Tugas Besar 1 Mata Kuliah Robotika Forward dan Inverse Kinematics Robot Puma 560, Standford Manipulator, dan Cincinnati Milacron
Oleh : DWIKY HERLAMBANG.P / 2212105022
1. Forward Kinematics Koordinat posisi dan orientasi dari end effector atau tool merupakan hal yang penting dalam pergerakan manipulator. Orientasi menyatakan rotasi end effector terhadap base frame sedangkan koordinat posisi menyatakan letak end effector (x,y,z) terhadap base frame. Ciri khas dari penyelesaian menggunakan persamaan forward kinematics adalah hanya mempunyai satu solusi penyelesaian yang menyatakan hubungan antara joint terkait atau endefector terhadap base frame sehingga dapat diketahui koordinat posisi dan orientasi dari end effector.
[
]
[
]........................(1)
Forward kinematic dinyatakan dalam matriks transformasi homogen seperti pada persaaman 1, dimana
merupakan matriks rotasi dan
merupakan matriks posisi yang
menyatakan pergerakan end effector terhadap base frame Langkah untuk mencari forward kinematic pertama kali adalah mencari terlebih dahulu parameter dari tiap joint dengan aturan Denavit Hartenberg (DH). Parameter joint ini kemudian dibentuk menjadi matriks transformasi homogen tiap joint seperti pada persamaan (2), untuk selanjutnya dibentuk menjadi matriks transformasi seperti pada persamaan (3) yang menyatakan hubungan antar joint. Ai = Rotz,θi • Transz,di • Transx,ai • Rotx,αi [
[
][
][
][
]
] ......................................................................(2)
.....................................................(3)
Dari matriks T yang didapat maka dapat diketahui posisinya dengan melihat struktur pembentuk matrik seperti pada persamaan (1).
1.1 Persamaan Forward Kinematics Robot Puma 560 Manipulator merupakan salah satu jenis robot yang terdiri dari lengan semu, dimana aplikasinya banyak diterapkan pada skala industri terutama di industri manufaktur. Puma 560 seperti pada Gambar 1, merupakan salah satu jenis robot manipulator yang mempunyai 6 joint atau derajat kebebasan (6DOF) dengan konfigurasi semua jointnya adalah revolute atau sendi putar.
Gambar 1. Robot Puma 560
Seperti yang dijelaskan diatas bahwa untuk mencari persamaan forward kinematics maka yang harus dilakukan terlebih dahulu adalah mencari parameter joint Puma 560 dengan aturan DH sebagai berikut : a. Tahap 1 Menentukan dan memberikan label pada sumbu Z0 sampai Zn-1 seperti pada Gambar 2, dimana n adalah jumlah joint robot yaitu 6 sehingga sumbu yang ditentukan dari Z0 sampai Z5.
Gambar 2. Penentuan sumbu Z pada Puma 560
b. Tahap 2 Menetapkan base frame dan menentukan titik origin (O0) dimana saja sepanjang sumbu Z0, selanjutnya melengkapi sumbu X0 dan Y0 sesuai kaidah tangan kanan seperi pada
Gambar 3. Base frame ini nantinya digunakan sebagai acuan posisi dan orientasi dari end-effector.
Gambar 3. Penentuan base frame Puma 560
c. Tahap 3 Menentukan titik
Oi (untuk i=1 sampai i = n-1), dengan aturan jika sumbu Zi
memotong sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada perpotongannya dan jika sumbu Zi sejajar dengan sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada joint i+1. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Penentuan titik Oi Puma 560 d. Tahap 4 Menentukan dan memberi label sumbu Xi (untuk i=1 sampai i = n-1), sepanjang common normal antara Zi-1 dan Zi melalui Oi, atau pada arah normal ke bidang Zi-1 - Zi jika Zi-1 dan Zi berpotongan. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Penentuan sumbu Xi Puma 560 e. Tahap 5 Melengkapi sumbu Yi (untuk i=1 sampai i=n-1), dengan aturan kaidah tangan kanan seperti pada Gambar 6.
Gambar 6. Penentuan sumbu Yi Puma 560 f. Tahap 6 Menentukan frame end-effector OnXnYnZn, dengan mengasumsikan bahwa joint ke n adalah revolute yaitu joint 6 dan arah sumbu Zn yaitu Z6 mengikuti sumbu Z terakhir (Z5), selanjutnya melengkapi titik origin O6 dan X6 ,Y6 dengan menggunakan kaidah tangan kanan seperti ditunjukkan pada Gambar 7
Gambar 7. Penentuan end effector Puma 560
g. Tahap 7 Menentukan dan membuat tabel parameter DH seperti ditunjukkan pada Tabel 1. Parameter yang dicari, yaitu : 1. ai merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari titik Oi. 2. di merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari Oi-1 , jika joint ke-i adalah prismatik maka di bernilai variabel. 3. αi merupakan sudut yang terbentuk antara Zi-1 dan Zi dengan acuan sumbu Xi. 4. өi merupakan sudut antara Xi-1 dan Xi dengan acuan Zi-1 jika joint ke-i adalah revolute maka өi bernilai variabel.
