VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Het significantieniveau (meestal aangegeven met de letter α) stelt de kans voor, dat H0 gelijk heeft, maar H1 gelijk krijgt. Je trekt dus een foute conclusie!!! Die fout wil je graag zo klein mogelijk houden; in de praktijk wordt α daarom gelijk gesteld aan een kleine kans, bijvoorbeeld 5% of 1%. Je kunt dus nooit een uitspraak doen of iemand gelijk heeft. Je kunt alleen uitspreken of iemand gelijk krijgt. (Vergelijk het met een rechtszaak: je kunt niet bewijzen dat iemand schuldig is, iemand wordt schuldig bevonden!) Denk ook aan het gooien met een muntstuk. Ik beweer dat de munt zuiver is (dus de kans op KOP = kans op MUNT = 0.5). Stel we gooien 10 keer met de munt. Uit dit experiment komt 10 keer KOP boven. Ik zou dan nog steeds gelijk kunnen hebben (dus dat de munt zuiver is),
alleen is de kans hierop zo klein, dat ik ongelijk krijg. En wat is de conclusie als er 8 keer KOP boven komt? (1 – binomcdf(10,0.5,7) ≈ 0.05469; dit is groter dan α dus conclusie is dat met een significantie van 5% de munt zuiver kan zijn!) Onthoud: Bij het toetsen van hypotheses kun je nooit bewijzen wie er gelijk heeft, je kunt alleen vaststellen wie er gelijk krijgt!
Op het laatste blad staan een paar Oefenopgaven (Maar bekijk eerst het stappenplan op de volgende pagina's)
VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Stappenplan toetsen van hypotheses Voorbeeld 1 Jan moet 200 opgaven maken. De docent beweert dat de kans op een goed antwoord van Jan gelijk is aan 0.4 Jan zegt dat de kans groter is dan 0.4 De leerling maakt de toets en heeft 90 (van de 200) vragen goed. Wie krijgt gelijk: Jan of de docent? Gebruik een significantieniveau van 5%. Je moet de volgende stappen nemen: Stap 1: beschrijf H0 en H1 H0: p = 0.4 (docent) H1: p > 0.4 (Jan) Stap 2: Omschrijf p en X p = kans dat het antwoord op een vraag goed is X = het aantal goed beantwoorde vragen Stap 3: Welke verdeling heeft X (als H0 gelijk heeft)? X = binomiaal verdeeld met n = 200 en p = 0.4 (want voor elke opgave zijn er twee mogelijkheden: Goed of Fout) Stap 4: Maak een plaatje (geef het zwarte gebiedje aan) In het zwarte gebied krijgt H1 gelijk. Normale benadering µ=n·p=80
0.05
Stap 5: Wat is de uitkomst van het experiment? X = 90 Stap 6: Reken nu de bijbehorende kans uit P(X≥90) = 1 – Binomcdf(200,0.4,89) ≈ 0.086 Stap 7: Vergelijk de uitgerekende kans met de grenswaarde (het significantieniveau) Als de uitgerekende kans lager is dan de grenswaarde, dan krijgt H1 gelijk, anders krijgt H0 gelijk. De uitgerekende kans is groter dan de grenswaarde van 0.05. Hieruit volgt dus dat H0 gelijk krijgt. Je kunt dat ook anders formuleren: "De uitkomst van het experiment (90) ligt niet in het zwarte gebied. Er is geen aanleiding om H0 te verwerpen. H0 (de docent) krijgt dus gelijk."
VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Voorbeeld 2 Het gewicht van een hond is normaal verdeeld. Henk zegt dat het gemiddelde gewicht van een hond gelijk is aan 15 kg. Piet zegt dat het gemiddelde gewicht van een hond meer is dan 15 kg. De standaarddeviatie is gelijk aan 12 kg. Er wordt een hond van de straat geplukt en hij wordt gewogen. Het gewicht van deze hond is gelijk aan 22 kg. Wie krijgt gelijk? Gebruik een significantieniveau van 5%. Stap 1: beschrijf H0 en H1 H0 : µ = 15 (Henk) H1 : µ > 15 (Piet) Stap 2: Omschrijf µ en X µ = verwachte gemiddelde gewicht hond X = gewicht van de hond Stap 3: Welke verdeling heeft X (als H0 gelijk heeft)? X = normaal verdeeld met µ = 15 en σ = 12 Stap 4: Maak een plaatje (geef het zwarte gebiedje aan) H0 krijgt gelijk (wit) µ=15
H1 krijgt gelijk (zwart)
Stap 5: Wat is de uitkomst van het experiment? X = 22 Stap 6: Reken nu de bijbehorende kans uit (Let op de continuïteitscorrectie!) Normalcdf(21.5,1E99,15,12) ≈ 0.2940 Stap 7: Vergelijk de uitgerekende kans met de grenswaarde (het significantieniveau) Als de uitgerekende kans lager is dan de grenswaarde, dan krijgt H1 gelijk, anders krijgt H0 gelijk. 0.2940 is groter dan het significantieniveau (0.05), dus H0 krijgt gelijk (Henk) "De uitkomst van het experiment (22) ligt niet in het zwarte gebied. Er is geen aanleiding om H0 te verwerpen. H0 (Henk) krijgt dus gelijk."
VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Voorbeeld 3 Het gewicht van een hond is normaal verdeeld. Henk zegt dat het gemiddelde gewicht van een hond gelijk is aan 15 kg. Piet zegt dat het gemiddelde gewicht van een hond meer is dan 15 kg. De standaarddeviatie is gelijk aan 12 kg. Er worden 16 honden van de straat geplukt en zij worden gewogen. Het gemiddelde gewicht van deze honden is gelijk aan 22 kg. Wie krijgt gelijk? Gebruik een significantieniveau van 5%. (Let op: dit voorbeeld lijkt op het vorige! Wat is het grote verschil?) Stap 1: beschrijf H0 en H1 H0 : µ = 15 (Henk) H1 : µ > 15 (Piet) Stap 2: Omschrijf µ en X µ = verwachte gemiddelde gewicht hond X = gewicht van de hond Stap 3: Welke verdeling heeft X (als H0 gelijk heeft)? 12 X = normaal verdeeld met µ = 15 en σ = = 3 (de n –wet!) 16 Stap 4: Maak een plaatje (geef het zwarte gebiedje aan) H0 krijgt gelijk (wit) µ=15
met σ=3
H1 krijgt gelijk (zwart)
Stap 5: Wat is de uitkomst van het experiment? X = 22 Stap 6: Reken nu de bijbehorende kans uit (Let op de continuïteitscorrectie!) Normalcdf(21.5,1E99,15,3) ≈ 0.0153 Stap 7: Vergelijk de uitgerekende kans met de grenswaarde (het significantieniveau) Als de uitgerekende kans lager is dan de grenswaarde, dan krijgt H1 gelijk, anders krijgt H0 gelijk. 0.0153 is kleiner dan het significantieniveau (0.05), dus H1 krijgt gelijk (Piet) "De uitkomst van het experiment (22) ligt wel in het zwarte gebied. Er is wel aanleiding om H0 te verwerpen. H1 (Piet) krijgt dus gelijk."
VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Voorbeeld 4 'Het Zwarte Gebied' Kris beweert dat in Nederland 20% van de mensen besmet is met het vogelgriepvirus. Henk zegt dat het percentage groter dan 20% is. Kris onderzoekt 50 mensen op het vogelgriepvirus. Vraag: wanneer heeft H0 gelijk , maar krijgt H1 gelijk? (In de wiskunde heet dit het 'kritieke gebied') Gebruik een significantieniveau van 5%. Stap 1: beschrijf H0 en H1 H0: p = 0.2 (Kris) H1: p > 0.2 (Henk) Stap 2: Omschrijf p en X p = de kans op vogelgriep X = aantal mensen met vogelgriep Stap 3: Welke verdeling heeft X (als H0 gelijk heeft)? X = binomiaal verdeeld met n = 50 en p = 0.2 Stap 4: Maak een plaatje (geef het zwarte gebiedje aan) H0 krijgt gelijk (wit) ?
