Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry

Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry

8. Vyjednávání • Teorie her – Věda o řešení konfliktů – Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce

• Teorie vyjednávání – Odvětví teorie her – dohoda o spolupráci – Zabývá se vyjednávací hrou (vyjednávacím problémem) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • John Nash v letech 1950 a 1953 publikoval články o axiomatickém přístupu k řešení vyjednávací hry • Sestavil soubor axiomů • Ukázal, že existuje jediné řešení, které tyto axiomy splňuje = Nashovo vyjednávací řešení Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

3

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Ve vyjednávací hře předpokládáme – Existuje množina přípustných dohod – Existuje bod nedohody (hráči se nedohodnou)

• Hráči hledají lepší řešení než nedohodu • Bod nedohody je před vyjednáváním známý – příp. lze určit na základě maximinové či rovnovážné zaručené výhry Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

4

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Vyjednávací problém je charakterizován: – Množinou hráčů 𝑵 = {1, 2, … , 𝑁} • Pro jednoduchost uvažujme 2 hráče, N = 2

– Množinou přípustných dohod (množinou přípustných řešení) – Bodem nedohody – Množinou užitkových funkcí, které každé přípustné dohodě i bodu nedohody přiřadí užitek pro i-tého hráče Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

5

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Předpokládáme dále – Hráči jsou racionální – Hráči maximalizují svůj užitek – Hráči dokonale navzájem znají své užitkové funkce

• Uvažujeme vyjednávací hru s 2 hráči – Užitková funkce 1. hráče u(x) … reálné číslo – Užitková funkce 2. hráče v(y) … reálné číslo Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

6

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Nashovo vyjednávací řešení (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) – Užitek 1. hráče 𝑢(𝑥 ∗ ) – Užitek 2. hráče 𝑣(𝑦 ∗ )

• Bod nedohody (𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) – Užitek 1. hráče 𝑢(𝑥 𝑜 ) – Užitek 2. hráče 𝑣(𝑦 𝑜 )

Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

7

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Na základě von Neumannovy a Morgensternovy teorie užitečnosti Nash stanovil následující axiomy: 1. 2. 3. 4.

Paretovská efektivnost Symetrie Nezávislost na měřítku Nezávislost na irelevantních alternativách


8

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Příklad 1 – ukázka významu axiomů – Hru hrají dva hráči – Mají si mezi sebe jakkoliv rozdělit částku 2 Kč – Pokud se nedohodnou, dostane každý 0 Kč • Bod nedohody

– Pro jednoduchost předpokládejme, že užitek obou hráčů odpovídá finančnímu zisku •𝑢 𝑥 =𝑥 •𝑣 𝑦 =𝑦 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

9

𝑣 𝑦

2

Množina přípustných dohod

0 0 Bod nedohody

P 2 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

𝑢 𝑥 10

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Paretovská efektivnost – Vyjadřuje maximalizaci užitku obou hráčů – Řešení, které je dominované nemůže být vyjednávacím řešením – Nechť 𝑥 1 , 𝑦1 a 𝑥 2 , 𝑦 2 jsou libovolné přípustné dohody vyjednávacího problému P – Pokud 𝑢 𝑥 1 > 𝑢 𝑥 2 a 𝑣 𝑦1 > 𝑣 𝑦 2 pak 𝑥 2 , 𝑦 2 nemůže být vyjednávacím řešením problému P Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

11

𝑣 𝑦

2


𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 𝑥 1 , 𝑦1

Paretovsky efektivní řešení 𝑥2, 𝑦2

0 0 Bod nedohody


𝑢 𝑥 12

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Symetrie – Problém P je symetrický, pokud • 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑦 a 𝑣 𝑦 , 𝑢 𝑥 jsou prvky vyjednávacího problému P • pro bod nedohody platí 𝑢 𝑥 𝑜 = 𝑣 𝑦 𝑜


13

𝑣 𝑦

2

𝑣(𝑦)


