3 ANALÝZA ROZPTYLU ANOVA

3 Analýza rozptylu – ANOVA

3 ANALÝZA ROZPTYLU – ANOVA RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Analýza rozptylu je statistickým nástrojem, který nám umožňuje zkoumat závislost kvantitativního znaku na kvalitativním znaku. Základní myšlenka analýzy rozptylu spočívá v rozkladu celkového rozptylu na dílčí rozptyly příslušející jednotlivým vlivům, podle nichž jsou data roztříděna. Kromě dílčích rozptylů je jednou složkou celkového rozptylu tzv. reziduální rozptyl, způsobený nepostiženými vlivy. Podle počtu analyzovaných faktorů, tj. podle počtu vlivů na hodnoty kvantitativního znaku, rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Všeobecně používané označení ANOVA je akronymem anglických slov „ANalysis Of VAriance“ (doslovný překlad z angličtiny: analýza rozptylu).

3.1 ANALÝZA ROZPTYLU S JEDNÍM FAKTOREM Často se vyskytuje situace, kdy máte k (např. k=5) nezávislých náhodných výběrů, které nemusí pocházet z jednoho základního souboru, s příslušnými rozsahy n1 , n2 ,..., nk . Přitom k může být 2,3,..., a součet těchto rozsahů je N. Tyto rozsahy výběrů rovněž nemusí být stejné, v každém z nich je znám průměr xi , a také rozptyl si2 , i = 1,2,...,k. V praktických situacích obvykle tyto výběry vzniknou tak, že základní soubor rozdělíme podle určitého obvykle kvalitativního - nečíselného třídícího statistického znaku X do k skupin, v každé z nich pak vybíráme samostatně ni prvků. Znak X se pak označuje jako faktor, jehož hodnoty jsou předem stanoveny a hovoří se proto často o faktoru kontrolovaném, nebo faktoru pozorovaném, např. věková skupina, druh výrobku, typ reklamy, typ služby apod. Hodnoty faktoru X se označují x1 , x2 ,..., xk Faktor X má k úrovní – kategorií a ovlivňuje jiný statistický znak Y, jež má kvantitativní - intervalovou nebo podílovou (tedy číselnou) povahu. Hodnoty znaku Y příslušné hodnotě xi faktoru X označujeme yi1 , yi 2 ,..., yini Pro analýzu rozptylu je výhodné uspořádat výchozí údaje do přehledné tabulky: Číslo výběru

Zjištěné hodnoty sledovaného znaku

Počet prvků

Průměr

Rozptyl

1

y11 , y12 ,..., y1 j ,..., y1n1

n1

y1

s12

2

y 21 , y 22 ,..., y 2 j ,..., y 2 n2

n1

y2

s 22











i

yi1 , yi 2 ,..., yij ,..., yini

ni

yi

si2











k

y k1 , y k 2 ,..., y kj ,..., y knk

nk

yk

s k2

N

y

s2

Celkem

- 40 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy

Celková variabilita znaku (souboru) se měří obvykle (výběrovým) rozptylem: s2 

 y i

ij

y



2

j

N 1

V souvislosti s analýzou rozptylu nás bude zajímat pouze čitatel výše uvedeného zlomku, totiž součet čtverců odchylek zjištěných hodnot y ij od celkového průměru y , přičemž tento průměr je dán vztahem: 1 k Ni y    yij N i 1 j 1 Tento celkový součet čtverců se označuje symbolem S y , tedy:

S y    yij  y  k

Ni

i 1

j 1

2

Celkovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfc = N - 1. Variabilitu uvnitř skupin označujeme jako vnitroskupinovou, nebo také reziduální a používáme přitom označení S y ,v , přičemž definujeme vnitroskupinový (reziduální) součet čtverců takto:

S y ,v    yij  yi  k

Ni

i 1

j 1

2

Vnitroskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfv = N - k. Variabilitu mezi skupinami měříme meziskupinovým součtem čtverců S y ,m , který definujeme následovně: S y , m   N i  yi  y  k

2

i 1

Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfm = k - 1. Aritmetickými úpravami výše uvedených vzorců lze snadno odvodit základní vztah analýzy rozptylu, totiž, že celkový součet čtverců je roven sumě meziskupinového a vnitroskupinového součtu čtverců, symbolicky: S y  S y , m  S y ,v

Analýza rozptylu je statistickým testem, který zkoumá vliv faktorů X na hodnoty znaku Y. Postup testování: 1. Stanovení hypotézy: H0: hodnoty faktoru X nemají na hodnoty znaku Y žádný vliv (nezávislost znaků), H1: negace H0. S y ,m

