AIDS DENGAN KELOMPOK UMUR DAN KEPADATAN PENDUDUK

JEEST NOVEMBER-2014

E-ISSN : 2356-3109 http://jeest.ub.ac.id

VOLUME 01 NO. 02

ANALISIS KESTABILAN EPIDEMIK HIV/AIDS DENGAN KELOMPOK UMUR DAN KEPADATAN PENDUDUK 1

Marsudi dan Kwardiniya 1 Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Malang e-mail: [email protected]

ABSTRAK ABSTRACT Makalah ini mengkaji dan mengimplementasikan suatu model matematika deterministik sederhana SI (susceptibleinfected) untuk menganalisis kestabilan model epidemik HIV/AIDS dengan kelompok umur dan kepadatan penduduk. Populasi dibagi menjadi dua subpopulasi, yaitu subpopulasi anak-anak dan subpopulasi dewasa. Subpopulasi dewasa diasumsikan aktif seksual dan subpopulasi infected dewasa melahirkan bayi susceptible dan bayi infected. Secara analitik, kestabilan lokal dan global dari titik kesetimbangan model (bebas penyakit dan kepunahan susceptible) dianalisis menggunakan kombinasi analisis persamaan karakteristik dari matriks Jacobi dan prinsip invariansi Lyapunov-LaSalle atau menggunakan kondisi nilai-nilai ambang rasio reproduksi susceptible ( R1 ), rasio reproduksi infected ( R0 ) dan laju kontak infectious ( R2 ) . Untuk kasus data HIV/AIDS di Indonesia dengan populasi awal tahun 2009, nilai-nilai ambang R1  99.2236, R0  0.0001169 dan R2  0.9878. Model epidemik HIV/AIDS mempunyai satu titik kesetimbangan bebas penyakit * E1  (55.029.000, 10.450.000, 0, 0) . Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah stabil asimtotik global, artinya jika nilai-nilai parameter tidak berubah maka tidak ada individu yang terinfeksi dan subpopulasi susceptible anak dan dewasa menuju nilai positif yang konstan. Kata Kunci : model HIV/AIDS, model SI, rasio reproduksi, kestabilan global

This paper examines and implementation a deterministic mathematical model of a simple SI (susceptible-infected) model to analyze the stability of the HIV/AIDS by age group and population density. The population is divided into two subpopulations, namely subpopulation of juvenile and adults. Subpopulation of adults who are sexually active is assumed produce both susceptible newborns and infected newborns. The local and global stability for the equilibrium point of the model were analyzed using a combination of analysis of eigenvalues of Jacobian matrix and the Lyapunov-LaSalle’s invariant principle or using a threshold values of the susceptible reproduced ratio ( R1 ), the infected reproduced ratio ( R0 ), and the infection contact rate ( R2 ) . For the case of data of HIV/AIDS in Indonesia with initial population of 2009, the threshold values of the susceptible reproduction ratio, the infected R1  99.2236, reproduction ratio, R0  0.0001169 and the infection contact rate, R2  0.9878. The model of the HIV/AIDS has a unique diseasefree equilibrium point, * E1  (55.029.000, 10.450.000, 0, 0) . The disease-free equilibrium point is globally asymptotically stable, namely if parameter values not change then there no infected individual and subpopulation of juvenile and adults susceptible tend to constant positive value. Key words: HIV/AIDS model, SI model, the reproduction ratio, the equilibrium point, Global stability