Tabel 1.
Joint i
ai
di
αi
θi
Rentang sudut θi
1
0m
0m
-90o
θ1 *
-160o sampai +160 o
2
0.4138 m
0.14909 m
0o
θ2 *
-225o sampai +45 o
3
-0.232 m
0m
90o
θ3 *
-45o sampai +225 o
4
0m
0.43307 m
-90o
θ4 *
-110o sampai +170 o
5
0m
0m
90o
θ5 *
-100o sampai +100 o
6
0m
0.5625 m
0o
θ6 *
-266o sampai +266 o
DH
Paramater Robot Puma 560
h. Tahap 8 Membentuk matriks transformasi homogen untuk setiap joint dengan memasukkan parameter pada Tabel 1 kedalam persamaan 2, misal diasumsikan θ1=90o ,θ2=0o ,θ3= 90o ,θ4=0o ,θ5 =90o ,θ6=0o sehingga didapat hasil sebagai berikut :
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
[
]
[
[
]
]
]
[
]
i. Tahap 9 Membentuk matrik transformasi homogen yang menyatakan hubungan antar joint seperti pada persamaan 3. Mengingat Puma 560 mempunyai 6 joint, sehingga akan diperoleh bentuk matriks T yaitu
[
[
[
=
] [
sebagai berikut :
] [
] [
] [
]
]
]
Dari hasil matriks T yang terbentuk dapat diketahui bahwa dengan memberikan nilai sudut θ1=90o ,θ2=0o ,θ3= 90o ,θ4=0o ,θ5 =90o ,θ6=0o maka akan didapat posisi dari end effector, yaitupada posisi x = -0.14991 m, y = -0.1531 m , z = -0.3305 m, dimana tanda negatif menunjukkan posisi end effector berada berkebalikan dengan arah sumbu base frame.
1.2 Persamaan Forward Kinematics Stanford Manipulator Stanford manipulator seperti pada Gambar 8, merupakan salah satu jenis robot manipulator yang mempunyai 6 joint atau derajat kebebasan (6DOF) dengan konfigurasi 5 joint revolute dan 1 joint prismatik yang terletak pada joint 3 seperti ditunjukkan pada Gambar 9.
Gambar 8. Stanford manipulator
Gambar 9. Konfigurasi joint stanford manipulator
Hal yang pertama kali harus dilakukan untuk mencari persamaan forward kinematics dari stanford manipulator yaitu mencari parameter joint dengan aturan DH seperti pada poin 1.1 diatas. Tahapan yang dilakukan adalah sebagai berikut : a. Tahap 1 Menentukan dan memberikan label pada sumbu Z0 sampai Zn-1 seperti pada Gambar 10, dimana n adalah jumlah joint robot yaitu 6 sehingga sumbu yang ditentukan dari Z0 sampai Z5
Gambar 10. Penentuan sumbu Z pada stanford manipulator
b. Tahap 2 Menetapkan base frame dan menentukan titik origin (O0) dimana saja sepanjang sumbu Z0, selanjutnya melengkapi sumbu X0 dan Y0 sesuai kaidah tangan kanan seperi pada Gambar 11. Base frame ini nantinya digunakan sebagai acuan posisi dan orientasi dari end-effector.
Gambar 11. Penentuan base frame stanford manipulator
c. Tahap 3 Menentukan titik
Oi (untuk i=1 sampai i = n-1), dengan aturan jika sumbu Zi
memotong sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada perpotongannya dan jika sumbu
Zi sejajar dengan sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada joint i+1. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 12.
Gambar 12. Penentuan titik Oi stanford manipulator d. Tahap 4 Menentukan dan memberi label sumbu Xi (untuk i=1 sampai i = n-1), sepanjang common normal antara Zi-1 dan Zi melalui Oi, atau pada arah normal ke bidang Zi-1 - Zi jika Zi-1 dan Zi berpotongan. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 13.
Gambar 13. Penentuan sumbu Xi stanford manipulator e. Tahap 5 Melengkapi sumbu Yi (untuk i=1 sampai i=n-1), dengan aturan kaidah tangan kanan seperti pada Gambar 14.
