Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech)

5.1 Opakovaná hra • Hra – až dosud hráči hráli hru jen jednou – v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí množství výrobků → trh stanovuje cenu → výrobci reagují → dodávají výrobky atd.) a tak analyzujeme opakovanou hru Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

2

5.1 Opakovaná hra • Informace o opakování hry ovlivňuje chování hráčů • Odlišně hrajeme, pokud hráče již nikdy neuvidíme, a jinak, pokud očekáváme další hru • Nedodržení dohody v kooperativní hře (např. kartelové dohody) může mít následky v budoucnosti Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

3

5.1 Opakovaná hra • Jednokolová hra G – – – –

v normálním tvaru s N hráči strategie hráče v jednokolové hře = akce ai neprázdný prostor strategií hráče i v jednokolové hře = prostor akcí Ai

Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

4

5.1 Opakovaná hra • Příklad 1 – Kámen – nůžky – papír – Akce hráče i: 𝑎𝑖 , ∀𝑖 = 1, 2 𝑎𝑖 = kámen

nebo

𝑎𝑖 = nůžky

nebo

𝑎𝑖 = papír – Prostor akcí hráče i: 𝐴𝑖 , ∀𝑖 = 1, 2 𝐴𝑖 = kámen, nůžky, papír Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

5

5.1 Opakovaná hra • Příklad 2 – Vězňovo dilema – Akce hráče i: 𝑎𝑖 , ∀𝑖 = 1, 2 𝑎𝑖 = spolupráce (nepřiznat) nebo 𝑎𝑖 = podvod (přiznat) – Prostor akcí hráče i: 𝐴𝑖 , ∀𝑖 = 1, 2 𝐴𝑖 = spolupráce nepřiznat , podvod (přiznat) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

6

5.1 Opakovaná hra • Opakovaná hra G* (superhra) – je-li hra G hrána opakovaně, je řada her G sama o sobě také hrou (opakovanou) – strategie hráče i = posloupnost zvolených akcí v rámci celé opakované hry – hraje se v diskrétních okamžicích t = 0, 1, …, T – celkový počet kol = T+1 (t … počet opakování) – T < ∞ … konečně opakovaná hra – T = ∞ … nekonečně opakovaná hra Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

7

5.1 Opakovaná hra • Příklad 1 – Kámen – nůžky – papír – Jak může vypadat strategie prvního hráče ve dvoukolové hře? • Kámen, kámen • Nůžky, papír • Papír, zopakuji tah druhého hráče z prvního kola


8

5.1 Opakovaná hra • Příklad 2 – Vězňovo dilema – Jak může vypadat strategie prvního hráče ve dvoukolové hře? • Spolupráce, spolupráce • Spolupráce, podvod • Spolupráce, zopakuji tah druhého hráče z prvního kola


9

5.1 Opakovaná hra • Nutno rozlišovat – index hráče i … budeme používat dolní index – index času t … budeme používat horní index

• Akce, kterou hraje hráč i v okamžiku t: 𝑎𝑖𝑡

• Prostor akcí hráče i v čase t: 𝐴𝑡𝑖 (𝑎𝑖𝑡 ∈ 𝐴𝑡𝑖 ) • Profil akcí v čase t: 𝑎𝑡 = (𝑎1𝑡 , 𝑎2𝑡 , … , 𝑎𝑛𝑡 ) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

10

5.1 Opakovaná hra • Příklad 1 – Kámen – nůžky – papír – Prostor akcí hráče i v čase t: 𝐴𝑡𝑖 = kámen, nůžky, papír , ∀𝑖 = 1, 2, ∀𝑡 = 0, 1, … – Profil akcí v čase 0: 𝑎0 = (kámen, nůžky) – Profil akcí v čase 1: 𝑎1 = (papír, kámen) – Profil akcí v čase 2: 𝑎2 = (papír, papír)


