HISTORICKE´ ˇA ´ TKY POC TEORIE HER
ˇ TU PRAVDEˇPODOBNOSTI VZNIK POC Pierre de Fermat (1607 – 1665) a Blaise Pascal (1623 – 1662) Korespondence z roku 1654
Pierre de Fermat (1607 – 1665)
Blaise Pascal (1623 – 1662) 2
LE HER – PRVNI´ VY´SKYT SMI´SˇENY´CH STRATEGII´ Petr drzˇ´ı obvykly´ balı´cˇek 52 karet s hodnotami A, 2, 3, . . . ,10, J, Q, K a na´hodneˇ rozda´ jednu kartu Pavlovi a jednu sobeˇ. Cı´l: mı´t vysˇsˇ´ı kartu nezˇ protivnı´k Pravidla: • Pavel nespokojen ⇒ smı´ prˇimeˇt Petra k vy´meˇneˇ (nema´-li Petr K) • Petr nespokojen ⇒ smı´ si vymeˇnit na´hodneˇ z balı´cˇku (ale ne za K) • Karty stejne´ hodnoty ⇒ vyhra´va´ Petr ) Nicholas Bernoulli (1687 – 1759) & korespondence Pierre Re´mond de Montmort (1678 – 1719) • Pavel ma´ meˇnit kazˇdou kartu < 7, drzˇet > 7 • Petr ma´ meˇnit kazˇdou kartu < 8, drzˇet > 8 V meznı´ch prˇ´ıpadech: N. Bernoulli: oba majı´ meˇnit P. de Montmort: nemu˚zˇe by´t urcˇen zˇa´dny´ prˇedpis
3
James Waldegrave (1684 – 1741) 1713 dopis de Montmortovi: hleda´ strategii, ktera´ maximalizuje pravdeˇpodobnost hra´cˇova vı´teˇzstvı´ bez ohledu na to, jakou strategii zvolı´ oponent. • Petr ma´ zvolit strategii drzˇ 8 a vysˇsˇ´ı s pravdeˇpodobnostı´ 5/8 meˇnˇ 8 a nizˇsˇ´ı s pravdeˇpodobnostı´ 3/8; • Pavel ma´ zvolit strategii drzˇ 7 a vysˇsˇ´ı s pravdeˇpodobnostı´ 3/8 meˇnˇ 7 a nizˇsˇ´ı s pravdeˇpodobnostı´ 5/8 de Montmort, 1713: Essai d’Analyse sur les Jeux d’Hasard appendix – korrespondence: de Montmort + Jean a Nicholas Bernoulli)
4
James Waldegrave (1684 – 1741) 5
ˇA ´ TKY TEORIE UZˇITKU POC Daniel Bernoulli (1700 – 1782) Vy´klad nove´ teorie ohodnocenı´ risku (Petrohrad 1725 – 1733, publ. 1838) Risk by nemeˇl by´t hodnocen podle strˇednı´ hodnoty financˇnı´ho zisku, ale spı´sˇe podle strˇednı´ hodnoty uzˇitku, ktery´ tento zisk prˇinese. Ilustracˇnı´ prˇ´ıklad: Velmi chudy´ cˇloveˇk neˇjaky´m zpu˚sobem zı´ska´ los, ktery´ se stejnou pravdeˇpodobnostı´ prˇinese vy´hru dvaceti tisı´c duka´tu˚ nebo nic. Ocenı´ tento muzˇ svou sˇanci na vı´teˇzstvı´ na deset tisı´c duka´tu˚? Neproda´ neuva´zˇeneˇ tento los za deveˇt tisı´c duka´tu˚? Mneˇ osobneˇ se zda´, zˇe odpoveˇd’ je za´porna´. Na druhou stranu ma´m sklon veˇrˇit, zˇe bohaty´ muzˇ koupi tohoto losu za deveˇt tisı´c duka´tu˚ neuva´zˇeneˇ odmı´tne. Pokud se nemy´ly´m, pak je jasne´, zˇe prˇi hodnocenı´ hry nemohou vsˇichni lide´ pouzˇ´ıvat stejne´ pravidlo. . . . Nenı´ pochyb, zˇe zisk tisı´ce duka´tu˚ je mnohem vy´znamneˇjsˇ´ı pro zˇebra´ka nezˇ pro bohate´ho cˇloveˇka, i kdyzˇ oba zı´skajı´ stejnou cˇa´stku. 6
