UNIVERSITAS GADJAH MADA PROGRAM STUDI FISIKA FMIPA
Bahan Ajar 2: Potensial Listrik dan Kapasitor (Minggu ke 3 dan 4)
FISIKA DASAR II Semester 2/3 sks/MFF 1012 Oleh Muhammad Farchani Rosyid Dengan dana BOPTN P3-UGM tahun anggaran 2013 Nopember 2013
BAB 2: POTENSIAL LISTRIK DAN KAPASITOR 1. Potensial Dan Usaha Listrik 1.1 Usaha untuk menggerakkan muatan uji. Perhatikan gambar 2.1 (B). Sebuah muatan titik q digerakkan melalui suatu lintasan dalam medan listrik yang dihasilkan oleh muatan Q. Selama bergerak dalam lintasan itu, muatan q berada dalam pengaruh gaya listrik akibat medan yang dihasilkan oleh Q. Lalu, berapakah usaha dilakukan oleh gaya listrik itu? Mari kita hitung bersama. Andaikan dl adalah segmen atau potongan kecil pada lintasan di sembarang titik yang dilalui oleh muatan q. Usaha yang dilakukan oleh gaya listrik selama bergerak sepanjang segemen itu adalah dW = F•dl = Fdl cos .
Q Q F r
B
dl (B)
(A)
A Gambar 2.1
Usaha total yang dilakukan oleh gaya listrik selama muatan q bergerak sepanjang lintasan dari A menuju B adalah jumlahan usaha-usaha sepanjang segmen-segmen kecil yang ada di sepanjang lintasan antara A dan B. Jumlahan ini dilambangkan dengan
W AB
l int asan
F •dl.
Bagaimanapun lintasan yang dilalui oleh muatan q, usaha yang dilakukan oleh gaya listrik itu adalah B
WAB
B
F •dl =
F cos dl ,
(2.1)
A
A
dengan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor F dan dl sepanjang lintasan. Integrasi ini rumit dikerjakan, sehingga lebih mudah jika kita memberikan pendekatan. Tetapi karena gaya listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik Q berarah radial, maka ada jalan untuk mneyederhanakan perhitungan di atas. Sifat radial itu memungkinkan kita menuliskan integral di atas sebagai rB
W AB F dr
(2.2)
rA
dengan r menyatakan jarak diukur dari muatan Q, rA jarak titik A dari muatan Q dan rB jarak titik B dari muatan Q. Dengan memasukkan besarnya gaya listrik maka diperoleh W AB
rB
rB
rA
rA
F dr k
rB
qQ 1 dr k q Q 2 dr 2 r rA r
1 1 k q Q rA rB 1 1 k q Q rA rB
Dengan demikian, usaha yang dilakukan oleh gaya listrik pada muatan q yang bergerak dalam medan listrik yang dihasilkan oleh muatan Q sepanjang lintasan manapun yang berawal dari titik berjarak rA ke titik yang berjarak rB dari Q diberikan oleh
1 1 W AB k q Q . rA rB
(2.3)
Sekarang kita definisikan besaran V A dan VB menurut VA
kQ rA
dan
VB
kQ . rB
( 2.4)
Kita menyebut kedua besaran baru ini sebagai potensial listrik di titik A dan B. Dengan menggunakan kuantitas baru ini, usaha yang dilakukan oleh gaya listrik sepanjang lintasan dapat dinyatakan sebagai
1 1 k q Q rA rB q ( VB V A )
W AB
(2.5)
q V AB
Dengan VAB VB VA menyatakan beda potensial listrik antara kedua titik itu. Apakah makna yang terkandung dalam potensial listrik serta hubungannya dengan usaha?. Anda dapat membacanya dari persamaaan (2.4) bahwa secara umum potensial listrik pada titik berjarak r dari muatan sumber, akan mempunyai potensial listrik
Q . (2.6) r Besaran ini merupakan besaran skalar dan gayut (tergantung) pada jarak. Apabila kita himpun titik-titik yang mempunyai potensial yang sama disekitar Q, akan kita dapatkan permukaan yang menyatakan daerah-daerah di sekitar muatan yang mempunyai potensial listrik yang sama. Permukaan ini disebut sebagai permukaan equipotensial. Permukaan equipotensial selalu mempunyai sifat berikut Vr k
1. Tidak pernah berpotongan satu dengan yang lain 2. Bidang-bidang tersebut selalu tergambar tegak lurus terhadap garis-garis gaya. Untuk jelasnya, perhatikan bidang equipo-tensial dari muatan titik yang diperlihatkan pada gambar 2.1(B).
q B
WAB = q(VA −VB) A VB VA Gambar 2.2 Lintasan muatan q yang melalui bidang-bidang equipotensial.