11

5.1 Opakovaná hra • Předpoklady: – Prostor akcí Ai každého hráče i se mezi Hráč volí v každém kole akci v závislosti na 𝑡+1 jednotlivými koly nemění (𝐴𝑡𝑖 =𝐴 ) 𝑖 minulých rozhodnutích ostatních hráčů – Výplaty pro hráče se v jednotlivých kolech nemění, mohou však být diskontovány – Výplaty pro hráče závisí pouze na profilu akcí daného kola (nezávisí na pořadí kola) – Prostředí Hráči volípro a realizují akce hru v kole současně – opakovanou je stacionární výplatní matice má ostatních v každémhráčů kole stejný rozměr a – Hráči znají akce v předchozích stejné hodnoty kolech Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

12

5.1 Opakovaná hra • Za těchto předpokladů: – Akce, kterou hraje hráč i v čase t: 𝑎𝑖𝑡 – Prostor akcí hráče i v čase t nezávisí na kole: 𝐴𝑖 (𝑎𝑖𝑡 ∈ 𝐴𝑖 ) – Profil akcí v čase t: 𝑎𝑡 = (𝑎1𝑡 , 𝑎2𝑡 , … , 𝑎𝑛𝑡 ) – Prostor profilů akcí: 𝐴 = 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛


13

5.1 Opakovaná hra • Historie hry představuje všechny předchozí realizované profily akcí: – při 0. opakování: 𝑎0 = (𝑎10 , 𝑎20 , … , 𝑎𝑛0 ) – při 1. opakování: 𝑎1 = (𝑎11 , 𝑎21 , … , 𝑎𝑛1 ) … – při T. opakování: 𝑎𝑇 = (𝑎1𝑇 , 𝑎2𝑇 , … , 𝑎𝑛𝑇 )

• Historie v čase t: ℎ𝑡 = (𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑡−1 )


14

5.1 Opakovaná hra • Příklad 1 – Kámen – nůžky – papír – Prostor akcí hráče i v čase t: 𝐴𝑖 = kámen, nůžky, papír , ∀𝑖 = 1,2 – Historie v čase 0: ℎ0 = ∅ – Profil akcí v čase 0: 𝑎0 = (kámen, nůžky) – Historie v čase 1: ℎ1 = (kámen, nůžky) – Profil akcí v čase 1: 𝑎1 = (papír, kámen) – Historie v čase 2: ℎ2 = kámen, nůžky , (papír, kámen) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

15

5.1 Opakovaná hra • Pro historii platí: – historie ℎ0 je prázdná – historie ℎ𝑡 v sobě obsahuje také informaci o předchozích historiích ℎ𝑡−1 , ℎ𝑡−2 , … , ℎ0 – historie ℎ𝑇 se nazývá konečná historie (konečná historie v nekonečné hře má nekonečnou délku, 𝑇 = ∞) – historie ℎ𝑡 označuje historii po t+1. kole (po ttém opakování hry, neboť hra začíná v čase 0) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

16

5.1 Opakovaná hra • Prostor historií hry: 𝐻𝑡 – množina všech možných historií v čase t – 𝐻 𝑡 = (𝐴)𝑡 = 𝐴0 × 𝐴1 × ⋯ × 𝐴𝑡 – kartézský součin prostorů profilů akcí jednotlivých kol opakované hry


17

5.1 Opakovaná hra • Příklad 1 – Kámen – nůžky – papír – Prostor historií po 1. kole (pro 2. kolo, t = 1): – 𝐻1 = {(kámen, kámen), (kámen, nůžky), (kámen, papír), (nůžky, kámen), (nůžky, nůžky), (nůžky, papír), (papír, kámen), (papír, nůžky), (papír, papír)} – Prostor historií po 2. kole (t = 2) má již 9 x 9 možných historií ℎ2 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

18

5.1 Opakovaná hra • Ryzí strategie hráče i: 𝑠𝑖 ℎ𝑡 : 𝐻𝑡 → 𝐴𝑖 • Ryzí strategie tedy přiřazuje hráči i akci 𝑎𝑖𝑡 ∈ 𝐴𝑖 po odehrané historii ℎ𝑡 ∈ 𝐻𝑡 • Hráč tedy vyhodnotí výsledek odehrané hry až do času t–1 a na jeho základě zvolí akci pro čas t • Na začátku hry hráč nemá žádné informace Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

