Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, els forduló 1. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög csúcspontjai az ABCDEF szabályos hatszög AB, CD és EF oldalain helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek és a hatszögnek azonos a középpontja. (N. Sedrakjan, 4 pont) 3. Keressünk 10 különböz pozitív egész számot úgy, hogy mindegyikük osztója legyen az összegüknek. (S. Fomin, 4 pont) 4. Egy 100×100-as négyzet alakú táblát 10 000 egységnégyzetre osztottak fel. Egy egységnégyzetet kivágunk. Le tudjuk-e fedni a tábla többi részét egyenl szárú derékszög háromszögekkel, amelyeknek 2 hosszú az átfogójuk éspedig úgy, hogy átfogóik az egységnégyzetek oldalain helyezkednek el, a másik két oldaluk pedig az átlókon. A háromszögek nem fedhetik egymást, és nem lóghatnak túl a tábla szélén. (S. Fomin, 5 pont)
39/66
Városok Viadala JUNIOR, 1990-91.
sz, második forduló 1 1 . 1. Adott a = és b = 1 1 2+ 2+ 1 1 3+ 3+ ... ... ... + ... + 1 99 99 + 100 1 Bizonyítsuk be, hogy a − b < . 99!⋅100!
(G. Galperin, 4 pont) 2. Az AB átmér re egy S félkört rajzolunk. Egy az S-en lév tetsz leges C pont esetében (C≠A, C≠B) az ABC háromszög AC és BC oldalaihoz a háromszögön kívül négyzeteket illesztünk. Keressük meg a négyzetek középpontjait összeköt szakasz felez pontjainak mértani helyét, miközben a C az S mentén mozog. (J. Tabov, 4 pont) 3. Egy 8×8-as tábla (64 db 1×1-es négyzet) fehérre van festve. Kiválaszthatjuk a 64 négyzet közül bármely 1×3-as téglalapot, és mindhárom négyzetet ellenkez szín re festjük (a feketéket fehérre, a fehéreket feketére). Be lehet az egész táblát feketére festeni ezzel a módszerrel?
(I.S. Rubanov, 5 pont) 4. Egy ABCD négyszög AB, BC, CD illetve DA oldalai rendre egyenl k az A’B’C’D’ négyszög A’B’, B’C’, C’D’ és D’A’ oldalaival. Tudjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel és B’C’ párhuzamos D’A’-vel. Bizonyítsuk be, hogy mindkét négyszög paralelogramma. (V. Proizvolov, 5 pont) 5. Az {xn} számsorozatra teljesül, hogy x n +1 = x n − x n −1 minden n>1 értékre. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat periodikus 9-re, azaz bármely n > 1-re xn = xn+9. (M. Koncsevics, 6 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépés során kihúzunk egy csoport egymás melletti kártyát együtt a csomag bizonyos helyér l és valahova máshova visszarakjuk anélkül, hogy a csoporton belül kevernénk, vagy megfordítanánk bármely kártyát. Szeretnénk megfordítani a teljes pakliban a kártyák sorrendjét ilyen cserékkel. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetében ez 5 lépésben megtehet . b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetében ez i. 27 lépésben megtehet , ii.17 lépésben nem tehet meg, iii. 26 lépésben nem tehet meg. (S.M. Voronin, 3+3+4+4 pont)
40/66
Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. tavasz, els forduló 1. Adott N db egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetösszegük osztható N-nel, ha tudjuk, hogy közülük bármelyik N-1 szorzata és a kimaradó szám közti különbség N-nel osztható. (D. Fomin, 3 pont) 2. Három kör mindegyike kívülr l érinti a másikat, sugaraik rendre 1, r és r. Milyen r értékekre van olyan háromszög, amelyben e körök benne foglaltatnak. (A körök a háromszög belsejében vannak, mindegyik kör érinti a háromszög két oldalát és a háromszög minden oldala két