Van de losrente van Simon Stevin naar de lijfrente van Nicolaas Struyck

Van de losrente van Simon Stevin naar de lijfrente van Nicolaas Struyck Eindopdracht Historical Aspects of Classroom Mathematics

Auteurs: Serieke Kloet en Arina de Groot – de Jong

Universiteit Utrecht, 20 juni 2014

Inhoudsopgave Hoofdstuk 1 Inleiding .......................................................................................................................... 3 Hoofdstuk 2 Geschiedenis in de wiskunde les .................................................................................... 4 Hoofdstuk 3 Docentenhandleiding lessen........................................................................................... 8 3.1 Lesplannen..................................................................................................................................... 8 3.1.1 De eerste les ........................................................................................................................... 8 3.1.2 De tweede les ......................................................................................................................... 9 3.1.3 De derde les ............................................................................................................................ 9 Hoofdstuk 4 Implementatie en ondersteunend materiaal ............................................................... 11 4.1 Implementatie ............................................................................................................................. 11 4.1.1 De eerste les ......................................................................................................................... 11 4.1.2 De tweede les ....................................................................................................................... 14 4.1.3 De derde les .......................................................................................................................... 18 4.2 Achtergrondinformatie................................................................................................................ 19 4.2.1 Biografie Simon Stevin.......................................................................................................... 19 4.2.2 Biografie Jan de Witt ............................................................................................................ 19 4.2.3 Sterftetabel en biografie van Edmund Halley ...................................................................... 20 4.2.4 Biografie Nicolaas Struyck .................................................................................................... 21 4.3 Werkbladen ................................................................................................................................. 23 4.3.1 Werkblad 1: Lijfrente en Losrente ........................................................................................ 23 4.3.1A Antwoorden werkblad 1 .................................................................................................... 27 4.3.2 Werkblad 2: De Witt en Struyck ........................................................................................... 28 4.3.2A Antwoorden werkblad 2 .................................................................................................... 34 4.3.3 Werkblad 3: ‘Je echte leeftijd’ .............................................................................................. 35 4.4 Slides............................................................................................................................................ 37 Hoofdstuk 5 Bronvermelding ............................................................................................................ 47

[Afbeeldingen voorpagina: Simon Stevin: Nicolaas Struyck: . ]

2

Hoofdstuk 1 Inleiding Deze docentenhandleiding is geschreven voor docenten Wiskunde A in het vierde jaar van het Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. In de handleiding wordt invulling gegeven aan drie lessen. Het doel van deze docentenhandleiding en de lessen is om zowel de docent als de leerlingen kennis te laten maken met het praktische nut van wiskunde. We maken een uitstap naar de 16e, 17e en 18e eeuw en zien dat wiskunde in deze eeuwen erg nuttig bleek voor het rekenen met rentes en sterftekansen. Leerlingen begrijpen dan de toegevoegde waarde van wiskunde en zijn gemotiveerd om zich hierin te verdiepen. We zullen kijken naar de losrente berekeningen van Simon Stevin, de lijfrenteberekeningen van Jan de Witt, de sterftetabel van Edmund Halley en de sterftetabellen en lijfrenteberekeningen van Nicolaas Struyck. Tevens zullen we de bijbehorende maatschappelijke aspecten aan de orde laten komen. De wiskunde die we daarbij tegen zullen komen is zoals gezegd het rekenen met rentes en sterftekansen en daarbij het aflezen van en rekenen met tabellen, het werken met formules bij die tabellen, (de som van) meetkundige rijen en kansrekening. Over procenten en logaritmen wordt ter herhaling een vraag gesteld, kennis daarover wordt bekend verondersteld. In hoofdstuk 2 wordt ingegaan op hoe de geschiedenis opgenomen is in de lessen. Constantinos Tzanakis1 en Abraham Arcavi e.a. hebben hiervoor een classificatie aangegeven, zoals te lezen is in: ‘Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey’ . We analyseren waar de geschiedenis die aan bod komt in de lessenserie aansluit bij deze classificatie van Tzanakis. De drie lessen in hoofdstuk 3 en 4 zijn als volgt opgebouwd. In les 1 worden de sterftetabel van Halley en de losrente berekening van Simon Stevin behandeld. Er wordt uitgelegd wat losrente en lijfrente is. De lijfrenteberekening van Jan de Witt en de sterftetabel en lijfrenteberekening van Nicolaas Struyck komen aan de orde in les 2. We laten zien hoe moeilijk het was om een goede prijs te berekenen voor de lijfrenteverzekeringen. Niet alleen vanwege de wiskundige berekening, maar ook uit politiek oogpunt. Welke prijs voor de lijfrenteverzekering was politiek te verantwoorden? Veelal was deze prijs veel lager dan voor de overheid wenselijk was, maar men had snel geld nodig en wilde politiek gezien geen gezichtsverlies lijden. De vervolgvraag waar je rekening mee houdt bij het bepalen van de prijs voor een lijfrenteverzekering, wordt behandeld in les 3. We staan stil bij wat maatschappelijk gezien verantwoord is. Les 3 bestaat daarom deels uit een discussie, om de leerlingen te laten zien dat wiskunde verder gaat dan een formule. Naast de docentenhandleiding zullen de werkbladen in hoofdstuk 4 en de bijgevoegde PowerPoint presentatie, via digibord of beamer of als uitgeprinte sheets, de docent ondersteunen bij de voorbereiding en het verzorgen van de lessen. Er is bewust voor gekozen om op de werkbladen een deel van de uitleg uit de les te herhalen, zodat het een opzichzelfstaand document is voor de leerlingen. Deze herhaling draagt ook bij aan het onthouden van de stof.

1

[Fauvel, Van Maanen, 2000, pp. 201 – 240]

3

Hoofdstuk 2 Geschiedenis in de wiskunde les In deze docentenhandleiding bekijken we een periode die loopt vanaf de losrente van Simon Stevin (1548 – 1620) tot en met de lijfrente van Nicolaas Struyck (1686 – 1769). Een periode waarin de overheid verzekeringen verkocht om snel aan geld te komen. De geschiedenis die hierbij belangrijk is laten we in iedere les terugkomen. De verschillende tabellen en teksten bieden vele aanknopingspunten om met historisch materiaal aan de gang te gaan in de wiskundeles. De docent wordt zich zo bewust van de geschiedenis bij een onderwerp in de wiskunde. De geschiedenis opnemen als onderdeel in de wiskundeles helpt om de wiskunde beter te leren en te begrijpen. De historische opdrachten kunnen ingezet worden om meer te weten te komen over belangrijke wiskundigen in de 16e, 17e en 18e eeuw, zoals Simon Stevin, Jan de Witt, Edmund Halley, Willem Kersseboom en Nicolaas Struyck. Door aan het werk te gaan met de tabellen en teksten uit de geschiedenis kan een brug geslagen worden naar de wiskunde in VWO 4. Nicolaas Struyck was de eerste die in zijn sterftetabellen een onderscheid maakte tussen mannen en vrouwen. Hij gaf al aan dat men verschillende prijzen moest hanteren voor een lijfrenteverzekering op een vrouwelijk ‘lijf’ en een lijfrenteverzekering op een mannelijk ‘lijf’. Sinds de 17e eeuw werden lijfrenteverzekeringen verkocht. Het bepalen van de prijs van de lijfrenteverzekering was in die tijd nog vaak nattevingerwerk. Pas in de 19e eeuw werden in Nederland lijfrenteverzekeringen aangeboden gebaseerd op een wiskundige berekening.2 Men maakte ook onderscheid tussen mannen en vrouwen, maar vanaf 1 januari 2013 mag dit onderscheid niet meer gemaakt worden en zijn de bedragen voor de lijfrenteverzekeringen gelijk. In de derde les besteden we aandacht aan deze maatschappelijke aspecten. Tzanakis De voordelen van het integreren van geschiedenis in de wiskundeles zijn door Tzanakis3 op een rijtje gezet. In de lessenserie zijn met oog daarop keuzes gemaakt over het implementeren van historische context. We houden de indeling van Tzanakis aan en geven daarbij aan waar het terug te vinden is in de lessenserie (punten die geen duidelijke invulling hebben gekregen in de lessenserie worden overgeslagen). Verdere verwijzingen berusten op de nummering en inhoud zoals op pagina 204 t/m 240 van het artikel Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey4. (a)1. Dit argument gaat over de manier waarop wiskunde aangeboden wordt. In geraffineerde vorm is minder inzichtelijk hoe het wiskundige proces verlopen is dan wanneer de theorie aangeboden wordt op de manier waarop het ontdekt is. Om de wiskundige manier van denken en het doen van wiskunde aan te leren kan het dus goed zijn om een ongeraffineerde versie van de theorie aan te bieden. Uiteraard met dien verstande dat een onoverzichtelijke wirwar van berekeningen weinig bij zal dragen aan het begrip van wiskunde en de beoogde doelen. In deze lessenserie hebben we bijvoorbeeld in les 2 gekozen voor het aanbieden van de berekening zoals De Witt hem maakte. Daardoor is goed te zien dat en hoe hij de kansen voor levensverwachting meenam. Wanneer gewerkt zou worden met een rekenprogramma zou het begrip daarvan wellicht verloren gaan. (a)2. Dit aspect beschrijft dat geschiedenis als bron gezien kan worden, waarmee leerlingen aan het werk gezet kunnen worden. Een probleem uit de geschiedenis wordt voorgeschoteld en leerlingen proberen dit op te lossen en gaan daardoor vanzelf met de wiskunde aan de slag. Dit zien we in de lessenserie terug in het stuk tekst van Struyck, waarin leerlingen via een verhaal een formule oplossen en de logaritme tegenkomen. Ook het centrale probleem van het vaststellen van de prijs van de lijfrenteverzekering is hier een voorbeeld van. Leerlingen zullen door deze manier van 2

Deze alinea is gebaseerd op [Hogendijk, 2010] [Fauvel, Van Maanen, 2000, pp. 201 – 240] 4 [Fauvel, Van Maanen, 2000, pp. 201 – 240] 3

