TM-ALJABAR DAN ASPEK-ASPEK TERKAIT Neni Oktaviani1, Suryoto2, Solichin Zaki3 1,2,3
Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
[email protected] [email protected]
Theory of TM-algebra is a generalization of BCK-algebra and have some relation with other algebra structures such BCH -algebra, BCI -algebra and Q -algebra. -part of TM -algebra and a p-semisimple TM-algebra are a class of TM -algebra who have special conditions. As well as in the other algebra structure, TM -algebra also has the concept of TM-subalgebra, TM-ideal and TMalgebra homomorphism. Keywords : BCH-algebra, BCI-algebra, BCK-algebra, -algebra and TM -algebra. ABSTRACT.
I. PENDAHULUAN Suatu struktur aljabar merupakan himpunan tidak kosong dengan satu atau lebih operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Selama ini mungkin hanya diketahui grup dan ring saja yang merupakan salah satu contoh dari struktur aljabar, ternyata masih banyak sekali struktur aljabar baru salah satunya yaitu TMaljabar. TM-aljabar merupakan generalisasi dari BCK-aljabar. BCK-aljabar pertama kali diperkenalkan ke dalam matematika oleh Zahra M.Samaei, Mohammad Ali N. Azadani dan Leila N. Ranjbar pada tahun 2011. TM-aljabar pertama kali diperkenalkan ke dalam matematika oleh Megalai, K and Dr.A.Tamilarasi pada tahun 2011 [6].
II. HASIL DAN PEMBAHASAN Definisi 2.1[6] Misalkan X himpunan tidak kosong dengan operasi biner dan 0 sebagai elemen khusus. Triple
disebut TM-aljabar jika untuk setiap
memenuhi aksioma-aksioma berikut (TM1) (TM2)
.
Contoh :
Diberikan
dengan 0 sebagai elemen khusus dan dilengkapi dengan
operasi biner
sebagaimana diberikan oleh Tabel Cayley berikut ini. *
0
3
0
0
1 2
0
3
Dari tabel di atas
Teorema2.2[6]
3
2
0
3
1
0
merupakan TM-aljabar.
Jika
adalah BCK-aljabar, maka
juga
merupakan TM-aljabar. Bukti : Diketahui
suatu BCK-aljabar. Akan dibuktikan bahwa aksioma (TM1) dan
(TM2) yang dimiliki oleh TM-aljabar juga berlaku pada BCK-aljabar. Diambil sebarang
, maka :
(TM1) Aksioma (TM1) terpenuhi. (TM2) Aksioma (TM2) terpenuhi Kedua aksioma TM-aljabar telah terpenuhi, maka benar bahwa setiap BCK-aljabar adalah TM-aljabar.
Proposisi 2.3[6] Misalkan berlaku : (i) (ii) (iii)
suatu TM-aljabar. Untuk setiap
Bukti : Misalkan
adalah suatu TM-aljabar.
(i) Akan dibuktikan
Diambil sebarang
sedemikian sehingga : dengan Aksioma (TM1) dengan Aksioma (TM2) dengan Aksioma (TM1)
(ii) Akan
dibuktikan
Diambil
sebarang
,
sedemikian sehingga : dengan Aksioma (TM1) dengan Aksioma (TM2) (iii) Akan dibuktikan
Diambil sebarang
, sedemikian
sehingga : dengan Aksioma (TM1) dengan Aksioma (TM2) dengan Aksioma (TM1).
Proposisi 2.4[6] Jika
adalah suatu TM-aljabar, maka untuk setiap
berlaku
.
Bukti : Diketahui
adalah TM-aljabar.
Akan dibuktikan bahwa
Diambil sebarang
maka :
Definisi 2.5[6] Misalkan
adalah TM-aljabar dan
bagian tidak kosong dari , berlaku
.
merupakan himpunan
dikatakan TM-subaljabar dari
jika untuk setiap
Definisi2.6[6] Misalkan
adalah TM-aljabar.
didefinisikan oleh
.
Teorema2.7 Jika aljabar,maka
-bagian dari X
TM-aljabar dan
adalah
-bagian dari TM-
merupakan TM-subaljabar.
Bukti : Diketahui
adalah TM-aljabar dan
Kemudian akan dibuktikan bahwa
merupakan TM-subaljabar. Himpunan
dikatakan TM-subaljabar jika untuk setiap
berlaku
maka
atau dengan kata lain akan dibuktikan bahwa
. Diambil sebarang
dan
Dengan demikian benar bahwa
Definisi 2.8 [6] Misalkan
, sehingga diperoleh :
merupakan TM-subaljabar.
adalah suatu TM-aljabar, himpunan bagian
tak kosong dari . Himpunan disebut ideal dari
jika memenuhi :
i) ii)
jika
dan
Teorema2.9 Jika
maka
untuk setiap
TM-aljabar dan
.
adalah ideal dari
, maka
merupakan TM-subaljabar. Bukti : Diketahui Himpunan 1. 2. Jika
adalah TM-aljabar dan adalah ideal dari adalah ideal dari
maka :
. dan
maka
Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar. Berdasarkan Definisi 3.16 (ii) dapat disimpulkan bahwa untuk setiap berlaku
. Dengan begitu himpunan merupakan TM-subaljabar.
Definisi 2.10 [6] Misalkan
adalah TM-aljabar, maka himpunan bagian
dari X yang didefinisikan oleh Jika
, maka
disebut p-radikal dari .
adalah TM-aljabar p-semisederhana.
Proposisi 2.11[6] Misalkan
adalah suatu TM-aljabar. Himpunan
adalah ideal dari Bukti : Diketahui
adalah TM-aljabar. Kemudian akan dibuktikan bahwa
adalah ideal dari . dapat dikatakan ideal dari 1.
bila memenuhi Definisi ideal.
