URW( = GLY' = r GLY% =

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, že není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále šíøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umisováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN – technická literatura

[email protected]

4. 4.1

STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Maxwellovy rovnice

Nejprve uveïme, že velmi pravdìpodobnì ve vesmíru existují izolovaná magnetická množství („náboje“), magnetické monopóly. Jsou pomìrnì tìžké, jejich hmotnost je asi 1016 krát vìtší než hmotnost protonù. V elektrotechnice se ovšem s žádnými magnetickými monopóly nesetkáme a budeme tedy moci použít klasickou makroskopickou teorii pole. Z pokusù vzplývá, že teèe-li nìjakým vodièem stacionární proud, vyvolá stacionární magnetické pole. Na rozdíl od elektrostatiky nyní tedy existuje souvislost mezi elektrickými a magnetickými velièinami pole. Maxwellovy rovnice mají tvar

Ï+ O=,

(4.1.)

Ï E(

(4.2.)

G

&

 GO

&

=

Ï' 6=4

(4.3.)

Ï% 6=

(4.4.)

G

6

G



6

V diferenciálním tvaru pak

+=-

(4.5.)

URW

(=

(4.6.)

GLY' = r

(4.7.)

GLY% = 

(4.8.)

URW

Do této kapitoly je též zaøazena látka o permanentních (trvalých) magnetech, tedy o magnetostatice. Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

57

4.2

Permanentní magnety

Pokud bychom mìli nìjaký malý volnì otoèný permanentní magnet (napøíklad jím mùže být støelka kompasu), zaujal by v zemském magnetickém poli zcela konkrétní polohu. Jeden jeho konec by míøil k severnímu magnetickému pólu zemì, druhý k jižnímu. Pól magnetu smìøující na sever se oznaèuje jako severní, druhý pak jako jižní pól permanentního magnetu. Pro zajímavost uveïme, že zemské magnetické pole je buzeno proudem v zemském jádøe. Pole má dipólový charakter a jeho budicí proud je øádovì miliarda ampérù. Díky magnetickému poli je naše planeta chránìna pøed zhoubným kosmickým záøením a vysoce energetickými nabitými èásticemi a je tedy na ní možný život. Z dosud neznámých pøíèin dochází èas od èasu k pøepólování magnetického pole zemì. Tento jev se opakuje za sto tisíc až milión let (vlastní zmìna polohy magnetických pólù probíhá asi ètyøi tisíce let). Je to velmi významná událost, která má dalekosáhlé dùsledky pro všechno živé. Na povrchu zemì (záleží samozøejmì na konkrétním místì) je prùmìrná magnetická indukce asi 50 000 nT. Pro srovnání uveïme, že školní permanentní magnety mají magnetickou indukci asi 0,0001 až 0,001 T a velké elektromagnety 2 až 3 T. Magnetické pole neutronových hvìzd má fantastickou indukci øádu 1011 T. V makroskopickém prostøedí nelze oddìlit severní pól magnetu od pólu jižního. Kdybychom napøíklad permanentní magnet pøepùlili, dostali bychom dva magnety. Každý by mìl svùj severní a jižní pól. Tuto skuteènost vyjadøuje rov. (4.4.) resp. (4.8.). Podstata magnetismu není dosud zcela jasná. Mùžeme napøíklad pøijmout pøedstavu, že neustálým dìlením magnetu bychom nakonec dospìli k elementárním magnetickým dipólùm. Tìchto dipólù (na úrovni molekul) je v magnetu nepøedstavitelné množství. V magnetu jsou všechny dipóly natoèeny stejným smìrem. Magnet je tedy magneticky zpolarizován, nikoli nabit. V magnetostatice budeme pracovat s podobnými pojmy jako v elektrostatickém poli, protože je užiteèné využít již zavedených pojmù a postupù. Zdùraznìme však znovu zásadní rozdíl mezi obìma poli. Elektrické kladné a záporné náboje mohou existovat oddìlenì, magnetické póly („magnetické náboje“) nikoli. Magnety k sobì pøitahují pøedmìty z feromagnetických materiálù, a to i pøes nemagnetické látky, jako je napøíklad mìï, papír nebo sklo. Magnetické úèinky se nejvíce projevují na pólech magnetù, uprostøed mezi nimi jsou nejslabší. Osa soumìrnosti magnetu se nazývá neutrální osa. Stejnojmenné póly magnetù se odpuzují, nestejnojmenné pøitahují. Stejnojmenné póly magnetù položené na sebe se navenek projeví silnìjšími magnetickými úèinky. Magnetické pole permanentního magnetu lze zeslabit nárazy, otøesy nebo zahøátím. Zahøátím na tzv. Curieùv bod lze magnetické úèinky zcela zrušit. Pro konstrukèní ocel je tento bod asi 770 °C, pro ferity používané v nízkofrekvenèní technice kolem 100 °C a pro ferity používané ve vysokofrekvenèní technice asi 300 °C. Permanentní magnety i elektromagnety buzené stejnosmìrným proudem se projevují stejnými magnetickými úèinky. Pøi polarizaci dielektrika v elektrickém poli se dielektrikum po zániku pole opìt stává elektricky neutrálním (kromì tzv. feroelektrik). Naopak, u zmagnetovaných (feromange-