4

aanbieden wellicht gretiger een probleem willen oplossen en dat ze daarbij wiskunde nodig hebben maakt wiskunde ten eerste wereldser voor ze, ze zien zelf een geval waarin het nodig is om een probleem dat daadwerkelijk bestond op te lossen. En ten tweede zien de leerlingen dat wiskunde met name vroeger vaak ontstond om praktische problemen op te lossen. Misschien denken ze wel verder in de richting: zijn er vandaag de dag ook problemen waarvoor we ‘nieuwe’ wiskunde nodig hebben? Of die we op kunnen lossen door de bestaande wiskunde op een andere manier toe te passen? En met die denkstappen (die gestimuleerd worden door de afsluiting van de derde les) wordt het nut van de wiskundelessen voor leerlingen duidelijker. (a)3. Hierin staat opgenomen dat de geschiedenis van de wiskunde een brug kan slaan tussen wiskunde en andere vakgebieden. Dit aspect komt in ons project duidelijk naar voren, omdat het leerlingen sterk kan motiveren. Als alleen het begrip meetkundige rij was geïntroduceerd in les 1, dan zou voorbijgegaan worden aan de toepassing ervan in de economische en maatschappelijke problemen die in les 1 beschreven worden. Ook in les 2 is steeds een sterk verband met economie en maatschappijleer door het benoemen van de historische context. In de derde les wordt de link met maatschappijleer versterkt door een discussievorm waarin besproken wordt hoever je met wiskunde mag gaan, achter al die getalletjes hebben we het namelijk eigenlijk over mensenlevens. Door de nadrukkelijke aanwezigheid van dit aspect in de lessenserie worden leerlingen zich ervan bewust dat wiskunde geen opzichzelfstaand vakgebied is. Te vaak heersen nog de ideeën: “wat kun je met wiskunde behalve docent worden?” en “dat gebruik ik toch nooit?”. Terwijl in praktijk wiskundigen in bijna elke branche van belang zijn. Daarom is het zeker aan te raden in de derde les te proberen een gastspreker te regelen. Als leerlingen inzien dat wiskunde gerelateerd is aan vakgebieden waar ze wellicht meer interesse voor hebben, zal hun motivatie om de wiskunde te begrijpen stijgen. En dat is iets van enorm belang, dat de wiskunde niet alleen aangeleerd wordt als een reeks trucjes, maar dat de logische manier van denken doordringt5. (a)4. Dit aspect beschrijft dat leerlingen op meer gebieden leren dan puur wiskundig inhoudelijk. In de lessenserie wordt de vaardigheid ‘lezen’ meermaals getraind door het invoegen van originele bronnen en verhaaltjes waar benodigde informatie uit gehaald moet worden. Vraag 5 op werkblad 2 is hier een goed voorbeeld van, maar zeker ook het krantenartikel behorend bij de derde les kan hieronder gerekend worden. Bovendien sluit dat artikel feilloos aan bij de vaardigheid ‘discussiëren’, omdat dat de bijbehorende werkvorm is. De laatste vraag van het tweede werkblad (over Kersseboom) traint met behulp van geschiedkundige context de vaardigheid ‘zoeken naar bronnen’. Niet onbelangrijk is te noemen dat leerlingen met het concept plagiaat in contact komen, waar ze in hun wetenschappelijke loopbaan constant rekening mee zullen moeten houden. (b)1. Dit aspect belicht dat ook het maken van fouten, alternatieve methodes bedenken en dergelijke onmiskenbaar onderdeel zijn van de ontwikkeling van de wiskunde. Op het eerste werkblad wordt met vraag 2, 3 en 4 op kleine schaal zo’n ontwikkeling nagebootst. Eerst is er een intuïtief idee, met een kritische blik wordt gevraagd te rederneren waarom het niet kan kloppen en tot slot wordt gevraagd om een methode die wel correct is. Hopelijk draagt dit bij aan de overtuiging van leerlingen dat fouten maken niet erg is, sterker nog, dat het kan leiden tot nieuwe ontdekkingen en inzichten. Met name leerlingen die niet zo sterk zijn in wiskunde ontbreekt het zelfvertrouwen om fouten te durven maken. Op bijles wordt regelmatig gewerkt aan de bevestiging dat een leerling het wel kan, door vaak te oefenen (in plaats van dat er inhoudelijk veel extra uitleg nodig is). (b)2. Hierin wordt belicht dat de notatie en vorm van wiskunde altijd aan het ontwikkelen is. In werkblad twee zijn hier flarden van zichtbaar bij de berekening van Struyck (vraag 5) waarvan vermeld wordt dat die niet in de moderne formulevorm staat. Verder wordt er af en toe genoemd 5

[Fauvel, Van Maanen, 2000, pp.201 – 202]

5

dat we tegenwoordig met andere methodes en hulpmiddelen berekeningen maken (waar een tabel gebruikt werd hebben wij een rekenmachine of computer). En wordt genoemd dat bepaalde technieken (logaritme bijvoorbeeld) toen al wel bekend waren. (c)1. Wat betreft de didactische achtergrond van docenten richt dit eerste punt zich op kennis over de motivatie voor de introductie van wiskundige problemen. In lesplan 1 en 2 is daar meermaals op ingespeeld met zinnen als: “Er ontstond een wiskundig probleem. Want wat moest nu het beginkapitaal zijn om” (lesplan 1) en ook in de bijbehorende werkbladen wordt daar als rode draad naar gerefereerd. Meetkundige rijen worden bewust pas geïntroduceerd op de plek waar ze meteen nodig zijn om een historisch probleem op te lossen. Leerlingen zullen met de wil om het probleem op te lossen op een enthousiastere manier bereid zijn zich de benodigde wiskunde eigen te maken. (c)2. In het tweede punt over de didactische achtergrond van docenten staat onder andere dat de docent zich bewust kan worden van waar de moeilijkheden voor leerlingen zitten, omdat deze er in het verleden voor de wiskundigen ook waren. Sommige onderwerpen lijken op het eerste oog simpel, maar hebben een lang ontwikkeltraject doorgemaakt. Deze verrijking van de achtergrondkennis van de docent, leidt ertoe dat leerlingen beter geholpen kunnen worden met hun vragen en dat de manier van overbrengen beter aan zal sluiten bij de beleving van de leerling: “oh dus daarom” etc. Met dit aspect is in de lessenserie rekening gehouden door het hoofdstuk achtergrondinformatie voor de docent en het regelmatig benoemen van de historische context. (c)4. In dit aspect staat beschreven hoe docenten een breder repertoire ontwikkelen aan uitleg, voorbeelden en alternatieve manieren om een onderwerp te presenteren of probleem op te lossen. Het spreekt voor zich hoe dat in deze lessenserie naar voren komt. Bijvoorbeeld wanneer gevraagd wordt of er een praktisch voorbeeld genoemd kan worden waarvoor een logaritme of meetkundige rij nodig was. (c)5. Dit aspect is letterlijk wat er verlangd wordt bij vraag 5 van werkblad 2: het bestuderen van een historische tekst. (d)1. In deze serie is informatie opgenomen over de wiskundigen die bijdragen hebben geleverd aan de onderwerpen die besproken worden. Onderdelen uit hun biografieën komen terug in de les, waarmee de wiskunde minder gezien zal worden als iets dat ‘uit de lucht komt vallen’. (d)3. Zie (b)1. (e)2. Het aspect dat geschiedenis bijdraagt aan het begrip van hoe wiskunde mede ontstaat onder invloed van sociale en culturele factoren. In dit project is te zien dat wiskunde onder andere bedreven werd door machthebbers in de Lage Landen. Zij hebben het beoefenen van wiskunde meegekregen in hun scholing en nodig voor het goed uitvoeren van hun werk. De kringen van mensen waarmee ze omgingen en hoe de banden daarmee waren, hadden niet alleen invloed op de kennis die zijn konden vergaren, maar ook op hoe er gereageerd werd op de ontdekkingen die ze deden. We zien in de serie dat een veel duurdere lijfrenteverzekering niet meteen voor lief werd genomen. Met al deze aspecten komen de drie manieren van bewerkstelliging van de integratie van geschiedenis in de wiskundeles allemaal aan bod. Er wordt aandacht besteed aan directe informatie over de geschiedenis, een manier van lesgeven geïnspireerd door geschiedenis en wiskundige bewustwording van leerlingen (en docenten).

6

De lessenserie is in Tzanakis’ woorden een ‘historical package’6. Daarin zijn de volgende vormen verwerkt, zoals genoemd in paragraaf 4 van zijn artikel7. Historische fragmenten, historische fouten in berekeningen (zie ook (b)1, impliciete aannames opnieuw bekijken (zie bonusopgave werkblad 1), historische problemen, ervaringsgerichte wiskundige activiteiten (zoals bij de discussie in les 3 besproken wordt wat wel en niet meegenomen mag worden in het berekenen van een premie), visuele ondersteuning (PowerPoint presentatie) en het gebruik van internet (vraag 7 van werkblad 2).

6 7

[Fauvel, Van Maanen, 2000, p. 217] [Fauvel, Van Maanen, 2000, pp. 208-232]

7

Hoofdstuk 3 Docentenhandleiding lessen In dit hoofdstuk wordt het lessenplan voor de drie lessen besproken. In de eerste les behandelen we de sterftetabel van Edmund Halley. We introduceren de begrippen losrente en lijfrente. In de tweede les gaan we verder met de lijfrente en laten we zien hoe de sterftekans in een bepaald jaar werd meegenomen in de berekening van de prijs van de lijfrenteverzekering. In de derde les besteden we aandacht aan de levensverwachting van mensen en daarmee aan de levensverwachting van de verzekerde ‘lijven’. We beschouwen ook welke aspecten je mee kan nemen in het bepalen van deze levensverwachting. Tot hoe ver mag je maatschappelijk gezien gaan? Hoe denken de leerlingen hierover? Tevens wordt in hoofdstuk 4.2 historische achtergrondinformatie gegeven bij de lessen: informatie met betrekking tot Simon Stevin, Jan de Witt, Edmund Halley en Nicolaas Struyck.

3.1 Lesplannen In deze sectie vindt u drie lesplannen met daarin de planning, inhoud, benodigdheden, leerdoelen en voorkennis. Ondersteunende documenten vindt u in hoofdstuk 4. 3.1.1 De eerste les Planning De volgende opzet is een globale tijdsindeling. Er kan naar eigen vrijheid gekozen worden om voor bepaalde delen van de les meer of minder tijd te nemen. De uitleg over losrente kan later in de les plaatsvinden om de periode van zelfstandig werken wat op te breken. Opening (5 minuten) Klassikaal: Sterftetabel Halley (5 minuten) Uitleg over lijfrente (6 minuten) Introductie lijfrenteberekening Jan de Witt (2 minuten) Uitleg over losrente (2 minuten) Zelfstandig werken (25 minuten) Afsluiting (5 minuten) Inhoud In de eerste les beginnen we na de opening met wat klassikale berekeningen aan een sterftetabel van Halley. Het begrip lijfrente (waar Halley zijn tabel voor gebruikte) wordt met behulp van een animatie in de slides uitgelegd en dit wordt in een historische context geplaatst. Er volgt een korte introductie van de lijfrenteberekening van Jan de Witt. Dan wordt het begrip losrente uitgelegd en worden de leerlingen geprikkeld met betrekking tot de wiskundige kant ervan. Vervolgens mogen ze met het werkblad aan de slag om zelf de wiskunde uit te vinden die erachter zit. Hierbij komt onder andere de som van een eindige meetkundige rij aan bod. Benodigdheden Digibord Werkblad 1 (uitgeprint voor de leerlingen) Slides 1 t/m 6 Rekenmachine Leerdoelen De leerling kent de begrippen lijfrente, losrente, meetkundige rij, sterftetabel en sterftekans. 8