19

5.1 Opakovaná hra • Profil strategií odehraných hráči v čase t: 𝑠 𝑡 = 𝑠1 ℎ𝑡 , 𝑠2 ℎ𝑡 , … , 𝑠𝑛 ℎ𝑡 • Strategie hráče i v opakované hře: 𝑠𝑖 = 𝑠𝑖 ℎ0 , 𝑠𝑖 ℎ1 , … , 𝑠𝑖 ℎ𝑇 – tento vektor má T+1 složek – vektor ryzích strategií z každého kola hry


20

5.1 Opakovaná hra • Prostor strategií hráče i: 𝑆𝑖 – množina všech strategií 𝑠𝑖 , které může hráč i uskutečnit

• Prostor profilů strategií: 𝑆 – množina všech prostorů strategií, které mohou ve hře nastat


21

5.1 Opakovaná hra • Příklad 2 – Vězňovo dilema – Prostor akcí hráče i v čase t: 𝐴𝑖 =

spolupráce nepřiznat , podvod (přiznat)

– Ryzí strategie hráče i může být např.: spolupráce,

𝑠𝑖 ℎ𝑡

𝑡=0 když 𝑎𝑗 𝜏 = spolupráce = spolupráce, ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝜏 = 1 … 𝑡 − 1 podvod, jinak

– spolupracuj, dokud všichni hráči spolupracují Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

22

5.1 Opakovaná hra • Jak probíhá hra? – – – – – –

na počátku je historie prázdná ℎ0 = ∅ každý hráč volí akci pro „nulté“ kolo 𝑎𝑖 0 po ukončení kola se vytvoří historie ℎ1 = 𝑎0 všichni hráči jsou s touto historií seznámeni volí strategii pro „první“ kolo 𝑠𝑖 ℎ1 aktualizuje se historie, hráči jsou s ní seznámeni a volí strategii pro další kolo, … Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

23

5.1 Opakovaná hra • Pro výplatní funkci 𝑢𝑖 použijeme přístup založený na diskontování s diskontním faktorem 𝛿𝑖 ∈ (0,1) • Diskontní faktor je společný pro výplaty ze všech kol 𝑔𝑖 𝑎𝑡 – výplata pro hráče i při profilu akcí 𝑎𝑡 • Tento faktor se teoreticky může lišit pro jednotlivé hráče a jednotlivá kola Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

24

5.1 Opakovaná hra • Diskontní faktor – přidává do výplatní funkce hodnotu času – popisuje míru netrpělivosti hráčů – 𝛿𝑖 → 0 … hráč je netrpělivý, má sklon podvádět, hrozba budoucího trestu má malý význam – 𝛿𝑖 → 1 … hráč je trpělivý, má sklon spolupracovat, hrozba budoucího trestu má velký význam Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

25

5.1 Opakovaná hra • Výplatní funkci hráče i lze definovat jako diskontovaný součet výplat z každého kola: 2 0 1 𝑢𝑖 = 𝑔𝑖 𝑎 + 𝛿𝑖 𝑔𝑖 𝑎 + 𝛿𝑖 𝑔𝑖 𝑎2 + ⋯ • neboli 𝑇

𝛿𝑖 𝑡 𝑔𝑖 𝑎𝑡

𝑢𝑖 = 𝑡=0


26

5.1 Opakovaná hra • Přenásobení užitkové funkce kladnou konstantou nemění preference, takže místo diskontovaného součtu výplat 𝑢𝑖 = 𝑇𝑡=0 𝛿𝑖 𝑡 𝑔𝑖 𝑎𝑡 • lze použít diskontovanou průměrnou výplatu 𝑇