kört érint.) (N.B. Vasziljev, 3 pont) 3. Egy sorban 30 csizma áll (15 pár). Bizonyítsuk be, hogy van tíz olyan egymást követ csizma a sorban valahol, hogy közülük 5 jobb lábas és 5 bal lábas. (D. Fomin, 3 pont) 4. Egy számítógép képerny je a 123-as számot mutatja. Minden percben a számítógép 102-vel növeli a képerny n látható számot. Misa, a számítógépguru meg tudja cserélni a képerny n megjelen szám számjegyeinek sorrendjét. El tudja-e érni azt, hogy soha ne jelenjen meg 4 jegy szám a képen? (F.L. Nazarov, 4 pont)
JUNIOR, 1990-91. tavasz, második forduló k3 − 1 1. Bizonyítsuk, hogy a 99 darab 3 ( k=1,2, … ,99) alakú tört szorzata nagyobb, mint 2/3. k +1 (D. Fomin, 3 pont) 2. Az ABCDE ötszögnek van beírt köre és az AD és CE átlók ennek O középpontjában metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a BO szakasz és a DE oldal mer legesek egymásra. (4 pont) 3. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, melyeknek tízes számrendszerbeli alakjában mindegyik számjegy –a másodiktól kezd d en– legalább akkora, mint az el z számjegy. Ezenkívül a számok négyzetére is teljesülnie kell a fenti tulajdonságnak. a) Keressünk 4 ilyen számot. b) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Andjans, 2+3 pont) 4. Egy kört az AB húr 2 részre oszt és az egyiket elforgatjuk az A pont körül bizonyos szöggel, így a B pontot a B’-be visszük. Összekötjük BB’ középpontjával az el nem forgatott AB ív felez pontját és az elforgatott AB’ ív felez pontját is. Mutassuk meg, hogy ezen szakaszok mer legesek egymásra. (F. Nazyrov, 4 pont) 5. Egy országban 8 város van. A király egy olyan úthálózatot szeretne, hogy bármely városból bármely másikba el lehessen jutni legfeljebb egy város érintésével. Semelyik városból nem indulhat k-nál több út. Mely k értékekre lehetséges ez? (D. Fomin, 6 pont) 6. Egy versenyen 16 ökölvívó vesz részt. Minden ökölvívó naponta egyszer mérk zik. A versenyz k különböz kondícióban vannak és az er sebbik mindig nyer. Bizonyítsuk be, hogy egy 10 napos verseny megrendezhet úgy, hogy az er sorrend kiderüljön. A meccsek kiosztása az azt megel z nap este történik és nem változtatható meg. (A. Andjans, 8 pont)
41/66
Városok Viadala SENIOR, 1990-91. sz, els forduló 2 1. A pozitív egészeket 1-t l n -ig tetsz legesen elhelyeztük egy n×n-es sakktábla mez iben. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan szomszédos mez (van közös csúcsuk vagy közös olda- luk), hogy a bennük lev számok különbsége legalább n + 1. (N. Sedrakyan, 4 pont) 2. A síkot párhuzamos egyenesek három végtelen halmazával azonos terület szabályos háromszögekre osztottuk. Legyen M a csúcsok halmaza, továbbá A és B egy ilyen szabályos háromszög két csúcsa. Egy lépésben elforgathatjuk a síkot az M halmaz bármely pontja körül 120°kal. Kerülhet-e A pont B-be ilyen lépések sorozata után? (N. Vasiliev, 4 pont) 3. A falon két ugyanolyan óra van: az egyik a jelenlegi moszkvai id t, a másik pedig a jelenlegi helyi id t mutatja. A két kismutató vége közti minimális távolság m, a maximális távolság M. Mennyi a távolság a két óra középpontja között? (S. Fomin, 4 pont) 4. „Téglányokat” készítünk a következ módon: veszünk egy egységnyi oldalú kockát, és három közös csúccsal rendelkez lapjához három újabb egységkockát ragasztunk, úgy, hogy az összeragasztott lapok pontosan fedjék egymást. Építhetünk-e ilyen „téglányokból” 11×12×13-as téglatestet? (A. Adjans, 5 pont)