De leerling kan rekenen met contante waarde en sterftekansen. De leerling kan de som van een meetkundige rij toepassen en berekenen. Voorkennis De leerling kan rekenen met procenten Algemene kennis over wat een tabel is en hoe je die afleest 3.1.2 De tweede les Planning Bespreken huiswerk werkblad 1 (10 minuten) Uitleg lijfrenteberekening Jan de Witt (10 minuten) Situatieschets Nederland eind 17e eeuw (3 minuten) Informatie Nicolaas Struyck (3 minuten) Sterftetabel Nicolaas Struyck (5 minuten) Lijfrenteberekening Nicolaas Struyck (10 minuten) Werken aan werkblad 2, dit is tevens huiswerk (resterende tijd) Inhoud In de tweede les beginnen we na het bespreken van het huiswerk met de uitleg van de lijfrenteberekening van Jan de Witt. We laten zien hoe de sterftekans is meegenomen in deze berekening. Vervolgens wordt stil gestaan bij de situatie in Nederland eind 17e eeuw. Er wordt meer verteld over rampjaar 1672. Via de lijfrenteverzekeringen die toen werden verkocht komen we bij de sterftetabel van Nicolaas Struyck en de lijfrenteberekeningen van Nicolaas Struyck. Aan het eind van de les kunnen de leerlingen met diverse opdrachten van werkblad 2 aan de slag gaan. Benodigdheden Digibord Antwoorden werkblad 1 Werkblad 2 (uitgeprint voor de leerlingen) Slides 7 t/m 16 Rekenmachine Leerdoelen De leerling kent de situatie van Nederland eind 17e eeuw. De leerling kan rekenen met sterftekansen in een lijfrenteberekening, werken met historisch materiaal en werken met formules bij tabellen. Voorkennis De leerling beheerst de leerdoelen van les 1. De leerling kan rekenen met logaritmen. De leerling heeft en introductie op kansrekening gehad. De leerling kent het somnotatie teken ∑, indien niet bekend zou dit kort toegelicht kunnen worden. 3.1.3 De derde les Planning Bespreken huiswerk werkblad 2 (10 minuten) Vragenlijst invullen (5 minuten) Bespreken vragenlijst in groepjes van 4 tot 6 leerlingen (5 minuten) Gastspreker, slide levensverwachting, krantenartikel en discussie in overleg met gastspreker (30 minuten) Afsluiting (2 minuten)

9

Inhoud Na het bespreken van het huiswerk kunnen de leerlingen een fictieve vragenlijst invullen met betrekking tot hun eigen leeftijd. In groepjes van 4 tot 6 leerlingen kunnen ze de verschillen in levensverwachting en de oorzaken van deze verschillen bespreken. We raden aan om nu het woord te geven aan een gastspreker die werkzaam is in de verzekeringsbranche. De leerlingen horen nu van een deskundige waar de wiskunde in de praktijk gebruikt wordt en tegen welke uitdagingen men aanloopt. De presentatie van de gastspreker kan aangevuld worden met een slide van de levensverwachting en een krantenartikel uit de Volkskrant. Uiteraard is het goed als de leerlingen de mogelijkheid hebben om hier vragen te stellen en hun mening te geven. Vervolgens kan de docent de les afsluiten door de leerlingen te prikkelen en aan te geven dat er veel geld te verdienen is in deze branche. Benodigdheden Digibord Antwoorden werkblad 2 Werkblad 3 (uitgeprint voor de leerlingen) Slides 17 t/m 20 Leerdoelen De leerling kent enkele problemen waar tegenaan gelopen wordt bij het berekenen van premies. De leerling kan zijn mening vormen over een ethisch vraagstuk met betrekking tot wiskunde en verzekeringen. Voorkennis Geen.

10

Hoofdstuk 4 Implementatie en ondersteunend materiaal In dit hoofdstuk vindt u gedetailleerde instructies voor het uitvoeren van de lesplannen.

4.1 Implementatie 4.1.1 De eerste les Opening In de introductie van de komende drie lessen (projecteer slide 1 op het digibord) kan verteld worden dat we het gaan hebben over sterftetabellen, levensverwachtingen , losrente- en lijfrenteverzekeringen. De wiskunde die we daarbij tegenkomen is het aflezen van en rekenen met tabellen, het werken met formules bij die tabellen, procenten, meetkundige rijen en kansrekening. We besteden niet alleen aandacht aan wiskundige aspecten, maar ook aan maatschappelijke aspecten zoals de bijbehorende geschiedenis en de invloed daarvan op wat we vandaag de dag nog zien. Vertel met slide 2 wat we de eerste les gaan behandelen: we zullen eerst klassikaal de sterftetabel van Halley en de begrippen lijfrente en losrente bespreken. Vervolgens is er tijd om de leerlingen zelfstandig aan werkblad 1 te laten werken. Je kunt de les introduceren door aan de leerlingen te vragen of ze zich kunnen voorstellen dat een verzekeringsmaatschappij het interessant zou vinden om te weten hoe groot de kans is dat mensen een bepaalde leeftijd bereiken. Het antwoord is waarschijnlijk ja. Zelf vinden ze het misschien ook wel interessant om te weten. Ze zijn niet de enigen: al in de zeventiende eeuw was men hierin geïnteresseerd. Sterftetabel Halley Projecteer op het digibord slide 3: de sterftetabel uit 1693 door Edmund Halley.8 Over de sterftetabel van Halley staat meer beschreven in sectie 4.2.3 van deze handleiding. Leg uit dat in deze tabel staat dat een groep van 1000 kinderen van 1 jaar oud in de gaten gehouden werd, en dat daarvan 855 kinderen op hun tweede verjaardag nog leefden. Stel eventueel een controlevraag aan de leerlingen: hoeveel van die 1000 kinderen worden 3? Het antwoord is 798 kinderen. Vraag aan de leerlingen: wat is de kans dat iemand die vier jaar is, nog leeft als hij zeven is? De leerlingen kunnen hier even over nadenken. Bespreek kort het correcte antwoord: 692/760. We gaan ervan uit dat de leerlingen bekend zijn met de gebruikte notatie in de PowerPoint presentatie. Vraag aan de leerlingen: wat is de kans dat een kind precies 5, 6 of 7 jaar oud wordt. Let op dat we dus de kans bedoelen dat ze niet ouder worden dan 7, maar wel minstens 5. De kans dat iemand minstens 5 wordt is 732/1000 en de kans dat iemand 8 jaar of ouder wordt is 680/1000. Het correcte antwoord is dus 732/1000 - 680/1000 = 52/1000. Vraag aan de leerlingen: wat is de kans dat iemand precies 5 jaar wordt als hij nu 2 jaar is. Bespreek kort het antwoord: (732-710)/855. Vraag aan de leerlingen: waarom noemen we de tabel een sterftetabel, terwijl je erin afleest hoeveel mensen er nog leven? Vertel dat je de tabel ook een levenstabel zou kunnen noemen. Geef aan dat we vanaf nu sterftetabellen en levenstabellen voor het gemak allebei sterftetabellen noemen, omdat ze dezelfde informatie bevatten9.

8 9

[Hogendijk, 2010, p. 141] [Spoelstra, 2012, p. 6]

11

Vraag aan de leerlingen: waarvoor denken jullie dat Halley zijn tabel gebruikte? Halley berekende aan de hand van de tabel onder andere wat een geschikt bedrag voor een lijfrente moest zijn10. Geef met slide 4 de volgende uitleg over lijfrente. Uitleg over lijfrente11 Lijfrente, wat is dat? Het is een soort overeenkomst waarbij verschillende partijen betrokken zijn. Allereerst de overheid (klik: de afbeelding van Mark Rutte verschijnt). Dan is er een burger nodig die geld kan investeren (klik: de afbeelding van Dagobert Duck verschijnt met een zak geld eronder). Dagobert, de verzekeringnemer, geeft de overheid een zak met geld, maar dat doet hij niet voor niets natuurlijk (klik: de zak met geld schuift van Dagobert naar de overheid). Hij kiest een willekeurige persoon uit, die noemen we het ‘lijf’ of de verzekerde, en ieder jaar dat die persoon leeft, krijgt Dagobert geld van de overheid. Hij is niet op zijn achterhoofd gevallen en kiest daarom zijn jonge, kerngezonde neefje, zodat hij nog vele jaren geld van de overheid zal krijgen (klik: Kwek verschijnt in beeld). Het geld dat de investeerder elk jaar terugkrijgt van de overheid noemen we lijfrente (klik: een muntje schuift van de overheid naar Dagobert). De investeerder kan er ook voor kiezen dat de lijfrente aan een andere persoon betaald wordt (klik: Donald verschijnt, de lijfrente schuift naar hem). Degene die het geld ontvangt noemen we de begunstigde. Als de begunstigde dood gaat voordat het lijf dood gaat, dan wordt het geld uitgekeerd aan de erfgenamen van de begunstigde. In dit voorbeeld gaan we ervan uit dat de verzekeringnemer zelf de begunstigde is (klik: Donald verdwijnt, de lijfrente gaat terug naar Dagobert). Dagobert hoopt natuurlijk dat het lijf zo lang leeft dat hij in totaal meer geld terugkrijgt dan hij heeft geïnvesteerd (klik 2 keer: er schuift geld naar Dagobert). De overheid zou beter af zijn als ze minder geld hoeft terug te betalen dan ze in het begin had gekregen. Vaak bleek dat echter niet het geval. Doordat burgers vaak winst maakten, was het voor hen een aantrekkelijk aanbod. Maar wat was dan het voordeel voor de overheid van het aanbieden van lijfrenteverzekeringen? Al vanaf de veertiende eeuw werden lijfrentes af en toe als middel ingezet wanneer de overheid in korte tijd veel geld nodig had. Bijvoorbeeld voor de verdediging van een stad bij een dreigende oorlog: zonder geld kon de oorlog niet gewonnen worden. Dat korte termijn belang woog op tegen het geldverlies op de lange termijn.12 Er is veel literatuur met betrekking tot de financiële situaties van de Hollandse steden vanaf de 15e eeuw. Onderstaande tekst is geschreven door Cees Doedeijns13 en verkregen via de website van de Historische vereniging Oud Leiden. De leerlingen kunnen hier een goede indruk van krijgen door het (voor) te laten lezen: “De betalingsproblemen van de steden Dat de koop van lijfrenten niet zonder risico's was, blijkt uit het feit dat de steden vaak de uitbetalingen noodgedwongen moesten uitstellen. Veelal werd dit uitstel veroorzaakt door de hoog opgelopen schulden van de steden. Deze schulden waren bijvoorbeeld in Leiden onder meer te wijten aan de financiële bijdragen die de stad moest leveren naar aanleiding van het beleg van Rotterdam tijdens de Jonker-Fransenoorlog (1488-1492), de opstanden in het noorden van Holland, het Kaas- en Broodspel (1491-1492) en de in 1491 opnieuw uitgebroken oorlog met Gelre, die tot in 1543 zou voortduren. Door deze woelige tijden en mede door de achteruitgang van de handel en nijverheid raakte Leiden in grote financiële problemen. Pogingen om deze problemen op te lossen brachten de stad in een neerwaartse spiraal. Om aan haar financiële verplichtingen te kunnen voldoen, werd de stad steeds weer gedwongen om renten te verkopen, 10

[Spoelstra, 2012, p. 38] Vrij naar [Spoelstra, 2012, pp. 6-8] en [Hogendijk, 2010, p. 139] 12 Deze alinea is gebaseerd op [Spoelstra, 2012, pp. 7-8] en [Hogendijk, 2010, pp. 138-139] 13 [Doedeijns, 1999, pp. 15-35] 11