74

JOURNAL OF ENVIRONMENTAL ENGINEERING & SUSTAINABLE TECHNOLOGY

P-ISSN : 2356-3109

NOVEMBER-2014

http://jeest.ub.ac.id

PENDAHULUAN Saat ini, infeksi HIV (human immunodeficiency virus) yang dapat menyebabkan AIDS (acquired immunodeficiency syndrome) menunjukkan tingkat prevalensi yang tinggi dalam populasi hampir di semua negara. Di awal abad 20, model matematika diperkenalkan ke dalam epidemiologi oleh Kermack and McKendrick (1927). Model matematika telah banyak terbukti dalam membantu pemahaman fenomena penyebaran penyakit infeksius. Misalnya, Murray (1993) menggunakan model SIR untuk model epidemik penyakit infeksius. Pada awalnya, model matematika untuk epidemik HIV hanya bersifat spekulatif dengan memasukkan aspek-aspek biologi dan perilaku dalam model, misalnya Brauer and Castillo-Chavez (2001) dan Rao (1993). Saat ini banyak penelitian tentang analisis matematika dari model dinamika yang disebarkan melalui kontak seksual dan dikombinasikan dengan data sehingga menjadi populer (Anderson, 2001). Model matematika telah dikembangkan dan digunakan untuk penyakit yang ditularkan melalui hubungan seksual. Penyakit yang disebarkan melalui kontak seksual (sexually transmitted diseases=STD) adalah penularan yang ditransfer dari satu orang ke satu orang lain melalui kontak seksual di dalam populasi. Lopez et al. (2007), Marsudi dan Kwardiniya (2011) menggunakan model matematika untuk STD yang berkaitan dengan dinamika HIV dengan struktur usia di mana subpopulasi dimodelkan melalui proses epidemik SI yang sesuai untuk STD tanpa recovery. Model epidemik HIV/AIDS yang digunakan dalam penelitian ini merujuk pada model yang diperkenalkan oleh Lopez et al. (2007) yang dideskripsikan menggunakan model kompartemen. Secara demografi, populasi total N=N(t) dibagi menjadi dua subpopulasi, yaitu subpopulasi anak-anak (berusia 0-14 tahun) dan subpopulasi dewasa (berusia 15 tahun ke atas). Secara epidemiologi, subpopulasi ana-anak terdiri dari kelas susceptible anak-anak (Sa) dan infected anakanak (Ia). Subpopulasi dewasa terdiri dari kelas susceptible dewasa (Sd) dan infected dewasa (Id). Jika jumlah populasi terus meningkat dan

75

VOLUME 01 NO. 02

sementara keadaan demografi atau lingkungannya mempunyai jumlah sumber yang terbatas, maka akan terjadi kepadatan penduduk karena kompetisi internal dan mempengaruhi keberlangsungan hidup bahkan dapat menyebabkan kematian individu dalam populasi tersebut. Berdasarkan permasalahn di atas, pada penelitian ini dikaji untuk mendapatkan model epidemik HIV/AIDS dengan pengaruh kelompok umur dan kepadatan penduduk menggunakan data HIV/AIDS di Indonesia.

METODE PENELITIAN Sumber Data. Data yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data demografik dan data empirik penyakit HIV/AIDS di Indonesia. Data empirik penyakit HIV/AIDS di Indonesia diambil dari Dirjen Penanggulangan Penyakit Menular dan Penyehatan Lingkungan (PPM & PLP) Departemen Kesehatan RI atau Komisi Penanggulangan AIDS dan data demografik diambil dari Biro Pusat Statistik. Selain itu, parameter model akan diestimasi atau diambil dari literatur-literatur yang relevan. Rancangan Model. Model epidemik HIV/AIDS dideskripsikan menggunakan model kompartemen yang secara skematis transisi antara kedua subpopulasi dapat disajikan dalam diagram berikut (Lopez et al, 2007)

Gambar

1.

Diagram kompartemen modelHIV/AIDS dengan dua kelompok umur

JEEST NOVEMBER-2014

VOLUME 01 NO. 02

Berdasarkan pada asumsi-asumsi dan diagram kompartemen, model dapat dideskripsikan dengan empat persamaan diferensial nonlinear {Marsudi dan Kwardiniya, 2011)

dS a   1 S d  (1   )  2 I d  1 S a   S a  mS a N dt dS d S I  1 S a  S d d Idd   S d  mS d N dt dI a    2 I d   2 I a   I a   I a  mI a N dt dI d (1) S I   2 I a  Sd d Idd   I d   I d  mI d N dt di mana 1 (  2 ) adalah laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible (infected) dewasa, 1 (  2 ) adalah laju maturasi per kapita dari susceptible (infected) anak-anak,  ( ) adalah laju kematian alami dari subpopulasi anak-anak (dewasa),  adalah laju kematian karena HIV per kapita dan  adalah laju kontak per kapita antara individu susceptible dan individu infected dewasa. Diasumsikan bahwa semua parameter dari sistem (1) adalah positif. Diasumsikan juga bahwa koefisien kepadatan penduduk m adalah positif dan  (0    1) menjelaskan porsi bayi lahir dari kelompok infected dewasa adalah infected. Selanjutnya diasumsikan tidak ada migrasi, diinterpretasikan kedewasaan sebagai emigrasi dari tingkat anak-anak dan imigrasi ke dalam tingkat dewasa, individu tidak kebal, hanya individu dewasa yang dapat melahirkan, laju kematian kedua subpopulasi anak-anak identik terhadap laju kematian,  j   ( j  1, 2) dan tidak ada infeksi karena kontak seksual dalam subpopulasi anak-anak. Metode Analisis Penelitian ini dianalisis menggunakan langkahlangkah sebagai berikut: (i) mengestimasi parameter-parameter model (Model SI) dinamika epidemik HIV/AIDS dengan pengaruh kelompok umur (ii) mengkaji kestabilan model berdasarkan model persamaan diferensial nonlinear (1) (iii) menghitung nilainilai ambang rasio reproduksi susceptible ( R1 ),