Funkce uzˇitku u(x) . . . pocˇet jednotek uzˇitku z vlastnictvı´ peneˇzˇnı´ cˇa´stky x Prˇedpoklad: prˇi zveˇtsˇenı´ cˇa´stky x na x + dx je prˇ´ıru˚stek uzˇitku du(x) prˇ´ımo u´meˇrny´ prˇ´ıru˚stku dx a neprˇ´ımo u´meˇrny´ cˇa´stce x : du(x) =
bdx x
b>0
u(x) = b ln x + c = b ln x − b ln α u(x) = b ln
x α
(konstanta u´meˇrnosti)
c∈R α ∈ (0, +∞) α – hodnota pocˇa´tecˇnı´ho majetku
Vyuzˇitı´: objasneˇnı´ Petrohradske´ho paradoxu
7
Petrohradsky´ paradox Petr ha´zı´ mincı´ a pokracˇuje v tom tak dlouho, dokud nepadne „hlava“. Souhlası´ s tı´m, zˇe da´ Pavlovi jeden duka´t, padne-li hlava v prvnı´m hodu, dva duka´ty, padne-li v druhe´m, cˇtyrˇi, padne-li ve trˇetı´m, osm, padne-li ve cˇtvrte´m, a tak da´le, takzˇe s kazˇdy´m dalsˇ´ım hodem se pocˇet duka´tu˚, ktere´ musı´ zaplatit, zdvojna´sobı´. Prˇedpokla´dejme, zˇe se snazˇ´ıme urcˇit hodnotu Pavlova ocˇeka´va´nı´ . . . Rozumny´ cˇloveˇk by s velky´m poteˇsˇenı´m prodal svou u´cˇast ve hrˇe za dvacet duka´tu˚. Strˇednı´ hodnota vy´hry:
1 +2· 2
2 n 1 1 1 1 1 n−1 + ··· + 2 · + ··· = + + ··· + ··· = ∞ 2 2 2 2 2
Paradox: ocˇeka´vana´ hodnota vy´hry je nekonecˇna´, cˇloveˇk da´ prˇednost pomeˇrneˇ skromne´ cˇa´stce
8
Bernoulli: strˇednı´ hodnota uzˇitku, ktery´ vy´hra prˇinese: ∞ X 1 1 1 1 α + 2n−1 = b ln[(α+1) 2 (α+2) 4 · · · (α+2n−1 ) 2n · · · ]−b ln α b ln n 2 α
n=1
ˇ a´stka D, jejı´zˇ prˇida´nı´ k pocˇa´tecˇnı´mu majetku prˇinese stejny´ uzˇitek: C b ln
1 1 1 α+D = b ln[(α + 1) 2 (α + 2) 4 · · · (α + 2n−1 ) 2n · · · ] − b ln α α 1
1
1
D = [(α + 1) 2 (α + 2) 4 · · · (α + 2n−1 ) 2n · · · ] − α Pro nulove´ pocˇa´tecˇnı´ jmeˇnı´: √ √ √ √ 2 4 8 16 D = 1 · 2 · 4 · 8··· = 2 Nedostatky Bernoulliho funkce uzˇitku: • Je definova´na jen pro kladne´ hodnoty cˇa´stky x, zatı´mco ve skutecˇnosti se cˇasto jedna´ i o ztra´ty • U ru˚zny´ch lidı´ je funkce uzˇitku z peneˇzˇnı´ch cˇa´stech ru˚zna´ a neodvı´jı´ se jen z majetkovy´ch pomeˇru˚ Du˚lezˇity´ podneˇt, od neˇhozˇ se mohl odrazit dalsˇ´ı vy´voj 9
Podobne´ – avsˇak neza´visle´ – u´vahy (Bernoulli cituje v za´veˇru sve´ho pojedna´nı´):
Gabriel Cramer (1704 – 1752) Dopis Mikula´sˇi Bernoullimu z roku 1728 Mysˇlenka: lide´ hodnotı´ financˇnı´ cˇa´stky podle uzˇitku, ktery´ jim prˇinesou Prˇedpoklad: jaka´koli cˇa´stka prˇevysˇujı´cı´ 224 duka´tu˚ cˇloveˇku prˇipada´ stejna´ jako 224 . Ocˇeka´vana´ hodnota zisku: 1 1 1 1 1 1 · 1 + · 2 + · 4 + · · · + 24 · 224 + 25 · 224 + 26 · 224 + · · · = 2 4 8 2 2 2 1 1 1 1 1 (1.1) = + + · · · + + + + · · · = 12 + 1 = 13 . 2 2 2 4 8 Me´ mora´lnı´ ocˇeka´va´nı´ je proto redukova´no na hodnotu 13 duka´tu˚ a ekvivalentnı´ cˇa´stka, ktera´ mi ma´ by´t vyplacena, je redukova´na podobneˇ – to je vy´sledek, ktery´ se zda´ by´t mnohem rozumneˇjsˇ´ı nezˇ uvazˇova´nı´ te´to cˇa´stky rovne´ nekonecˇnu.
