TUGAS
HIMPUNAN DAN FUNGSI
OLEH
ARNASARI MERDEKAWATI HADI
06320003
EKA REZEKI AMALIA
06320004
DIAH RAHMAWATI
06320027
HANIYAH
06320029
MATKOM II A
JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2007
0
HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan 1. Kelompok pecinta alam Jakarta mendaki Gunung Gede. 2. Kumpulan pria tampan. 3. Penonton sepak bola kelas I membayar Rp 10.000,00 4. Umur suatu gugus bintang dapat dihitung oleh seorang ahli astronomi. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas benda atau obyek apa saja yang termasuk dan yang tidak termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui. Benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. 1. Kumpulan atau Kelompok yang Merupakan Suatu Himpunan Contoh : Kumpulan bilangan prima. Yang merupakan anggota, misalnya : 2,3,5,7,11. Yang bukan anggota, misalnya : 1,4,6,8,9. 2. Kumpulan atau Kelompok yang Bukan Merupakan Suatu Himpunan Contoh : Kelompok orang kaya. Pengertian kaya tidak jelas berapa banyak harta yang harus dimiliki. 3. Lambang Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf kapital. Jika ada dua himpunan atau lebih yang berbeda, maka nama himpunan-himpunan itu juga harus berbeda. Contoh : Himpunan mahasiswa Matkom Kelas 2A yang namanya dimulai dengan huruf H. Misalnya himpunan itu diberi nama X, maka : M = { nama mahasiswa Matkom 2A yang namanya dimulai dengan huruf H}. B. Anggota Suatu Himpunan 1. Pengertian Anggota Himpunan Contoh: P = {huruf-huruf pembentuk kata ”siswa”} Kata siswa terdiri atas 5 huruf, yaitu s,i,s,w,a.
1
Huruf s ada dua buah, tetapi karena anggota yang sama ditulis dalam suatu himpunan hanya ditulis satu kali, sehingga salah jika ditulis P = {s,i,s,w,a} Yang benar adalah P = {s,i,w,a} Untuk menyatakan suatu obyek atau benda yang merupakan anggota suatu himpunan digunakan lambang ∈. Untuk menyatakan bahwa sutau obyek atau benda bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang ∉. 2. Menyatakan Banyak Anggota Suatu Himpunan Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi n(A). Jadi, notasi n(P) artinya banyak anggota pada himpunan P. Contoh: P = {s,i,w,a} Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah. Ditulis: n(P) = 4 C. Menyatakan Suatu Himpunan 1. Menyatakan Suatu Himpunan dengan Kata-Kata Contoh: A adalah himpunan nama bulan dalam setahun yang dimulai dengan huruf J. A = {nama bulan dalam setahun yang dimulai dengan huruf J} Menyatakan himpunan dengan kata-kata sangat bermanfaat untuk himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota-anggotanya ditulis satu demi satu. 2. Menyatakan Suatu Himpunan dengan Notasi Pembentuk Himpunan Contoh: P = {n3 < n < 8, n ∈ B}, dengan B adalah himpunan bilangan bulat. Dibaca : ”P adalah himpunan n, sehingga n lebih dari 3 dan n kurang dari 8, n anggota B”. Atau : ”P adalah himpunan n, sehingga 3 kurang dari n dan n kurang dari 8, n anggota B”. 3. Menyatakan Suatu Himpunan dengan Mendaftar AnggotaAnggotanya Dengan cara ini, anggota-anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan. Contoh: A = {lima bilangan cacah yang pertama} Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya hádala: A = {0,1,2,3,4} atau A = {2,4,3,0,1} Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak dan memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik yang dibaca ”dan seterusnya”. Contoh: A = {bilangan asli}, maka dapat kita tuliskan sebagai:
2