58

Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

tických) materiálù i po zániku vnìjšího magnetického pole zùstává urèitá remanentní (zbytková) polarizace. Je-li remanentní polarizace výrazná, mluvíme o permanentním magnetu. Zavádí se pojem magnetický moment

P = m P6

(4.9.)

L

im jsou proudy obíhající v uzavøených smyèkách s plochou S. O tìchto proudech lze jen ztìží øíci nìco konkrétního, co odpovídá fyzikální realitì. Jak jsme již uvedli, podstata magnetismu není ještì zcela prozkoumána a zøejmì ji nepùjde vysvìtlit bez použití kvantové mechaniky. Nicménì zùstaòme u rov. (4.9.). Konstanta m0 je permeabilita vakua, která je v soustavì SI

m =

 e F

= p  - +  P



(4.10.)

Jednotkou magnetického momentu je Vsm, protože jednotka henry H, kterou zavedeme dále, je Vs/A. Objemová hustota magnetických momentù

-=

ÇP

(4.11.)

Ž 9

OLP

9 

byla nazvána vektorem magnetické polarizace. Jednotkou magnetické polarizace je Vs/m2 = T, tesla. Podobnì jako v elektrostatickém poli se i v magnetickém poli zavádìjí pojmy intenzita pole H a magnetická indukce B. Pokud zùstaneme u analogie mezi obìma poli, pak intenzita elektrického pole odpovídá magnetické indukci a naopak, elektrická indukce odpovídá intenzitì magnetického pole. Poznáme to v dalším. Na obr. 4.1 je nakreslen magnetický dipól. Magnetické pole o intenzitì H zpùsobí moment

0 = -9+VLQa

Obr. 4.1

+U +V

$ U

-

-

6

a

PDJQHW GLSyO (4.12.)

Z této rovnice plyne, že jednotkou intenzity magnetického pole je

1P 9VP P 



=

:V = $ 9VP P

(4.13.)

V magnetostatice je

Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

59

URW

+=

(4.14.)

Protože pole je potenciální, mùžeme zavést magnetický potenciál jm podle vztahu

+ = -JUDGj P

(4.15.)

Jednotkou potenciálu je ampér, A. Pro ilustraci vyšetøíme magnetické pole tyèového permanentního magnetu pro body dostateènì vzdálené od magnetu (v porovnání s jeho délkou). Pro tento pøípad mùžeme magnet nahradit magnetickým dipólem umístìným ve støedu magnetu. Dipól má stejný moment m jako magnet. Situaci znázoròuje obr. 4.1. Uvažujme, že prostøedím je vzduch (prostøedí je tedy homogenní a má pomìrnou permeabilitu mr @ 1; tento pojem zavedeme dále). Potom je

jP =

P FRVa



(4.16.)

pm  U 

Intenzitu pole v libovolném bodì A vyjádøíme jeho radiální složkou Hr a složkou Hs, která je kolmá k r. Potom je

+

U

=-

Gj P P = FRVa GU pm  U 

(4.17.)