12

zodat met de opbrengst daarvan aan de betalingsverplichtingen van de eerder verkochte renten kon worden voldaan. In 1491 liepen deze reddingspogingen spaak en waren de stedelijke schulden dermate hoog opgelopen dat Leiden (evenals andere Hollandse steden) bij de landsheer uitstel van betaling moest aanvragen. Dit werd vergund en nog meerdere malen daarna werd uitstel van betaling van rentebetalingen aangevraagd en verkregen.” Introductie lijfrenteberekening Jan de Witt Een logische vervolgvraag is hoe de overheid de lijfrente berekende die hoorde bij een bepaalde inleg. “De oudste theoretische analyse van lijfrentes is Jan (of Johan) de Witt’s pamflet Waerdije van lijfrenten naar proportie van Los-renten uit 1671.”14 Daarvóór werd uit de losse pols het investeerbedrag gelegd op 10 maal de jaarlijks uit te betalen lijfrente. De Witt (zie biografie in hoofdstuk 4.2) rekende met een rente van 4 procent per jaar. In zijn tijd betaalde men met guldens. Controleer of iedereen weet wat een gulden is en vertel dan het volgende. Stel je voor: “Jantje wil op het lijf van een kind dat nu precies 3 jaar is, een lijfrente sluiten die per jaar 1.000.000 gulden oplevert. Dit bedrag moet uitbetaald worden in twee halfjaarlijkse termijnen zoals destijds gebruikelijk was. Als Jantje nu 25.000.000 gulden zou inleggen15, zou er tot in eeuwigheid elk jaar 1.000.000 gulden rente kunnen worden uitbetaald. Voor de lijfrente zal Jantje dus in elk geval fors minder hoeven te betalen dan 25.000.000 gulden. De Witt komt uit op een bedrag van 16.001.607 gulden.”16 Over zijn berekening zullen de leerlingen meer zien in de tweede les. Uitleg over losrente Naast lijfrente was er ook losrente (toon slide 5). In het geval van losrente ontving Jantje in het bovenstaande voorbeeld jaarlijks rente over zijn ingelegde kapitaal. Het kapitaal bleef bij de overheid staan. Als de overheid van de rente af wilde, kon zij het hele kapitaal terugbetalen: daarmee verviel de rentebetaling. De overheid wilde graag het beginkapitaal geleidelijk aflossen over bijvoorbeeld een periode van 25 jaar. Het jaarlijkse bedrag dat de overheid uitbetaalde was bijvoorbeeld 2000 gulden en bestond uit een rentebetaling van 4% en uit een aflossingsdeel. Er ontstond een wiskundig probleem. Want wat moest nu het beginkapitaal zijn om over een periode van 25 jaar ieder jaar 2000 gulden te kunnen uitbetalen?17 Zelfstandig werken Toon slide 6 en deel werkblad 1 uit. Hiermee zullen de leerlingen meer te weten komen over de berekeningen van lijfrente en losrente. De leerlingen kunnen de rest van de les zelfstandig aan het werkblad werken. Wat niet af is, is huiswerk voor de volgende les. Afsluiting Sluit de les samen af, herhaal kort wat we geleerd en gedaan hebben en herhaal het huiswerk. Vraag ook wat de leerlingen van de les vonden.

14

[Hogendijk, 2010, p. 139] “Dit bedrag is nodig bij een jaarlijkse betaling: de lezer wordt uitgenodigd zelf na te gaan dat voor twee halfjaarlijkse betalingen van 500.000 gulden bij een rentestand van 4 procent een beginkapitaal van 25.247.549 gulden nodig is.” Voetnoot in de geciteerde alinea van [Hogendijk, 2010, p. 139] 16 [Hogendijk, 2010, p. 139, bedrag is veranderd van 16.110.607 gulden in 16.001.607 gulden, omdat dit laatste het juiste bedrag is, op p. 140 staat het juiste bedrag] 17 Deze alinea is gebaseerd op [Hogendijk, 2010, p. 138] 15

13

4.1.2 De tweede les Inhoud tweede les (zie ook PowerPoint slide): terugkoppeling huiswerk, lijfrenteberekening De Witt, sterftetabellen Struyck, lijfrenteberekening Struyck, werken aan werkblad Struyck en huiswerk opgeven. Lijfrenteberekening De Witt18 In de eerste les is al kort gesproken over de lijfrenteberekening van Jan de Witt. Jan de Witt rekende uit dat niet 10 maal de jaarlijkse lijfrente-uitbetaling de prijs moest zijn van een lijfrenteverzekering, maar dat de prijs 16 maal de jaarlijkse lijfrente-uitbetaling moest zijn. Het maakte hem niet populair. Jan de Witt wilde niet alleen kijken naar de contante waarde bij een bepaald halfjaarlijks uitbetaald bedrag en een bepaalde rentestand, maar hij wilde daarin ook de kans op overlijden meenemen. Hij maakte gebruik van een eenvoudige sterftetabel. Deze zag er ongeveer als volgt uit (laat sterftetabel van De Witt zien, slide 8). Hij ging uit van 4 perioden: van 3 tot 53 jaar, van 53 tot 63 jaar, van 63 tot 73 jaar en van 73 tot 80 jaar. Hij ging er dus vanuit dat niemand 80 jaar oud werd. De kans op overlijden in de eerste periode ten opzichte van de volgende drie perioden is . In totaal zijn er 100 halve jaren in de eerste periode van 3 tot 53 jaar, 20 in de tweede, 20 in de derde en 14 in de laatste. De kans op overlijden in ieder half jaar in de eerste periode is dan

(

)

(

)

(

)

(

)

In het werkblad laten we de leerlingen de kans uitrekenen voor de tweede periode. De kansen in de andere perioden zijn:

en

.

Nu was het interessant om voor een kind van 3 jaar te bekijken wat de kans was dat dit kind 5 jaar werd. Deze kans was . Om daarna weer te kijken wat bijvoorbeeld de kans was van een 5 jarig kind om 10 jaar te worden. We drukken de kans uit in P. ( (

) )

( (

) )

(zie hierboven).

De Witt wilde nu deze kansen meenemen in zijn berekening van de contante waarde van een lijfrente. De contante waarde van een bedrag van 500.000 gulden na een half jaar, met een rentestand van 4% per jaar is voor een periode van een half jaar: √

gulden aan het begin van dat half jaar.

Nemen we hierin de kans op overlijden mee, dan krijgen we:

18

Deze alinea is gebaseerd op [Spoelstra, 2012] en [Hogendijk, 2010]

14

√

gulden.

We willen dit nu berekenen voor een kind van 3 jaar tot 80 jaar, dus voor 154 perioden van een half jaar. De Witt berekent voor iedere periode de netto contante waarde voor alle halve jaren tot aan die periode en vermenigvuldigt dit bedrag met de kans op overlijden in die periode. Vervolgens telt hij deze waardes bij elkaar op. De Witt komt met deze berekening uit op 16.001.607 gulden. In de volgende berekening wordt getoond hoe De Witt deze berekening deed:

∑(√

∑

)

is de kans op overlijden in die periode. is de lijfrente in periode i, de uitbetaalde lijfrente voor het eerste half jaar is 0 gulden, omdat in het eerste half jaar, voordat het kind 3,5 jaar oud was, bij overlijden niet werd uitgekeerd. Op deze manier wordt ieder deel van de netto contante waarde gewogen meegenomen, afhankelijk van de sterftekans. In de eerste periode is de uitkering 0 gulden. In de tweede periode wordt de netto contante waarde over één half jaar meegenomen voor 1/128 deel. In de derde periode wordt de netto contante waarde over twee halve jaren meegenomen voor 1/128 deel. Dit resulteert in de volgende som van alle gewogen netto contante waardes:

√

√

(√

√

(√

)

√

(√

√

√

√

)

√

)

Het maken van deze berekeningen kost veel tijd, nu zouden we dat met een programma zoals Microsoft Excel doen, maar vroeger was een dergelijk programma er nog niet. We laten de berekeningen ook zien om aan te tonen wat er nu precies gebeurt. In Microsoft Excel kan het redelijk eenvoudig, maar het is goed om te zien hoe de uiteindelijke beginwaarde van de lijfrente op deze manier afhangt van de sterftekansen. In 1671 schrijft Jan de Witt zijn pamflet. Als raadpensionaris had Jan de Witt het tot 1672 aardig voor het zeggen in gewest Holland. Prins Willem III was nog minderjarig en werd pas in het jaar 1672 als meerderjarige tot stadhouder benoemd. Jan de Witt kreeg minder gezag en was daar niet blij mee. 15

Ook zijn broer Cornelis de Witt, gedeputeerde van de Staten Generaal bij de strijdkrachten werd ervan verdacht tegen prins Willem III te zijn. In 1672 werden ze waarschijnlijk hierom op vreselijke wijze vermoord, een politieke moord.19 In de periode 1672-1674 worden lijfrentes verkocht in Amsterdam van juli tot september 1672 en van januari 1673 tot februari 167420. Amsterdam had veel geld nodig. Het was het rampjaar 1672. (slide schilderij Rijksmuseum) Tekst bij schilderij: “Samen met de Engelsen was de Franse koning Lodewijk XIV van plan om de machtige Republiek te reduceren tot een tweederangs mogendheid. Ze zouden de Republiek te land en ter zee zware nederlagen toebrengen. In 1670 sloten ze daartoe het Verdrag van Dover. Uit logistiek oogpunt werden de bisdommen Munster en Keulen erbij gevraagd. In april 1672 verklaarde Lodewijk de Republiek de oorlog. Hij trok om de Zuidelijke Nederlanden heen, die nog steeds in Spaanse handen waren. Via het grondgebied van Keulen rukte hij op langs de Rijn en in juni stak hij vervolgens die rivier over. De Franse opmars was snel: Overijssel, Gelderland en Utrecht werden volledig bezet. De Fransen konden op het nippertje worden tegengehouden door land bij de grenzen van het gewest Holland onder water te zetten. Dit werd bekend als de ‘Hollandse waterlinie’.”21

Sterftetabellen van Struyck (slide Nicolaas Struyck) Nicolaas Struyck, geboren in 1686, gaf in 1740 zijn boek uit met daarin de sterftetabellen, waarmee hij belangrijk is geweest voor de wiskunde. In zijn boek Inleiding tot de algemeene geographie benevens eenige sterrekundige en andere verhandelingen zijn het juist de andere verhandelingen met daarin de sterftetabellen. Voor Struyck zelf was het waarschijnlijk niet het belangrijkste onderdeel uit zijn boek. Voor zijn sterftetabellen maakte Struyck gebruik van de gegevens van de ‘lijven’ behorende bij de verkochte lijfrenteverzekeringen in Amsterdam in de periode 1672 -1674. Aan de hand van de sterftetabel van Nicolaas Struyck (zie slide) kunnen we uitleggen wat de wiskunde achter de sterftetabellen is. Elke kolom in de tabel stelt een leeftijdsklasse van 5 jaar voor. In de rijen vinden we steeds de hoeveelheid levende mannelijke ‘lijven’. Struyck begint links met 100 geregistreerde mannelijke ‘lijven’ in de klasse van 0-4 jaar. In de volgende klasse zijn er nog 95 mannelijke ‘lijven’ over. Er zijn 5 ‘lijven’ overleden. In de tweede rij zien we 110 ‘nieuwe’ mannelijke ‘lijven’ geregistreerd in de klasse van 5-9 jaar. Waarvan we zien dat er 107 zijn blijven leven in de volgende periode van 5 jaar. De derde rij geeft geen nieuwe cijfers, maar is een optelling van de eerste en tweede rij. In werkblad 2 zullen we nog twee andere tabellen van Struyck behandelen. Deze tabellen laten ook het verschil in levensverwachting zien van mannen en vrouwen. Struyck was de eerste die dit opmerkte. In zijn boek geeft Struyck aan hoe hij tot de prijs van een lijfrenteverzekering komt. Hij doet dit op dezelfde manier als De Witt. Sanne Spoelstra heeft dit weergegeven in de volgende formules22: ∑ ( | )

19

[Rijksmuseum, 1] [Spoelstra, 2012, p. 45] 21 [Rijksmuseum, 2] 22 [Spoelstra, 2012, pp. 50-51] 20