10
Daniel Bernoulli (1700 – 1782) 11
˚ V DUOPOL ´ NI´ ROVNOVA ´ HY – COURNOTU HLEDA Antoine Augustin Cournot (1801 – 1877) 1838 Recherches sur les principes mathe´matiques de la the´orie des richesses • S matematickou prˇesnostı´ zde Cournot popsal veˇtsˇinu dnesˇnı´ teorie ekonomicke´ souteˇzˇe, monopolu a oligopolu • Podrobna´ analy´za monopolu – pojem na´kladova´ funkce, aj. • Mnozˇstvı´ produkce, jake´ ma´ vy´robce zvolit, aby maximalizoval svu˚j zisk (matematicke´ odvozenı´) • Vliv ru˚zny´ch forem danı´ a dalsˇ´ıch poplatku˚, jejich vliv na prˇ´ıjem vy´robce a za´kaznı´ku˚ • Model duopolu – rˇesˇenı´ odpovı´dajı´cı´ Nashovu rovnova´zˇne´mu bodu zavedene´mu o vı´ce 7nezˇ sto let pozdeˇji • Model oligopolu 12
Cournotu˚v model monopolu Dany´ produkt vyra´bı´ jediny´ vy´robce – monopolista Celkova´ produkce: q vy´robku˚ Nejvysˇsˇ´ı cena, za kterou mu˚zˇe proda´vat jeden kus, aby celou produkci prodal: p = M − q. Protozˇe nikdo jiny´ celkove´ vyrobene´ mnozˇstvı´ neovlivnı´, stojı´ monopolista prˇed u´lohou pouhe´ maximalizace zisku, tj. nalezenı´ maxima funkce u(q) = p · q − c · q = M q − q 2 − cq = (M − q − c)q. Pomocı´ prvnı´ derivace:
u0 (q) = M − c − 2q = 0 ∗ qmon =
1 2 (M
− c)
∗ Maxima´lnı´ zisk prˇi vy´robeˇ qmon = 12 (M − c) kusu˚:
2 ∗ u∗mon = u(qmon ) = M − 12 (M − c) − c 12 (M − c) = 12 (M − c) Odpovı´dajı´cı´ cena: p∗mon = 12 (M + c) 13
Cournotu˚v model duopolu Dany´ produkt vyra´beˇjı´ dva vy´robci, z nichzˇ kazˇdy´ prˇispı´va´ nezanedbatelnou cˇa´stı´ k celkove´mu mnozˇstvı´ vy´robku˚ na trhu. Proble´m: kazˇdy´ z duopolistu˚ ovlivnˇuje jen cˇa´st celkove´ho mnozˇstvı´; cena, kterou za sve´ vy´robky utrzˇ´ı, za´visı´ nejen na jeho vlastnı´m rozhodnutı´, ale take´ na rozhodnutı´ souperˇe. Duopoliste´ se rozhodujı´ soucˇasneˇ a neza´visle jeden na druhe´m. q1 , q2 . . . mnozˇstvı´ vyra´beˇna´ prvnı´m a druhy´m duopolistou Maxima´lnı´ cena, za kterou se vy´robky prodajı´: p = M − q1 − q2 Model pomocı´ hry v norma´lnı´m tvaru: hra´cˇi . . . duopoliste´, z nichzˇ kazˇdy´ volı´ cˇı´slo z intervalu h0, M i; prostory strategiı´ . . . S1 = S2 = h0, M i; vy´platnı´ funkce . . . zisky duopolistu˚: u1 (q1 , q2 ) = (p − c)q1 = (M − c − q1 − q2 )q1 u2 (q1 , q2 ) = (p − c)q2 = (M − c − q1 − q2 )q2 14
