PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
UJI NORMALITAS DAN FUNGSI LINEAR KEPADATAN PENDUDUK SALATIGA TAHUN 2008 Hanna A. Parhusip, Evi Kusumawardhani dan Dyah Kristanti Center of Applied Mathematics (CAM) Program Studi Matematika Industri dan Statistika Universitas Kristen Satya Wacana ABSTRAK Pada makalah ini ditunjukkan uji normalitas data kependudukan Kota Salatiga yang terdiri dari 4 kecamatan yaitu (Sidorejo, Sidomukti, Argomulyo , dan Tingkir berdasarkan jenis kontrasepsi yang digunakan. Data mula-mula memberikan determinan matriks kovariansi yang dekat di nol sehingga invers matriks kovariansi tidak terdefinisi. Untuk itu data ditransformasi sehingga data dapat berdistribusi normal. Selanjutnya data kepadatan penduduk tiap kecamatan sebagai fungsi linear pengguna alat kontrasepsi. Sedangkan parameter pada regressi linear diberikan melalui metode kuadrat terkecil yang menghasilkan nilai pendekatan kepadatan penduduk yang tidak jauh beda dari data sebenarnya (kurang dari 15%). Untuk kepadatan penduduk secara keseluruhan di Salatiga tidak dapat sebagai fungsi linear pengguna alat kontrasepsi karena error lebih dari 50%. Kata kunci : uji normalitas data, fungsi linear, Hotelling T2
PENDAHULUAN Pada analisa statistika seringkali digunakan asumsi bahwa data yang dianalisa berdistribusi normal. Selanjutnya dapat dilakukan analisa lebih lanjut. Akan tetapi seringkali data tidak selalu berdistribusi normal sehingga asumsi yang digunakan tidak tepat. Hal ini berakibat jika data tidak berdistribusi normal maka hasil-hasil analisa dengan asumsi data berdistribusi normal menjadi tidak benar. Untuk itu diperlukan uji distribusi normalitas data. Hal inilah yang akan ditunjukkan pada makalah ini. Data yang digunakan adalah jumlah penduduk berdasarkan tipe alat kontrasepsi jangka panjang pada penduduk di Kota Salatiga, Jawa Tengah yang memiliki 4 kecamatan (Sidorejo, Sidomukti, Argomulyo, dan Tingkir) dan kepadatan penduduk Kota Salatiga per km2. Data yang diambil dari Salatiga Dalam Angka Tahun 2008 (Bappeda Kota Salatiga, 2009) ini akan diolah dengan uji normalitas. Setelah diketahui distribusi normalnya maka akan ditunjukkan kepadatan penduduk sebagai fungsi jenis alat kontrasepsi yang digunakan. Pada Bagian 2 akan ditunjukkan teori yang digunakan. Sedangkan metode penelitian ditunjukkan pada Bagian 3. Untuk hasil analisa ditunjukkan pada Bagian 4 yang kemudian disimpulkan pada bagian akhir makalah ini.
643
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
UJI NORMALITAS DATA MULTIVARIAT Pada makalah ini ditunjukkan uji normalitas untuk data kependudukan Kota Salatiga yang terdiri dari 4 kecamatan yaitu (Sidorejo, Sidomukti, Argomulyo, dan Tingkir). Sebagaimana disebutkan pada Pendahuluan, data yang digunakan adalah tentang jenis penggunaan kontrasepsi. Untuk itu perlu disimbolkan terlebih dahulu yaitu :
X 1 := variabel random jenis kontrasepsi IUD,
X 2 :=variabel random jenis kontrasepsei MOP, X 3 := variabel random jenis kontrasepsei MOW,
X 4 := variabel random jenis kontrasepsi susuk. Menurut (Johnson and Wichern, 2002 ,hal.143) maka analisa data multivariat ditunjukkan sebagai berikut. Diketahui untuk 1 variabel random X berdistribusi normal mempunyai fungsi densitas
f ( x)
1
e x / / 2 , 2
2 2
x .