16

Waarbij Va de waarde is van de lijfrenteverzekering en a de leeftijd in jaren. Va is dus de waarde van de lijfrenteverzekering van iemand met leeftijd a. Daaruit volgt dat b – a dus de leeftijd b min de leeftijd a is, dus het verschil in jaren. Q (b|a) is de kans dat iemand van leeftijd a wel de leeftijd b bereikt, maar niet de leeftijd b+1. vb-a is de netto contante waarde van een lijfrente uitkering van 80 gulden per jaar en een rente van 2,5%, welke dus afhangt van a en b. ∑

(

)

Daarbij kunnen we, zoals we eerder zagen, gebruik maken van de eindige meetkundige rij: (

–(

) –

)

We laten de volgende tabel zien:23

In deze tabel staat de waarde van de lijfrenteverzekering voor een vrouw en voor een man per leeftijdsklasse. Struyck berekende deze waarde met bovenstaande formule. We zien dat de waarde afneemt bij een hogere leeftijd van het ‘lijf’. Voor de leerlingen van VWO 4 voert het te ver om deze berekening te behandelen. We tonen de berekening om te laten zien hoe de waarde weer afhangt van de kans dat iemand overlijdt in een bepaald jaar. In het werkblad worden een aantal vragen gesteld met betrekking tot de volgende tabel:

24

23

[Hogendijk, 2010, p. 142]

17

Nicolaas Struyck geeft in kolom A de waarde van de lijfrenteverzekering gebaseerd op de sterftetabel naar leeftijdsklassen. Kolom B geeft de waarde van de lijfrenteverzekering gebaseerd op de sterftetabel voor iedere leeftijd. Kolom C geeft het bedrag van de jaarlijkse uitkering als de lijfrenteverzekering 100 gulden had gekost, zonder lasten (belasting). Kolom D geeft het bedrag van de jaarlijkse uitkering als de lijfrenteverzekering 100 gulden had gekost, met lasten. Kolom E geeft tenslotte aan hoe lang het duurde voordat iemand de aankoopwaarde van de lijfrente had ‘terugverdiend’. In de laatste vraag op werkblad 2 wordt aandacht besteed aan tijdgenoot Willem Kersseboom. Voor informatie met betrekking tot Willem Kersseboom verwijzen wij naar de biografie van Nicolaas Struyck. 4.1.3 De derde les Begin de les met het aangeven van de inhoud van de les (zie slide): terugkoppeling van het huiswerk, vervolgens vullen de leerlingen een vragenlijst in (werkblad 3), zodat ze fictief hun leeftijd kunnen aflezen. Deze vragenlijst is gebaseerd op twee gevonden vragenlijsten op een Belgische website25. Na het invullen van de vragenlijst kunnen de leerlingen in groepen van 4 tot 6 kinderen de leeftijden met elkaar delen. Vervolgens kunnen ze met elkaar bespreken wat een verzekeringsmaatschappij wel en wat niet kan meenemen in de berekening van de premie. Denk bijvoorbeeld aan: man/vrouw, erfelijke ziektes en leefstijl. Aan deze les kan een extra invulling gegeven worden door een gastspreker uit te nodigen die werkzaam is in de verzekeringsbranche. Deze gastspreker kan de leerlingen meer vertellen over wat er komt kijken bij het afsluiten van bijvoorbeeld een levensverzekering. De gastspreker kan vervolgens ook de discussie leiden naar aanleiding van het invullen en bespreken van de vragenlijst en zijn presentatie. (slide: levensverwachting van een 16-jarige) De grafiek26 geeft aan hoe lang een 16-jarige nog te leven heeft. Laat de leerlingen vervolgens het artikel uit de Volkskrant op werkblad 3 lezen. De verzekeraar moet mannen en vrouwen gelijk behandelen en moet een gelijke premie vragen. Sluit de les af met de laatste slide. Een groot deel van de huiseigenaren betaalt iedere maand hypotheeklasten bestaande uit rente en aflossing om het bedrag, dat ze geleend hebben van de hypotheekverstrekker voor de aankoop van hun huis, af te lossen. Een groot deel van de werkenden betaalt iedere maand pensioenpremie om op latere leeftijd, als men niet meer werkt, iedere periode een bedrag te krijgen om dan van te leven. Achter deze hypotheekberekeningen en pensioenberekeningen zitten ingewikkelde wiskundige formules die gebaseerd zijn op de formules die we deze lessen hebben behandeld. Er gaat veel geld in om27. Er is dus ook veel geld in te verdienen. Door de verzekeraar en de belegger, maar ook door de huiseigenaar en de werkende door de juiste hypotheek en het juiste pensioen te kiezen. En te weten waar je op moet letten: wat is de rente?, wat is de aflossing?, wat is de premie?, wat is de looptijd?, wat is de waarde van mijn pensioen? Tevens zijn er veel banen in deze sector: actuaris scoorde als beste baan in 2013 in de Verenigde Staten.28 In het laatste deel van deze les kan een brug geslagen worden naar het vak economie. Het onderwerp, behandeld in deze drie lessen, leent zich goed voor een projectweek. Verschillende vakken ontmoeten elkaar, zoals wiskunde, geschiedenis, economie en maatschappijleer.

24

[Struyck, 1740, p. 366] Vrij naar en . 26 [CBS Statline, 2012] 27 [Hogendijk, 2010, p. 144] 28 Gevonden op [Geraadpleegd: 18 juni 2014] 25

18

4.2 Achtergrondinformatie In deze sectie is de achtergrondinformatie opgenomen die een verdieping geeft aan de lesmodule. De biografie van Nicolaas Struyck kan aangeboden worden bij vraag 7 van werkblad 2. De biografieën van Simon Stevin, Jan de Witt en Nicolaas Struyck komen van het Biografisch Woordenboek van Nederlandse Wiskundigen. 4.2.1 Biografie Simon Stevin “Simon Stevin (1548-1620) Als een typische Renaissancewiskundige bewoog Simon Stevin zich op vele gebieden: algebra, meetkunde, rekentechnieken, perspectiefleer, waterbouwkunde, militaire wetenschappen, harmonieleer. Wegens zijn werk in de statica en de hydrostatica wordt hij als een van de allergrootste wiskundigen uit het Nederlandstalig cultuurgebied beschouwd. STEVIN, Simon, wiskundige en ingenieur (Brugge, 1548 – Den Haag, 1620). Onwettige zoon van Antheunis Stevin en Cathelijne van de Poort. Gehuwd in 1610 met Catherine Cray. Uit dit huwelijk werden vier kinderen geboren. Simon Stevin 'van Brugge' vestigde zich in 1581 in Leiden. In de Republiek der Verenigde Nederlanden was Stevin actief als auteur van boeken en als ingenieur. Vanaf 1593 tot aan zijn dood in 1620 in Den Haag speelde hij een rol als militair adviseur van Prins Maurits. De Unie van Utrecht, 1579, en de akte van verlating in 1581 maakten de opstand tegen te Habsburgse monarchie expliciet. De contouren van een nieuwe staat in het noorden werden zichtbaar; een klein land bewoond door kooplieden, zeelieden en handwerkslieden versloeg de beste legers van Europa en ontwikkelde zich in enkele decennia tot een wereldmacht op het politieke, economische en culturele vlak. Het leidde tot een grote vlucht van kapitaal en talent uit zuidelijke steden als Brugge en Antwerpen naar het noorden. De Republiek was de ideale omgeving voor het Vlaamse genie Stevin. In 1582 publiceerde hij de Tafelen van Interest, voor het gemak van renteberekeningen. In 1585 publiceerde hij De Thiende waarin hij breuken decimaal representeert. In de zestiende eeuw werden de werken van Archimedes bekend. Stevin was de eerste die volstrekt nieuwe bijdragen leverde aan het werk van Archimedes op het gebied van statica en hydrostatica. In 1586 verschenen De Beghinselen der Weeghconst en De Beghinselen des Waterwichts over respectievelijk statica en hydrostatica. Stevins theoretische beschouwingen zijn altijd geschreven met mogelijke toepassingen in het achterhoofd. In hetzelfde jaar publiceerde Stevin De Weeghdaet over de toepassing van de statica en mogelijk toen al maakte hij een begin met De Waterwichtdaet over de toepassing van de hydrostatica. In Stevins statica vinden we het beroemde clootcransbewijs van de wet van het hellend vlak. Stevin leidde daaruit als eerste de stelling van het parallellogram van krachten af. In Stevins hydrostatica vinden we nieuwe resultaten als de hydrostatische paradox en onder meer een afleiding van de kracht die water op een verticaal vlak uitoefent. Stevin maakte bij het bouwen van windmolens om water uit polders te malen, zowel van de statica als de hydrostatica gebruik. Op dit punt was hij zijn tijd ver vooruit. Nationale faam verwierf hij in zijn eigen tijd met een andere uiting van praktisch vernuft: de zeilwagen waarmee een gezelschap van 28 personen, waaronder Prins Maurits en Hugo de Groot, met ongekende snelheid over het strand van Scheveningen naar Petten reed. Stevin was een bewonderaar van de Nederlandse taal. Hij schreef leerboeken in het Nederlands; een unicum voor die tijd, want de meeste wetenschappers schreven in het Latijn. Door Stevin zijn termen als 'wiskunde' (in zijn tijd: 'wisconst'), 'meetkunde' en 'evenwijdig' blijvend in de Nederlandse taal opgenomen.”29 4.2.2 Biografie Jan de Witt “Jan de Witt (1625 – 1672) 29

