E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
V.5. Gaussova-Ostrogradsk´ eho vˇ eta M´a-li vektorov´ a funkce f~ = (U, V, W ) spojit´e vˇsechny parci´ aln´ı derivace v otevˇren´e mnoˇzinˇe G ⊂ E3 , pak skal´ arn´ı funkci ∂V ∂W ∂U div f~(X) = (X) + (X) + (X), ∂x ∂y ∂z
X∈G
naz´yv´ame divergenc´ı vektorov´eho pole f~. Pole f~ se naz´yv´ a solenoid´ aln´ı v G, jestliˇze tok vektorov´eho pole f~ kaˇzdou uzavˇrenou, jednoduchou, po ˇc´ astech hladkou plochou Q ⊂ G je nulov´y. Necht’ a) funkce f~ = (U, V, W ) m´ a spojit´e vˇsechny parci´ aln´ı derivace v oblasti G ⊂ E3 ; b) Q ⊂ G je uzavˇren´ a, jednoduch´ a, po ˇc´ astech hladk´ a plocha orientovan´ a jednotkov´ym vektorem vnˇejˇs´ı norm´ aly; c) int Q ⊂ G. Potom ZZZ ZZ f~ · d~p = + divf~ dx dy dz Q
int Q
´ mka: Pokud je plocha Q orientov´ana z´apornˇe, tj. vektorem vnitˇrn´ı norm´aly, pak Pozna bude na prav´e stranˇe znam´enko m´ınus. Pˇ r´ıklad 674. Jsou d´any skal´arn´ı funkce ϕ(x, y, z) = xy 2 − y 3 z 2 a vektorov´a funkce f~(x, y, z) = (xy 2 , x2 + 2z, 3yz) v E3 . Spoˇc´ıtejte div(gradϕ) a div(rotf~). ˇ sen´ı : grad ϕ = ∇ϕ = ∂ϕ , ∂ϕ , ∂ϕ = (y 2 , 2xy − 3y 2 z 2 , −2y 3 z), Reˇ ∂x ∂y ∂z div(gradϕ) = ∇ · ∇ϕ = ∆ϕ = 0 + 2x − 6yz 2 − 2y 3 , ~i ~k ~i ~k ~j ~j ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ~ ~ rotf = ∇ × f = = = (3z − 2, 0, 2x − 2xy), ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z 2 2 ∂y U V W xy x + 2z 3yz div(rot f~) = ∇ · ∇ × f~ = 0. Pˇ r´ıklad 675.* Urˇcete, kde je vektorov´e pole f~(x, y, z) =
1
2 z 2z + 3y + 5, 2x − − 3, 1 + 2 − 2 x y x y
solenoid´aln´ı. ˇ Reˇsen´ı : Pro definiˇcn´ı obor mus´ı platit x 6= 0 a y 6= 0. Dostaneme oblasti Gi , i = 1, 2, 3, 4 : G1 = {[x, y, z] ∈ E3 : x < 0, y < 0}, G2 = {[x, y, z] ∈ E3 : x < 0, y > 0}, G3 = {[x, y, z] ∈ E3 : x > 0, y < 0}, G4 = {[x, y, z] ∈ E3 : x > 0, y > 0}. 2 1 2 1 V kaˇzd´e z tˇechto oblast´ı je divf~ = − 2 + 2 + 2 − 2 = 0. x y x y ~ K v´ ypoˇctu toku dan´eho pole f libovolnou uzavˇrenou plochou Q leˇz´ıc´ı v kter´ekoliv z tˇechto oblast´ı lze pouˇz´ıt G.O. vˇetu, jej´ıˇz pˇredpoklady jsou splnˇeny. Je tedy
151
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
ZZ
f~ · d~p = Q
ZZZ
divf~ dx dy dz =
int Q
ZZZ
0 dx dy dz = 0.
