Trivium z optiky
37
6. Fotometrie V předcházející kapitole jsme uvedli, že elektromagnetické záření (a tedy i světlo) přenáší energii. V této kapitole si ukážeme, jakými veličinami je možno tento přenos popsat a jak zohlednit fakt, že jeden z nejdůležitějších světelných receptorů - lidské oko - vnímá elektromagnetické záření různých vlnových délek s různou účinností (citlivostí). Na jednoduchém příkladu ilustrujeme, jak je možno realizovat měření zohledňující různou citlivost lidského oka k různým vlnovým délkám. V závěru kapitoly podáváme pro úplnost stručný přehled mechanizmů vyzařování elektromagnetického záření látkou.
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
Základní pojmy. Radiometrické veličiny bodového zdroje. Radiometrické veličiny plošného zdroje. Spektrální citlivost lidského oka. Fotometrické veličiny. Fotometrické veličiny bodového zdroje. Fotometrické veličiny plošného zdroje. Fotometrická měření. Světelné zdroje.
6.1 Základní pojmy Dříve, než se pustíme do vlastního tématu této kapitoly, musíme definovat tři pojmy, s nimiž se budeme v dalším výkladu často setkávat. Prvním z těchto pojmů je prostorový úhel. Pod prostorovým úhlem Ω rozumíme souvislou oblast prostoru vyplněnou polopřímkami vycházejícími ze společného bodu V (vrchol úhlu ). Nejobvyklejším příkladem prostorového úhlu je oblast vymezená pláštěm kužele (ne nutně kruhového průřezu) - viz obrázek. Velikost prostorového úhlu Ω 1 definujeme jako poměr plochy S, kterou vytne na povrchu koule o poloměru r , a kvadrátu jejího poloměru S Ω= 2. r Toto číslo je nezávislé na volbě poloměru r. Celému prostoru odpovídá prostorový úhel o velikosti 4π, poloprostoru 2π a vnitřku kužele o vrcholovém úhlu 2α prostorový úhel o velikosti 2 π(1 − cos α ) . Velikost prostorového úhlu je bezrozměrné číslo. Pro přehlednost se ale pro ni používá bezrozměrná jednotka steradián (sr). Dalším důležitým pojmem je bodový zdroj. Je to takový zdroj světla, jehož rozměry jsou zanedbatelně malé v porovnání se vzdáleností od pozorovatele. Pozorovatel jej tedy vidí pod velmi malým zorným úhlem a zdroj se mu jeví jako téměř bezrozměrný matematický bod. Zdroj, jehož velikost není možno zanedbat vzhledem ke vzdálenosti od pozorovatele, nazýváme zdrojem plošným. Pozorovatel jej vidí jako větší či menší zářící plošku. Prostorový úhel chápaný jako geometrický objekt (množinu bodů v prostoru) označujeme v tomto textu nekurzívním písmem (např. Ω), jeho velikost pak stejným symbolem psaným kurzívou (Ω).
1
38
Fotometrie
6.2 Radiometrické veličiny bodového zdroje Radiometrické veličiny charakterizují výkon zdroje resp. množství energie přenesené na ozařovaná tělesa. Nejčastěji pracujeme se zářivým tokem a zářivostí na straně zdroje a s ozářením na straně ozařovaných těles.
Zářivý tok (Φe ) Energie vyzářená bodovým zdrojem do zadaného prostorového úhlu za jednotku času. Zářivý tok závisí nejen na charakteru zdroje, ale i na zvoleném prostorovém úhlu. Jeho jednotkou je watt (W).
Zářivost (Ie) Zářivý tok do jednotkového prostorového úhlu v zadaném směru. Přesněji - označme ∆Φe zářivý tok vyzářený bodovým zdrojem Z do malého prostorového úhlu ∆Ω ve směru zadaném jedG G notkovým vektorem n a o velikosti ∆Ω (viz obrázek). Pod zářivostí tohoto zdroje ve směru n rozumíme ∆Φe G . I e ( n ) ≡ lim ∆Ω → 0 ∆Ω
Jednotkou zářivosti je watt na steradián (W.sr-1). Nezávisí-li zářivost zdroje na směru vyzařování, hovoříme o izotropním zdroji. Vyzařuje-li izotropní zdroj o zářivosti Ie do prostorového úhlu o velikosti Ω, je odpovídající zářivý tok roven součinu Ie Ω.
