vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche vaardigheden 14.1 Lineaire problemen 14.2 Kwadratische problemen 14.3 Breuken en wortels 14.4 Exponentiële en logaritmische functies 14.5 Diagnostische toets 15 Toetsen van hypothesen 15.1 Beslissen op grond van een steekproef 15.2 Eenzijdig en tweezijdig toetsen 15.3 Binomiale toetsen 15.4 De tekentoets 15.5 Diagnostische toetsen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening 16.1 De afgeleide functie 16.2 Regels voor het differentiëren 16.3 Optimaliseren 16.4 Diagnostische toets Gemengde opgaven Overzichten In het deel vwo A deel 4 vindt de afronding plaats van de leerstof van het vak wiskunde A. Alle nog niet behandelde onderwerpen komen in deel aan de orde. Alle hoofdstukken van dit deel zijn opgebouwd uit op het centraal examen te toetsen onderwerpen. De volgende (sub)domeinen worden aan de orde gesteld. • Bg Functies en grafieken hoofdstuk 14 • Fa Statistiek en kansrekening hoofdstuk 13 en 15 • Ba Differentiaalrekening met toepassingen hoofdstuk 16 In de hoofdstukken 14 en 16 is er royale aandacht voor het nieuwe subdomein A5 (Algebraïsche vaardigheden). Het nieuwe examenprogramma wiskunde A verlangt meer aandacht voor algebraïsche vaardigheden dan tot nu toe in de tweede fase het geval was. Leerlingen moeten weer in staat zijn om algebraïsche problemen op te lossen zónder de grafische rekenmachine te gebruiken. In hoofdstuk 14 Algebraische vaardigheden is er aandacht voor het algebraïsch oplossen van allerlei vergelijkingen zoals lineaire vergelijkingen, kwadratische vergelijkingen, gebroken vergelijkingen, terwijl ook het oplossen van een stelsel vergelijkingen wordt behandeld. Een belangrijk element bij het oplossen van vergelijkingen is het herkennen van de structuur van de vergelijking. Hierbij komen types voor als A ⋅ B = 0, A ⋅ B = A ⋅ C , A2 = B 2 ,
A A A C = 0, = C, = . B B B D
Verder is er aandacht voor het manipuleren met formules. Zo wordt het vrijmaken van variabelen behandeld bij machtsformules, gebroken formules, exponentiële formules en logaritmische formules.
Ook het combineren van formules wordt behandeld. De algebraïsche eisen liggen bij dit onderwerp beduidend hoger dan in het oude examenprogramma wiskunde A1,2. Bij hoofdstuk 16 Toepassingen van de differentiaalrekening wordt het onderwerp differentiëren afgesloten met de behandeling van de productregel en de quotiëntregel van het differentiëren. Ook bij dit onderwerp komt het exerceren met formules regelmatig aan de orde, evenals het opstellen van de formule van de te optimaliseren grootheid en het algebraïsch berekenen van extreme waarden. Planning en studielast Elk van de hoofdstukken in vwo A deel 4 is geschreven op ongeveer 25 studielasturen (slu). Het ligt voor de hand vwo A deel 4 in het examenjaar door te werken. Afhankelijk van de door de school gekozen verdeling van de studielast over de leerjaren bestaat de mogelijkheid dat in het zesde leerjaar ook nog een gedeelte van vwo A deel 3 moet worden doorgewerkt of dat juist in het vijfde leerjaar al een begin wordt gemaakt met dit boek. Het is gewenst de nodige uren te reserveren voor examenvoorbereiding. Achter in het boek zijn in de gemengde opgaven een flink aantal examenopgaven van vorige jaren opgenomen zodat de leerling zich terdege kan voorbereiden op het examen. De totale studielast voor wiskunde A is 520 uren. Hiervan zijn er ongeveer 400 nodig om de vier delen voor wiskunde A door te werken. De resterende 520 − 400 = 120 studielasturen behoren tot domein A: Vaardigheden. Veel van deze vaardigheden zijn als vanzelf ingebouwd in de verschillende hoofdstukken. Ook kan een gedeelte van de resterende slu worden ingezet bij herhaling, examenvoorbereiding, projectweken e.d. vwo A deel 4 hoofdstuk aantal slu
13 25
14 25
15 20
16 20
Planning van de wiskunde A hoofdstukken over de leerjaren vier, vijf en zes 0B
Bij een gelijke verdeling van de studielasturen over de leerjaren hoort de volgende planning: klas 4 vwo A/C deel 1 en 2 hoofdstuk 1 tot en met 6 à 7 klas 5 vwo A/C deel 2 afhandelen vwo A deel 3 klas 6 vwo A deel 4