int Q
Zadan´e vektorov´e pole je solenoid´aln´ı v kaˇzd´e z oblast´ı Gi . (z − y, x, −x) . Urˇcete definiˇcn´ı obor Pˇ r´ıklad 676. Je d´ano vektorov´e pole f~(x, y, z) = 2 x + y2 + z2 G ⊂ E3 funkce f~ a ovˇeˇrte, ˇze divf~ = 0 v G. Pro kter´a z n´asleduj´ıc´ıch kladnˇe ZZ f~ · d~p existuje a kdy lze pouˇz´ıt G.-O. vˇetu? orientovan´ ych ploch Q 2
a) Q1 = {[x, y, z] ∈ E3 ; x + y 2 + z 2 − 4x = 0}; b) Q2 je povrch kv´adru : x = −1, x = 3, y = −2, y = 1, z = −1, z = 1; c) Q3 = {[x, y, z] ∈ E3 ; x2 + y 2 + z 2 − 6y + 5 = 0}. ˇ sen´ı : Definiˇcn´ı obor je E3 \ [0, 0, 0]. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze divf~ = 0 : Reˇ divf~(X) = −
(z − y) · 2x x · 2y x · 2z − 2 + 2 = 0. 2 2 2 2 2 2 2 (x + y + z ) (x + y + z ) (x + y 2 + z 2 )2 z
a) (x2 − 4x + 4) + y 2 + z 2 = 4 =⇒ (x − 2)2 + y 2 + z 2 = 22 , O = [0, 0, 0] ∈ Q1
=⇒
Integr´al neexistuje a nelze pouˇz´ıt G.-O. vˇetu. b)
O
x
z O = [0, 0, 0] 6∈ Q2 ⇒ integr´al existuje, ale O = [0, 0, 0] ∈ int Q2 ⇒
O
integr´al existuje a nelze pouˇz´ıt G.-O. vˇetu. y
x c) x2 + (y − 3)2 + z 2 = 4,
z
O = [0, 0, 0] 6∈ Q3 , O = [0, 0, 0] 6∈ int Q3 .
x
Dan´ y integr´al existuje a lze pouˇz´ıt G.-O vˇetu. ZZ
f~ · d~p = Q3
ZZZ int Q3
div f~ dx dy dz =
ZZZ
O y
0 dx dy dz = 0.
int Q3
• Uˇzit´ım G.-O. vˇety vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole f~ vnˇejˇs´ı stranou uzavˇren´e plochy Q : Pˇ r´ıklad 677. f~ = (3x + y, 2y − z + 5, x + 2y + z), Q je povrch tˇelesa omezen´eho rovinami x = 0, y = 0, z = 0, x + z = 1, y = 2. 152
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
ˇ sen´ı : Reˇ
z
ZZ
1
=
divf~ dx dy dz =
int Q
ZZZ
(3 + 2 + 1) dx dy dz =
int Q
x 1
=6
f~ · d~p = Q
ZZZ
y
2
ZZZ
1 dx dy dz =
int Q
trojbok´eho hranolu
= 6·
ZZZ
1 dx dy dz se rovn´ a objemu vnitˇrku plochy Q, coˇz je objem
int Q
1·1 · 2 = 6. 2
Pˇ r´ıklad 678. f~ = (xy 2 , yz 2 , zx2 ), Q = Q1 ∪ Q2 ∪ Q3 , kde Q1 = {[x, y, z] ∈ E3 ; x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0}; Q2 = {[x, y, z] ∈ E3 ; x2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0}; Q3 = {[x, y, z] ∈ E3 ; 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9, z = 0} ˇ sen´ı : Reˇ ZZZ ZZ ~ f · d~p = divf~ dx dy dz = z Q z int Q Q2 ZZZ y x = (y 2 + z 2 + x2 ) dx dy dz = Q3 ❅ int Q ❅ 3 xy O 1 Q1 ❅
= Z =
1 < x2 + y 2 + z 2 < 9 z>0
= | | Z 3 Z 2π Z π/2 π/2 Z 2π Z 3 2 2 r4 dr = 1 dϕ · cos ϑ dϑ · r · r cos ϑ dr dϕ dϑ = int Q :
0
h
= sin ϑ
0
iπ/2 0
x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ J = r2 cos v
0
1
· 2π ·
h r 5 i3 5
1
1
0
1
1 484 = 1 · 2π · (35 − 1) = π. 5 5
Pˇ r´ıklad 679. Urˇcete tok vektorov´eho pole f~ = (x, y, −z) plochou Q = {[x, y, z] ∈ E3 ; x2 + y 2 + z 2 = 4, x ≥ 0}, orientovanou norm´alov´ ym vektorem o ~ ~n ([2, 0, 0]) = −i. ˇ sen´ı : Reˇ Plocha Q je polovina kulov´e plochy s body z maj´ıc´ımi x-ov´e souˇradnice nez´aporn´e. Takto zadan´a plocha nen´ı uzavˇren´a. Tok touto plochou Q m˚ x Z Zuˇzeme spoˇc´ıtat pomoc´ı ploˇsn´eho integr´alu Q1 f~ · d~p. Chceme-li pouˇz´ıt G.-O. vˇetu, mus´ıme Q
y
pˇridat jeˇstˇe plochu Q1 tak, aby Q∪Q1 byla plocha uzavˇren´a, stejnˇe orientovan´a. Tedy
153
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
ZZ
(⋆)
f~ · d~p =
Q∪Q1
ZZ
f~ · d~p + Q
ZZ
G.-O. f~ · d~p === ± Q1
ZZZ
int (Q∪Q1 )