(1)
Sedangkan untuk variabel random X yang multivariat sebutlah X 1 ,..., X p mempunyai fungsi densitas gabungan berbentuk
f ( x)
2
1 p/2
1/ 2
e x '
1
x / 2
(2)
dengan n: banyaknya observasi pada tiap variabel random , : matriks kovariansi dari populasi ,
| | : determinan matriks kovariansi populasi ,p: banyaknya variable random , :rata-rata populasi , x nilai individu populasi untuk i= 1,…,n. Notasi ( x ) menyatakan vektor kolom sampel yang dikurangkan dengan rata-rata tiap variabel random X j , j = 1,...,p sedangkan ( x )' menyatakan transposnya dan 1 menyatakan invers
x ' 1 x menyatakan bentuk skalar sehingga secara x ' 1 x c2 . Hal ini dikarenakan secara geometri bentuk
dari matriks kovariansi. Bentuk lebih sederhana ditulis
x ' 1 x
menyatakan bentuk ellipsoida (Johnson,2002, hal.128-132). Tentang hal ini
tidak dibahas lebih lanjut pada makalah ini. Penggunaan persamaan (2) untuk analisa data menggunakan sampel yang ditunjukkan pada Tabel 2. Oleh karena itu notasi matriks kovariansi dan rata-rata digunakan berturut-turut adalah S dan x . Bentuk
x ' 1 x
yang muncul pada eksponen persamaan (2) sangat menentukan
normalitas data. Hal ini ditunjukkan pada pernyataan berikut. Teorema 1. Jika X= [ X 1 ,..., X p ] berdistribusi N p ( , ) dengan > 0 maka 644
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
1. x ' 1 x terdistribusi
X p2 ( ) , dengan
distribusi dengan derajat kebebasan sebesar p. 2. N p ( , ) menyatakan distribusi untuk
x : ( x ) '
1
X p2 ( ) menyatakan chi-square (1- )
probabilitas
ellipsoida
( x ) X p ( ) dengan X p2 ( ) menyatakan batas atas prosentase ke 2
2 100 dari distribusi X p . Bukti : (Johnson and Wichern, 2002 ,hal.140).
Oleh karena itu sebagai uji normalitas data yaitu :
x ' 1 x X p2 ( )
(3)
2 dengan X p ( ) menyatakan distribusi chi-squre . Persamaan (3) tersebut jika tidak dipenuhi
maka data dianggap tidak berdistribusi normal. Dianggap bahwa variabel random saling bebas (mutually independent) sehingga fungsi densitas gabungan untuk semua observasi dinyatakan sebagai
( x1 ,..., x p )
1 1 e 1/ 2 np / 2 (2 )
n
( x j )' 1 ( x j ) / 2 j 1
.
(4a)
Untuk lebih jelasnya ditunjukkan dengan contoh. Sebelumnya, data perlu dinyatakan dalam bentuk tak berdimensi yaitu membagi tiap individu data dengan nilai maksimum masing-masing variabel. Contoh. Uji Normalitas Sidorejo Diketahui banyaknya data pada kelurahan Sidorejo adalah n=6 yang ditunjukan pada Tabel 1. Tabel 1. Data pengguna kontrasepsi pada tiap desa di kecamatan Sidorejo Metode Kontrasepsi Jangka Panjang
PUS kelurahan (eliqible couple)
AKDR
MOP
MOW
Susuk
IUD
Vasectomi
Tubectomi
Implant
I. SIDOREJO
8126
776
94
464
610
1. Blotongan
2236
215
22
157
148
2. Sidoreja Lor
2053
151
21
121
125
3. Salatiga
2031
223
49
110
167
4. Bugel
491
40
0
7
31
5. Kauman Kidul
699
101
2
54
99
6. Pulutan
616
46
0
15
40
2 Persamaan (3) digunakan dengan α=0.7. Data yang digunakan pada Tabel 1 dengan 0.7 , 4 = 4.8784,
diperoleh hasil analisanya yaitu tidak ada data yang berdistribusi normal. Oleh karena itu rasio antara selisih banyaknya data dengan data yang tidak berdistribusi nomal dan banyaknya kelurahan adalah 1 (>0.7). Ini mengartikan bahwa data Sidorejo berdistribusi normal. 645