SENIOR, 1990-91. sz, második forduló 1. A juniorok 1. feladata. Itt 3 pont. 2. M az ABC szabályos háromszög körülírt körének AC ívén lév pont. P ennek az ívnek a felez pontja, N a BM húr felez pontja, K pedig a P-b l az MC-re állított mer leges talppontja. Bizonyítsuk be, hogy az ANK háromszög szabályos. (I. Nagel, 4 pont) 3. Vegyük a síkon az egységnégyzetek M véges halmazát. A négyzetek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és metszhetik egymást. Tudjuk, hogy bármely két négyzet középpontja közti távolság legfeljebb 2 egység. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egységnégyzet (nem feltétlenül M egyik eleme), aminek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és M halmaz minden négyzetével van legalább egy közös pontja. (A. Adjans, 4 pont) 4. Adott 20 pont a síkon úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Ezen pontok közül 10 piros, a többi kék. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egyenes, aminek mindkét oldalán 5 piros és 5 kék pont van. (A. Kusnirenko, 5 pont) 5. Az ABC háromszögben AC = CB. D az AB szakasz egy pontja. Tudjuk, hogy az ACD háromszög beírt körének sugara megegyezik a DB szakaszt, valamint CD és CB szakaszok meghosszabbítását egyaránt érint kör sugarával. Bizonyítsuk be, hogy ez a sugár egyenl az ABC háromszög két egyenl hosszúságú magasságának negyedével. (I. F. Sharygin, 7 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépésben kiveszünk a csomagból valahonnan néhány egymás után következ kártyát, és visszatesszük máshova anélkül, hogy megcserélnénk a sorrendet, vagy akármelyik kártyát felfordítanánk. Az a feladatunk, hogy ilyen lépések sorozatával megfordítsuk a kártyák sorrendjét a csomagon belül. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetén ez megtehet 5 lépésben. b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetén ez i. 27 lépéssel megtehet , ii. 17 lépéssel nem tehet meg, iii. 26 lépéssel nem tehet meg. (S. M. Voronin, 2+2+4+4 pont)
42/66
Városok Viadala SENIOR, 1990-91. tavasz, els forduló 1. Keressük meg az összes n természetes számot és x, y egészeket (x és y különböz ), amelyek kielégítik a következ egyenletet: n n x + x 2 + x 4 + .... + x 2 = y + y 2 + y 4 + .... + y 2 (4 pont) 2. Adott egy körön két pontot, K és L. Szerkesszünk olyan ABC háromszöget, aminek C csúcsa és az AK és BL súlyvonalainak metszéspontja egyaránt a körön vannak (K és L a BC, illetve AC oldalak felez pontjai). (4 pont) 3. Egy táblára felírtuk a következ száz számot: 1, 1/2, 1/3, ... , 1/100. Ha letöröljük közülük az a és b számokat, akkor az a + b + ab számot írjuk fel helyettük. 99 ilyen lépés után egyetlen szám marad fenn a táblán. Mi ez a szám? (D. Fomin, 4 pont) 4. a) Elhelyezhetünk-e úgy 5 darab fából készült kockát a térben, hogy mindegyikük érintse az összes többi kockát valamelyik lapjának egy-egy részével? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést hat kocka esetén is! (2+2 pont) SENIOR, 1990-91. tavasz, második forduló 1. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, amiknek tízes számrendszerbeli alakjában a második jegyt l kezdve egyik számjegy sem kisebb, mint az el tte álló. Továbbá a számok négyzetének ugyanilyen tulajdonságokkal kell rendelkezniük. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Adjans, 4 pont) 2. Egy körben rögzítjük az MN húrt. A kör minden AB átmér jéhez vegyük az AM és BN szakaszok C metszéspontját, és szerkesszük meg azt az l egyenest, ami átmegy C-n és mer leges AB-re. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen l egyenes egy ponton megy át. (E. Kulanin, 5 pont) 3. Az x1, x2, x3, ... , xn számok összege 0, négyzeteik összege 1. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük két olyan szám, amiknek szorzata nem nagyobb, mint -1/n. (Stolov, 5 pont) 4. Kiválasztottunk 5 pontot a gömbön úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy f körre (a f kör a gömb metszete egy olyan síkkal, ami átmegy a gömb középpontján). Két f kör egyenérték , ha egyikük sem tartalmazza egyik pontot sem az öt közül, és egymásba mozgathatók anélkül, hogy áthaladnának valamelyik kiválasztott ponton. a) Hány olyan f kört tudunk rajzolni a gömbön, amik nem egyenérték ek, és nem tartalmazzák egyik kiválasztott pontot sem? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést n kiválasztott pontra. (A. Belov, 3+3 pont) 5. Egy királyságban 16 város van. A király olyan úthálózatot akar építtetni, hogy bármelyik városból bármelyik másikba el lehessen jutni legfeljebb egy közbens város érintésével, de minden városból legfeljebb 5 út induljon ki. a) Bizonyítsuk be, hogy ez lehetséges. b) Bizonyítsuk be, hogy 5 helyett 4 út esetén nem lehetséges. (D. Fomin, 4 pont) 6. Egy tornán 32 ökölvívó vesz részt. Mindegyikük legfeljebb egyszer játszhat egy nap. Tudjuk, hogy nem egyforma er sek, és mindig az er sebb gy z. Bizonyítsuk be, hogy rendezhetünk egy 15 napos tornát, aminek az eredménye alapján elkészíthetjük az er sorrendet. A találkozók menetrendjét mindig a mérk zés el tti napon kell rögzíteni, és a nap folyamán nem lehet megváltoztatni. (A. Adjans, 8 pont)
43/66
Városok Viadala JUNIOR, 1991-92. sz, els forduló 1. A k1 kör középpontja rajta van k2 körön. A és B a körök metszéspontjai. k2 kör B pontban húzott érint je k1 kört C pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AB = AC. (V. Prasovov, 3 pont) 2. A „repül bástya” úgy mozog, mint a sakkban a bástya, de nem léphet szomszédos mez re egy lépésben. Lehetséges-e, hogy egy 4×4-es sakktáblán a repül bástya minden mez re pontosan egyszer lép és végül 16 lépésben visszatér a kezd mez re? (A. Tolpygo, 3 pont) 1 1 3. Bizonyítsd be, hogy + =1 1 1 2+ 1+ 1 1 3+ 1+ 1 3+ 1 1 ... + 4+ 1991 1 ... + 1991 (G. Galperin, 3 pont) 4. Egy körre hat számot írunk. A = B - C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév hat szám összege 1. Mik a körön lév számok? ( 3 pont)
44/66
Városok Viadala JUNIOR, 1991-92. sz, második forduló 1. 32 lovag él egy királyságban. Néhány közülük másokat szolgál. Egy szolgának csak egy gazdája lehet, és minden gazda gazdagabb, mint a szolgái. Az olyan lovagot, akinek minimum 4 szolgája van, bárónak hívjuk. Maximum hány báró lehet? (A királyság egyik fontos törvénye: „A szolgám szolgája nem az én szolgám”). (A. Tolpygo, 3 pont) 2. Az ABC háromszögben AB = AC és a BAC szög 20º. Legyen D pont az AB oldalon úgy, hogy AD = BC. Mekkora a BCD szög? (I. F. Sharygin, 6 pont) 3. Lehetséges-e, hogy páronként különböz , 100-nál kisebb pozitív egészeket egy 4×4-es táblázat mez ibe írva minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata egyenl ? (N. B. Vasiliev, 8 pont) 