Dari perumusan usaha di atas mudah ditebak jika muatan uji bergerak sepanjang lintasan equipotensial, maka usaha yang dilakukannya adalah nol. Misalkan muatan bergerak dari A ke B dengan (dalam satu bidang equipotensial), maka kita dapatkan V A VB WAB q ( VB VA ) 0 . Sementara itu, bagaimanapun bentuk lintasan yang disusuri oleh muatan tersebut dari A menuju ke B, besarnya usaha yang dikerjakan sama dengan beda
potensial antara bidang-bidang equipotensial tempat kedua titik itu berada. Perhatikanlah gambar 2.2 untuk lebih jelasnya.
3. 2 Prinsip superposisi potensial. Anda telah mengetahui bahwa potensial P listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan r1 rn qn titik Q pada jarak r darinya adalalah Q q1 Vr k . r2 r Sekarang, bagaimana dengan beberapa muatan yang tersebar dalam ruang? Berapa q2 besarkah potensial listrik yang dirasakan pada Gambar 2.3 sutu titik disekitar kumpulan muatan-muatan tersebut?. Masalah ini terjawab oleh prinsip superposisi potensial. Jika terdapat n buah muatan, maka di suatu titik P masing-masing muatan tersebut menghadirkan potensial listrik sebesar V1 , V2 , ...., Vn . Potensial listrik total yang dirasakan pada titik P adalah jumlahan potensial listrik yang dihadirkan oleh masing-masing muatan itu, yaitu
V V1 V2 .... Vn
(2.7)
sebagai catatan, untuk menghitung potensial listrik masing-masing muatan titik perlu dimasukkan tanda muatan tersebut. Karena potensial listrik adalah bilangan skalar, maka cara penjumlahannya sama dengan cara penjumlahan bilangan biasa. Satuan potensial listrik tentu saja adalah Nm/C. Satuan ini disebut juga dengan volt (V) sebagai penghormatan bagi Alessandro Volta (1745-1827). Jadi 1 V = 1 Nm/C.
3.3 Energi potensial listrik dan usaha. Anda telah mengetahui bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya listrik selama pemindahan muatan q sepanjang suatu lintasan dari titik A ke B diberikan oleh
WAB q (VB VA ) q VAB . .
(2.8)
k q Q sebagai energi potensial (dan diberi simbol E p ) yang rA diterima oleh q di titik sejauh rA dari Q. Jadi
Kita menyebut besaran q VA
E p ( A)
k qQ rA
dan
E p ( B)
k qQ rB
(2.9)
Usaha yang dilakukan oleh gaya listrik akibat keberadaan muatan Q, bila diungkapkan dalam energi potensial, dapat dihitung melalui ungkapan
WAB ( EP (B) EP (B)) EP .