+

V

=-

Gj P P VLQa  Gj P == GV U Ga pm  U 

(4.18.)

a výsledná intenzita

+= +

 U

P

  + + V = pm U  FRV a + VLQ a 

(4.19.)

Prùbìh siloèar a ekvipotenciál je podobný jako na obr. 2.5. Namísto rov. (4.14.) mùžeme psát rovnici

Ï+ O= O

G



&

(4.20.)

V analogii s elektrostatickým polem mùžeme zavést pojem magnetické napìtí mezi body A a B %

8

P = Ï + O  GO = j P$ ± j P% $

60

(4.21.)

Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

V magnetickém poli je magnetické napìtí závislé jen na poloze bodù A a B, nikoli na tvaru dráhy l. Jednotkou magnetického napìtí je ampér, A. Magnetické napìtí nelze definovat pomocí práce nutné k pøenesení magnetického množství (z A do B). V makroskopické teorii pole (zcela postaèující pro bìžnou elektrotechnickou praxi) tato množství neexistují.

4.3

Magnetické materiály

Materiály se dìlí do tøí skupin, na diamagnetické, paramagnetické a feromagnetické. Diamagnetické materiály mají pomìrnou permeabilitu o nìco málo menší než jedna. Po vložení do magnetického pole toto pole ponìkud zeslabují. K tìmto materiálùm patøí vìtšina kovù (kromì feromagnetik), dále napøíklad voda a sklo. Paramagnetické materiály mají pomìrnou permeabilitu o nìco vìtší než jedna a magnetické pole tedy (nepatrnì) zesilují. Patøí mezi nì nìkteré kovy, jako napøíklad platina, mangan a hoøèík. V bìžné technické praxi mùžeme pomìrnou permeabilitu diamagnetických i paramagnetických materiálù považovat za rovnu jedné. Závislost této permeability na teplotì je prakticky zanedbatelná. Feromagnetické materiály mají pomìrnou permeabilitu mnohem vìtší než jedna (železo napøíklad kolem 7 000). Po vložení do magnetického pole toto pole velmi zesilují. Pomìrná permeabilita feromagnetik velmi závisí na intenzitì magnetického pole a na teplotì. Feromagnetické materiály umožòují dosáhnout velkých magnetických tokù pøi relativnì malých prùøezech. Jsou tedy velmi dùležité pro magnetické obvody. Magnetizaèní køivka feromagnetických materiálù, tj. % D Q REODVWQDV\FHQt závislost magnetické indukce þ WH na intenzitì magnetického pole se získává mìøením a je 3 uvedena na obr. 4.2. ZpoèátNROHQR ku do bodu P1 stoupá indukce 3 v závislost na intenzitì velmi %QDV rychle. Potom køivka tvoøí ko% leno. V bodì P1 se materiál % mU zaèíná sytit, v bodì P2 je nasy+  I cen. %d m + mPD[ % S Od bodu P2 magnetická ina m m+ m dukce roste velmi pomalu i pøi  + velkém zvìtšování intenzity + pole. Od bodu P2 magnetizaè+ ní køivka probíhá jako pøímka

Obr. 4.2 Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

61

rovnobìžná s magnetizaèní pøímkou vzduchu Bd . Pro žádanou magnetickou indukci B1 z køivky urèíme potøebnou intenzitu pole H1 (nebo naopak). Magnetická indukce nasycení závisí na druhu materiálu. U plechù pro transformátory je kolem 2,1 T, u plechù pro toèivé stroje kolem 2,2 T, u litiny asi 1,1 T atd. Z magnetizaèní køivky lze urèit pomìrnou permeabilitu

mU =

% m +

(4.22.)



V praxi nás velmi èasto zajímá poèáteèní permeabilita mp pøi H = 0 a nejvìtší permeabilita mmax. Zøejmì je

a=

WJ

% m m + 

(4.23.)