4. Az an sorozat képzési szabálya: a0= 9 és bármilyen nemnegatív k- ra: ak+1=3(ak) 4+ 4(ak) 3. Bizonyítsuk be, hogy a10 (tízes számrendszerben) legalább 1001 db 9-est tartalmaz! (Yao, 8 pont) 5. Egy 9×9-es négyzet 81 egységoldalú négyzetre, azaz mez re van felosztva. Néhány mez satírozott. A távolság bármely két satírozott mez középpontja között több mint 2. a) Adj példát jó satírozásra 17 satírozott mez esetén! b) Bizonyítsd be, hogy nem lehet 17-nél több satírozott mez ! (S. Fomin, 5 pont) 6. Az ABCDEFGH konvex nyolcszögnek minden bels szöge egyenl , AB = CD = EF = GH, valamint BC = DE = FG = HA. (Az ilyen nyolcszöget félszabályosnak nevezzük) Az AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB és HC átlók részekre osztják a nyolcszöget. Tekintsük azt a részt, amelyik a nyolcszög középpontját tartalmazza. Ha ez a rész is nyolcszög, akkor ez a nyolcszög is félszabályos (ez nyilvánvaló). Ekkor megint megszerkesztjük az átlókat a bels nyolcszögben, megint nézzük a középpontot tartalmazó részt és így tovább. Ha valahány lépés után a középpontot tartalmazó alakzat nem nyolcszög, akkor az eljárás leáll. Bizonyítsd be, hogy ha sosem ér véget az eljárás, akkor az eredeti nyolcszög szabályos volt! (A. Tolpygo, 8 pont) 7. n gyerek akar elosztani m darab azonos nagyságú csokoládét egyenl részekre úgy, hogy egyik csokoládé sincs eltörve egynél többször. a) Milyen n-re lehetséges ez, ha m = 9? b) Milyen n és m esetén lehetséges ez? (Y. Tschekanov, 5+7 pont) JUNIOR, 1991-92. tavasz, els forduló 1. A hónap elején egy boltnak 10 különböz eladnivaló áruja van, azonos árakkal. Minden nap, minden egyes áru ára vagy megduplázódik, vagy megtriplázódik. A következ hónap elejére minden ár különböz lesz. Bizonyítsd be, hogy a legnagyobb és a legkisebb ár aránya nagyobb, mint 27! (D. Fomin és Stanislav Smirnov, 3 pont) 2. Az ABCD trapézban a BC és AD oldalak párhuzamosak, AC = BC + AD, és az átlók közti szög 60º. Bizonyítsd be, hogy AB = CD! (Stanislav Smirnov 3 pont) 3. Frednek, az éremgy jt nek van néhány pénzérméje. Egyiknek sem nagyobb az átmér je 10 cm-nél. Fred minden pénzérméjét egy 30×70 cm alapterület dobozban tartja. Egy 25 cm átmér j érmével leptük meg. Bizonyítsd be, hogy Fred bele tudja rakni az összes pénzérméjét egy 55×55 cm alapterület dobozba! (Fedja Nazarov, 3 pont) 4. Egy körvonalat 7 körcikkre osztottunk. Bármely két szomszédos középponti szög összege maximum 103º. Mekkora annak az szögnek a legnagyobb értéke, amire bármelyik középponti szög nagyobb mint ? Mutassuk meg, hogy ez valóban a maximális . (A. Tolpygo, 5 pont)
45/66
Városok Viadala JUNIOR, 1991-92. tavasz, második forduló 1. Egy n számból álló (n > 2) halmazt zsúfoltnak hívunk, ha minden eleme kisebb, mint a halmaz elemeinek összege osztva n-1-gyel. Legyen {a, b, c,…} egy zsúfolt számhalmaz, elemeinek összege S. Bizonyítsd be, hogy a) a halmaz minden eleme pozitív, b) mindig igaz, hogy a + b > c, c) mindig igaz, hogy a + b S / (n – 1). (Regina Schleifer, 2+2+2 pont) 2. Tekintsük az ABC derékszög háromszöget, ahol A a derékszög csúcs és AC > AB. Legyen E és D rendre az AC-n és BC-n úgy, hogy AB = AE = BD. Bizonyítsd be, hogy az ADE háromszög akkor és csak akkor derékszög , ha az AB:AC:BC arány 3:4:5. (A. Parovan, 6 pont) 3. Legyenek n, m és k természetes számok, ahol m > n. Melyik szám a nagyobb:
n + m + n + ....