Ozáření (Ee) Energie dopadající na jednotku povrchu ozařovaného tělesa za jednotku času. Přesněji - označíme-li plochu elementu povrchu ozařovaného tělesa symbolem ∆S a zářivý tok na tento element dopadající ∆Φe , definujeme ozáření v místě zmíněného elementu vzorcem Ee ≡ lim
∆S →0
∆Φe ∆S
.
Jednotkou ozáření je watt na metr čtvereční (W.m-2). Snadno ukážeme, že pro ozáření bodovým zdrojem Z, jehož zářivost je ve směru k ozařované ploše Σ rovna Ie a jehož vzdálenost od ozařované plochy je r , platí Ee =
I e cos α , r2
kde α je úhel, který svírají paprsky záření s normálou ozařované plochy (viz obrázek).
Trivium z optiky
39
6.3 Radiometrické veličiny plošného zdroje Pro plošný zdroj zavádíme dvě základní radiometrické veličiny - intenzitu vyzařování a měrnou zářivost.
Intenzita vyzařování (He) Energie vyzářená do volného poloprostoru jednotkou povrchu plošného zdroje za jednotku času. Přesněji - označíme-li plochu elementu povrchu zdroje ∆S a zářivý tok vyzářený z tohoto elementu do celého poloprostoru vně zdroje ∆Φe (2π) 2, pak intenzitu vyzařování definujeme vztahem ∆Φe (2 π ) H e ≡ lim . ∆S → 0
∆S
Jednotkou intenzity vyzařování je watt na metr čtvereční (W/m2). Je-li plošný zdroj dokonale černým tělesem 3, platí pro intenzitu vyzařování Stephan - Boltzmannův zákon, experimentálně zjištěný Stephanem (1879) a teoreticky odvozeným rakouským fyzikem Boltzmannem (1884), H e ≡ σT 4 ,
kde T je teplota vyzařujícího tělesa a σ empirická konstanta ( σ 5,6687 × 10 -8 W.m-2.K-4).
Měrná zářivost (Le) Zářivost části povrchu plošného zdroje o jednotkového průmětu do roviny kolmé k zadanému směru paprsků záření. Označíme-li ∆S element plochy povrchu zdroje a α úhel, který svírá paprsek ve zvoleném směru s normálou k elementu této plochy, můžeme pro průmět elementu ∆S do roviny kolmé ke zvolenému směru psát ∆S ⊥ = ∆S cos α .
Je-li tedy zářivost zvoleného elementu v zadaném směru ∆I e ( α ) , je měrná zářivost definována vztahem ∆I e ( α ) . L e ( α ) ≡ lim ∆S → 0
∆S cos α
Její jednotkou je watt na steradián a metr čtvereční (W.sr-1.m-2). Zvláště důležitými plošnými zdroji jsou tzv. kosinové zdroje, jejichž vyzařování splňuje 4 ∆I e ( α ) = ∆I e 0 cos α .
