Teorie her a ekonomické rozhodování 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti
10.1 Jednokriteriální diskrétní model • Jednokriteriální model rozhodování: f (ai ) max ai A a1, a2 ,...,ap f – kriteriální funkce (zisk, užitek, apod.)
A – rozhodovací množina (varianty, strategie, rozhodnutí) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
2
10.1 Jednokriteriální diskrétní model 1. Rozhodování při jistotě • rozhodnutím je výsledek dán jednoznačně
2. Rozhodování při nejistotě • Rozhodnutí nemá jednoznačný výsledek • Výsledek závisí také na stavu okolí • Rozhodování při riziku a při neurčitosti Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
3
10.1 Jednokriteriální diskrétní model 2. Rozhodování při nejistotě a) Rozhodování při riziku – Množina variant i stavů jsou známé – Známé rozložení pravděpodobností
b) Rozhodování při neurčitosti – Neznámé pravděpodobnosti stavů
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
4
10.2 Rozhodování při jistotě • Vše je známé, cíl je jediný a tak nejde v podstatě o žádný konflikt • Nemá smysl analyzovat tento problém z pohledu teorie her
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
5
10.3 Rozhodování při riziku • Výsledek rozhodnutí není dán s jistotou – Závisí na rozložení pravděpodobností
• Příklad – Házím kostkou a vsadím, že padne 6 – Výsledek není dán s jistotou – Znám však pravděpodobnost úspěchu (a neúspěchu) = 1/6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
6
10.3 Rozhodování při riziku • Jedná se o hru jednoho hráče (teorie rozhodování, operačního výzkumu nebo pravděpodobnosti) • Lze na problém pohlížet i z jiného úhlu – 1. hráč = inteligentní (rozhodovatel) – 2. hráč = neinteligentní (vybírá náhodně, příroda, losovací zařízení apod.) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
7
10.3 Rozhodování při riziku • 2. hráč tedy nesleduje vlastní zájem, ale jedná (rozhoduje se) náhodně podle daného pravděpodobnostního rozdělení • Příklady: – Losovací zařízení – sportka – Příroda – pojištění živelných událostí – Finanční trh – investice do akcií Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8
10.3 Rozhodování při riziku • Inteligentní hráč 1 (volba řádků) – Maximalizace výhry dle matice – aij
• Neinteligentní hráč 2 (volba sloupců) – Podle pravděpodobnostního rozdělení – pj – Můžeme na ně pohlížet jako na známé smíšené strategie 2. hráče
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
9
10.3 Rozhodování při riziku • Sestavme matici hry: – řádky = varianty ai (1. hráč – racionální) – sloupce = možné stavy Sj s danou pj (2. hráč – příroda) – prvky matice = výhra 1. hráče při stavu Sj 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑝1
𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑝2
⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑝𝑛
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
10
10.3 Rozhodování při riziku • Inteligentní hráč 1 – Maximalizace střední hodnoty výhry n
EV max p j aij i
j 1
– Tento princip není nejlepší (je třeba také zvažovat rozptyl) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
11
10.3 Rozhodování při riziku • Podrobný popis včetně teorie: – v učebnici: Fiala, Modely a metody rozhodování, VŠE 2003
• Postup (8 kroků) je dán: – Principem maximalizace očekávané hodnoty • Viz předchozí vztah
– Bayesovskou analýzou Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
12
Příklad n
EV max p j aij i
n
A1 :
j 1
3
p a p a j 1
j ij
n
j 1
j 1j
3
A1 A2 A3 pj
S 1 S2 S3 10 8 2 1 3 7 7 8 9 0,5 0,2 0,3
0,5 10 0,2 8 0,3 2 7,2
A2 :
p a p a
0,5 1 0,2 3 0,3 7 3,2
A3 :
p a p a
0,5 7 0,2 8 0,3 9 7,8
j 1 n
j 1
j ij
j ij
j 1 3
j 1
j 2j
j 3j
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
EV=7,8
13
10.4 Rozhodování při neurčitosti • Známe stavy Sj (strategie 2. hráče) • Ale neznáme pravděpodobnosti, se kterými je hraje • 1. hráč vybírá strategii (rozhodnutí), která musí být nedominovaná
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
14
10.4 Rozhodování při neurčitosti • Rozhodnutí by mělo respektovat: – Axiom irelevance nerozlišující přidané varianty • přidání nového stavu s téměř stejnými hodnotami pro všechny varianty nezmění rozhodnutí