rasio reproduksi infected ( R1 ) dan laju kontak infectious ( R2 ) dan (iv) mengeplot solusi numerik dari masing-masing subpopulasi (Sa, Ia, Sd dan Id) terhadap waktu menggunakan parameter-parameter epidemiologi dan parameter geografi yang diberikan menggunakan alat bantu program Matlab. PEMBAHASAN Berdasarkan data Biro Pusat Statistik (Anonim, 2010a), jumlah penduduk (popupasi) Indonesia pada Tahun 2009 tercatat sebesar 231.369.592 jiwa dengan tingkat kepadatan penduduk sebesar 121 jiwa/km2. Komposisi penduduk berdasarkan kelompok umur menunjukkan bahwa penduduk kelompok anakanak (0-14 tahun) sebesar 26,96% atau 62.377.242 jiwa dan kelompok dewasa (  15 tahun) sebesar 73,04% atau 168.992.230 jiwa. Komposisi penduduk berdasarkan jenis kelamin menunjukkan bahwa anak laki-laki berjumlah 31.810.108 jiwa, anak perempuan berjumlah 62.373.727 jiwa, laki-laki dewasa berjumlah 84.007.837 jiwa dan perempuan dewasa berjumlah 53.187.920 jiwa. Penyakit HIV dan AIDS di Indonesia senantiasa meningkat dari tahun ke tahun. Berdasarkan data dari Ditjen PP dan PL Depkes RI (Anonim, 2010b), kasus AIDS kumulatif yang dilaporkan dari 1 Januari 1987 sampai dengan 31 Desember 2009 berjumlah 19.973 jiwa terdiri dari 14.765 laki-laki dan 5.208 perempuan. Komposisi berdasarkan kelompok umur terdiri dari 528 anak-anak dan 19.445 dewasa. Jumlah kasus AIDS yang dilaporkan dari 1 Januari sampai dengan 31 Desember 2009 berjumlah 3.863 dengan komposisi 2.665 laki-laki dan 1198 perempuan. Menurut UNGASS Country Report, Populasi di Indonesia yang hidup dengan HIV/AIDS pada akhir Tahun 2007 diestimasi sebesar 270.000 jiwa. Setiap individu terinfeksi HIV dengan rata-rata durasi 8.6-19 tahun. Menurut Anonim (2010a), usia harapan hidup pada Tahun 2009 sekitar 71 tahun. Angka kematian anak-anak pada Tahun 2000-2005 sebesar 35 (per 1000) dan pada Tahun 2006-2010 sebesar 34 (per 1000). Rata-rata jumlah anak yang dilahirkan seorang perempuan dari kelompok dewasa (angka kelahiran total) pada Tahun 2009 sekitar

76


P-ISSN : 2356-3109

NOVEMBER-2014


VOLUME 01 NO. 02

2.1. Angka maturasi anak-anak diasumsikan sama dengan angka maturasi dewasa, yaitu sekitar 16 tahun. Estimasi jumlah penduduk Indonesia (dalam ribuan) selama 8 tahun (2004-2011) dikelompokkan dalam interval satu tahun disajikan dalam Tabel 1 dan grafik ditunjukkan dalam Gambar 1. Tabel 1 Estimasi jumlah penduduk Indonesia (dalam ribuan) Tahun

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

Jumlah Pendud uk

217. 072

218.8 69

222. 192

225.6 42

228. 523

231. 369

234. 181

237.5 56

Jumlah Penduduk (dalam ribuan)

total populasi perempuan susceptibl e  total laju kelahiran (53.182.712)(2.17)  total populasi perempuan 53.187.920  2,16979 .