Symetrie

𝑥, 𝑦 Paretovsky efektivní řešení

𝑢(𝑥) 0 0 𝑢(𝑥) 𝑜 = 𝑣 𝑦𝑜 = 0 Bod 𝑢 𝑥nedohody

P 𝑣(𝑦) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2

𝑢 𝑥 14

8.1 Nashovo vyjednávací řešení • Symetrie – Problém P je symetrický, pokud • 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑦 a 𝑣 𝑦 , 𝑢 𝑥 jsou prvky vyjednávacího problému P • pro bod nedohody platí 𝑢 𝑥 𝑜 = 𝑣 𝑦 𝑜

– Pokud je P symetrický, pak pro Nashovo rovnovážné řešení platí 𝑢 𝑥 ∗ = 𝑣 𝑦 ∗ • Oba hráči mají stejné vyjednávací schopnosti


15

𝑣 𝑦

2


Symetrie

Nashovo vyjednávací řešení leží na ose symetrie 𝑥, 𝑦

𝑣(𝑦)

Paretovsky efektivní řešení

0 0 Bod nedohody

P 𝑢(𝑥) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2

𝑢 𝑥 16

8.1 Nashovo vyjednávací řešení

• Nezávislost na měřítku

– Nechť 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ je vyjednávací řešení vyjednávacího problému P – Pokud transformujeme původní problém P na nový problém Q pomocí nových užitkových funkcí 𝑢𝑁 𝑥 = 𝑎𝑢 𝑥 + 𝑏 𝑣 𝑁 𝑦 = 𝑐𝑣 𝑦 + 𝑑 – Pak vyjednávacím řešením problému Q bude opět 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ s užitky 𝑢𝑁 𝑥 ∗ = 𝑎𝑢 𝑥 ∗ + 𝑏 𝑣 𝑁 𝑦 ∗ = 𝑐𝑣 𝑦 ∗ + 𝑑 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

17

𝑣 𝑦

𝑣 𝑁 𝑦 = 2𝑦 … nesymetrie

→ 𝒗(𝒚) = 𝟎, 𝟓𝒗𝑵 𝒚

2

Symetrie

𝑥, 𝑦

Množina přípustných dohod Nashovo vyjednávací řešení

1


0 0 Bod nedohody

𝑢𝑁 𝑥 = 𝑥

P

1 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2

𝑢 𝑥 18

8.1 Nashovo vyjednávací řešení

• Nezávislost na irelevantních alternativách

– Nechť vyjednávací problém Q je podmnožinou vyjednávacího problému P – Jestiže 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ je vyjednávací řešení problému P – A zároveň je přípustným řešením problému Q (leží v Q) – Pak 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ je také vyjednávacím řešením problému Q Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

19

𝑣 𝑦

2


Symetrie

Nashovo vyjednávací řešení


0 0 Bod nedohody

Q

P 2


𝑢 𝑥 20

8.1 Nashovo vyjednávací řešení Nashovo vyjednávací řešení • Řešení, které splňuje uvedené 4 axiomy • Hledáme řešení s nejvyšší hodnotou tzv.

Nashova součinu 𝒖 𝒙∗ − 𝒖 𝒙𝒐

∙ 𝒗 𝒚∗ − 𝒗 𝒚𝒐


21

8.1 Nashovo vyjednávací řešení Příklad 1: 𝑢 𝑥∗ − 𝑢 𝑥𝑜 ∙ 𝑣 𝑦∗ − 𝑣 𝑦𝑜 = 𝑢 1 −𝑢 0 ∙ 𝑣 1 −𝑣 0 = 1−0 ∙ 1−0 =1 • Lze ukázat, že to je nejvyšší možná hodnota, pokud 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑦 = 2 • V tomto případě hledáme maximum 𝑢 𝑥∗ − 0 ∙ 𝑣 𝑦∗ − 0 = 𝑢 𝑥∗ ∙ 𝑣 𝑦∗ Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