Měrná zářivost kosinového zdroje je nezávislá na směru, ze kterého jej pozorujeme. Argumentem 2π zdůrazňujeme, že vyzařování sledujeme v celém poloprostoru. Dokonale černé těleso, někdy též ideální zářič, je zdroj tepelného záření, který pohlcuje veškeré záření dopadající na něj zvenčí. Vyzařuje tedy jen vlastní elektromagnetické záření - a to záření nemonochromatické, v němž jsou, v různé míře ovšem, zastoupeny všechny vlnové délky. Dokonale černé těleso je fyzikální model, ve skutečnosti v přírodě žádný objekt nepohlcuje záření na něj dopadající bezezbytku. Některá tělesa (např. hvězdy, Slunce v to počítaje) se však svými vlastnostmi modelu dokonale černého tělesa velmi blíží. V laboratoři se obvykle realizuje pomocí dutinového zářiče, jehož vnitřní stěny jsou zahřáty na vysokou teplotu. Záření dokonale černého tělesa sehrálo klíčovou roli při vzniku kvantové teorie - jednoho z pilířů moderní fyziky. 4 Kosinovým zdrojem je např. každé dokonalé černé těleso. 2 3
40
Fotometrie
6.4 Spektrální citlivost lidského oka Lidské oko nevnímá elektromagnetické záření různých vlnových délek se stejnou účinností. Jednak je jeho citlivost omezena na velmi úzký interval vlnových délek mezi 400 a 700 nm, a ani tyto vlnové délky nejsou okem vnímány všechny stejně. Závislost citlivosti lidského oka na vlnové délce světla vystihuje tzv. poměrná světelná účinnost monochromatického záření, V(λ), schématicky zobrazená na připojeném náčrtku 5. Dvě křivky z tohoto náčrtku odpovídají dvěma typům světločivých buněk přítomných v lidském oku - čípkům a tyčinkám - křivka tyčinková je vůči čípkové mírně posunuta směrem ke kratším vlnovým délkám. Čípky se podílejí na vzniku zrakového vjemu při vyšších ozářeních sítnice lidského oka (tzv. denní vidění ) 6, citlivější tyčinky přebírají jejich úlohu při nízkých hodnotách ozáření (noční vidění ) 7. Poměrná světelná účinnost monochromatického záření popisuje účinnost, s níž je elektromagnetické záření dané vlnové délky přeměněno na subjektivní zrakový vjem. Dá změřit např. tímto způsobem. Pozorovatel pozoruje současně dva zdroje monochromatického záření, z nichž jeden září na pevné vlnové délce 8 λ0 a druhý na odlišné vlnové délce λ. Zářivost obou zdrojů je nastavena tak, aby se jevily pozorovateli subjektivně jako stejně jasné. Pokud první zdroj způsobí ozáření sítnice pozorovatelova oka Ee(λ0) a druhý Ee(λ), lze poměrnou účinnost záření o vlnové délce λ vzhledem k účinnosti záření o vlnové délce λ0 vyjádřit vztahem 9 E (λ ) V ( λ ) ≡ e 0 . Ee ( λ )
Po proměření dostatečného počtu vlnových délek můžeme kromě jiného najít maximum křivky V ( λ ) , označme ho V max , a místo závislosti V ( λ ) použít funkci V (λ) ≡
V ( λ ) , V max
která je v maximu normovaná k jednotce. Tato funkce je obvykle uváděna v tabulkách. Pochopitelně tabelované hodnoty V ( λ ) byly získány jako střední hodnoty dat získaných různými pozorovateli a pro dostatečně velké počty vyšetřených jedinců. Odpovídají tedy jakémusi střednímu zdravému oku v populaci.
6.5 Fotometrické veličiny Současně s faktem, že světlo přenáší energii, zohledňují fotometrické veličiny také různou citlivost lidského oka při jejím "dalším zpracování" pro různé vlnové délky záření. Nevystačíme proto nadále s integrálními radiometrickými veličinami (jak byly definovány výše) a o zdroji musíme mít poněkud podrobnější informaci. Informaci o tom, jak mnoho vyzářené energie připadá na různé vlnové délky. K tomuto účelu se obvykle zavádí nová veličina - spektrální hustota radiometrické veličiny. 5 Poměrná účinnost monochromatického záření je tabelována či graficky zobrazena v různých fyzikálních tabulkách. Viz např. Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, 8. vyd., SPN, Praha 1970, str. 299. 6 Není jistě nezajímavé, že vlnová délka pro maximum čípkové citlivosti je takřka totožná s vlnovou délkou dominantní monochromatické složky ve slunečním záření. 