TRANSFORMASI LAPLACE. Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani. 11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 1

TRANSFORMASI LAPLACE Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani

11 April 2011

EL2032 Sinyal dan Sistem

1

Tujuan Belajar : • mengetahui ide penggunaan dan definisi transformasi Laplace. • menurunkan transformasi Laplace beberapa sinyal. • mengetahui dan menggunakan sifat-sifat transformasi Laplace. • menerapkan konsep dan sifat transformasi Laplace dalam menyelesaikan persamaan diferensial. • menggunakan tabel transformasi Laplace dalam menganalisis sinyal dan sistem.

11 April 2011


2

Inovator

Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (1749-1827)

11 April 2011


3

Ide Persamaan diferensial

Transformasi Laplace Persamaan aljabar

Solusi persamaan diferensial Domain frekuensi

Domain waktu 11 April 2011


4

Ilustrasi

? RCyt   yt   ut 

11 April 2011

?


5

Transformasi Laplace  F(s) = L(f(t))

F  s 

st

 f  t e

dt

0 • s  C (bilangan kompleks) •F adalah fungsi bernilai kompleks dari bilangan kompleks • s disebut variabel frekuensi dengan satuan per detik, sehingga st tidak bersatuan • Bentuk integral di atas mengasumsikan bahwa f tidak mengandung impuls di t = 0. • Dalam beberapa literatur, jika huruf kecil menandakan sinyal, maka huruf besarnya menandakan transformasi Laplacenya, misalnya U = L(u), Vin = L(vin), dst. 11 April 2011


6

Transformasi Laplace adalah sebuah tipe transformasi integral



e  0

 s t

f (t ) dt  F ( s )

Berikan sebuah fungsi ke dalamnya maka diperoleh fungsi baru

Fungsi baru dalam domain yang berbeda 11 April 2011


7

Jika





0

 st

e

f (t ) dt  F (s)

F ( s ) adalah transformasi Laplace dari f (t ). Simbol :

L  f (t )  F ( s ), L  y (t )  Y ( s ), L  x(t )  X ( s ), etc.

11 April 2011


8

Korespondensi satu-satu L(f) = L(g)

f=g

Transformasi Laplace balik  j

1 st f t   F s  e ds  2j  j

11 April 2011


9

Contoh (1) Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = et. Jawab : 

t  st

F s   e e 0



1 1 s  t 1 s t dt   e  dt  e 0

1 s



 0

1 s 1

Integral di atas terpenuhi jika e1 s  t  0 apabila t ∞ yang mensyaratkan bagian real dari variabel s lebih dari 1

ROC (region of convergence) = daerah konvergensi 11 April 2011


10

Contoh (2) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f(t) = 1 , t  0.



F s  

e 0

11 April 2011

 st



1  st 1 dt   e  s s 0


11

Contoh (3) Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sinusoidal : f(t) = cos t Jawab : 1 j t 1  j t  e Ubah ke bentuk eksponensial f  t   e 2 2  1   s j t 1  s j t st  1 jt 1  jt  dt   e dt  e  2 e  2 e  dt  2  e 20   0 0 1 1 1 1  2 s  j 2 s  j s 2

11 April 2011

2

s danSistem EL2032 Sinyal

12

Transformasi Laplace

11 April 2011

f(t)

F(s)

ROC

δ(t) (impuls)

1

semua s

1 (unit step)

1 s

Re(s)>0

tn

n! s n 1

e-at

1 sa

Re(s)>0

Re(s)+Re(a)>0

cos ωt

s s 2  2

Re(s)>0

sin ωt

 s 2  2

Re(s)>0


13

Sifat-sifat Transformasi Laplace

11 April 2011

Sifat

f(t)

F(s)

Linieritas

a f(t) + b g(t)

a F(s) + b G(s)

Penskalaan waktu

f(at)

1 s F  a a

Penundaan waktu

f(t-T)

e-sT F(s)

Penskalaan eksponensial

eat f(t)

F(s-a)

Konvolusi waktu

x(t) * y(t)

X(s) Y(s)


14

Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat

f(t)

F(s)

Konvolusi frekuensi (modulasi)

x(t) y(t)

1 X (s) * Y ( s) 2j

Perkalian dengan t

g(t) = t f(t)

G s    F s 

Diferensiasi waktu

dn x(t ) n dt t

Integral

gt    f   d 0

11 April 2011


n 1

s X ( s )   s n 1k x((0k) ) n

k 0

1 1 Gs  Fs   f dt0 s s 15

Linieritas L (3(t) - 2et) = 3 L ((t)) - 2 L (et)

2 3  s 1

3s  5 s 1 11 April 2011


16

Penyekalaan eksponensial s s2 1

L(cos t) =

L(e-tcos t) = ?