22

𝑣 𝑦

2

0 0 Bod nedohody


𝑢 𝑥 23

8.2 Příklady Příklad 2: Bill a Jack směňují věci • Zdroj: J. F. Nash, The Bargaining Problem. Econometrica, 1950 • Dva kamarádi: Bill a Jack • Bill: knížka, káča, míč, pálka, krabička • Jack: psací pero, hračka, nůž, čapka


24

𝒖 𝑩𝒐 = 𝟏𝟐

8.2 Příklady

𝒖 𝑱𝒐 = 𝟔

Užitek pro Billa Užitek pro Jacka Billovy věci

Jackovy věci

Knížka

2

4

Káča

2

2

Míč

2

1

Pálka

2

2

Krabička

4

1

Psací pero

10

1

Hračka

4

1

Nůž

6

2

Čapka

2

2

A teď Vy!


25

8.2 Příklady Příklad 2: Bill a Jack směňují věci • Jakého nejvýhodnějšího řešení mohou chlapci dosáhnout? • Kolik je Nashův součin pro Vaši výměnu? 𝒖 𝒙∗ − 𝒖 𝒙𝒐 ∙ 𝒗 𝒚∗ − 𝒗 𝒚𝒐 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

26

𝒖 𝑩𝒐 = 𝟏𝟐 𝒖 𝑩∗ = 𝟐𝟒 8.2

Příklady

𝒖 𝑱𝒐 = 𝟔 𝒖 𝑱∗ = 𝟏𝟏

Užitek pro Billa Užitek pro Jacka

Kolik je Nashův součin? Billovy věci

∗

Knížka

2

4

Káča

2

2

Míč

2

1

𝒐

∗

𝒐

𝒖 𝒙 −𝒖 𝒙 ∙ 𝒗 𝒚 −𝒗 𝒚 Krabička 4 1 = 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐 𝟏𝟏 − 𝟔 = 𝟔𝟎 Jackovy věci Psací pero 10 1 Pálka

Hračka

2

4

Máte víc?

2

1

Nůž

6

2

Čapka

2

2


27

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Zdroj: Fiala a kol. Kvantitativní ekonomie, 1994 • Dva kamarádi: Aleš a Bert • Riskantní investice 60 Kč • Při úspěchu výdělek 160 Kč (zisk 100 Kč) • Při neúspěchu výdělek 0 Kč (ztráta 60 Kč) • Obě možnosti s pravděpodobností 50 % Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

28

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Investice je nabídnuta nejdříve Alešovi 𝑥 pro 𝑥 > −20 • 𝑢 𝑥 = 4𝑥 + 60 jinak • x označuje výnos z investice • Aleš citelně nese ztrátu větší než 20 Kč • Má Aleš investici přijmout? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

29

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují 𝑥 pro 𝑥 > −20 •𝑢 𝑥 = 4𝑥 + 60 jinak • 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 100 + 0,5 ∙ 𝑢 −60 = 0,5 ∙ 100 + 0,5 ∙ −4 ∙ 60 + 60 = 50 + 0,5 ∙ −180 = 50 − 90 = −𝟒𝟎 • Aleš by nabídku přijmout neměl • Při odmítnutí bude mít 𝑢 𝑥 = 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

30

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Investice je tedy nabídnuta Bertovi 𝑦 pro 𝑦 > −30 • 𝑣 𝑦 = 3𝑦 + 60 jinak • y označuje výnos z investice • Bert nese ztrátu lépe než Aleš • Má Bert investici přijmout? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

31

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují 𝑦 pro 𝑦 > −30 •𝑣 𝑦 = 3𝑦 + 60 jinak • 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 100 + 0,5 ∙ 𝑣 −60 = 0,5 ∙ 100 + 0,5 ∙ −3 ∙ 60 + 60 = 50 + 0,5 ∙ −120 = 50 − 60 = −𝟏𝟎 • Také Bert by nabídku přijmout neměl • Při odmítnutí bude mít 𝑣 𝑦 = 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

