncolni a következ táncot egy szebb, vagy okosabb fiúval mint az el z volt és, hogy minden alkalommal legalább egy lány el tudja táncolni a következ táncot egy szebb és okosabb fiúval, mint az el z partnere? (A fiúk és lányok száma megegyezik és mindenki táncol.) (AY Belov, 3 pont) 2. Adott két kör a síkon, egyik a másikon belül van. Szerkesszük meg a kisebb körön belül azt az O pontot, melyre az O-ból induló összes félegyenest a körök olyan A és B pontokban metszik, melyekre az OA/OB arány állandó. (3 pont) 3. Keressünk öt olyan pozitív egészt, melyek közül bármely kett nek a legnagyobb közös osztója megegyezik a különbségükkel. (SI. Tokarev, 5 pont) 4. Kukutyinban az iskolában 20 diák tanul. Bármely kett nek van egy közös nagyapja. Igazoljuk, hogy van 14 diák, akiknek van egy közös nagyapjuk. (AV. Sapovalov, 5 pont)
































JUNIOR, 1994-95. sz, második forduló 1. Néhány dobozba diókat tettünk. Dobozonként átlagosan 10 dió van. A diók dobozonkénti számának négyzetét átlagolva 1000-nél kisebb számot kapunk. Mutassuk meg, hogy a dobozoknak legalább 10%-a nem üres. (AY. Belov, 3 pont) 2. Egy 8×8-as táblázat 64 egységnégyzetb l áll. Szeretnénk ezt fedni 64 darab fekete és 64 darab fehér azonos méret egyenl szárú derékszög háromszöggel. Egy fedés szép, ha bármely két oldalszomszédos háromszög különböz szín . Hány különböz szép fedés van? (NB. Vasziljev, 4 pont) 3. Az l és m egyenesek egymásra mer legesek, metszéspontjuk éppen egy kör kerületére esik, így a körvonalat három ívre vágják. Minden íven kiválasztunk egy Mi pontot úgy, hogy a kör Mibeli érint jének m és l közé es szakaszát Mi éppen felezze. Mutassuk meg, hogy az M1M2M3 háromszög szabályos. (Przhevalszki, 4 pont) 4. Kiválasztható-e az 1, 1/2, 1/3, …sorozatból (a) egy 100 elem részsorozat; (b) egy végtelen részsorozat úgy, hogy minden számra (a harmadiktól kezdve) teljesüljön: ak=ak-2–ak-1. (SI Tokarev, 3+2 pont) 5. Adott két periodikus sorozat, 7 és 13 hosszú periódussal. Legfeljebb az els hány elemük lehet azonos? (AY. Belov, 6 pont) 6. Adott hat egész szám. Vegyük hatodik hatványaik összegét és vonjunk ki bel le egyet. Így pontosan szorzatuk hatszorosát kaptuk. Mutassuk meg, hogy egyikük 1, vagy -1, a többi pedig 0. (LD. Kurliandcsik, 6 pont) 7. Legyen n darab kör metszete az F alakzat. (A körök sugarai lehetnek eltér k.) Legfeljebb hány íves oldala lehet F-nek? (N. Brodszki, 9 pont)
































58

Városok Viadala JUNIOR, 1994-95. tavasz, els forduló 1. Katinak 10, 15 és 20 forintos bélyegei vannak, 30 darab, összesen 500 Ft értékben. Bizonyítsuk be, hogy több 20 forintos bélyege van, mint 10 forintos. (3 pont) 2. Három, szöcske, A, B, C egy egyenes mentén helyezkedik el. Az A és C jel ek felez pontjában van a B jel . Minden másodpercben valamelyik szöcske átugorja egy társát úgy, hogy az ugrás két végpontja szimmetrikus legyen az átugrott szöcskére. Néhány ugrás után éppen azokon a helyeken vannak, mint az induláskor. (Csak esetleg más sorrendben.) Bizonyítsuk be, hogy B most is biztosan a középs . (AK. Kovaldzhy, 3 pont) 3. A T1 négyzetbe rajzolt kör L, az L-be rajzolt négyzet T2. A T1 négyzet csúcsai rajta vannak T2 oldalegyenesein. Mekkorák annak a konvex nyolcszögnek a szögei, melynek csúcsai T1 oldalainak L-en lev érintési pontjai és T2 csúcsai? (S. Markelov, 4 pont) 4. Mutassuk meg, hogy 40…09 (a 4 és 9 között legalább egy nulla van) nem lehet négyzetszám. (V. Senderov, 4 pont)