[Koetsier, 2009], op de site staat een uitgebreide bronvermelding

19

Raadpensionaris Jan de Witt was naast zijn staatsmanschap verdienstelijk wiskundige. Zijn verhandeling over lijfrenten plaatsten de wiskunde zelfs direct in dienst van de politiek. WITT, Jan de, staatsman (Dordrecht, 24 september 1625 – Den Haag, 20 augustus 1672). Zoon van Jacob de Witt, patriciër. Gehuwd in 1655 met Wendela Bicker (30 december 1635 – 1 juli1668), een telg uit een van de machtigste geslachten van Amsterdam. Uit dit huwelijk werden twee zoons en zes dochters geboren. De broers Jan en Cornelis de Witt zaten in Dordrecht op de Latijnse school van Isaac Beeckman en studeerden vervolgens rechten in Leiden, waar zij in huis woonden bij Frans van Schooten sr. Jan de Witt volgde naast de rechtenstudie de wiskundelessen van Frans van Schooten jr. Op 23 juli 1653 werd Jan de Witt raadpensionaris van het gewest Holland. In 1672 werden Jan en Cornelis de Witt gelyncht bij de Gevangenpoort in Den Haag. In de periode 1646-1649 schreef Jan de Witt Elementa Curvarum Linearum (Elementen van kromme lijnen), dat in 1660 in twee banden verscheen. Ten opzichte van de klassieke basistekst over kegelsneden van de Griek Apollonius was dit een wezenlijke vernieuwing. In 1671 worstelden de Staten van Holland met de vraag hoe zij geld zouden lenen, in de vorm van lijfrenten, dat wil zeggen de staat verplichtte zich om na ontvangst van een bepaald bedrag tot aan de dood van een zekere persoon (het lijf) jaarlijks een rente uit te keren, of in de vorm van losrenten, die de staat verplichtten voor een bepaalde periode jaarlijks een rente uit te keren. De Witt schreef een studie ten behoeve van de Staten van Holland, de Waardye van lyf-renten naar proportie van los-renten. Het werk is in de Verslagen van de vergaderingen van de Staten van Holland opgenomen, al is niet duidelijk of het ook politieke invloed heeft gehad. De Witt betoogde dat met de gebruikelijke renten een lijfrente zowel voor de koper als voor de Staten te prefereren viel boven een losrente. Een centrale rol speelde in De Witts waarschijnlijkheidstheoretische beschouwingen het begrip ‘eerlijk kanscontract’. Een kanscontract is eerlijk als de premie even hoog is als de gemiddelde opbrengst. In de sfeer van de lijfrenten rekende De Witt in feite wat we nu verwachtingswaarden zouden noemen uit en leverde daarmee een originele bijdrage aan de levensverzekeringswiskunde. De invloed van Christiaan Huygens’ boek Van rekeningh in spelen van geluck (1660) is onmiskenbaar.”30 4.2.3 Sterftetabel en biografie van Edmund Halley “Het samenstellen van een sterftetabel is niet eenvoudig. Men zou met een voldoend willekeurige populatie van bijvoorbeeld 1000 baby’s kunnen beginnen, en dan registreren hoelang elke baby leeft. Het duurt dan een eeuw totdat de sterftetabel klaar is. Daarom zocht men naar populaties die min of meer constant waren (geen immigratie en geen emigratie) en waar geen bijzondere gebeurtenissen zoals oorlogen en epidemieën plaatsvonden. Als het aantal geboortes en de leeftijd van de overledenen een paar jaar lang geregistreerd worden, kunnen de gemiddelden gebruikt worden voor een sterftetabel. In 1693 publiceerde de Engelsman Edmund Halley (1656–1742) een sterftetabel die hij op die manier had afgeleid uit bevolkingsgegevens uit de stad Wroclaw in Polen tussen 1687 en 1691. Halley begint met 1000 kinderen van één jaar oud en hij geeft bij elk volgend jaar het aantal dat nog in leven is.”31 “Edmund Halley (1656-1742) Edmund Halley is geboren in Haggerston (nu een deel van Londen), als de zoon van een rijke zeepmaker, op 29 oktober 1656. Hij studeerde drie jaar aan de Universiteit van Oxford, waarna hij reisde naar het eiland St. Helena in de Zuid Atlantische Oceaan, om de sterren, zichtbaar op het zuidelijke halfrond, te observeren. Voor zijn reis, ontving Halley een financiële bijdrage van zijn vader 30 31

[Koetsier, 2006], op de site staat een uitgebreide bronvermelding [Hogendijk, 2010, p. 141]

20

en steun van onder andere, Koning Charles II, die hem aanbeval bij de Oost Indische Compagnie. Toen Halley terugkeerde naar Engeland en zijn berekeningen van de baan van de maan publiceerde, kreeg hij een MA-graad en werd gekozen tot lid van de Royal Society, hij was pas 22 jaar oud. In 1684 bracht Halley een bezoek aan Isaac Newton en vroeg hem om hulp bij de berekeningen van de banen van de hemellichamen. Newton’s antwoord maakte zoveel indruk op Halley, dat hij Newton stimuleerde om meer te schrijven. Uiteindelijk resulteerde dit in Newton’s beroemde boek ‘Philosophiae Naturalis Principia Mathematica' (1687), wat was bewerkt, betaald en gerecenseerd door Halley. Halley kwam in contact met interessante data voor een sterftetabel door de Royal Society. In de duitse stad Breslaw (nu Wroclaw in Polen) werden registers bijgehouden met geboorteaantallen en de leeftijd en het geslacht van iedere overledene in de stad. De pastor en wetenschapper Caspar Neumann (1648-1715) stuurde een deel van deze data naar zijn vriend Gottfried Leibniz, die op zijn beurt de Royal Society informeerde. De Society vroeg daarna Halley om de data te analyseren, Halley had juist toegezegd om regelmatig een aantal pagina’s in de ‘Philosophical Transactions’ te schrijven. Het resultaat was Halley’s artikel in 1693 ‘An estimate of the degrees of mortality of mankind’. Dit artikel bevatte de sterftetabel voor Breslaw. De sterftetabel toonde het verwachte aantal personen dat nog in leven is na een bepaald aantal jaren, uit een begingroep van 1000 kinderen. In het artikel berekende Halley ook de waarde van een lijfrenteverzekering, afhankelijk van de leeftijd van de verzekerde; hij gebruikte een rente van 6% in plaats van 4%, maar gebruikte wel dezelfde methode als Jan de Witt. In de periode 1698-1700, observeerde Halley het magnetische veld van de aarde rond de Atlantische Oceaan, als commandant van de HMS Paramore. In 1740 werd hij aangewezen tot professor geometrie aan de Universiteit van Oxford. Spoedig daarna publiceerde hij een boek over kometen, dat een berekening bevatte van de baan van de Halley komeet, zoals we die nu kennen. In 1720 werd Halley de tweede Koninklijke Sterrekundige, een prestigieuze positie, die hem onder andere directeur maakte van de Royal Observatory in Greenwich. Edmund Halley overleed in Greenwich op 14 januari 1742.”32 4.2.4 Biografie Nicolaas Struyck “Nicolaas Struyck (1686 – 1769) Nicolaas Struyck was één van de eerste Nederlanders die een sterftetabel publiceerden, en de eerste wereldwijd die bij het berekenen van levensverwachtingen onderscheid maakte tussen mannen en vrouwen. STRUYCK, Nicolaas (ook: Nicolaes, Struijk, Struijck, Struick), (Amsterdam, mei 1686 – Amsterdam, 15 mei 1769). Zoon van Nicolaas Struyck, goudsmid, en Geertruij Wesdorp. Hij was niet gehuwd. Er is niet veel bekend over het leven van Nicolaas Struyck, behalve wat opgemaakt kan worden uit de stadsregisters van Amsterdam en uit zijn eigen werk. In 1724 liet Struyck als zijn beroep 'matthesius' opnemen in de poorterboeken van Amsterdam, hoewel hij ook actief was in onder andere astronomie, geografie en biologie. Wat hij precies deed om de kost te verdienen, is onbekend. Mogelijk had hij een baan als boekhouder of werkte hij bij de Amsterdamse effectenbeurs. Vanaf ongeveer 1750 gaf hij les aan boekhouders en navigatieofficieren in opleiding. Hoe dan ook leefde hij kennelijk niet in armoede: bij zijn overlijden liet hij een aanzienlijke erfenis achter, inclusief verschillende huizen in Amsterdam. In 1716 publiceerde Struyck zijn eerste werk, Uytreekening der kansen in het speelen. In dit boek berekent hij de verwachtingswaarde van allerhande kansspelen. Hij geeft uitwerkingen van enkele concrete voorbeelden, maar ook algebraïsche formules voor meer algemene gevallen. Struycks magnum opus, verschenen in 1740, is getiteld: Inleiding tot de algemeene geographie, benevens eenige sterrekundige en andere verhandelingen. Opmerkelijk genoeg zijn het deze 'andere verhandelingen' die het werk bevatten waarmee Struyck het meest beroemd geworden is: het 32

[Spoelstra, 2012, pp. 37-38, vertaling]

21

berekenen van sterftetabellen, levensverwachtingen en de waardes van lijfrenten. Hij was de eerste die bij het opstellen van sterftetabellen verschil maakte tussen mannen en vrouwen, omdat vrouwen gemiddeld enkele jaren langer leven dan mannen. Tijdgenoot Willem Kersseboom (1691-1771), die ook sterftetabellen had opgesteld, beschuldigde Struyck van plagiaat. Verschillende delen van Struyck's werk zouden overgenomen zijn uit dat van Kersseboom, en het feit dat Struyck weinig uitleg geeft bij zijn sterftetabellen is reden voor Kersseboom om te schrijven dat ze 'zonder reflectie of fundament, 't zy willens tegen de waarheid of zonder kennis van zaken' opgesteld zijn. In de twintigste eeuw werd aangetoond dat de beschuldigingen van plagiaat ongegrond waren, om de simpele reden dat Struyck zijn werk eerder schreef dan Kersseboom. Struyck reageerde echter niet op de kritiek. Mogelijk werd daarom aangenomen dat Kersseboom gelijk had; in ieder geval was het de minder precieze sterftetabel van Kersseboom die nog tot eind negentiende eeuw gebruikt zou worden voor het berekenen van de waarde van lijfrenten en levensverzekeringen. Struyck bleef wetenschappelijk actief tot het eind van zijn leven. In 1749 publiceerde hij Viae Cometarum, met daarin de omloopbanen van enkele kometen. In 1753 volgde Vervolg van de beschryving der staartsterren, en nader ontdekkingen omtrent den staat van 't menschelyk geslagt. Dit boek was bedoeld als een aanvulling op de Inleiding, en bevatte onder andere een classificatie van kometen naar kortste afstand tot de zon, wat aanleiding gaf voor latere sterrenkundigen om voor het eerst statistiek toe te passen op kometen. Ook bevatte het de resultaten van een volkstelling die hij met hulp van assistenten had gedaan in een aantal dorpen in Noord-Holland, en een zorgvuldige analyse van deze gegevens. De invloed van Struycks werk bleef grotendeels beperkt tot Nederland omdat hij bijna al zijn werk in het Nederlands publiceerde. Toch werd hij benoemd tot Fellow of the Royal Society of London en officiële correspondent van de Académie Royale des Sciences in Parijs. Ook was hij lid van de pas opgerichte Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen.”33

33

[Spoelstra, 2011], op de site staat een uitgebreide bronvermelding

22

4.3 Werkbladen 4.3.1 Werkblad 1: Lijfrente en Losrente Lijfrente In de les kwam het volgende aan de orde: “Jantje wil op het lijf van een kind dat nu precies 3 jaar is, een lijfrente sluiten die per jaar 1.000.000 gulden oplevert. Dit bedrag moet uitbetaald worden in twee halfjaarlijkse termijnen zoals destijds gebruikelijk was. Als Jantje nu 25.000.000 gulden zou inleggen34, zou er tot in eeuwigheid elk jaar 1.000.000 gulden rente kunnen worden uitbetaald. Voor de lijfrente zal Jantje dus in elk geval fors minder hoeven te betalen dan 25.000.000 gulden. De Witt komt uit op een bedrag van 16.001.607 gulden.”35 Vraag 1: Hoe oud is het kind als de eerste uitkering plaatsvindt? Hoeveel geld moeten we nu op rente zetten om over een half jaar 10.000.000 stuivers te kunnen uitkeren, bij een rente van 4 procent per jaar”36? Een stuiver is 1/20e deel van een gulden. Een simpel idee is om voor elk half jaar 2 procent te rekenen. Vraag 2: Bereken de benodigde inleg in stuivers als je voor het eerste half jaar 2 procent rekent. We gaan ervan uit dat de begunstigde de ontvangen rente direct bij laat schrijven, om ook daar meteen weer rente op te krijgen. Vraag 3: Verklaar met een berekening waarom je na een half jaar meer dan 4 procent rente hebt ontvangen. Vraag 4: Wat is de benodigde inleg om na een half jaar 10.000.000 stuivers te ontvangen als je jaarlijks wel precies 4 procent rente ontvangt? Een dergelijk bedrag noemen we contante waarde. Vraag 5: Hoeveel procent rente moet je dan per half jaar rekenen? Rond af op 2 decimalen.