H1 krijgt gelijk (zwart)
n·p = 10
De vraag is: vanaf welke X begint het 'zwarte gebiedje' (zie het vraagteken)
Stap 5: Wat is de uitkomst van het experiment? P(X≥?) = 0.05 1 – P(X≤?–1) = 0.05 Y = 1 – binomcdf(50,0.2,X–1) en daarna in de tabel kijken bij welke X de Y gelijk is aan (of kleiner is dan) 0.05. Bij X = 16 is de kans 0.0308 Conclusie: Zijn de uitkomsten van het experiment groter dan of gelijk aan 16, dan vallen die uitkomsten in het zwarte gebied. H1 (Henk) krijgt bij deze uitkomst dus gelijk (ook al had in werkelijkheid H0 gelijk!) De uitkomsten in het zwarte gebied noemen we significante uitkomsten. (Stap 6: hier niet nodig) (Stap 7: hier niet nodig)
VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Voorbeeld 5 'Het Zwarte Gebied' deel 2 (tweezijdig toetsen) Kris beweert dat in Nederland 20% van de mensen besmet is met het vogelgriepvirus. Henk zegt dat het percentage niet gelijk is aan 20%. Kris onderzoekt 50 mensen op het vogelgriepvirus. Er blijken 14 van de 50 onderzochte mensen vogelgriep te hebben. Gebruik een significantieniveau van 5%. Stap 1: beschrijf H0 en H1 H0: p = 0.2 (Kris) H1: p ≠ 0.2 (Henk) Stap 2: Omschrijf p en X p = de kans op vogelgriep X = aantal mensen met vogelgriep Stap 3: Welke verdeling heeft X (als H0 gelijk heeft)? X = binomiaal verdeeld met n = 50 en p = 0.2 Stap 4: Maak een plaatje (geef het zwarte gebiedje aan) Let op! Hier werk je met TWEE zwarte gebiedjes. Beide met een percentage van 2.5%.
H0 krijgt gelijk (wit) 14
n·p = 10
H1 krijgt gelijk (2 zwarte gebiedjes)
Stap 5: Wat is de uitkomst van het experiment? Uitkomst van het experiment: X = 14
Stap 6: Ligt de uitkomst X = 14 in het zwarte gebiedje? P(X≥14 = 1 – binomcdf(50,0.2,13) ≈ 0.1106 Stap 7: De kans 0.1106 is groter dan 0.025 (=½α), dus H0 (Kris) krijgt gelijk!.
VWO6 - 2008/2009
Molenaar - MLN
Een paar opgaven waarmee je kunt oefenen: Opgave1: Munt gooien Piet beweert dat een munt zuiver is. Jan beweert dat de kans op KOP groter is. We kijken naar X = aantal keren KOP. Ze gooien 100 keer met de munt. De uitkomst van het experiment is 60 keer kop. Wie krijgt gelijk: Piet of Jan? (α = 5%) Opgave 2: Gemeenteraadsverkiezingen Rob beweert dat 60% op de VVD stemt. Ik denk dat het percentage VVD-stemmers lager is. Er zijn 1000 stemmers. De uitkomst van de verkiezing is, dat 500 kiezers VVD hebben gestemd. Wie krijgt gelijk: Rob of ik? (α = 5%) Opgave 3: Dobbelsteen werpen Sandra beweert dat een dobbelsteen zuiver is. Andrea beweert dat hij vaker op 6 valt dan bij een zuivere dobbelsteen. Er wordt 60 keer met de dobbelsteen gegooid. Het blijkt dat 40 keer een 6 is gegooid. Wie krijgt gelijk: Sandra of Andrea? (α = 5%)
