Teorie her a ekonomické rozhodování Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her
Úvodní informace • Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. – Místnost: 433 NB – Konzultace: Středa 6:30 – 7:30, 19:30 – 20:30 Čtvrtek 19:30 – 20:30 (ISIS) – E-mail:
[email protected] • Hodnocení kurzu – 50 bodů ze semestru (práce na cvičení, domácí úkoly) – 50 bodů ze zkouškového testu • Doporučená literatura – Dlouhý, M., Fiala, P.: Úvod do teorie her. Praha: Oeconomica, 2007. ISBN 978-80-245-1273-0. 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
2
Obsah kursu 1. Historie teorie her, některé paradoxy teorie užitku. 2. Hra v normálním tvaru – antagonistický konflikt (konstantní součet) 3. Hra v normálním tvaru – neantagonistický konflikt (nekonstantní součet) 4. Hra v rozvinutém tvaru – řada po sobě jdoucích tahů 5. Opakovaná hra 6. Kooperativní hra s více hráči – tvorba koalic 7. Hry s nedokonalou informací 8. Modely vyjednávání 9. Modely monopolu a oligopolu 10. Rozhodování za rizika a neurčitosti 11. Aukce 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
3
1. Úvod do teorie her • Teorie her – matematická ekonomie, teorie rozhodování, operační výzkum • Rozbor rozhodovacích situací s více hráči (konfliktní) • Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací
4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
4
1.1 Historie • Augustin Cournot (Francie, 1838) – výrobní kvóty duopolistů • Ernst Zermelo (Německo, 1913), Émile Borel (Francie, 1921), John von Neumann (Maďarsko, USA, 1928) – základy současné teorie her 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
5
1.1 Historie • John von Neumann • Oskar Morgenstern • Theory of Games and Economic Behavior (Teorie her a ekonomické chování) • Princenton, USA, 1944, 625 stran 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
6
1.2 Základní pojmy • Teorie her se původně zabývala společenskými (salónními) hrami – šachy, poker apod. • Odtud používané názvosloví – hra, hráč, strategie, výplatní funkce
4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
7
1.2 Základní pojmy • • • •
Konfliktní situace mezi několika účastníky = hra Účastníci konfliktní rozhodovací situace = hráči Možnost, kterou může účastník zvolit = strategie Soubor všech rozhodovacích možností účastníka = prostor strategií • Výsledek hry (užitek), výhra hráče = výplatní funkce • Každý hráč vybírá strategii ze svého prostoru strategií podle hodnoty výplatní funkce 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
8
1.2 Základní pojmy • Výplatní funkce – Závisí na rozhodnutí (strategii) samotného hráče – Závisí také na rozhodnutí ostatních hráčů • Optimální strategie = strategie, která pro danou hru zajišťuje hráči nejvyšší možnou hodnotu výplatní funkce • Inteligentní hráč = hráč má o hře dokonalé informace a chová se tak, aby maximalizoval hodnotu výplatní funkce 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
9
1.2 Základní pojmy • Zájmy hráčů – Antagonistický konflikt = jsou v přímém protikladu – Neantagonistický konflikt = nejsou v přímém protikladu • Kooperativní teorie = možnost spolupráce • Nekooperativní teorie = nemožnost spolupráce
4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
10
