Transport látek • Dva typy modelů – Pohyb rozpuštěných látek • látka je rozpuštěna • hmotnost látky neovlivní hustotu kapaliny • dobré promíchání látky (1D, 2D)
– Pohyb rozhraní • Nemísitelné látky
– Přechod - emulze
• Řešení problémů – využívání vodních zdrojů - zásobování pitnou vodou – ochrana zdrojů pitné vody – sanace havárií
Transport látek - příklady • Pohyb rozpuštěných látek
Transport látek - příklady • Pohyb rozhraní
Transport a disperze látek • Procesy působící při pohybu látky – advekce - pohyb s proudem vody - střední rychlost vody v pórech – disperze - analogie s Fickovým zákonem. Je způsobená • různým rozdělením rychlosti vody v pórech • různými rychlostmi vody v jednotlivých pórech • rozdělením proudu do jednotlivých pórů
– molekulární difúze - ve většině případů ji lze zanedbat – adsorpce a desorpce částic na povrchu zrn • závisí na druhu látky • závisí na kapalině • závisí na koncentraci látky
– objemové změny – retardace
Transport a disperze látek • Procesy působící při pohybu látky – advekce - pohyb s proudem vody - střední rychlost vody v pórech – disperze - analogie s Fickovým zákonem. Je způsobená • různým rozdělením rychlosti vody v pórech • různými rychlostmi vody v jednotlivých pórech v
• rozdělením proudu do jednotlivých pórů v
Transport a disperze látek - 1D • Model odvozen – ze zákona zachování hmotnosti sledované látky – za předpokladů • • • •
proudění a transportu látek při 1D aproximaci dobré promíchání látky v průtočném profilu (např. trubici látka je rozpuštěna hmotnost látky neovlivní hustotu kapaliny
Transport a disperze látek - 1D • Matematický model – změna hmotnosti = vstupující hmotnost - vystupující hmotnost
• Změna hmotnosti látky v čase
∂m( x, t ) ∂ ( A( x, t ).c( x, t )) .dt = .dx.dt ∂t ∂t
Transport a disperze látek - 1D • Advekce – transport proudem ∂ (v x ⋅ c ) dm A = − ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt ∂x
• Disperze – transport proudem (analogie s Fickem) ∂c q x = -D ⋅ ∂x M x
∂c( x, t ) ) ∂ ( A( x, t ).DL ( x, t ). ∂x .dx.dt dm D = ∂x
Transport a disperze látek - 1D • Konstitutivní změny – Adsorpce – přichycení látky k povrchu částic, opakem je desorpce – Degradace – rozpad, rozklad
dmK = M K ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt – MK … hmotnost adsorbované (desorbované), resp. degradované (odbourané) látky na jednotku objemu a času
Transport a disperze látek - 1D • Matematický model – Předpoklady • A = konst • DL(x) • v(x,t)
∂ c ∂ ∂c ∂ − (v⋅ c )− M A = DL ∂ t ∂ x ∂ x ∂x
∂ c( x L , t ) =0 ∂x
Transport a disperze látek - 1D • Analytické řešení – Předpoklady • A = konst • DL= konst • v = konst
– OP • c(x0,t) = c0(t) , • c(xL,t) = cL(t) , – PP • c(x,t0) = c t0(x) ,
∂ c( x L , t ) =0 ∂x
− (x − v ⋅ t)2 c ( x, t ) = ⋅ exp 2 ⋅ A ⋅ π ⋅ DL ⋅ t 4 ⋅ DL ⋅ t MV
∂ c( x L , t ) =0 ∂x
Transport a disperze látek - 1D 0.034 koncentrace 0.026 0.020 0.016 c(x,t) 0.013 Průběh
0.058
0.044
0.010
0.008
0.088 0.2000.068 0.093 0.075
0.052
0.040
0.032
0.025
0.020
0.016
0.012
0.010
0.059
0.047
0.037
0.030
0.024
0.019
0.015
0.035
0.028
0.022
0.018
0.048
0.040
0.032
0.026
0.021
0.012 30 0.015 60 0.017
0.093
0.080
0.066
0.053
0.043
0.088
0.081
0.070
0.059
0.079
0.080
0.073
0.063
0.053
0.044
0.037
0.030
0.025
0.067
0.075
0.073
0.066
0.057
0.049
0.041
0.034
0.028
0.054 0.068 0.100 0.041 0.058
0.070
0.066
0.060
0.052
0.045
0.038
0.032
0.066
0.066
0.061
0.055
0.048