Prvnı´ duopolista: Pro kazˇdou strategii souperˇe q2 hleda´ takove´ mnozˇstvı´ q1 = R1 (q2 ), aby hodnota u1 (q1 , q2 ) = (M − c − q1 − q2 )q1 byla maxima´lnı´ (nejlepsˇ´ı odpoveˇd’ na q2 ). Jiny´mi slovy: pro kazˇde´ pevne´ q2 ∈ S2 hleda´ prvnı´ duopolista maximum funkce u1 (q1 , q2 ), ktera´ je funkcı´ jedine´ promeˇnne´ q1 : ∂u1 = M − c − q2 − 2q1 = 0 ∂q1 R1 (q2 ) = q1 = 12 (M − c − q2 ) Druhy´ duopolista: Pro kazˇdou strategii q1 hleda´ nejlepsˇ´ı odpoveˇd’ q2 = R2 (q1 ), tj. takove´ mnozˇstvı´, ktere´ pro dane´ q1 maximalizuje zisk u2 (q1 , q2 ) = (M − c − q1 − q2 )q2 : ∂u2 = M − c − q1 − 2q2 = 0 ∂q2 R2 (q1 ) = q2 = 12 (M − c − q1 ) Funkce R1 (q2 ) a R2 (q1 ) se nazy´vajı´ reakcˇnı´ krˇivky
15
Reakcˇnı´ krˇivky pro Cournotu˚v duopol 16
Z definice: (q1∗ , q2∗ ) je rovnova´zˇny´ bod, pra´veˇ kdyzˇ R1 (q2∗ ) = R2 (q1∗ ) . Rovnova´zˇny´ bod je tedy pru˚secˇı´kem reakcˇnı´ch krˇivek: (q1∗ , q2∗ ) = 13 (M − c), 13 (M − c) Cena, za kterou budou duopoliste´ proda´vat: p∗D = M − 23 (M − c) = 13 M + 23 c Prˇ´ıslusˇny´ zisk pro kazˇde´ho z duopolistu˚: u1 (q1∗ , q2∗ ) = u2 (q1∗ , q2∗ ) =
1
3 (M
2 − c)
Celkovy´ zisk: u1 (q1∗ , q2∗ ) + u2 (q1∗ , q2∗ ) = 29 [(M − c)]2 <
1 4
[(M − c)]2 = u∗mon
Celkove´ vyrobene´ mnozˇstvı´: ∗ q1∗ + q2∗ = 32 (M − c) > 12 (M − c) = qmon
Duopoliste´ proda´vajı´ veˇtsˇ´ı mnozˇstvı´ vy´robku˚ za nizˇsˇ´ı cenu nezˇ monopolista 17
Srovna´nı´ vy´sledku˚ pro monopol a duopol =⇒ pro duopolisty by bylo nejlepsˇ´ı uzavrˇ´ıt tajnou dohodu o tom, zˇe budou vyra´beˇt dohromady pouze ∗ q1 + q2 = qmon = 12 (M − c)
a vznikly´ zisk si rozdeˇlı´ – v symetricky´ch situacı´ch rovny´m dı´lem: 1 ∗ 1 ∗ 2 qmon , 2 qmon
=
1 4 (M
− c), 14 (M − c) .
Tento vy´stup je nestabilnı´: pro kazˇde´ho je vy´hodne´ se jednostranneˇ odchy´lit ke sve´ nejlepsˇ´ı odpoveˇdi na souperˇovu volbu a zı´skat pro sebe vı´ce. Proble´m: podobne´ dohody jsou tajne´, vzhledem k antimonopolnı´m opatrˇenı´m zpravidla protiza´konne´ – tajna´ dohoda uzavrˇena´ v „zakourˇene´ mı´stnosti“ je lacina´ a lega´lnı´mi prostrˇedky nevymahatelna´. Jedina´ dohoda, prˇi nı´zˇ ani jeden z duopolistu˚ nema´ nutka´nı´ se jednostranneˇ odchy´lit: rovnova´zˇny´ bod (q1∗ , q2∗ ) =
2 ∗ 2 ∗ 3 qmon , 3 qmon
=
1 3 (M
− c), 13 (M − c) .