(b) Laju kelahiran per kapita dari rata-rata infected dewasa

(  2 ) dihitung dengan

rumus 2 

total populasi perempuan infected  total laju kelahiran (5208)(2,17)  total populasi perempuan 53.187.920  0,0002125.

(c) Laju kematian anak-anak per kapita atau JDR (  ) dihitung menggunakan rata-rata laju kematian anak-anak dari dua tahun berbeda,

5

2.4

1 

x 10

2.35

2.3



2.25

JDR(2000  2005)  JDR(2006  2010) (35/1000)  (34/1000)   0,0345 . 2 2

2.2

2.15 2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

Tahun

Gambar 1 Data Penduduk Indonesia selama 8tahun

(d) Laju kematian per kapita (  ) didefinisikan sama dengan kebalikan dari rata-rata harapan hidup waktu lahir (ALE) dihitung dengan rumus



Grafik jumlah penduduk terhadap tahun dalam Gambar 1 tampak berbentuk logistik dengan persamaan diferensial

dN  aN ( K  N ) dt di mana N adalah jumlah penduduk Indonesia pada waktu t, K adalah nilai akhir (carrying capacity) dan r adalah parameter kinetik (laju kenaikan intrinsik). Nilai K dan a ditentukan dengan aproksimasi persamaan diferensial, yaitu dengan persamaan diferensi

(e) Laju kematian karena HIV per kapita (  )Setiap individu terinfeksi dengan HIV, rata-rata durasi infeksi 8.6-19 tahun. Rata-rata sisa hidup dari individu infected dewasa sama dengan kebalikan periode infeksi rata-rata (MIP), diasumsikan MIP=17 tahun.

N  aN ( K  N ) . t

1. Estimasi Nilai Parameter Model Nilai dari parameter-parameter model (1) dapat diestimasi menggunakan data di atas dan menggunakan rumus-rumus yang telah digunakan oleh Lopez et al. (2007). (a) Laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa (  1 ) dihitung dengan rumus

77

1 1   0,01409 . ALE 71



1 1   0,05882 . MIP 17

(f) Laju kontak ( ) dihitung dengan rumus

total infected baru dewasa (dalam 1 tahun)  total populasi . total populasiinfected  total populasisusceptible total dewasa infected baru (dalam 1 tahun)  total populasiinfected



JEEST NOVEMBER-2014


VOLUME 01 NO. 02

Dalam penelitian ini, total populasi infected diestimasi 270.000 jiwa sehingga

a (223917)( K  223917)  3450 a

19.445   0.07202 . 270.000.

(g) Laju maturasi anak-anak ( 1 ) diasumsikan sama dengan laju maturasi dewasa (  2 ) diestimasi dengan rumus

1   2 

1  0.0625 . 16

(h) Parameter mendeskripsikan m yang kompetisi internal dihitung dengan rumus:

m

1   K

dengan K adalah carrying capacity Indonesia karena kepadatan penduduk yang disebabkan oleh kompetisi internal. Carrying capacity karena kompetisi internal diestimasi menggunakan data Indonesia selama 8 tahun (2004-2009). Nilai K dan a dapat diturunkan dengan memeriksa nilai maksimum dari fungsi

y( N ) 

dN  aN ( K  N ) . dt

dy  0, diperoleh a( K  2 N )  0 dan dN K N maks  . Tabel 2 menyajikan estimasi 2 dari y( Amaks ) dari data dalam Tabel 1.

Dari

Tabel 2 Estimasi y( Amaks ) i  yi  Ai 1  ANilai maksimum i y 1 1797 2 3323 3 3450 y( Amaks )  y( K2 ) 4 5 6 7

2881 2846 2812 3375

Untuk menentukan hubungan antar a dan K, digunakan rumus untuk y(A) dengan mengambil A  223917 , yaitu nilai rata-rata di mana nilai maksimum ditemukan, yaitu

0,0154 . K  223917

Menggunakan rumus dari y untuk mendapatkan nilai K dengan rumus y( Amaks )  y( K2 ) , diperoleh