.
Menurut Definisi 3.19, didefinisikan diambil lain 2.
sehingga jika
maka akan selalu memenuhi . Dengan begitu benar bahwa
Jika
Karena
atau dengan kata
.
dan
maka
dan
, maka
dan
Selanjutnya,
Karena
, sehingga benar bahwa .
Proposisi 2.12 Misalkan aljabar dan
TM-aljabar.
adalah -bagian dari TM-
merupakan TM-aljabar p-semisederhana, maka berlaku
kondisi berikut,
.
Bukti : Diketahui
TM-aljabar dan
Akan ditunjukkan berlakunya kondisi
, .
.
Berdasarkan Proposisi, kita tahu bahwa
dan menurut yang diketahui
. Dengan demikian kondisi
Teorema 2.13 Misalkan
terpenuhi.
adalah suatu TM-aljabar. Himpunan
merupakan TM-subaljabar. Bukti : Diketahui
adalah TM-aljabar. Kemudian akan dibuktikan bahwa
merupakan TM-subaljabar. Untuk membuktikan bahwa
merupakan TM-subaljabar maka untuk setiap
berlaku bahwa
atau dengan kata lain akan dibuktikan . Dengan menggunakan Proposisi 3.5 (v) pada TM-aljabar
maka benar bahwa
merupakan TM-subaljabar.
Definisi 2.14[6] Misalkan pemetaan
dan
adalah TM-aljabar. Suatu
disebut homomorfisma jika :
Definisi 2.15[6] Misalkan
adalah suatu homomorfisma dari TM-
aljabar, maka dapat didefinisikan
dari
dan peta balik
yaitu .
Proposisi 2.16[6] Misalkan
adalah suatu homomorfisma dari TM-
aljabar, maka berlaku : i) ii)
Jika
maka
.
Bukti : i)
Misalkan
dibuktikan bahwa
adalah suatu homomorfisma TM-aljabar. Akan , maka : dengan Proposisi 3.2 (i) dengan Definisi 3.24
dengan Proposisi 3.2 (i) ii)
Misalkan
adalah suatu homomorfisma TM-aljabar dan berlaku Diambil sebarang
maka : dengan Definisi 3.24 yang diketahui dengan Proposisi 3.26 (i)
Proposisi 2.17[6] Misalkan
dan
adalah ideal dari
adalah homomorfisma TM-aljabar, maka
. Jika
adalah TM-aljabar dan
adalah ideal dari . Bukti : Diketahui
dan
adalah suatu TM-aljabar dan
adalah homomorfisma TM-aljabar serta bahwa
adalah ideal dari
. Akan dibuktikan
adalah ideal dari
Karena
ideal dari
maka :
i) ii)
Jika
dan
maka
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
adalah ideal dari
dimana:
. Himpunan
dikatakan ideal dari
1.
. sebab
2.
Jika
dan dan
jika memenuhi Definisi 3.16 :
maka
.
maka
sehingga berlaku
. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
. Karena
ideal dan
maka
yang berakibat
Kedua aksioma ideal TM-aljabar terpenuhi dengan demikian terbukti bahwa ideal dari
III. KESIMPULAN Dari pembahasan yang telah diuraikan dapt disimpulakan bahwa teori TMaljabar merupakan perumuman BCK-aljabar. TM-aljabar juga berkaitan dengan struktur aljabar yang lain seperti BCH-aljabar, BCI-aljabar, dan Q-aljabar. Beberapa
konsep dalam
keterkaitan.Seperti halnya
TM-aljabar
masing-masing saling mempunyai
yaitu TM-aljabar p-semisederhana
merupakan TM-subaljabar. Konsep
yang merupakan
yang juga
-bagian dari TM-
aljabar juga mempunyai kaitan dengan konsep yang lain seperti TM-subaljabar dan ideal TM-aljabar. Kaitan antara
dengan TM-subaljabar dan ideal TM-
aljabar bisa dijadikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap merupakan TM-subaljabar, begitu pula kaitan antara
juga
dengan ideal TM-
aljabar.
IV. UCAPAN TERIMA KASIH Banyak pihak yang telah membantu dalam penyelesaianTugasAkhir ini. Oleh karena itu, rasa hormat dan terima kasih penulis ingin sampaikan kepada : 1. Bapak Suryoto, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat-nasehatnya selama ini, 2. Bapak Drs. Solichin Zaki, M.Kom, selaku dosen pembimbing II yang juga telah membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya Tugas Akhir ini, 3. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah Anda berikan
V. DAFTAR PUSTAKA [1]
Dar. K.H and Akram, Muhammad. 2006. On Endomorphisms of BCH algebas. Annals of University of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser.
[2]
Deffyana Prastya Arifani. 2010. Skripsi Semi-Homomorfisma BCK-Aljabar. UNDIP. Semarang.
[3]
Desrimarolisa Dwi Anggrainy. 2010. Q-Aljabar. UNDIP. Semarang.
[4]
Dewi Yunitasari. 2010. Skripsi BCK-Aljabar hiper. UNDIP.Semarang.
[5]
Gilbert, Jimmie and Linda Gilbert. Elements Of Modern Algebra. Third Edition, PWS-KENT Publishing Company. Boston.
[6] Megalai, K and Dr.A.Tamilarasi. TM-algebras-An Introduction, IJCA (2010), hal : 1-7. [7] Lipschutz, Seymour, 1981 , Schaum’s
Outline
of
Theory
and
Problems of Set Theory and Related Topics , McGraw-Hill Book Company,Singapore. [8]
Nony Aprilia, 2009. Skripsi BCI-aljabar. UNDIP. Semarang.