7 Za šera, kdy tyčinky přebírají světločivou funkci od čípků, je k dispozici, pomineme-li umělá svítidla, především sluneční světlo rozptýlené v zemské atmosféře. Je však dobře známo, že se právě světlo kratších vlnových délek rozptyluje nejvíce (např. modrá barva oblohy za dne). Proto můžeme na modrý posuv spektrální citlivosti tyčinek nahlížet jako na zákonitou evoluční adaptaci. 8 Nejlépe poblíž středu intervalu 400 - 700 nm. 9 Čím je větší ozáření E (λ), tím menší účinek má záření o dané vlnové délce na lidské oko. e
Trivium z optiky
41
Nechť Ae je některá z dříve zmíněných radiometrických veličin. Předpokládejme dále, že jsme schopni pomocí vhodného filtru oddělit od záření studovaného zdroje všechny monochromatické složky kromě těch, jejichž vlnová délka náleží do intervalu λ , λ + ∆λ . Vložíme-li mezi zdroj a přístroj měřící veličinu Ae takový filtr, naměříme hodnotu ∆Ae ( λ , λ + ∆λ ) . Spektrální hustotu veličiny Ae pak pro zvolenou vlnovou délku definujeme vztahem ˆ ( λ ) ≡ lim ∆Ae ( λ , λ + ∆λ ) . A e ∆λ
∆λ→ 0
ˆ (λ) . Proměřením dostatečného množství vlnových délek získáme takto funkční závislost A e Všimněte si, že je možno též psát +∞
Ae =
∫ Aˆ ( λ )dλ . e
0
V definici fotometrického protějšku 10 A radiometrické veličiny Ae bereme v úvahu různou citlivost oka k různým vlnovým délkám +∞
A=K
∫ Aˆ ( λ )V ( λ )dλ . e
0
V uvedeném definičním vztahu funkce V ( λ ) zohledňuje spektrální citlivost lidského oka a multiplikativní faktor zajišťuje číselnou kompatibilitu historicky ustálených fotometrických jednotek s jednotkami soustavy SI. Jeho číselná hodnota je 11 K = 680 [ A ]/[ Ae ] ,
pro čípky a
K = 1740 [ A ]/[ Ae ]
pro tyčinky. V následujících dvou odstavcích si ukážeme, jak zde nastíněný obecný postup definování fotometrických veličin použít v konkrétních případech.
6.6 Fotometrické veličiny bodového zdroje Pro bodový zdroj zavádíme následující fotometrické veličiny - svítivost a světelný tok na straně zdroje a osvětlení na straně ozařovaného tělesa 12.
Svítivost +∞
I =K
∫ Iˆ ( λ )V ( λ )dλ e
0
Svítivost je v soustavě SI základní fyzikální veličinou. Její jednotkou je kandela (cd), která je v soustavě SI jednotkou základní. Je definována jako svítivost zdroje monochromatického záření o kmitočtu 540 × 1012 Hz (vlnové délce 555,2 nm) a zářivosti 1/683 W. Pro fotometrické veličiny budeme používat stejné označení jako pro jim odpovídající veličiny radiometrické, pouze vypustíme index e. 11 Symbolem [ ] označujeme SI jednotku vepsané veličiny. 12 Všimněte si, že názvy jednotlivých fotometrických veličin získáme z názvů jim odpovídajících veličin radiometrických nahrazením slovního základu -zář- základem -svit- či -svět-. 10
42
Fotometrie
Podle toho, zda svítivost zdroje závisí či nezávisí na směru vyzařování dělíme zdroje na neizotropní a izotropní.
Světelný tok +∞
Φ = K ∫ Φˆe ( λ )V ( λ )dλ 0
Z uvedeného vzorce a vztahu mezi zářivým tokem a zářivostí plyne pro světelný tok vysílaný izotropním zdrojem o svítivosti I do prostorového úhlu Ω 13 Φ = IΩ .
Jednotkou světelného toku je lumen (lm), který je v soustavě SI definován jako světelný tok, který izotropní zdroj o svítivosti 1 cd vysílá do prostorového úhlu 1 sr.
Osvětlení +∞
Ε =K
∫ Εˆ ( λ )V ( λ )dλ e
0
Podobně jako pro světelný tok, můžeme i pro osvětlení ukázat platnost vztahu formálně shodného s odpovídajícím vztahem pro radiometrické veličiny 14
Ε = lim
∆S → 0
∆Φ ∆S
,
v němž ∆Φ je světelný tok dopadající na plošku ∆S ozařovaného tělesa. Jednotkou osvětlení je lux (lx), který je v soustavě SI definován jako osvětlení 1 m2 plochy světelným tokem 1 lm.
6.7 Fotometrické veličiny plošného zdroje Jen stručně se zmíníme o dvou fotometrických veličinách definovaných pro plošný zdroj – o světlení a o jasu.