K2 

4(3450)( K  223917) 0,0154

K 2  896103,896 K  200652896103,896  0 K1  457930 dan Jika

K 2  438170.

nilai

K diambil rata-rata dari K1 dan K 2 , diperoleh K  448050. Jadi, estimasi carrying capacity karena kepadatan penduduk adalah

K  448.050.000 sehingga

m

1   2,16979  0,01409   0,0000000048113. K 448.050.000

Dengan demikian, estimasi nilai-nilai parameter model epidemik HIV/AIDS untuk Indonesia disajikan dalam Tabel 3 berikut. Tabel 3 Estimasi Nilai Parameter Model Parameter

Simb ol

1. Laju kelahiran per kapita subpopulasi susceptible dewasa 2. Laju kelahiran per kapita subpopulasi infected dewasa 3. Laju kematian alami subpopulasi anakanak 4. Laju kematian per kapita dari individu dewasa 5. Laju kematian per kapita dari penyakit 6. Peluang kontak antara individu dewasa 7. Laju maturasi per kapita subpopulasi susceptible anak-anak 8. Laju maturasi per kapita subpopulasi infected anakanak 9. Kompetisi internal

1

Nilai (per tahun) 2,16979

2

0,0002125

µ

0,0345

α

0,01409

γ

0,05882

ν

0,07202

1

0,0625

2

0,0625

m

4,8113  10-9

78


P-ISSN : 2356-3109

NOVEMBER-2014


VOLUME 01 NO. 02

dalam Tabel 3, nilai-nilai ambang rasio reproduksi susceptible ( R1 ), rasio reproduksi infected ( R1 ) dan laju kontak infectious ( R2 ) adalah sebagai berikut. (a) Nilai Susceptible Nilai

Ambang

Rasio

ambang

rasio

reproduksi

     R1   1  1   99,2236 .    1    Jadi, nilai rasio reproduksi susceptible lebih besar satu. Gambar 2 merepresentasikan grafik dari pengaruh laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa (  1 ) terhadap nilai ambang rasio reproduksi susceptible ( R1 ). Tampak bahwa jika nilai laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa meningkat, maka nilai rasio reproduksi susceptible juga meningkat. Nilai R1  1 jika nilai laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa lebih besar dari 0,021. 2.5

Rasio Reproduksi Suceptible (R1)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.5

1

0.5

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

1.4

1.6

1.8

2

(b) Nilai Ambang Rasio Reproduksi Infected Nilai ambang rasio reproduksi infected ( R0 ) adalah rata-rata jumlah susceptible baru yang dihasilkan oleh individu susceptible. Menggunakan nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3,

  2 R0    

 2    2    

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Laju Kelahiran per kapita rata-rata Susceptible Dewasa

Gambar 2 Plot  1 pada R1

   0,000169 

Jadi, nilai rasio reproduksi susceptible lebih kecil satu. Gambar 3 merepresentasikan grafik dari pengaruh laju kelahiran per kapita dari rata-rata infected dewasa (  2 ) terhadap nilai ambang rasio reproduksi infected ( R0 ). Tampak bahwa jika nilai laju kelahiran per kapita dari rata-rata infected dewasa (  2 ) meningkat, maka nilai rasio reproduksi infected dewasa ( R0 ) juga meningkat. Nilai R0 lebih kecil 1 jika nilai  2  1,8 . (c) Nilai Ambang Laju Kontak Infectious Nilai ambang laju kontak infectious ( R2 ) adalah rata-rata jumlah kontak dari individu infected dewasa selama hidupnya. Menggunakan nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3, R2 

2

0

1.2

Laju Kelahiran per kapita rata-rata Infected Dewasa

Reproduksi

susceptible yang dilahirkan oleh individu susceptible selama hidupnya. Menggunakan nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3,

79

1.2

Gambar 3 Plot  2 pada R0

susceptible ( R1 ) adalah rata-rata jumlah bayi

0

Rasio Reproduksi Infected (Ro)

1.4

2. Nilai Ambang Rasio Reproduksi Menggunakan rumus-rumus yang telah digunakan oleh Lopez et al. (2007) dan menggunakan nilai-nilai parameter model



 

 0,9878 . Jadi,

nilai ambang laju kontak infectious lebih kecil satu. Gambar 4 merepresentasikan grafik dari pengaruh laju kontak ( ) terhadap nilai ambang laju kontak infectious ( R2 ), menunjukkan bahwa jika nilai rata-rata jumlah kontak infected dewasa ( ) meningkat, maka nilai laju kontak infectious ( R2 ) juga meningkat.

