Trivium z optiky
7
1. Vlnění V této kapitole shrnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v prostoru. Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících, věnujte proto vyložené látce náležitou pozornost a podle potřeby se k uvedeným pojmům vracejte i během dalšího studia.
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
Vlnění na přímce. Polarizace příčného vlnění. Monochromatická vlna Jednorozměrná vlnová rovnice. Skládání vlnění. Disperze. Trojrozměrná vlnová rovnice. Nejdůležitější typy prostorových vln. 1.8.1 Rovinné vlny. 1.8.2 Kulové vlny.
1.9 Huygensův princip. Vlnění je vnější projev korelovaných kmitů velkého množství vázaných oscilátorů. Často se jedná pouze o oscilátory myšlené (modelové) a občas jich bývá i nekonečně mnoho. Nejdůležitější příklady vlnění jsou: 1 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
zvuk, vlny v elastickém kontinuu, světlo (a elektromagnetické vlny obecně), seismické vlny, povrchové vlny na hladině kapaliny.
V první části této kapitoly (odstavce 1.1 - 1.6) se nejdříve v zájmu jednoduchosti výkladu zabýváme vlněním vázaným na přímku. Mnoho věcí je ovšem možno bezprostředně zobecnit i na případ vlnění v prostoru, kterému věnujeme odstavce 1.7 - 1.9.
1.1 Vlnění na přímce Vlnění na přímce popisujeme matematicky prostřednictvím skalární či vektorové funkce,
u( x , t ) resp. u ( x , t ) , závisející na dvou parametrech - poloze bodu na vlnící se přímce a na čase. Tuto funkci obvykle nazýváme funkcí vlnovou. Fyzikální význam vlnové funkce je pro různá vlnění různý: ¾ zvuk - tlak (hustota), ¾ vlny v elastickém kontinuu - výchylka elementu kontinua z rovnovážné polohy, ¾ světlo (a elektromagnetické vlny obecně) - elektrická či magnetická intenzita (indukce) nebo vektorový a skalární potenciál, ¾ seismické vlny - výchylka elementu zemského sféroidu z rovnovážné polohy, ¾ povrchové vlny na hladině kapaliny - výchylka elementu kapaliny z rovnovážné polohy. Rozlišujeme dva základní typy vlnění popsaných vektorovou vlnovou funkcí:
1
Připojit bychom mohli též i poměrně exotický příklad vln gravitačních.
8
Vlnění
¾ příčné - vektor u ( x , t ) je pro každé t a x kolmý k ose x (tj. ke směru šíření vlnění), ¾ podélné - vektor u ( x , t ) leží pro každé t a x v ose x (je tedy rovnoběžný se směrem šíření vlnění). Často se však setkáváme i s vlněními, která mají nenulovou příčnou i podélnou složku.2
1.2 Polarizace příčného vlnění Pod polarizací příčného vlnění v zadaném bodě osy x rozumíme chování vektorové vlnové funkce u ( x , t ) v tomto bodě v závislosti na čase. Určujeme ji podle charakteru pohybu koncového bodu vektoru u v rovině kolmé k ose x (směru šíření vlnění) vedené zadaným bodem. Rozlišujeme tyto základní typy polarizace: ¾ lineární - koncový bod vektoru u vykonává kmity podél nějaké přímky kolmé k ose x, ¾ kruhová - vektor u nemění svou velikost, jeho koncový bod se pohybuje (rovnoměrně) po kružnici, ¾ eliptická - koncový bod vektoru u se pohybuje po elipse. Podle směru otáčení vektoru u rozlišujeme pravotočivou a levotočivou kruhovou a eliptickou polarizaci. V pravotočivě polarizované vlně se vektor u otáčí při pohledu ve směru šíření vlnění souhlasně s pohybem hodinových ručiček, v levotočivé vlně ve směru opačném. Pokud vektor u mění svůj směr v rovině kolmé k ose x náhodně, hovoříme o nepolarizovaném vlnění. 3 Libovolně polarizované příčné vlnění můžeme vždy v zadaném bodě rozložit do dvou navzájem kolmých směrů. To matematicky odpovídá volbě vhodné ortonormální báze e1 a e2 v rovině kolmé ke směru šíření vlnění a rozkladu vlnové funkce u ( x , t ) do ní u ( x , t ) = u1( x , t ) e1 + u 2 ( x , t ) e2 .