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Untuk menyusun fungsi densitas gabungan maka digunakan formula pada persamaan (4). Matriks kovariansinya adalah S=
Menurut persamaan (4a) diperoleh S yang berdimensi maka diperoleh S
0.1299 0.1258 0.1312 0.1188
1/ 2
1/ 2
0.1258 0.1312 0.1188 0.1547 0.1098 0.1150 0.1098 0.1150 0.1199 0.1150 0.1199 0.1130
0 sehingga ( x1 ,..., x4 ) . Kemudian dengan data
sehingga ( x1 ,..., x4 ) 0 . Hal ini berarti asumsi
yang digunakan salah bahwa variabel random saling bebas (mutually independent). Kita dapat membuat pernyataan berikut. Proposisi 2. Jika
1/ 2
0 pada persamaan (4a) maka
1/ 2 ( x1 ,..., x p ) . Jika maka
( x1 ,..., x p ) 0 . Akibat 3. Jika ( x1 ,..., x p ) 0 atau ( x1 ,..., x p ) maka variabel random tidak saling bebas (mutually independent). Berdasarkan proposisi 2, maka fungsi densitas pada persamaan (2) menjadi f(x) untuk | S | 0 dan f(x) 0 untuk | S | . Jika hal ini terjadi maka salah satu cara agar dapat menyusun fungsi densitas normal adalah dengan mentransformasi data menjadi normal (Johnson dan Wichern, 2002,hal.164). Tranformasi perlu dipilih yang tepat karena terdapat beberapa transformasi. Salah satu usulan dengan
Xb X .
(4b)
Hal ini ditunjukkan pada Bagian Analisa dan Pembahasan. Kepadatan Penduduk Sebagai Fungsi Linear Pengguna Alat Kontrasepsi dengan metode kuadrat terkecil Sebut Y:=variabel kepadatan penduduk, X 1 := variabel random jenis kontrasepsi IUD, X 2 :=variabel random jenis kontrasepsei MOP, X 3 := variabel random jenis kontrasepsei MOW, dan
X 4 := variabel random jenis kontrasepsi susuk. Diasumsikan
Y x1 , x2 , x3 , x4 a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
(5a)
dengan koefisien a1 , a2 , a3 , a4 dicari berdasarkan data dan diasumsikan E ( ) 0 dan Var( )= 2 . Hal ini dapat dilakukan dalam metode kuadrat terkecil (Parhusip,2009). Y menyatakan variabel respon yang dapat pula lebih dari 1 macam variabel respon. Jika variabel respon adalah Y = [ Y1 , Y2 ,, Yn ] T dan x1 , x2 ,, xr adalah variabel prediktor maka model regresi linear secara umum adalah Y=X a + e 646
(5b)
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
atau
Y1 1 x11 Y 1 x 21 2 Yn 1 z n1
x12 x1r a0 1 x 22 x 2 r a1 2 . z n 2 z nr a r r
(5c)
Perhatikan bahwa matriks X memuat kolom pertama bernilai 1 tiap barisnya, sedangkan kolomkolom berikutnya adalah data yang kita punyai. Metode kuadrat terkecil secara umum adalah meminimumkan kuadrat jarak kuadrat jarak 2
S(a) = y j aˆ 0 aˆ1 x j1 aˆ r x jr = (y – Xa)T(y – Xa). n
(5d)
j 1
Hasil optimasi peminimuman (5d) memberikan hasil pada Teorema 4. Teorema 4. Anggap bahwa X punya rank penuh1 dengan r + 1 n. Nilai estimasi parameter pada persamaan (5b) diberikan oleh aˆ = (XTX)-1 XTy . Bukti tidak diberikan pada makalah ini (dapat dirujuk pada literatur). Uji Hipotesis Rata-Rata Pengguna Alat Kontrasepsi per Kecamatan di Kota Salatiga Setelah diuji normalitas data Pengguna Alat Kontrasepsi di kota Salatiga, selanjutnya pada makalah ini akan ditunjukan uji hipotesis dengan menduga vektor rata-rata data per variabel. Dalam hal ini variabel yang dimaksud adalah :
