VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

Varianciaanalízis 1. Varianciaanalízis (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább intervallum skálájú függő változó. Cél: annak eldöntése, hogy van-e hatása a független változóknak a függő változókra, illetve hogy ez a hatás egyforma vagy különböző. A kapcsolat konkrét függvényszerű feltárása akkor sem cél, ha a független változó intervallum vagy arányskálájú (ez regresszió-analízissel végezhető el).

Varianciaanalízis 2. Ha egyetlen függő és egyetlen független változónk van, egyszempontos ANOVA-ról (one-way, azaz egyszeres osztályozásról), ha a független változók száma egynél nagyobb, többszörös osztályozásról beszélünk. Ha egynél több függő változót egyszerre kezelünk, többváltozós (multivariate) ANOVAról (MANOVA-ról) van szó. Ha pedig a függő változó értékei ugyanazon objektumokra – pl. személyekre – vonatkoznak, összetartozó mintás (Repeated Measure) ANOVA-ról beszélünk.

Varianciaanalízis 3. Egyszempontos ANOVA (egyszeres osztályozás)

× függő változó 1

2 3 …i… független változó Ö

L

Varianciaanalízis 3. Egyetlen függő és egyetlen független változó adott, a független változónak L >2 számú kategóriája (értéke, illetve szintje) van Főátlag (grand mean): az összes csoporton vett valamennyi mérés átlaga

×

x x

függő változó

x 1

x

x

x

i

3

2

1

2 3 …i… független változó Ö

L

L

L számú értéke van a független változónak, melyek abban az értelemben is függetlenek, hogy más-más objektumokhoz (legtöbbször személyekhez) tartoznak

Varianciaanalízis 4. Egyetlen függő és egyetlen független változó adott, a független változónak L >2 számú kategóriája (értéke, illetve szintje) van

×

x x

függő változó

x 1

1

2

Megjegyzés: ha L = 2, akkor az ANOVA egyenértékű a független mintás (két-mintás) t-próbával. Bizonyítható ugyanis, hogy ekkor F = t2.

2 3 …i… független változó Ö

L

Varianciaanalízis 5. Az i-edik minta j-edik adatára bevezetjük az xij jelölést, ahol i = 1, 2, 3, …L és j = 1, 2, 3, …ni

ni ×

.

x x

függő változó

x 1

x 2

3

3 2 1

x

x i

ni számú adat az i-edik mintában

xij

1

2 3 …i… független változó Ö

L

L

az i-edik minta j-edik adata

Varianciaanalízis 6. Bizonyítjuk, hogy a teljes Qt négyzetösszeg felbontható a minták közötti Qk és a mintákon belüli Qb négyzetösszegek összegére: Qt = Qk + Qb Qt = ∑∑( xij − x)2 = ∑∑( xij − xi + xi − x)2 =

[

]

= ∑∑ ( xij − xi )2 + ( xi − x)2 + 2( xij − xi )(xi − x) = Qb + Qk + 0.

1) Minden taghoz hozzáadtuk és levontuk a mintaátlagot, ami az egyenlet érvényességét nem változtatta meg. 2) A kétszeres szorzatról pedig mindjárt belátjuk, hogy nullával egyenlő.

Varianciaanalízis 7. A kétszeres szorzatról a következőképpen látjuk be, hogy nullával egyenlő: mivel az egyik tényezőben nem szerepel a j index, az a j szerinti összegezés szempontjából állandó, amit ezért kiemelhetünk a j-s szumma jel elé.

2∑∑(xij − xi )(xi − x) = 2∑(xi − x)∑(xij − xi ) i

j

Mivel az egyes xij mintaelemek saját xi átlaguktól való eltéréseinek összege nulla, a j szerinti összegezésben a negatív és pozitív tagok összege minden i-re éppen nulla. Ilyen módon az egész vegyesszorzat is csak nulla lehet.

Varianciaanalízis 8. Qt = Q k + Q b L n

∑ ∑( x − x ) i

i =1 j =1

ij

2

L

=

∑n ( x − x )

i =1

i

2

i

ni ×

.

x x

függő változó

x 1

x 2

3

3 2 1

x

L n

∑ ∑( x − x ) i

+

i =1 j =1

x i

i

ni darab adat az i-edik mintában

xij

1

2 3 …i… független változó Ö

L

ij

2

L

az i-edik minta j-edik adata

Varianciaanalízis 9. Qt = Q k + Q b L n

∑ ∑( x − x ) i

i =1 j =1

ij

2

L

=

∑n ( x − x )

i =1

i

i

2

L n

∑ ∑( x − x ) i

+

i =1 j =1

ij

2

i

A minták közötti eltéréseket úgy jellemezzük, hogy az egyes minták „helyzetét” az átlagukkal adjuk meg és azok különbségét képezzük a „főátlagtól” (grand mean); a minták átlagai közti különbség mértéke az ezekből számított variancia. A mintán belüli eltéréseket az egyes mintaelemek saját mintaátlaguktól mért négyzetes eltéréseinek az összegével jellemezzük.

Varianciaanalízis 10. Qt = Qk + Qb L n

∑ ∑( x − x ) i

i =1 j =1

2

ij

ft = n-1

L

=

∑n ( x − x )

i =1

i

i

fk = L-1

2

L n

∑ ∑( x − x ) i

+

i =1 j =1

ij

2

i

fb = n-L

Qk fk Qk n − L Ha a H0 igaz, akkor a = Qb L −1 Qb statisztika F eloszlású fk és fb szabadsági fokokkal. f b

Varianciaanalízis 11. Kétszempontos ANOVA (kétszeres osztályozás) Egyetlen függő és két független változó (A és B) adott. Bizonyítható, hogy

Qt = QA + QB + QAB + Qb QA , illetve QB az A illetve B változónak, QAB az A és B változók közötti interakciónak, Qb pedig a mintákon belüli változékonyságnak megfelelő négyzetösszegek. Ha a H0 igaz, akkor akkor az előbbieknek megfelelő hányadosok F eloszlásúak a nevező fb szabadsági foka mellett.

Varianciaanalízis 12. Háromszempontos ANOVA (háromszoros osztályozás) Egyetlen függő és három független változó (A, B és C) adott. Bizonyítható, hogy

Qt = QA+ QB+ QC+ QAB+ QAC + QBC + QABC + Qb QA , QB illetve QC az A, B illetve C változónak, QAB, QAC, QBC és QABC az interakcióknak, Qb pedig a mintákon belüli változékonyságnak megfelelő négyzetösszegek. Ha a H0 igaz, akkor akkor az előbbieknek megfelelő hányadosok F eloszlásúak a nevező fb szabadsági foka mellett.

Varianciaanalízis 13. Egyszempontos összetartozó mintás ANOVA (Repeated Measure, egyszeres osztályozás) n ×

.

x x

függő változó

x 1

x 2

3

3 2 1

x

x

L

i

1

2 3 …i… L független változó Ö

Varianciaanalízis 14. Egyetlen függő és egyetlen független változó adott, a független változónak L darab értéke van a kettőnél több értéke (szintje) van független

n ×

.

x x

függő változó

x 1

x 2

3

3 2 1

x

x

L

i

1

2 3 …i… L független változó Ö

változónak (ezek pl. helyzetek). Az L darab érték itt nem független, mert ugyanazon n számú objektumhoz (legtöbbször személyhez) tartoznak