Vwo B deel 4 12 Bewijzen in de vlakke meetkunde 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken 12.2 Bewijzen in driehoeken en cirkels 12.3 Meetkundige plaatsen 12.4 Diagnostische toets 13 Afgeleide en tweede afgeleide 13.1 De tweede afgeleide 13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide 13.3 Raaklijnen aan grafieken 13.4 Raken en loodrecht snijden 13.5 Diagnostische toets 14 Algebraïsche vaardigheden 14.1 Vergelijkingen en herleidingen 14.2 Breuken en wortels 14.3 Machten, exponenten en logaritmen 14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken 14.5 Diagnostische toetsen 15 Toepassingen 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken 15.2 Optimaliseringsproblemen 15.3 Trillingen 15.4 Lissajous-figuren 15.5 Goniometrische modellen 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt 15.7 Diagnostische toets Gemengde opgaven Overzichten In vwo B deel 4 vindt de afronding plaats van de behandeling van de leerstof van het vak wiskunde B op het vwo. In principe is dit boek bestemd voor het zesde leerjaar. Afhankelijk van de door de school gekozen verdeling van de studielast over de leerjaren bestaat de mogelijkheid dat in het zesde leerjaar ook nog een gedeelte van vwo B deel 3 moet worden doorgewerkt of dat juist in het vijfde leerjaar al een begin wordt gemaakt met deel 4. De leerstof In vier hoofdstukken van elk ongeveer 30 studielasturen wordt de resterende leerstof van het vak vwo wiskunde B aangeboden. In hoofdstuk 12 Bewijzen in de vlakke meetkunde wordt het domein Gb Voortgezette meetkunde afgerond. Het hoofdstuk is het vervolg op hoofdstuk 8 Vermoedens en bewijzen uit vwo B deel 2. In hoofdstuk 13 Afgeleide en tweede afgeleide worden enkele eindtermen behandeld van het subdomein Bb1 Afgeleide functies. In de eerste twee paragrafen krijgt de tweede afgeleide veel aandacht en in de paragrafen 13.3 en 13.4 worden enkele situaties bekeken die met raken en loodrecht snijden te maken hebben. In het nieuwe examenprogramma krijgen algebraïsche vaardigheden veel aandacht. Alhoewel in vrijwel elk hoofdstuk van de wiskunde B boeken van Getal en Ruimte deze vaardigheden ruimschoots aan bod komen, is het toch verstandig er expliciet aandacht aan te besteden. De algebraïsche vaardigheden die de leerling moet beheersen worden daarom in hoofdstuk 14 systematisch behandeld. In hoofdstuk 15 Toepassingen worden de domeinen Bg Functies en grafieken, Bb Differentiaal- en integraalrekening en Db Goniometrische functies afgesloten. Dit hoofdstuk is een prima voorbereiding op het Centraal Examen voor wat betreft de genoemde domeinen. Naast veel herhaling vindt er ook
verdieping plaats. Verder komen enkele nieuwe onderwerpen aan de orde zoals harmonische trillingen en Lissajous-figuren. Formules op het Centraal Examen Op het Centraal Examen krijgen leerlingen de beschikking over een lijst met trefwoorden van definities en stellingen en enkele formules uit de goniometrie. Deze lijst wordt opgenomen op bladzijde 2 van het examen. Er mag geen aparte formulekaart worden gebruikt tijdens het examen. Om de leerlingen te laten wennen aan de voorgeschreven lijst, is deze lijst achterin dit boek opgenomen. De toelichting bij de trefwoorden is eveneens achterin het boek opgenomen. Planning van de hoofdstukken over de leerjaren vier, vijf en zes De delen 1, 2, 3 en 4 van vwo B bevatten de leerstof van het wiskunde-B-programma vwo (incl. een door getal en ruimte ingevuld keuzeonderwerp) zoals dat met ingang van het jaar 2007 is vastgesteld. Elk hoofdstuk heeft een studielast van ongeveer 30 uur. Afhankelijk van de verdeling van de studielast wiskunde B over het vierde, vijfde en zesde leerjaar kunnen de hoofdstukken als volgt worden gepland: I
-
II
-
III
-
klas 4 vwo B deel 1 en deel 2 hoofdstuk 1 tot en met 6 klas 5 vwo B deel 2 hoofdstuk 7 en 8 deel 3 al dan niet incl. hoofdstuk K klas 6 vwo B deel 4 klas 4 vwo B deel 1 en deel 2 hoofdstuk 1 tot en met 7 klas 5 vwo B deel 2 hoofdstuk 8 en deel 3 geheel; er is in klas 5 voldoende tijd beschikbaar om het (eventueel zelf gekozen) keuzeonderwerp te behandelen. klas 6 vwo B deel 4 klas 4 vwo B de delen 1 en 2 klas 5 vwo B deel 3 en het begin van vwo B deel 4 Toelichting: men zal in het vijfde leerjaar niet geboeg hebben aan vwo B deel 3 inclusief het (eventueel zelf gekozen) keuzeonderwerp. klas 6 vwo B deel 4 afmaken
In situatie III moet men erop bedacht zijn het boek vwo B deel 4 op de boekenlijst van het vijfde leerjaar te zetten.