32

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Bert navrhne Alešovi společnou investici v poměru 60:40 (náklady i výnosy) • Bert zaplatí 60 % nákladů (0,6 ∙ 60 = 36) • Aleš zaplatí 40 % nákladů (0,4 ∙ 60 = 24) • Výnosy rozdělí ve stejném poměru • Má Aleš na dohodu přistoupit? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

33

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Aleš (investice: 24, výnos: 0,4.160=64) 𝑥 pro 𝑥 > −20 • 𝑢 𝑥 = 4𝑥 + 60 jinak • 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 40 + 0,5 ∙ 𝑢 −24 = 0,5 ∙ 40 + 0,5 ∙ −4 ∙ 24 + 60 = 20 + 0,5 ∙ −36 = 20 − 18 = 𝟐 • Při odmítnutí bude mít 𝑢 𝑥 = 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

34

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Bert (investice: 36, výnos: 0,6.160=96) 𝑦 pro 𝑦 > −30 • 𝑣 𝑦 = 3𝑦 + 60 jinak • 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 60 + 0,5 ∙ 𝑣 −36 = 0,5 ∙ 60 + 0,5 ∙ −3 ∙ 36 + 60 = 30 + 0,5 ∙ −48 = 30 − 24 = 𝟔 • Při odmítnutí bude mít 𝑣 𝑦 = 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

35

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Aleš: 𝑢 𝑥 = 2 • Bert: 𝑣 𝑦 = 6 • Má Aleš nabídku přijmout? • Kolik je Nashův součin? 2 − 0 6 − 0 = 12 • Co by se stalo, kdyby – Aleš vložil 20 Kč a v případě výhry získá 50 – Bert vložil 40 Kč a získá 110 Kč Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

36

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Aleš: investice 20, výnos 50 𝑥 pro 𝑥 > −20 • 𝑢 𝑥 = 4𝑥 + 60 jinak • 𝒖 𝒙 = 0,5 ∙ 𝑢 30 + 0,5 ∙ 𝑢 −20 = 0,5 ∙ 30 + 0,5 ∙ −4 ∙ 20 + 60 = 15 + 0,5 ∙ −20 = 15 − 10 = 𝟓 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

37

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Bert: investice 40, výnos 110 𝑦 pro 𝑦 > −30 • 𝑣 𝑦 = 3𝑦 + 60 jinak • 𝒗 𝒚 = 0,5 ∙ 𝑣 70 + 0,5 ∙ 𝑣 −40 = 0,5 ∙ 70 + 0,5 ∙ −3 ∙ 40 + 60 = 35 + 0,5 ∙ −60 = 35 − 30 = 𝟓 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

38

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Aleš: investice 20, výnos 50 𝒖 𝒙 =𝟓 • Bert: investice 40, výnos 110 𝒗 𝒚 =𝟓 • Kolik je Nashův součin? 5 − 0 5 − 0 = 25 • Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

39

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Měl tedy Aleš nabídku 60:40 přijmout? • Nikoliv. Vhodným vyjednáváním může Aleš získat více. – Původní nabídka vedla k očekávanému užitku 2 – Nashovo vyjednávací řešení má pro Aleše očekávaný užitek 5


40

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Pro tento příklad neexistuje řešení s vyšším Nashovým součinem než 25 • Aleš: investice 20, výnos 50, 𝒖 𝒙 = 𝟓 • Bert: investice 40, výnos 110, 𝒗 𝒚 = 𝟓 • Aleš investuje třetinu a získá 31,25 % (méně než třetinu) • Je to logické? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

41

8.2 Příklady Příklad 3: Aleš a Bert investují • Bert nevnímá ztráty tak citlivě jako Aleš • Do investice tedy dává vyšší částku (dvě třetiny počáteční investice) • Má tedy lepší vyjednávací pozici • Může požadovat více než dvě třetiny výnosu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

42

KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

43

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry

Recommend Documents