JUNIOR, 1994-95. tavasz, második forduló 1. Legyenek a, b, c egészek. Tudjuk, hogy (a/b)+(b/c)+(c/a) és (a/c)+(c/b)+(b/a) is egészek. Mutassuk meg, hogy a=b=c. (A. Gribalko, 4 pont) 2. Az ABCDEFGHIJ egységoldalú szabályos tízszögb l egy egyenes a PAQ háromszöget metszi le. PA+AQ=1. Tekintsük a tízszög A-tól különböz kilenc csúcsát és azon szögeket, amely alatt ezekb l PQ látszik. Mekkora a szögek összege? (V. Proizvolov, 4 pont) 3. Adott az ABC szabályos háromszög. Keressük meg azon P pontok mértani helyét, melyekre az AP és BP egyeneseknek ugyanakkora szakasza esik a háromszög belsejébe. (4 pont) 4. Lehet-e a+b+c+d prím, ha a, b, c, d pozitív egészek és ab=cd? (5 pont) 5. Adott négy egybevágó derékszög háromszög. Bármely háromszöget kettévághatunk az átfogójához tartozó magassága mentén és az így keletkez kkel is megtehetjük ezt. Igazoljuk, hogy bármennyi vágás után marad legalább kett egybevágó háromszög. (AV. Sapovalov, 8 pont) 6. Elhelyezhet -e hat paralelepipedon (semely kett nek nincs közös pontja) úgy a térben, hogy valamely küls pontból egyetlen csúcsot se láthassunk? (nem átlátszóak) (V. Proizvolov, 8 pont) 7. Egy geológus expedíció 80 konzervet vitt magával. Minden doboz súlya különböz és ismert, err l van egy listájuk. Sajnos a konzervdobozok feliratai olvashatatlanná váltak. A szakács azt állítja, hogy tudja, melyikben mi van. Ezt be is tudja bizonyítani a nélkül, hogy felbontana akár csak egyet is. Ehhez csak a listára és egy kétkarú mérlegre van szüksége, mely jelzi a két oldalon lev súly különbségét. Mutassuk meg, hogy ehhez a) négy mérés elegend . b) három mérés nem elegend . (AK. Tolpygo, 4+4 pont)






































59

Városok Viadala SENIOR, 1994-95. sz, els forduló 1. Néhány fiú és lány kering t táncol. Lehetséges-e, hogy mindegyik lány mindig el tudja táncolni a következ táncot egy szebb, vagy okosabb fiúval mint az el z volt és, hogy minden alkalommal legalább 80 %-a a lányoknak el tudja táncolni a következ táncot egy szebb és okosabb fiúval? (A fiúk és lányok száma megegyezik és mindenki táncol.) (AY Belov, 3 pont) 2. Bizonyítsuk be, hogy megszerkeszthet két háromszög egy tetsz legesen kiválasztott tetraéder hat éléb l. (VV Proizvolov, 4 pont) 3. Legyenek a, b, c és d olyan valós számok amelyekre teljesül, hogy: a 3 + b3 + c3 + d 3 = a + b + c + d = 0 . Bizonyítsuk be, hogy a négy közül valamely két szám összege 0. (LD Kurliandchik, 4 pont) 4. Egy téglalap alakú 1x10-es szalagot szétosztunk 10 darab 1x1-es négyzetre. Az 1, 2, ..., 10 számokat beírjuk a négyzetekbe a következ szabály szerint: El ször az 1-es számot elhelyezzük egy szabadon kiválasztott négyzetbe, utána a 2-es számot egy szomszédos négyzetbe majd a 3-as számot egy már korábban elfoglalt mez vel szomszédos üres mez be és így tovább (10-ig). Hány különböz permutációját kapjuk meg az 1, 2, ..., 10 számoknak ily módon? (A Shen, 5 pont)












































SENIOR, 1994-95. sz, második forduló 1. Az x 2 + px + q = 0 egyenlet p és q együtthatóit, megváltoztattuk és az újak legfeljebb 0.001-gyel különböznek a régiekt l. Különbözhet-e az új egyenlet nagyobbik gyöke a régit l 1000-rel vagy annál többel? (3 pont) 2. Mutassuk meg hogy lehet a teret a) egybevágó tetraéderekre b) egyenl oldalú egybevágó tetraéderekre osztani. (Egy tetraédert egyenl oldalúnak nevezünk ha az összes oldala egybevágó háromszög.) (NB Vassiliev, 2+2 pont) 3. Az AD súlyvonal az ABC háromszög beírt körét (amelynek a középpontja O) az X és Y pontokban metszi. Mekkora az XOY szög ha AC = AB + AD? (A Fedotov, 4 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív a1 , a 2 , , a n számra az






















2

2



1 + a1 1 + a 2 a2 a3 egyenl tlenség érvényes. 

































1+

an2 



a1

≥ (1 + a1 )(1 + a2 )...(1 + an )




(LD Kurliandchik, 5 pont) 5. Két periodikus sorozatnak a periodusa, m és n, relatív prím egymáshoz. Legfeljebb az els hány eleme egyezhet meg a két sorozatnak? (AY. Belov, 6 pont) n 6. Legyen cn a 2 –nek az els számjegye (a 10-es számrendszerben). Bizonyítsuk be, hogy ennek a sorozatnak 13 szomszédos eleme, (ck,ck+1,....,ck+12) 57 féle lehet. (AY Belov, 7 pont) 7. A juniorok 7. feladata. Itt 8 pont.