1.3 Monochromatická vlna Monochromatická vlna 4 je charakterizována speciální závislostí vlnové funkce na prostorové
a časové proměnné:
u( x , t ) = u 0 cos ( kx − ωt + ϕ ) ,
nebo pro vektorovou vlnovou funkci
u ( x , t ) = u 0 x cos ( kx − ωt + ϕx ) , u 0 y cos ( kx − ωt + ϕ y ) , u 0z cos ( kx − ωt + ϕz ) , kde u 0 ( u 0 ) je kladná konstanta (konstantní vektor) a k , ω a ϕ ( ϕx , ϕ y , ϕz ) jsou konstantní parametry ( ω navíc kladný). Znaménko parametru k rozhoduje o směru šíření vlnění – pro k > 0 se vlna šíří zleva doprava a pro k < 0 ve směru opačném. Pro jednotlivé parametry používáme obvykle následující označení: ¾ u 0 - amplituda ( u 0 - vektorová amplituda), Např. vlnění v elastickém kontinuu či cirkulární vlnění na vodní hladině. Velmi důležitým příkladem nepolarizovaného vlnění je světlo pocházející z přírodních zdrojů (Slunce, hvězdy ap.). 4 Světlo o zadané frekvenci (vlnové délce) má přesně definovanou barvu. Je tedy jednobarevné neboli monochromatické. Proto i obecné vlny s přesně zadanou frekvencí (vlnovou délkou) nazýváme monochromatickými. 2 3
Trivium z optiky
9
¾ k - vlnové číslo ("vlnový vektor"), ¾ ω - kruhová frekvence, ¾ ϕ - fázové posunutí. Kromě těchto parametrů používáme k popisu monochromatické vlny též: ¾ vlnovou délku λ = 2 π /|k |, ¾ frekvenci f = ω / 2 π , ¾ periodu T = 1/ f = 2 π / ω .
Další, často používaná vyjádření monochromatické vlny jsou (pro jednoduchost je uvádíme jen pro skalární vlnovou funkci) u ( x , t ) = u 0 sin ( kx − ωt + ϕ ) , u( x , t ) = C e i ( kx −ωt ) .
V posledním vztahu je C obecně komplexní číslo a v jeho fázi je zahrnuto i fázové posunutí ϕ. Předpokládá se ovšem, že po provedení výpočtů přejdeme nakonec k reálné či imaginární části výrazu.
1.4 Jednorozměrná vlnová rovnice Vlnová funkce odpovídající obecnému vlnění na přímce splňuje tzv. jednorozměrnou vlnovou rovnici 5 (uvádíme pro jednoduchost jen pro skalární vlnovou funkci) ∂ 2u 1 ∂ 2u − =0, ∂x 2 v f 2 ∂t 2 kde v f je kladný parametr charakterizující prostředí, v němž se vlnění šíří. Nazývá se obvykle fázová rychlost vlnění. Monochromatická vlnová funkce splňuje vlnovou rovnici za předpokladu
v f = ω /| k |. Úhlová frekvence a vlnové číslo monochromatické vlny nejsou tedy nezávislé parametry. Jejich vzájemný vztah určuje prostředí 6, v němž se vlna šíří.