Gambar 14. Penentuan sumbu Yi stanford manipulator f. Tahap 6 Menentukan frame end-effector OnXnYnZn, dengan mengasumsikan bahwa joint ke n adalah revolute yaitu joint 6 dan arah sumbu Zn yaitu Z6 mengikuti sumbu Z terakhir (Z5), selanjutnya melengkapi titik origin O6 dan X6 ,Y6 dengan menggunakan kaidah tangan kanan seperti ditunjukkan pada Gambar 15
Gambar 15. Penentuan end effector stanford manipulator
g. T
Joint i
ai
di
αi
θi
Rentang di
Rentang sudut θi
1
0m
0m
-90o
θ1 *
-
-160o sampai +160 o
2
0m
0.154 m
90o
θ2 *
-
-225o sampai +45 o
3
0m
d3* m
0o
0
0.1 – 0.5 m
4
0m
0m
-90o
θ4 *
-
-110o sampai +170 o
5
0m
0m
90o
θ5 *
-
-100o sampai +100 o
6
0m
0.263 m
0o
θ6 *
-
-266o sampai +266 o
a h a p 7 M e
-
nentukan dan membuat tabel parameter DH seperti ditunjukkan pada Tabel 2. Parameter yang dicari, yaitu : 1. ai merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari titik Oi. 2. di merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari Oi-1 , jika joint ke-i adalah prismatik maka di bernilai variabel. 3. αi merupakan sudut yang terbentuk antara Zi-1 dan Zi dengan acuan sumbu Xi. 4. өi merupakan sudut antara Xi-1 dan Xi dengan acuan Zi-1 jika joint ke-i adalah revolute maka өi bernilai variabel.
Tabel 2. DH Paramater Robot Stanford Manipulator
h. Tahap 8 Membentuk matriks transformasi homogen untuk setiap joint dengan memasukkan parameter pada Tabel 2 kedalam persamaan 2, misal diasumsikan θ1=90o ,θ2=0o ,θ4=90o ,θ5 =0o ,θ6=90o dan d3 = 0.3 m, maka akan didapat hasil sebagai berikut :
[
[
]
[
]
]
[
]
[
]
[
[
]
]
[
]
[
[
]
[
]
]
[
]
i. Tahap 9 Membentuk matrik transformasi homogen yang menyatakan hubungan antar joint seperti pada persamaan 3. Mengingat stanford manipulator mempunyai 6 joint, maka akan diperoleh bentuk matriks T yaitu
=
sebagai
berikut : [
] [
] [
[
] [
]
[
] [
]
]
Dari hasil matriks T yang terbentuk dapat diketahui bahwa dengan memberikan nilai sudut θ1=90o ,θ2=0o ,θ4=-90o ,θ5 =0o ,θ6=90o dan mengasumsikan nilai d3 = 0.3 m maka akan didapat posisi dari end effector, yaitu pada posisi x = 0 m, y = 0.7170 m , z = 0.5630 m, terhadap base frame.
1.3 Persamaan Forward Kinematics Cincinnati Milacron T3 Berbagai jenis manipulator banyak digunakan di industri yang bertujuan untuk mempermudah maupun menjaga kualitas dari suatu pekerjaan , salah satunya yaitu Cincinnati Milacron T3 seperti pada Gambar 16, manipulator ini mempunyai 6 joint atau derajat
kebebasan (6DOF) dengan konfigurasi semua joint adalah revolute seperti pada robot Puma 560.
Gambar 16. Cincinnati Milacron T3
Hal yang pertama kali harus dilakukan untuk mencari persamaan forward kinematics dari manipulator ini yaitu mencari parameter joint dengan aturan DH seperti pada poin 1.1 dan 1.2 diatas. Tahapan yang dilakukan adalah sebagai berikut :
a. Tahap 1 Menentukan dan memberikan label pada sumbu Z0 sampai Zn-1 seperti pada Gambar 17, dimana n adalah jumlah joint robot yaitu 6 sehingga sumbu yang ditentukan dari Z0 sampai Z5
Gambar 17. Penentuan sumbu Z pada Cincinnati Milacron T3
b. Tahap 2 Menetapkan base frame dan menentukan titik origin (O0) dimana saja sepanjang sumbu Z0, selanjutnya melengkapi sumbu X0 dan Y0 sesuai kaidah tangan kanan seperi pada Gambar 18. Base frame ini nantinya digunakan sebagai acuan posisi dan orientasi dari end-effector.
Gambar 19. Penentuan base frame Cincinnati Milacron T3
c. Tahap 3 Menentukan titik
Oi (untuk i=1 sampai i = n-1), dengan aturan jika sumbu Zi
memotong sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada perpotongannya dan jika sumbu Zi sejajar dengan sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada joint i+1. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 20.
Gambar 20. Penentuan titik Oi Cincinnati Milacron T3 d. Tahap 4 Menentukan dan memberi label sumbu Xi (untuk i=1 sampai i = n-1), sepanjang common normal antara Zi-1 dan Zi melalui Oi, atau pada arah normal ke bidang Zi-1 - Zi jika Zi-1 dan Zi berpotongan. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 21.