(2.10)
Jadi sepertinya, terdapat tingkat-tingkat energi disekitar suatu muatan yang dinyatakan dengan E p pada setiap titiknya. Dan untuk menggerakkan suatu muatan lain dari titik ke titik memerlukan usaha sebesar beda energi potensial pada kedua titik itu. Tapi apa makna energi potensial tersebut dan mengapa disebut energi? Cukup jelas untuk disebut sebagai energi karena besaran sekalar ini berdimensi energi. Tetapi untuk mengetahui apa makna energi potensial di suatu titik, perlu dijelaskan sebagai berikut. Tenaga potensial di titik B, yaitu Ep(B), sama nilanya dengan −WAB, yaitu usaha yang dilakukan oleh gaya listrik pada muatan q selama muatan q menyusuri lintasan dari titik B menuju ke titik A, jika tenaga potensial di titik A sama dengan nol, yakni Ep(A) = 0. Ini terjadi manakala titik A terletak di jauh tak terhingga, yaitu bila rA menjadi tak berhingga. Ini menunjukkan bahwa energi potensial di B, yaitu Ep(B), adalah energi yang diperlukan oleh muatan Q untuk membuang muatan q dari titik B yang jaraknya rB menuju ke tempat yang jauhnya tidak terhingga. Ini sama nilainya dengan energi yang diperlukan oleh pihak luar untuk membawa muatan q dari titik di tak terhingga menuju ke titik B yang jaraknya rB dari muatan Q. Secara umum, energi potensial yang dimiliki oleh dua muatan q1 dan q2 yang berjarak r12 dapat dituliskan sebagai EP(12) =
kq1 q 2 . r12
(2.11)
Energi potensial juga bermakna sebagai usaha untuk menempatkan sejumlah muatan bersamasama di suatu tempat. Usaha yang diperlukan untuk keperluan ini disebut sebagai energi konfigurasi (Ekonfiguarsi) yang besarnya adalah jumlahan energi potensial dari setiap pasangan muatan. Semisal terdapat tiga buah muatan q1 , q2 dan q3 yang akan dikumpulkan bersama, maka energi konfigurasi untuk mengumpulkan muatan-muatan tersebut adalah EP(12) + EP(13) + EP(23) =
kq q kq1 q 2 kq1 q3 + + 2 3 r23 r12 r13
dengan r12, r13, dan r23 adalah jarak-jarak pemisah antar ketiga muatan itu.
3.4 Hubungan timbal-balik antara potensial listrik dan medan listrik. Telah anda ketahui bahwa potensial listrik pada titik-titik sejauh r dari muatan titik Q diberikan oleh
V=
kQ , r
sedangkan kuat medan listrik di titik-titik itu dapat dinyatakan dengan
kQ r. r3 Yang satu merupakan besaran skalar dan yang lain besaran vektor. Adakah kaitan antara keduanya? Bagaimana menghubungkan kedua besaran itu? Bila diketahui yang satu dapatkah diketahui yang lain ? Ya. Keduanya saling terkait. Dengan keterkaitan itu, jika kita kesulitan menentukan yang satu kita dapat mencari yang lain dulu dan kemudian menurunkannya. a. Menentukan E dari V . Jika potensial listrik V telah diketahui hanya gayut pada r, maka kuat medan listrik dapat ditentukan dari E=
E=
dV rˆ . dr
(2.12)
b. Menentukan V dari E. Jika kuat medan listrik diketahui, maka hanya sebagai fungsi r dan hanya berarah radial saja, maka rB
V
E dr
(2.13)
rA
2. Kapasitor Pada tahun 1746, seorang ilmuan Perancis bernama M. Reaumur menerima surat dari Proffesor Musschenbroek dari universitas Leiden Belanda. Dalam surat tersebut diceritakan sebuah eksperimen baru yang sangat berbahaya. Yang melibatkan suatu alat yang kemudian dikenal sebagai toples Leiden (Leiden jar). “Ada kejutan kilat yang menyebabkan aku sukar bernafas ketika pertama kali aku menyentuhnya”, begitu kata M. Allaman, yang juga berasal dari Leiden. Alat tersebut terbuat dari pipa yang dibatasi oleh gelas tipis dan permukaan luardalamnya diberi kulit dari lapisan metal. Sekarang ini, alat–alat yang serupa dengannya: dua konduktor yang dipisahkan oleh isolator, disebut dengan kapasitor. Akan kita lihat nanti, alatalat semacam ini berisikan bahan-bahan yang bermuatan yang ketika muatannya tidak seimbang akan menyebabkan aliran muatan dari bahan-bahan tersebut Aliran muatan inilah yang menyebabkan kejutan listrik.