60

Városok Viadala SENIOR, 1994-95. tavasz, els forduló 1. Legyenek a, b, c, d a [0,1] intervallum pontjai. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan x pont ebben az intervallumban, amelyre érvényes a következ : 1 1 1 1 40 . + + + x−a x−b x−c x−d (LD Kurliandchik, 3 pont) 2. Egy négyzet minden csúcsában egy-egy szöcske ül. Minden másodpercben az egyik szöcske átugrik egy másik szöcskén az erre a csúccsal tükrös pontba (ha az X jel az Y-on keresztül ugrik át az X’ pontba, akkor X, Y és X’ egy egyenesen vannak és XY = YX’). Bizonyítsuk be, hogy néhány ugrás után semelyik három szöcske sem lehet: a) a négyzet valamelyik oldalával párhuzamos egyenesen b) egy egyenesen. (AK Kovaldzhy, 3+3 pont) 3. Egy O középpontú körbe egy ABC háromszöget írtunk be. Legyen q az a kör amelyik az A, O és B pontokon megy keresztül. CA és CB egyenesek q-t a D és E (A és B-t l különböz ) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a CO és DE egyenesek egymásra mer legesek. (S Markelov, 4 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy az a0...09 (melyben a 0-tól különböz számjegy és melyben legalább egy 0 van) nem négyzetszám. (VA Senderov, 4 pont)

















SENIOR, 1994-95. tavasz, második forduló 1. Létezik-e olyan gömb, amelyik csak egy racionális ponton halad át? (A racionális pont az olyan pont, amelynek koordinátái mind racionális számok.) (A Rubin, 4 pont) 2. Az n mely értékeire lehetséges egy n-szög alapú hasáb éleit kiszínezni három színnel úgy, hogy minden csúcsban legyen mindhárom szín él és a hasáb összes lapja –az alap és fed lap is– tartalmazzon mindhárom szín élt? (AV Shapovelov, 4 pont) 3. Egy trapéz nem párhuzamos oldalai két körnek az átmér i. Bizonyítsuk be, hogy mind a négy érint , amit az átlók metszéspontjaiból szerkesztünk a két körhöz, egyenl hosszú (ha ez a pont a két körön kívül helyezkedik el). (S Markelov, 5 pont) 4. Néhány pontot megjelöltünk a síkon, melyeknek koordinátái egész számok. Tudjuk, hogy semelyik négy pont sem fekszik egy körön. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan 1995 egységnyi sugarú kör, amelyben nincs megjelölt pont. (AV Shapovelov, 6 pont) 5. a) Osszuk fel a [0,1] intervallumot kisebb fekete és fehér intervallmokra úgy, hogy bármely legfeljebb másodfokú p(x) polinom növekményeinek összege a fekete és fehér intervallumokon egyenl legyen. (p(x) növekményén [a,b]-n p(b)-p(a) értend .) b) Felosztható-e úgy az intervallum, hogy minden legfeljebb 1995-ödfokú polinomra megmaradjon a kívánt tulajdonság? (Burkov, 4 pont) 6. Létezik-e olyan nem konvex poliéder, amelynek egyik csúcsa sem látható egy küls M pontból? (A poliéder anyaga nem átlátszó.) (AY Belov, S Markelov, 8 pont) 7. Bizonyítsuk be, hogy egy 50 tagú csoportban mindig van két ember, akiknek páros számú (a 0 is lehetséges) közös ismer se van a csoporton belül. (SI Tokarev, 10 pont)























61

Városok Viadala JUNIOR, 1995-96. sz, els forduló 1. Adott a síkon egy négyzet. Valaki egy láthatatlan pontot helyez el a síkon, melyet csak lát egy különleges szemüveggel. Szeretnénk eldönteni, a négyzet belsejében van-e. Ha behúzunk egy egyenest az illet megmondja, melyik oldalán van a pont, vagy azt, hogy éppen rajta van. Hány egyenesre lesz szükségünk? (3 pont) 2. Megadható-e 100 különböz pozitív egész úgy, hogy összegük és legkisebb közös többesük ugyanannyi legyen? (S. Tokarev, 3 pont) 3. Az egységnyi terület ABCD téglalapot összehajtottuk egy egyenes mentén úgy, hogy C A-hoz került. Igazoljuk, hogy a kapott ötszög területe kisebb 0,75-nél. (3 pont) 4. Az ABC háromszög A csúcsából három szakaszt húztunk. AM a bels , AN a küls szögfelez , AK a köréírt kör érint je. (M, K, N a BC oldalegyenesen vannak.) Bizonyítsuk be, hogy MK=KN. (I. Sharigin, 5 pont)


