S vlnovou rovnicí (zejména s její trojrozměrnou verzí, kterou probíráme dále) se setkáváme v mnoha oborech fyziky. Všude, kde se vyskytuje vlnění, je možno pohybové rovnice (např. pohybové rovnice pro tekutiny, elastická kontinua nebo Maxwellovy rovnice pro elektromagnetické pole) převést po jistých úpravách na rovnici vlnovou. 6 Zde jednorozměrné, platí ale též pro trojrozměrný případ. 5
10
Vlnění
1.5 Skládání vlnění Vlnová rovnice je lineární. To znamená, že jsou-li u1( x , t ) a u 2 ( x , t ) dvě její řešení, je jejím řešením i jejich libovolná lineární kombinace 7. Speciálně je řešením této rovnice i součet u ( x , t ) = u1 ( x , t ) + u 2 ( x , t ) . Vlnové funkce můžeme tedy sčítat. Obvykle pak hovoříme o skládání vlnění. Velmi důležitým důsledkem linearity vlnové rovnice je tvrzení, že obecnou vlnovou funkci můžeme zapsat jako lineární kombinaci konečného či nekonečného (nebo dokonce nespočetného) počtu vln monochromatických u( x , t ) = ∑ An cos ( kn x − ωn t + ϕn ) , n
kde sčítací index n nabývá hodnot 1, … , N (N je přirozené číslo) pro konečnou lineární kombinaci, nebo hodnot 1, … , +∞ pro nekonečný počet monochromatických složek. V případě nespočetné lineární kombinace musíme ovšem použít integrálu: +∞
u( x , t ) =
∫ A( k )cos ( kx − ω( k )t + ϕ( k )) dk ,
−∞
v němž explicitně naznačujeme závislost úhlové frekvence ω na vlnovém čísle k (viz odstavec 1.4). Konstanty An a A( k ) jsou amplitudy jednotlivých monochromatických složek a udávají míru, se kterou jsou tyto složky ve výsledné vlně zastoupeny.
1.6 Disperze Fázová rychlost monochromatické vlny může záviset na její frekvenci (vlnové délce, vlnovém čísle). V takovém případě říkáme, že se vlnění šíří disperzním prostředím. Pokud vlnová délka neovlivňuje fázovou rychlost monochromatické vlny, hovoříme o vlnění v nedisperzním prostředí. Závislost fázové rychlosti na frekvenci nazýváme obecně disperzí. Pro nemonochromatické vlnění ztrácí pojem fázové rychlosti v disperzním prostředím smysl, neboť každé monochromatické složce v této vlně zastoupené odpovídá odlišná hodnota fázové rychlosti 8. Liší-li se však frekvence jednotlivých monochromatických složek jen málo od jisté střední hodnoty ω0 ≡ ω( k0 ) , např. je-li funkce A(k) ve výše uvedené integrální lineární kombinaci ostře lokalizována na malém okolí bodu k0 (viz obrázek), je možno ukázat, že se tato téměř monochromatická vlna šíří tzv. grupovou rychlostí v g = dω / dk .
Platí pochopitelně i pro vektorové vlnové funkce. V nedisperzním prostředí mají naopak všechny monochromatické vlny stejnou fázovou rychlost, a proto se toutéž fázovou rychlostí šíří i obecná nemonochromatická vlna. 7 8
Trivium z optiky
11
1.7 Trojrozměrná vlnová rovnice V tomto a v dalších odstavcích rozšiřujeme výklad odstavců předchozích na obecnější případ vlnění v prostoru. Protože většinu dříve zavedených pojmů je možno bezezbytku použít i v obecném trojrozměrném případě, omezujeme se dále jen na odlišnosti od jednorozměrného případu.
Vlnová funkce u( r , t ) resp. u ( r , t ) je pro vlnění v prostoru funkcí čtyř reálných proměnných tří prostorových souřadnic a času. Podobně jako v jednorozměrném případě se řídí vlnovou rovnicí, a to jen málo odlišného tvaru (opět ji uvádíme pro jednoduchost pouze pro skalární vlnovou funkci) 1 ∂ 2u ∆u − 2 2 = 0 , v f ∂t
kde v f opět označuje fázovou rychlost vlnění a ∆ je Laplaceův operátor 9.
1.8 Nejdůležitější typy prostorových vln Obecná vlnová funkce může mít pro vlnění v prostoru jako funkce více proměnných poměrně komplikovanou strukturu. Nejčastěji proto pracujeme se speciálními typy prostorových vln ¾ vlnami rovinnými, ¾ vlnami kulovými, ¾ vlnami válcovými. V následujícím probereme stručně první dva typy prostorových vln.