1 0.8 0.6

s 1

s 1  2 2 s  1  1 s  2s  2

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

11 April 2011

1

2

3

4

5

6


17

Penundaan waktu 1 a

b 1 e  as   s

1

1 a 1 e as   s 11 April 2011

b eas  ebs as 1 bs 1 F s   e  s   e  s   s EL2032 Sinyal dan Sistem

18

Turunan x  t   3 x  t   2 x t   0 ; x 0   a , x  0   b Sifat turunan : L (x') = s L(x) – x(0) = sX(s) – a L (x'') = s2X(s) – sx(0) - x'(0) = s2X(s) - s a - b





didapat : s 2 X s  as  b  3sX s   a  2 X s  0

as  b  3 a X s   2 s  3s  2 11 April 2011


19

Aplikasi Trans. Laplace dalam rangkaian elektrik : Contoh (1) • R=1 • C=1F • Kapasitor tidak bermuatan pada t = 0, yaitu y(0) =0 • sinyal input u berupa tangga satuan. Tentukan bentuk sinyal y.

Solusi : Persamaan rangkaian Transf. Laplace

11 April 2011

y t   y t   u t  sY s   Y s  


1 s

20

Jawab 1 s

1 Y s    s  1 s s  1

1 sY s   Y s   s

y t   1  e

11 April 2011

t

Y s  


1 1 1   s s  1 s s  1

21

Contoh (2) Perhatikan rangkaian berikut, saklar ditutup saat t = 0 dan VC(0) = 1.0 V. Cari i(t) dalam rangkaian.

11 April 2011


22

Jawab Persamaan rangkaian dapat dituliskan dalam bentuk berikut

atau

11 April 2011


23

Terapkan transformasi Laplace sehingga didapat

Karena VC(0) = 1.0 V maka

11 April 2011


24

Dengan demikian diperoleh

sehingga transformasi Laplace persamaan rangkaian berbentuk

11 April 2011


25

Bentuk terakhir adalah

sehingga diperoleh

11 April 2011


26

11 April 2011


27

Contoh (3) Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor tidak memiliki muatan saat t = 0. Jika saklar ditutup, tentukan arus i1 dan i2, serta muatan pada C untuk t > 0 11 April 2011


28

Jawab Dengan menggunakan hukum Kirchhoff diperoleh

atau

11 April 2011


29

Substitusi (2) ke (1) diperoleh

atau (3)

11 April 2011


30

Karena

dan maka sehingga transformasi laplace persamaan (3) berbentuk atau didapat

11 April 2011


31

Bentuk i(t) adalah Dari persamaan (2) diperoleh atau

11 April 2011


32

Untuk menghitung muatan pada kapasitor, kita memerlukan informasi tegangan pada kapasitor dan diperoleh atau

11 April 2011


33

Karena

11 April 2011

maka


34

Tugas#3 1. Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor memiliki muatan awal 1 mC dan saklar berada di posisi 1 cukup lama sampai tercapai kondisi tunak. Saklar dipindahkan ke posisi 2 saat t = 0. Tentukan arus i(t) untuk t > 0.

11 April 2011


35

2. Perhatikan sistem berikut

a. nyatakan hubungan antara sinyal u dan y dalam bentuk LCCODE. Petunjuk : jika keluaran sebuah integrator w maka masukannya adalah w’ (turunan dari w). 11 April 2011


36

b. anggap kondisi mulanya nol, yaitu y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0, nyatakan transformasi Laplace sinyal y sebagai fungsi transformasi Laplace dari sinyal u, yaitu Y s  U s 

11 April 2011


37

3. Sumber tegangan v(t) diberikan kepada sebuah motor arus searah (DC motor). Model sederhana dari motor tersebut adalah rangkaian seri antara sebuah induktansi L dan sebuah resistansi R, sehingga arus yang mengalir dalam motor memenuhi persamaan

di L  Ri  v dt

11 April 2011


38

Sudut putar motor ditandai dengan (t) dan kecepatan sudutnya (t), artinya   d . Arus motor menghasilkan dt torsi (t) yang sebanding dengan besar arusnya, yaitu t   kit 

dengan k adalah konstanta motor. Inersia putar motor ditandai dengan J dan koefisien redamannya b. Persamaan Newton yang berlaku berbentuk d J  ki  b dt

11 April 2011


39

Anggap bahwa i(0) = 0,0  0, dan0  0. Nyatakan perbandingan transformasi Laplace (t) dengan transformasi Laplace v(t).

11 April 2011


40

TRANSFORMASI LAPLACE. Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani. 11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 1

Recommend Documents