JUNIOR, 1995-96. sz, második forduló 1. Mutassuk meg, hogy minden hegyesszög háromszög belsejében kiválasztható egy pont úgy, hogy az oldalakra es vetületei éppen egy szabályos háromszöget határoznak meg. (N.B. Vasziljev, 5 pont) 2. Egy sorozat els öt eleme 1,2,3,4,5. Innen kezdve minden elem az összes el tte lev elem szorzatánál eggyel kisebb. Igazoljuk, hogy az els hetven elem szorzata egyenl négyzeteik összegével. (L.D. Kurliandcsik, 5 pont) 3. Az ABC háromszög szögfelez i legyenek AK,BL,CM. Legyen P és Q a BL és CM egyeneseinek olyan pontjai, melyekre AP=PK és AQ=QK. Mutassuk meg, 1 hogy PAQ∠ = 90° − BAC∠ . 2 (I. Sharigin, 5 pont) 4. Egy összejövetelen n ember van. Egy újságíró keresi Z-t, akir l tudja, hogy Z mindenkit ismer, de senki sem ismeri Z-t. Újságírónk tetsz legesen választhat két embert s egyikükt l megkérdezheti, ismeri-e a másikat. A válaszok igazak. (Egy ember többször is választható.) a) Biztosan megtalálhatja Z-t n-nél kevesebb kérdésb l? b) Hány kérdésre van legalább szükség Z megtalálásához? (G. Galperin, 3+3 pont) 5. Egyszer sokszögnek nevezünk egy olyan alakzatot, melynek határa egy önmagát nem metsz zárt töröttvonal. a) Van-e két egybevágó egyszer hétszög, melyeknek csúcsai közösek, de nincs közös élük? b) Van-e három ilyen hétszög? (V. Proizvolov, 5+2 pont) 6. Egy 1 × 1000 − es táblán a következ játékot játsszák. Kezdetben a tábla mellett van egy dobozban n korong. Felváltva lép A és B. El ször az A játékos kiválaszt legfeljebb 17 korongot akár a tábláról, akár a dobozból s elhelyezi ket üres mez kbe. Minden mez be legfeljebb egy korong kerülhet. A B játékos tetsz legesen sok korongot levehet, melyek egymást követ mez kön állnak s visszateszi ket a dobozba. A játékot A nyeri, ha mind az n korong felkerül a táblára, ráadásul mind szomszédos mez kön vannak. a) Mutassuk meg, hogy A gy zhet, ha n=98. b) Mi a legnagyobb n, melyre A nyerni tud? (A. Sapovalov, 4+5 pont)




































































62




Városok Viadala JUNIOR, 1995-96. tavasz, els forduló 1. Egy hegyesszög háromszög minden szöge fokokban mérve egész és a legkisebb szög a legnagyobbnak egyötöde. Mekkorák a szögek? (G. Galperin, 2 pont) 2. Létezik-e olyan pozitív egész n melyre az alábbi három szám: a) n-96, n, n+96; b) n-1996, n, n+1996 mindegyike pozitív prím? (V. Senderov, 2+2 pont) 3. Az ABC derékszög háromszög beírt körének meghúzzuk azon érint it, melyek mer legesek az AB átfogóra. Ezek az átfogón kimetszik a P és Q pontokat. Mekkora a PCQ∠ ?








(M. Evdokimov, 4 pont) 4. a) Rajzoljunk olyan körbeírható hurkolt hatszöget, mely önmagát a lehet legtöbb pontban metszi. b) Igazoljuk, hogy ennél több önmetszés nem lehet. (N.B. Vasziljev, 3+3 pont) 5. Egy 10 × 10 − es táblán ketten játszanak. Az els minden lépésben egy üres mez re tesz egy X-et, a második egy O-t. Ha mind a 100 mez elfogyott megszámolják, hány helyen van a táblán öt szomszédos X. Ezek lehetnek sorban, oszlopban, vagy átlóban. (pl. ha egy sorban 7 egymást követ X van, akkor az 3-nak számít.) Ez legyen az els játékos száma. Hasonlóan az Okat nézve kapjuk a második játékos számát. Az nyer, akinek a száma nagyobb, egyenl ség esetén döntetlen. Van-e az els játékosnak (a) nem veszt , (b) nyer stratégiája?





























(A. Belov, 3+3 pont) JUNIOR, 1995-96. tavasz, második forduló 1. Igazoljuk, ha az a, b, c pozitív számokra a2+b2-ab=c2, akkor (a-c)(b-c)≤0. (A. Egorov, 3 pont) 2. Az O és O’ középpontú közös pont nélküli körök egyik bels érint je a köröket rendre az A, A’ pontokban érinti. Az OO’ szakasz a köröket rendre B, B’ pontokban metszi. Legyen AB és A’B’ egyeneseinek metszéspontja C. Az OO’-re mer leges C-n áthaladó egyenes D-ben metszi az AA’ egyenesét. Bizonyítsuk be, hogy AD=A’D (3 pont) 3. Van sorban 1996 számunk. Mutassuk meg, hogy kiválasztható néhány szomszédos úgy, hogy összegük egy egész számhoz 0,001-nél közelebb van. (A. Kanel, 3 pont) 4. Egy bástya áll egy n×m-es tábla egyik sarkánál. Két játékos felváltva mozgatja a figurát, mely eközben befesti azokat a mez ket, melyek fölött elhalad, ill. melyeken megáll. A bástya nem haladhat el befestett mez fölött s nem is állhat meg ilyenen. Aki nem tud lépni veszt. Melyik játékosnak van nyer stratégiája és hogyan kell játszania? (B. Begun, 5 pont) 5. 8 diák gondolkozott 8 feladaton. ( Mindenkinek ugyanaz a 8.) a) Minden feladatot 5 diák oldott meg. Igazoljuk, hogy található két diák úgy, hogy minden feladatot megoldotta valamelyikük. b) Minden feladatot 4 diák oldott meg. Bizonyítsuk be, lehetséges, hogy nincs két ilyen diák. (S. Tokarev, 3+3 pont) 6. Az ABC szabályos háromszög AB oldalának A-hoz legközelebbi n-edel pontja D.




















