Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací

Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací

7.1 Informace • Dosud – hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů – často to tak není • neznáme užitky protihráčů při aukcích, nákladové funkce konkurenčních firem apod. • většinou úplnou informaci nemáme Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2

7.1 Informace • Hry s úplnou informací – známe výplatní matice (i soupeřovy), prostory strategií, pravidla hry – postupy lze využít, pokud neúplnost informace dramaticky neovlivní výsledky

• Hry s neúplnou informací (Bayesovské hry) – nemáme úplnou informaci o hře – pokud je neúplnost zásadní vlastností Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

3

7.2 Statická Bayesovská hra • Příklad: Šachy, NIM, mariáš, prší, … – všechna pravidla znám před hrou, – vím, jaké tahy hráč může hrát, – vím, kolik dostane vítěz a jak vítěze poznám – Hry s úplnou informací („otevřená hra“) • Šachy, NIM

– Hry s neúplnou informací („utajená hra“) • karetní hry, např. mariáš, prší, poker apod. • neznám soupeřovy karty Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

4

7.1 Informace • Nezaměňovat neúplnou a nedokonalou info! – Hry s (ne)úplnou informací (info před hrou) – Hry s (ne)dokonalou informací (info během hry)

• Hry s dokonalou informací – – – –

každý hráč zná všechny předchozí tahy zná tedy i aktuální pozici (uzel) ve stromě hry šachy, NIM … hry s dokonalou informací mariáš, poker … hry s nedokonalou informací Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

5

7.1 Informace • Soukromá informace – informace, která není k dispozici ostatním hráčům (např. karty, které držím v ruce při pokeru, mariáši apod.) – počáteční soukromá informace se označuje jako typ hráče

• Všeobecně známá informace – informace dostupné všem hráčům Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

6

7.2 Statická Bayesovská hra • John C. Harsanyi (Maďarsko, Austrálie, USA) • 1994 – Nobelova cena • 1967 – 1968 články v Management Science – konfliktní situace s neúplnou informací – navrhl doplnění neúplné informace – apriorní tah fiktivního hráče „Příroda“, který určí typ každého hráče Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

7

7.2 Statická Bayesovská hra • Pouze hráč sám zná svůj skutečný typ • Všichni hráči ale znají ex ante – všechny možné typy ostatních hráčů a – pravděpodobnostní rozdělení, ze kterého jsou vybrány typy ostatních hráčů

Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

8

7.2 Statická Bayesovská hra • Původní hra se v tu chvíli stává – hrou s úplnou informací, neboť všichni hráči znají všechny možné výplatní hodnoty všech typů všech hráčů (informace před začátkem hry) – hrou s nedokonalou informací, neboť ne všichni zjistí apriorní tah fiktivního hráče „Příroda“ (informace v průběhu hry) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

9

7.2 Statická Bayesovská hra • Příklad – karetní hra, např. mariáš, prší, poker apod. – jsou rozdány karty a já znám ty své, ne však soupeřovy – hra s neúplnou informací (na začátku neznají všichni všechno) – „Příroda“ doplní neúplnou informaci: • vím, jaké karty mohou dostat soupeři, a • vím, s jakou pravděpodobností je dostanou • navíc vím, jaké jsou hodnoty výplatních funkcí Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

10

7.2 Statická Bayesovská hra • Příklad – stejné informace mají také ostatní hráči – jedná se tedy o hru s úplnou informací – zároveň se jedná o hru s nedokonalou informací, protože ne všichni hráči se dozví, jak byly karty rozdány • znám ty své – vím, jaké karty mi dala „Příroda“, • ale nevím, jaké karty dala příroda soupeřům


11

7.2 Statická Bayesovská hra • Předpoklad: všichni hráči mají stejné apriorní názory na pravděpodobnostní rozdělení tahu „Přírody“ • Což ale v praxi nemusí platit


12

7.2 Statická Bayesovská hra • Příklad: – hraje se mariáš, každý dostává 8 karet, jedna barva jsou trumfy – všichni se shodnou na tom, že pravděpodobnost, že trumfové eso má jeden konkrétní soupeř je 𝑝=

1 31−8 1 7 32−8 8


13

7.2 Statická Bayesovská hra • Pokud uvedený předpoklad platí, dostáváme hru – s úplnou informací (všichni před hrou vědí vše) – ale s nedokonalou informací (neznám karty)