A = {1,2,3,4, . . .} Himpunan A = {1,2,3,4, . . . } memiliki banyak anggota yang tak terbatas, maka himpunan A disebut himpunan tak berhingga. P = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka P = {1,3,5,7,9, . . . ,99} Himpunan P = {1,3,5,7, . . . ,99} memiliki banyak anggota yang terbatas, maka himpunan P disebut himpunan berhingga. D. Himpunan Kosong Contoh: Berapakah banyak anggota himpunan-himpunan berikut? 1. A = {mahasiswa Matkom 2A yang umurnya kurang dari 15 tahun} 2. B = {mahasiswa Matkom 2A yang tingginya lebih dari 2,5 meter} 3. C = {bilangan asli yang kurang dari 2} Jawab: 1. Himpunan A tidak mempunyai anggota, sebab tidak ada mahasiswa Matkom 2A yang umurnya kurang dari 15 tahun. Maka, n(A) = 0 2. Himpunan B tidak mempunyai anggota, sebab tidak ada mahasiswa Matkom 2A yang tingginya lebih dari 2,5 meter. Maka, n(B) = 0 3. C = { 1 }, maka n(C) = 1 Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong ditulis dengan notasi atau symbol { } atau ∅. Perhatikan bahwa { 0 } tidak sama dengan { } atau { 0 } ≠ { }. { 0 } bukan himpunan kosong, sebab mempunyai anggota, yaitu 0. { } tidak mempunyai anggota, maka disebut himpunan kosong. E. Himpunan Bagian A = {a,b,c} B = {a,b,c,d,e} Dari kedua himpunan tersebut, ternyata setiap anggota A, yaitu a,b, dan c menjadi anggota B. Maka dikatakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B. S
B •b
A •a •c
•d •e
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A ⊂ B.
3
F. Himpunan Semesta Contoh: S = {mahasiswa Universitas Muhammadiyah Malang} A = {mahasiswa Matkom 2A} Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan S merupakan semesta pembicara himpunan A. Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunn semesta disebut juga semesta pembicara atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S. G. Diagram Venn Ketentuan di dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut. a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S. b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan notahnya. c. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. d. Dalam menggambar himpunan-himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, pada diagram Venn tidak menggunakan noktah. Contoh: Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini. S = {1,2,3,4,5,6,7,8} P = {1,3,5,7} Q = {6,7,8} Jawab: S
4
P 1
Q •7
3 5
6 8
2
H. Irisan A = {Eka, Diah, Arnas, Hani} B = {Widi, Eka, Arnas} Eka dan Arnas menjadi anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B.
4
{Eka, Arnas} yang anggotanya merupakan anggota persekutuan himpunan A dan B disebut irisan himpunan A dan B, ditulis: A ∩ B = {Eka, Arnas} S A •Diah
B • Eka •Arnas •Widi
•Hani
I. Gabungan A = {Arya, Uli, Rony, Hadi} B = {Rony, Hadi,Wahyu} Dari himpunan A dan B, dapat dibentuk himpunan {Wahyu, Uli, Rony, Hadi}. Himpunan tersebut merupakan himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan dan B. Himpunan itu merupakan gabungan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B. S • AryaA
B•Wahyu • Rony • Hadi
• Uli
Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B. Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B didefinisikan sebagai: A ∪ B = {x x ∈ A atau x ∈ B}.
5
FUNGSI A. Relasi 1. Pengertian Relasi Suatu Toko menjual sabun mandi, sabun cuci, beras, gula, kopi, teh, dan sebagainya. Setiap barang mempunyai harga masing-masing sebagai berikut. 1 sabun mandi = Rp 1.500,00 1 kg sabun cuci = Rp 8.250,00 1 kg beras = Rp 6.000,00 1 bungkus kopi = Rp 4.500,00 1 bungkus teh = Rp 4.500,00 Setiap barang mempunyai hubungan dengan suatu harga. Himpunan barang berelasi (berhubungan) dengan himpunan harga. Sehingga dapat disimpulkan: Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain) dengan anggota himpunan kawan (kodomain). Keterangan di atas, dapat dinyatakan dalam dua himpunan, yaitu : A = Himpunan barang = {sabun mandi, sabun cuci, beras, gula, kopi, teh} B = Himpunan harga = { Rp 1.500,00 , Rp 8.250,00 , Rp 6.000,00 , Rp 4.500,00 , Rp 4.500,00 } Maka dapat digambarkan relasi (hubungan) antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B. A Sabun mandi Sabun cuci Beras Kopi Teh