n −1

Legyenek a P1, P2. … , Pn-1 a BC oldal n-edel pontjai. Igazoljuk, hogy


i =1

DPi A∠ = 30° , ha a)

n=3; b) n>2. (V. Proizvolov, 3+5 pont) 63

Városok Viadala SENIOR, 1995-96. sz, els forduló 1. Adott a síkon egy négyzet. Valaki egy láthatatlan pontot helyez el a síkon. Szeretnénk eldönteni, a négyzet belsejében van-e. Ha behúzunk egy egyenest az illet megmondja, melyik oldalán van a pont, vagy azt, hogy éppen rajta van. Hány egyenesre lesz szükségünk? (3 pont) 2. Megadhatunk-e a) négy; b) öt különböz pozitív egészet úgy, hogy bármely három szám összege prím legyen? (V. Senderov, 2+2 pont) 3. Egy 6 jegy szám balról számított els jegye 5. Tudunk minden esetben a szám után írni további hat jegyet úgy, hogy a kapott szám négyzetszám legyen? (A. Tolpygo, 3 pont) 4. Adott a síkon három különböz pont, A, B és C. Szerkesztend C-n át olyan m egyenes, melyt l A és B távolságainak szorzata a lehet legnagyobb! Igaz-e, hogy a ponthármas egyértelm en meghatározza m-et? (N.B. Vasziljev, 5 pont)


























SENIOR, 1995-96. sz, második forduló 1. Az ABCD konvex négyszög bels pontja P. Az APB ∠ , BPC∠ , CPD∠ és DPA∠ szögfelez i az AB, BC, CD, DA szakaszokat rendre a K, L, M, N pontokban metszik. a) Adjunk meg egy olyan P pontot, melyre KLMN paralelogramma. b) Adjuk meg az ilyen P-k mértani helyét! (S. Tokarev, 3+2 pont) 2. Legyen n db valós szám szorzata p, p-nek mind az n számtól való különbsége páratlan egész. Igazoljuk, hogy mind az n szám irracionális! (G. Galperin, 5 pont) 3. Egy téglalap oldalai a és b (a>b). Feldaraboljuk derékszög háromszögekre úgy, hogy bármely kett nek van egy közös oldala, vagy egy közös csúcsa, vagy nincs közös pontjuk. Még azt is tudjuk, hogy minden közös oldal a két szomszédos háromszög egyikében befogó, a másikban pedig átfogó. Bizonyítsuk be, hogy a ≥ 2b . (A. Sapovalov, 5 pont) 4. Egy Forma 1-es verseny célegyenesében a néz tér els sorában 1000 szék van sorban számozva 1-t l 1000-ig. Ebbe a sorba n jegyet adtak el, 100




























































64




Városok Viadala SENIOR, 1995-96. tavasz, els forduló 1. Megkérdeznek 100 embert: „Az új elnök jobb lesz-e, mint a régi volt?” Jelölje a „jobb lesz” válaszok számát a, az „egyformák” válaszok számát b, a „rosszabb lesz” válaszok számát c. Szociológusok kiszámolják a lakosságra jellemz optimizmus indexeket: m=a+0,5b és n=a-c. Tudjuk, hogy m=40. Mennyi lehet n? (A. Kovaldji, 3 pont) 2. Az 1,2, …, 9 számokat valamilyen sorrendben leírva alkotunk egy 9 jegy számot. Tekintsük a szomszédos hármasok alkotta hét darab háromjegy szám összegét. Legfeljebb mekkora lehet ez az összeg? (A. Galocskin, 3 pont) 3. Vegyük az 1!, 2!, …. ,100! számokat. Kiválasztható-e közülük egy úgy, hogy a megmaradtak szorzata négyzetszám legyen? (S. Tokarev, 4 pont) 4. Kitölthet -e a tér szabályos tetraéderekkel és oktaéderekkel? (A. Belov, 4 pont) 5. Az ABC háromszög oldalaira kifele négyzeteket rajzolunk, ezek ABMN, BCKL, ACPQ. Az ABMN és BCKL területének különbsége d. Határozzuk meg az NQ és PK oldalú négyzetek területeinek különbségét, (a) ha ABC∠ = 90° ; (b) tetsz leges háromszögnél. (A. Gerko, 3+2 pont)