• Na takovou hru lze použít koncepci Nashovy rovnováhy


14

7.2 Statická Bayesovská hra • Bayesovská hra (hra s neúplnou informací) je určena – Množinou hráčů {1, 2, …, N} – Množinou prostorů strategií {X1, X2, …, XN} • Xi označuje prostor strategií i-tého hráče • konkrétní strategie pak označíme (x1, x2, …, xN)

– Množinou prostorů typů hráčů {T1, T2, …, TN} • i-tý hráč zná svůj typ 𝑡𝑖 ∈ 𝑇𝑖 , ale nezná typy ostatních hráčů • typ 𝑡𝑖 ∈ 𝑇𝑖 odpovídá určité výplatní funkci hráče i Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

15

7.2 Statická Bayesovská hra • Bayesovská hra (hra s neúplnou informací) je určena – Množinou hráčů, Množinou prostorů strategií, Množinou prostorů typů hráčů – Množinou názorů hráčů {p1, p2, …, pN} • pi je názor hráče i, který má o typech ostatních hráčů • subjektivní pravděpodobnostní funkce

– Množinou výplatních funkcí {f1(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN), …, fN(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN)} Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

16

7.2 Statická Bayesovská hra • V Bayesovské hře budeme považovat každý typ každého hráče za samostatného hráče • Příklad: každá možná kombinace rozdaných 8 karet představuje jednoho hráče • „Příroda“ náhodně vybere ty hráče, kteří budou hru skutečně hrát – na základě pravděpodobnostního rozdělení, které znají všichni hráči Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

17

7.2 Statická Bayesovská hra • Každý typ každého hráče vybere svoji strategii dříve, než „Příroda“ rozhodne, kdo bude hrát • Tím k původní hře H s neúplnou informací dostáváme hru H* s nedokonalou informací


18

7.2 Statická Bayesovská hra • Původní hra H (s neúplnou informací) – – – –

N hráčů, i = 1, 2, …, N hráč i má mi typů množina prostorů strategií {X1, X2, …, XN} množina výplatních funkcí

{f1(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN), …, fN(x1, x2, …, xN, t1, t2, …, tN)}

• Odvozená hra H* (s nedokonalou informací) – M hráčů, j = 1, 2, …, M

𝑁

𝑀=

𝑚𝑖 Kolik je M? 𝑖=1


19

7.2 Statická Bayesovská hra • Odvozená hra H* (s nedokonalou informací) 𝑁 𝑖=1 𝑚𝑖

– M hráčů, j = 1, 2, …, M, kde 𝑀 = • j = (i, ti) … každý typ každého hráče

– množina prostorů akcí {Y1, Y2, …, YM} • akce = volba hráče, který už zná svůj typ • strategie = akce hráče, který ještě svůj typ nezná a musí tak naplánovat optimální akci pro každý svůj možný typ

– množina výplatních funkcí {g1(y1, y2, …, yM), …, gN(y , y , …, y )} 1


2

M

20

7.2 Statická Bayesovská hra • Hodnoty výplatních funkcí jsou počítány jako očekávané hodnoty 𝑔𝑖 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑀 =

𝑝 𝑡𝑖 𝑓𝑖 (𝑥, 𝑡) 𝑡𝑖

(chybný index ve skriptech)


21

7.2 Statická Bayesovská hra • Bayesova-Nashova rovnováha ve hře s neúplnou informací H (Bayesovská hra) = • Nashova rovnováha ve hře s nedokonalou informací H* V každé konečné hře s neúplnou informací existuje alespoň jedna Bayesova-Nashova rovnováha Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

22

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Manželé jdou večer na koncert – rozhodují se mezi Bachem a Stravinským • Muž preferuje Bacha, žena Stravinského • Každý chce jít na koncert a nejraději půjdou spolu • Pokud spolu nepůjdou, nebudou mít žádný užitek 23

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS)

muž/žena 𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑣𝑖𝑛𝑠𝑘𝑖

𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟. 2,1 0,0 0,0 1,2

24

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Předpokládejme nyní, že – ráno došlo k hádce – muž, který je nyní v práci, si není jistý, jestli je žena naštvaná či už ji to přešlo – pokud je žena stále naštvaná, nechce manžela večer vidět – pokud žena naštvaná není, manžela vidět chce 25