x1 =banyaknya orang pengguna alat kontasepsi jenis IUD, x2 =data banyaknya orang pengguna alat x kontasepsi jenis MOP, 3 = banyaknya orang pengguna alat kontasepsi jenis MOW, x4 = banyaknya orang pengguna alat kontasepsi jenis susuk. Berikut ini digunakan pustaka (Johnson dan Wichern, 2002). Dengan nilai dugaan disimbolkan dengan, H 0 : μ = 0 dan H 1 : μ 0 dimana nilai 0 kita tentukan sendiri. Selanjutnya akan dicari nilai Hotelling T 2 untuk mengetahui nilai dugaan diterima atau ditolak dengan persamaan
T 2 nX 0 ' S 1 X 0
dimana
X n 1
S 1 adalah invers dari kovariansi S 1
(6)
n
j 1
T X X j X dengan X 1 X j dan n
j
n
j 1
0 10 20 ... p0 . Dikatakan H 0 : μ = 0 ditolak jika nilai T > ( nilai distribusi). Nilai 2
distribusi T 2 yang dimaksud adalah =
(n 1) p Fp ,n p , dengan n adalah banyaknya populasi dan (n p)
p adalah banyaknya variabel . Jadi H 0 : μ = 0 ditolak jika
T 2 nX 0 ' S 1 X 0
1
(n 1) p Fp ,n p (n p)
Jika X tidak rank penuh maka (XTX)-1 digantikan oleh generalized invers dari XTX . 647
(7)
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Setelah diketahui H 0 : μ = 0 ditolak atau diterima, dilanjutkan mencari interval kepercayaan untuk vektor rata-ratanya, untuk membuktikan nilai dugaan vektor rata-rata berada didalam interval atau diluar dengan menggunakan persamaan S S x1 t n 1 11 1 x1 t n 1 11 2 n 2 n S S x 2 t n 1 22 2 x 2 t n 1 22 2 n 2 n S pp S pp x p t n 1 p x p t n 1 . 2 n 2 n
(8)
METODE PENELITIAN Sumber Data Data yang digunakan adalah penggunaan tipe alat kontrasepsi jangka panjang pada penduduk di Kota Salatiga, Jawa Tengah yang memiliki 4 kecamatan (Sidorejo, Sidomukti, Argomulyo, dan Tingkir) dan kepadatan penduduk Kota Salatiga per km2. Data yang diambil dari Salatiga Dalam Angka Tahun 2008 ditunjukkan pada Tabel 2 dan Tabel 3. Uji Normalitas Data Multivariat Kita akan menguji normalitas data dengan menhitung determinan matriks kovariansi untuk masingmasing kecamatan. Untuk selanjutnya data digabungkan dengan menguji normalitas data tanpa tergantung pada wilayah yang digunakan. Demikian pula normalitas antara 4 (p) variabel antar 2 wilayah yang berbeda. Akan tetapi jika data yang diperoleh tidak memenuhi Proposisi (2) maka data perlu ditransformasi untuk dekat dengan normal menurut persamaan (4b). Kepadatan Penduduk Sebagai Fungsi Linear Pengguna Alat Kontrasepsi Dengan menggunakan persamaan (4) dan data kepadatan penduduk Salatiga untuk tahun 2008 pada Tabel 3, kita akan mencari nilai koefisien dari aˆ1 , aˆ2 , aˆ3 , aˆ4 . Kita asumsikan bahwa X 1 := variabel random jenis kontrasepsi IUD, X 2 :=variabel random jenis kontrasepsei MOP, X 3 := variabel random jenis kontrasepsei MOW, X 4 := variabel random jenis kontrasepsi susuk. Berdasarkan nilai koefisien dan asumsi variabel random tersebut dapat dianalisa tentang kepadatan penduduk sebagai fungsi linear terhadap pengguna alat kontrasepsi diseluruh kecamatan yang berada di Kota Salatiga.