1.3 Teorie užitku • Hráč maximalizuje hodnotu výplatní funkce = maximalizuje užitek • V ekonomické teorii užitek vysvětluje spotřebitelské chování • Užitek = stupeň uspokojení ze spotřeby určitého statku • Jedná se ovšem o subjektivní pojem 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
11
1.3 Teorie užitku • Měřitelnost užitku – Ordinalistická teorie užitku – lze určit pouze pořadí (A je užitečnější než B) – Kardinalistická teorie užitku – užitek lze vyjádřit číselně (o kolik či kolikrát je A užitečnější než B)
• Teorie užitku používaná pro konstrukci výplatní funkce pro každého hráče 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
12
1.3 Teorie užitku • Konstrukce funkce užitku: – Výhra, remíza, prohra: +1, 0, –1 – Zisk apod.: peněžní jednotky
• Teorie očekávané hodnoty (EV) – Rozhodování za rizika – EV = vážený průměr hodnot všech možných výsledků (váhy = pravděpodobnosti) – Petrohradský paradox 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
13
Petrohradský paradox • Daniel Bernoulli (Švýcarsko, 1738) • Teorie EV není dostatečná – – – –
Hráč hraje tuto hru jen jednou Bankéř hází mincí, dokud nepadne hlava Padne-li hlava v n-tém hodu, vyplatí 2𝑛 Kč Hráč má právo nehrát a požadovat jakoukoliv částku, bankéř má právo tuto nabídku odmítnout (připadá-li mu moc vysoká) a proběhne hra 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
14
Petrohradský paradox • Požaduje-li hráč rozumnou částku, bankéř vyhoví • Kolik je ale rozumná částka? – Střední hodnota výhry (očekávaná hodnota)
Vaše volba ? – n–1 krát padne orel a pak hlava … 𝑝 = 1 𝑛 2
– 𝐸𝑉 =
1 2 2
+
1 4 4
+
1 8 8
+⋯+
𝑛 𝑛 1 2 2
4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
+⋯=∞ 15
Petrohradský paradox • Bankéř by tedy měl přistoupit na jakkoliv velkou částku, neboť očekávaná výhra hráče je 𝐸𝑉 = ∞ • To však bankéř neudělá – ve skutečnosti vysokou částku odmítne • To si uvědomuje i hráč a volí podle toho svou strategii 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
16
Petrohradský paradox • Bernoulliho vysvětlení: – Bankéř ani hráč se neřídí očekávanou (střední) hodnotou – Důvodem je „užitečnost peněz“ – Užitek jedné peněžní jednotky s rostoucím množstvím klesá – Funkce užitku je tudíž konkávní (logaritmická) – Rozhodování se tedy řídí užitkovou funkcí (ne očekávanou hodnotou) 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
17
1.3 Teorie užitku • Teorie očekávané hodnoty byla nahrazena teorií očekávaného užitku (EUT, expected utility theory) • I v případě Petrohradského paradoxu dobře zvolená funkce užitku zajistí, že střední hodnota užitku neroste do nekonečna 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
18
Allaisův paradox • Maurice Allais (Francie, 1953; Nobelova cena z roku 1988) • Lidé někdy projevují preference v rozporu s axiomy EUT – Hráči jsou předloženy vždy dvě loterie – Hráč z dvojice volí tu, která se mu zdá lepší (kterou preferuje, přináší mu větší užitek) – V jedné z dvojic nabízí jedna loterie jistou výhru 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
19
Allaisův paradox • Hra 1 – A:
1 mil. Kč
100 %
– B:
5 mil. Kč 1 mil. Kč 0 Kč
10 % 89 % 1%
• Hráči většinou volí loterii A • EV(A) = 1 mil. Kč • EV(B) = 1,39 mil. Kč
Vaše volba ?
4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
20
Allaisův paradox • Hra 2 – C:
5 mil. Kč 0 Kč
10 % 90 %
– D:
1 mil. Kč 0 Kč
11 % 89 %
• Hráči většinou volí loterii C • EV(C) = 0,5 mil. Kč • EV(D) = 0,11 mil. Kč
Vaše volba ?