65

Városok Viadala SENIOR, 1995-96. tavasz, második forduló 1. Elhelyezhet -e egy kocka a térben úgy, hogy csúcsainak egy adott síktól való távolságai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7 legyen? (V. Proizvolov, 4 pont) 2. Az xy koordinátarendszerben adott a C középpontú 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 négyzet. A küls M pont koordinátái nem egészek. M-b l indul egy szöcske, arra a pontra ugrik, mely M tükörképe a négyzet „legbaloldalibb” csúcsára nézve, a szöcske néz pontjából. (Képzeljük el, hogy M-ben állunk és vesszük a csúcsok felé futó irányokat. Ezek közül választjuk a leginkább balra futót.) Legyen M és C távolsága d. Bizonyítsuk be, hogy akárhányszor ugrik is a szöcske, soha nem kerül 10d-nél távolabb C-t l. (A. Kanel, 5 pont) 3. Az ABC háromszögben AB=AC, BAC∠ = α . Legyen D az AB szakasz olyan pontja, melyre AD=AB/n. Legyenek a P1, P2. … , Pn-1 a BC oldal n-edel pontjai. Mekkora lesz α

















n −1

függvényében i =1

DPi A∠ , ha (a) n=3; (b) n>2. (V. Proizvolov, 3+4 pont)

Katonaországban két szigorú törvény van:

4.

i) Mindenki, aki szomszédjainak legalább 80%-ánál alacsonyabb, mentesül a katonai szolgálat alól. Szomszéd alatt értünk mindenkit, akinek lakhelye r-nél közelebb van. ii) Mindenki, aki szomszédjainak legalább 80%-ánál magasabb, szolgálhat a rend rségnél. Szomszéd alatt értünk mindenkit, akinek lakhelye R-nél közelebb van.


Szerencsére minden ember maga választhatja meg, mekkora sugarú legyen a saját r és R szomszédsága, ez lehet akár minden embernél más és más. Lehet-e, hogy az ország legalább 90%-a mentesül a katonai szolgálat alól és ezzel egy id ben legalább 90% szolgálhat a rend rségnél? (Az emberek lakóhelye a síkon rögzített.) (N. Konstantinov, 6 pont) 5. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan n-1, n, n+1 számhármas van, melyre a) közülük csak n írható fel két négyzetszám összegeként. b) mindhárom felírható két négyzetszám összegeként. (V. Senderov, 3+5 pont) n 6. Egy 2 × n -es táblázat minden mez jében +1, vagy –1 van úgy, hogy nincs két azonos sor. Kés bb néhány számot 0-ra változtattak. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható néhány sor úgy, hogy a) a kiválasztott sorokban álló összes szám összege 0. b) a kiválasztott sorok minden oszlopában a számok összege 0. (G. Kondakov, V. Csernorutszkij, 4+5 pont)











66

Városok Viadala JUNIOR, 1996-97. sz, els forduló 1. Találhatunk-e 10 egymást követ pozitív egészet, melyek négyzetének összege egyenl az utánuk következ kilenc szám négyzetének összegével? (3 pont) 2. Egy szabályos háromszög oldalai n egységnyiek. Mely n esetén darabolható fel 1,1,1,2 oldalú szimmetrikus trapézokra? (N.B. Vasziljev, 3 pont) 3. Egy társaságban van 10 lány és 9 fiú. a) Lehetséges-e, hogy minden lány különböz számú fiút ismer és minden fiú ugyanannyi leánykát? b) És ha 11 lány és 10 fiú van? (N.B. Vasziljev, 2+2 pont) 4. Van egy rombusz és egy kör. A rombusz minden oldalát két pontban metszi a kör. A rombusz oldalain keletkezett kis szakaszokat kiszínezzük egy csúcstól kezdve a kerületen folyamatosan körbe haladva piros, fehér és kék színekkel. Mutassuk meg, hogy a piros szakaszok összhossza egyenl a kékekével. (V. Proizvolov, 4 pont)




















JUNIOR, 1996-97. sz, második forduló 1. Kiszínezhetünk-e a síkon négy-négy különböz pontot pirosra és kékre úgy, hogy bármely három azonos szín t véve, k a másik szín egy pontjával együtt paralelogrammát alkossanak? (N.B. Vasziljev, 3 pont) 2. Létezik-e három különböz prím, p, q, r, melyekre qr osztója p2+d-nek, rp osztója q2+d-nek, pq osztója r2+d-nek, ha a) d=10, b) d=11? (V. Senderov, 2+2 pont) 2 2 7 14 23 k −2 9998 + + + + .... + + .... + < 3. 3. Igazoljuk az egyenl tlenséget: 2! 3! 4! 5! k! 100! (V. Senderov, 5 pont) 4. a) Egy négyzetet felvágtunk derékszög háromszögekre, melyek befogói 3 és 4 egységnyiek. Mutassuk meg, hogy a háromszögek száma páros. b) Most téglalapot vágunk, és a befogók 1 és 2 hosszúak. Mutassuk meg, hogy a háromszögek száma páros. (A. Sapovalov, 4 pont) 5. Van-e olyan hatjegy pozitív egész, jelölje A, melyre az A, 2A, 3A,.....,500000A közt nincs olyan, mely hat azonos jegyre végz dne? (S. Tokarev, 8 pont) 6. Egy játékban egy hatszor hatos tábla mez i közül kisorsolnak hat db vesztes mez t. A játékban résztvev szelvényeken is hat mez t kell bejelölni. a) Mutassuk meg, hogy kitölthet 9 szelvény úgy, hogy tetsz leges húzás esetén legalább az egyikükön ne legyen vesztes mez ! b) Igazoljuk, hogy 8 szelvény nem elég ehhez. (S. Tokarev, 5+5 pont)






