Situace se radika´lneˇ zmeˇnı´ prˇi opakova´nı´, kdy se titı´zˇ dva duopoliste´ budou ve stejne´ situaci ocitat opakovaneˇ: je-li v kazˇde´m „kole“ velka´ pravdeˇpodobnost, zˇe nastane jesˇteˇ kolo na´sledujı´cı´, mu˚zˇe by´t pro kazˇde´ho ze zu´cˇastneˇny´ch vy´hodneˇjsˇ´ı tajnou dohodu dodrzˇet. 18
Zisky v Cournotoveˇ duopolu 19
Cournotu˚v model oligopolu Uvazˇujme n vy´robcu˚ te´hozˇ produktu, z nichzˇ kazˇdy´ prˇispı´va´ nezanedbatelnou cˇa´stı´ k celkove´mu mnozˇstvı´ vy´robku˚ na trhu. Nynı´ se jedna´ o hru n hra´cˇu˚, z nichzˇ kazˇdy´ hleda´ optima´lnı´ mnozˇstvı´ qi , ktere´ ma´ vyra´beˇt. Zisky jednotlivy´ch oligopolistu˚: u1 (q1 , . . . , q2 ) = (p − c)q1 = (M − c − q1 − q2 )q1 u2 (q1 , . . . , q2 ) = (p − c)q2 = (M − c − q1 − q2 )q2 ................................................ un (q1 , . . . , q2 ) = (p − c)qn = (M − c − q1 − q2 )qn Podmı´nky pro rovnova´zˇny´ bod ∂u1 = M − c − 2q1 − q2 − · · · − qn = 0 ∂q1 ∂u2 = M − c − q1 − 2q2 − · · · − qn = 0 ∂q2 ....................................... ∂un = M − c − q1 − q2 − · · · − nqn = 0 ∂qn
20
Soustava rovnic: q2 + · · · +
qn = M − c
q1 + 2q2 + · · · +
qn = M − c
2q1 +
.......................................... q1 +
q2 + · · · + nqn = M − c
ˇ esˇenı´: R q1∗ = q2∗ = · · · = qn∗ =
M −c n+1
Celkove´ vyrobene´ mnozˇstvı´: M −c n = (M − c) n+1 n+1 S rostoucı´m pocˇet vy´robcu˚ roste mnozˇstvı´ vy´robku˚ a klesa´ cena i celkovy´ zisk firem: 1 n p∗ = M+ c n+1 n+1 q ∗ = q1∗ + q2∗ + · · · + qn∗ = n
u∗ =
n (M − c)2 (n + 1)2 21
Dokonala´ souteˇzˇ: limitnı´ prˇ´ıpad oligopolu, kde n → ∞ Na celkove´ produkci se podı´lı´ velke´ mnozˇstvı´ maly´ch firem, ktere´ samy o sobeˇ neovlivnı´ celkove´ mnozˇstvı´ vy´robku˚ na trhu Celkove´ vyrobene´ mnozˇstvı´: n (M − c) = M − c n→∞ n + 1
q ∗ = lim
Cena: p∗ = M − (M − c) = c Zisk jednotlivy´ch firem: u∗ = 0
22
Celkove´ mnozˇstvı´ q∗
Cena za kus p∗
Celkovy´ zisk u∗
Monopol
1 2 (M
− c)
1 2M
+ 12 c
1 4 (M
− c)2
Duopol
2 3 (M
− c)
1 3M
+ 23 c
2 9 (M
− c)2
Oligopol
n n+1 (M
Dokonala´ souteˇzˇ
− c)
(M − c)
1 n+1 M
+ c
n n+1 c
n (n+1)2 (M
− c)2
0
23
Tajna´ dohoda v opakovane´m Cournotoveˇ duopolu Monopol:
∗ qmon
=
1 2 (M
− c)
p∗mon
=
1 2 (M
+ c)
u∗mon
=
1 4 (M
− c)2
qe1
= qe2
=
1 4 (M
− c)
=
1 ∗ 2 qmon
pe
=
1 2 (M
+ c)
=
p∗mon
=
1 8 (M
− c)2
=
1 ∗ 2 umon
Tajna´ dohoda:
u f1
= u f2
Duopol:
q1∗
u∗1
= q2∗
=
1 3 (M
p∗D
=
1 3M
= u∗2
=
1 9 (M
− c)
+ 23 c − c)2
Profit: u f1 − u∗1 = u f2 − u∗2 = ( 81 − 19 )(M − c)2 =
1 72 (M
− c)2
Jednostranne´ porusˇenı´ dohody: prvnı´ duopolista vyrobı´ q1∗ , druhy´ dodrzˇ´ı qe2 : q = q1∗ + qe2 = 13 (M − c) + 14 (M − c) = p = M − q1∗ − qe2 = M −
7 12 (M
− c) =
7 12 (M 5 12 M
− c)
∗ qmon
7 12 c
p∗D < p < p∗mon
+
5 u1 = uZ = (p − c)q1∗ = ( 12 M−
5 1 12 c) 3 (M
− c) =
5 36 (M
− c)2
u∗1 < u f1 < uZ
5 u2 = uO = (p − c)qe2 = ( 12 M−
5 1 12 c) 4 (M
− c) =
5 48 (M
− c)2 = uO
uO < u∗2 < u f2 24
Prˇehled zisku˚ duopolisty
...