𝑡

𝛿𝑖 𝑔𝑖 𝑎𝑡

𝑢𝑖 = (1 − 𝛿𝑖 ) 𝑡=0


27

5.1 Opakovaná hra • Tato úprava umožňuje srovnání s 𝑇 𝑡 𝑡 𝑢 = (1 − 𝛿 ) 𝛿 𝑔 𝑎 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 jednorázovou hrou 𝑡=0 • Opakovaná hra s výplatami (v, v, v, …, v) 𝑡 𝑇 má užitek 𝑢𝑖 = 1 − 𝛿𝑖 𝑡=0 𝛿𝑖 𝑣 =

= =

𝑡 𝑇 1 − 𝛿𝑖 𝑣 𝑡=0 𝛿𝑖 = 1 1 − 𝛿𝑖 𝑣 =𝑣 1−𝛿𝑖


28

5.1 Opakovaná hra • Nashova rovnováha Strategie hráče i 𝑠𝑖 = 𝑠𝑖 ℎ0 , 𝑠𝑖 ℎ1 , … , 𝑠𝑖 ℎ𝑇 je Nashovou rovnováhou v opakované hře, jestliže 𝑠𝑖 je nejlepší odezvou hráče i vůči chování ostatních hráčů, kteří se drží svých rovnovážných strategií Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

29

5.2 Konečně opakovaná hra • Je dán všem hráčům známý počet opakování 𝑇 < ∞ • V důsledku této informace může v posledních kolech hry dojít ke změně chování hráčů • Často spolupracují téměř až do konce, na úplném konci (kdy už nehrozí postih za podvod) spolupracovat přestanou Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

30

5.2 Konečně opakovaná hra • Příklad: Vězňovo dilema

𝑃 𝑁

𝑃 −6, −6 −10,0

𝑁 0, −10 −2, −2

• Jednorázová hra má Nashovo rovnovážné řešení (podvod, podvod) – dominování Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

31

5.2 Konečně opakovaná hra

𝑃 𝑁 −6, −6 0, −10 𝑃 −10,0 −2, −2 𝑁 • Předpokládejme nyní opakovanou hru • Je dán počet opakování hry T a diskontní faktor 𝛿 Dokonalá rovnováha podhry • V posledním kole je výhodné podvádět (protihráč již nemůže podvod trestat) a tak bude výsledkem řešení (podvod, podvod) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

32

5.2 Konečně opakovaná hra • V posledním kole tedy hrají (podvod, podvod) stejně jako v jednorázové hře • V předposledním kole je opět výhodnější podvod než spolupráce – za podvod může protihráč trestat – tak, že bude podvádět – ale podvádět bude stejně, takže to žádný trest není Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

33

5.2 Konečně opakovaná hra • Postupně dojdeme stejnou úvahou až na začátek hry • Nashovou rovnováhou je tedy strategie: 𝑠𝑖 ℎ𝑡 = podvod ∀𝑡 = 0, 1, … , 𝑇 • Platí: V konečně opakované hře vězňovo dilema existuje jediná Nashova rovnováha (a jediná dokonalá rovnováha podhry), ve které všichni hráči volí podvod Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

34

5.3 Nekonečně opakovaná hra • Je dán nekonečný časový horizont 𝑇 = ∞ • Hráči nevědí, ve kterém kole hra skončí a zda vůbec skončí • Není tedy stanoveno poslední kolo, ve kterém by hráči mohli beztrestně podvádět • Hráči se tedy drží dohodnuté spolupráce pod hrozbou trestu z nedodržení dohody Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

35

5.3 Nekonečně opakovaná hra • Místo jedné rovnovážné strategie (jako v jednorázové hře nebo v konečně opakované hře) existuje řada potenciálně rovnovážných strategií • Ukážeme si ty nejznámější pro vězňovo dilema Jaké strategie napadají Vás? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

36

5.3 Nekonečně opakovaná hra 1. Vždy podvádějte (Always Defect) • Jestřábí strategie • Hráč podvádí bez ohledu na historii 𝑠𝑖 ℎ𝑡 = podvod