67

Városok Viadala JUNIOR, 1996-97. tavasz, els forduló 1. Hány pozitív egész van 1-t l 1997-ig, melyek jegyeinek összege osztható 5-tel? (A.I. Galocskin, 3 pont) 2. Münchausen báró azt meséli, hogy egy szabályos háromszög alakú billiárdasztalon játszva sikerült úgy ütnie az asztal valamelyik oldalától indítva, hogy a golyó miel tt visszatért volna a kiindulási helyére, az asztal egy adott pontján át három irányból is áthaladt. Hihetünk-e neki ez esetben? (M. Evdokimov, 3 pont) 3. Tekintsük egy kör két mer leges szimmetriatengelyét. A bels M pont a tengelyekt l a és b távolságra van, rajta keresztül párhuzamosakat húztunk a tengelyekkel és ezen egyenesek mentén szétvágtuk a kört. Az így kapott négy rész legnagyobbika és legkisebbike területének összegéb l kivontuk a másik két rész területének összegét. Mennyi az eredmény? (G. Galperin, N.B. Vasziljev, 4 pont) 4. Egy négyzetet felosztottunk 25 kis négyzetre. Egyikük oldalhossza nem 1, a többié 1. Mekkora a négyzet területe? (V. Proizvolov, 4 pont) 5. Az ABCD paralelogrammának AD oldalát felezi E. B-b l mer legest állítunk CE egyenesére, ennek talppontja F. Bizonyítsuk, hogy ABF egyenl szárú háromszög. (M.A. Bolcskevics, 4 pont)





























JUNIOR, 1996-97. tavasz, második forduló 1. Az ABC háromszög oldalaira a+b=3c. Mutassuk meg, hogy C-nél van a legkisebb szög. (A.K. Tolpygo, 3 pont) 2. Van 25 különböz súlyú sajtunk. Mindig megtehet -e, hogy valamely sajt kettévágásával a sajtok két 13 darabos, egyenl súlyú kupacba rendezhet k legyenek úgy, hogy a kettévágott sajt darabjai különböz kupacba kerülnek? (V.L. Dolnyikov, 5 pont) 3. 2n sakkozó két teljes körmérk zést játszott. A pontozás szokásosan 1, 0.5, 0. Minden játékos második fordulóbeli pontjainak összege az els fordulóhoz képest legalább n-nel változott. Bizonyítsuk, hogy akkor pont n-nel változott. (B. Frenkin, 5 pont) 4. Az AC'BA'CB' konvex hatszögben A∠ + B∠ + C∠ = A' ∠ + B ' ∠ + C ' ∠ és AB'=AC', BC'=BA', CA'=CB'. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög területe fele a hatszögének. (V. Proizvolov, 6 pont) 5. Bizonyítsuk, hogy a) 9797 ; b) 199717 nem lehet szomszédos természetes számok köbeinek összege.




















(A.A. Jegorov, 4+4 pont) 6. Az ABC háromszög bels pontja P, AB=BC. ABC∠ = 80°, PAC∠ = 40° , ACP∠ = 30° . Határozzuk meg a BPC szög nagyságát. (G. Galperin, 7 pont) 7. Egy súlykészletben a következ grammos súlyok vannak: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, mindb l egy darab. A kétkarú mérlegünk mindkét serpeny jébe tehetünk súlyokat. a) Bizonyítsuk, hogy semelyik súlyt sem mérhetjük le több, mint 89 módon. b) Adjunk példát olyan súlyra, melyet 89 módon mérhetünk le. (A. Sapovalov, A. Kulakov, 5+4 pont)











68

Városok Viadala SENIOR, 1996-97. sz, els forduló 1. Mi azon pontok mértani helye egy kocka belsejében, melyek azonos távolságra vannak a kocka három élét l, melyek páronként kitér k? (V. Proizvolov, 3 pont) 2. Egy kör alakú papírlapot ollóval vághatunk. Egyenes és körív menti vágások segítségével átszabhatjuk-e egy vele azonos terület négyzetté? (A. Belov, 3 pont) 2 3. Felrajzoltuk a koordinátarendszerben az y=x parabolát. A tengelyeket valaki kiradírozta. Szerkesszük meg ket! (A. Jegorov, 4 pont) 4. Mely n>1 esetén teljesülhet, hogy n+1 lány és n fiú közül minden lány különböz számú fiút ismer és minden fiú ugyanannyi leányt? (N.B. Vasziljev, 4 pont)

