– Axiom irelevance přidané neoptimální varianty • po přidání nové varianty se buď nová varianta stane optimální (byla dobrá) nebo zůstane optimální variantou ta původní (tzn. optimální rozhodnutí se nemůže zhoršit tak, že přidáme nějaké špatné) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
15
10.4 Rozhodování při neurčitosti • Rozhodnutí by mělo respektovat: – Axiom úplnosti množiny optimálních strategií • jsou-li rozhodnutí v a w optimální a rozhodnutí z je nějakým váženým průměrem v a w, pak by také mělo být optimální (příklad investičního portfolia)
– Axiom jednoznačnosti • Vybráno by mělo být jedno rozhodnutí (alespoň jedno z důvodu řešení situace a maximálně jedno z důvodu praktického využití) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
16
10.4 Rozhodování při neurčitosti • Matice hry: – řádky = varianty ai (1. hráč – racionální) – sloupce = možné stavy Sj (2. hráč – příroda) 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑝1
𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑝2
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑝𝑛
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
17
Principy pro rozhodování 1. Princip ekvivalentní pravděpodobnosti – Laplaceovo kritérium
2. Princip maximaxu 3. Princip maximinu – Waldovo kritérium
4. Princip ukazatele optimismu – Hurwiczovo kritérium
5. Princip minimaxu ztráty – Savageovo kritérium Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
18
1. Princip ekvivalentní pravděpodobnosti • Všechny stavy jsou stejně pravděpodobné n 1 1 max p j aij max aij maxaij i i n i j 1 j 1 j 1 n n
A1 A2 A3
S1 10 1 7
S2 8 3 8
n
S3 2 7 9
1 n 1 3 1 A1 : aij a1 j 10 8 2 6,67 n j 1 3 j 1 3 1 n 1 3 1 A2 : aij a2 j 1 3 7 3,67 n j 1 3 j 1 3
1 n 1 3 1 A3 : aij a3 j 7 8 9 8 n j 1 3 j 1 3 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
19
2. Princip maximaxu • Optimistický přístup – nastane nejlepší situace
maxmaxaij i
A1 A2 A3
S1 10 1 7
S2 8 3 8
S3 2 7 9
j
A1 : max aij max a1 j 10 j j A2 : max aij max a2 j 7 j j A3 : max aij max a3 j 9 j
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
j
20
3. Princip maximinu • Pesimistický přístup – nastane nejhorší situace
maxmin aij i
A1 A2 A3
S1 10 1 7
S2 8 3 8
S3 2 7 9
j
A1 : min aij min a1 j 2 j j A2 : min aij min a2 j 1 j
j
j
j
A3 : min aij min a3 j 7 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
21
4. Princip ukazatele optimismu • Ukazatel optimismu mezi nulou a jedničkou 1 pro absolutníoptimisty 0 pro absolutnípesimisty
A1 A2 A3
S1 10 1 7
S2 8 3 8
S3 2 7 9
A1 A2 A3
max[ ai 1 ai ] i
max 10 7 9
min 2 1 7
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
EV 10 α + 2 (1−α) 7 α + 1 (1−α) 9 α + 7 (1−α) 22
max[ ai 1 ai ] i
Výpočtem jsme získali: A1 volím, pokud: 2+8α≥1+6α → 2+8α≥7+2α →
max min
Očekávaná hodnota
A1
10
2
10 α + 2 (1−α) = 2 + 8 α
A2
7
1
7 α + 1 (1−α) = 1 + 6 α
A3
9
7
9 α + 7 (1−α) = 7 + 2 α
2 α ≥ −1 6α≥ 5
→ →
A2 volím, pokud: 1+6α≥2+8α → −2α≥ 1 4α≥ 6 1+6α≥7+2α →
→ →
A3 volím, pokud: 7 + 2 α ≥ 2 + 8 α → − 6 α ≥ −5 7 + 2 α ≥ 1 + 6 α → − 4 α ≥ −6
→ →
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
α ≥ −1/2 α ≥ 5/6 𝜶 ∈ 𝟓/𝟔; 𝟏
α ≤ −1/2 α ≥ 3/2 α ≤ 5/6 α ≤ 3/2 𝜶 ∈ 𝟎; 𝟓/𝟔 23
5. Princip minimaxu ztráty • Vytvoříme matici ztrát tak, že: 𝑍=
A1 A2 A3
𝑧11 𝑧21 ⋮ 𝑧𝑝1
S1 10 1 7
𝑧12 𝑧22 ⋮ 𝑧𝑝2
S2 8 3 8
⋯ 𝑧1𝑛 ⋯ 𝑧2𝑛 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑧𝑝𝑛
S3 2 7 9
zij (maxakj ) aij k
0 𝑍= 9 3 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
0 7 5 2 0 0 24
Princip minimaxu ztráty • Optimální varianta (rozhodnutí):
min max zij i
0 𝑍= 9 3
0 7 5 2 0 0
j
A1 : max zij max z1 j 7 j
j
j
j
j
j
A2 : max zij max z2 j 9 A3 : max zij max z3 j 3
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
25
Princip minimaxu ztráty • Ztrátovou matici jsme počítali jako:
zij (maxakj ) aij k
• Druhý možný přístup: 𝑧𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − (max𝑘 𝑎𝑘𝑗 )
• Ztráty pak mají až na sloupcová maxima záporné znaménko • Aplikujeme princip maximinu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
26
KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
27