Tabel van Simon Stevin

We bekijken nu los van de inleg die je moest doen om na een half jaar 10.000.000 stuivers te krijgen, de inleg die nodig is om bij een eenmalige betaling na een x aantal jaren 10.000.000 stuivers te krijgen. Al in 1582 publiceerde de wiskundige Simon Stevin een tabel met de benodigde bedragen. Een deel ervan is hiernaast weergegeven37. Vraag 6: Geef de berekeningen die horen bij jaar 1, 2 en 9. Let op: waarschijnlijk rondde Stevin tussendoor af op gehele getallen en rekende daarmee verder. Als je berekening bij jaar 9 uitkomt op 7.025.867 heb je het ook goed gedaan. Vanaf nu gaan we ervan uit dat er tussendoor niet is afgerond.

34

“Dit bedrag is nodig bij een jaarlijkse betaling: de lezer wordt uitgenodigd zelf na te gaan dat voor twee halfjaarlijkse betalingen van 500.000 gulden bij een rentestand van 4 procent een beginkapitaal van 25.247.549 gulden nodig is.” Voetnoot in de geciteerde alinea van [Hogendijk, 2010, p. 139] 35 [Hogendijk, 2010, p. 139, bedrag is veranderd van 16.110.607 gulden in 16.001.607 gulden, omdat dit het juiste bedrag is] 36 [Hogendijk, 2010, p. 139] 37 Tabel van Simon Stevin uit [Hogendijk, 2010, p. 139]

23

Vraag 7: Geef de formule voor het berekenen van het bedrag bij jaar n. Vraag 8: Is de inleg behorend bij 24 jaar hoger of lager dan 4 miljoen? Losrente In de les kwam het volgende aan de orde: In het geval van losrente ontving de burger jaarlijks rente over zijn ingelegde kapitaal. Het kapitaal bleef bij de overheid staan. Als de overheid van de rente af wilde, kon zij het hele kapitaal terugbetalen: daarmee verviel de rentebetaling. De overheid wilde graag het beginkapitaal geleidelijk aflossen over bijvoorbeeld een periode van 25 jaar. Het jaarlijkse bedrag dat de overheid uitbetaalde was bijvoorbeeld 2000 gulden en bestond uit een rentebetaling van 4% en uit een aflossingsdeel. Er ontstond een wiskundig probleem. Want wat moest nu het beginkapitaal zijn om over een periode van 25 jaar ieder jaar 2000 gulden te kunnen uitbetalen?38 Voor de berekeningen met losrente introduceren we de meetkundige rij en de som van een eindige meetkundige rij. In een meetkundige rij is er een startgetal en om het volgende getal te krijgen vermenigvuldig je steeds met hetzelfde vaste getal. Begin je bijvoorbeeld met 5 en is het vaste getal waarmee je vermenigvuldigt 3, dan wordt de rij: 5, 15, 45, 135 … waarbij de puntjes betekenen dat de rij oneindig ver doorgaat. Vraag 939: Welke van de volgende rijen zijn meetkundige rijen? (i) 4, 28, 112, 448, … (ii) 1, 7, 48, 343, … (iii) 6, 12, 36, 144, … (iv) 6, 54, 486, 4.374, … (v) 1, 1/2, 1/4, 1/16, … Noem het startgetal a en het getal waarmee vermenigvuldigd wordt r. Vraag 10: Schrijf de eerste vier elementen van een meetkundige rij in termen van a en r. De som van een eindige meetkundige rij kan gemakkelijk berekend worden met de formule (met r niet gelijk aan 1): ∑ Vraag 11: Laat zien dat de formule klopt voor de eerste 5 elementen van de rij met a=3 en r=7. Lees het volgende verhaal40.

38

Deze alinea is gebaseerd op [Hogendijk, 2010, p. 138]

39

Vrij naar

40

[Gijswijt, 2008, p. 1]

24

Vraag 1241: Om hoeveel rijstkorrels vroeg Sissa? Klopt het idee van de koning over dat het een bescheiden verzoek is? Vraag 13: Als r wel gelijk is aan 1, wat is dan de som van de eerste n elementen van een meetkundige rij met startgetal a? De kennis over de som van een meetkundige rij passen we toe op het vraagstuk van de losrente. Men ging voor ieder jaar de contante waarde uitrekenen. Jaar 1: (

)

Jaar 2: ( ⁞

)

jaar 25: (

.

)

Al deze bedragen werden bij elkaar opgeteld en dat was dan de contante waarde en dus de inleg aan het begin van de periode van 25 jaar. Vraag 14: Bereken de inleg tot op de cent nauwkeurig. Vraag 15: Wat is dan de contante waarde van een betaling van 100 gulden per jaar over een periode van 30 jaar bij een rentestand van 4%?

41

Vrij naar

25

Bonusopgave Laat zien waarom de formule voor de som van een meetkundige rij klopt, motiveer de tussenstappen. ∑

26

4.3.1A Antwoorden werkblad 1 Vraag 1: 3 ½ jaar, omdat er in twee halfjaarlijkse termijnen wordt uitbetaald en op het moment van afsluiten was het kind precies 3 jaar Vraag 2: 9.803.921 stuivers, namelijk (100/102) 10.000.000 Vraag 3: (100/102)∙(100/102) is niet gelijk aan (100/104), je krijgt rente op je rente, dus twee keer 2 procent is meer dan wanneer je eenmalig 4 procent krijgt. Het is ook goed als leerlingen een willekeurig startbedrag hebben gekozen om mee aan te tonen dat de uitkomsten niet gelijk zijn. Vraag 4: √(100/104) ∙ 10.000.000 = 9.805.807 stuivers Vraag 5: 1,98 procent. Voorbeeldberekening: √(104)∙10 – 100 Vraag 6: 100/104 ∙ 10.000.000, (100/104)2 ∙ 10.000.000 en (100/104)9 ∙ 10.000.000. Een andere mogelijkheid voor jaar 9 is om het getal bij jaar 8 te vermenigvuldigen met 100/104, dan kom je precies uit op het getal in de tabel. Vraag 7: Bedrag bij jaar n = (100/104)n ∙ 10.000.000 Vraag 8: Lager, namelijk (100/104)9 ∙ 10.000.000= 3.901.215 Vraag 9: De eerste en de vierde Vraag 10: De eerste vier elementen van de meetkundige rij zijn a, ar, ar2, ar3 Vraag 11: ∑ Vraag 12: 264 – 1, oftewel 18.446.744.073.709.551.615 rijstkorrels. Nee, want dat is genoeg rijst om Nederland en België met een laag van een meter dik te bedekken.42 Vraag 13: Dan is de som na, omdat je simpelweg n keer het startgetal hebt. (

Vraag 14:

(

) )

– 2000 = 30.493,93 gulden , let op dat het eerste element van de rij niet in

de som zit en er dus weer afgehaald wordt. Een andere manier om het te berekenen is met startwaarde (

)

Vraag 15: ( ) paar stuivers.

en n=24. (

)

(

)

(

)

Bonusopgave: Zie voor de oplossing Basisboek wiskunde pagina 6343.

42 43

[Gijswijt, 2008, p. 1] [Craats, 2009, p. 63]

27

gulden en een

4.3.2 Werkblad 2: De Witt en Struyck Voor de berekeningen met lijfrente moeten we weten wat de verwachte leeftijd is van het lijf. De Witt deed daarover de volgende aannames: het lijf overlijdt voor zijn 80ste verjaardag. Een gebeurtenis is het overlijden van het lijf in een gegeven half jaar, waarbij de eerste gebeurtenis het overlijden van het kind is voordat het 3,5 wordt, etc. “Hij onderscheidt daarbij 4 perioden in het menselijk leven: van 3 tot 53 jaar, van 53 tot 63 jaar, van 63 tot 73 jaar, en van 73 tot 80 jaar. Als twee van de 154 gebeurtenissen in dezelfde periode liggen, hebben zij gelijke kansen. De kansen op een gebeurtenis in de achtereenvolgende perioden verhouden zich volgens De Witt als 1: ⅔ : ½ : ⅓. Dit houdt in moderne termen in dat de kans op elk van de gebeurtenissen 1 tot en met 100 gelijk is aan 6/768 (= 1/128). De kans op elk van de gebeurtenissen 101 tot en met 120, van 121 tot en met 140 en van 141 tot en met 154 is respectievelijk 4/768, 3/768, en 2/768. Bij elke gebeurtenis hoort een aantal uitkeringen, en de contante waarde van deze uitkeringen kan worden uitgerekend zoals hierboven. Bij gebeurtenis 1 is nu 0 stuivers nodig, bij gebeurtenis 2 zijn nu 9.805.807 stuivers nodig, bij gebeurtenis 3 is dit bedrag 19.421.192 stuivers, enzovoort. De Witt berekent nu in moderne termen de verwachtingswaarde van het beginkapitaal dat nodig is om alle uitkeringen te financieren. Dit getal is de som van de producten van de kans dat een gebeurtenis optreedt maal de contante waarde van alle uitkeringen die horen bij die gebeurtenis: (0 + 9.805.807 + 19.421.192 + . . . + 1/3 · 479.820.563)/128 = 40.964.113.736/128 = 320.032.139 stuivers = 16.001.607 gulden. De inleg voor een lijfrente op het lijf van een kind van 3 jaar oud is dus volgens De Witt iets meer dan 16 keer de jaarlijkse uitkering.”44 We zetten de sterftekansen uit bovenstaande tekst in een tabel, de sterftetabel van De Witt. Leeftijden

Aantal halve jaren in de periode

Kans op overlijden in de eerste periode ten opzichte van de volgende perioden

Kans op overlijden voor ieder half jaar

3 tot en met 52,5

100

1

1/128

53 tot en met 62,5

20

2/3

2/384

63 tot en met 72,5

20

1/2

1/256

73 tot en met 79,5

14

1/3

1/384

154 Sterftetabel op basis van de gegevens van Jan de Witt45 Vraag 1: De kans op overlijden in ieder half jaar in de eerste periode is

(

)

(

)

(

)

(

)

Laat nu zelf met een berekening zien wat de kans op overlijden is in ieder half jaar in de tweede periode. Maak gebruik van de tabel. Wat is de kans dat een 3 jarige 10 jaar wordt? En wat is de kans dat een 5-jarige 10 jaar wordt?

44 45

[Hogendijk, 2010, p. 140] [Spoelstra, 2012]

28

Vraag 2: In 1740 publiceerde Nicolaas Struyck voor het eerst zijn sterftetabellen. Hij maakte daarbij onderscheid tussen mannen en vrouwen. Hieronder zien jullie de tabel van Struyck: ’t Leeven van 794 mansperzoonen.46 Hoe komt Struyck aan het totaal van 794?

Vraag 3: In zijn boek Inleiding tot de algemeene geographie benevens eenige sterrekundige en andere verhandelingen behandelt Struyck ook de volgende tabellen voor mannen en vrouwen: 46

[Spoelstra, 2012, p. 86] en [Struyck, 1740, p. 363]

29

Tafel van de Mannelyke uit 1740 door Nicolaas Struyck47

Tafel van de Vrouwelyke uit 1740 door Nicolaas Struyck48 In de oneven kolommen staan de leeftijden van de mannen en vrouwen. In de even kolommen staan de aantallen mannen en vrouwen die nog in leven zijn op die leeftijd, uit de begingroep van resp. 710 mannen en 711 vrouwen. Struyck berekende nu de kans dat iemand van leeftijd a wel de leeftijd b bereikt, maar niet de leeftijd b+1.