1.2 Kapasitor dan kapasitansi Kapasitor secara umum terbuat dari dua konduktor A dan B yang diisolasi satu dengan yang lain dengan masing-masing konduktor
Gambar 2.4
mempunyai muatan yang sama besar tapi berbeda tanda. Katakanlah muatan A dan B masingmasing adalah q dan q . Dengan adanya muatan pada kedua konduktor, tentu saja akan timbul perbedaan potensial V antara kedua konduktor tersebut. Perhatikanlah Gambar 2.5. Kita mendefinisikan tetapan kesebandingan antara besarnya muatan di salah satu konduktor (yakni q ) dengan beda potensial ( V ) antara kedua konduktor itu sebagai kapasitas ( C ). Yaitu,
C
q V
atau
q CV.
(2.14)
Satuan kapasitas adalah farad (F), yang diambil dari nama ilmuan inggris Michael Faraday (1791-1867) yang mengenalkan konsep kapasitas dan beberapa sumbangan penting dalam kelistrikan dan kemagnetan. Kapasitas 1 F didefinisikan sebagai kapasitas suatu kapasitor yang harus menyimpan muatan sebesar 1 C untuk menghasilkan beda potensial sebesar 1 volt antara kedua plat pada kapasitor itu. Dalam laboratorium, muatan sebesar 1 C tersebut sangatlah besar, oleh karena itu tidak menherankan jika kapasitas yang umum ditemukan berada dalam orde picofarad (1 pF = 10-12 F) hingga mikrofarad (1 F = 10-12 F) saja. Kapasitas C sangat tergantung pada bentuk konduktor A dan B serta cara meletakkannya, juga tergantung pula pada medium pengisi antara kedua konduktor tersebut. Tetapi untuk pembahasan awal kita anggap saja tidak ada bahan pengisi antara A dan B (vakum). Perlu diingat, besarnya C selalu tetap atau tidak berubah. Jadi meskipun muatan konduktor berubah, beda potensial antar kedua plat konduktor juga akan berubah mengikuti perubahan muatan sumbernya tersebut. Sekarang mari kita beberapa contoh kapasitor sederhana berikut dan cara menentukan konduktansinya. Kapasitor keping sejajar tersusun atas dua plat konduktor yang terpisah oleh jarak sejauh d. Biasanya d jauh lebih kecil bila dibandingkan dengan luas kedua plat konduktor itu. Oleh karena itu plat boleh dianggap memiliki luas tak terhingga. Tentukan besarnya kapasitas kapasitor keping sejajar. Jawab: Silahkan tengok kembali contoh dalam bab sebelumnya. Kuat medan listrik di tengah dua plat tak terhingga yang dimuati dengan muatan tak sejenis dan terpisah oleh jarak sejauh d diberikan oleh E
Gambar 2.5
. 0
Potensial listrik yang terpasang pada antara kedua plat itu adalah d
V E dr d E . 0
(2.15)
Padahal dari hukum Gauss, besarnya muatan yang terkandung dalam setiap keping adalah q 0 E A dengan A luas plat konduktor. Ini berarti, kapasitasnya adalah C
A q 0 E A 0 A C 0 V dE d d
(2.16)
Jadi kapasitas kapasitor keping sejajar hanya bergantung pada luas keping dan jarak antara kedua keping itu.. Kapasitor Silinder: Sebuah pipa silinder cukup tipis yang terbuat dari konduktor (katakanlah dengan panjang l dan jarijari b) dan sebuah silinder pejal (katakanlah dengan panjang l dan jari-jari a) yang juga terbuat dari konduktor dapat dibuat kapasitor dengan memasukkan batang silinder pejal ke dalam pipa silinder sehingga sumbu kedua silinder itu berimpit (lihat gambar 2.6). Bila b − a jauh lebih kecil dibandingkan dengan l, maka tentukanlah besarnya kapasitas kapasitor silinder itu. Jawab: Andaikan batang silinder konduktor yang berada di tengah diberi muatan positif. Penerapan hukum Gauss menghasilkan 2k q E rl dengan r menyatakan jarak titik di dalam kapasitor diukur dari sumbu kedua silinder itu. Oleh karena itu, b
Gambar 2.6 Penampang Silinder
b
2kq 2k q b dr ln rl l a a
V E dr a
( 2.17)