∀𝑡 = 0, 1, 2, …


37

5.3 Nekonečně opakovaná hra 2. Vždy spolupracujte (Always Cooperate) • Holubí strategie • Hráč spolupracuje bez ohledu na historii 𝑠𝑖 ℎ𝑡 = spolupráce

∀𝑡 = 0, 1, 2, …


38

5.3 Nekonečně opakovaná hra 3. Naivní GrimTrigger • Hráč spolupracuje až do chvíle, než někdo spolupráci poruší, pak již podvádí • Podvod protihráče je navždy trestán spolupráce,

𝑠𝑖 ℎ𝑡 = spolupráce, podvod,

𝑡=0 když 𝑎𝑗 𝜏 = spolupráce ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝜏 = 0,1, … , 𝑡 − 1 jinak


39

5.3 Nekonečně opakovaná hra 4. GrimTrigger • Hráč spolupracuje až do chvíle, než někdo spolupráci poruší, pak již podvádí • Postihuje zradu protihráčů i hráče samého spolupráce,


𝑡=0 když 𝑎𝑗 𝜏 = spolupráce ∀𝑗, 𝜏 = 0,1, … , 𝑡 − 1 jinak


40

5.3 Nekonečně opakovaná hra 5. Oko za oko (Tit-for-Tat) • Strategie Půjčka za oplátku • Začít spoluprací a dále kopírovat strategie protihráčů z předchozího kola spolupráce,


𝑡=0 když 𝑎𝑗 𝑡−1 = spolupráce ∀𝑗 ≠ 𝑖 jinak


41

5.3 Nekonečně opakovaná hra 6. Omezená odplata (Limited Retaliation) • Strategie Odpouštějící trigger • Začít spoluprací • Pokud kdokoliv zradí, k kol podvádět jako trest za zradu • Pak opět spolupracovat bez ohledu na historii během odvety Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

42

5.3 Nekonečně opakovaná hra 7. Win-Stay, Lose-Shift • Začít spoluprací a dále spolupracovat, pokud hráči hráli stejně, a podvádět, pokud hráli různě 𝑠𝑖 ℎ𝑡

spolupráce, 𝑡 = 0 když 𝑎𝑗 𝑡−1 = spolupráce ∀𝑗 = spolupráce, nebo 𝑎𝑗 𝑡−1 = podvod ∀𝑗 podvod,

jinak


43

5.3 Nekonečně opakovaná hra 8. Jednou podvádějte (Deviate Once) • Použít „Oko za oko“ až do kola L • V kole L podvod, v L+1 spolupráce a dále „Oko za oko“ spolupráce,

𝑠𝑖 ℎ𝑡

𝑡 = 0, 𝐿 + 1 když 𝑎𝑗 𝑡−1 = spolupráce = spolupráce, ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝑡 ≠ 𝐿 podvod, jinak 𝑡 = 𝐿 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

44

5.3 Nekonečně opakovaná hra 9. Grim Deviate Once • Použít „Grim Trigger“ až do kola L • V kole L a následujících podvádět spolupráce,

𝑠𝑖 ℎ𝑡

𝑡=0 když 𝑎𝑗 𝜏 = spolupráce = spolupráce, ∀𝜏 = 0, 1, … , 𝑡 − 1, 𝑡 < 𝐿 podvod, jinak 𝑡 ≥ 𝐿


45

5.3 Nekonečně opakovaná hra • Pro řešení opakované hry potřebujeme určit Nashovy rovnovážné strategie obou hráčů • Jednou možností jsou strategie Grim Trigger – Jsou rovnovážnými strategiemi? – Bude výsledkem hry trvalá spolupráce? – Na čem závisí rozhodnutí hráčů? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

46

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger • Hráč spolupracuje až do chvíle, než někdo (i on) spolupráci poruší, pak již podvádí • Oba začínají spoluprací, v dalším kole opět spolupracují (nikdo dohodu neporušil) atd. • Výplaty v jednotlivých kolech tedy budou: −2, −2, −2… 𝑃 𝑁 −6, −6 0, −10 𝑃 −10,0 −2, −2 𝑁 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