Q1 : x = 0, y 2 + z 2 ≤ 4 ZZ ZZ ~no = (1, 0, 0) (x, y, −z) · d~p = f~ · d~p = norm´ aly ploch Q, Q Q1 Q1 smˇeˇruj´ı dovnitˇr plochy Q1 ∪ Q1 ZZ ZZ o = (x, y, −z) · ~n dp = (0, y, −z) · (1, 0, 0) dy dz = 0 Q1
divf~ dx dy dz =
y 2 +z 2 ≤4
Vr´at´ıme se k (⋆) a pˇri pouˇzit´ı vˇety G.-O. pamatujeme, ˇze norm´aly smˇeˇruj´ı dovnitˇr plochy Q ∪ Q1 , takˇze pˇred trojn´ ym integr´alem na prav´e stranˇe nap´ıˇseme znam´enko minus. ZZZ ZZ f~ · d~p + 0 = −
Q
(1 + 1 − 1) dx dy dz = − ( 21
objemu koule)
=
int (Q∪Q1 )
1 4 16 = − · π · 23 = − π. 2 3 3 • Je d´ano vektorov´e pole f~ a je d´ana plocha Q. a) Napiˇste Gaussovu-Ostrogradsk´eho vˇetu. Ovˇeˇrte, ˇze jsou splnˇeny pˇredpoklady pro v´ ypoˇcet toku vektorov´eho pole f~ plochou Q. b) Naˇcrtnˇete danou plochu. c) Vypoˇc´ıtejte divf~. ZZ f~ · d~p, tj. tok vektorov´eho pole z u ´lohy a). d) Vypoˇc´ıtejte Q
680. f~ = (x + cos x, y + ez , z + z sin x), Q je dovnitˇr orientovan´ y povrch tˇelesa, kter´e je 2 2 omezen´e plochami o rovnic´ıch z = 4 − x − y , z = 0. z
"
c) divf~ = 3 d) − 24π
#
y
x
681. f~ = (x3 , z 2 , y 2 ), D = {[x, y, z] ∈ E3 : x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3}, plocha Q je povrchem tˇelesa D orientov´ana vnˇe. z
"
c) divf~ = 3x2 d) 36π
#
y
x
682. f~ = (y, x, z 2 ), plocha Q je povrchem tˇelesa D a je orientov´ana vnˇejˇs´ı norm´alou, D = {[x, y, z] ∈ E3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 0}. z
x
154
" y
c) divf~ = 2z d) 8π
#
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
683. f~ = (y 2 , x + z, zx2 ), Q je povrch tˇelesa D, kter´ y je orientovan´ y smˇerem dovnitˇr, D = {[x, y, z] ∈ E3 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4 − x − 2y}. z
"
c) divf~ = x2 d) − 1/4
#
y
x
684. f~ = (x, y, z), D = {[x, y, z] ∈ E3 ; x ≤ 2, y ≤ 2, y ≥ 1/x, 0 ≤ z ≤ x2 + y}, Q je povrch tˇelesa D orientovan´ y smˇerem ven. z
"
y
c) divf~ = 3 d) 135/8
#
x
p 685. f~ = (2x + y 2 , 0, 2x − y 2 ), D = {[x, y, z] ∈ E3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 6 − x2 − y 2 }, Q je povrch tˇelesa D orientovan´ y smˇerem vnˇe. z
"
c) divf~ = 2 d) 64π/3
#
y
x
p 686. f~ = (xy 2 , ze−x , zx2 ), D = {[x, y, z] ∈ E3 ; 3x2 + 3y 2 ≤ z ≤ 3}, plocha Q je dovnitˇr orientovan´ y povrch tˇelesa D. z
"
c) divf~ = x2 + y 2 d) − 27π/10
#
y
x
687. f~ = (z, y 3 , x), Q je povrch tˇelesa D = {[x, y, z] ∈ E3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 4}, kter´ y je orientovan´ y vnˇe. z
"
c) divf~ = 3y 2 d) 16π
#
y
x
688. f~ = (xz 2 , x2 y, yz), Q je vnˇe orientovan´ y povrch tˇelesa, kter´e je omezeno plochami x2 + z 2 = 4, y = 1, y = 3. z
x
155
" y
c) divf~ = x2 + y 2 + z d) 32π
#
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
• Uˇzit´ım G.-O. vˇety vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole f~ po ˇca´stech hladkou uzavˇrenou a orientovanou plochou Q : 689. f~ = (x, y, z), Q je povrch kuˇzele s polomˇerem podstavy a a v´ yˇskou b, orientace vnˇejˇs´ı norm´alou. [πa2 b] 690. f~ = (xy 2 , yz, x2 z), Q je povrch dut´eho v´alce omezen´eho plochami Q1 : x2 +y 2 = 1, Q2 : x2 + y 2 = 4, Q3 : z = 1, Q4 : z = 3, orientace vnˇejˇs´ı norm´alou. [27π] 691. f~ = (x3 , y 3 , z 3 ), Q = Q1 ∪ Q2 Q1 : x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≤ 0, Q2 : z = 0,
h 6 i − π 5
x2 + y 2 ≤ 1 orientace je dovnitˇr plochy.