“dengan harga”
B Rp 1.500,00 Rp 8.250,00 Rp 6.000,00 Rp 4.500,00
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. 2. Menyatakan Relasi Relasi dua himpunan dapat dinyatakan dengan cara-cara berikut ini. a. diagram panah b. himpunan pasangan berurutan c. diagram cartesius
6
a. Diagram Panah Contoh: Himpunan A = {Harnoto, Hadi, Fanny} dan himpunan B = {Irma, Ovy, Putri}, terdapat relasi “pasangan dari” dari himpunan A ke himpunan B. A
“pasangan dari”
B Irma Ovy Nanda Yanti
Harnoto Hadi Fanny Taufik
Anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B ditunjukkan dengan arah panah, sehingga diagramnya disebut diagram panah. b. Himpunan Pasangan Berurutan Contoh : {(Ronny, tennis meja), (Ronny, bulutangkis), (Fitrah, tennis meja), (Fitrah, sepak bola), (Fitrah, bulu tangkis), (Wahyu, sepak bola), (Amri, sepak bola), (Amri, bulutangkis)}. A
“gemar bermain”
B Tennis meja Sepak bola Bulutangkis
Ronny Fitrah Wahyu Amri c. Diagram Cartesius Contoh : Relasi “Faktor dari” dari himpunan A = {2,3,5,6} ke himpunan B = {2,3,4,5,6}. Himpunan Pasangan Berurutannya {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(5,5),(6,6)} B. Fungsi atau Pemetaan 1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan A Maria Lina Yuli Mida Meme
“ukuran sepatu”
B 37 38 39 40 41
7
Diagram panah di atas menunjukkan hubungan ukuran sepatu dari himpunan A ke himpunan B. Setiap anak hanya mempunyai satu ukuran sepatu, karena itu setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Relasi ini dinamakan pemetaan. Suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus, yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Jika a ∈ A, b ∈ B, dan a dipasangkan dengan b maka b disebut bayangan a. Sebagai contoh, Mida → 39, maka 39 adalah bayangan dari Mida. Syarat pemetaan : 1. Ada himpunan asal yaitu himpunan A (domain) atau daerah definisi. 2. Ada himpunan kawan atau kodomain, yaitu himpunan B. 3. Ada himpunan yang merupakan daerah hasil (range) dari fungsi tersebut yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. 4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan. 5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki dua bayangan atau lebih. 2. Menyatakan Fungsi (Pemetaan) a. Diagram Panah Suatu fungsi atau pemetaan yang dinyatakan dengan diagram panah harus mempunyai dua daerah, arah panah, nama fungsi, dan harus memenuhi persyaratan fungsi. Contoh : A
B
A
B
. b. c.
.p .q .r
a
. b. c.
.p .q .r
A
B
A
B
. b. c.
.p .q .r
. b. c.
.p .q .r
a
a
a
(i) dan (iv) masing-masing adalah pemetaan. (ii) bukan pemetaan, karena c dipasangkan dengan dua anggota B yaitu p dan r. (iii) bukan pemetaan, karena b tidak mempunyai pasangan dengan anggotaanggota B.
8
b. Himpunan Pasangan Berurutan Contoh : a. {(1,1),(2,2),(3,3)} b. {(1,1),(2,1),(3,1)} c. {(1,3),(1,5),(1,7)} (a) dan (b) merupakan fungsi. (c) bukan fungsi, karena 1 anggota mempunyai pasangan 3, 5, dan 7 atau mempunyai lebih satu peta. c. Diagram Cartesius Contoh : A = {a,b,c,d} dan B = {1,2,3} Diagram cartesius jika pemetaan f yang ditentukan dengan a → 2, b → 1, c → 2, d → 1.
3. Banyak Fungsi (Pemetaan) dari dua himpunan Contoh : a. Pemetaan dari Q = {a} ke P = {1,2} P
Q
.
.1 .2
a
P
Q
.
.1 .2
a
n (Q) = 1 dan n (P) = 2 Banyak fungsi yang mungkin dari Q ke P ada 2. b. Pemetaan dari P = {1,2,3} ke Q = {4,5} n (P) = 3 dan n (q) = 2 Banyak fungsi yang mungkin dari P ke Q ada 8.