uO < u∗1 < u e1 < uZ
V rovnova´zˇne´m bodeˇ:
u∗1
=
1 9 (M
− c)2
Prˇi oboustranne´m dodrzˇenı´ dohody:
u e1
=
1 8 (M
− c)2
Prˇi jednostranne´m porusˇenı´ dohody:
uZ
=
5 36 (M
− c)2
Prˇi dodrzˇenı´ dohody, kterou konkurent porusˇ´ı:
uO
=
5 48 (M
− c)2
Duopolista 1
Duopolista 2 Dodrzˇet
Zradit
Dodrzˇet
1 8 (M
− c)2 , 18 (M − c)2
Zradit
5 36 (M
4 − c)2 , 48 (M − c)2
5 48 (M
5 − c)2 , 36 (M − c)2 1 2 1 2 9 (M − c) , 9 (M − c)
25
Slozˇene´ u´rocˇenı´ Hodnota kapita´lu K0 ulozˇene´ho na n let prˇi rocˇnı´ u´rokove´ mı´rˇe i : Kn = K0 (1 + i)n Pocˇet let 0 1 2 3 .. . n
Hodnota kapita´lu K0 K1 = K0 + iK0 = K0 (1 + i) K2 = K1 + iK1 = K1 (1 + i) = K0 (1 + i)2 K3 = K2 + iK2 = K2 (1 + i) = K0 (1 + i)3 ................................................. Kn = Kn−1 + iKn−1 = Kn−1 (1 + i) = K0 (1 + i)n
Soucˇasna´ hodnota kapita´lu Kn , ktery´ ma´me zı´skat za n let: K0 =
Kn = Kn δ , (1 + i)n
0<δ<1
δ se nazy´va´ diskontnı´ faktor
26
Opakova´nı´ Cournotova duopolu Diskontnı´ faktor: 0 < δ < 1 Dohoda: pokud jeden zradı´, druhy´ navzˇdy zu˚stane u rovnova´zˇne´ strategie Soucˇasna´ hodnota zisku prˇi oboustranne´m dodrzˇenı´ tajne´ dohody: uD = u f1 + δf u1 + δ 2 u f1 + · · · + δ N −2 u f1 + δ N −1 u f1 + δ N u f1 + δ N +1 u f1 + δ N +2 u f1 + · · · Ten, kdo by se poprve´ v N -te´m kole odchy´lil, by zı´skal uP = u f1 + δf u1 + δ 2 u f1 + · · · + δ N −2 u f1 + δ N −1 uZ + δ N u∗1 + δ N +1 u∗1 + δ N +2 u∗1 + · · ·
uD −uP = δ N −1 (f u1 −uZ )+δ N (f u1 −u∗1 )+δ N +1 (f u1 −u∗1 )+δ N +2 (f u1 −u∗1 )+· · · = =δ
N −1
(f u1 − uZ ) + (f u1 −
u∗1 )
δ 1−δ
u∗1 < u f1 < uZ
;
(f u1 − uZ )(1 − δ) + (f u1 − u∗1 )δ > 0 pro (f u1 − uZ )(1 − δ) > −(f u1 − u∗1 )δ 1−δ u f1 − uZ − u f1 δ + uZ δ > −f u1 δ + u∗1 δ (uZ − u∗1 )δ δ
> uZ − u f1 >
uZ − u f1 uZ − u∗
27
Je-li diskontnı´ faktor dostatecˇneˇ vysoky´, je vy´hodneˇjsˇ´ı dohodu dodrzˇet: δ>
uZ − u f1 uZ − u∗1
=⇒
uD > u P
tajne´ dohody mohou by´t dosazˇitelne´ a udrzˇitelne´
28
Joseph Louis Francois Bertrand (1822 – 1900) 1883
Theorie Mathematique de la Richesse Sociale
Odmı´tava´ recenze Cournotovy pra´ce Bertrandu˚v model duopolu Duopoliste´ si soucˇasneˇ urcˇujı´ ceny, za ktere´ budou sve´ vy´robky proda´vat. Vy´robky jsou nerozlisˇitelne´, o prodeji rozhoduje pouze cena: pokud jeden vy´robce proda´va´ za nizˇsˇ´ı cenu, zı´ska´ vsˇechny za´kaznı´ky. Proble´m: v prˇ´ıpadeˇ Cournotova rovnova´zˇne´ho bodu, kde p∗ = 13 M + 23 c, by mohl jeden duopolista nepatrneˇ snı´zˇit cenu, zı´skat vsˇechny za´kaznı´ky a zdvojna´sobit zisk Rovnova´zˇny´ bod v Bertrandoveˇ modelu duopolu: p1 > p2 > c pro prvnı´ho duopolistu by bylo vy´hodneˇjsˇ´ı zvolit p01 < p2 p2 > p1 > c podobneˇ pro druhe´ho duopolistu p1 = p2 > c pro libovolne´ho duopolistu by bylo vy´hodneˇjsˇ´ı zvolit nepatrneˇ nizˇsˇ´ı hodnotu p1 > p2 = c pro druhe´ho duopolistu by bylo vy´hodneˇjsˇ´ı zvolit c < p2 < p1 p2 > p1 = c podobneˇ pro prvnı´ho p2 = p1 = c oba duopoliste´ majı´ nulovy´ zisk, zˇa´dny´ si jednostranny´m odchy´lenı´m nepolepsˇ´ı =⇒ rovnova´zˇny´ bod 29
Heinrich von Stackelberg (1905 – 1946) 1934 Marktform und Gleichgewicht Stackelbergu˚v model duopolu: vu˚dce – na´sledovnı´k Jeden duopolista, se rozhoduje jako prvnı´ o mnozˇstvı´ vy´robku˚, druhy´, pozoruje rozhodnutı´ prvnı´ho a teprve pak se sa´m rozhodne. Strategie vu˚dce . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
hodnota q1 ∈ h0, M i
Strategie na´sledovnı´ka . . . . . . . . . . . .