2. Testové kritérium: T  k  1 S y ,v

N k 3. Obor přijetí: 0, F( k 1, N k ) ( ) , kritický obor F( k 1,N k ) ( ),   , kde F( k 1, N k ) ( ) je kritická

hodnota F rozdělení pro stupně volnosti k  1 a N  k . 4. Závěr. Analýzya rozptylu je založena na předpokladu shody rozptylů v jednotlivých k skupinách. Pokud jsou předpoklady splněny, pak popsaná metoda ANOVA poskytuje nejlepší výsledky – je nejúčinnější. Není-li tento předpoklad splněn, pak použití výše uvedeného testu může poskytnout neadekvátní výsledek. V takovém případě lze použít jiné testy, např. Chi-kvadrát test, nebo F-test, případně některé neparametrické testy, jako Kruskal-Wallisův nebo Friedmanův test, viz kapitola 6, nebo literatura, např. [Seger]. - 41 -


V Excelu můžete jak podmíněné průměry, tak i hodnoty všech součtů čtverců, testového kritéria, kritickou hodnotu i hodnotu p zjistit pomocí analytického nástroje Anova: jeden faktor. Výsledkem jsou dvě tabulky, tabulka „Faktor“ a tabulka „Anova“. V tabulce „Faktor“ je pro každý z faktorů určený celkový přehled – počet pozorování pro faktor, součet hodnot, průměr a výběrový rozptyl. V tabulce „Anova“ jsou postupně hodnoty, které jsou využity v testu: Zdroj variability

SS

Rozdíl

MS

F

Hodnota P

F krit

p-hodnota

F( k 1)( N k ) ( )

-

-

-

-

-

-

S ym Mezi výběry

S ym

dfm = k - 1

S ym k 1

T  k 1 S yv N k

Všechny výběry

S yv

dfv = N - k

Celkem

Sy

dfc = N - 1

S yv N k -

ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3.1 Porovnejte úspěšnost absolventů gymnázií, SPŠ a odborných učilišť s maturitou (OU) u přijímacích zkoušek na vysokou školu. Na hladině významnosti 0,05 testujte, zda faktor absolvovaná střední škola má vliv na úspěšnost žáků u přijímacích zkoušek na vysokou školu. Body, získané u přijímacích zkoušek u 30 náhodně vybraných studentů jsou zadány v následující tabulce: Gymnázium

SPŠ

OU

85

56

78

73

58

76

58

69

64

76

67

56

64

70

69

58

78

67

80

79

70

78

67

78

76

67

64

89

56 34

Řešení: Příklad vyřešíte pomocí analytického nástroje Anova: jeden faktor. Po otevření dialogového okna (Data  Analýza dat  Anova: jeden faktor) lze zadat vstupní oblast dat s popiskami, vyznačit, že popisky se nachází v prvním řádku a zadat hladinu významnosti testu (Obr. 3.1).

- 42 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Obrázek 3.1

Zdroj: Vlastní zpracování.

Výsledkem jsou dvě tabulky (Obr. 3.2): Obrázek 3.2


Postup testování: 1. Stanovení hypotézy: H0: hodnoty faktoru X nemají na hodnoty znaku Y žádný vliv (faktor „škola“ nemá vliv na výsledky přijímacího řízení.), H1: negace H0. 2. Testové kritérium: T  0,2618 3. Obor přijetí: 0; 3,354 , kritický obor 3,3514;   , („F krit“ je kritická hodnota

F rozdělení pro stupně volnosti 2 a 27.) 4. Závěr: Na hladině významnosti alfa = 0,05 nelze zamítnout hypotézu H0 o nezávislosti výsledků přijímacího řízení na absolvované škole uchazečů. __________________________________________________________________________ - 43 -