JEEST NOVEMBER-2014


VOLUME 01 NO. 02

adalah stabil asimtotik lokal

jika R1  1

dan R0  1 (  1) dan stabil global jika

R1  1,   1 dan R0  Menggunakan

 2   . 2

nilai-nilai

parameter

dalam Tabel 3 dan karena R1  99,2236  1 ,

R0  0,0001169  1 ,

dan

R2  0,9878  0,9998831  1  R0 , Gambar 4 Plot dari  terhadap R2 3. Analisis Kestabilan Model Sistem (1) mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit

E1*  (S a* , S d* , 0, 0), S a* 

(  m N ) N   1  m N

S d* 

1 N1* .   1  m N1*

* 1

dan (2) mana

 (1     )  (1     ) 2  4[ (1   )(1  R1 )] 2m

jika R1  1 dan titik kesetimbangan kepunahan susceptible

E2*  (0, 0, I a* , I d* ), (    m N 2* ) N 2* I a*    2    m N 2* I d* 

2 N 2* .   2    m N 2*

Di N  * 2

model HIV/AIDS dengan pengaruh kelompok umur dan kepadatan penduduk di Indonesia hanya mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit

E1*  (55.029.000, 10.450.000, 0, 0) yang

* 1 * 1

di

N1* 

maka

E1*  (55.029.000, 10.450.000, 0, 0) , yaitu  - 0,6768 1,9050 - 0,2648 - 0,2646     0,0122 - 0,3794 - 0,0503 - 0,1223  * J ( E1 )   . 0 0 - 0,4709 0,00002125     0 0 0,0625 - 0,3159   di mana semua nilai eigen dari J ( E1* ) adalah

dan

1  0,7412, 2  0,3150, 3  0,4709 dan 4  0,3159 .

negatif

(3) mana

 ( 2      2 )  ( 2      2 ) 2  4[(   )( 2     )(1  R0 ] 2m

jika R0  1 dan   1. Menurut Lopez et al. (2007), titik kesetimbangan bebas penyakit * * * E1  (S a , S d , 0, 0) stabil asimtotik lokal jika

R2  1 dan R0  R2  1 dan stabil global jika (   )(   ) R1  1 dan R2  1  R0 . Titik

1

stabil asimtotik lokal. Hal ini dapat juga dilihat dari matriks Jacobi pada

Selanjutnya, karena R2  R0  0,9879  1 dan

R1  99,2236  2,4931 

 2   , maka 2

titik kesetimbangan bebas penyakit

E1*  (55.029.000, 10.450.000, 0, 0) stabil asimtotik global. Kestabilan global dari titik kesetimbangan bebas penyakit ini dapat dilihat pada grafik solusi numerik model epidemik HIV/AIDS menggunakan metode Runge- Kutta order empat berikut (Gambar 5). (a)

kesetimbangan kepunahan susceptible E 2*

80


P-ISSN : 2356-3109

NOVEMBER-2014


VOLUME 01 NO. 02

(a)

(d) 8

4

x 10

2

1.8

1.8

1.6

1.6

Infected Dewasa (Id)

Suceptible Anak (Sa)

2

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4

x 10

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4

0.2

0.2 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t (Tahun)

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

t (Tahun)

(b) 8

2

x 10

1.8

Gambar 5 Kestabilan global titik kesetimbangan bebas penyakit dari model epidemik HIV-AIDS dengan pengaruh kelompok umur di Indonesia:

Suceptible Dewasa (Sd)

1.6 1.4 1.2 1

S a 0  62376714, S d 0  168972405,

0.8

I a 0  528 dan I d 0  19445.

0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t (Tahun)

(c) 1000

Gambar 5 (a) menunjukkan bahwa subpopulasi susceptible anak ( S a ) cenderung bertambah pada satu tahun pertama kemudian turun terus hingga 16 tahun pertama dan tampak S a konvergen menuju S a  55.029.000 . Gambar 5 (b) menunjukkan bahwa sejak awal tahun hingga 17 tahun pertama subpopulasi susceptible dewasa ( S d ) berkurang terus *

900

Infected Anak (Ia)

800 700 600 500

jumlahnya

400

S d*  10.450.000.