, vagy m + n + m + .... ? Megjegyzés: Mindkét kifejezés k darab négyzetgyökjelet tartalmaz, n és m pedig váltakozik. (N. Kurlandchik, 6 pont) 1. Legyen a P pont az ABC háromszög körülírt körén. Vegyünk fel egy olyan tetsz leges A1B1C1 háromszöget, aminek az A1B1, B1C1 és C1A1 oldalai rendre párhuzamosak a PC, PA és PB szakaszokkal, és húzzunk párhuzamosakat A1-en, B1-en és C1-en keresztül rendre BC, CA és AB oldallal. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást az A1B1C1 háromszög körülírt körén! (V. Prasolov, 10 pont) 2. Adott 50 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 51 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz . Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a „középs ” súly (ami az 51. helyen van, ha a 101 érmét súly szerint sorba rendezzük) 7 méréssel? (A. Andjans, 10 pont) 3. Egy kört n körcikkre osztottunk fel. Néhány körcikken gyalogok vannak, összesen n + 1-en. Ez a helyzet a következ képpen változik: valamely két gyalog, akik ugyanazon a körcikken vannak, egyszerre szomszédos mez re lépnek különböz irányban. Bizonyítsd be, hogy néhány ilyen lépés után elkerülhetetlenül el áll egy olyan helyzet, amikor legalább a körcikkek felében van gyalog. (D. Fomin, 12 pont) SENIOR, 1991-92. sz, els forduló 1. Egy szögön belül két kör fekszik, A és B középponttal. Érintik egymást és a szög mindkét szárát. Bizonyítsuk be, hogy az AB átmér j kör a szög mindkét szárát érinti. (V. Prasolov, 3 pont) 2 2. 11 lány és n fiú gombászni ment. Összesen n + 9n - 2 darabot találtak, minden gyerek ugyanannyit. Kik vannak többen, a fiúk vagy a lányok? (A. Tolpygo, 3 pont) AD AB 3. A D pont az ABC háromszög AB oldalán fekszik, és = . Bizonyítsuk, hogy a CDC BC nél lév szög tompaszög. (S Berlov, 3 pont) 4. Egy körre harminc számot írunk. A = B–C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév harminc szám összege 1. Mik a körön lév számok? ( 3 pont)
46/66
Városok Viadala SENIOR, 1991-92. sz, második forduló 1. Az ABCD húrnégyszögben BC = CD. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe egyenl ( AC )2 sin BAD∠ . 2 (D. Fomin, 6 pont) 2. Fel lehet-e osztani a síkot sokszögekre úgy, hogy mindegyik sokszög 360/7 fokos forgásszimmetriával rendelkezzen? A sokszögek minden oldala legyen 1 cm-nél nagyobb! (Legyen sokszög a sík egy olyan része, melyet önmagát nem metsz zárt töröttvonal határol, és nem feltétlenül konvex.) (A. Andjans, 8 pont) 3. Elhelyezhet -e 81 darab 1991-nél kisebb, egymástól különböz pozitív egész szám egy 9×9es tábla mez iben úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban megegyezzen a számok szorzata?
(N.B. Vasziljev, 8 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 6 pont. 5. Legyen M az ABC háromszög súlypontja. M körüli 120 fokos forgatással B pont P-be, M körüli 240 fokos forgatással C pont Q-ba megy át. Bizonyítsa be, hogy APQ egyenl oldalú háromszög vagy A, P és Q egybeesnek. (Bykovszky, Kabarovszk, 8 pont) 6. Egy számtani sorozat, melynek különbsége nem egyenl 0-val, természetes számokból áll. Egyik szám sem tartalmaz 9-est. a) Bizonyítsa be, hogy a tagok száma kevesebb, mint 100. b) Adjon példát ilyen sorozatra 72 taggal! c) Bizonyítsa, hogy a tagok száma nem haladja meg a 72-t, ha a sorozat a fenti tulajdonságú. (V. Bugajenko, Tarasov, 3+3+4 pont) 7. A juniorok 7. feladata.