648
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Tabel 2. Data pengguna kontrasepsi di Kota Salatiga pada tahun 2008 Metode Kontrasepsi Jangka Panjang
PUS Kelurahan (eliqible couple)
AKDR
MOP
MOW
Susuk
IUD
Vasectomi
Tubectomi
Implant
I. SIDOREJO
8126
776
94
464
610
1. Blotongan
2236
215
22
157
148
2. Sidoreja Lor
2053
151
21
121
125
3. Salatiga
2031
223
49
110
167
4. Bugel
491
40
0
7
31
5. Kauman Kidul
699
101
2
54
99
6. Pulutan
616
46
0
15
40
II. Tingkir
6786
1125
63
545
1113
1. Kutowinangun
3213
553
22
249
365
2. Gendongan
856
106
11
128
163
3. Sidorejo Kidul
855
140
10
21
191
4. Kalibening
326
48
6
40
102
5. Tingkir lor
801
168
8
59
150
6. Tingkir Tengah
735
110
6
48
142
III. Argomulyo
7114
1171
156
547
1602
1. Noborejo
1000
149
19
52
126
2. Ledok
1600
218
32
109
434
3. Tegalrejo
1612
266
34
142
410
4. Kumpulrejo
1249
184
20
58
324
5. Randuacir
978
185
18
97
132
6. Cebongan
675
169
33
89
176
6236
685
24
347
734
951
148
2
71
144
2. Dukuh
1885
203
8
147
228
3.Mangunsari
2499
228
11
62
266
4. Kalicacing
901
106
3
67
96
2008
28262
3757
337
1903
4059
2007
27936
3716
316
1968
6499
2006 2005
27424 26708
4101 4337
344 344
2205 2259
4506 5097
IV. Sidomukti 1. Kecandran
649
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Tabel 3. Data Kepadatan Penduduk Kota Salatiga pada tahun 2008 per km2 Kepadatan penduduk per km2
Kelurahan 2004
2005
2006
2007
2008
I. SIDOREJO
3178
3187
3187
3017
3059
1. Blotongan
2668
2656
2682
2309
2488
2. SidorejoLor 3. Salatiga 4. Bugel
5144 8282 0,876
5133 8224 0,898
5155 8200 0,907
4519 8234 0,905
4604 8212 0,928
5. Kauman Kidul
1792
1807
1817
1884
1884
6. Pulutan
1550
1536
1530
1546
1546
II. Tingkir
4090
4101
4127
3901
2608
1. Kutowinangun
7262
7290
7350
6808
6758
2. Gendongan 3. Sidorejo Kidul 4. Kalibening 5. Tingkir lor 6. Tingkir Tengah
9306 1729 1764 2711 2929
9194 1739 1785 2736 2943
9078 1760 1800 2755 2991
8133 0,84 0,602 2642 3031
8572 0,836 0,665 2169 3025
III. Argomulyo
2246
2252
2259
2179
2193
1. Noborejo
1563
1565
1600
1450
1592
2. Ledok
5347
5334
5349
5587
5111
3. Tegalrejo 4. Kumpulrejo 5. Randuacir
5409 1090 1226
5428 1095 1235
5421 1092 1241
5398 1143 1191
5460 1114 1200
6. Cebongan
3427
3440
3437
2814
8895
IV. Sidomukti
3453
3453
3459
3459
3153
1. Kecandran
1212
1217
1224
1212
1235
2. Dukuh
2727
2765
2781
2522
2522
3.Mangunsari
5597
5590
5620
5049
5049
4. Kalicacing
10375
10194
10053
8909
8895
3101
3103
3114
2945
2703
Kepadatan/km
2
Uji Hipotesis Dengan Menduga Vektor Rata-Rata Pengguna Alat Kontrasepsi per Kecamatan di Kota Salatiga Uji hipotesis dengan menduga vektor rata-rata dapat dilakukan dengan mudah dengan mengikuti alur dasar teori. Data yang sudah dibawa kedalam data tak berdimensi. Data tak berdimensi disini memiliki maksud setiap data per variabel dibagi dengan data maksimum yang ada pada variabel tersebut, ini dimaksudkan mempermudah dalam menganalisis data agar tidak ada data pencilan. Langkah awal adalah menduga nilai rata-rata data. Kemudian dicari nilai x per variabel dan S untuk mendapatkan nilai Hotelling T 2 seperti pada persamaan (6). Selanjutnya dengan data n, p,dan tabel distribusi F untuk memperoleh nilai dari distribusi T 2 (Persamaan (7)). Jika nilai Hotelling T 2 dan nilai dari distribusi T 2 telah diperoleh, persamaan (7) diterapkan untuk menentukan H 0 : μ = 0 ditolak atau diterima. Bilamana semua telah diketahui maka persamaan (8) dikerjakan untuk mendapatkan interval kepercayaan. 650