3.2 DVOUFAKTOROVÁ ANOVA Analýza rozptylu se dvěma faktory znamená testovat závislost kvantitativního znaku na dvou znacích kvalitativních, tj. na dvou faktorech. Předpokládáme, že působení těchto faktorů na sledovaný znak je nezávislé. Podle 1. faktoru budeme hodnoty znaku Y třídit do skupin, podle 2. faktoru do bloků. Rozklad celkového součtu čtverců Sy se provede analogicky jako v případě jednofaktorové analýzy rozptylu, pouze přibude nový sčítanec. Označíme jej S yb , a přináleží blokovému faktoru. Součet čtverců S ym přináleží meziskupinovému faktoru, součet čtverců S yv přináleží vnitroskupinovému faktoru. Rozklad celkového součtu čtverců S potom bude: S y  S ym  S yv  S yb . U dvoufaktorové analýzy bez opakování se jedná o dva simultánní testy. Postup testování: 1. Hypotézy: : H 01 : Znak (faktor) X 1 nemá na znak Y žádný vliv, H 11 : Znak (faktor) X 1 má na znak Y vliv, H 02 : Znak (faktor) X 2 nemá na znak Y žádný vliv, H 12 : Znak (faktor) X 2 má na znak Y vliv, 2. Testová kritéria: S ym S yb k 1 r 1 F1  1 F2  S yv S yv (k  1).(r  1) (k  1).(r  1) kde k je počet skupin pro faktor 1 a r je počet bloků pro faktor 2. 3. Kritické hodnoty: F(1k 1),( k 1)( r 1) ( ) a F( 2r 1),( k 1)( r 1) ( ) . 4. Závěr: Je-li F 1  F(1k 1),( k 1)( r 1) ( ) , znak X 1 statisticky významně ovlivňuje znak Y . Je-li F 2  F( k21),( k 1)( r 1) ( ) , znak X 2 statisticky významně ovlivňuje znak Y . K dvoufaktorové analýze rozptylu bez opakování použijeme v Excelu analytický nástroj Anova:dva faktory bez opakování. Výsledkem jsou dvě tabulky, tabulka „Faktor“ a tabulka „Anova“. V tabulce „Faktor“ je pro každý z faktorů a bloků určený celkový přehled – počet pozorování pro faktor a blok, součet hodnot, průměr a výběrový rozptyl. V tabulce „Anova“ jsou postupně hodnoty, které jsou využity v testu: Zdroj variability

SS

Rozdíl

Řádky

S ym

k 1

Sloupce

S yb

r 1

Chyba

S yv

(k  1).(r  1)

Celkem

Sy

N 1

MS

S ym k 1 S yb

r 1

S yv (k  1).(r  1)

F

Hodnota P

F krit

F1

p-hodnota 1

F(1k 1),( k 1)( r 1) ( )

F2

p-hodnota 2

F( 2r 1),( k 1)( r 1) ( )

-

- 44 -


Použití dvoufaktorové analýzy demonstruje následující řešený příklad. Je důležité si uvědomit, že data pro Faktor 1 se zadávají do řádků, zatímco data pro Faktor 2 do sloupců vstupní tabulky. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 3.2 Testujte závislost výsledků přijímacích zkoušek na předmětu zkoušek a absolvované škole uchazečů. Na hladině významnosti 0,01 testujte, zda faktor vystudovaná střední škola má vliv na úspěšnost žáků u přijímacích zkoušek na vysokou školu. Body, získané u přijímacích zkoušek pro 4 absolventy u 4 zkouškových předmětů jsou v následující tabulce.

Matematika Angličtina Ekonomie Všeobecný přehled

Gymnázium 85 73 77 76

SPŠ 76 59 69 67

OU 56 48 64 56

Řešení: Příklad lze vyřešit pomocí analytického nástroje Anova: dva faktory bez opakování. Po otevření dialogového okna (Data  Analýza dat  Anova: dva faktory bez opakování) lze zadat vstupní oblast dat s popiskami, vyznačit, že vstupní oblast obsahuje popisky a zadat hladinu významnosti testu (Obr. 3.3).

Obrázek 3.3


Výsledkem výpočtu jsou dvě tabulky (Obr. 3.4). Test hypotézy: 1. Hypotézy: : H 01 : Předmět zkoušky neovlivňuje výsledek zkoušky, H 11 : Předmět zkoušky má vliv na výsledek zkoušky, H 02 : Škola uchazeče nemá vliv na výsledek zkoušky, H 12 : Škola uchazeče ovlivňuje výsledek zkoušky.

- 45 -


2. Testová kritéria: F 1  5,58 1 F 2  30,53 1 2 3. Kritické hodnoty: FKRIT  9,78 a FKRIT  10,92 . 1 1 4. Závěr: Protože F  FKRIT , předmět zkoušky neovlivňuje výsledek zkoušky. 2 2 Vzhledem k tomu, že F  FKRIT , škola uchazeče má vliv na výsledek zkoušky. Obrázek 3.4


___________________________________________________________________________

3.3

PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ

PŘÍKLAD 3.1 Pan Novák může jet do zaměstnání pěti různými trasami. Čtyřikrát projel jednotlivé trasy a zaznamenal si dobu, po kterou jel do zaměstnání. Na hladině významnosti 0,05 zjistěte, zda záleží na tom, kterou trasou pojede. Výsledky měření jsou v následující tabulce: Trasa 1

Trasa 2

Trasa 3

Trasa 4

Trasa 5

34

37

32

37

33

35

37

31

38

32

42

36

30

39

29

30

34

32

36

30

___________________________________________________________________________

- 46 -


PŘÍKLAD 3.2 Zjistěte, zda počet vyrobených výrobků závisí na stroji nebo na operátorovi, popř. zda oba tyto faktory mají vliv na počet vyrobených výrobků. Test proveďte na hladině významnosti   0,05 . Počet vyrobených výrobků zachycuje následující tabulka. Stroj Operátor I II III IV V