300 200 100 0

dan

0

5

10

15

20

25

30

t (Tahun)

81

35

40

45

50

Sd

konvergen

menuju

45

50

JEEST NOVEMBER-2014

VOLUME 01 NO. 02

Kecenderungan subpopulasi infected anak ( I a ) hampir sama seperti subpopulasi susceptible dewasa. Dari awal tahun hingga 6 tahun pertama tampak jumlahnya turun terus ( Gambar 5 (c)) dan I a konvergen menuju

I a*  0 . Gambar 5.5 (d) menunjukkan bahwa sejak awal tahun hingga 18 tahun cenderung turun terus jumlahnya dan I d konvergen menuju I d  0 . Jadi, jika parameter tidak berubah maka tidak ada individu yang terinfeksi dan subpopulasi susceptible anak dan dewasa menuju nilai positif yang konstan. *

KESIMPULAN Untuk kasus data HIV/AIDS di Indonesia dengan data awal tahun 2009, nilai-nilai ambang rasio reproduksi susceptible R1  99.2236, rasio reproduksi infected

R0  0.0001169 dan laju kontak infeksi R2  0.9878. Model epidemik HIV/AIDS dengan dua kelompok umur dan kepadatan penduduk mempunyai satu titik kesetimbangan bebas penyakit * E1  (55.029.000, 10.450.000, 0, 0) yang stabil asimtotik global. Jadi, jika parameter tidak berubah maka tidak ada individu yang terinfeksi dan subpopulasi susceptible anak dan dewasa menuju nilai positif yang konstan.

UCAPAN TERIMAKASIH. Pada kesempatan ini, kami Tim Peneliti menyampaikan ucapan terima kasih kepada Direktorat Jenderal Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakat, Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Kementerian Pendidikan Nasional atas pembiayaan pelaksanaan Penelitian Fundamental Tahun 2011 ini.


DAFTAR PUSTAKA Anderson, R.M., (2001) The Role of Mathematical Models in The Study of HIV Transmission and The Epidemiology of AIDS, J. AIDS 1;214256. Anonim (2007). Profil Kesehatan Indonesia, Departemen Kesehatan RI. http:/www.depkes.go.id/ Tanggal Akses 12 Agustus 2011. Anonim, (2010a) Profil Kesehatan Indonesia. Depkes RI. http:/www.depkes.go.id/ Tanggal Akses 12 Agustus 2011. Anonim, (2010b) Republic of Indonesia Country Report of the Follow up to The Declaration of Commitment on HIV/AIDS: Reporting Period 20082009, National AIDS Commision Republic of Indonesia. Anonim, (2010c) United Nations General Assembly Special Sesion (UNGASS) Country Report. Depkes RI. Brauer, F. and Castillo-Chavez, C. (2001) Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Text in Applied Mathematics Vol. 40, Springer Verlag. Kermack, W.O san McKendrick, A.G. (1927) A Contribution to the Mathematical of Epidemics, Proceedings of the Royal Society of London 1997; 115;700-721. Lopez, R., Kuang, Y. dan Tridane, A. (2007). A Simple SI with Two age groups and Its Application to US HIV epidemics: To Treat or Not to Treat, Journal of Biological Systems 2007; 15; 169-184.

82


P-ISSN : 2356-3109

NOVEMBER-2014


Marsudi dan Trisilowati (2004) Model Penyebaran Epidemik dan Penyebaran Spatial (Geografi) Epidemik Demam Berdarah, Jurnal Ilmu-Ilmu Hayati (Live Science), Vol. 16 Nomor 1, Lemlit Unibraw Malang. Marsudi dan Kwardiniya (2011) Analisis Kestabilan Model HIV/AIDS dengan Pengaruh Kelompok Umur dan

83

VOLUME 01 NO. 02

Kepadatan Penduduk, Laporan Hasil Penelitian Fundamental DP2M Dikti, Universitas Brawijaya. Murray, J. D. ( 1993) Mathematical Biology, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, NewYork. Rao, A.S.R.S.. (1993) Mathematical modeling of AIDS Epidemic in India, Current Science, Vol. 84 No. 9.

AIDS DENGAN KELOMPOK UMUR DAN KEPADATAN PENDUDUK

Recommend Documents