47

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger • Pokud by někdo podváděl, bude protihráč dále volit podvod • „Podvodník“ tedy získá 0, −6, −6, −6,… • V prvním kole získá o 2 jednotky více, v každém dalším však o 4 jednotky více 𝑁 ztratí 𝑃 −6, −6 pro0,něj −10 𝑃 • Pokud je velmi netrpělivý, může být −10,0 −2, −2 𝑁 tato strategie výhodnější Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

48

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger • Pro opakovanou spolupráci s výplatami (−2, −2, −2… ) je diskontovaná průměrná výplata ∞

𝑡

𝑢𝑖 = 1 − 𝛿𝑖 = 1 − 𝛿𝑖 −2

𝛿𝑖 −2 = 𝑡=0 1 1−𝛿𝑖

= −𝟐


49

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger • Pro podvod v kroku 𝜏 s výplatami (−2, −2, − 2…, −2, 0, −6 , −6 , −6, … ) je diskontovaná průměrná výplata ∞

𝛿𝑖 𝑡 𝑔𝑖 𝑎𝑡 =

𝑢𝑖 = 1 − 𝛿𝑖 𝜏−1

𝑡=0

∞

𝛿𝑖 𝑡 −2 + 0 +

= 1 − 𝛿𝑖 𝑡=0

𝛿𝑖 𝑡 −6 𝑡=𝜏+1


50

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger 𝜏−1

∞

𝛿𝑖 𝑡 −2 + 0 +

𝑢𝑖 = 1 − 𝛿𝑖 𝑡=0

𝜏−1

𝑡=0

𝑡=𝜏+1

𝜏

1 − 𝛿𝑖 𝑡 𝛿𝑖 = 1 1 − 𝛿𝑖

𝑢𝑖 = 1 − 𝛿𝑖

𝛿𝑖 𝑡 −6

∞

𝑡=𝜏+1 − 𝛿𝑖 𝜏

𝜏+1 𝛿 𝑖 𝑡 𝛿𝑖 = 1 − 𝛿𝑖

1 𝛿𝑖 𝜏+1 −2 + −6 1 − 𝛿𝑖 1 − 𝛿𝑖 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

51

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger

𝑢𝑖 = −2 1 − 𝛿𝑖 𝜏 − 6𝛿𝑖 𝜏+1 = −2 + 2𝛿𝑖 𝜏 − 6𝛿𝑖 𝜏+1 • Hráč bude spolupracovat, pokud 𝑢𝑖 (spolupráce) ≥ 𝑢𝑖 (podvod) 𝜏 𝜏+1 −2 ≥ −2 + 2𝛿𝑖 − 6𝛿𝑖 𝜏+1 𝜏 6𝛿𝑖 ≥ 2𝛿𝑖 𝛿𝑖 𝜏+1 2 𝜏 ≥ 6 𝛿𝑖 𝜹𝒊 ≥ 𝟏 𝟑 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

52

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger • Hráč tedy bude spolupracovat, pokud pro jeho diskontní faktor platí 𝜹𝒊 ≥ 𝟏 𝟑 • Pro trpělivé hráče s 𝛿𝑖 ≥ 1 3 se podvádění nevyplatí • Naopak netrpěliví hráči (s nízkým diskontním faktorem) preferují krátkodobý zisk Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

53

5.3 Nekonečně opakovaná hra Příklad: GrimTrigger • Strategie GrimTrigger je Nashovou rovnováhou v uvedeném příkladě pro trpělivé hráče s 𝛿𝑖 ≥ 1 3


54

5.3 Nekonečně opakovaná hra Závěr: • Odchýlením od rovnovážné strategie si trpělivý hráč nemůže polepšit • Pro opakované hry s vysokým diskontním faktorem (blízkým 1) existuje mnoho rovnovážných strategií • Pro trpělivého hráče libovolná strategie zajišťující výhry alespoň rovné zaručené maximinové výhře může představovat Nashovu rovnovážnou strategii Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

55

KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.

56

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry

Recommend Documents