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Muž odhaduje pravděpodobnost, že je žena naštvaná na 50 % • Pokud žena naštvaná není: původní matice • Pokud žena naštvaná je: jiné preference

muž/žena 𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑣𝑖𝑛𝑠𝑘𝑖

𝐵𝑎𝑐ℎ 𝑆𝑡𝑟. 2,0 0,2 0,1 1,0

26

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Jedná se o hru s neúplnou informací – muž totiž neví, zda ho manželka chce či nechce vidět – žena tuto soukromou informaci samozřejmě má (ví, zda muže chce nebo nechce vidět) – muž má tedy jeden typ, zatímco žena má 2 možné typy (nenaštvaná a naštvaná) 27

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Převedeme tedy na hru s 3 hráči – muž, nenaštvaná žena a naštvaná žena • Pravděpodobnostní rozdělení typů ženy je (0.5, 0.5) – oba ho znají před tahem „Přírody“ – na začátku hry se pouze žena dozví výsledek tahu „Přírody“, který určí její skutečný typ 28

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Manžel nezná dnešní náladu manželky (typ ženy) • Musí tedy odhadnout optimální akce pro oba typy • Abychom mohli zapsat výsledky do jedné matice, vytvoříme pro ženu všechny možné kombinace 29

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Uspořádaná dvojice (a,b) označuje – nenaštvaná manželka volí akci a a zároveň – naštvaná manželka volí akci b

• Pro ženu mohou tedy nastat 4 možnosti: – (B, B), (B, S), (S, B) a (S, S) – B … Bach, S … Stravinski

30

7.2 Statická Bayesovská hra Příklad 2 – Manželský spor (BoS) • Výplatní matice pak uvádí tři hodnoty – výplatu muže – výplatu nenaštvané ženy – výplatu naštvané ženy

31


m/ž1 𝐵 𝑆

𝐵 𝑆 2,1 0,0 0,0 1,2

m/ž2 𝐵 𝑆

𝐵 𝑆 2,0 0,2 0,1 1,0

= 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟐 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟎 = 𝟏

m/(ž1, ž2) 𝐵 𝑆

(𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆) 2,1,0 𝟏, 𝟏, 𝟐 1,0,0 0,0,2 0,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0

32


m/(ž1, ž2) 𝐵 𝑆

(𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆) 2,1,0 1,1,2 1,0,0 0,0,2 0,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0

• V této hře hledáme Nashovu rovnováhu

Bayesova-Nashova rovnováha – Muž – sloupcová maxima z prvních hodnot v ryzích strategiích (akcích) – Nenaštvaná žena 1 – řádková z druhých hodnot – Naštvaná žena 2 – řádková z třetích hodnot 33


(𝐵, 𝐵) (𝐵, 𝑆) (𝑆, 𝐵) (𝑆, 𝑆) m/(ž1, ž2) 2,1,0 1,1,2 1,0,0 0,0,2 𝐵 0,0,1 0.5,0,0 0.5,2,1 1,2,0 𝑆 • Rovnováha v ryzích strategiích – {B, (B,S)} – Muž volí Bacha, nenaštvaná žena také Bacha a naštvaná žena Stravinského – Muž tedy jde na Bacha a čeká, zda přijde i žena34

7.2 Statická Bayesovská hra • Statická Bayesovská hra – hra s neúplnou informací v normálním tvaru – pro úplnou info Nashova rovnováha – pro neúplnou info Bayesova-Nashova rovnováha

• Dynamická Bayesovská hra – hra s neúplnou informací v rozvinutém tvaru – pro úplnou info dokonalá rovnováha podhry – pro neúplnou info dokonalá Bayesova rovnováha (kombinace B-N rovnováhy a dokonalé rovnováhy 35 podhry)

7.2 Statická Bayesovská hra Typ hry

Normální tvar

Rozvinutý tvar

Úplná informace

Nashova rovnováha

Dokonalá rovnováha podhry

Neúplná informace

Bayesova-Nashova rovnováha

Dokonalá Bayesova rovnováha

36

KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

37

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací

Recommend Documents