TKS 4003 Matematika II
Nilai Ekstrim (Extreme Values)
Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Fungsi Dua Peubah • Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga–harga dua peubah bebas x dan y (dari beberapa domain D), terdapat korespondensi harga–harga tertentu, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari dua peubah bebas x dan y yang tertentu di dalam domain D. Secara simbolis, fungsi dari dua variabel dituliskan dengan z = f(x,y). • Kumpulan pasangan–pasangan (x,y) dari harga–harga x dan y untuk fungsi z = f(x,y) tertentu, disebut daerah asal atau domain (D). Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka diambil D yang berupa daerah asal mulanya (natural domain), yaitu himpunan semua titik (x,y) pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil.
Fungsi Dua Peubah (lanjutan) • Ilustrasi secara grafis : Z S
Z=f(x,y)
a
c d
b
X
(x,y)
Y
f : D (x,y)D dan z = f(x,y) pada bidang S
Maksimum dan Minimum • Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal (maksimum relatif) dimana x = a jika f (a) lebih besar dari sembarang nilai f(x) lainnya dari x sekitar a, dan dikatakan mempunyai minimum lokal (minimum relatif) pada x = a, jika f(a) lebih kecil dari sembarang nilai f(x) lain untuk x di sekitar a. • Maksimum dan minimum lokal suatu fungsi ini adalah maksimum dan minimum untuk jarak tertentu yang berdekatan, sedangkan maksimum dan minimum absolut dari suatu fungsi mempunyai jarak yang lebih besar lagi dan terketak pada titik yang paling tinggi atau paling rendah dari jarak tersebut, melebihi maksimum atau minimum lokal yang manapun.
Maksimum dan Minimum (lanjutan) • Jadi dapat dikatakan bahwa f(x) mempunyai nilai maksimum absolut pada nilai x = a1 dalam batas b ≤ x ≤ c, jika nilai f(x) pada x = a1 mempunyai nilai paling tinggi, f(a1) > f(x). • Sedangkan f(x) mempunyai nilai maksimum lokal pada dalam batas b ≤ x ≤ c, jika nilai f(x) pada x = a2. Dengan cara yang sama dapat pula diterangkan konsep minimum absolut dan minimum lokal.
Maksimum dan Minimum (lanjutan) • Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas (convex upward) dan fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah (convex downward). • Bisa juga terjadi bahwa suatu nilai maksimum lokal dari suatu fungsi lebih kecil dari nilai minimum lokal dari fungsi tersebut dalam suatu jarak tersebut.
Nilai Ekstrim • Nilai maksimum dari fungsi z = f(x,y) dicapai pada pasangan nilai variabel-variabel bebas x dan y adalah nilai terbesar dari fungsi f(x,y) dalam suatu lengkungan dari titik (x0,y0,0) dan nilai minimum dari z = f(x,y) adalah nilai terkecil di lengkungan dari titik (x1,y1,0). • Ada beberapa batasan yang harus diperhatikan untuk mengetahui nilai ekstrim suatu fungsi, yaitu : 1. Fungsi z = f(x,y) mempunyai nilai maksimum di (x0,y0) jika terdapat bilangan-bilangan positif S1 dan S2 , sehingga berlaku : ∀ (x,y) ∈ H = { (x,y) | |x-x0|< S1, (x,y) | |y-y0| < S2 } berlaku f(x0,y0) ≥ f(x,y).
Nilai Ekstrim (lanjutan) 2. Fungsi z = f(x,y) mempunyai nilai minimum jika f(x0,y0) ≤ f(x,y). 3. Jika fungsi z = f(x,y) di (x0,y0) mencapai nilai maksimum atau minimum, maka fungsi z = f(x,y) mencapai nilai ekstrim dan titiknya disebut dengan titik ekstrim. 4. Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan dan jika T 𝐝𝐳 adalah titik pada permukaan. Jika berlaku 𝐓 = 𝟎 dan 𝐝𝐳 𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐓 = 𝟎, maka T disebut titik stasioner pada permukaan.
Nilai Ekstrim (lanjutan) Jika Δ > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) adalah nilai maksimum lokal f. ii. Jika Δ > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) adalah nilai minimum lokal f iii. Jika Δ > 0, maka f(a,b) adalah bukan suatu nilai ekstrem f. iv. Jika Δ = 0, maka uji ini tak berkeputusan. i.
Nilai Ekstrim (lanjutan) • Pandang f suatu fungsi dua peubah yang kontinu dalam suatu daerah segi empat terbuka H di bidang xy, jika (a,b) suatu titikdalam di dalam H dan jika fx(a,b) dan fy(a,b) ada, maka syarat perlu agar f(a,b) menjadi suatu nilai ekstrem f adalah fx(a,b) = fy(a,b) = 0 atau ∇f (a,b) = 0. • Pandang f suatu fungsi dua peubah yang kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu juga dalam suatu daerah segi empat terbuka H di bidang xy. Misalkan (a,b) suatu titik dalam H dengan ∇f (a,b) = 0, dan jika Δ = fxx(a,b)fyy(a,b) – fxy2(a,b), maka :
Contoh Suatu tangki logam dengan atasnya terbuka memuat 256 kaki kubik cairan. Tentukan ukuran tangki tersebut yang memerlukan bahan seminimum mungkin pada pembuatannya?
Penyelesaian :
Contoh (lanjutan) Syarat batas :
Contoh (lanjutan) Substitusi (1) ke (2) :
Contoh (lanjutan) Dimensi dan Kebutuhan Bahan :
Latihan •
•
Suatu talang terbuka yang penampangnya suatu trapesium sama kaki akan dibuat dari selembar panjang logam dengan lebar 12 inchi, dengan cara menekuk untuk membuat sisi-sisinya. Tentukan sudut alas talang itu dan kedua sisinya agar muatan talang dapat maksimum! Tentukan ukuran suatu kotak segi empat terbuka atasnya yang mempunyai volume maksimum apabila luas permukaan 48 m2!
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