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
ANALISA DAN PEMBAHASAN Hasil Uji Normalitas Sebagaimana ditunjukkan pada studi literatur fungsi densitas f(x) untuk | S | 0 dan f(x)
0 untuk | S | . Untuk wilayah Sidorejo diperoleh data yang berdimensi maka | S | dan untuk data Sidorejo tak berdimensi diperoleh | S | 0 . Hal ini menyebabkan tidak terdefinisinya S 1 . Demikian pula untuk ketiga kecamatan yang lain (Tingkir, Argomulyo dan Sidomukti). Hal ini mungkin disebabkan banyaknya data (n) sama dengan banyaknya variabel (p). Untuk itu akan diselidiki normalitas data penduduk pengguna kontrasepsi seluruh kota Salatiga tanpa mengelompokkan per-kecamatan. Ternyata dengan menggunakan n =22 dan p = 4 tetap diperoleh data yang berdimensi maka | S | dan untuk data tak berdimensi diperoleh | S | 0 . Untuk itu digunakan transformasi. Transformasi data menjadi normal Transformasi ini digunakan untuk data n =22. Dengan transformasi tersebut diperoleh | S | = 407.2257. Untuk menyusun fungsi densitas menurut persamaan (2) maka diperlukan menghitung invers dari matriks kovariansi. Jarak kuadrat pada pangkat eksponen persamaan (2) berupa ( X b )T S 1 ( X b )
=
x
b ,1
= xb,1 170.7727
b,1
xb, 2 b, 2
xb,3 b,3
xb, 4 b, 4
T
xb,1 b,1 x b, 2 b, 2 S xb,3 b,3 xb, 4 b, 4 1
xb, 2 15..3182 xb,3 86.5000 xb, 4 184.5000 - 0.0323 T
0.3497
0.0323 0.6444
- 0.2087 0.0332
- 0.1267 - 0.1213
0.2087 - 0.1454 - 0.1267 - 0.1267 0.3310 0.0332
xb ,1 170.7727 xb , 2 15.3182 0.0332 xb ,3 86.5000 0.1929 xb , 4 184.5000
.(9)
Sehingga fungsi densitas untuk variabel yang baru adalah
f ( x1b , x2b , x3b , x4b )
2 1 e c / 2 (2 ) (20.1798)
2
dengan c 2 memenuhi persamaan (9). Kita dapat menguji apakah antara 2 variabel ( X b,i , X b, j ) saling bebas i,j=1,…,p dengan meyelidiki Cov ( X b,i , X b, j ) . Dapat ditunjukkan bahwa Cov ( X b,i , X b, j ) bukan matriks 0 . Hal ini berarti kita tidak dapat menyusun fungsi densitas gabungan menurut persamaan (4a). Kepadatan Penduduk Sebagai Fungsi Linear Pengguna Alat Kontrasepsi Dengan menggunakan persamaan (4) dan Teorema 5, maka kepadatan penduduk Salatiga dapat dinyatakan sebagai fungsi linear : a. Sidorejo Y ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 10 3 (1.4479- 0.0807 x1 + 0.2181 x 2 +0.0206 x 3 + 0.0710 x 4 ) dengan error 8.4713%. Hal ini dapat diilustrasikan pada Gambar 1. b. Tingkir Y ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 10 3 (-1.7817 -0.0388 x1 -0.2045 x2 + 0.0689 x3 0.0498 x4 dengan error 13.8222% (Gambar 2).
651
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
c. Argomulyo Y ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 10 3 ( -1.2986-0.0206 x1 +0.1352 x2 + 0.0341 x3 + 0.0064 x4 dengan error 13.1659%(Gambar 3) d. Sidomukti Y ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 10 3 ( 0.2721 + 0.5080 x1 +3.5598 x2 + -0.0093 x3 +-0.5605 x4 dengan error 0.0% (Gambar 4)
Gambar 1. Ilustrasi kepadatan penduduk sebagai fungsi pengguna alat kontrasepsi pada kecamatan Sidorejo pada tahun 2008 (*: data, o : pendekatan linear) .