4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
21
Allaisův paradox • Podle EV se hráči nerozhodují (již víme z Petrohradského paradoxu) • Ani podle funkce užitku peněz však nebylo toto rozhodnutí racionální • Z uvedených preferencí lze ukázat: – A je lepší než B a – C je lepší než D → B je lepší než A – což je spor 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
22
Allaisův paradox • Dokažme, že: C je lepší než D → B je lepší než A C je lepší než D:
0,10𝑢 5 + 0,90𝑢 0 > 0,11𝑢 1 + 0,89𝑢(0) Platí, že
0,11𝑢 1 = 1 − 0,89 𝑢 1 = 𝑢 1 − 0,89𝑢(1) a dosazením
0,10𝑢 5 + 0,90𝑢 0 > 𝑢 1 − 0,89𝑢 1 + 0,89𝑢 0 a odtud: 0,10𝑢 5 + 0,89𝑢 1 + 0,01𝑢 0 > 𝑢 1 neboli B je lepší než A 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
23
Allaisův paradox • Výsledky potvrzují hypotézu, že – jistota (100% pravděpodobnost) posiluje přitažlivost dané varianty – jistota nějaké varianty ovlivní hodnocení ostatních variant
• Výsledky tohoto experimentu zpochybňují teorii racionálního očekávání (výhry se stejnou střední hodnotou by měly mít stejný užitek) • Závěr: na jednotlivé části hry (loterie) nelze pohlížet jako na nezávislé části 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
24
Ellsbergův paradox • Daniel Ellsberg (USA, 1962) • Lidé někdy projevují preference v rozporu s axiomy EUT (totéž jako Allais) – Hráči absolvují dvě rozhodovací kola – V každém volí jednu ze dvou sázek – V obou kolech je v urně 90 míčků • 30 má červenou barvu • Zbývající (60) mají černou a žlutou barvu – neznámý poměr 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
25
Ellsbergův paradox • Hra 1 – A:
sázka na červenou
červená = 10 Kč jinak = 0 Kč
– B:
sázka na černou
černá = 10 Kč jinak = 0 Kč
• Hráči většinou volí A 1 2 • Tedy: 3 𝑢 10 + 3 𝑢 0 > 𝑝 ∙ 𝑢
10 + 1 − 𝑝 𝑢(0)
Vaše volba ?
p – pravděpodobnost vytažení černé 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
26
Ellsbergův paradox • Hra 2 – C:
sázka na červenou a žlutou červená či žlutá = 10 Kč, jinak = 0 Kč
– D:
sázka na černou a žlutou černá či žlutá = 10 Kč, jinak = 0 Kč
• Hráči většinou volí D 1 • Tedy: 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢(10) + 3 𝑢 1 𝑢 3
0 >
10 + 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢(0) ? Vaše volba
p – pravděpodobnost vytažení černé, 𝑝 – žluté
27
Ellsbergův paradox • Hra 1 1 2 𝑢 10 + 𝑢 3 3 1 2 𝑢 10 + 𝑢 3 3 1 1 𝑢 10 − 𝑢 3 3 1 𝑢 10 − 𝑢 3
0 > 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 1 − 𝑝 𝑢(0) 0 > 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑢 0 − 𝑝 ∙ 𝑢 0 0 > 𝑝 ∙ 𝑢 10 − 𝑝 ∙ 𝑢(0) 0
> 𝑝 𝑢 10 − 𝑢 0 𝟏 𝟑
>𝒑
neboť 𝑢 10 > 𝑢 0 a tudíž 𝑢 10 − 𝑢 0 > 0
• Černých je méně než 1/3. 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
28
Ellsbergův paradox • Hra 2
2 𝑝+𝑝= 3 2 𝑝 = −𝑝 3
1 1 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢(10) + 𝑢 0 > 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢(0) 3 3 1 1 𝑝 + 𝑝 𝑢 10 + 𝑢 0 > 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢(0) 3 3 2 1 1 2 𝑢 10 + 𝑢 0 > 𝑢 10 + − 𝑝 ∙ 𝑢 10 + 𝑝 ∙ 𝑢(0) 3 3 3 3 2 1 1 2 𝑢 10 + 𝑢 0 > 𝑢 10 + 𝑢 10 − 𝑝 ∙ 𝑢(10) + 𝑝 ∙ 𝑢(0) 3 3 3 3 1 1 𝑢 0 − 𝑢 10 > 𝑝 𝑢(0) − 𝑢(10) 3 3 𝟏 𝟑
<𝒑
neboť 𝑢 0 − 𝑢 10 < 0
• Černých je více než 1/3. 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
29
Ellsbergův paradox • Závěr: – Hra 1 ukazuje, že hráč očekává méně než třetinu černých míčků – Hra 2 ukazuje, že hráč očekává více než třetinu černých míčků – Což je spor v racionálním očekávání
• Je porušen předpoklad nezávislosti užitkové funkce na riziku (averze vůči riziku) 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
30
1.3 Teorie užitku • Existují další nové modely teorie užitku (např. kumulativní prospektová teorie, Amos Tversky, Daniel Kahneman, 1992) – umí vysvětlit Allaisův paradox
• I přes uvedené paradoxy se stále v teorii her (a nejen v ní) používá teorie očekávaného užitku 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
31
KONEC 4EK421 - Teorie her a ekonomické rozhodování
32