9
C. Korespondensi Satu-Satu (Perkawanan Satu-Satu) 1. Pengertian Korespondensi Satu-Satu Perkawanan satu-satu adalah fungsi khusus, yaitu fungsi yang memenuhi persyaratan sebagai berikut : a. Ada sifat fungsi (ada domain, kodomain, range, dan kodomain = range) b. Setiap anggota daerah asal dipetakan dengan tepat ke satu daerah hasil, dan setiap daerah hasil dipetakan dengan tepat ke daerah asal. Contoh : Jika untuk melihat suatu pertandingan sepak bola setiap pengunjung harus membeli karcis, maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan penonton dengan himpunan karcis mereka. Dua himpunan P dan Q dikatakan dalam keadaan korespondensi satu-satu jika anggota-anggota P dan Q dapat dipasangkan sedemikian hingga setiap anggota P berpasangan dengan satu anggota Q, dan setiap anggota Q berpasangan dengan satu anggota P. 2. Banyaknya Korespondensi Satu-Satu Contoh: Bila P = {a,b} dan Q = {2,4} P
Q
. b.
.2 .4
a
P
Q
. b.
.2 .4
a
Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah 2. D. Notasi dan Rumus Fungsi 1. Notasi Fungsi Jika setiap x anggota A dan y anggota B, maka ditulis : f : x → y (baca : f memetakan x terhadap y) atau f : x → ax + b (baca : f memetakan x terhadap ax + b) Contoh : Tunjukkan fungsi f : x → 3x, dengan x elemen himpunan bilangan asli, dengan : a. diagram panah b. himpunan pasangan berurutan c. diagram cartesius
10
d. daerah hasil (range) Jawab A daerah asal = {1,2,3,…} x adalah peubah dari himpunan {1,2,3,…} a.
A
B
. 2. 3. c. c. c.
.3 .6 .9 . . .
1
f = x → 3x f=1→3.1=3 f=2→3.2=6 dan seterusnya
b. {(1,3),(2,6),(3,9),…} c. Grafik
d. Daerah hasil atau range adalah {3,6,9,…} 2. Rumus Fungsi Fungsi f : x → ax + b dapat ditulis dengan rumus : f(x) = ax + b Contoh : Fungsi h didefinisikan : f(x) = 2x + 3, dengan x ∈ R. Tentukan : a. Bayangan 3 oleh h b. Nilai f oleh fungsi itu untuk x = -4 c. Bilangan p, sehingga f(p) = -1
11
Jawab Karena untuk setiap x ∈ R terdapat f(x) = 2x + 3, maka: a. f (3) = 2 (3) + 3 =6+3 =9 b. f (-4) = 2 (-4) + 3 = -8 + 3 = -5 c. f (p) = 2p + 3, f(p) = -1, maka: -1 = 2p + 3 atau 2p + 3 = -1 2p = -1 – 3 2p = -4 −4 p = = -2 2 3. Variabel tak bergantung dan Variabel bergantung Persamaan grafik fungsi y = f(x) = ax + b, bahwa setiap nilai variabel x akan menghasilkan nilai f(x) atau y, sehingga nilai x berubah, maka nilai y juga akan berubah nilainya. Jadi, nilai fungsi f(x) akan bergantung kepada nilai y. Nilai x disebut variabel tak bergantung dan y atau f(x) disebut variabel bergantung. Misal suatu fungsi f ditentukan oleh rumus f(x) = 2x + 3 atau dapat ditulis y = 2x + 3. Nilai fungsi f untuk x ∈ {0,1,2} dapat ditentukan sebagai berikut: f(0) = 2 (0) + 3 =3 f(1) = 2 (1) + 3 =5 f(2) = 2 (2) + 3 =7 Jadi nilai fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 2x + 3 di x = 0 adalah y = 3 x = 1 adalah y = 5 x = 2 adalah y = 7 Nilai variabel y bergantung pad variabel x sehingga varibel y dinamakan variabel bergantung, sedangkan variabel x dinamakan variabel tak bergantung. 4. Grafik Fungsi Langkah-langkah dalam membuat grafik dari suatu fungsi adalah sebagai berikut: a. Menentukan pasangan berurutan (x,y) dengan x anggota daerah asal (domain) dan bayangan dari x dengan menggunakan tabel nilai fungsi. b. Membut sumbu x mendatar (horizontal) dan sumbu y tegak (vertikal) yang saling berpotongan dengan langkah-langkah: Anggota domain berada pada sumbu x horizontal Anggota kodomain berada pada sumbu y vertikal c. Menentukan pasangan berurutan (x,y) pada bidang koordinat yang digambar dengan noktah.