Gambar 3. Ilustrasi kepadatan penduduk sebagai fungsi pengguna alat kontrasepsi pada Kecamatan Argomulyo pada tahun 2008. (*: data, o : pendekatan linear) .
Gambar 2. Ilustrasi kepadatan penduduk sebagai fungsi pengguna alat kontrasepsi pada kecamatan Tingkir pada tahun 2008 (*: data, o : pendekatan linear) ..
Gambar 4. Ilustrasi kepadatan penduduk sebagai fungsi pengguna alat kontrasepsi pada Kecamatan Sidomukti pada tahun 2008. (*: data, o : pendekatan linear) .
Kepadatan penduduk setiap Kecamatan di Kota Salatiga telah dinyatakan sebagai fungsi linear pengguna alat kontrasepsi dengan Dengan pendekatan nilai koefisien a1 , a2 , a3 , a4 dapat dilihat pada Gambar 1, Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 yang menunjukkan bahwa antara data dan nilai pendekatan tidak jauh beda.
652
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Akan tetapi kepadatan penduduk kota Salatiga secara keseluruhan sebagai fungsi linear dari 4 variabel (tipe kontrasepsi yang digunakan) tidak cukup baik. Hal ini ditunjukkan dengan error sekitar 50% sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Ilustrasi kepadatan penduduk sebagai fungsi pengguna alat kontrasepsi pada kota Salatiga pada tahun 2008 (*: data, o : pendekatan linear) .
Uji Hipotesis Rata-Rata Pengguna Alat Kontrasepsi per Kecamatan di Kota Salatiga Menggunakan data Pengguna Alat Kontrasepsi per Kecamatan di Kota Salatiga seperti pada Tabel 2, kita duga vektor rata-rata adalah [125 15 80 165]. Setelah itu dengan bantuan program Matlab 6.5 persamaan (6) dijalankan, dan diperoleh nilai T 2 sebesar 9.7048. Kemudian dicari nilai distribusi T 2 dengan n=22 dan p=4 dengan tabel F didapat 13,6628. Menurut persamaan(7), H 0 ditolak jika nilai T 2 > nilai ditribusi . Sebaliknya H 0 diterima jika nilai T 2 < nilai ditribusi. Dari hasil terlihat bahwa nilai T 2 =9.7048 < 13.6628, maka H 0 diterima. Telah diketahui bahwa H 0 diterima selanjutnya dengan mengasumsikan tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95% , interval vektor rata-rata yang sesungguhnya dapat diperoleh dengan persamaan (8) sebagai berikut : 123.9894 1 217.5561 9.5448 21.0916 2 61.5297 3 111.4703 135.485 4 233.5142
Dengan nilai dugaan vektor rata-rata awal [125 15 80 165], maka nilai tersebut masuk dalam interval. KESIMPULAN Pada makalah ini telah dibahas uji normalitas untuk data pengguna alat kontrasepsi pada tiap kecamatan di Kota Salatiga Diperoleh data berdistribusi normal dengan transformasi. Sedangkan kepadatan penduduk tiap Kecamatan dinyatakan dalam fungsi linear dari variabel pengguna alat kontrasepsi jangka panjang dengan error kurang dari 15%. Sedangkan penduduk kota Salatiga tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi linear dari variabel pengguna alat kontrasepsi jangka panjang karena error lebih dari 50%. 653
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
DAFTAR PUSTAKA [1] Johnson,R.A. and Wichern, D. W. 2002 . Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. Prentice Hall. New Jersey.
[2]
Parhusip H. A. 2009. Elementary Derivation of Efficient Frontier Based On the Efficiency Function, Proceedings of 4th International Conference on Mathematics and Statistics (ICOMS 2009) , Universitas Malahayati Bandar Lampung @MSMSSEA and Univ.Malahayati, ISSN 2085-7748, page 129-137.
654