Světlení Světlení, H, je fotometrickým protějškem intenzity vyzařování. Je proto definováno vztahem +∞
H =K
∫ Hˆ ( λ )V ( λ )dλ , e
0
z nějž plyne též
H = lim
∆S → 0
∆Φ (2 π ) ∆S
,
kde ∆Φ (2 π ) je světelný tok vysílaný ploškou ∆S do poloprostoru vně zdroje. Jednotkou světlení je lumen na metr čtvereční (lm/m2).
Jas Jas, L, je fotometrickým protějškem měrné zářivosti a mohli bychom jej též nazývat měrnou svítivostí. Je definován vztahem Dokažte. Podobně můžeme odvodit i vzorec pro osvětlení plochy ve vzdálenosti r od zdroje o svítivosti I, svírají-li paprsky světla s normálou k osvětlované ploše úhel α E = I cos α / r 2 .
13 14
Trivium z optiky
43 +∞
L =K
∫ Lˆ ( λ )V ( λ )dλ , e
0
nebo též
L = lim
∆S → 0
∆I ( α ) ∆S cos α
,
kde ∆I ( α ) je svítivost plošky ∆S povrchu plošného zdroje ve směru svírajícím úhel α s vnější normálou k této plošce.15 Jednotkou jasu je nit (nt), který je definován jako jas části povrchu plošného zdroje o svítivosti 1 cd, jejíž průmět do roviny kolmé ke směru pozorování je 1 m2.
6.8 Fotometrická měření Ve fotometrických měřeních je oko pozorovatele neoddělitelnou součástí měřicího přístroje, ne pouze prostředníkem při odečítání dat na displejích jiných měřicích přístrojů. Musíme proto vzít v úvahu to, že se jedná o velmi nedokonalý orgán, určujeme-li absolutní čísla (pohlédnutím na zdroj nezjistíte, zda je jeho svítivost 10 nebo 100 cd), ale naopak orgán poměrně citlivý, omezíme-li se na zjišťování rozdílů mezi dvěma současně pozorovanými zdroji. Fotometrická měření musíme proto navrhnout tak, aby oko bylo správně použito jako tzv. nulový přístroj. Příkladem takového návrhu je měření svítivosti na Bunsenově fotometru. Bunsenův fotometr sestává z lavice L se dvěma stojany, na nichž je umístěn na jedné straně zdroj Z0 o známé svítivosti I0 a na druhé zdroj Z, jehož svítivost I měříme. Mezi zdroji se pohybuje jezdec s rámem, v němž je upnut pergamen P s mastnou skvrnou (viz obrázek). Samotné měření vychází z faktu, že je-li osvětlení jedné i druhé strany pergamenu stejné, mastná skvrna není pozorovatelná. Pohyblivým jezdcem tedy pohybujeme tak dlouho, dokud mastná skvrna na pergamenu nezmizí. Pak změříme vzdálenost jezdce od zdroje o známé svítivosti (r0) i vzdálenost od zdroje proměřovaného (r). Protože vymizení mastné skvrny znamená, že osvětlení pergamenu zdrojem o známé svítivosti, E0 = I 0 / r0 2 , je stejné jako osvětlení zdrojem o neznámé svítivosti, E = I / r 2 , můžeme psát I 0 / r0 2 = I / r 2
a dále též I = I 0 r 2 / r0 2 .
Měření svítivosti jsme tedy takto převedli na prosté měření vzdáleností.
6.9 Světelné zdroje Na závěr kapitoly věnované fenomenologii vyzařování světla látkou nebude jistě na škodu alespoň stručně probrat mikroskopické mechanismy, které stojí v pozadí tohoto jevu. Faktem dobře známým z Maxwellovy teorie elektromagnetického pole je, že zrychleně se pohybující náboje či časově proměnné elektrické (a v slabší míře i magnetické) multipóly vyzařují elektromagnetické vlnění. I světlo, jako elektromagnetické vlnění speciálních vlnových délek, vzniká právě tak.
Jas kosinového zdroje je stejný pro všechny směry vyzařování. Jedním z důsledku tohoto faktu je stejný jas slunečního kotouče - Slunce je blízké dokonale černému tělesu a to je, jak již víme, kosinový zdroj - ve středu a na okrajích. Promyslete!