1.8.1 Rovinné vlny Vlnová funkce 10 má pro rovinnou vlnu tvar u( r , t ) = U ( n ⋅ r − v f t ) kde U je nějaká reálná funkce jedné reálné proměnné, n zadaný vektor jednotkové délky a v f fázová rychlost (vyskytující se ve vlnové rovnici). Ověřte, že takto zvolená vlnová funkce splňuje trojrozměrnou vlnovou rovnici.
Vlnoplochy
11
jsou pro rovinnou vlnu popsány rovnicí n ⋅ r − v f t = konst .
Pro zadaný čas t se jedná o normálovou rovnici roviny v prostoru. Odtud tedy název rovinné vlny. Vektor n je normálovým vektorem této roviny a navíc udává směr jejího pohybu v prostoru, bude-li se čas měnit. Vektor n tedy zadává směr šíření rovinné vlny prostorem. Speciálním typem rovinných vln jsou rovinné monochromatické vlny
(
12
)
u( r , t ) = u 0 cos k ⋅ r − ωt + ϕ .
9
∆≡
∂2 ∂x 2
+ ∂∂y 2 + ∂∂z 2 2
2
I v tomto odstavci pracujeme pro jednoduchost s funkcemi skalárními. Množiny bodů v prostoru, na nichž vlnová funkce u nabývá konstantní hodnoty. 12 Ověřte, že definice rovinné monochromatické vlny neodporuje definici obecné rovinné vlny uvedené výše. 10 11
12
Vlnění
Význam použitých symbolů je stejný jako v případě monochromatických vln na přímce, pouze vlnové číslo se změnilo na vlnový vektor k . V platnosti zůstávají i vztahy 13 λ = 2 π /| k | a v f = ω /| k | . Vlnovou funkci pro rovinné monochromatické vlny často zapisujeme v ekvivalentních tvarech
(
u( r , t ) = u 0 sin k ⋅ r − ω t + ψ
u( r , t ) = Ce
i ( k ⋅r −ωt )
),
.
1.8.2 Kulové vlny Vlnová funkce nabývá pro kulovou vlnu se středem v počátku souřadnic tvar 14 u( r , t ) =
U(r ± v f t ) r
,
kde U je nějaká reálná funkce jedné reálné proměnné, v f fázová rychlost z vlnové rovnice a r = r 15. Znaménko „+“ odpovídá tzv. sbíhavé (konvergentní) kulové vlně, která se šíří z prostorového nekonečna do počátku souřadnic, znaménko „–“ vlně rozbíhavé (divergentní).
Kulové monochromatické vlny zadáváme rovnicemi 16 u 0 cos ( kr ± ωt + ϕ ) , r u sin ( kr ± ωt + ψ ) u( r , t ) = 0 , r Ce i ( kr ±ωt ) u( r , t ) = , r
u( r , t ) =
v nichž je parametr k (velikost vlnového vektoru) kladný a platí λ = 2 π /k a v f = ω /k .
1.9 Huygensův princip Každý bod, do něhož dospěla v čase t vybraná vlnoplocha se stává sám zdrojem elementárního rozruchu, který se kolem něj dále šíří ve formě elementárních vlnoploch (v homogenním prostředí kulových). Výslednou vlnoplochu v čase t + ∆t získáme jako vnější obálku těchto elementárních vlnoploch. Huygensův princip říká, jak ze znalosti rozložení vlnoploch v prostoru v zadaném čase konstruovat vlnoplochy v časech budoucích. Je vlastně slovním vyjádřením řešení vlnové rovnice. V připojeném obrázku naznačujeme konstrukci „budoucí“ vlnoplochy pro homogenní a izotropní prostředí.
13
Pro k ≡ [ kx , k y , kz ] je k ≡ kx 2 + k y 2 + kz 2 .
Ověřte, že tato vlnová funkce vyhovuje trojrozměrné vlnové rovnici. Všimněte si též faktoru r ve jmenovateli. Bez něj by uvedená vlnová funkce vlnovou rovnici nesplňovala!
14
15 16
r ≡ x 2 + y2 + z 2
I zde ověřte soulad definic obecné a monochromatické kulové vlny.