SENIOR, 1991-92. tavasz, els forduló 1. A juniorok 1. feladata. 2. Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 egység. Mindegyik oldalt meghosszabbítjuk, míg el nem metszi a szemközti szög küls szögfelez jét. Így három új pontot kaptunk. Igazoljuk, hogy ezek egyike a másik két pont által meghatározott szakasz felez pontja. (V. Prasolov, 3 pont) 3. Legyen O egy szabályos n-szög középpontja, melynek csúcsai rendre A1, ...... , An. Legyen a1>a2>…>an>0. Bizonyítsuk be, hogy az a1 OA1 + a 2 OA 2 + ... + a n OA n vektor nem egyenl a nullvektorral. (D. Fomin, A. Kiricsenko, 4 pont) 4. 10 számot helyeztünk el egy körön. Összegük 100. Bármely 3 szomszédos szám összege legalább 29. Találja meg azt a minimális A-t, aminél bármely ilyen sorozatra igaz, hogy a 10-es sorozat egyik tagja sem nagyobb A-nál. Bizonyítsuk be, hogy A értéke tényleg minimális. (A. Tolpygo, 4 pont)
47/66
Városok Viadala SENIOR, 1991-92. tavasz, második forduló 1. Bizonyítsuk be, hogy az egész számok szorzata (21917 + 1) -t l (21991 – 1) -ig nem négyzetszám. (V. Senderov, 6 pont) 2. Legyenek a és S egy egységsugarú körbe írt szabályos háromszög oldalhossza és területe! A körbe 51 egyenl szakaszból álló zárt töröttvonalat írtunk, A1A2...A51A1. Ebben bármely két szomszédos pont távolsága éppen a. Tekintsük a következ 51 háromszöget: A1A2A3, A2A3A4, …, A49A50A51, A50A51A1, A51A1A2. Bizonyítsuk be, hogy területeik összege legalább 3S. (A. Berzins, 6 pont) 1 3. Egy n × n − es táblázat i. sorának j. eleme legyen . Kiválasztunk n mez t úgy, hogy i + j −1 minden sorban és oszlopban pontosan egy kiválasztott legyen. Mutassuk meg, hogy a kiválasztott mez kön álló számok összege legalább 1. (S. Ivanov, 8 pont) 4. Az A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3 háromszögek súlypontjai egy egyenesen vannak. A háromszögek csúcsai között nincs három egy egyenesen. Tekintsük mind a 27 háromszöget, melyeknek egy-egy csúcsát rendre az els , második és harmadik háromszögb l választottuk. (AiBjCk típusúak.) Igazoljuk, hogy ez a 27 háromszög két csoportra osztható úgy, hogy a területösszeg mindkett ben ugyanannyi legyen. (A. Andjans, 8 pont) 5. Adott 100 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 101 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz . Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a „középs ” súly (ami az 101. helyen van, ha a 201 érmét súly szerint sorba rendezzük) a lehet legkevesebb méréssel? Igazoljuk, hogy ennél kevesebb mérés nem elegend . (A. Andjans, 12 pont) 6. Az n és b természetes számokhoz legyen V(n,b) azon szorzatoknak a száma, melyeknek értéke n és minden tényez jük nagyobb, mint b. Például 36 = 6 × 6 = 4 × 9 = 3 × 3 × 4 = 3 × 12 , tehát n V(36,2)=5. Mutassuk meg, hogy V(n, b ) < minden n és b értékre. b (N.B. Vasziljev, 12 pont) JUNIOR, 1992-93. sz els forduló 1. 101 sakkozó mindegyike már több bajnokságban is indult. Egyik bajnokságban sem vettek részt mindannyian. A 101 játékos közül bármely kett pontosan egyszer indult ugyanabban a bajnokságban. Igazoljuk, hogy van köztük olyan, aki legalább 11 bajnokságban indult. (Minden bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.) (A. Andjans, 3 pont) 2. Egy paralelogramma minden oldalán választunk egy tetsz leges pontot. A közös csúcsú (szomszédos) oldalakon lev pontokat összekötjük. Igazoljuk, hogy a paralelogramma csúcsainál így keletkez négy háromszög köréírt köreinek középpontjai paralelogrammát alkotnak. (ED Kulanin, 3 pont) 3. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész M-nek létezik olyan többese, melynek jegyeinek összege páratlan. (D. Fomin, 3 pont) 4. a) Az ABC háromszögben az A-nál nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AB-nek a fele. b) Az ABCD konvex négyszögben az A-nál nagyobb szög van, mint C-nél, a D-nél nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AD fele. (F. Nazarov, 2+3 pont)
48/66