vwo C deel 4 Inhoud deel vwo C deel 4 13 Algebraïsche vaardigheden 13.1 Lineaire problemen 13.2 Machten en exponenten 13.3 Exponentiële groeiformules 13.4 Logaritmische functies 13.5 Rekenregels voor logaritmen 13.6 Logaritmische papier 13.7 Logaritmische schalen met Excel 13.8 Diagnostische toets 14 Mathematische statistiek 14.1Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 15 Formules en grafieken 15.1 Omgaan met formules 15.2 Kwadratische en wortel formules 15.3 Gebroken formules 15.4 Veranderingen 15.5 Diagnostische toets Gemengde opgaven Overzichten In het deel vwo C deel 4 vindt de afrondingplaats van de leerstof van het vak wiskunde C. Alle nog niet behandelde onderwerpen komen in deel aan de orde. Alle hoofdstukken van dit deel zijn opgebouwd uit op het centraal examen te toetsen onderwerpen. De volgende (sub)domeinen worden aan de orde gesteld. • Bg Functies en grafieken hoofdstuk 14 • Fa Statistiek en kansrekening hoofdstuk 13 en 15 Het nieuwe examenprogramma’s wiskunde C verlangt meer aandacht voor algebraïsche vaardigheden dan tot nu toe in de Tweede Fase het geval was. Leerlingen moeten weer in staat zijn om algebraïsche problemen op te lossen zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. De vraag om algebraïsch te handelen zal zo expliciet mogelijk worden vermeld in een examenopgave. In het boek vwo C deel 4 zijn de nieuwe eisen ten aanzien van de algebraïsche vaardigheden vooral zichtbaar in de hoofdstukken 13 Algebraïsche vaardigheden en 15 Formules en grafieken. Hoofdstuk 13 Algebraïsche vaardigheden staat na een herhaling van enkele lineaire problemen vooral in het teken van machten, exponenten en logaritmen. Behalve het algebraïsch oplossen van de bijbehorende vergelijkingen is er veel aandacht voor het vrijmaken van variabelen bij machtsformules, bij exponentiële formules en bij logaritmische formules. Ook het combineren van formules wordt behandeld. In hoofdstuk 15 Formules en grafieken wordt het manipuleren met formules voortgezet met het vrijmaken van variabelen bij wortelformules, eenvoudige kwadratische formules en gebroken formules. Verder is er aandacht voor het algebraïsch oplossen van vergelijkingen. Een belangrijk
element bij het oplossen van vergelijkingen is het herkennen van de structuur van de vergelijking. Hierbij komen types voor als A ⋅ B = 0,
A A A C = 0, = C, = . B B B D
De algebraïsche eisen liggen beduidend hoger dan in het oude examenprogramma wiskunde A1. Planning en studielast Elk van de hoofdstukken in vwo C deel 4 is geschreven op ongeveer 25 studielasturen (slu). Het ligt voor de hand vwo C deel 4 in het examenjaar door te werken. Afhankelijk van de door de school gekozen verdeling van de studielast over de leerjaren bestaat de mogelijkheid dat in het zesde leerjaar ook nog een gedeelte van vwo C deel 3 moet worden doorgewerkt of dat juist in het vijfde leerjaar al een begin wordt gemaakt met dit boek. Het is gewenst de nodige uren te reserveren voor examenvoorbereiding. Achter in het boek zijn in de gemengde opgaven een flink aantal examenopgaven van vorige jaren opgenomen zodat de leerling zich terdege kan voorbereiden op het examen. De totale studielast voor wiskunde A is 480 uren. Hiervan zijn er ongeveer 360 nodig om de vier delen voor wiskunde C door te werken. De resterende 480 − 360 = 120 studielasturen behoren tot domein A: Vaardigheden. Veel van deze vaardigheden zijn als vanzelf ingebouwd in de verschillende hoofdstukken. Ook kan een gedeelte van de resterende slu worden ingezet bij herhaling, examenvoorbereiding, projectweken e.d. vwo C deel 4 hoofdstuk aantal slu
13 25
14 25
15 20
Planning van de wiskunde C hoofdstukken over de leerjaren vier, vijf en zes 2B