Gambar 21. Penentuan sumbu Xi Cincinnati Milacron T3
Gambar 22. Penentuan sumbu Yi Cincinnati Milacron T3 e. Tahap 5 Melengkapi sumbu Yi (untuk i=1 sampai i=n-1), dengan aturan kaidah tangan kanan seperti pada Gambar 22.
f. Tahap 6 Menentukan frame end-effector OnXnYnZn, dengan mengasumsikan bahwa joint ke n adalah revolute yaitu joint 6 dan arah sumbu Zn yaitu Z6 mengikuti sumbu Z terakhir (Z5), selanjutnya melengkapi titik origin O6 dan X6 ,Y6 dengan menggunakan kaidah tangan kanan seperti ditunjukkan pada Gambar 23
Joint i
ai
di
αi
θi
Rentang sudut θi
1
0m
1.5 m
90o
θ1 *
-120o sampai +120 o
2
1.067 m
0m
0o
θ2 *
0o sampai +90 o
3
1.067 m
0m
0o
θ3 *
-150o sampai 0 o
4
0.205 m
0m
-90o
θ4 *
-90o sampai +90 o
5
0.369 m
0m
0o
θ5 *
-90o sampai +90 o
6
0m
0m
0o
θ6 *
-135o sampai +135 o
Gambar 23. Penentuan end effector stanford manipulator
g. Tahap 7 Menentukan dan membuat tabel parameter DH seperti ditunjukkan pada Tabel 3. Parameter yang dicari, yaitu : 1. ai merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari titik Oi. 2. di merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari Oi-1 , jika joint ke-i adalah prismatik maka di bernilai variabel. 3. αi merupakan sudut yang terbentuk antara Zi-1 dan Zi dengan acuan sumbu Xi. 4. өi merupakan sudut antara Xi-1 dan Xi dengan acuan Zi-1 jika joint ke-i adalah revolute maka өi bernilai variabel. Tabel 3. DH Paramater Robot Cincinnati Milacron
h. Tahap 8 Membentuk matriks transformasi homogen untuk setiap joint dengan memasukkan parameter pada Tabel 2 kedalam persamaan 2, misal diasumsikan θ1=90o ,θ2=0o , θ3=0o θ4=90o ,θ5 =0o ,θ6=90o, maka akan didapat hasil sebagai berikut :
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
[
]
[
[
]
[
]
]
]
i. Tahap 9 Membentuk matrik transformasi homogen yang menyatakan hubungan antar joint seperti pada persamaan 3. Mengingat stanford manipulator mempunyai 6 joint, maka akan diperoleh bentuk matriks T yaitu
=
sebagai
berikut : [
[
[
] [
] [
] [
] [
]
]
]
Dari hasil matriks T yang terbentuk dapat diketahui bahwa dengan memberikan nilai sudut θ1=90o ,θ2=0o , θ3=0o θ4=90o ,θ5 =0o ,θ6=90o maka akan didapat posisi dari end effector, yaitu pada posisi x = 0 m, y = 2.1340 m , z = 1.3360 m, terhadap base frame.
2. Inverse Kinematics
Inverse kinematics digunakan untuk mencari kombinasi sudut yang harus diberikan pada manipulator agar end effector bergerak menuju koordinat posisi yang ditentukan. Hal ini berbeda dengan konsep forward kinematics, dimana sudut dari tiap joint sudah ditentukan untuk mencari koordinat posisi dari end effector, perbedaan antara keduanya dapat dilihat pada Tabel 4. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan inverse kinematics, salah satunya adalah dengan metode aljabar. Ciri khas dari penyelesaian menggunakan persamaan inverse kinematics adalah mempunyai lebih dari satu solusi penyelesaian, karena dimungkinkan memiliki lebih dari satu kombinasi sudut tiap joint untuk mendapatkan koordinat posisi dari end effector.
Tabel 4. Perbedaan inverse dan forward kinematic Inverse Kinematics θ=
Forward Kinematics
(x)
x=
dimana : θ = variabel joint x = posisi dan orientasi end effector
2.1 Persamaan Inverse Kinematics Robot Puma 560 2.2 Persamaan Inverse Kinematics Standford Manipulator 2.3 Persamaan Inverse Kinematics Cincinnati Milacron 3. Simulasi Forward Kinematics 3.1 Simulasi Forward Kinematics Robot Puma 560 3.2 Simulasi Forward Kinematics Stanford Manipulator 3.3 Simulasi Forward Kinematics Cincinnati Milacron T3
4. Simulasi Inverse Kinematics 4.1 Simulasi Forward Kinematics Robot Puma 560 4.2 Simulasi Forward Kinematics Stanford Manipulator 4.3 Simulasi Forward Kinematics Cincinnati Milacron T3