0.042
0.036
0.029
0.048
0.059
0.063
0.061
0.057
0.051
0.045
0.039
0.020
0.038
0.052
0.059
0.060
0.058
0.053
0.048
0.042
0.013
0.029
0.044
0.053
0.057
0.057
0.054
0.050
0.045
0.033 210 0.037 270 0.040
0.008
0.021
0.036
0.047
0.053
0.055
0.054
0.051
0.047
0.042 330
0.004 0.015 0.0000.010 0.002 0 0.001 0.007
0.029
0.040
0.048
0.052
0.053
0.052
0.048
0.022
0.043
0.049 0.051 0.044300 0.048
0.051
0.016
0.034 150 0.027
0.050
0.049 450 0.049
0.044 390 0.046 450 0.047
0.001
0.004
0.012
0.022
0.048
0.048
0.047
0.000
0.002
0.008
0.032 0.040 vzdálenost v [m]0.045
0.017
0.045
0.047
0.047
koncentrace v [mg/l]
0.079
0.037 0.026
0.035
0.041
0.020 90 0.023 120 0.027 150 0.030
Transport a disperze látek - 2D • Základní rovnice - zákon zachování hmotnosti sledované látky ∂ (c ⋅ b) ∂ ∂c ∂c ∂ ∂c ∂c + b ⋅ D yy − = b ⋅ D xx + b ⋅ D xy + b ⋅ D yx ∂t ∂ x ∂x ∂ y ∂ y ∂y ∂ x ∂ ∂ c′ ⋅ Q − (b ⋅ v x ⋅ c )− (b ⋅ v y ⋅ c ) − ∂x ∂y nef – nebo též
c′ ⋅ Q ∂ (c ⋅ b ) ∂ ∂c ∂ (b ⋅ vi ⋅ c )− = b ⋅ Dij − nef ∂t ∂ xi ∂ x j ∂x i – Počáteční podmínka na Ω ∪ Γ
c(x,y,0) = c0(x,y)
– Okrajové podmínky • na hranici Γ1 stabilní Dirichletova podmínka (OP 1. druhu)
c( x , y , t ) Γ1 =c( x , y , t )
• na hranici Γ2 nestabilní Neumannova podmínka (OP 2. druhu) např. nulový spád koncentrace
∂c = 0 Γ2 ∂n
Transport a disperze látek - 2D • Transport - základní rovnice - 2D nestacionární ∂ ∂h ∂ ∂h ∂h Tx + Ty - S ⋅ = Q ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂t – Tx(x,y,t) = kx(x,y) . b
; Ty (x,y,t) = ky (x,y) . b
… napjatá zvodeň
– Tx(x,y,t) = ky(x,y,t) . H(x,y,t) ; Ty(x,y,t) = ky(x,y,t) . H(x,y,t) … volná zvodeň
– Počáteční podmínka na Ω ∪ Γ
h(x,y,0) = h0(x,y)
– Okrajové podmínky
• na hranici Γ1 stabilní Dirichletova podmínka (OP 1. druhu)
h( t ) Γ1 =h( t ) • na hranici Γ2 nestabilní Neumannova podmínka (OP 2. druhu)
∂h ∂h Tx n x +T y n y =qn ∂x ∂y
Transport a disperze látek - 2D • Výsledkem řešení – piezometrická výška h z ní lze odvodit:
• grad h •q • v=q/n
Transport a disperze látek - 2D • Disperze = mechanická disperze + molekulární difúze – funkce Pecletova čísla Pe = L.v/DM
• Pe ∈ ( 0 ; 0,4 ) ... převažuje molekulární difúze • Pe ∈ ( 0,4 ; 5 ) ... efekt molekulární difúze stejný jako mechanické disperze • Pe > 5 ... molekulární difúze způsobuje příčnou disperzi • Zóna 4 - převažuje mechanická disperze • Zóna 5 - efekt turbulence a vliv setrvačných sil nelze zanedbat
– dva způsoby vyjádření - součinitel disperze D [m2/s] • globální souřadná soustava
D xx D= D yx
• lokální souřadná soustava
DL = aL . |v| DT = aT . |v|
•
• a ... disperzivita [ m ]
D xy D yy
Transport a disperze látek - 2D • Disperze – lze převést pomocí vztahů
D xx = DL ⋅
D yy = DT ⋅
v v v v
2 x 2
2 x 2
+ DT ⋅
+ DL ⋅
v 2y 2
v
v 2y v
2
D xy = D yx = ( DL − DT ) ⋅
vx ⋅ v y v
2
Transport a disperze látek - 2D • Metody řešení – metoda diferenční – metoda konečných prvků – metoda charakteristik kombinovaná s MKP nebo MKD – metoda náhodného kroku (random walk)
Dvojrozměrné - 2D - v horizontální rovině Řešení pomocí metody konečných diferencí • Prostorové parciální derivace ve směru os x a y – 1. derivace
y
∂ c i , j c i + 1 , j − c i −1 , j ≈ ∂x 2 ∆x ∂ c i , j c i , j + 1 − c i , j −1 ≈ ∂y 2∆y – 2. derivace
i,j+1
∆y ∆y
i-1,j
i,j
i+1,j
i,j-1
∆x
∆x x
∂ 2 c c i + 1 , j − 2 ⋅ c i , j + c i −1 , j ≈ 2 ∂x ∆x 2
∂ 2 c c i , j + 1 − 2 ⋅ c i , j + c i , j −1 ≈ 2 ∆y 2 ∂y
– ANALOGICKY S PROUDĚNÍM !!!!!!
