Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Integrálszámítás 4.
Filip Ferdinánd
[email protected] siva.banki.hu/jegyzetek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
2015 november 30.
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
1 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Az el®adás vázlata
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
2 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Az f (x ) függvény és az
x
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
tengely közti zárt terület
Az integrál geometriai értelmezéséb®l következik, hogy ha f korlátos és integrálható az [a; b] intervallumon, és f (x ) ≥ 0, akkor Z a
b
f (x ) dx
annak a síkidom területének a mér®számát jelenti, amelyet az f gra konja, az x = a és x = b egyenesek és az x tengely határolnak.
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
3 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Példák 1 2
Határozza meg az r sugarú kör területet! Határozza meg az xa + yb = 1 egyenlet¶ ellipszis területet!
Filip Ferdinánd
2
2
2
2
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
4 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Görbék közé zárt terület meghatározása
Legyenek f és g (x ) korlátos és integrálható függvények az [a; b] intervallumon, és f (x ) ≥ g (x ) minden x ∈ [a; b], akkor az y = f (x ) és y = g (x ), x = a, x = b által bezárt terület
T
Z = a
b
(f (x ) − g (x )) dx
egyenl®.
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
5 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Példák 1 2
Mekkora az f (x ) = x 2 és g (x ) = 3x − 2függvények által bezárt terület nagysága? Számolják ki
y = x 2 − 2x − 5 y = −x 2 − 3x + 1 3
a görbék által közrezárt síkidom területét! Határozzuk meg az x 2 + y 2 = 9 egyenlet¶ kör és az y 2 = 3x egyenlet¶ parabola által meghatározott zárt síkrészek területét!
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
6 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
A függvény gra konjának ívhossza
Legyen f : [a, b] → R folytonosan dierenciálható függvény, jelölje Γ a függvény gra konját. Akkor Γ -nak van ívhossza, mégpedig Z
b
q
Γ= a
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
1 + (f 0 (x ))2 dx .
Integrálszámítás 4.
7 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Példák 1 2
Számoljuk ki az f (x ) = x 2 függvény ívhosszát az x1 = −1 és x2 = 2 pontjai között! Egy egységnyi oldalú négyzet csúcsain bogarak . Egy adott pillanatban elindulnak egyenl® sebességgel, mégpedig a következ®képpen. Az A csúcson lev® bogár a B csúcson lev® felé, a B csúcson lev® bogár a C csúcson lev® felé, a C csúcson lev® bogár a D csúcson lev® felé, végül a D csúcson lev® bogár a A csúcson lev® felé. Mennyi utat tesz meg egy bogár a találkozásig?
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
8 / 12
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Forgástest területe
Legyen f : [a, b] → R folytonos függvény, akkor a gra konjának az x -tengely körüli megforgatásával nyert forgástestnek mindig van térfogata, mégpedig
V
Filip Ferdinánd
Z =π
2015 november 30.
a
b
(f (x ))2 dx .
Integrálszámítás 4.
9 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Példák 1 2
Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát! Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amit úgy kapunk, hogy az xa + yb = 1 egyenlet¶ ellipszist elforgatjuk az x tengely korul.
Filip Ferdinánd
2
2
2
2
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
10 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
A forgástest palástjának felszíne
Az [a, b] intervallumon nemnegatív, folytonosan dierenciálható f (x ) függvény görbéjének az x tengely körüli megforgatásával kapott forgás test palástjának felszínét az
F
= 2π
Z a
b
q f (x ) 1 + (f 0 (x ))2 dx
képlettel de niáljuk.
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
11 / 12
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás
Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar
Példák 1 2
Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát! Vezessük le az M magasságú, r sugarú egyenes körkúp palástjára vonatkozó kepletet!
Filip Ferdinánd
2015 november 30.
Integrálszámítás 4.
12 / 12