Sehingga kapasitas kapasitor itu adalah C
q l a ln V 2k b
(2.18)
2.2 Energi elektrostatik dalam kapasitor: energi yang tersimpan. Untuk memuati sebuah kapasitor yang awalnya kosong, harus ada pemindahan muatan dari satu plat kapasitor ke plat yang lain. Jika itu dilakukan, maka akan terjadi pemindahan muatan. Katakanlah muatan yang diambil dan dipindahkan adalah q’. Akibat pemindahan muatan tersebut akan timbul beda potensial pada kedua plat sebesar
V
q' . C
Sedangkan untuk menggerakkan dan memindahkan sejumlah muatan diperlukan usaha guna melawan beda potensial tersebut. Jika beda potensial yang terbentuk dalam proses pemindahan muatan sebelumnya adalah V, maka untuk memindahkan muatan sebanyak q’, diperlukan usaha sebesar
W V q' Usaha total yang diperlukan untuk memindahkan muatan hingga terkumpul sebanyak q tentu saja adalah jumlahan usaha-usaha W yang digunakan untuk memindahkan muatan q’ sedikit demi sedikit tersebut. Jadi,
W
W Vq
Untuk q yang semakin hingga kecil menuju nol, jumlahan di atas menjadi q
W Vdq '
(2.19)
0
Dari definisi diketahui bahwa beda potensial V dan muatan q dalam kapasitor memenuhi hubungan V = q/C. Maka usaha total dapat dihitung dengan mensubtitusikan ungkapan untuk V ini ke dalam persamaan ( 2.6) , sehingga didapat
W
1 2
qV.
(2.20)
Tetapi energi untuk menggerakkan muatan dalam medan listrik di antara potensial V adalah energi potensial (EP) yang tersimpan, sehingga sesungguhnya usaha yang dikemukakan di atas tidak lain adalah energi potensial yang tersimpan dalam kapasitor, yaitu,
Ep
1 2
q V 12 CV 2 12
Q2 . C
(2.21)
Ketiganya setara satu dengan yang lain. Cobalah buktikan sendiri.
1.3 Rangkaian kapasitor: seri dan paralel Rangkaian seri
Gambar 2.7
Dua atau lebih kapasityor dikatakan terhubung seri jika ujung antar kapasitor dihubungkan satu dengan yang lain, kemudian ujung-ujung terluarnya dihubungkan dengan sumber beda potensial listrik. Dengan pengaturan seperti ini, tentu saja beda potensial total yang diberikan adalah jumlahan aljabar beda potensial dari setiap kapasitor
V V1 V2 ...... Vn
(2.22)
Tetapi dalam rangkaian seri, banyaknya muatan yang mengalir selalu tetap. Jika kapasitor pertama memindahkan muatan sebanyak q, maka kapasitor kedua akan menerima muatan sebanyak itu pula serta memindahkan ke kapasitor ketiga , dan seterusnya. Jadi
q1 q 2 ......... q n q
(2.23)
Dari persamaan (2.20) dan V q / C diperoleh
V V1 V2 ... Vn
q q q1 q2 q q 1 1 1 ... n ... ... C1 C 2 C n C1 C 2 Cn C1 C 2 Cn
q
Jika kita ingin menggantikan rangkaian kapasitor seri dengan sebuah kapasitor saja yang berkapasitas Cs, maka haruslah dipenuhi V
1 1 1 ...... C1 C2 Cn
q
q Cs
Ini berarti kapasitor pengganti tersebut harus mempunyai kapasitas yang memenuhi 1 1 1 1 ...... C s C1 C2 Cn
(2.24)
Rangkaian paralel Kapasitor dikatakan tersusun paralel jika disusun sejajar kemudian elektrode-elektrode yang sekutub saling disatukan dengan penghantar yang sama (lihat gambar 2.30). Dengan cara ini, maka muatan total yang dikumpulkan sama dengan jumlah semua muatan yang dipindahkan dari masing-masing kapasitor.
q q1 q 2 ...... q n
(2.25)
Tetapi beda potensial yang diberikan pada setiap kapasitor adalah sama, yaitu
V1 V2 ......... Vn V sehingga kita dapatkan Gambar 2.8
(2.26)
q q1 q2 ... qn C1V1 C2V2 ... CnVn C1V C2V ... CnV (C1 C2 ... Cn )V Jika kita ingin menggantikan rangkaian kapasitor ini dengan kapasitor tunggal dengan kapasitas Cp, maka haruslah q (C1 C 2 .... C n )V C pV Jadi kapasitansi kapasitor pengganti rangkaian paralel tersebut haruslah memenuhi hubungan
Cp C1 C2 .... Cn .