U

%

Uvažujme nìjaký feromagnetický materiál, který dosud nebyl zmagnetován. Bude$ %PD[ me-li zvìtšovat H, poroste i B podle % magnetizaèní køivky OA (obr. 4.3). Bod A odpovídá nasycení. Popsané køivce se øíká køivka prvotní magnetizace (døíve též panen%U ská køivka). Pøi zmenšování intenzity H bude nyní mag& ) netická indukce B klesat po køivce AB. ±+PD[ +.  +PD[ Indukce se tedy bude opožïovat za intenzi±+ + tou, což se nazývá hystereze (tj. zpožïování). Klesne-li H na nulovou hodnotu, bude materiál vykazovat remanentní (tj. zbytkovou) ( magnetickou indukci Br. Ke zrušení remanent' ±%PD[ ního magnetismu je tøeba intenzity Hk, která se oznaèuje jako koercitivní síla magneticObr. 4.3 kého pole. Pøi dalším zvìtšování H opìt roste i B podle køivky CD. Bod D je pøibližnì støedovì soumìrný s bodem A. S dalším zmenšováním H na nulu klesá B podle køivky DE atd. Køivka A-B-C-D-E-F-A se nazývá hysterezní smyèka (køivka). Plocha hysterezní smyèky je úmìrná práci potøebné pro jeden magnetizaèní cyklus. Tato práce se vynakládá na natáèení molekulárních magnetických dipólù a mìní se v teplo. Tuto (ztracenou) energii nazýváme hysterezní ztrátou. Rozlišují se magneticky mìkké a magneticky tvrdé materiály. Magneticky mìkké materiály mají hysterezní smyèku úzkou, tj. mají malou koercitivní sílu a velkou permeabilitu. Pro ilustraci uveïme, že materiál zvaný permaloy (slitina 21,5 % Fe a 78,5 % Ni) má poèáteèní permeabilitu kolem 10 000, maximální asi 50 000, remanenci 0,6 T a koercitivní sílu 4 A/m. Naopak, magneticky tvrdá slitina zvaná alnico (63 % Fe, 20 % Ni, 5 % C

62

Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

a 12 % Al) má poèáteèní permeabilitu 4, remanenci 0,7 T a koercitivní sílu 34 000 A/m. Na obr. 4.4 je pro ilustraci nakresleno nìkolik hysterezních smyèek téhož materiálu pro rùzné maximální intenzity magnetického pole. Jejich vrcholy leží na tzv. komutaèní køivce, která pøibližnì odpovídá køivce prvotní magnetizace.

%

+

Obr. 4.4

4.4

Magnetické pole pøímého vodièe

Vyšetøeme magnetické pole dlouhého pøímého vodièe kruhového prùøezu v homogenním a izotropním prostøedí. Vodièem protéká stejnosmìrný proud I, rovnomìrnì rozložený v prùøezu vodièe. Na rozdíl od pole permanentních magnetù je nyní magnetické pole vírové, protože

Ï+

O

 GO

=,

&

(4.24.)

tj. URW

+=-

(4.25.)

Siloèárami magnetického pole jsou kružnice souosé s vodièem v rovinách kolmých na tuto osu. Vektor intenzity H je jejich teènou. O orientaci vektoru byla uzavøena tato dohoda: Položme dlaò pravé ruky na vodiè tak, aby odtažený palec byl ve smìru proudu. Potom ostatní prsty ukazují smysl H (tzv. pravidlo pravé ruky, nìkdy též zvané pravidlem pravotoèivého šroubu). Vyjdìme z rov. (4.24.). Integrujme po siloèáøe s polomìrem a > r. V dùsledku soumìrnosti je na siloèáøe intenzita všude stejnì veliká a vektor H má smìr dráhy. Je tedy

Ï+

O

 GO

= pD+ = ,

&

(4.26.)

odkud (pro a > 0)

+=

,

pD

(4.27.)

Uvnitø vodièe obepíná siloèára s polomìrem x proud (za již uvedeného pøedpokladu rovnomìrného rozložení proudu) Ix2/r2. Podle rov. (4.26.) je nyní

Jiøí Myslík: Elektromagnetické pole - BEN technická literatura

63