A 53 47 46 50 49

B 61 55 52 58 54

C 51 51 49 54 50

___________________________________________________________________________ PŘÍKLAD 3.3 Sledují se emise výfukových plynů v závislosti na dvou faktorech. Jedná se o typ přísady (A,B,C,D), což představuje první faktor, který ovlivňuje emise výfukových plynů. Druhým faktorem je vliv řidiče (I,II,III,IV). Celkem byly provedeny 4 pokusy s každým typem přísady. Naměřené hodnoty emise jsou v následující tabulce. Proveďte test na hladině významnosti 5%, kterým ověříte, zda jsou emise výfukových plynů statisticky významně ovlivněny prvním faktorem (typ přísady), nebo druhým faktorem (vliv řidiče), popř. oběma faktory současně. Řidič I II III IV

A 21 20 16 15

B 26 27 15 20

Přísada C 25 26 16 17

D 20 23 13 20

__________________________________________________________________________

3.4 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 3.1 Test hypotézy: 1. Stanovení hypotézy: H0: faktor „trasa“ nemá vliv na dobu cesty do zaměstnání, H1: negace H0. 2. Testové kritérium: T  5,204 3. Obor přijetí: 0; 3,056 , kritický obor 3,056;  

4. Závěr: Na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti doby cestování na trase – faktor „trasa“ má vliv na celkovou dobu cesty do zaměstnání ___________________________________________________________________________

- 47 -


ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 3.2 Obě nulové hypotézy o nezávislosti faktorů na počet vyrobených výrobků lze zamítnout. Můžete tedy z 95% tvrdit, že počet vyrobených výrobků je ovlivněn jak strojem, tak i operátorem. ___________________________________________________________________________ ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 3.3 Emise výfukových plynů jsou ovlivňovány řidičem, ale nejsou ovlivňovány typem přísady. __________________________________________________________________________

3.5 PŘÍPADOVÉ STUDIE PŘÍPADOVÁ STUDIE 3.1 Porovnejte úspěšnost absolventů gymnázií, SEŠ, Hotelových škol a Integrovaných škol u přijímacích zkoušek na vysokou školu. Na hladinách významnosti 0,05, 0,01 a 0,1 testujte, zda faktor vystudovaná středná škola má vliv na úspěšnost žáků u přijímacích zkoušek na vysokou školu. Body, získané u přijímacích zkoušek jsou zadány v následující tabulce. Gymnázium 69 67 70 78 79 67 80 78 76 64 56 34 67 70 78 79 67 67 89 56 23 89 78 58 49 78 68 79 80

SEŠ 56 58 69 67 70 78 79 67 67 89 76 75 73 74 62 67 66 77 89 78 79 76 57 65 56 67 70 78 79

Hotelová škola 69 67 68 66 56 64 45 46 37 56 57 85 73 58 76 64 58 80 78 76 64 56 34 58 69 45 46 56 67

- 48 -

Integrovaná škola 78 76 64 56 69 67 70 78 32 35 25 20 36 29 67 70 78 79 67 67 89 56 56 34 58 69 45 46 45


86 72 91 54 67 70 78 79 67 67 89 84 76 77

67 67 89 54 45 46 67 57 56 58 68 66 55 45

38 56 45 38 40 65 53 51 22 49 44 48 34 35

46 56 67 38 56 45 38 40 80 78 76 64 56 34

PŘÍPADOVÁ STUDIE 3.2 Sledují se emise výfukových plynů v závislosti na dvou faktorech. Jedná se o typ přísady (A,B,C,D), což představuje první faktor, který ovlivňuje emise výfukových plynů. Druhým faktorem je vliv řidiče (1, 2, 3,...,12). Celkem bylo provedeno 12 pokusů s každým typem přísady. Naměřené hodnoty emise jsou v následující tabulce. Proveďte testy na hladině významnosti 1%, 5%, a 10%, kterými ověříte, zda jsou emise výfukových plynů statisticky významně ovlivněny prvním faktorem (typ přísady), nebo druhým faktorem (vliv řidiče), popř. oběma faktory současně. Přísada Řidič

A

B

C

D

1

21

26

25

20

2

20

27

26

23

3

16

15

16

13

4

15

20

17

20

5

26

23

23

26

6

27

13

13

27

7

15

20

20

15

8

20

26

26

20

9

25

27

27

23

10

26

26

23

13

11

16

16

13

20

12

17

17

20

26

- 49 -

3 ANALÝZA ROZPTYLU ANOVA

Recommend Documents