(2.28)
Contoh: Dua buah kapasitor berkapasitas 10 pF dan 5 pF disusun seri. Berapakah kapasitas total rangkaian tersebut? Jawab: Kapasitas rangkaian seri diberikan oleh persamaan (2.24). Jadi untuk kasus ini,
1 1 1 1 1 1 Cs C1 C 2 C s 10 pF 5pF 1 1 2 3 C s 10 pF 10 pF 10 pF
Ini berarti C s
10 pF 3,33pF 3
Contoh: Tiga buah kapasitor dengan kapasitas 3 pF, 7 pF dan 4 pF disusun paralel Berapakah kapasitas totalnya? Jawab: Kapasitas rangkaian paralel diberikan oleh persamaan (2.28), sehingga untuk kasus ini,
C p C1 C 2 C 3 3pF 7pF 4 pF 14 pF Jadi kapasitas totanya adalah 14 pF
3 Pengaruh bahan pengisi kapasitor terhadap kapasitansinya.
Pada tahun 1837, Michael Faraday menyelidiki efek pengisian bahan di antara plat-plat konduktor kapasitor. Dia membuat dua kapasitor yang sama, yang satu hanya berisikan udara sedangkan yang lainnya diberi bahan pengisi. Yang menarik, bila keduanya diberikan muatan sehingga memperoleh beda potensial yang sama, ternyata kapasitor berbahan pengisi memerlukan lebih banyak muatan untuk mencapai beda potensial tersebut. Ini menunjukkan kapasitas kapasitor berbahan pengisi lebih besar daripada kapasitas kapasitor tanpa bahan pengisi. Katakanlah C 0 menyatakan kapasitas kapasitor dengan isi udara, sedangkan C kapasitor yang terisi bahan, maka C C 0 . Hubungan keduanya tergantung pada bahan pengisi yang digunakan yang dicirikan oleh sutu konstanta yang disebut konstanta dielektrik bahan ( ). Dengan konstanta ini, kapasitansi kapasitor dapat dinyatakan sebagai Tabel 1: Dielektrisitas bahan Bahan Vakum 1,00000 Udara 1,00054 Air 78 Kertas 3,5 Mika merah delima 5,4 Porselin 6,5 Kuarsa lebur 3,8 Ambar 2,7 Teflon 2,1 Titanium dioksida 100 Poliesterin 2,6
C C0
(2.29)
Contoh: Jika sebuah kapasitor keping sejajar diberikan tambahan bahan pengisi berupa kertas, Kapasitansinya menjadi berapa? Jawab: Menurut persamaan (2.16), kapasitas kapasitor keping sejajar tanpa bahan pengisi adalah C0
0 A d
.
Kapasitasnya akan berubah menjadi C C 0 jika telah diisi dengan bahan berdielektrik . Untuk bahan pengisi kertas, 3,5 , sehingga kapasitasnya menjadi C C 0 C 3,5
0 A d
Daftar Pustaka 1. Blatt, F.D., 1983, Principles of Physics, second edition, Allyn and Bacon Inc., Boston. 2. Duncan, T., 1987, Advanced Physics. Fields, Waves and Atoms, edisi ketiga, John Murray, Hongkong. 3. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J., 1997, Fundamental of Physics, fifth edition, John Wiley & Sons, Inc., New York. 4. Hewitt, P.G., 2002, Conceptual Physics, ninth edition, Addison Wesley, New York.
5. Serway, R. A. dan Beichner, R.J., 2000, Phyisics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Saunders College Publishing, New York. 6. Vanderlinde, J., 1993, Classical Electromagnetic Theory, John Wiley & Sons, Canada. 7. Wangness, R. K.,1986, Electromagnetics Fields, edisi kedua, John Wiley & Sons, New York.