funkce f : h0, M i → h0, M i
Optima´lnı´ strategie na´sledovnı´ka
nejlepsˇ´ı odpoveˇd’ R2 (q1 ) = 12 (M − c − q1 )
Optima´lnı´ strategie vu˚dce . . . . . . .
hodnota q1♥ maximalizujı´cı´ zisk u1 (q1 , R2 (q1 ))
u1 (q1 , R2 (q1 )) = (M − c − q1 − R2 (q1 ))q1 = 21 (M − c − q1 )q1 = 12 umon (q1 ) jako monopolista:
∗ q1♥ = qmon = 12 (M − c)
Nejlepsˇ´ı odpoveˇd’ na´sledovnı´ka . . .
q2♥ = R2 (q1♥ ) = 14 (M − c)
Celkova´ produkce . . . . . . . . . . . . . . . . .
q1♥ + q2♥ = 43 (M − c)
Cena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p♥ = M − 34 (M − c) = 14 M + 34 c
Pro za´kaznı´ka vy´hodneˇjsˇ´ı nezˇ Cournotu˚v duopol 30
E´MILE BOREL (1871 – 1956) 1921 La the´orie du jeu et les e´quations, inte´grales a` novau syme´trique gauche Comptes Rendus 173, 1304–1308 • Prvnı´ pokus o matematizaci pojmu strategicka´ hra • Metoda hry . . . ryzı´ strategie • Symetricke´ konecˇne´ hry dvou hra´cˇu˚ s nulovy´m soucˇtem ({1, 2}; S1 = S = {s1 , . . . , sn }, S2 = S; u1 , u2 ) u1 (si , sj ) = −u2 (si , sj ) = u2 (sj , si ) • Pravdeˇpodobnost vy´hry: π1 (si , sj ) =
1 2
+ αij ;
π2 (si , sj ) =
1 2
+ αji
αij + αji = 0 ; αii = 0 ; αij , αji ∈ − 12 , 12 kazˇdy´ hra´cˇ se snazˇ´ı maximalizovat πi sˇpatna´ strategie si . . . ∃sk : ∀sj : αij ≤ αkj nejlepsˇ´ı strategie si . . . ∀sk : ∀sj : αij ≤ 0
31
Smı´sˇene´ strategie: p = (p1 , . . . , pn ), q = (q1 , . . . , qn ) π1 (p, q) =
1 2
+ α;
α=
n X n X
αji pi qj
i=1 j=1
ˇ esˇenı´ p . . . ∀q : α = 0 (minimaxnı´ rˇesˇenı´) R Existence: n = 3, n = 5 (pozdeˇji) . . . du˚kaz n = 7 . . . hypote´za: ano n > 7 . . . hypote´za: obecneˇ ne 1924 The´orie of Probabilite´s (204–224) αik = financˇnı´ cˇa´stka, kterou musı´ hra´cˇ II zaplatit hra´cˇi I Je mozˇne´, aby hra´cˇ I zvolil takovou smı´sˇenou strategii, zˇe jeho vy´plata bude rovna 0 pro jakoukoli strategii hra´cˇe II? Tj. existuje smı´sˇena´ strategie hra´cˇe I, ktera´ jej ochra´nı´ od za´porne´ vy´platy? Sta´le veˇrˇ´ı: pro n > 7 to NENI´ mozˇne´ hleda´ protiprˇ´ıklad
32
1927 Sur les systemes de formes line´aires a` de´terminant sy` me´trique gauche et la the´orie ge´ne´rale du jeu Comptes Rendus 184, 52–53 Pozitivnı´ forumulace proble´mu: Urcˇete smı´sˇene´ strategie, . . . ale zˇa´dny´ obecny´ du˚kaz 1938 Traite´ du calcul des probabilite´s et ses applications spojite´ hry (mnozˇiny strategiı´: kruzˇnice, apod.) Jean Ville: prvnı´ elementa´rnı´ du˚kaz von Neumannovy veˇty o minimaxu (9 stran)
33
MATEMATIZACE TEORIE HER JOHN VON NEUMANN (1903 – 1957) 1926
du˚kaz veˇty o minimaxu (Go¨ttingenska´ matem. spol.)