Dvojrozměrné - 2D - v horizontální rovině Řešení pomocí metody konečných diferencí
Numerická disperze • 1D - zákl. rce – b = konst; – D = konst; – v = konst;
• Derivace ∂ c i c i + 1 − c i −1 ≈ ∂x 2 ∆x
∂ci cit + ∆t − c it ≈ ∂t ∆t
∂c ∂ 2c ∂c = D ⋅ 2 − v⋅ ∂t ∂x ∂x ∂ 2 c c i + 1 − 2 ⋅ c i + c i −1 ≈ 2 ∂x ∆x 2
• Rovnice v diskrétním tvaru - explicitní schéma
cit + ∆t − cit cit+1 − 2 ⋅ cit + cit−1 cit+1 − cit−1 = D⋅ −v⋅ 2 ∆t ∆x 2 ⋅ ∆x
Dvojrozměrné - 2D - v horizontální rovině Řešení pomocí metody konečných diferencí • Ukázka numerické disperze pro D = 0
c
t + ∆t i
t t c − c t = c i − v ⋅ i + 1 i −1 ⋅ ∆ t 2 ⋅ ∆x
• Příklad: – v = 0,0005 m/s – ∆x = 0,5 m – ∆t = 1000 s – OP: c0 (t) = 1 – PP: c(t=0) = 0
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 6600 7200 7800
0
2
4
6
8
10
Dvojrozměrné - 2D - v horizontální rovině Řešení pomocí metody náhodného kroku • Princip metody – sledování pohybu částice
Zástupce - RWDEMOE.pif
• konvektivní složka • za t posun o v . t
– disperzní složka • vychází z formální shody – řešení transportně konvektivní rovnice – hustoty pravděpodobnosti při normálním rozdělení
( x − M )2 p( x ) = ⋅ exp [− 2 2⋅ S2 2 ⋅π ⋅ S 1
• • • •
]
c 1 ( x − v ⋅ t )2 ⋅ exp [− = c0 4⋅ D ⋅t 4 ⋅π ⋅ D ⋅ t
vychází z normálního rozložení generátor náhodné proměnné střední hodnota směrodatná odchylka
M=v.t S2 = 2.D.t
]
Dvojrozměrné - 2D - v horizontální rovině Řešení pomocí metody konečných diferencí • Vyjádření koncentrace c v i - tém uzlu
v čase t+∆t
t t t t t 2 c − ⋅ c + c c − c i i −1 i +1 i −1 cit + ∆t = cit + D ⋅ i +1 ⋅ ∆ t − v ⋅ ⋅ ∆t = 2 2 ⋅ ∆x ∆x ∆t ∆t 2 ⋅ ∆t ∆t ∆t t = cit−1 ⋅ ( D ⋅ 2 + v ⋅ ) + cit ⋅ (1 − D ⋅ ) + c ⋅ ( D ⋅ − v ⋅ ) i +1 2 2 ∆x 2 ⋅ ∆x ∆x ∆x 2 ⋅ ∆x
• Ukázka numerické disperze pro D = 0
c
t + ∆t i
t t c − c t = c i − v ⋅ i + 1 i −1 ⋅ ∆ t 2 ⋅ ∆x
