Diktat Aljabar Linear II
Jadi ( f (f
( f ) bernilai nol untuk setiap x , sehingga ( f
.
( f)
Aksioma 5 Ambil f , g F , (
f
g )( x)
R, f
g ( x)
f ( x)
g ( x)
f ( x)
Karena (
f
g ( x)
( f
g )( x)
g )( x)
( f
g )( x) untuk setiap x sehingga
f
g
f
g
Aksioma 6 Ambil sebarang f ((
F,
) f )( x) ( f ( x)
Karena
R sehingga:
). f ( x)
f ( x)
(( f
,
f ( x)
f ( x)
( f ) fungsi nol atau
) f )( x)
f ( x)
f ( x)
untuk
setiap
x
sehingga
f .
f
Aksioma 7 Ambil sebarang f ((
) f )( x) (
F,
,
R sehingga:
). f ( x)
( definisi perkalian skalar )
. f ( x)
( sifat asosiatif bilangan real )
Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
- 11 -
Diktat Aljabar Linear II
( f )( x)
(definisi perkalian skalar )
( f ) ( x)
(definisi perkalian skalar )
Karena ((
) f )( x)
( f ) ( x) untuk setiap x sehingga (
)f
f .
Aksioma 8 (1. f )( x) 1. f ( x)
f ( x) , untuk setiap x sehingga 1. f
f.
Berikut diberikan sifat-sifat yang selalu dimiliki oleh suatu ruang vektor. Sifat-sifat ini tidak diangkat menjadi aksioma pada ruang vektor karena dengan memenuhi kedelapan aksioma, maka sifat-sifat berikut pasti dipenuhi.
Lemma 1.1.2 Andaikan V adalah suatu ruang vektor, untuk setiap v V ,
R berlaku:
a. 0.v 0 b.
1.v
c.
.0 0
v 0
Bukti: a. 0.v 0 Perlu diingat bahwa selalu berlaku: v (1 0).v 1.v 0.v . Jika kedua sisi ditambahkan invers jumlah vektor v , yaitu ( v ) maka diperoleh:
Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
- 12 -
Diktat Aljabar Linear II
v v
v v 0.v
0 0 0.v
0 0.v
b.
c.
1.v
v 0
1.v
v
1.v
1.v ( 1 1)v 0.v 0.
.0 0 .0
. 0.0
.0 .0 0.0 0
Latihan 1.1.1 1. Tentukan elemen nol pada himpunan –himpunan berikut relatif terhadap definisi operasi yang bersangkutan: a. Himpunan semua matriks ordo 2 4 terhadap operasi matriks standar b. Himpunan
semua fungsi
f : 0..1
R f adalah fungsi kontinu
terhadap
operasi matriks standar c. Himpunan
a 0 0 b
M 2 2 a, b R terhadap operasi matriks standarnya.
d. Himpunan R 3 , terhadap operasi perkalian kalar standar, dan operasi penjumlahan yang disefinisikan sebagai berikut: x, y, z
( x' , y ' , z ' ) ( x
x' 1, y
Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
y' 1, z
z' )
- 13 -
Diktat Aljabar Linear II
2. Seperti dalam soal no. 1, carilah invers dari sebarang elemen pada himpunan yang bersangkutan. 3. Tunjukkan bahwa setiap himpunan berikut merupakan ruang vektor: a bx cx2
a. Himpunan semua polinomial linear P4
dx3
ex4 a, b, c, d , e R
terhadap operasi jumlah dan perkalian standar polinomial. b. Himpunan semua matriks ordo 3 3 dengan entri –entrinya elemen bilangan real, terhadap operasi jumlah matriks dan perkalian skalar matriks standar. c. Himpunan A
( x, y, z) R3 x
y 0 terhadap operasi jumlah dan perkalian
skalar standar untuk R 3 . d. Himpunan F (a cos
a cos
b sin
b sin ) (a' cos
.(a cos
b' sin ) (a a' ) cos
b sin ) ( .a) cos
e. Himpunan L
f :R
terhadap operasi :
a, b R
R
(b b' ) sin
( .b) sin
d2 f dx 2
f
0
terhadap operasi standarnya.
f. Himpunan semua bilangan real positif terhadap operasi: Penjumlahan : a b a.b dan perkalian skalar .a a g. Himpunan bagian dari himpunan polinomial berderajat n , untuk n berhingga , yaitu Pn '
p( x) Pn p( x)
p( x) terhadap operasi standar pada Pn .
4. Ujilah himpunan berikut apakah memmbentuk ruang vekto atau tidak, terhadap operasi yang didefinisikan kepadanya:
Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
- 14 -
Diktat Aljabar Linear II
a. Himpunan semua R 3 dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut : x, y, z
( x' , y ' , z ' ) ( x
.( x, y, z) ( .x, (
x' , y
y' , z
z' )
dan operasi perkalian skalar :
1). y, .z) .
b. Himpunan semua R 3 dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut : x, y, z
( x' , y ' , z ' ) ( x
x' , y
y' , z
z' )
dan operasi perkalian skalar :
.( x, y, z) (3 .x,2 . y, .z) .
c. Himpunan semua R 3 dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut : x, y, z
( x' , y ' , z ' ) ( x
x' , y
y' , z
z' )
5. Andaikan V adalah ruang vektor dan
:V
dan operasi perkalian skalar :
.( x, y, z) (0,0,0) .
(a b) ( .a)
(a) . (a),
(b),
R sedemikian sehingga:
a, b R
a R,
R
Tunjukkan bahwa himpunan
N
a V (a) 0
membentuk ruang vektor
terhadap operasi tersebut. 6. Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong dengan s S elemen tertentu. Selanjutnya didefinisikan es : F S ,V es ( f )
f ( s) dan F S ,V
V dengan
adalah himpunan semua fungsi dari S ke V yang
membentuk suatu ruang vektor terhadap operasi standarnya. Tunjukkan bahwa K
f
F S ,V es ( f ) 0
membentuk ruang vektor terhadap
operasi yang didefinisikan pada ruang vektor F S ,V .
Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
- 15 -
Diktat Aljabar Linear II
7. Diberikan V W
V ,W
suatu
ruang
vektor.
Dibentuk
suatu
himpunan
(a, b) a V , b W . Pada himpunan tersebut didefinisikan operasi jumlah
dan perkalian skalar sebagai berikut: a, b
a', b'
a
a', b b' dan
a b
.a, .b
8. Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong dengan s, t S . Didefinisikan : Tunjukkan bahwa himpunan N
: F S ,V f
F S ,V
V V dengan
(f)
f (s), f (t ) .
( f ) 0 membentuk ruang vektor
terhadap operasi yang didefinisikan pada F S ,V . 9. Andaikan
0 adalah himpunan semua barisan bilangan real. Tunjukkan 0
membentuk ruang vektor terhadap operasi standar untuk penjumlahan barisan dan perkalian bilangan real pada barisan. 10. Andaikan S himpunan tak kosong , dan F (S ) adalah ruang vektor fungsi bernilai real pada S . Jika A, B Jika A
S tunjukkan bahwa : F (S , A)
F (S , B) F (S , A
B) .
B , tunjukkan bahwa F (S , A) memuat F (S , B) .
11. Andaikan C himpunan semua fungsi y
f (x) ,
x
, yang memenuhi
persamaan deferensial y" y' 2 y 0 . Tunjukkan bahwa C membentuk ruang vektor.
Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
- 16 -