1928
Sur la the´orie des jeux (Comptes Rendus) Zur Theorie der Gesellschaftsspiele (Math. Annalen) • Matematizace pojmu strategicka´ hra • Du˚kaz ”veˇty o minimaxu”
Formulace:
konecˇna´ hra n hra´cˇu˚ s nulovy´m soucˇtem
Vı´ce vy´sledku˚:
n=2 ({1, 2}; {s1 , . . . , sk }, {t1 , . . . , tl }; u1 , u2 ) u1 (si , tj ) + u2 (si , tj ) = 0 34
Hra´cˇ 2 t1
...
tl
u1 (s1 , t1 ) u1 (s1 , t2 ) . . . u1 (s1 , tl )
s2 u1 (s2 , t1 ) u1 (s2 , t2 ) . . . u1 (s2 , tl ) Hra´cˇ 1 . .. .................................. sk u1 (sk , t1 ) u1 (sk , t2 ) . . . u1 (sk , tl )
s1
t2
Hra´cˇ 1: mintj u1 (si , tj )
MAX
Hra´cˇ 2: maxsi u1 (si , tj )
MIN
Platı´: max min u1 (si , tj ) ≤ min max u1 (si , tj ) si
tj
tj
si
35
Hra´cˇ 1
t1
Hra´cˇ 2 t2 t3 t4
s1
5
4
s2
−4 7
5
3
8
−1
8
4
sk
max:
7
4 9 −4 −1 8
4
5
min
9
max min u1 (si , tj ) = 4 = min max u1 (si , tj ) s
t
t
s
36
Hra´cˇ 1
t1
Hra´cˇ 2 t2 t3
0
1 −1
s1
s2 sk
0 −1 1 −1
max:
1
−1 1 −1 −1 0
1
min
1
max min u1 (si , tj ) = −1 < min max u1 (si , tj ) = 1 s
t
t
s
37
Smı´sˇene´ strategie – ocˇeka´vana´ vy´plata pro hra´cˇe 1: π1 (p, q) =
k X l X
u1 (si , tj )pi qj
i=1 j=1
Veˇta. Vzˇdy existujı´ smı´sˇene´ strategie (p∗ , q ∗ ), pro ktere´ π1 (p∗ , q ∗ ) = max min π1 (si , tj ) = min max π1 (si , tj ) p
q
q
p
38
´ DISCIPLI´NA TEORIE HER = MATEMATICKA John von Neumann (1903 – 1957) a Oskar Morgenstern (1902 – 1976) 1944
Theory of Games and Economic Behavior
• Detailnı´ formulace ekonomicke´ho proble´mu: Aplikacˇnı´ mozˇnosti teorie her • Axiomaticka´ teorie uzˇitku • Obeny´ popis strategicke´ hry • Konecˇne´ antagonisticke´ hry dvou hra´cˇu˚ • Kooperativnı´ hry n hra´cˇu˚ (prˇenosna´ vy´hra) von Neumann-Morgensternovo rˇesˇenı´ ... (nenı´ jednoznacˇne´, nemusı´ existovat) Masivnı´ rozvoj teorie her a jejı´ch aplikacı´ Dalsˇ´ı krok: Hry s nekonstantnı´m soucˇtem Nekooperativnı´ hry vı´ce hra´cˇu˚, kooperativnı´ hry s neprˇenosnou vy´hrou 39
(3, −3)
(2, −2)
(0, 0)
(3, 3)
(1, −1)
(2, 4)
(3, 3) →
(2, 4)
↑ (0, 2) →
↓ (4, 5)
(0, 6)
(1, 5)
(4, 5) . . . vza´jemneˇ nejlepsˇ´ı odpoveˇdi – rovnova´zˇny´ bod
40