12
d. Membuat kurva melalui noktah-noktah yang telah dibuat jika fungsi itu pada himpunan bilangan positif dan nol. Bila a > 0 kurva terbuka ke atas, dan a < 0 kurva terbuka ke bawah. Contoh: Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 8 dengan daerah asal {x | -3 ≤ x ≤ 5 x ∈ R}. Tentukan: a. daerah hasil b. pembuat nol fungsi c. nilai minimum/maksimal d. koordinat titik balik minimum/maksimum e. persamaan sumbu simetri Jawab: x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 2 -x -9 -4 -1 -1 -4 -9 -16 -25 2x -6 -4 -2 2 4 6 8 10 8 8 8 8 8 8 8 8 8 f(x) -7 0 8 9 8 5 0 -7 a. daerah hasil {x | -7 ≤ y ≤ 9, y ∈ R} b. pembuat nol fungsi x = -2 atau x = 4 c. nilai maksimum f = 9 d. koordinat titik blik maksimum (1,9) e. persamaan sumbu simetri x =1
Catatan: 1. Jika f(x) = ax2 + bx + c, dengan a > 0 (positif), maka: Grafik akan terbuka ke atas (menghadap ke atas) Mempunyai koordinat titik balik minimum Mempunyai nilai ekstrem minimum 2. Jika f(x) = ax2 + bx + c, dengan a < 0 (negatif), maka: Grafik akan terbuka ke bawah (menghadap ke bawah) Mempunyai koordinat titik balik maksimum Mempunyai nilai ekstrem maksimum
13
E. Menghitung Nilai Fungsi Misal suatu fungsi f : x → y dapat dinyatakan dalam bentuk rumus fungsi, yaitu f(x) = y. Berdasarkan rumus fungsi, maka dapat ditentukan nilai fungsi tersebut untuk setiap nilai x yang diberikan. Caranya dengan mensubstitusikan nilai x pada rumus fungsi tersebut. Contoh: Diberikan f : x → 2x – 2 untuk x = {0,1,2,3}. Tentukan nilai fungsinya? Jawab: f : x 2x – 2 dapat ditulis dengan rumus f(x) = 2x – 2 atau y = 2x – 2. Untuk x = 0, f (0) = 2.0 – 2 = -2 Untuk x = 1, f (1) = 2.1 – 2 = 2 – 2 = 0 Untuk x = 2, f (2) = 2.2 – 2 = 4 – 2 = 2 Untuk x = 3, f (3) = 2.3 – 2 = 6 – 2 = 4 F. Menyusun Tabel Fungsi Contoh: f(x) = 3x, tentukan pasangan berurutan untuk x ∈ {-2,-1,0,1,2,3} dengan menggunakan tabel. Jawab: x -2 -1 0 1 2 3 3x -6 -3 0 3 6 9 (x,y) (-2,-6) (-1,-3) (0,0) (1,3) (2,6) (3,9) G. Menentukan Bentuk Fungsi Contoh: Fungsi f pada R ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b dengan a dan b bilangan bulat dan diketahui (3) = 7 dan f(1) = 1 a. tentukan bentuk fungsi f b. hitunglah f (-6) Jawab: a. f(x) = ax + b 4a + b =7 f(3) = 7 f(1) = 1 a+b =1 3a
=6 6 a = 3 a =2 Substitusikan a = 2 ke persamaan a + b = 1, diperoleh 2 + b = 1 b = 1-2 b = -1 Rumus fungsi f(x) = 2x – 1 b. f(x) = 2x – 1, maka f(-6) = 2(-6) – 1 f(-6) = -12 − 1 = -13
14
DAFTAR PUSTAKA
Tim Penyusun. 2006. Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VIII. Malang : Dinas Pendidikan Kota Malang. Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2001. Matematika Diskrit. Jakarta : Salemba Teknika.
15