15
44
Fotometrie
O objektech vyzařujících světlo (či obecněji elektromagnetické záření) hovoříme jako o zdrojích světla (elektromagnetického záření). V pozadí je vždy zrychlený pohyb nábojů, kmitající elektrické dipóly ap. Podle způsobu, jak byly náboje urychleny či dipóly rozkmitány můžeme zdroje světla rozdělit do tří hlavních skupin:16 ¾ ¾ ¾
tepelné, luminiscenční, další.
Tepelné záření je výsledkem chaotického pohybu elektronů či iontů látky, jejich vzájemných srážek či vibrací atomů v krystalické mříži zdroje. Energie tepelného záření pochází tedy z translačních stupňů volnosti atomů a volných elektronů látky. Spektrum tepelného záření je spojité, jsou v něm teoreticky zastoupeny všechny vlnové délky. Tepelnými zdroji viditelného světla jsou všechna tělesa zahřátá na dostatečně vysokou teplotu, kromě jiného Slunce, hvězdy, plamen svíčky ap. Speciálním příkladem zdroje tepelného záření je tzv. dokonale černé těleso (viz poznámka 3 výše v této kapitole). Luminiscenční zdroje vyzařují elektromagnetickou energii z nitra atomů. Za jejich záření jsou zodpovědné kvan-
tové přechody mezi diskrétními stavy elektronových obalů atomů a molekul. Spektrum luminiscenčního záření je proto vždy čárové nebo pásové .17 Obecný mechanismus vzniku luminiscenčního záření je dán rovnicí vyzáření světla excitace A → A * →A ,
kde A je atom či molekula v základním elektronickém stavu a A* elektronicky excitovaný atom či molekula. Podle mechanismu excitace se luminiscenční vyzařování dělí do několika kategorií. Uveďme alespoň ty nejdůležitější: ¾
Elektroluminiscence je způsobena srážkami atomů s volnými elektrony či ionty urychlenými vnějším
¾
Fotoluminiscence využívá jako excitační mechanismus absorpci kvanta elektromagnetického záření. Ob-
elektrickým polem. Pozorujeme ji např. při výbojích v plynech.
vykle je následně toto kvantum vyzářeno v několika porcích. Tak např. v běžných zářivkách je produkováno elektrickým výbojem ultrafialové záření, které je fotoluminiscenčním mechanismem převedeno v jejich stěně na záření viditelné. ¾ Při katodoluminiscenci jsou atomy látky excitovány srážkami s elektrony urychlenými ve vakuu vnějším elektrickým polem. Zářící látka je obvykle připojena ke katodě vysokonapěťového zdroje, odtud i název procesu. ¾ Chemiluminiscence je zářivé uvolňování nadbytečné energie uložené v elektronicky excitovaných molekulách produktů exotermních chemických reakcí. Příkladem může být obyčejný plamen.18 Pokud se jedná o chemické reakce probíhající v živých organismech, hovoříme obvykle o bioluminiscenci ( např. tlející pařezy). Kromě zdrojů využívajících obou výše uvedených základních mechanismů vyzařování elektromagnetického záření (tepelného a luminiscenčního) se můžeme v přírodě setkat i s dalšími, mnohem exotičtějšími zdroji. Upozorňujeme ovšem, že se obvykle jedná o zdroje záření mimo viditelnou oblast elektromagnetického spektra. Jako nejznámější příklady uveďme sychrotrony 19, zdroje γ-záření 20 či Čerenkovovo záření 21.
16 Jedná se o modelové členění. Reálné zdroje často patří současně do více kategorií. Tak například tepelný zdroj může současně vyzařovat i luminiscenční záření. 17 Pás je v elektromagnetickém spektru tvořen soustavou velkého množství spektrálních čar blízkých vlnových délek. 18 V němž je ovšem luminiscenční záření kombinováno se zářením tepelným. 19 Urychlovače elektricky nabitých elementárních částic, v nichž se urychlované částice pohybují po kruhových (spirálových) drahách. Důsledkem zrychleného pohybu nabitých částic po spirále je podle Maxwellovy teorie intenzivní elektromagnetické vyzařování. 20 Vysokoenergetické elektromagnetické záření vycházející z nitra atomových jader. 21 Viditelné záření doprovázející průchod relativistických elektronů látkou.