692. f~ = (x2 , y 2 , z 2 ), Q je povrch krychle 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a, orientace vnˇejˇs´ı norm´alou. [3a4 ] 693. f~ = (x, y, z), Q = {[x, y, z] ∈ E3 ; x2 + y 2 + y 2 = a2 }, orientace vnitˇrn´ı norm´alou.
[−4πa3 ]
694. f~ = (x2 , y 2 , z 2 ), Q je kulov´a plocha se stˇredem v bodˇe [1, −2, 0] a polomˇerem r = 3, orientace vnˇejˇs´ı norm´alou. [−72π] 695. f~ = (y, 2x, −z), Q je povrch tˇelesa omezen´eho plochami Q1 : x2 + y 2 = a2 , Q2 : z = −a, Q3 : z = a (a > 0), orientace je dovnitˇr plochy. [2πa3 ] 696. f~ = (x2 , y 2 , z 2 ), Q je povrch tˇelesa omezen´eho −2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 , x2 + yh2 ≤ 4,i 16 orientace je dovnitˇr plochy. − π 3
697. f~ = (x, y, z), Q je povrch tˇelesa omezen´eho plochami x2 = y 2 + z 2 , x = 3, orientace vnˇejˇs´ı norm´alou. 698. f~ = (x3 , z, y), Q je povrch tˇelesa omezen´eho plochami z = x2 + y 2 , z = 4,
[27π] h 16 i π 3
orientace vnˇejˇs´ı norm´alou.
x2 y 2 z 2 699. f~ = (2xy, −y 2 , 2z), Q = {[x, y, z] ∈ E3 ; + + = 1}, orientace vnˇejˇs´ı 4 4 9 norm´alou. [32π] 700. f~ = (x, y, x2 + y 2 ), Q je povrch tˇelesa omezen´eho plochami x2 + y 2 = b2 , z = 0, z = a, y = 0 (y ≥ 0, a ≥ 0), orientace vnˇejˇs´ı norm´alou. [b2 aπ] 701. f~ = (x, y, z), Q je ˇc´ast v´alcov´e plochy x2 +y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 4 (plocha je otevˇren´a), ~no ([3, 0, 0]) = −~i . V´ ypoˇcet proved’te a) pˇr´ımo pomoc´ı ploˇsn´eho integr´alu; b) uˇzit´ım vˇety G.-O. (Plocha se mus´ı uzavˇr´ıt pomoc´ı Q1 : z = 0, Q2 : z = 4). [−72π] x y , , x2 + z . Ve kter´ ych n´asleduj´ıc´ıch zad´an´ıch plochy Q lze 702. f~ = x2 + y 2 x 2 + y 2 ZZ f~ ·d~p. a) Q : x2 +y 2 +z 2 = 4, pouˇz´ıt vˇetu G.-O.? V kladn´em pˇr´ıpadˇe vypoˇc´ıtejte Q
orientace vnˇejˇs´ı norm´alou; b) Q je povrch kv´adru omezen´eho rovinami x = 0, x = 1, y = 1, y = 3, z = 2, z = 5, orientace vnitˇrn´ı norm´alou. [a)nelze; b) lze; −6]
156