In formule49: ( | )

47

[Hogendijk, 2010] [Hogendijk, 2010] 49 [Spoelstra, 2012] 48

30

Bereken de kans dat een man van 20 jaar, wel 70 wordt, maar niet 71 jaar. Bereken de kans dat een vrouw van 15 jaar, wel 50 wordt, maar niet 51 jaar. Struyck maakte onderscheid tussen mannen en vrouwen. Wat valt op als we naar de aantallen kijken in de tabel van mannen en de tabel van vrouwen? Struyck was in zijn tijd de enige die dit onderscheid maakte. Hij zegt hier zelf over:

50

Vraag 4: Bij Jan de Witt zagen we al dat de sterftekans in een bepaald jaar wordt meegenomen in de berekening van de lijfrente. In de volgende tabel zien we de waarde van de lijfrentes berekend door Struyck51. Hoe is al te zien dat de lijfrentes afhangen van de sterftekans in een bepaald jaar?

We vinden de waardes voor de vrouw ook in de volgende tabel.

52

Kolom A geeft de waarde van de lijfrenteverzekering gebaseerd op de sterftetabel naar leeftijdsklassen. Kolom B geeft de waarde van de lijfrenteverzekering gebaseerd op de sterftetabel 50

[Struyck, 1740, p.362] [Hogendijk, 2010, p.142] 52 [Struyck, 1740, p. 366] 51

31

voor iedere leeftijd. Kolom C geeft het bedrag van de jaarlijkse uitkering als de lijfrenteverzekering 100 gulden had gekost, zonder lasten. In de tabel ‘Lyfrenten op de Vrouwelyke Sexe’ vinden we in kolom D de volgende berekening: voor elke klasse is bekeken wat de jaarlijkse uitkering zou moeten zijn als de lijfrenteverzekering 100 gulden was geweest in plaats van het bedrag genoemd in kolom A. Probeer voor de klasse 10 – 14 jaar zelf op f 5 : 9 uit te komen. Waar staat de 9 voor?

53

Vraag 5: Hierboven staat een stuk tekst uit het boek van Nicolaas Struyck. Struyck rekent hier uit hoe lang het duurde voordat iemand de aankoopwaarde van de lijfrente had ‘terugverdiend’. Hij berekent hier de waarde die je vindt in kolom E. In de één na laatste zin staat waarschijnlijk , maar het kan ook gelezen worden als . Probeer door goed te lezen op dezelfde uitkomst als Struyck uit te komen. Denk er aan dat Struyck het getal afrondt op maanden. Vraag 6: Struyck geeft geen formule voor zijn berekening, maar geeft stap voor stap aan wat hij doet. Probeer met behulp van een rekenmachine de onbekende x te vinden in de volgende formule:

(

)

(

)

(

)

gulden54

Door met logaritmen te werken vermeed Struyck ingewikkelde delingen. Dat is het voordeel van rekenen met logaritmen. Voor de komst van de computer en rekenmachine was het dankzij het gebruik van logaritmen mogelijk om ingewikkelde berekeningen te maken. Met logaritmen kan je optellen of aftrekken, daar waar je anders zou moeten vermenigvuldigen of delen. Logaritmen werden en worden veel gebruikt in de wetenschap, o.a. de sterrenkunde. 53

[Struyck, 1740, pp. 367-368] [Spoelstra, 2012, p. 54, de formule is niet letterlijk overgenomen, omdat er in de thesis een fout staat in de formule] 54

32

Vraag 7: Wie was Willem Kersseboom? Lees hiervoor de biografie van Nicolaas Struyck of zoek het op op internet.

33

4.3.2A Antwoorden werkblad 2 Vraag 1: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Vraag 2: 100 + 110 + 108 + 68 + 65 + 50 + 48 + 26 + 53 + 52 + 43 + 20 + 16 + 8 + 20 + 7 = 794. Vraag 3: ( | ) ( | ) Vrouwen bereiken gemiddeld een hogere leeftijd. Vraag 4: De waardes van de lijfrenteverzekeringen dalen bij een hogere leeftijdsklasse. Prijs van de lijfrenteverzekering is 1832 gulden. Jaarlijks wordt 100 gulden uitbetaald. Bij een prijs van de lijfrenteverzekering van 100 gulden is de jaarlijkse uitbetaling (is 5 gulden en 9 stuivers). Vraag 5: 34,65 schrijft Struyck als 34 jaar en 8 maanden. Vraag 6: 34,65. Vraag 7: Lees het antwoord in de biografie van Nicolaas Struyck.

34

4.3.3 Werkblad 3: ‘Je echte leeftijd’ Levensverwachting Bereken met deze test je fictieve levensverwachting.

Hoe oud ben je? Leeftijd: …. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rook je? Eet je wel eens aangebrand vlees? Vermijd je boter, room en patat? Drink je soms meer dan twee glazen wijn, bier of alcohol per dag? Drink je meer dan 8 koppen koffie per dag? Drink je dagelijks thee? Poets je dagelijks je tanden? Heb je minstens om de twee dagen ontlasting? Ben je een zonaanbidder? Heb je meer dan 10 kg overgewicht? Ben je vaak gestrest? Ben je nogal lui (geen regelmatige inspanningen of sport)? Sport je minimaal 3 keer per week?

Ja Ja Ja

-4 -0.5 1

Nee Nee Nee

0 0 -2

Ja

-1

Nee

0

Ja Ja Ja

-1 1 0.5

Nee Nee Nee

0 0 -1

Ja Ja Ja Ja

0 -1 -2 -2

Nee Nee Nee Nee

-1 1 0 2

Ja Ja

-1.5 2

Nee Nee

0 0

Totaal aantal punten: …. Ben je een man? Ga dan uit van een leeftijd van 79 jaar en tel daar de bovenstaande punten bij op. Nu heb je een fictieve levensverwachting. Ben je een vrouw? Ga dan uit van een leeftijd van 83 jaar en tel daar de bovenstaande punten bij op. Nu heb je een fictieve levensverwachting.

Zoals je ziet is gezond leven en veel bewegen belangrijk. Verzekeraars kunnen jouw levensstijl meenemen in het bepalen van jouw levensverwachting en daar de bijbehorende premie op aanpassen. Op welke criteria zou de verzekeraar haar klanten kunnen discrimineren met betrekking tot de te betalen premie?

Elsbeth Stoker − 02/03/11, 00:00

AMSTERDAM - Verzekeraars mogen geen onderscheid maken tussen mannen en vrouwen. Dat heeft het Europees Hof van Justitie dinsdag bepaald. Volgens de rechter discrimineren verzekeraars als ze bijvoorbeeld van vrouwen meer premie vragen dan van mannen. Verzekeraars doen dit omdat de levensverwachting van vrouwen hoger is dan die van mannen. Volgens de rechter mag dit niet, omdat een individu geen invloed heeft op het geslacht. De zaak was aangespannen door de Belgische consumentenorganisatie Test-Aankoop. Volgens TestAankoop gaat het om een 'historische uitspraak' en een 'overwinning voor alle mannen en vrouwen 35

in de Europese Unie'. Het Verbond van Verzekeraars is niet blij met de uitspraak. Het verbond verwacht juist dat het negatieve gevolgen zal hebben voor verzekerden en verzekeraars. In Nederland wordt er bij schadeverzekeringen al sinds de invoering van de Wet Gelijke Behandeling in 1994 geen verschil gemaakt tussen mannen en vrouwen, aldus het verbond. Alleen bij individuele levensverzekeringen, zoals lijfrentes en overlijdensrisicoverzekeringen, wordt het verschil in levensverwachting verrekend. Door de uitspraak worden overlijdensrisicoverzekeringen voor vrouwen dus duurder, aldus het verbond. Ook voor lijfrentes heeft de uitspraak effect. Voor vrouwen wordt deze verzekering juist goedkoper en voor mannen duurder. 'En het betekent een grote administratieve operatie', aldus een woordvoerder van het Verbond van Verzekeraars. De kosten daarvan komen volgens het verbond uiteindelijk bij de klant terecht. Het verbod gaat eind 2012 van kracht.55

55

[Stoker, 2011]

36

4.4 Slides In dit hoofdstuk vindt u een overzicht van de slides uit de PowerPoint presentatie.

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

Hoofdstuk 5 Bronvermelding Boeken en artikelen [Craats, 2009] van de Craats, Jan & Bosch, Rob, Basisboek Wiskunde, Amsterdam (Pearson Education) 2009. Gelezen via http://books.google.com [Doedeijns, 1999] Doedeijns, Cees, Verzuchtingen van een rentmeester. Over de inkomsten van het klooster Mariënpoel in de zestiende eeuw, Uit het jaarboek van 1999 van Historische vereniging Oud Leiden, p. 15-35, gelezen via [Fauvel, Van Maanen, 2000] Tzanakis, C. & Arcavi, A. Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey. In Fauvel, J. & van Maanen, J. editors, History in Mathematics Education: the ICMI study, chapter 7, pp. 201 – 240. Dordrecht (Kluwer) 2000 [Gijswijt, 2008] Gijswijt, Dion, Het schaakbord van koning Shirham, Amsterdam 2008. Gelezen via [Hogendijk, 2010] Hogendijk, Jan, ‘Lijfrentes in de zeventiende en achttiende eeuw’, Nieuw Archief voor Wiskunde 5/11 (2010) nr. 2, pp. 138-144. [Stoker, 2011] Stoker, Elsbeth, ‘Verzekeraar moet man en vrouw gelijk behandelen’, Volkskrant (2011). Gelezen via [geraadpleegd: 13 juni 2014] [Struyck, 1740] Struyck, Nicolaas, Inleiding tot de algemeene geographie benevens eenige sterrekundige en andere verhandelingen, Amsterdam (Tirion) 1740. Gelezen via http://books.google.com Scriptie [Spoelstra, 2012] Spoelstra, Sanne (begeleiders: S. Wepster and K. Dajani). Mathematics of life and death: The history of life tables and life annuities with an emphasis on the work of Nicolaas Struyck (1686-1769), Utrecht 2012. Scriptie voor de master Mathematical Sciences aan de Universiteit Utrecht. Websites [CBS Statline, 2012] CBS Statline, Levensverwachting 16-jarige, [tabel gemaakt: 18 juni 2014] [Koetsier, 2006] Koetsier, Teun, ‘Jan de Witt (1625-1672)’, Biografisch Woordenboek van Nederlandse Wiskundigen (laatst gewijzigd: juli 2006) [geraadpleegd: 12 juni 2014] [Koetsier, 2009] Koetsier, Teun, ‘Simon Stevin (1548-1620)’, Biografisch Woordenboek van Nederlandse Wiskundigen (laatst gewijzigd: december 2009) [geraadpleegd: 12 juni 2014] [Rijksmuseum, 1] Rijksmuseum, Johan en Cornelis de Witt [geraadpleegd: 18 juni 2014]

47

[Rijksmuseum, 2] Rijksmuseum, Lodewijk XIV trekt bij Lobith de Rijn over, 12 juni 1672. Adam Frans van der Meulen, ca. 1672-1690 [geraadpleegd: 18 juni 2014] [Spoelstra, 2011] Spoelstra, Sanne, ‘Nicolaas Struyck (1686-1769)’, Biografisch Woordenboek van Nederlandse Wiskundigen (laatst gewijzigd: juni 2011) [geraadpleegd: 12 juni 2014]

48