SENIOR, 1996-97. sz, második forduló 1. Kiszínezhet -e egy kocka 4-4 csúcsa pirosra ill. kékre úgy, hogy bármely három azonos szín pont síkján legyen a másik szín ek közül is pont? (Mebius, Sarigin, 3 pont) 2 2 2 2 −2 3 −2 n2 − 2 2. a) Mutassuk meg, hogy n>2 esetén: 3 − < + + ..... + < 3. (n − 1)! 2! 3! n! b) Keressünk olyan a,b,c pozitív egészeket, melyekre n>2 esetén: c 23 − a 33 − a n3 − a b− < + + ..... + < b. 3! n! (n − 2)! 2! (V. Senderov, N.B. Vasziljev, 3+3 pont) 3. Az ABCDEF konvex hatszög AB, BC, CD, DE, EF, FA oldalainak felez pontjai legyenek rendre A', B', C', D', E', F'. Ismerjük a következ háromszögek területeit: ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Határozzuk meg az eredeti hatszög területét. (A. Lopschitz, N.B. Vasziljev, 5 pont) 4. Mutassuk meg, hogy nem létezik oly függvény, melyre f(f(x))=x2-1996 minden valós x-re. (S. Bogatij, M. Smurov, 10 pont) 5. Egy szigetnek négy kiköt je van, körben megszámozva 1,2,3,4. A kiköt ket utak kötik össze, ezek elágazhatnak, keresztez dhetnek, de minden útszakasz egyirányú. Tudjuk még, hogy bármely kiköt b l, vagy keresztez désb l indulva nem juthatunk ugyanoda vissza. Jelölje az i. kiköt b l a j-be vezet utak számát fij. a) Bizonyítsuk, hogy f14f23 ≥ f13f24. b) Bizonyítsuk, hogy hat kiköt esetén f16f25f34+f15f24f36+f14f26f35 ≥ f16f24f35+f15f26f34+f14f25f36. (S. Fomin, 4+6 pont) 6. Egy játékban egy tízszer tizes tábla mez i közül kisorsolnak tíz db vesztes mez t. A játékban résztvev szelvényeken is tíz mez t kell bejelölni. a) Mutassuk meg, hogy kitölthet 13 szelvény úgy, hogy a húzástól függetlenül legalább az egyikükön ne legyen vesztes mez ! b) Igazoljuk, hogy 12 szelvény nem elég ehhez. (S Tokarev, 5+5 pont)



























































69




Városok Viadala SENIOR, 1996-97. tavasz, els forduló 1. Egy kockát 99 kis kockára vágtunk. Egyikük oldala nem egy, a többié egy. Mekkora a kocka térfogata? (V. Proizvolov, 3 pont) 2. Az a és b természetes számokról tudjuk, hogy a2+b2 osztható ab-vel. Mutassuk meg, hogy a=b. (B.R. Frenkin, 3+3 pont) 3. A koordinátarendszer (a,b) pontja köré olyan kört rajzoltunk, melynek az origó a belsejébe esik. Vegyük az els és harmadik ill. a második és negyedik negyedbe es területek összegét. Mekkora e kett különbsége? (G. Galperin, 4 pont) 4. Vegyünk egy szabályos tetraédert és a köréírt gömböt. Az oldalakra kifele szabályos piramisokat teszünk, melyek negyedik csúcsa a gömbön van, ABCD', ABC'D, AB'CD, A'BCD. Mekkora az ABC' és ACD' síkok szöge? (A. Zaszlavszkij, 4 pont) 5. Két játékos felváltva színezi a sík pontjait. Egyikük egy pontot pirosra fest, a következ 10 festetlen pontot színezhet kékre. Ezt felváltva ismételgetik. Az els gy z, ha kialakul egy csupa piros csúcsú szabályos háromszög. Megakadályozhatja-e ezt a másik? (A. Kanel, 4 pont)




















SENIOR, 1996-97. tavasz, második forduló 1. Az el z sor 2. feladata. 2. Az ABC háromszögben AD és BE szögfelez k, D és E a kerületen van. Mekkora az A-nál lev szög, ha DE felezi az ADC szöget? (S.I. Tokarev, 5 pont) 3. Van 20 súlyunk, melyekkel minden egész súly lemérhet 1-t l 1997-ig, mindig csak egy serpeny be helyezve a súlyokat. Mekkora a készlet legnehezebb súlyának minimuma, ha a) a súlyok egészek. b) a súlyok nem feltétlenül egészek. (M. Rasin, 3+3 pont) 4. Az F konvex sokszög belsejében van a G konvex sokszög, nincs közös határpontjuk. F kerületének két pontját összeköt szakaszt F húrjának nevezünk. F húrját hívjuk G-érint nek, ha G-nek csak határpontjait tartalmazza (csúcsát, vagy oldalát). a) Bizonyítsuk, hogy van F-nek olyan G-érint húrja, melynek felez pontja G határán van. b) Igazoljuk, hogy két ilyen is van. (P. Puskar, 6+2 pont) 5. Tudjuk, hogy a, b, c pozitív számok, abc=1. Igazoljuk : 1 1 1 + + ≤ 1. 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a (G. Galperin, 8 pont) 6. F(x)G(x)=1+x+x2+...+xn-1, ahol F és G minden együtthatója nulla, vagy egy, n>1. Igazoljuk, hogy F és G valamelyike el áll (1+x+x2+...+xk-1)T(x) alakban, ahol T minden együtthatja is nulla, vagy egy, k>1. (V. Senderov, M. Vialij, 8 pont) 7. A síkon van véges sok, párhuzamos szél sáv, összes szélességük 100. Mutassuk meg, hogy a sávok eltolhatók önmagukkal párhuzamosan úgy, hogy együtt letakarjanak egy adott, 1 sugarú kört. (M. Smurov, 8 pont)



































70