Bij een gelijke verdeling van de studielasturen over de leerjaren hoort de volgende planning: klas 4 vwo A/C deel 1 en 2 hoofdstuk 1 tot en met 6 à 7 klas 5 vwo A/C deel 2 afhandelen vwo C deel 3 klas 6 vwo C deel 4
Vwo D deel 4 13 Kansen en beslissingen 13.1 Beslissen op grond van een steekproef 13.2 Eenzijdig en tweezijdig toetsen 13.3 Binomiale toetsen 13.4 De toets vanWilcoxon 13.5 Diagnostische toets 14 Krommen 14.1 Symmetrie 14.2 Parametervoorstellingen 14.3 Het differentiaalquotiënt bij krommen 14.4 Lijnen, vlakken en krommen in de ruimte 14.5 Diagnostische toets 15 Continue dynamische modellen 15.1 Dynamische modellen 15.2 Differentiaalvergelijkingen 15.3 Oplossingen van differentiaalvergelijkingen 15.4 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 15.5 Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 15.6 Diagnostische toets 16 Limieten 16.1 Continuïteit en differentieerbaarheid 16.2 Limieten en asymptoten 16.3 Standaardlimieten 16.4 Limieten bij rijen 16.5 Diagnostische toets Gemengde opgaven Overzichten In vwo D deel 4 vindt de afronding plaats van de behandeling van de leerstof van het vak wiskunde D op het vwo. In principe zal dit boek in het zesde leerjaar worden doorgewerkt. Afhankelijk van de door de school gekozen verdeling van de studielast over de leerjaren bestaat de mogelijkheid dat in het zesde leerjaar ook nog een gedeelte van vwo D deel 3 moet worden doorgewerkt of dat juist in het vijfde leerjaar al een begin wordt gemaakt met deel 4. De leerstof In vier hoofdstukken van elk ongeveer 30 studielasturen wordt de resterende leerstof van het vak vwo wiskunde D aangeboden. In hoofdstuk 13 Kansen en beslissingen wordt de behandeling van het domein Kansrekening en statistiek afgerond. Als voorkennis wordt de leerstof van de hoofdstukken uit havo/vwo D deel 1 verondersteld. Aan het begin van de paragrafen 13.1 en 13.3 wordt kort de kennis van de normale verdeling en de binomiale verdeling opgefrist. In het hoofdstuk wordt het toetsen van hypothesen bij de normale verdeling en bij de binomiale verdeling behandeld (subdomein B5). In paragraaf 13.4 komt de toets van Wilcoxon aan de orde. Deze toets is algemener dan de zogenaamde tekentoets. Bovendien komt hierbij de vaardigheid van het aflezen uit een tabel aan bod. Hoofdstuk 14 Krommen is het derde hoofdstuk van het domein Meetkunde. Het sluit aan op de hoofdstukken 9 Lijnen en cirkels en 11 Kegelsneden uit vwo D deel 3. In paragraaf 14.1 wordt de symmetrie van allerlei kegelsneden onderzocht. Daarmee vindt tevens een herhaling plaats van enkele aspecten uit hoofdstuk 11. In paragraaf 14.2 worden de parametervoorstellingen van lijn, cirkel en ellips behandeld. Het differentiaalquotiënt bij zowel geparametriseerde als niet-geparametriseerde krommen komt aan de orde in paragraaf 14.3 en in de laatste paragraaf wordt het subdomein D5 (De ruimte) behandeld.
In hoofdstuk 15 Continue dynamische modellen vindt de behandeling plaats van de subdomeinen C2 (Continue dynamische modellen), C3 (Toepassingen van discrete en dynamische modellen) en van domein F (Dynamische modellen 2). In het begin van het hoofdstuk ligt de nadruk op het opstellen van dynamische modellen. Vanaf paragraaf 15.2 komen verschillende typen differentiaalvergelijkingen aan de orde. Het eindniveau wordt bereikt met het toepassen van differentiaalvergelijkingen van de tweede orde bij gedempte trillingen. Hoofdstuk 16 Limieten is een door Getal en Ruimte ingevuld Keuzeonderwerp. In dit hoofdstuk worden allerlei aspecten van limieten behandeld: continuïteit en differentieerbaarheid, berekening van vergelijkingen van (scheve) asymptoten met behulp van limieten, afleiden van en rekenen met enkele standaardlimieten en limieten gebruiken bij rijen, zoals bij de sommeerbare meetkundige rij en bij enkele iteratieve processen. Met dit hoofdstuk krijgt de leerling een nuttige verdieping van de analyse bij wiskunde B.
